Normalmente, los ángulos se consideran con lados paralelos correspondientes o con lados perpendiculares correspondientes. Consideremos primero el primer caso.
Sean dados dos ángulos ABC y DEF. Sus lados son respectivamente paralelos: AB || DE y BC || E.F. Estos dos ángulos serán iguales o su suma será igual a 180°. En la siguiente figura, en el primer caso ∠ABC = ∠DEF, y en el segundo ∠ABC + ∠DEF = 180°.
La prueba de que esto es efectivamente así se reduce a lo siguiente.
Considere ángulos con lados correspondientemente paralelos, ubicados como en la primera figura. Al mismo tiempo, extendemos las rectas AB y EF hasta que se cruzan. Designemos el punto de intersección con la letra G. Además, para mayor claridad de la prueba posterior, el lado BC está extendido en la figura. 
Dado que las rectas BC y EF son paralelas, si la recta AB corta a una de ellas, seguramente cortará a la otra. Es decir, la recta AB es secante de dos rectas paralelas. Como se sabe, en este caso los ángulos transversales de la secante son iguales, los ángulos unilaterales suman 180° y los ángulos correspondientes son iguales.
Es decir, no importa qué par de ángulos tomemos en los vértices B y G (un ángulo de uno, el otro del segundo), siempre obtendremos ángulos iguales o daremos un total de 180°.
Sin embargo, las rectas AB y DE también son paralelas. Para ellos, la recta EF es secante. Esto significa que cualquier par de ángulos de los vértices G y E sumarán 180° o serán iguales entre sí. De ello se deduce que los pares de ángulos de los vértices B y E obedecerán esta regla.
Por ejemplo, considere los ángulos ∠ABC y ∠DEF. El ángulo ABC es igual al ángulo BGE, ya que estos ángulos corresponden a las líneas paralelas BC y EF. A su vez, el ángulo BGE es igual al ángulo DEF, ya que estos ángulos son correspondientes cuando AB y DE son paralelos. Así queda demostrado, ∠ABC y ∠DEF.
Ahora considere los ángulos ∠ABC y ∠DEG. El ángulo ABC es igual al ángulo BGE. Pero ∠BGE y ∠DEG son ángulos unilaterales con rectas paralelas (AB || DE) intersecadas por una transversal (EF). Como sabes, esos ángulos suman 180°. Si miramos el segundo caso de la primera figura, nos damos cuenta de que corresponde al par de ángulos ABC y DEG de la segunda figura.
Por lo tanto, dos ángulos diferentes cuyos lados son respectivamente paralelos son iguales entre sí o suman 180°. El teorema ha sido demostrado.
Cabe señalar un caso especial: cuando se giran las esquinas. En este caso, obviamente serán iguales entre sí.
Ahora considere ángulos con lados correspondientemente perpendiculares. Este caso parece más complicado, ya que las posiciones relativas de los ángulos son más variadas. La siguiente figura muestra tres ejemplos de cómo se pueden colocar esquinas con lados correspondientemente perpendiculares. Sin embargo, en cualquier caso, un lado del primer ángulo (o su extensión) es perpendicular a un lado del segundo ángulo, y el segundo lado del primer ángulo es perpendicular al segundo lado del segundo ángulo. 
Consideremos uno de los casos. En este caso, dibujamos una bisectriz en una esquina y a través de un punto arbitrario de la misma trazamos perpendiculares a los lados de su ángulo. 
Aquí hay ángulos ABC y DEF con lados respectivamente perpendiculares: AB ⊥ DE y BC ⊥ EF. En la bisectriz del ángulo ABC se toma el punto G, a través del cual se trazan las perpendiculares al mismo ángulo: GH ⊥ AB y GI ⊥ BC.
Considere los triángulos BGH y BGI. Son rectangulares porque los ángulos H e I son ángulos rectos. En ellos, los ángulos en el vértice B son iguales, ya que BG es la bisectriz del ángulo ABC. Además, para los triángulos considerados, el lado BG es común y es la hipotenusa de cada uno de ellos. Como sabes, los triángulos rectángulos son iguales entre sí si sus hipotenusas y uno de los ángulos agudos son iguales. Por tanto, ∆BGH = ∆BGI.
Dado que ∆BGH = ∆BGI, entonces ∠BGH = ∠BGI. Por tanto, el ángulo HGI no se puede representar como la suma de estos dos ángulos, sino como uno de ellos multiplicado por 2: ∠HGI = ∠BGH * 2.
El ángulo ABC se puede representar como la suma de dos ángulos: ∠ABC = ∠GBH + ∠GBI. Dado que los ángulos componentes son iguales entre sí (ya que están formados por una bisectriz), el ángulo ABC se puede representar como el producto de uno de ellos por el número 2: ∠ABC = ∠GBH * 2.
Los ángulos BGH y GBH son ángulos agudos de un triángulo rectángulo y, por lo tanto, suman 90°. Veamos las igualdades resultantes:
∠BGH + ∠GBH = 90°
∠HGI = ∠BGH * 2
∠ABC = ∠GBH * 2
Agreguemos los dos últimos:
∠HGI + ∠ABC = ∠BGH * 2 + ∠GBH * 2
Saquemos el factor común de paréntesis:
∠HGI + ∠ABC = 2(∠BGH + ∠GBH)
Como la suma de los ángulos entre paréntesis es 90°, resulta que los ángulos HGI y ABC suman 180°:
∠ABC + ∠HGI = 2 * 90° = 180°
Entonces, hemos demostrado que la suma de los ángulos HGI y ABC es 180°. Ahora volvamos a mirar el dibujo y volvamos la mirada al ángulo con el que el ángulo ABC tiene lados correspondientemente perpendiculares. Este es el ángulo DEF.
Las rectas GI y EF son paralelas entre sí porque ambas son perpendiculares a la misma recta BC. Y como sabes, las rectas que son perpendiculares a una misma recta son paralelas entre sí. Por la misma razón DE || GH.
Como se ha demostrado anteriormente, los ángulos con lados correspondientemente paralelos suman 180° o son iguales entre sí. Esto significa ∠DEF = ∠HGI o ∠DEF + ∠HGI = 180°.
Sin embargo, ∠ABC + ∠HGI = 180°. De esto se deduce que en el caso de lados correspondientemente perpendiculares, los ángulos son iguales o suman 180°.
Aunque en este caso nos limitamos a acreditar únicamente el importe. Pero si mentalmente extendemos el lado EF en la dirección opuesta, veremos un ángulo que es igual al ángulo ABC, y al mismo tiempo sus lados también son perpendiculares al ángulo ABC. La igualdad de tales ángulos se puede probar considerando ángulos con lados correspondientemente paralelos: ∠DEF y ∠HGI.
53.Ángulos (ángulos internos) de un triángulo. Se llaman tres ángulos, cada uno de los cuales está formado por tres rayos que salen de los vértices del triángulo y pasan por los otros dos vértices.
54. Teorema de la suma de los ángulos del triángulo. La suma de los ángulos de un triángulo es 180°.
55. Esquina exterior de un triángulo es un ángulo adyacente a algún ángulo de este triángulo.
56. Esquina exterior de un triángulo es igual a la suma de dos ángulos de un triángulo que no son adyacentes a él.
57. Si las tres esquinas triángulo picante, entonces el triángulo se llama de ángulo agudo. 
58. Si una de las esquinas triángulo desafilado, entonces el triángulo se llama de ángulo obtuso. 
59. Si una de las esquinas triángulo derecho, entonces el triángulo se llama rectangular.
60. El lado de un triángulo rectángulo opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa(Palabra griega gyipotenusa - "contraer"), y dos lados que forman un ángulo recto - piernas(Palabra latina katetos - "plomada") .
61. Teorema sobre las relaciones entre los lados y ángulos de un triángulo. en un triangulo el ángulo mayor es opuesto al lado mayor, y de vuelta, El lado mayor se encuentra opuesto al ángulo mayor.
62. En un triángulo rectángulo La hipotenusa es más larga que el cateto.
porque El lado mayor siempre está opuesto al ángulo mayor.
Signos de un triángulo isósceles.
si en un triangulo dos ángulos son iguales, entonces es isósceles;
si en un triangulo la bisectriz es la mediana o la altura,
entonces este triángulo es isósceles;
si en un triangulo la mediana es la bisectriz o la altura, Eso
este triángulo es isósceles;
si en un triangulo la altura es mediana o bisectriz,
entonces este triángulo es isósceles.
64. Teorema. Desigualdad triangular. La longitud de cada lado de un triángulo es mayor que la diferencia y menor que la suma de las longitudes de los otros dos lados.:
Propiedades de los ángulos de un triángulo rectángulo.
La suma de dos ángulos agudos de un triángulo rectángulo es 90°.
A + B = 90°
66. Propiedad del triángulo rectángulo.
Un cateto de un triángulo rectángulo opuesto a un ángulo de 30° es igual a la mitad de la hipotenusa.
Si/
A = 30°, entonces BC = ½ AB
67. Propiedades de un triángulo rectángulo.
a) Si un cateto de un triángulo rectángulo es igual a la mitad de la hipotenusa, entonces el ángulo opuesto a este cateto es de 30°.
Si BC = ½ AB, entonces /
B = 30°
B) La mediana trazada hasta la hipotenusa es igual a la mitad de la hipotenusa.
mediana CF = ½ AB
Signo de igualdad de triángulos rectángulos en dos lados.
Si los catetos de un triángulo rectángulo son respectivamente iguales a los catetos de otro, entonces dichos triángulos son congruentes.
El teorema sobre la propiedad de los ángulos con lados correspondientemente paralelos debe considerarse en los casos en que los ángulos dados son ambos agudos o ambos obtusos, o uno de ellos es agudo y el otro obtuso.
El teorema se utiliza ampliamente en el estudio de las propiedades de varias figuras y, en particular, del cuadrilátero.
Se considera innecesaria la indicación de que los lados de ángulos con lados correspondientemente paralelos pueden tener la misma dirección o la dirección opuesta, que a veces se encuentra en la formulación de teoremas. Si utilizamos el término “dirección”, entonces sería necesario aclarar qué debe entenderse por esta palabra. Es suficiente llamar la atención de los estudiantes sobre el hecho de que los ángulos con lados correspondientemente paralelos son iguales si ambos son agudos o ambos obtusos, pero si uno de los ángulos es obtuso y el otro agudo, entonces suman 2d.
El teorema de los ángulos con lados correspondientemente perpendiculares se puede dar inmediatamente después del teorema de la propiedad de los ángulos con lados correspondientemente paralelos. Los estudiantes reciben ejemplos del uso de las propiedades de los ángulos con lados paralelos y perpendiculares, respectivamente, en dispositivos y piezas de máquinas.
Suma de ángulos de triángulos
Al deducir el teorema sobre la suma de los ángulos de un triángulo, puede utilizar ayudas visuales. Se corta el triángulo ABC, se numeran sus esquinas, luego se cortan y se unen entre sí. Resulta l+2+3=2d. Dibuje la altura CD desde el vértice C del triángulo ABC y doble el triángulo de modo que la altura se divida por la mitad, es decir El vértice C cayó al punto D, la base de la altura. La línea de inflexión MN es la línea media del triángulo ABC. Luego, los triángulos isósceles AMD y DNB se doblan a lo largo de sus alturas, coincidiendo los vértices A y B con el punto D y l+2+3=2d.
Debe recordarse que el uso de ayudas visuales en un curso sistemático de geometría no pretende reemplazar la prueba lógica de una proposición con su verificación experimental. Las ayudas visuales sólo deben facilitar la comprensión de los estudiantes de tal o cual hecho geométrico, las propiedades de tal o cual figura geométrica y la posición relativa de sus elementos individuales. Al determinar el tamaño del ángulo de un triángulo, los estudiantes deben recordar el teorema sobre el ángulo externo de un triángulo discutido anteriormente e indicar que el teorema sobre la suma de los ángulos de un triángulo permite, mediante construcción y cálculo, establecer una relación numérica entre ángulos externos e internos que no son adyacentes a ellos.
Como consecuencia del teorema de la suma de los ángulos de un triángulo, se demuestra que en un triángulo rectángulo el cateto opuesto al ángulo de 30 grados es igual a la mitad de la hipotenusa.
A medida que se presenta el material, se deben hacer preguntas a los estudiantes y tareas sencillas para facilitar una mejor comprensión del nuevo material. Por ejemplo, ¿qué rectas se llaman paralelas?
¿En qué posición de la transversal son iguales todos los ángulos formados por dos rectas paralelas y esta transversal?
Una línea recta dibujada en un triángulo paralelo a la base corta un pequeño triángulo. Demuestre que el triángulo que se corta y el triángulo dado son congruentes.
Calcula todos los ángulos subtendidos por dos paralelas y una transversal si se sabe que uno de los ángulos mide 72 grados.
Los ángulos internos unilaterales son respectivamente iguales a 540 y 1230. ¿Cuántos grados se debe girar una de las líneas alrededor del punto de su intersección con la transversal para que las líneas sean paralelas?
Demuestre que las bisectrices de: a) dos ángulos iguales pero no opuestos formados por dos rectas paralelas y una transversal son paralelos, b) dos ángulos desiguales con la misma recta y una transversal son perpendiculares.
Dadas dos rectas paralelas AB y CD y una secante EF que corta estas rectas en los puntos K y L. Las bisectrices dibujadas KM y KN de los ángulos AKL y BKL cortan el segmento MN de la recta CD. Encuentre la longitud MN si se sabe que el segmento secante KL encerrado entre los paralelos es igual a a.
¿Cuál es el tipo de triángulo en el que: a) la suma de dos ángulos cualesquiera es mayor que d, b) la suma de dos ángulos es igual a d, c) la suma de dos ángulos es menor que d? Respuesta: a) de ángulo agudo, b) rectangular, c) de ángulo obtuso. ¿Cuántas veces es mayor la suma de los ángulos exteriores de un triángulo que la suma de sus ángulos interiores? Respuesta: 2 veces.
¿Pueden todos los ángulos externos de un triángulo ser: a) agudos, b) obtusos, c) rectos? Respuesta: a) no, b) sí, c) no.
¿Qué triángulo tiene cada ángulo exterior el doble del tamaño de cada ángulo interior? Respuesta: equilátero.
Al estudiar la técnica de las líneas paralelas, es necesario utilizar la literatura histórica, teórica y metodológica para formular completamente el concepto de líneas paralelas.
Un ángulo es la parte de un plano delimitado por dos rayos que emanan de un punto. Los rayos que limitan el ángulo se llaman lados del ángulo. El punto de donde emergen los rayos se llama vértice del ángulo.
Esquema de designación de esquinas. Veamos el ejemplo del ángulo que se muestra en la Figura 1.
El ángulo que se muestra en la Figura 1 se puede designar de tres formas:
Los ángulos se llaman ángulos iguales si se pueden combinar.
Si la intersección de dos líneas produce cuatro angulos iguales , entonces esos ángulos se llaman ángulos rectos (Fig. 2). Las rectas que se cruzan y forman ángulos rectos se llaman lineas perpendiculares.
Si a través de un punto A, que no se encuentra en una línea l, se traza una línea perpendicular a la línea l y que cruza la línea l hasta el punto B, entonces dicen que desde el punto B perpendicular AB se deja caer sobre la línea l(Fig. 3). El punto B se llama base de la perpendicular AB.
Nota. La longitud del segmento AB se llama distancia del punto A a la recta l.
Ángulo de 1° (un grado) llamado el ángulo que forma una nonagésima parte ángulo recto.
Un ángulo k veces mayor que un ángulo de 1° se llama ángulo de k° (k grados).
Los ángulos también se miden en radianes. Puede leer sobre radianes en la sección de nuestro libro de referencia “Medición de ángulos. Grados y radianes".
Tabla 1 - Tipos de ángulos según el valor en grados
| Dibujo | tipos de ángulos | Propiedades de las esquinas |
 | Ángulo recto | un angulo recto mide 90° |
 | Esquina filosa | Ángulo agudo inferior a 90° |
 | Ángulo obtuso | Ángulo obtuso mayor de 90° pero menor de 180° |
 | Ángulo recto | El ángulo de rotación es de 180°. |
 | Este ángulo es mayor que 180° pero menor que 360°. | |
 | Ángulo completo | El ángulo completo es 360° |
 | Ángulo igual a cero | este angulo es 0° |
| Ángulo recto |
Propiedad: un angulo recto mide 90° |
| Esquina filosa |
Propiedad: Ángulo agudo inferior a 90° |
| Ángulo obtuso |
Propiedad: Ángulo obtuso mayor de 90° pero menor de 180° |
| Ángulo recto |
Propiedad: El ángulo de rotación es de 180°. |
| Ángulo mayor que recto |
Propiedad: Este ángulo es mayor que 180° pero menor que 360°. |
| Ángulo completo |
Propiedad: El ángulo completo es 360° |
| Ángulo igual a cero |
Propiedad: este angulo es 0° |
Tabla 2 - Tipos de ángulos según la ubicación de los lados
| Dibujo | tipos de ángulos | Propiedades de las esquinas |
 | Ángulos verticales | Los ángulos verticales son iguales. |
 | Ángulos adyacentes | La suma de los ángulos adyacentes es 180°. |
 | Los ángulos con lados respectivamente paralelos son iguales si ambos son agudos o ambos son obtusos. | |
 | La suma de los ángulos de lados correspondientemente paralelos es igual a 180°, si uno de ellos es agudo y el otro obtuso. | |
 | Los ángulos con lados respectivamente perpendiculares son iguales si ambos son agudos o ambos son obtusos. | |
 | La suma de los ángulos con lados correspondientemente perpendiculares es igual a 180°, si uno de ellos es agudo y el otro obtuso. |
| Ángulos verticales |
Propiedad de los ángulos verticales: Los ángulos verticales son iguales. |
| Ángulos adyacentes |
Propiedad de los ángulos adyacentes: La suma de los ángulos adyacentes es 180°. |
| Ángulos con lados correspondientemente paralelos |
Los ángulos con lados respectivamente paralelos son iguales si ambos son agudos o ambos son obtusos. |
Propiedad de ángulos con lados correspondientemente paralelos: La suma de los ángulos de lados correspondientemente paralelos es igual a 180°, si uno de ellos es agudo y el otro obtuso. |
| Ángulos con lados correspondientemente perpendiculares |
Los ángulos con lados respectivamente perpendiculares son iguales si ambos son agudos o ambos son obtusos. |
Propiedad de los ángulos con lados correspondientemente perpendiculares: La suma de los ángulos con lados correspondientemente perpendiculares es igual a 180°, si uno de ellos es agudo y el otro obtuso. |
Definición . La bisectriz de un ángulo es el rayo que biseca el ángulo.
Tarea . Demuestre que las bisectrices de ángulos adyacentes son perpendiculares.
Solución . Considere la Figura 4.
En esta figura, los ángulos AOB y BOC son adyacentes y los rayos OE y OD son bisectrices de estos ángulos. Porque el
2α + 2β = 180°.
Q.E.D.
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Para ángulos con lados correspondientemente paralelos, son válidas las siguientes proposiciones:
1. Si los lados a y b de un ángulo son respectivamente paralelos a los lados a y b de otro ángulo y tienen las mismas direcciones que ellos, entonces los ángulos son iguales.
2. Si, bajo la misma condición de paralelismo, los lados a y b se ajustan en oposición a los lados a y b, entonces los ángulos también son iguales.
3. Si, finalmente, los lados a y son paralelos y tienen direcciones idénticas, y los lados son paralelos y tienen direcciones opuestas, entonces los ángulos se complementan hasta que se invierten.
Prueba. Probemos la primera de estas proposiciones. Sean los lados de los ángulos paralelos e igualmente dirigidos (Fig. 191). Conectemos los vértices de las esquinas con una línea recta.
En este caso, son posibles dos casos: la línea recta pasa por dentro de las esquinas o por fuera de estas esquinas (Fig. 191, b). En ambos casos la prueba es obvia: así, en el primer caso
pero ¿de dónde lo sacamos? En el segundo caso tenemos
y el resultado se sigue nuevamente de las igualdades
Dejamos las pruebas de las Proposiciones 2 y 3 al lector. Podemos decir que si los lados de los ángulos son respectivamente paralelos, entonces los ángulos son iguales o suman el ángulo opuesto.
Evidentemente, son iguales si ambos son simultáneamente agudos o ambos obtusos, y su suma es igual si uno de ellos es agudo y el otro obtuso.
Los ángulos con lados correspondientemente perpendiculares son iguales o complementarios entre sí hasta un ángulo recto.
Prueba. Sea a algún ángulo (Fig. 192), y O sea el vértice del ángulo formado por rectas, por tanto, sea cualquiera de los cuatro ángulos formados por estas dos rectas; Giremos el ángulo (es decir, ambos lados) alrededor de su vértice O en ángulo recto; obtenemos un ángulo igual a él, pero cuyos lados son perpendiculares a los lados del ángulo girado indicado en la Fig. 192 a través de Son paralelas a las rectas que forman un ángulo dado a. Por lo tanto, los ángulos significan que los ángulos son iguales o forman un ángulo inverso en total.
