La división se define como la inversa de la multiplicación.
Dividir un número por otro significa encontrar un tercer número que, multiplicado por el divisor, dará el dividendo en el producto:
Con base en esta definición, derivamos la regla de división para numeros racionales.
En primer lugar, señalemos de una vez por todas que el divisor no puede ser cero. La división por cero se excluye por la misma razón que se excluyó en aritmética.
El valor absoluto a es igual al producto de los valores absolutos y c. Esto significa que el valor absoluto de b es igual al valor absoluto de a dividido por valor absoluto
Definamos el signo del cociente s.
Si el dividendo y el divisor tienen signos idénticos, entonces el cociente es un número positivo. De hecho, si a y son positivos, entonces el cociente o también será un número positivo.
Ejemplo. porque
Si a y son negativos, entonces el cociente de c y en este caso debe ser positivo, ya que multiplicado por su número negativo debemos obtener un número negativo a.
Ejemplo. porque
Si el dividendo y el divisor tienen signos diferentes, entonces el cociente es un número negativo. En efecto, si a es positivo y a es negativo, entonces c debe ser negativo, ya que al multiplicar un número negativo por él debemos obtener un número positivo a.
Ejemplo. porque
Si a es negativo y a es positivo, entonces en este caso c debe ser un número negativo, ya que al multiplicar un número positivo por él debemos obtener un número negativo a.
Ejemplo. porque
Entonces llegamos a siguiente regla divisiones:
Para dividir una cosa por otra, es necesario dividir el valor absoluto del dividendo por el valor absoluto del divisor y poner un signo más delante del cociente, si el dividendo y el divisor tienen el mismo signo, y un signo menos. ,
si el dividendo y el divisor tienen signos opuestos.
Como ya hemos dicho, la división por cero es imposible, expliquemos esto con más detalle. Supongamos que necesitas dividir algunos igual a cero número, por ejemplo -3, por 0.
Si el número a es el cociente deseado, entonces multiplicándolo por el divisor, es decir, por 0, debemos obtener el dividendo, es decir, - 3. Pero el producto es igual a 0, y el dividendo - 3 no puede ser obtenido. De esto concluimos que el número
No puedes dividir 3 entre cero.
Sea el número 0 dividido por 0. Sea a el cociente requerido; multiplicando a por el divisor 0, obtenemos 0 en el producto para cualquier valor de a:
Así que no obtuvimos ninguna un cierto número: Cuando multiplicamos cualquier número por 0, obtenemos 0. Por tanto, dividir cero entre cero también se considera imposible.
Para los números racionales sigue vigente la siguiente propiedad básica del cociente:
El cociente de dos números no cambiará si el dividendo y el divisor se multiplican por el mismo número (distinto de cero).
Expliquemos esto con los siguientes ejemplos.
1. Considere el cociente, multiplique el dividendo y el divisor por - 4; entonces obtenemos un nuevo cociente
Entonces, en el nuevo cociente obtuvimos el mismo número 2.
2. Considere el cociente, multiplique el dividendo y el divisor por - luego obtenemos el siguiente cociente:
El cociente no ha cambiado ya que el resultado es el mismo número.
Solo porque para los números enteros necesitas calcular el signo del cociente. ¿Cómo calcular el signo del cociente de números enteros? Veámoslo en detalle en el tema.
Términos y conceptos de cociente de números enteros.
Para realizar la división de números enteros, es necesario recordar términos y conceptos. En la división existe: el dividendo, el divisor y el cociente de números enteros.
Dividendo es el número entero que se está dividiendo. Divisor es el número entero por el que se está dividiendo. Privado es el resultado de dividir números enteros.
Puedes decir “División de números enteros” o “Cociente de números enteros” el significado de estas frases es el mismo, es decir, necesitas dividir un número entero por otro y obtener la respuesta.
La división se origina a partir de la multiplicación. Veamos un ejemplo:
Tenemos dos factores 3 y 4. Pero digamos que sabemos que hay un factor 3 y el resultado de multiplicar los factores es su producto 12. ¿Cómo encontrar el segundo factor? La división viene al rescate.
Regla para dividir números enteros.
Definición:
Cociente de dos números enteros es igual al cociente de sus módulos, con signo más como resultado si los números tienen el mismo signo, y con signo menos si tienen signo diferente.
Es importante considerar el signo del cociente de números enteros. Breves reglas para dividir números enteros:
Más sobre más da más.
“+ : + = +”
Dos negativos hacen una afirmativa.
“– : – =+”
Menos más más da menos.
“– : + = –”
Más multiplicado por menos da menos.
“+ : – = –”
Ahora veamos en detalle cada punto de la regla para dividir números enteros.
División de números enteros positivos.
Recuerde que los números enteros positivos son lo mismo que los números naturales. Usamos las mismas reglas que para la división. números naturales. El signo del cociente para dividir números enteros positivos es siempre más. En otras palabras, al dividir dos números enteros “ más en más da más”.
Ejemplo:
Divide 306 entre 3.
Solución:
Ambos números tienen un signo “+”, por lo que la respuesta será un signo “+”.
306:3=102
Respuesta: 102.
Ejemplo:
Divida el dividendo 220286 por el divisor 589.
Solución:
El dividendo de 220286 y el divisor de 589 tienen signo más, por lo que el cociente también tendrá signo más.
220286:589=374
Respuesta: 374
Dividir números enteros negativos.
La regla para dividir dos números negativos.
Tengamos dos enteros negativos a y b. Necesitamos encontrar sus módulos y realizar la división.
El resultado de la división o el cociente de dos números enteros negativos tendrá signo “+”. o "dos negativos hacen una afirmativa".
Veamos un ejemplo:
Encuentra el cociente -900:(-12).
Solución:
-900:(-12)=|-900|:|-12|=900:12=75
Respuesta: -900:(-12)=75
Ejemplo:
Divide un entero negativo -504 por un segundo entero negativo -14.
Solución:
-504:(-14)=|-504|:|-14|=504:14=34
La expresión se puede escribir más brevemente:
-504:(-14)=34
División de números enteros de diferente signo. Reglas y ejemplos.
Al ejecutar dividir números enteros con diferentes signos , el cociente será igual a un número negativo.
Ya sea que un entero positivo se divida por un entero negativo o un entero negativo se divida por un entero positivo, el resultado de la división siempre será igual a un número negativo.
Menos más más da menos.
Más multiplicado por menos da menos.
Ejemplo:
Encuentra el cociente de dos números enteros con signos diferentes -2436:42.
Solución:
-2436:42=-58
Ejemplo:
Calcula la división 4716:(-524).
Solución:
4716:(-524)=-9
Cero dividido por un número entero. Regla.
Cuando se divide cero por un número entero, la respuesta es cero.
Ejemplo:
Realizar la división 0:558.
Solución:
0:558=0
Ejemplo:
Divide cero por el entero negativo -4009.
Solución:
0:(-4009)=0
No se puede dividir por cero.
No se puede dividir 0 entre 0.
Comprobación de división parcial de números enteros.
Como se dijo anteriormente, la división y la multiplicación están estrechamente relacionadas. Por lo tanto, para comprobar el resultado de dividir dos números enteros, es necesario multiplicar el divisor y el cociente, lo que da como resultado el dividendo.
Verificar el resultado de la división es una fórmula corta:
Divisor ∙ Cociente = Dividendo
Veamos un ejemplo:
Realizar división y comprobar 1888:(-32).
Solución:
Presta atención a los signos de los números enteros. El número 1888 es positivo y tiene un signo “+”. El número (-32) es negativo y tiene un signo “-”. Por tanto, al dividir dos números enteros de diferente signo, el resultado será un número negativo.
1888:(-32)=-59
Ahora verifiquemos la respuesta encontrada:
1888 – divisible,
-32 – divisor,
-59 – privado,
Multiplicamos el divisor por el cociente.
-32∙(-59)=1888
Los números en la división están ordenados de la siguiente manera: el dividendo está en primer lugar, el divisor está en segundo y el cociente está después del signo igual.
Dividendo: divisor = cociente.
Denotemos todos los números desconocidos con letras.
Sea el dividendo igual a a, el divisor igual a b y el cociente igual a c.
Según la condición, el producto (es decir, la multiplicación) del dividendo, el divisor y el cociente es igual a 3136. Creemos una ecuación.
- a*b*c = 3136.
- Como c es igual a a/b, reemplazamos la letra c con la fracción a/b.
- a * b * a/b = 3136.
- La variable in se reduce, quedando a * a = 3136 o a 2 = 3136.
- Usando la tabla de cuadrados encontramos el valor de a, a es igual a 56.
El dividendo es 56. Resulta la siguiente ecuación: 56: pulgadas = c
Expresemos el dividendo conocido en términos de variables desconocidas.
Para encontrar el dividendo, debes multiplicar el divisor y el cociente, es decir, 56 = in * s.
Por condición, todos los números participantes son números naturales, es decir, enteros positivos. Como sabemos, 56 es igual al producto de sólo dos números enteros: 7 y 8.
Esto da como resultado dos expresiones:
Esto significa que el cociente (el número después del signo igual) sólo puede ser igual a 7 u 8.
Respuesta: El cociente puede ser 7 u 8.
Denotemos el dividendo por x y el divisor por y.
Entonces el cociente de dividir estos dos números será igual a x/y.
Según las condiciones del problema, el producto del dividendo, divisor y cociente es igual a 3136, por tanto, podemos escribir la siguiente relación:
x * y * (x/y) = 3136.
Simplificando la relación resultante, obtenemos:
Según las condiciones del problema, el dividendo, el divisor y el cociente son números naturales, por tanto, el valor x = -56 no es adecuado.
Descompongamos el número 56 en un producto de factores primos:
56 = 2 * 28 = 2 * 2 * 14 = 2 * 2 * 2 * 7.
Enumeremos todos los posibles divisores del número 56 cuyo cociente es un número natural.
Divisor 1, cociente 56;
divisor 2, cociente 28;
divisor 4, cociente 14;
divisor 8, cociente 7;
divisor 7, cociente 8;
divisor 14, cociente 4;
divisor 28, cociente 2.
divisor 56, cociente 1.
Respuesta: el cociente puede tomar los valores 1, 2, 4, 8, 7, 14, 28, 56.
La función a n =f (n) del argumento natural n (n=1; 2; 3; 4;...) se llama secuencia numérica.
Números un 1; un 2 ; un 3 ; a 4 ;…, que forman una secuencia, se llaman miembros de una secuencia numérica. Entonces a 1 =f (1); a 2 = f (2); a 3 = f (3); a 4 = f (4);…
Entonces, los miembros de la secuencia se designan con letras que indican índices: números de serie sus miembros: a 1 ; un 2 ; un 3 ; a 4 ;…, por lo tanto, a 1 es el primer miembro de la secuencia;
un 2 es el segundo término de la secuencia;
un 3 es el tercer miembro de la secuencia;
un 4 es el cuarto término de la secuencia, etc.
Brevemente la secuencia numérica se escribe de la siguiente manera: a n =f (n) o (a n).
Existen las siguientes formas de especificar una secuencia numérica:
1) Método verbal. Representa un patrón o regla para la disposición de los miembros de una secuencia, descrito con palabras.
Ejemplo 1. Escribe una secuencia de todos. números no negativos, múltiplos de 5.
Solución. Como todos los números que terminan en 0 o 5 son divisibles por 5, la secuencia se escribirá así:
0; 5; 10; 15; 20; 25; ...
Ejemplo 2. Dada la secuencia: 1; 4; 9; 16; 25; 36; ... . Pregúntalo verbalmente.
Solución. Observamos que 1=1 2 ; 4=2 2 ; 9=3 2 ; 16=4 2 ; 25=5 2 ; 36=6 2 ; ... Concluimos: dada una secuencia formada por cuadrados de números naturales.
2) Método analítico. La secuencia viene dada por la fórmula del enésimo término: a n =f (n). Usando esta fórmula, puedes encontrar cualquier miembro de la secuencia.
Ejemplo 3. Se conoce la expresión para el k-ésimo término de una secuencia numérica: a k = 3+2·(k+1). Calcula los primeros cuatro términos de esta secuencia.
a 1 =3+2∙(1+1)=3+4=7;
a 2 =3+2∙(2+1)=3+6=9;
a 3 =3+2∙(3+1)=3+8=11;
a 4 =3+2∙(4+1)=3+10=13.
Ejemplo 4. Determine la regla para componer una secuencia numérica usando sus primeros miembros y exprese el término general de la secuencia usando una fórmula más simple: 1; 3; 5; 7; 9; ... .
Solución. Notamos que nos dan una secuencia de números impares. Cualquier número impar se puede escribir en la forma: 2k-1, donde k es un número natural, es decir k=1; 2; 3; 4; ... . Respuesta: a k = 2k-1.
3) Método recurrente. La secuencia también está dada por una fórmula, pero no por una fórmula. miembro general, dependiendo únicamente del número de miembro. Se especifica una fórmula mediante la cual cada término siguiente se encuentra a través de los términos anteriores. En el caso del método recurrente de especificar una función, siempre se especifican adicionalmente uno o varios primeros miembros de la secuencia.
Ejemplo 5. Escribe los primeros cuatro términos de la secuencia (a n ),
si un 1 =7; un norte+1 = 5+un norte .
un 2 =5+un 1 =5+7=12;
a 3 =5+a 2 =5+12=17;
a 4 =5+a 3 =5+17=22. Respuesta: 7; 12; 17; 22; ... .
Ejemplo 6. Escribe los primeros cinco términos de la secuencia (b n),
si b 1 = -2, b 2 = 3; segundo norte+2 = 2b norte + segundo norte+1 .
segundo 3 = 2∙b 1 + segundo 2 = 2∙(-2) + 3 = -4+3=-1;
segundo 4 = 2∙b 2 + segundo 3 = 2∙3 +(-1) = 6 -1 = 5;
segundo 5 = 2∙b 3 + segundo 4 = 2∙(-1) + 5 = -2 +5 = 3. Respuesta: -2; 3; -1; 5; 3; ... .
4) Método gráfico. La secuencia numérica está dada por un gráfico, que representa puntos aislados. Las abscisas de estos puntos son números naturales: n=1; 2; 3; 4; ... . Las ordenadas son los valores de los miembros de la secuencia: a 1 ; un 2 ; un 3 ; un 4 ;… .
Ejemplo 7. Escriba gráficamente los cinco términos de la secuencia numérica dada.
Cada punto en este plano de coordenadas tiene coordenadas (n; a n). Anotamos las coordenadas de los puntos marcados en orden ascendente de abscisa n.
Obtenemos: (1; -3), (2; 1), (3; 4), (4; 6), (5; 7).
Por tanto, a 1 = -3; un 2 =1; un 3 =4; un 4 =6; un 5 = 7.
Respuesta: -3; 1; 4; 6; 7.
Revisado secuencia numérica como función (en el ejemplo 7) está dada sobre el conjunto de los primeros cinco números naturales (n=1; 2; 3; 4; 5), por lo tanto, es secuencia de números finitos(consta de cinco miembros).
Si se da una secuencia numérica como función para todo el conjunto de números naturales, entonces dicha secuencia será una secuencia numérica infinita.
