Se dan dos matrices. Tareas para la prueba en la disciplina “Álgebra lineal”

DEFINICIÓN DE MATRIZ. TIPOS DE MATRICES

Matriz de tamaño m× norte llamado un conjunto Minnesota números ordenados en una tabla rectangular de metro líneas y norte columnas. Esta tabla suele estar entre paréntesis. Por ejemplo, la matriz podría verse así:

Para abreviar, una matriz se puede indicar con una sola letra mayúscula, por ejemplo, A o EN.

En general, una matriz de tamaño metro× norte escríbelo así

.

Los números que forman la matriz se llaman elementos de la matriz. Es conveniente proporcionar elementos matriciales con dos índices. un ij: El primero indica el número de fila y el segundo indica el número de columna. Por ejemplo, un 23– el elemento está en la 2.ª fila, 3.ª columna.

Si una matriz tiene el mismo número de filas que de columnas, entonces la matriz se llama cuadrado, y el número de sus filas o columnas se llama en orden matrices. En los ejemplos anteriores, la segunda matriz es cuadrada: su orden es 3 y la cuarta matriz es su orden 1.

Una matriz en la que el número de filas no es igual al número de columnas se llama rectangular. En los ejemplos esta es la primera matriz y la tercera.

También hay matrices que tienen sólo una fila o una columna.

Una matriz con una sola fila se llama matriz - fila(o cadena) y una matriz con una sola columna matriz - columna.

Una matriz cuyos elementos son todos cero se llama nulo y se denota por (0), o simplemente 0. Por ejemplo,

.

Diagonal principal de una matriz cuadrada la llamamos diagonal que va desde la esquina superior izquierda a la inferior derecha.

Una matriz cuadrada en la que todos los elementos debajo de la diagonal principal son iguales a cero se llama triangular matriz.

.

Una matriz cuadrada en la que todos los elementos, excepto quizás los de la diagonal principal, son iguales a cero, se llama diagonal matriz. Por ejemplo, o.

Una matriz diagonal en la que todos los elementos diagonales son iguales a uno se llama soltero matriz y se denota con la letra E. Por ejemplo, la matriz identidad de tercer orden tiene la forma .

ACCIONES SOBRE MATRICES

Igualdad matricial. Dos matrices A Y B Se dice que son iguales si tienen el mismo número de filas y columnas y sus elementos correspondientes son iguales. un ij = b ij. Así que si Y , Eso A=B, Si un 11 = segundo 11, un 12 = segundo 12, un 21 = segundo 21 Y a 22 = b 22.

Transponer. Considere una matriz arbitraria A de metro líneas y norte columnas. Se puede asociar con la siguiente matriz. B de norte líneas y metro columnas, en las que cada fila es una columna de matriz A con el mismo número (por lo tanto, cada columna es una fila de la matriz A con el mismo número). Así que si , Eso .

Esta matriz B llamado transpuesto matriz A, y la transición de A A transposición B.

Por tanto, la transposición es una inversión de los roles de las filas y columnas de una matriz. Matriz transpuesta a matriz A, generalmente denotado EN.

Comunicación entre matrices. A y su transpuesta se puede escribir en la forma .

Por ejemplo. Encuentre la matriz transpuesta de la dada.

Suma de matrices. Deja que las matrices A Y B constan del mismo número de filas y el mismo número de columnas, es decir tener mismos tamaños. Entonces para sumar matrices A Y B necesario para elementos de matriz A agregar elementos de matriz B parados en los mismos lugares. Por tanto, la suma de dos matrices A Y B llamada matriz C, que está determinado por la regla, por ejemplo,

Ejemplos. Encuentra la suma de matrices:

Es fácil verificar que la suma de matrices obedece a las siguientes leyes: conmutativa A+B=B+A y asociativo ( A+B)+C=A+(B+C).

Multiplicar una matriz por un número. Para multiplicar una matriz A por numero k cada elemento de la matriz es necesario A multiplica por este número. Por tanto, el producto matricial A por numero k hay una nueva matriz, que está determinada por la regla o .

Para cualquier numero a Y b y matrices A Y B se cumplen las siguientes igualdades:

Ejemplos.

Multiplicación de matrices. Esta operación se lleva a cabo según una ley peculiar. En primer lugar, observamos que los tamaños de las matrices de factores deben ser consistentes. Solo puede multiplicar aquellas matrices en las que el número de columnas de la primera matriz coincide con el número de filas de la segunda matriz (es decir, la longitud de la primera fila es igual a la altura de la segunda columna). La obra matrices A no es una matriz B llamada nueva matriz C=AB, cuyos elementos se componen de la siguiente manera:

Así, por ejemplo, para obtener el producto (es decir, en la matriz C) elemento ubicado en la 1.ª fila y 3.ª columna desde 13, debe tomar la primera fila de la primera matriz, la tercera columna de la segunda y luego multiplicar los elementos de la fila por los elementos de la columna correspondientes y sumar los productos resultantes. Y otros elementos de la matriz del producto se obtienen utilizando un producto similar de las filas de la primera matriz y las columnas de la segunda matriz.

En general, si multiplicamos una matriz A = (a ij) tamaño metro× norte a la matriz B = (bij) tamaño norte× pag, entonces obtenemos la matriz C tamaño metro× pag, cuyos elementos se calculan de la siguiente manera: elemento c ij se obtiene como resultado del producto de elementos iésima fila de la matriz A a los elementos correspondientes jª columna de la matriz B y sus adiciones.

De esta regla se deduce que siempre es posible multiplicar dos matrices cuadradas del mismo orden y, como resultado, obtenemos una matriz cuadrada del mismo orden. En particular, una matriz cuadrada siempre se puede multiplicar por sí misma, es decir Encuadrelo.

Otro caso importante es la multiplicación de una matriz de filas por una matriz de columnas, y el ancho de la primera debe ser igual a la altura de la segunda, lo que da como resultado una matriz de primer orden (es decir, un elemento). En realidad,

.

Ejemplos.

Así, estos sencillos ejemplos muestran que las matrices, en general, no conmutan entre sí, es decir, A∙B ≠ B∙A . Por lo tanto, al multiplicar matrices, es necesario controlar cuidadosamente el orden de los factores.

Se puede verificar que la multiplicación de matrices obedece a leyes asociativas y distributivas, es decir (AB)C=A(BC) Y (A+B)C=AC+BC.

También es fácil comprobar que al multiplicar una matriz cuadrada A a la matriz de identidad mi del mismo orden obtenemos nuevamente una matriz A, y AE=EA=A.

Cabe señalar el siguiente hecho interesante. Como sabes, el producto de 2 números distintos de cero no es igual a 0. Para las matrices, este puede no ser el caso, es decir el producto de 2 matrices distintas de cero puede resultar igual a la matriz cero.

Por ejemplo, Si , Eso

.

EL CONCEPTO DE DETERMINANTES

Sea una matriz de segundo orden: una matriz cuadrada que consta de dos filas y dos columnas. .

Determinante de segundo orden correspondiente a una matriz dada es el número que se obtiene de la siguiente manera: un 11 un 22 – un 12 un 21.

El determinante está indicado por el símbolo. .

Entonces, para encontrar el determinante de segundo orden, debes restar el producto de los elementos a lo largo de la segunda diagonal del producto de los elementos de la diagonal principal.

Ejemplos. Calcular determinantes de segundo orden.

De manera similar, podemos considerar una matriz de tercer orden y su correspondiente determinante.

Determinante de tercer orden, correspondiente a una matriz cuadrada de tercer orden dada, es un número denotado y obtenido de la siguiente manera:

.

Por tanto, esta fórmula da la expansión del determinante de tercer orden en términos de los elementos de la primera fila. un 11, un 12, un 13 y reduce el cálculo del determinante de tercer orden al cálculo de los determinantes de segundo orden.

Ejemplos. Calcula el determinante de tercer orden.

De manera similar, podemos introducir los conceptos de determinantes del cuarto, quinto, etc. órdenes, reduciendo su orden expandiéndose a los elementos de la 1.ª fila, con los signos “+” y “–” de los términos alternados.

Entonces, a diferencia de una matriz, que es una tabla de números, un determinante es un número que se asigna a la matriz de cierta manera.

que consiste en t líneas y PAG columnas se llama matriz de tamaño norte× metro. Números A 11 , A 12 , ..., A Minnesota se llaman ella elementos. La tabla que denota la matriz se escribe entre paréntesis y se denota Una = (una yo ).

Si el número de filas de una matriz es igual al número de sus columnas, entonces la matriz se llama cuadrado, y el número de sus filas es igual al número de columnas - en orden matriz cuadrada.

El conjunto de todos los elementos de una matriz cuadrada que se encuentran en el segmento que conecta la esquina superior izquierda con la esquina inferior derecha se llama diagonal principal, y en el segmento que conecta la esquina superior derecha con la inferior izquierda - diagonal lateral.

La matriz cuadrada se llama diagonal, si todos sus elementos que no están en la diagonal principal son iguales a cero. Una matriz cuadrada en la que los elementos a lo largo de la diagonal principal son iguales a uno y el resto son ceros, se llama soltero y es designado MI.

Las dos matrices se llaman igual si el número de sus filas y columnas es igual y si los elementos en los lugares correspondientes de estas matrices son iguales.

Una matriz cuyos elementos son todos cero se llama nulo y se denota por norte.

Por definición, multiplicar una matriz. A para el número r, necesitas cada elemento de la matriz A multiplicar por r.

Ejemplo. Dada una matriz Una =
, encuentre la matriz 3 A.

3 Una = 3
=

Suma de matrices A Y EN se llama matriz C, cuyos elementos son iguales a las sumas de los elementos correspondientes de las matrices A Y EN. Sólo se pueden sumar matrices con el mismo número de filas y columnas.

Ejemplo. Matrices dadas Una =
Y EN =
. encontrar matriz C = A + B.

C =

Propiedades de la suma de matrices:

A+B=B+A

(A+B)+ C = A+ (B + C)

A + norte = A

Producto de matriz A a la matriz EN definido sólo si el número de columnas de la matriz A igual al número de filas de la matriz EN. El resultado de la multiplicación es la matriz. AB, que tiene el mismo número de filas que hay en la matriz A, y el mismo número de columnas que hay en la matriz EN.

Producto de dos matrices A (metro× pag) Y EN(pag× norte) llamada matriz CON (metro× norte), cuyos elementos están determinados por la regla

CON yo =

Comentario. Para multiplicar dos matrices necesitas los elementos i multiplicar la fila de la primera matriz por elementos j aésima columna de la segunda matriz y sumar los productos resultantes. Obtengamos el elemento de la nueva matriz con el índice. yo.

Ejemplo. Dadas las matrices a y b. ;. Encuentre el producto de matrices ab.

AB=

=
=

Ejemplo. Matrices dadas A Y EN. A=
Y B = .

Solución: Una =(2X3), EN= (3X2) => AB =(2X2)

AB=
 =
=

Propiedades de la multiplicación de matrices:

AB VIRGINIA;

(AB)C=A(BC);

AE= EA= A

(AB)k = (AB)k= A(Bk)

(A+B)C = AB +BC

A(B+C) = AB + CA/

Matriz transpuesta A t es una matriz en la que se escriben filas en lugar de columnas y columnas en lugar de filas.

Ejemplo. Sea dada la matriz. A=
, Entonces

A t =

Determinantes.

Determinante de segundo orden correspondiente a la matriz A =
, llamó al número
=A 11 A 22 - A 12 A 21 .

Ejemplo. Calcula usando un determinante de segundo orden.

= 1 · (-3) – 2 · 4 = -11.

Determinante de tercer orden correspondiente a la matriz

A =
, llamó al número
=A 11 A 22 A 33 +a 12 A 23 A 31 + un 13 A 21 A 32 - A 13 A 22 A 31 - A 12 A 21 A 33 -A 11 A 23 A 32.

Para recordar qué productos del lado derecho de la igualdad deben tomarse con el signo “+” y cuáles con el signo “-”, una regla útil se llama regla del triángulo, que se muestra en la figura. 1.

« + » « - »

Foto 1.

Ejemplo. Calcular determinante

La segunda forma de calcular determinantes de tercer orden es sumar las dos primeras columnas, encontrar los productos a lo largo de la diagonal principal y paralelas a ella y a lo largo de la diagonal secundaria y paralelas a ella.

= A 11 A 22 A 33 +a 12 A 23 A 31 + un 13 A 21 A 32 - A 13 A 22 A 31 - A 12 A 21 A 33 -A 11 A 23 A 32.

Propiedades de los determinantes:

Si se intercambian dos filas (columnas) en el determinante, su signo cambiará al opuesto.

Si se intercambian las filas y columnas del determinante, entonces su signo y magnitud no cambiarán.

Si dos líneas en el determinante son proporcionales (iguales), entonces es igual a cero.

Si cualquier fila (columna) del determinante se multiplica por un número determinado y se suma a otra fila (columna), su valor no cambiará.

Si en el determinante los elementos de cualquier fila (columna) tienen un factor común, entonces se puede quitar del signo del determinante.

Si el determinante contiene una fila o columna nula, entonces es igual a cero.

M menor yo elemento determinante A yo es un determinante obtenido del original eliminando i- oh líneas y jª columna en la que se encuentra este elemento.

Complemento algebraico A yo elemento determinante A yo llamado menor multiplicado por (-1) i + j .

La tercera forma de calcular los determinantes es mediante el teorema de descomposición.

Teorema de descomposición: El determinante es igual a la suma de los productos de los elementos de cualquier fila (columna) y sus complementos algebraicos.

Ejemplo. Calcular el determinante de tercer orden. , expandiendo el determinante a los elementos de la primera fila.

= 5· (-1) 1+1 · + 3 · (-1) 1+2 ·
+ 2·(-1) 1+3 ·
= 68.

El mismo determinante se puede calcular utilizando la propiedad 4) y luego se puede aplicar el teorema de descomposición. En nuestro ejemplo, creamos ceros en la primera columna. Para ello, sumamos a los elementos de la primera fila los elementos de la segunda fila, multiplicados por 5, y a los elementos de la tercera fila sumamos los elementos de la segunda fila, multiplicados por 7. Y descomponemos el resultado matriz en los elementos de la primera columna.

=
= 0
- (-1)
+0
=
=13 · 34 – 17 · 22 = 68.

Instrucciones. Para una solución en línea, debe especificar una expresión matricial. En la segunda etapa será necesario aclarar las dimensiones de las matrices.

Operaciones válidas: multiplicación (*), suma (+), resta (-), matriz inversa A^(-1), exponenciación (A^2, B^3), transposición de matrices (A^T).
Para realizar una lista de operaciones, utilice un separador de punto y coma (;). Por ejemplo, para realizar tres operaciones:
a) 3A+4B
b) AB-VA
c) (A-B) -1
necesitarás escribirlo así: 3*A+4*B;A*B-B*A;(A-B)^(-1)

Una matriz es una tabla numérica rectangular con m filas yn columnas, por lo que la matriz se puede representar esquemáticamente como un rectángulo.
Matriz cero (matriz nula) es una matriz cuyos elementos son todos iguales a cero y se denotan por 0.
Matriz de identidad se llama matriz cuadrada de la forma

definamos operaciones básicas con matrices.

Suma de matrices

Ejemplo 6. .
La operación de suma de matrices se extiende al caso de cualquier número de términos. Obviamente A+0=A.
Recalquemos una vez más que sólo se pueden sumar matrices del mismo tamaño; Para matrices de diferentes tamaños, la operación de suma no está definida.

Resta de matrices

Multiplicación de matrices

Ejemplo 7. Matrices dadas Y . Encuentre las matrices C = A·B y D = B·A.
Solución. En primer lugar, observe que el producto A·B existe porque el número de columnas de A es igual al número de filas de B.

Ejemplo 8. Dada una matriz . Encuentra 3A 2 – 2A.
Solución.

.
; .
.
Observemos el siguiente hecho interesante.
Como sabes, el producto de dos números distintos de cero no es igual a cero. Para las matrices, es posible que no ocurra una circunstancia similar, es decir, el producto de matrices distintas de cero puede resultar igual a la matriz nula.