Dada una serie de distribución de una variable aleatoria x, encuéntrela. Ejemplos de resolución de problemas sobre el tema "Variables aleatorias"

X viene dada por la ley de distribución de probabilidad: Entonces su desviación estándar es igual a... 0,80

Solución:
La desviación estándar de la variable aleatoria X se define como , donde la varianza de una variable aleatoria discreta se puede calcular usando la fórmula Entonces, y.

Solución:
A(una bola extraída al azar es negra) aplicamos la fórmula de probabilidad total: Aquí está la probabilidad de que una bola blanca haya sido transferida de la primera urna a la segunda urna; – la probabilidad de que una bola negra haya sido transferida de la primera urna a la segunda urna; – la probabilidad condicional de que la bola extraída sea negra si se pasó una bola blanca de la primera urna a la segunda; – la probabilidad condicional de que la bola extraída sea negra si se pasó una bola negra de la primera urna a la segunda.

La variable aleatoria discreta X viene dada por la ley de distribución de probabilidad: Entonces la probabilidad igual...

Solución:
La varianza de una variable aleatoria discreta se puede calcular mediante la fórmula. Entonces

O . Resolviendo la última ecuación, obtenemos dos raíces y

Tema: Determinación de la probabilidad.
En un lote de 12 piezas, hay 5 piezas defectuosas. Se seleccionaron tres partes al azar. Entonces la probabilidad de que no haya piezas adecuadas entre las piezas seleccionadas es igual a...

Solución:
Para calcular el evento A (no hay partes adecuadas entre las partes seleccionadas), usamos la fórmula donde norte metro– el número de resultados elementales favorables a la ocurrencia del evento A. En nuestro caso, el número total de resultados elementales posibles es igual al número de formas en que se pueden extraer tres detalles de los 12 disponibles, es decir.

Y el número total de resultados favorables es igual al número de formas en que se pueden extraer tres piezas defectuosas de cinco, es decir.

El banco otorga el 44% de todos los préstamos a personas jurídicas y el 56% a personas físicas. La probabilidad de que una persona jurídica no pague el préstamo a tiempo es 0,2; y para un individuo esta probabilidad es 0,1. Entonces la probabilidad de que el próximo préstamo se pague a tiempo es...

Solución:
Para calcular la probabilidad de un evento. A(el préstamo emitido se reembolsará a tiempo) aplique la fórmula de probabilidad total: . Aquí está la probabilidad de que el préstamo se haya otorgado a una entidad jurídica; – la probabilidad de que el préstamo haya sido concedido a un particular; – la probabilidad condicional de que el préstamo se reembolse a tiempo si se concedió a una persona jurídica; – la probabilidad condicional de que el préstamo se reembolse a tiempo si se concedió a un individuo. Entonces

Tema: Leyes de distribución de probabilidad de variables aleatorias discretas.
Para una variable aleatoria discreta X

Tema: Determinación de la probabilidad.
El dado se lanza dos veces. Entonces la probabilidad de que la suma de los puntos obtenidos sea no menor que nueve es...

Solución:
Para calcular el evento (la suma de los puntos obtenidos será al menos nueve), usamos la fórmula , donde es el número total de posibles resultados elementales de la prueba, y metro– el número de resultados elementales favorables a la ocurrencia del evento A. En nuestro caso es posible resultados de pruebas elementales, de los cuales favorables son resultados de la forma , , , , , , y , es decir. Por eso,

Tema: Leyes de distribución de probabilidad de variables aleatorias discretas.

la función de distribución de probabilidad tiene la forma:

Entonces el valor del parámetro puede ser igual a...

Solución:
priorato . Por tanto, y . Estas condiciones se cumplen, por ejemplo, por el valor

Tema: Características numéricas de variables aleatorias.
Una variable aleatoria continua se especifica mediante una función de distribución de probabilidad:

Entonces su varianza es...

Solución:
Esta variable aleatoria se distribuye uniformemente en el intervalo. Entonces su varianza se puede calcular usando la fórmula . Eso es

Tema: Probabilidad total. Fórmulas de Bayes
La primera urna contiene 6 bolas negras y 4 bolas blancas. La segunda urna contiene 2 bolas blancas y 8 negras. Se sacó una bola de una urna al azar, que resultó ser blanca. Entonces la probabilidad de que esta bola haya sido extraída de la primera urna es...

Solución:
A(una bola extraída al azar es blanca) según la fórmula de probabilidad total: . Aquí está la probabilidad de que la bola salga de la primera urna; es la probabilidad de que la bola salga de la segunda urna; – la probabilidad condicional de que la bola extraída sea blanca si se extrae de la primera urna; es la probabilidad condicional de que la bola extraída sea blanca si se extrae de la segunda urna.
Entonces .
Ahora calculemos la probabilidad condicional de que esta bola haya sido extraída de la primera urna usando la fórmula de Bayes:

Tema: Características numéricas de variables aleatorias.
Variable aleatoria discreta X viene dada por la ley de distribución de probabilidad:

Entonces su varianza es...

Solución:
La varianza de una variable aleatoria discreta se puede calcular mediante la fórmula

Tema: Leyes de distribución de probabilidad de variables aleatorias discretas.

Solución:
priorato . Entonces
a) en , ,
murciélago , ,
gato , ,
d) en , ,
d) en , .
Por eso,

Tema: Determinación de la probabilidad.
Se lanza un punto al azar dentro de una circunferencia de radio 4. Entonces la probabilidad de que el punto esté fuera del cuadrado inscrito en el círculo es...

Tema: Determinación de la probabilidad.
En un lote de 12 piezas, hay 5 piezas defectuosas. Se seleccionaron tres partes al azar. Entonces la probabilidad de que no haya piezas defectuosas entre las piezas seleccionadas es igual a...

Solución:
Para calcular el evento (no hay piezas defectuosas entre las piezas seleccionadas), utilizamos la fórmula, donde norte es el número total de posibles resultados de pruebas elementales, y metro– el número de resultados elementales favorables a la ocurrencia del evento. En nuestro caso, el número total de resultados elementales posibles es igual al número de formas en que se pueden extraer tres detalles de los 12 disponibles, es decir. Y el número total de resultados favorables es igual al número de formas en que se pueden extraer tres partes no defectuosas de siete, es decir. Por eso,

Tema: Probabilidad total. Fórmulas de Bayes

Solución:
Para calcular la probabilidad de un evento. A
Entonces

Tema: Leyes de distribución de probabilidad de variables aleatorias discretas.
Una variable aleatoria discreta está especificada por la ley de distribución de probabilidad:

Entonces la probabilidad igual...

Solución:
Usemos la fórmula . Entonces

Tema: Probabilidad total. Fórmulas de Bayes

Solución:
Primero calculemos la probabilidad del evento. A
.
.

Tema: Características numéricas de variables aleatorias.

Entonces su expectativa matemática es...

Solución:
Usemos la fórmula . Entonces .

Tema: Determinación de la probabilidad.

Solución:

Tema: Características numéricas de variables aleatorias.
Una variable aleatoria continua está especificada por la densidad de distribución de probabilidad. . Entonces la expectativa matemática a y la desviación estándar de esta variable aleatoria es igual a...

Solución:
La densidad de distribución de probabilidad de una variable aleatoria distribuida normalmente tiene la forma , Dónde , . Es por eso .

Tema: Leyes de distribución de probabilidad de variables aleatorias discretas.
Una variable aleatoria discreta está especificada por la ley de distribución de probabilidad:

Entonces los valores a Y b puede ser igual...

Solución:
Dado que la suma de las probabilidades de los valores posibles es igual a 1, entonces . La respuesta satisface esta condición: .

Tema: Determinación de la probabilidad.
Un círculo más pequeño de radio 5 se coloca en un círculo de radio 8. Entonces la probabilidad de que un punto lanzado al azar dentro del círculo más grande también caiga en el círculo más pequeño es...

Solución:
Para calcular la probabilidad del evento deseado, usamos la fórmula , donde es el área del círculo más pequeño y es el área del círculo más grande. Por eso, .

Tema: Probabilidad total. Fórmulas de Bayes
La primera urna contiene 3 bolas negras y 7 bolas blancas. La segunda urna contiene 4 bolas blancas y 5 bolas negras. Se transfirió una bola de la primera urna a la segunda. Entonces la probabilidad de que una bola extraída al azar de la segunda urna sea blanca es...

Solución:
Para calcular la probabilidad de un evento. A(una bola extraída al azar es blanca) aplique la fórmula de probabilidad total: . Aquí está la probabilidad de que una bola blanca haya sido transferida de la primera urna a la segunda urna; – la probabilidad de que una bola negra haya sido transferida de la primera urna a la segunda urna; – la probabilidad condicional de que la bola extraída sea blanca si se pasó una bola blanca de la primera urna a la segunda; – la probabilidad condicional de que la bola extraída sea blanca si se mueve una bola negra de la primera urna a la segunda.
Entonces

Tema: Leyes de distribución de probabilidad de variables aleatorias discretas.
Para una variable aleatoria discreta:

la función de distribución de probabilidad tiene la forma:

Entonces el valor del parámetro puede ser igual a...

TAREA N 10 reportar un error
Tema: Probabilidad total. Fórmulas de Bayes
El banco otorga el 70% de todos los préstamos a personas jurídicas y el 30% a personas físicas. La probabilidad de que una persona jurídica no pague el préstamo a tiempo es 0,15; y para un individuo esta probabilidad es 0,05. Se recibió un mensaje indicando que el préstamo no fue reembolsado. Entonces la probabilidad de que la entidad jurídica no haya pagado este préstamo es...

Solución:
Primero calculemos la probabilidad del evento. A(el préstamo emitido no se reembolsará a tiempo) según la fórmula de probabilidad total: . Aquí está la probabilidad de que el préstamo se haya otorgado a una entidad jurídica; – la probabilidad de que el préstamo haya sido concedido a un particular; – la probabilidad condicional de que el préstamo no se reembolse a tiempo si se concedió a una persona jurídica; – la probabilidad condicional de que el préstamo no se reembolse a tiempo si se concedió a un particular. Entonces
.
Ahora calculemos la probabilidad condicional de que este préstamo no haya sido pagado por una entidad legal, usando la fórmula de Bayes:
.

TAREA N 11 reportar un error
Tema: Determinación de la probabilidad.
En un lote de 12 piezas, hay 5 piezas defectuosas. Se seleccionaron tres partes al azar. Entonces la probabilidad de que no haya piezas adecuadas entre las piezas seleccionadas es igual a...

Solución:
Para calcular el evento (no hay partes adecuadas entre las partes seleccionadas), usamos la fórmula, donde norte es el número total de posibles resultados de pruebas elementales, y metro– el número de resultados elementales favorables a la ocurrencia del evento. En nuestro caso, el número total de resultados elementales posibles es igual al número de formas en que se pueden extraer tres detalles de los 12 disponibles, es decir. Y el número total de resultados favorables es igual al número de formas en que se pueden extraer tres piezas defectuosas de cinco, es decir. Por eso,

TAREA N 12 reportar un error
Tema: Características numéricas de variables aleatorias.
Una variable aleatoria continua está especificada por la densidad de distribución de probabilidad:

Entonces su varianza es...

Solución:
La varianza de una variable aleatoria continua se puede calcular mediante la fórmula

Entonces

Tema: Leyes de distribución de probabilidad de variables aleatorias discretas.
Una variable aleatoria discreta está especificada por la ley de distribución de probabilidad:

Entonces su función de distribución de probabilidad tiene la forma...

Solución:
priorato . Entonces
a) en , ,
murciélago , ,
gato , ,
d) en , ,
d) en , .
Por eso,

Tema: Probabilidad total. Fórmulas de Bayes
Hay tres urnas que contienen 5 bolas blancas y 5 negras, y siete urnas que contienen 6 bolas blancas y 4 negras. Se extrae una bola de una urna al azar. Entonces la probabilidad de que esta bola sea blanca es...

Solución:
Para calcular la probabilidad de un evento. A(una bola extraída al azar es blanca) aplique la fórmula de probabilidad total: . Aquí está la probabilidad de que se extraiga una bola de la primera serie de urnas; – la probabilidad de que la bola salga de la segunda serie de urnas; – la probabilidad condicional de que la bola extraída sea blanca si procede de la primera serie de urnas; – la probabilidad condicional de que la bola extraída sea blanca si se extrae de la segunda serie de urnas.
Entonces .

Tema: Leyes de distribución de probabilidad de variables aleatorias discretas.
Una variable aleatoria discreta está especificada por la ley de distribución de probabilidad:

Entonces la probabilidad igual...

Tema: Determinación de la probabilidad.
El dado se lanza dos veces. Entonces la probabilidad de que la suma de los puntos extraídos sea diez es...

Podemos destacar las leyes de distribución de variables aleatorias discretas más comunes:

• Ley de distribución binomial
• Ley de distribución de Poisson
• Ley de distribución geométrica
• Ley de distribución hipergeométrica

Para distribuciones dadas de variables aleatorias discretas, el cálculo de las probabilidades de sus valores, así como de las características numéricas (esperanza matemática, varianza, etc.) se realiza mediante determinadas "fórmulas". Por tanto, es muy importante conocer este tipo de distribuciones y sus propiedades básicas.

1. Ley de distribución binomial.

Una variable aleatoria discreta $X$ está sujeta a la ley de distribución de probabilidad binomial si toma valores $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ con probabilidades $P\left(X=k\right)= C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(n-k)$. De hecho, la variable aleatoria $X$ es el número de ocurrencias del evento $A$ en $n$ ensayos independientes. Ley de distribución de probabilidad de la variable aleatoria $X$:

$\begin(matriz)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & \puntos & n \\
\hline
p_i & P_n\left(0\right) & P_n\left(1\right) & \dots & P_n\left(n\right) \\
\hline
\end(matriz)$

Para tal variable aleatoria, la expectativa matemática es $M\left(X\right)=np$, la varianza es $D\left(X\right)=np\left(1-p\right)$.

Ejemplo . La familia tiene dos hijos. Suponiendo que las probabilidades de tener un niño y una niña sean iguales a $0,5$, encuentre la ley de distribución de la variable aleatoria $\xi$: el número de niños en la familia.

Sea la variable aleatoria $\xi $ el número de niños en la familia. Valores que $\xi puede tomar:\ 0,\ ​​​​1,\ 2$. Las probabilidades de estos valores se pueden encontrar usando la fórmula $P\left(\xi =k\right)=C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(n-k )$, donde $n =2$ es el número de ensayos independientes, $p=0.5$ es la probabilidad de que ocurra un evento en una serie de $n$ ensayos. Obtenemos:

$P\left(\xi =0\right)=C^0_2\cdot (0,5)^0\cdot (\left(1-0,5\right))^(2-0)=(0, 5)^2=0,25;$

$P\left(\xi =1\right)=C^1_2\cdot 0.5\cdot (\left(1-0.5\right))^(2-1)=2\cdot 0.5\ cdot 0.5=0.5;$

$P\left(\xi =2\right)=C^2_2\cdot (0.5)^2\cdot (\left(1-0.5\right))^(2-2)=(0, 5)^2 =0,25.$

Entonces la ley de distribución de la variable aleatoria $\xi $ es la correspondencia entre los valores $0,\ 1,\ 2$ y sus probabilidades, es decir:

$\begin(matriz)(|c|c|)
\hline
\xi y 0 y 1 y 2 \\
\hline
P(\xi) y 0,25 y 0,5 y 0,25 \\
\hline
\end(matriz)$

La suma de las probabilidades en la ley de distribución debe ser igual a $1$, es decir, $\sum _(i=1)^(n)P(\xi _((\rm i)))=0.25+0.5+ 0, 25=$1.

Expectativa $M\left(\xi \right)=np=2\cdot 0.5=1$, varianza $D\left(\xi \right)=np\left(1-p\right)=2\ cdot 0.5\ cdot 0.5=0.5$, desviación estándar $\sigma \left(\xi \right)=\sqrt(D\left(\xi \right))=\sqrt(0.5 )\approx $0.707.

2. Ley de distribución de Poisson.

Si una variable aleatoria discreta $X$ solo puede tomar valores enteros no negativos $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ con probabilidades $P\left(X=k\right)=((( \lambda )^k )\sobre (k}\cdot e^{-\lambda }$, то говорят, что она подчинена закону распределения Пуассона с параметром $\lambda $. Для такой случайной величины математическое ожидание и дисперсия равны между собой и равны параметру $\lambda $, то есть $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda $.!}

Comentario. La peculiaridad de esta distribución es que, con base en datos experimentales, encontramos estimaciones $M\left(X\right),\ D\left(X\right)$, si las estimaciones obtenidas son cercanas entre sí, entonces tenemos razón para afirmar que la variable aleatoria está sujeta a la ley de distribución de Poisson.

Ejemplo . Ejemplos de variables aleatorias sujetas a la ley de distribución de Poisson pueden ser: el número de automóviles que serán atendidos mañana por una gasolinera; Número de artículos defectuosos en productos manufacturados.

Ejemplo . La fábrica envió $500$ en productos a la base. La probabilidad de daño al producto en tránsito es $0.002$. Encuentre la ley de distribución de la variable aleatoria $X$ igual al número de productos dañados; ¿Qué es $M\left(X\right),\ D\left(X\right)$?

Sea la variable aleatoria discreta $X$ el número de productos dañados. Una variable aleatoria de este tipo está sujeta a la ley de distribución de Poisson con el parámetro $\lambda =np=500\cdot 0.002=1$. Las probabilidades de los valores son iguales a $P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda }$. Очевидно, что все вероятности всех значений $X=0,\ 1,\ \dots ,\ 500$ перечислить невозможно, поэтому мы ограничимся лишь первыми несколькими значениями.!}

$P\izquierda(X=0\derecha)=((1^0)\sobre (0}\cdot e^{-1}=0,368;$!}

$P\izquierda(X=1\derecha)=((1^1)\sobre (1}\cdot e^{-1}=0,368;$!}

$P\izquierda(X=2\derecha)=((1^2)\sobre (2}\cdot e^{-1}=0,184;$!}

$P\izquierda(X=3\derecha)=((1^3)\sobre (3}\cdot e^{-1}=0,061;$!}

$P\izquierda(X=4\derecha)=((1^4)\sobre (4}\cdot e^{-1}=0,015;$!}

$P\izquierda(X=5\derecha)=((1^5)\sobre (5}\cdot e^{-1}=0,003;$!}

$P\izquierda(X=6\derecha)=((1^6)\sobre (6}\cdot e^{-1}=0,001;$!}

$P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\sobre (k}\cdot e^{-\lambda }$!}

Ley de distribución de la variable aleatoria $X$:

$\begin(matriz)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & ... & k \\
\hline
P_i & 0,368; & 0,368 y 0,184 y 0,061 y 0,015 y 0,003 y 0,001 y ... & (((\lambda )^k)\sobre (k}\cdot e^{-\lambda } \\!}
\hline
\end(matriz)$

Para dicha variable aleatoria, la expectativa matemática y la varianza son iguales entre sí e iguales al parámetro $\lambda $, es decir, $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda =1$.

3. Ley de distribución geométrica.

Si una variable aleatoria discreta $X$ solo puede tomar valores naturales $1,\ 2,\ \dots ,\ n$ con probabilidades $P\left(X=k\right)=p(\left(1-p\ derecha)) ^(k-1),\ k=1,\ 2,\ 3,\ \dots $, entonces dicen que tal variable aleatoria $X$ está sujeta a la ley geométrica de la distribución de probabilidad. De hecho, la distribución geométrica es una prueba de Bernoulli hasta el primer éxito.

Ejemplo . Ejemplos de variables aleatorias que tienen una distribución geométrica pueden ser: el número de disparos antes del primer impacto en el objetivo; número de pruebas del dispositivo hasta el primer fallo; el número de lanzamientos de moneda hasta que salga la primera cara, etc.

La expectativa matemática y la varianza de una variable aleatoria sujeta a distribución geométrica son respectivamente iguales a $M\left(X\right)=1/p$, $D\left(X\right)=\left(1-p\right )/p^ $2.

Ejemplo . En el camino para el movimiento de los peces hacia el lugar de desove hay una esclusa de $4$. La probabilidad de que los peces pasen por cada esclusa es $p=3/5$. Construya una serie de distribución de la variable aleatoria $X$: el número de esclusas que pasó el pez antes de la primera detención en la esclusa. Encuentra $M\left(X\right),\ D\left(X\right),\ \sigma \left(X\right)$.

Sea la variable aleatoria $X$ el número de esclusas que pasó el pez antes de detenerse por primera vez en la esclusa. Una variable aleatoria de este tipo está sujeta a la ley geométrica de la distribución de probabilidad. Valores que puede tomar la variable aleatoria $X:$ 1, 2, 3, 4. Las probabilidades de estos valores se calculan mediante la fórmula: $P\left(X=k\right)=pq^(k -1)$, donde: $ p=2/5$ - probabilidad de que los peces sean retenidos a través de la esclusa, $q=1-p=3/5$ - probabilidad de que los peces pasen a través de la esclusa, $k=1,\ 2,\ 3,\ 4$.

$P\left(X=1\right)=((2)\over (5))\cdot (\left(((3)\over (5))\right))^0=((2)\ sobre (5))=0.4;$

$P\left(X=2\right)=((2)\over (5))\cdot ((3)\over (5))=((6)\over (25))=0.24;

$P\left(X=3\right)=((2)\over (5))\cdot (\left(((3)\over (5))\right))^2=((2)\ sobre (5))\cdot ((9)\sobre (25))=((18)\sobre (125))=0,144;$

$P\left(X=4\right)=((2)\over (5))\cdot (\left(((3)\over (5))\right))^3+(\left(( (3)\sobre (5))\right))^4=((27)\sobre (125))=0,216.$

$\begin(matriz)(|c|c|)
\hline
X_i y 1 y 2 y 3 y 4 \\
\hline
P\izquierda(X_i\derecha) y 0,4 y 0,24 y 0,144 y 0,216 \\
\hline
\end(matriz)$

Valor esperado:

$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(x_ip_i)=1\cdot 0.4+2\cdot 0.24+3\cdot 0.144+4\cdot 0.216=2.176.$

Dispersión:

$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2=)0.4\cdot (\ left( 1-2,176\right))^2+0,24\cdot (\left(2-2,176\right))^2+0,144\cdot (\left(3-2,176\right))^2+$

$+\0.216\cdot (\left(4-2,176\right))^2\aproximadamente 1.377.$

Desviación Estándar:

$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(1,377)\aproximadamente 1,173.$

4. Ley de distribución hipergeométrica.

Si $N$ objetos, entre los cuales $m$ objetos tienen una propiedad determinada. $n$ objetos se recuperan aleatoriamente sin regresar, entre los cuales había $k$ objetos que tienen una propiedad determinada. La distribución hipergeométrica permite estimar la probabilidad de que exactamente $k$ objetos en la muestra tengan una propiedad determinada. Sea la variable aleatoria $X$ el número de objetos de la muestra que tienen una propiedad determinada. Entonces las probabilidades de los valores de la variable aleatoria $X$:

$P\left(X=k\right)=((C^k_mC^(n-k)_(N-m))\sobre (C^n_N))$

Comentario. La función estadística HYPERGEOMET del asistente de funciones $f_x$ de Excel le permite determinar la probabilidad de que un cierto número de pruebas tengan éxito.

$f_x\to$ estadístico$\a$ HIPERGEOMETA$\a$ DE ACUERDO. Aparecerá un cuadro de diálogo que deberá completar. en la columna Número_de_éxitos_en_muestra indique el valor $k$. tamaño de la muestra es igual a $n$. en la columna Número_de_éxitos_en_juntos indique el valor $m$. tamaño de la poblacion es igual a $N$.

La expectativa matemática y la varianza de una variable aleatoria discreta $X$, sujeta a la ley de distribución geométrica, son respectivamente iguales a $M\left(X\right)=nm/N$, $D\left(X\right)= ((nm\left(1 -((m)\over (N))\right)\left(1-((n)\over (N))\right))\over (N-1))$.

Ejemplo . El departamento de crédito del banco emplea a 5 especialistas con educación financiera superior y 3 especialistas con educación jurídica superior. La dirección del banco decidió enviar a 3 especialistas para mejorar sus calificaciones, seleccionándolos en orden aleatorio.

a) Realizar una serie de distribución del número de especialistas con educación financiera superior que pueden ser enviados para mejorar sus habilidades;

b) Encuentre las características numéricas de esta distribución.

Sea la variable aleatoria $X$ el número de especialistas con mayor educación financiera entre los tres seleccionados. Valores que $X puede tomar: 0,\ 1,\ 2,\ 3$. Esta variable aleatoria $X$ se distribuye según una distribución hipergeométrica con los siguientes parámetros: $N=8$ - tamaño de la población, $m=5$ - número de éxitos en la población, $n=3$ - tamaño de la muestra, $ k=0,\ 1, \2,\3$ - número de éxitos en la muestra. Entonces las probabilidades $P\left(X=k\right)$ se pueden calcular usando la fórmula: $P(X=k)=(C_(m)^(k) \cdot C_(N-m)^(n-k) \ sobre C_(N)^(n) ) $. Tenemos:

$P\left(X=0\right)=((C^0_5\cdot C^3_3)\over (C^3_8))=((1)\over (56))\aproximadamente 0,018;$

$P\left(X=1\right)=((C^1_5\cdot C^2_3)\over (C^3_8))=((15)\over (56))\aproximadamente 0,268;$

$P\left(X=2\right)=((C^2_5\cdot C^1_3)\over (C^3_8))=((15)\over (28))\aproximadamente 0,536;$

$P\left(X=3\right)=((C^3_5\cdot C^0_3)\over (C^3_8))=((5)\over (28))\aproximadamente 0,179.$

Entonces la serie de distribución de la variable aleatoria $X$:

$\begin(matriz)(|c|c|)
\hline
X_i y 0 y 1 y 2 y 3 \\
\hline
p_i y 0,018 y 0,268 y 0,536 y 0,179 \\
\hline
\end(matriz)$

Calculemos las características numéricas de la variable aleatoria $X$ usando las fórmulas generales de la distribución hipergeométrica.

$M\left(X\right)=((nm)\over (N))=((3\cdot 5)\over (8))=((15)\over (8))=1,875.$

$D\left(X\right)=((nm\left(1-((m)\sobre (N))\right)\left(1-((n)\sobre (N))\right)) \over (N-1))=((3\cdot 5\cdot \left(1-((5)\over (8))\right)\cdot \left(1-((3)\over (8 ))\right))\over (8-1))=((225)\over (448))\aproximadamente 0,502.$

$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(0.502)\aproximadamente 0.7085.$

Institución educativa "Estado bielorruso

Academia Agrícola"

Departamento de Matemáticas Superiores

Pautas

estudiar el tema “Variables aleatorias” por estudiantes de la Facultad de Contabilidad para Educación por Correspondencia (NISPO)

Gorki, 2013

Variables aleatorias

Variables aleatorias discretas y continuas

Uno de los conceptos principales de la teoría de la probabilidad es el concepto. variable aleatoria . Variable aleatoria es una cantidad que, como resultado de una prueba, toma solo uno de sus muchos valores posibles, y no se sabe de antemano cuál.

Hay variables aleatorias discreto y continuo . Variable aleatoria discreta (DRV) es una variable aleatoria que puede tomar un número finito de valores aislados entre sí, es decir si se pueden recalcular los posibles valores de esta cantidad. Variable aleatoria continua (CNV) es una variable aleatoria, cuyos valores posibles llenan completamente un cierto intervalo de la recta numérica.

Las variables aleatorias se indican con letras mayúsculas del alfabeto latino X, Y, Z, etc. Los posibles valores de las variables aleatorias se indican con las letras minúsculas correspondientes.

Registro
significa "la probabilidad de que una variable aleatoria X tomará un valor de 5, igual a 0,28.”

Ejemplo 1 . Los dados se lanzan una vez. En este caso podrán aparecer números del 1 al 6, que indican el número de puntos. Denotemos la variable aleatoria X=(número de puntos obtenidos). Esta variable aleatoria como resultado de la prueba puede tomar solo uno de seis valores: 1, 2, 3, 4, 5 o 6. Por lo tanto, la variable aleatoria X hay DSV.

Ejemplo 2 . Cuando se lanza una piedra, ésta recorre una cierta distancia. Denotemos la variable aleatoria X=(distancia de vuelo de la piedra). Esta variable aleatoria puede tomar cualquier valor, pero sólo uno, de un determinado intervalo. Por lo tanto, la variable aleatoria X hay NSV.

Ley de distribución de una variable aleatoria discreta.

Una variable aleatoria discreta se caracteriza por los valores que puede tomar y las probabilidades con las que se toman esos valores. La correspondencia entre los posibles valores de una variable aleatoria discreta y sus correspondientes probabilidades se llama ley de distribución de una variable aleatoria discreta .

Si se conocen todos los valores posibles
variable aleatoria X y probabilidades
aparición de estos valores, entonces se cree que la ley de distribución de DSV X es conocido y se puede escribir en forma de tabla:

La ley de distribución DSV se puede representar gráficamente si los puntos se representan en un sistema de coordenadas rectangular.
,
, …,
y conectarlos con segmentos de línea recta. La figura resultante se llama polígono de distribución.

Ejemplo 3 . El grano destinado a la limpieza contiene un 10% de malas hierbas. Se seleccionaron 4 granos al azar. Denotemos la variable aleatoria X=(número de malezas entre las cuatro seleccionadas). Construir la ley de distribución DSV. X y polígono de distribución.

Solución . Según las condiciones del ejemplo. Entonces:

Escribamos la ley de distribución de DSV X en forma de tabla y construyamos un polígono de distribución:

Expectativa de una variable aleatoria discreta

Las propiedades más importantes de una variable aleatoria discreta se describen por sus características. Una de estas características es valor esperado variable aleatoria.

Que se conozca la ley de distribución DSV X:

Expectativa matemática DSV X es la suma de los productos de cada valor de esta cantidad y la probabilidad correspondiente:
.

La esperanza matemática de una variable aleatoria es aproximadamente igual a la media aritmética de todos sus valores. Por lo tanto, en problemas prácticos, el valor promedio de esta variable aleatoria a menudo se toma como expectativa matemática.

Ejemplo 8 . El tirador obtiene 4, 8, 9 y 10 puntos con probabilidades de 0,1, 0,45, 0,3 y 0,15. Encuentre la expectativa matemática del número de puntos con un solo disparo.

Solución . Denotemos la variable aleatoria X=(número de puntos obtenidos). Entonces . Por lo tanto, el número medio esperado de puntos anotados con un tiro es 8,2 y con 10 tiros, 82.

Propiedades principales La expectativa matemática es:

.

.

, Dónde
,
.

.

, Dónde X Y Y son variables aleatorias independientes.

Diferencia
llamado desviación variable aleatoria X de su expectativa matemática. Esta diferencia es una variable aleatoria y su expectativa matemática es cero, es decir
.

Varianza de una variable aleatoria discreta

Para caracterizar una variable aleatoria, además de la expectativa matemática, también utilizamos dispersión , que permite estimar la dispersión (spread) de los valores de una variable aleatoria en torno a su expectativa matemática. Al comparar dos variables aleatorias homogéneas con iguales expectativas matemáticas, se considera que el “mejor” valor es el que tiene menos dispersión, es decir menor dispersión.

Diferencia variable aleatoria X se llama expectativa matemática de la desviación al cuadrado de una variable aleatoria de su expectativa matemática: .

En problemas prácticos, se utiliza una fórmula equivalente para calcular la varianza.

Las principales propiedades de la dispersión son:

.

Variable aleatoria es una variable que puede tomar ciertos valores dependiendo de diversas circunstancias, y a su vez, una variable aleatoria se llama discreto , si el conjunto de sus valores es finito o contable.

Además de las variables aleatorias discretas, también existen variables aleatorias continuas.

Consideremos con más detalle el concepto de variable aleatoria. En la práctica, a menudo hay cantidades que pueden tomar ciertos valores, pero es imposible predecir de manera confiable qué valor tomará cada una de ellas en la experiencia, fenómeno u observación bajo consideración. Por ejemplo, el número de niños que nacerán en Moscú al día siguiente puede variar. Puede ser igual a cero (no nacerá ni un solo niño: nacerán todas las niñas o no habrá ningún recién nacido), uno, dos, y así sucesivamente hasta alcanzar un número finito. norte. Dichos valores incluyen: la masa de raíces de remolacha azucarera en el sitio, el alcance de vuelo de un proyectil de artillería, el número de piezas defectuosas en un lote, etc. A tales cantidades las llamaremos aleatorias. Caracterizan todos los resultados posibles de la experiencia u observación desde un punto de vista cuantitativo.

Ejemplos de variables aleatorias discretas con un número finito de valores puede ser el número de niños nacidos durante el día en un área poblada, el número de pasajeros de autobús, el número de pasajeros transportados por el metro de Moscú por día, etc.

El número de valores de una variable aleatoria discreta puede ser un conjunto infinito pero contable. Pero en cualquier caso, se pueden numerar en algún orden o, más precisamente, se puede establecer una correspondencia uno a uno entre los valores de una variable aleatoria y los números naturales 1, 2, 3, ... , norte.

Atención: un concepto nuevo y muy importante en la teoría de la probabilidad: ley de distribucion . Dejar X poder aceptar norte valores: . Supondremos que son todos diferentes (de lo contrario se deben combinar los mismos) y ordenados en orden ascendente. Para caracterizar completamente una variable aleatoria discreta no sólo se deben especificar todos sus valores, sino también las probabilidades , con lo cual la variable aleatoria toma cada uno de los valores, es decir .

Ley de distribución de una variable aleatoria discreta. cualquier regla (función, tabla) se llama pag(X), que permite encontrar las probabilidades de todo tipo de eventos asociados con una variable aleatoria (por ejemplo, la probabilidad de que sea un ejemplo de algún valor o caiga en algún intervalo).

Lo más simple y conveniente es establecer la ley de distribución de una variable aleatoria discreta en la forma de la siguiente tabla:

Esta tabla se llama cerca de la distribución de una variable aleatoria discreta. La línea superior de la serie de distribución enumera en orden ascendente todos los valores posibles de la variable aleatoria discreta (x), y la línea inferior enumera las probabilidades de estos valores ( pag).

Eventos son incompatibles y los únicos posibles: forman un sistema completo de acontecimientos. Por tanto, la suma de sus probabilidades es igual a uno:

.

Ejemplo 1. Se organizó una lotería en el grupo de estudiantes. Están en juego dos artículos por valor de 1.000 rublos. y otro que cuesta 3.000 rublos. Redacte una ley de distribución del monto de las ganancias netas de un estudiante que compró un boleto por 100 rublos. Se vendieron un total de 50 entradas.

Solución. La variable aleatoria que nos interesa es X Se pueden tomar tres valores: - 100 rublos. (si el estudiante no gana, pero pierde, 100 rublos pagados por el billete), 900 rublos. y 2900 frotar. (las ganancias reales se reducen en 100 rublos, según el coste del billete). El primer resultado es favorecido 47 de 50 veces, el segundo, 2 y el tercero, una. Por tanto sus probabilidades son: PAG(X=-100)=47/50=0,94 , PAG(X=900)=2/50=0,04 , PAG(X=2900)=1/50=0,02 .

Ley de distribución de una variable aleatoria discreta. X parece

Función de distribución de una variable aleatoria discreta: construcción

Una serie de distribución solo se puede construir para una variable aleatoria discreta (para una variable aleatoria no discreta no se puede construir, aunque solo sea porque el conjunto de valores posibles de dicha variable aleatoria es incontable, no se pueden enumerar en la parte superior fila de la tabla).

La forma más general de la ley de distribución, adecuada para todas las variables aleatorias (tanto discretas como no discretas), es la función de distribución.

Función de distribución de una variable aleatoria discreta. o función integral función llamada , que determina la probabilidad de que el valor de la variable aleatoria X menor o igual al valor límite X.

La función de distribución de cualquier variable aleatoria discreta es una función escalonada discontinua, cuyos saltos ocurren en puntos correspondientes a posibles valores de la variable aleatoria y son iguales a las probabilidades de estos valores.

Ejemplo 2. Variable aleatoria discreta X- el número de puntos obtenidos al lanzar un dado. Calcule su función de distribución.

Solución. Serie de distribución de una variable aleatoria discreta. X tiene la forma:

Función de distribución F(X) tiene 6 saltos de magnitud igual a 1/6 (en la figura siguiente).

Ejemplo 3. Hay 6 bolas blancas y 4 bolas negras en la urna. De la urna se extraen 3 bolas. El número de bolas blancas entre las bolas extraídas es una variable aleatoria discreta. X. Elaborar una ley de distribución que le corresponda.

X puede tomar los valores 0, 1, 2, 3. Las probabilidades correspondientes se pueden calcular más fácilmente utilizando regla de multiplicación de probabilidad. Obtenemos la siguiente ley de distribución de una variable aleatoria discreta:

Ejemplo 4. Elabore una ley de distribución para una variable aleatoria discreta: el número de aciertos en el objetivo con cuatro disparos, si la probabilidad de acertar con un disparo es 0,1.

Solución. Variable aleatoria discreta X puede tomar cinco valores diferentes: 1, 2, 3, 4, 5. Encontramos las probabilidades correspondientes usando La fórmula de Bernoulli. . En

norte = 4 ,

pag = 1,1 ,

q = 1 - pag = 0,9 ,

metro = 0, 1, 2, 3, 4

obtenemos

En consecuencia, la ley de distribución de una variable aleatoria discreta. X parece

Si las probabilidades de los valores de una variable aleatoria discreta se pueden determinar mediante la fórmula de Bernoulli, entonces la variable aleatoria tiene Distribución binomial .

Si el número de ensayos es lo suficientemente grande, entonces la probabilidad de que en estos ensayos ocurra el evento de interés es metro veces, obedece la ley distribución de veneno .

Función de distribución de una variable aleatoria discreta: cálculo

Calcular la función de distribución de una variable aleatoria discreta. F(X), se requiere sumar las probabilidades de todos aquellos valores que sean menores o iguales al valor límite X.

Ejemplo 5. La tabla muestra la dependencia del número de matrimonios disueltos durante el año de la duración del matrimonio. Encuentre la probabilidad de que el próximo matrimonio divorciado haya durado menos o igual a 5 años.

Solución. Las probabilidades se calculan dividiendo el número de matrimonios disueltos correspondientes por el número total de 6010. La probabilidad de que el siguiente matrimonio disuelto durara 5 años es 0,056. La probabilidad de que la duración del próximo matrimonio divorciado sea menor o igual a 5 años es 0,186. Lo conseguimos añadiendo al valor. F(X) para matrimonios con una duración de 4 años inclusive, la probabilidad para matrimonios con una duración de 5 años.

Relación entre la ley de distribución de una variable aleatoria discreta y la expectativa y dispersión matemática

A menudo no se conocen todos los valores de una variable aleatoria discreta, pero sí se conocen algunos valores o probabilidades de la serie, así como expectativa matemática y (o) varianza de una variable aleatoria, al que se dedica una lección aparte.

Presentemos aquí algunas fórmulas de esta lección que pueden ayudar a la hora de elaborar la ley de distribución de una variable aleatoria discreta y veamos ejemplos de cómo resolver dichos problemas.

La expectativa matemática de una variable aleatoria discreta es la suma de los productos de todos sus valores posibles y las probabilidades de estos valores:

(1)

La fórmula para la varianza de una variable aleatoria discreta por definición es:

A menudo, la siguiente fórmula de dispersión es más conveniente para los cálculos:

, (2)

Dónde .

Ejemplo 6. Variable aleatoria discreta X Sólo puede tomar dos valores. Toma un valor menor con probabilidad. pag= 0,6. Encuentra la ley de distribución de una variable aleatoria discreta. X, si se sabe que su esperanza matemática y su varianza son .

Solución. La probabilidad de que una variable aleatoria tome un valor mayor. X2 , es igual a 1 − 0,6 = 4. Usando la fórmula (1) de expectativa matemática, creamos una ecuación en la que las incógnitas son los valores de nuestra variable aleatoria discreta:

Usando la fórmula de dispersión (2), creamos otra ecuación en la que las incógnitas también son los valores de una variable aleatoria discreta:

Un sistema de dos ecuaciones obtenidas.

resolver por el método de sustitución. De la primera ecuación obtenemos

Sustituyendo esta expresión en la segunda ecuación, después de transformaciones simples obtenemos ecuación cuadrática

,

que tiene dos raíces: 7/5 y −1. La primera raíz no cumple con las condiciones del problema, ya que X2 < X 1 . Así, los valores que puede tomar una variable aleatoria discreta X según las condiciones de nuestro ejemplo, son iguales X1 = −1 Y X2 = 2 .

Variable aleatoria Se denomina variable a aquella variable que, como resultado de cada prueba, toma un valor previamente desconocido, dependiendo de razones aleatorias. Las variables aleatorias se indican con letras latinas mayúsculas: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ Según su tipo, las variables aleatorias pueden ser discreto Y continuo.

Variable aleatoria discreta- se trata de una variable aleatoria cuyos valores no pueden ser más que contables, es decir, finitos o contables. Por contabilidad queremos decir que los valores de una variable aleatoria se pueden numerar.

Ejemplo 1 . A continuación se muestran ejemplos de variables aleatorias discretas:

a) el número de impactos en el objetivo con $n$ disparos, aquí los valores posibles son $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

b) la cantidad de emblemas que se caen al lanzar una moneda, aquí los valores posibles son $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

c) el número de barcos que llegan a bordo (un conjunto contable de valores).

d) el número de llamadas que llegan a la centralita (conjunto contable de valores).

1. Ley de distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta.

Una variable aleatoria discreta $X$ puede tomar valores $x_1,\dots ,\ x_n$ con probabilidades $p\left(x_1\right),\ \dots ,\ p\left(x_n\right)$. La correspondencia entre estos valores y sus probabilidades se llama ley de distribución de una variable aleatoria discreta. Como regla general, esta correspondencia se especifica mediante una tabla, cuya primera línea indica los valores $x_1,\dots ,\ x_n$, y la segunda línea contiene las probabilidades $p_1,\dots ,\ p_n$ correspondientes a estos valores.

$\begin(matriz)(|c|c|)
\hline
X_i y x_1 y x_2 ​​y \puntos y x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \puntos & p_n \\
\hline
\end(matriz)$

Ejemplo 2 . Sea la variable aleatoria $X$ el número de puntos obtenidos al lanzar un dado. Tal variable aleatoria $X$ puede tomar los siguientes valores: $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$. Las probabilidades de todos estos valores son iguales a $1/6$. Entonces la ley de distribución de probabilidad de la variable aleatoria $X$:

$\begin(matriz)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline

\hline
\end(matriz)$

Comentario. Dado que en la ley de distribución de una variable aleatoria discreta $X$ los eventos $1,\ 2,\ \dots ,\ 6$ forman un grupo completo de eventos, entonces la suma de las probabilidades debe ser igual a uno, es decir, $ \suma(p_i)=1$.

2. Expectativa matemática de una variable aleatoria discreta.

Expectativa de una variable aleatoria establece su significado “central”. Para una variable aleatoria discreta, la expectativa matemática se calcula como la suma de los productos de los valores $x_1,\dots,\ x_n$ y las probabilidades $p_1,\dots,\ p_n$ correspondientes a estos valores, es decir : $M\izquierda(X\derecha)=\sum ^n_(i=1)(p_ix_i)$. En la literatura en idioma inglés, se utiliza otra notación $E\left(X\right)$.

Propiedades de la expectativa matemática$M\izquierda(X\derecha)$:

1. $M\left(X\right)$ se encuentra entre los valores más pequeño y más grande de la variable aleatoria $X$.
2. La expectativa matemática de una constante es igual a la constante misma, es decir $M\izquierda(C\derecha)=C$.
3. El factor constante se puede sacar del signo de la expectativa matemática: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$.
4. La expectativa matemática de la suma de variables aleatorias es igual a la suma de sus expectativas matemáticas: $M\left(X+Y\right)=M\left(X\right)+M\left(Y\right)$.
5. La expectativa matemática del producto de variables aleatorias independientes es igual al producto de sus expectativas matemáticas: $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$.

Ejemplo 3 . Encontremos la expectativa matemática de la variable aleatoria $X$ del ejemplo $2$.

$$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix_i)=1\cdot ((1)\over (6))+2\cdot ((1)\over (6) )+3\cdot ((1)\sobre (6))+4\cdot ((1)\sobre (6))+5\cdot ((1)\sobre (6))+6\cdot ((1 )\sobre (6))=3.5.$$

Podemos notar que $M\left(X\right)$ se encuentra entre los valores más pequeño ($1$) y más grande ($6$) de la variable aleatoria $X$.

Ejemplo 4 . Se sabe que la expectativa matemática de la variable aleatoria $X$ es igual a $M\left(X\right)=2$. Encuentre la expectativa matemática de la variable aleatoria $3X+5$.

Usando las propiedades anteriores, obtenemos $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\ cdot 2 +5=$11.

Ejemplo 5 . Se sabe que la expectativa matemática de la variable aleatoria $X$ es igual a $M\left(X\right)=4$. Encuentre la expectativa matemática de la variable aleatoria $2X-9$.

Usando las propiedades anteriores, obtenemos $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\ punto 4 -9=-1$.

3. Dispersión de una variable aleatoria discreta.

Los valores posibles de variables aleatorias con expectativas matemáticas iguales pueden dispersarse de manera diferente alrededor de sus valores promedio. Por ejemplo, en dos grupos de estudiantes la puntuación promedio en el examen de teoría de la probabilidad resultó ser 4, pero en un grupo todos resultaron ser buenos estudiantes, y en el otro grupo solo hubo estudiantes C y estudiantes excelentes. Por lo tanto, existe la necesidad de una característica numérica de una variable aleatoria que muestre la dispersión de los valores de la variable aleatoria alrededor de su expectativa matemática. Esta característica es la dispersión.

Varianza de una variable aleatoria discreta$X$ es igual a:

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2).\ $$

En la literatura inglesa se utiliza la notación $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$. Muy a menudo la varianza $D\left(X\right)$ se calcula usando la fórmula $D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix^2_i)-(\left(M\ izquierda(X \derecha)\derecha))^2$.

Propiedades de dispersión$D\izquierda(X\derecha)$:

1. La varianza es siempre mayor o igual a cero, es decir $D\izquierda(X\derecha)\ge 0$.
2. La varianza de la constante es cero, es decir $D\izquierda(C\derecha)=0$.
3. El factor constante se puede sacar del signo de la dispersión siempre que esté al cuadrado, es decir $D\izquierda(CX\derecha)=C^2D\izquierda(X\derecha)$.
4. La varianza de la suma de variables aleatorias independientes es igual a la suma de sus varianzas, es decir $D\left(X+Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.
5. La varianza de la diferencia entre variables aleatorias independientes es igual a la suma de sus varianzas, es decir $D\left(X-Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.

Ejemplo 6 . Calculemos la varianza de la variable aleatoria $X$ del ejemplo $2$.

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2)=((1)\over (6))\cdot (\left(1-3.5\right))^2+((1)\over (6))\cdot (\left(2-3.5\right))^2+ \dots +( (1)\sobre (6))\cdot (\left(6-3.5\right))^2=((35)\sobre (12))\aproximadamente 2,92.$$

Ejemplo 7 . Se sabe que la varianza de la variable aleatoria $X$ es igual a $D\left(X\right)=2$. Encuentra la varianza de la variable aleatoria $4X+1$.

Usando las propiedades anteriores, encontramos $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0= 16D\ izquierda(X\derecha)=16\cdot 2=32$.

Ejemplo 8 . Se sabe que la varianza de la variable aleatoria $X$ es igual a $D\left(X\right)=3$. Encuentre la varianza de la variable aleatoria $3-2X$.

Usando las propiedades anteriores, encontramos $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)= 4D\ izquierda(X\derecha)=4\cdot 3=12$.

4. Función de distribución de una variable aleatoria discreta.

El método de representar una variable aleatoria discreta en forma de una serie de distribución no es el único y, lo más importante, no es universal, ya que una variable aleatoria continua no se puede especificar mediante una serie de distribución. Hay otra forma de representar una variable aleatoria: la función de distribución.

Función de distribución La variable aleatoria $X$ se llama función $F\left(x\right)$, que determina la probabilidad de que la variable aleatoria $X$ tome un valor menor que algún valor fijo $x$, es decir, $F\ izquierda(x\derecha)=P\izquierda(X< x\right)$

Propiedades de la función de distribución.:

1. $0\le F\left(x\right)\le 1$.
2. La probabilidad de que la variable aleatoria $X$ tome valores del intervalo $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ es igual a la diferencia entre los valores de la función de distribución en los extremos de este intervalo: $P\izquierda(\alpha< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
3. $F\left(x\right)$ - no decreciente.
4. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) F\left(x\right)=0\ ),\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty ) F\left(x \derecha)=1\ )$.

Ejemplo 9 . Encontremos la función de distribución $F\left(x\right)$ para la ley de distribución de la variable aleatoria discreta $X$ del ejemplo $2$.

$\begin(matriz)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end(matriz)$

Si $x\le 1$, entonces, obviamente, $F\left(x\right)=0$ (incluso para $x=1$ $F\left(1\right)=P\left(X< 1\right)=0$).

Si $1< x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.

Si $2< x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.

Si $3< x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.

Si $4< x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.

Si $5< x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.

Si $x > 6$, entonces $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right) +P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)+P\left(X=6\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+ 1/6+1/6=1$.

Entonces $F(x)=\left\(\begin(matriz)
0,\ en\ x\le 1,\\
1/6, en\ 1< x\le 2,\\
1/3,\ en\ 2< x\le 3,\\
1/2,en\ 3< x\le 4,\\
2/3,\ en\ 4< x\le 5,\\
5/6,\ en\ 4< x\le 5,\\
1,\ para\ x > 6.
\end(matriz)\right.$