Tareas de prueba
Tarea 1 - 10. Se dan vectores. Demuestre que los vectores forman una base del espacio tridimensional y encuentre las coordenadas del vector en esta base:
Dados los vectores ε 1 (3;1;6), ε 2 (-2;2;-3), ε 3 (-4;5;-1), X(3;0;1). Demuestre que los vectores forman la base del espacio tridimensional y encuentre las coordenadas del vector X en esta base.
Esta tarea consta de dos partes. Primero debes comprobar si los vectores forman una base. Los vectores forman una base si el determinante compuesto por las coordenadas de estos vectores es distinto de cero; de lo contrario, los vectores no son básicos y el vector X no se puede expandir sobre esta base.
Calculemos el determinante de la matriz:
∆ = 3*(2*(-1) - 5*(-3)) - -2*(1*(-1) - 5*6) + -4*(1*(-3) - 2*6) = 37
El determinante de la matriz es ∆ =37
Como el determinante es distinto de cero, los vectores forman una base, por lo tanto, el vector X se puede expandir sobre esta base. Aquellos. hay números α 1, α 2, α 3 tales que se cumple la igualdad:
X = α 1 ε 1 + α 2 ε 2 + α 3 ε 3
Escribamos esta igualdad en forma de coordenadas:
(3;0;1) = α(3;1;6) + α(-2;2;-3) + α(-4;5;-1)
Usando las propiedades de los vectores, obtenemos la siguiente igualdad:
(3;0;1) = (3α 1 ;1α 1 ;6α 1 ;) + (-2α 2 ;2α 2 ;-3α 2 ;) + (-4α 3 ;5α 3 ;-1α 3 ;)
(3;0;1) = (3α 1 -2α 2 -4α 3 ;1α 1 + 2α 2 + 5α 3 ;6α 1 -3α 2 -1α 3)
Por la propiedad de igualdad de vectores tenemos:
3α 1 -2α 2 -4α 3 = 3
1α 1 + 2α 2 + 5α 3 = 0
6α 1 -3α 2 -1α 3 = 1
Resolvemos el sistema de ecuaciones resultante. método gaussiano o método de cramer.
X = ε1 + 2ε2 -ε3
La solución fue recibida y procesada mediante el servicio:
Coordenadas vectoriales en la base.
Junto a este problema también solucionan:
Resolver ecuaciones matriciales
método cramer
método de gauss
Matriz inversa utilizando el método de Jordano-Gauss
Matriz inversa mediante complementos algebraicos
Multiplicación de matrices en línea
Ejemplo 8
Se dan vectores. Demuestre que los vectores forman una base en el espacio tridimensional y encuentre las coordenadas del vector en esta base.
Solución: Primero, abordemos la condición. Por condición, se dan cuatro vectores y, como puede ver, ya tienen coordenadas en alguna base. Cuál es esta base no nos interesa. Y es interesante lo siguiente: tres vectores bien pueden formar una nueva base. Y la primera etapa coincide completamente con la solución del Ejemplo 6, es necesario comprobar si los vectores son realmente linealmente independientes:
Calculemos el determinante formado por coordenadas vectoriales: 
, lo que significa que los vectores son linealmente independientes y forman la base del espacio tridimensional.
! Importante: coordenadas vectoriales Necesariamente anote en columnas determinante, no en cadenas. De lo contrario, habrá confusión en el algoritmo de solución posterior.
Ahora recordemos la parte teórica: si los vectores forman una base, entonces cualquier vector se puede expandir de forma única sobre una base dada: , donde están las coordenadas del vector en la base.
Dado que nuestros vectores forman la base del espacio tridimensional (esto ya se ha demostrado), el vector se puede expandir de forma única sobre esta base: 
, donde están las coordenadas del vector en la base.
Según la condición y se requiere encontrar las coordenadas.
Para facilitar la explicación, intercambiaré las partes: 
. Para encontrarlo, debes escribir esta igualdad coordenada por coordenada: 
¿Sobre qué base se establecen los coeficientes? Todos los coeficientes del lado izquierdo se transfieren exactamente del determinante. 
, las coordenadas del vector están escritas en el lado derecho.
El resultado es un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas. Generalmente se resuelve mediante fórmulas de cramer, a menudo incluso en el planteamiento del problema existe tal requisito.
El principal determinante del sistema ya ha sido encontrado:
, lo que significa que el sistema tiene una solución única.
Lo que sigue es una cuestión de técnica: 
De este modo:
– descomposición del vector según la base.
Respuesta: 
Como ya señalé, el problema es de naturaleza algebraica. Los vectores que se consideraron no son necesariamente aquellos que se pueden dibujar en el espacio, sino, ante todo, vectores abstractos del curso de álgebra lineal. Para el caso de vectores bidimensionales, se puede formular y resolver un problema similar; Sin embargo, en la práctica nunca me he encontrado con una tarea de este tipo, por lo que la omití en la sección anterior.
El mismo problema con vectores tridimensionales para solución independiente:
Ejemplo 9
Se dan vectores. Demuestre que los vectores forman una base y encuentre las coordenadas del vector en esta base. Resolver un sistema de ecuaciones lineales utilizando el método de Cramer.
Una solución completa y una muestra aproximada del diseño final al final de la lección.
De manera similar, podemos considerar cuatro dimensiones, cinco dimensiones, etc. espacios vectoriales, donde los vectores tienen 4, 5 o más coordenadas, respectivamente. Para estos espacios vectoriales, también existe el concepto de dependencia lineal, independencia lineal de los vectores, hay una base, incluida una base ortonormal, una expansión de un vector con respecto a una base. Sí, estos espacios no se pueden dibujar geométricamente, pero en ellos funcionan todas las reglas, propiedades y teoremas de casos bidimensionales y tridimensionales: álgebra pura. De hecho, ya estuve tentado de hablar de cuestiones filosóficas en el artículo. Derivadas parciales de una función de tres variables, que apareció antes de esta lección.
¡Me encantan los vectores y los vectores te amarán!
Soluciones y respuestas:
Ejemplo 2: Solución: hagamos una proporción a partir de las coordenadas correspondientes de los vectores:
Respuesta:
en
Ejemplo 4: Prueba: Trapecio Se llama cuadrilátero a aquel en el que dos lados son paralelos y los otros dos no son paralelos.
1) Comprobemos el paralelismo de lados opuestos y .
Encontremos los vectores:
, lo que significa que estos vectores no son colineales y los lados no son paralelos.
2) Comprobemos el paralelismo de lados opuestos y .
Encontremos los vectores:
Calculemos el determinante formado por coordenadas vectoriales:
, lo que significa que estos vectores son colineales, y .
Conclusión:
Dos lados de un cuadrilátero son paralelos, pero los otros dos lados no son paralelos, lo que significa que es un trapezoide por definición. QED.
Ejemplo 5: Solución:
b) Comprobemos si existe un coeficiente de proporcionalidad para las coordenadas correspondientes de los vectores:
El sistema no tiene solución, lo que significa que los vectores no son colineales.
Diseño más sencillo:
– la segunda y tercera coordenadas no son proporcionales, lo que significa que los vectores no son colineales.
Respuesta:
los vectores no son colineales.
c) Examinamos los vectores en busca de colinealidad. 
. Creemos un sistema:
Las coordenadas correspondientes de los vectores son proporcionales, lo que significa
Aquí es donde falla el método de diseño “tonto”.
Respuesta:
Ejemplo 6: Solución: b) Calculemos el determinante formado por coordenadas vectoriales (el determinante se revela en la primera línea):
, lo que significa que los vectores son linealmente dependientes y no forman la base del espacio tridimensional.
Respuesta
: estos vectores no forman una base
Ejemplo 9: Solución: Calculemos el determinante formado por coordenadas vectoriales:
Por tanto, los vectores son linealmente independientes y forman una base.
Representemos el vector como una combinación lineal de vectores base:
Coordenadas:
Resolvamos el sistema usando las fórmulas de Cramer:
, lo que significa que el sistema tiene una solución única.
Respuesta:Los vectores forman una base,
Matemáticas superiores para estudiantes por correspondencia y más >>>
(Ir a la página principal)
Producto cruzado de vectores.
Producto mixto de vectores.
En esta lección veremos dos operaciones más con vectores: producto vectorial de vectores Y producto mixto de vectores. Está bien, a veces sucede que para la felicidad total, además de producto escalar de vectores, cada vez se necesitan más. Esta es la adicción a los vectores. Puede parecer que nos adentramos en la jungla de la geometría analítica. Esto está mal. En esta sección de matemáticas superiores generalmente hay poca madera, excepto quizás suficiente para Pinocho. De hecho, el material es muy común y simple, apenas más complicado que el mismo. producto escalar, habrá incluso menos tareas típicas. Lo principal en geometría analítica, como muchos estarán convencidos o ya lo han estado, es NO COMETIR ERRORES EN LOS CÁLCULOS. Repite como un hechizo y serás feliz =)
Si los vectores brillan en algún lugar lejano, como un rayo en el horizonte, no importa, comienza con la lección. Vectores para tontos recuperar o readquirir conocimientos básicos sobre vectores. Los lectores más preparados pueden familiarizarse con la información de forma selectiva; traté de recopilar la colección más completa de ejemplos que se encuentran a menudo en el trabajo práctico.
¿Qué te hará feliz de inmediato? Cuando era pequeña podía hacer malabarismos con dos y hasta tres pelotas. Funcionó bien. Ahora no tendrás que hacer ningún malabarismo, ya que consideraremos solo vectores espaciales, y se omitirán los vectores planos con dos coordenadas. ¿Por qué? Así nacieron estas acciones: el vector y el producto mixto de vectores se definen y funcionan en un espacio tridimensional. ¡Ya es más fácil!
Los vectores se pueden representar gráficamente mediante segmentos dirigidos. La longitud se elige en una escala específica para indicar magnitud vectorial , y la dirección del segmento representa dirección vectorial . Por ejemplo, si suponemos que 1 cm representa 5 km/h, entonces un viento del noreste con una velocidad de 15 km/h estará representado por un segmento direccional de 3 cm de longitud, como se muestra en la figura.
Vector en un plano es un segmento dirigido. Dos vectores igual si tienen lo mismo tamaño Y dirección.
Considere un vector dibujado desde el punto A al punto B. El punto se llama punto de partida vector, y el punto B se llama punto final. La notación simbólica para este vector es (leer como “vector AB”). Los vectores también se representan con letras en negrita, como U, V y W. Los cuatro vectores en la figura de la izquierda tienen la misma longitud y dirección. Por lo tanto representan igual vientos; eso es, 
En el contexto de vectores, usamos = para indicar que son iguales.
Longitud, o magnitud se expresa como ||. Para determinar si los vectores son iguales, encontramos sus magnitudes y direcciones.
Ejemplo 1 Los vectores u, , w se muestran en la siguiente figura. Demuestre que u = = w. 
Solución Primero encontramos la longitud de cada vector usando la fórmula de distancia:
|u| = √ 2 + (4 - 3) 2 = √9 + 1 = √10,
|| = √ 2 + 2
= √9 + 1
= √10
,
|w| = √(4 - 1) 2 + [-1 - (-2)] 2 = √9 + 1 = √10 .
De aquí
|u| = | = |w|.
Los vectores u, y w, como se puede ver en la figura, parecen tener la misma dirección, pero comprobaremos su pendiente. Si las rectas en las que se ubican tienen las mismas pendientes, entonces los vectores tienen la misma dirección. Calculamos las pendientes: 
Dado que u, y w tienen magnitudes iguales y la misma dirección,
tu = = w.
Tenga en cuenta que vectores iguales sólo requieren la misma magnitud y la misma dirección, no la misma ubicación. La figura superior muestra un ejemplo de igualdad de vectores.
Supongamos que una persona da 4 pasos hacia el este y luego 3 pasos hacia el norte. La persona estará entonces a 5 pasos del punto de partida en la dirección que se muestra a la izquierda. Un vector de 4 unidades de largo con dirección hacia la derecha representa 4 pasos hacia el este y un vector de 3 unidades de largo con dirección hacia arriba representa 3 pasos hacia el norte. Suma de estos dos vectores existe un vector de 5 pasos de magnitud y en la dirección mostrada. La cantidad también se llama resultante dos vectores.
En general, dos vectores distintos de cero u y v se pueden sumar geométricamente colocando el punto inicial del vector v en el punto final del vector u, y luego encontrando un vector que tenga el mismo punto inicial que el vector u y el mismo final. punto como el vector v como se muestra en la siguiente figura. 
La suma es un vector representado por un segmento dirigido desde el punto A del vector u hasta el punto final C del vector v. Por lo tanto, si u = y v = , entonces
tu + v = + =
También podemos describir la suma de vectores como colocar los puntos iniciales de los vectores juntos, construir un paralelogramo y encontrar la diagonal del paralelogramo. (en la figura siguiente). Esta adición a veces se denomina como regla del paralelogramo
suma de vectores. La suma de vectores es conmutativa. Como se muestra en la figura, ambos vectores u + v y v + u están representados por el mismo segmento de línea direccional. 
Si dos fuerzas F 1 y F 2 actúan sobre un objeto, resultante La fuerza es la suma de F 1 + F 2 de estas dos fuerzas separadas. 
Ejemplo Dos fuerzas de 15 newtons y 25 newtons actúan sobre un objeto perpendicularmente entre sí. Encuentra su suma, o la fuerza resultante, y el ángulo que forma con la fuerza mayor.
Solución Dibujemos la condición del problema, en este caso un rectángulo, usando v o para representar el resultante. Para encontrar su valor utilizamos el teorema de Pitágoras:
|v| 2 = 15 2 + 25 2 Aquí |v| denota la longitud o magnitud de v.
|v| = √15 2 + 25 2
|v| ≈ 29,2.
Para encontrar la dirección, tenga en cuenta que como OAB es un ángulo recto,
tanθ = 15/25 = 0,6.
Usando una calculadora, encontramos θ, el ángulo que forma la fuerza mayor con la fuerza neta:
θ = tan - 1 (0,6) ≈ 31°
La resultante tiene una magnitud de 29,2 y un ángulo de 31° con mayor fuerza.
Los pilotos pueden ajustar la dirección de su vuelo si hay viento cruzado. El viento y la velocidad de un avión se pueden representar como vientos.
Ejemplo 3. Velocidad y dirección del avión. El avión se mueve a lo largo de un azimut de 100° a una velocidad de 190 km/h, mientras que la velocidad del viento es de 48 km/h y su azimut es de 220°. Encuentra la velocidad absoluta del avión y la dirección de su movimiento, teniendo en cuenta el viento.
Solución Primero hagamos un dibujo. Se representa el viento y el vector de velocidad de la aeronave es . El vector de velocidad resultante es v, la suma de los dos vectores. El ángulo θ entre v y se llama ángulo de deriva
.
Tenga en cuenta que el valor COA = 100° - 40° = 60°. Entonces el valor de CBA también es igual a 60° (los ángulos opuestos del paralelogramo son iguales). Como la suma de todos los ángulos de un paralelogramo es 360° y COB y OAB tienen la misma magnitud, cada uno debe tener 120°. Por regla del coseno
en la OAB tenemos
|v| 2 = 48 2 + 190 2 - 2.48.190.cos120°
|v| 2 = 47,524
|v| = 218
Entonces, |v| equivale a 218 kilómetros por hora. De acuerdo a regla de los senos
, en el mismo triángulo,
48
/senθ = 218
/pecado 120°,
o
senθ = 48.sen120°/218 ≈ 0,1907
θ ≈ 11°
Entonces, θ = 11°, redondeado al ángulo entero más cercano. La velocidad absoluta es de 218 km/h, y la dirección de su movimiento teniendo en cuenta el viento: 100° - 11°, o 89°.
Dado un vector w, podemos encontrar otros dos vectores u y v cuya suma es w. Los vectores u y v se llaman componentes w y el proceso de encontrarlos se llama descomposición , o la representación de un vector por sus componentes vectoriales.
Cuando expandimos un vector, normalmente buscamos componentes perpendiculares. Sin embargo, muy a menudo un componente será paralelo al eje x y el otro será paralelo al eje y. Por eso, a menudo se les llama horizontal
Y vertical
componentes vectoriales. En la siguiente figura, el vector w = se descompone como la suma de u = y v =. 
La componente horizontal de w es u y la componente vertical es v.
Ejemplo 4 El vector w tiene una magnitud de 130 y una pendiente de 40° con respecto a la horizontal. Descomponga el vector en componentes horizontales y verticales.
Solución Primero haremos un dibujo con los vectores horizontales y verticales u y v cuya suma es w. 
De ABC, encontramos |u| y |v|, usando las definiciones de coseno y seno:
cos40° = |u|/130, o |u| = 130.cos40° ≈ 100,
sen40° = |v|/130, o |v| = 130.sin40° ≈ 84.
Entonces, la componente horizontal de w es 100 hacia la derecha y la componente vertical de w es 84 hacia arriba.
La base del espacio. Llaman a un sistema de vectores en el que todos los demás vectores en el espacio se pueden representar como una combinación lineal de vectores incluidos en la base.
En la práctica, todo esto se implementa de forma bastante sencilla. La base, por regla general, se verifica en un plano o en el espacio, y para ello es necesario encontrar el determinante de una matriz de segundo y tercer orden compuesta de coordenadas vectoriales. A continuación se escriben esquemáticamente. Condiciones bajo las cuales los vectores forman una base.
A expandir el vector b en vectores de base
e,e...,e[n] es necesario encontrar los coeficientes x, ..., x[n] para los cuales la combinación lineal de los vectores e,e...,e[n] es igual a vector b:
x1*e+ ... + x[n]*e[n] = b.
Para hacer esto, la ecuación vectorial se debe convertir a un sistema de ecuaciones lineales y se deben encontrar soluciones. Esto también es bastante sencillo de implementar.
Los coeficientes encontrados x, ..., x[n] se denominan coordenadas del vector b en la base e,e...,e[n].
Pasemos al lado práctico del tema.
Descomposición de un vector en vectores base.
Tarea 1. Compruebe si los vectores a1, a2 forman una base en el plano.
1) a1 (3; 5), a2 (4; 2)
Solución: Componemos un determinante a partir de las coordenadas de los vectores y lo calculamos.
El determinante no es cero., por eso los vectores son linealmente independientes, lo que significa que forman una base.
2) a1 (2; -3), a2 (5; -1)
Solución: Calculamos el determinante formado por vectores. 
El determinante es igual a 13 (no igual a cero); de esto se deduce que los vectores a1, a2 son una base en el plano.
---=================---
Veamos ejemplos típicos del programa MAUP en la disciplina "Matemáticas superiores".
Tarea 2. Demuestre que los vectores a1, a2, a3 forman la base de un espacio vectorial tridimensional y expanda el vector b de acuerdo con esta base (use el método de Cramer al resolver un sistema de ecuaciones algebraicas lineales).
1) a1 (3; 1; 5), a2 (3; 2; 8), a3 (0; 1; 2), b (−3; 1; 2).
Solución: Primero, considere el sistema de vectores a1, a2, a3 y verifique el determinante de la matriz A.
construido sobre vectores distintos de cero. La matriz contiene un elemento cero, por lo que es más apropiado calcular el determinante como un gráfico en la primera columna o en la tercera fila. 
Como resultado de los cálculos, encontramos que el determinante es diferente de cero, por lo tanto los vectores a1, a2, a3 son linealmente independientes.
Por definición, los vectores forman una base en R3. Escribamos el cronograma del vector b basado en 
Los vectores son iguales cuando sus coordenadas correspondientes son iguales.
Por tanto, de la ecuación vectorial obtenemos un sistema de ecuaciones lineales. 
Resolvamos SLAE método de cramer. Para ello escribimos el sistema de ecuaciones en la forma
El determinante principal de un SLAE es siempre igual al determinante compuesto por vectores base.
Por tanto, en la práctica no se cuenta dos veces. Para encontrar determinantes auxiliares, colocamos una columna de términos libres en lugar de cada columna del determinante principal. Los determinantes se calculan usando la regla del triángulo. 
Sustituyamos los determinantes encontrados en la fórmula de Cramer. 
Entonces, la expansión del vector b en términos de la base tiene la forma b=-4a1+3a2-a3. Las coordenadas del vector b en la base a1, a2, a3 serán (-4,3, 1).
2)a1 (1; -5; 2), a2 (2; 3; 0), a3 (1; -1; 1), b (3; 5; 1).
Solución: Verificamos la base de los vectores: componemos un determinante a partir de las coordenadas de los vectores y lo calculamos. 
El determinante no es igual a cero, por lo tanto los vectores forman una base en el espacio. Queda por encontrar la tabla del vector b a través de esta base. Para hacer esto, escribimos la ecuación vectorial. 
y transformar a un sistema de ecuaciones lineales 
Escribimos la ecuación matricial.
A continuación, para las fórmulas de Cramer encontramos determinantes auxiliares. 
Aplicamos las fórmulas de Cramer. 
Entonces, un vector dado b tiene un recorrido a través de dos vectores base b=-2a1+5a3, y sus coordenadas en la base son iguales a b(-2,0, 5).
