Teoría confiable. Espacio de resultados elementales

“Los accidentes no son accidentales”... Parece algo que dijo un filósofo, pero en realidad, estudiar la aleatoriedad es el destino de la gran ciencia de las matemáticas. En matemáticas, el azar se aborda mediante la teoría de la probabilidad. En el artículo se presentarán fórmulas y ejemplos de tareas, así como las principales definiciones de esta ciencia.

¿Qué es la teoría de la probabilidad?

La teoría de la probabilidad es una de las disciplinas matemáticas que estudia eventos aleatorios.

Para que quede un poco más claro, pongamos un pequeño ejemplo: si lanzas una moneda hacia arriba, puede caer en cara o cruz. Mientras la moneda está en el aire, ambas probabilidades son posibles. Es decir, la probabilidad de posibles consecuencias es 1:1. Si se extrae uno de una baraja de 36 cartas, la probabilidad se indicará como 1:36. Parecería que aquí no hay nada que explorar y predecir, especialmente con la ayuda de fórmulas matemáticas. Sin embargo, si repites una determinada acción muchas veces, puedes identificar un patrón determinado y, basándose en él, predecir el resultado de eventos en otras condiciones.

Para resumir todo lo anterior, la teoría de la probabilidad en el sentido clásico estudia la posibilidad de que ocurra uno de los posibles eventos en un valor numérico.

De las páginas de la historia

La teoría de la probabilidad, las fórmulas y los ejemplos de las primeras tareas aparecieron en la lejana Edad Media, cuando surgieron por primera vez los intentos de predecir el resultado de los juegos de cartas.

Inicialmente, la teoría de la probabilidad no tenía nada que ver con las matemáticas. Estaba justificado por hechos empíricos o propiedades de un evento que podría reproducirse en la práctica. Los primeros trabajos en este ámbito como disciplina matemática aparecieron en el siglo XVII. Los fundadores fueron Blaise Pascal y Pierre Fermat. Estudiaron los juegos de azar durante mucho tiempo y vieron ciertos patrones que decidieron comunicar al público.

La misma técnica fue inventada por Christiaan Huygens, aunque no estaba familiarizado con los resultados de las investigaciones de Pascal y Fermat. Él introdujo el concepto de "teoría de la probabilidad", fórmulas y ejemplos, que se consideran los primeros en la historia de la disciplina.

No poca importancia también son los trabajos de Jacob Bernoulli, los teoremas de Laplace y Poisson. Hicieron que la teoría de la probabilidad se pareciera más a una disciplina matemática. La teoría de la probabilidad, las fórmulas y los ejemplos de tareas básicas recibieron su forma actual gracias a los axiomas de Kolmogorov. Como resultado de todos los cambios, la teoría de la probabilidad se convirtió en una de las ramas matemáticas.

Conceptos básicos de la teoría de la probabilidad. Eventos

El concepto principal de esta disciplina es “evento”. Hay tres tipos de eventos:

• Confiable. Las que sucederán de todos modos (la moneda caerá).
• Imposible. Eventos que no sucederán bajo ningún concepto (la moneda quedará suspendida en el aire).
• Aleatorio. Los que sucederán o no sucederán. Pueden verse influenciados por varios factores que son muy difíciles de predecir. Si hablamos de una moneda, entonces existen factores aleatorios que pueden afectar el resultado: las características físicas de la moneda, su forma, su posición original, la fuerza del lanzamiento, etc.

Todos los eventos de los ejemplos se indican en letras latinas mayúsculas, a excepción de la P, que tiene una función diferente. Por ejemplo:

• A = "los estudiantes vinieron a dar una conferencia".
• Â = “los estudiantes no asistieron a la conferencia”.

En las tareas prácticas, los acontecimientos suelen escribirse con palabras.

Una de las características más importantes de los eventos es su igualdad de posibilidades. Es decir, si lanzas una moneda, todas las opciones para la caída inicial son posibles hasta que caiga. Pero los acontecimientos tampoco son igualmente posibles. Esto sucede cuando alguien influye deliberadamente en un resultado. Por ejemplo, naipes o dados "marcados", en los que se desplaza el centro de gravedad.

Los eventos también pueden ser compatibles e incompatibles. Los eventos compatibles no excluyen la ocurrencia del otro. Por ejemplo:

• A = “el estudiante vino a la conferencia”.
• B = "el estudiante vino a la conferencia".

Estos eventos son independientes entre sí y la ocurrencia de uno de ellos no afecta la ocurrencia del otro. Los eventos incompatibles se definen por el hecho de que la ocurrencia de uno excluye la ocurrencia de otro. Si hablamos de la misma moneda, entonces la pérdida de “cruces” imposibilita la aparición de “caras” en el mismo experimento.

Acciones sobre eventos

Los eventos se pueden multiplicar y sumar; en consecuencia, se introducen en la disciplina los conectivos lógicos "Y" y "O".

La cantidad está determinada por el hecho de que el evento A o B, o dos, pueden ocurrir simultáneamente. Si son incompatibles, la última opción es imposible; se lanzará A o B.

La multiplicación de eventos consiste en la aparición de A y B al mismo tiempo.

Ahora podemos dar varios ejemplos para recordar mejor los conceptos básicos, la teoría de la probabilidad y las fórmulas. Ejemplos de resolución de problemas a continuación.

Ejercicio 1: La empresa participa en un concurso para recibir contratos para tres tipos de trabajos. Posibles eventos que pueden ocurrir:

• A = “la empresa recibirá el primer contrato”.
• A 1 = “la empresa no recibirá el primer contrato”.
• B = “la empresa recibirá un segundo contrato”.
• B 1 = “la empresa no recibirá un segundo contrato”
• C = “la empresa recibirá un tercer contrato”.
• C 1 = “la empresa no recibirá un tercer contrato”.

Utilizando acciones sobre eventos, intentaremos expresar las siguientes situaciones:

• K = “la empresa recibirá todos los contratos”.

En forma matemática, la ecuación tendrá la siguiente forma: K = ABC.

• M = “la empresa no recibirá ni un solo contrato”.

METRO = A 1 B 1 C 1.

Compliquemos la tarea: H = “la empresa recibirá un contrato”. Como no se sabe qué contrato recibirá la empresa (primero, segundo o tercero), es necesario registrar toda la serie de posibles eventos:

H = A 1 antes de Cristo 1 υ AB 1 C 1 υ A 1 B 1 C.

Y 1 aC 1 es una serie de eventos donde la empresa no recibe el primer y tercer contrato, pero recibe el segundo. Otros posibles eventos se registraron utilizando el método apropiado. El símbolo υ en la disciplina denota el conectivo “O”. Si traducimos el ejemplo anterior al lenguaje humano, la empresa recibirá el tercer contrato, el segundo o el primero. De manera similar, puedes escribir otras condiciones en la disciplina "Teoría de la probabilidad". Las fórmulas y ejemplos de resolución de problemas presentados anteriormente le ayudarán a hacerlo usted mismo.

En realidad, la probabilidad

Quizás, en esta disciplina matemática, la probabilidad de un evento sea el concepto central. Hay 3 definiciones de probabilidad:

• clásico;
• estadístico;
• geométrico.

Cada uno tiene su lugar en el estudio de la probabilidad. La teoría de la probabilidad, las fórmulas y los ejemplos (noveno grado) utilizan principalmente la definición clásica, que suena así:

• La probabilidad de la situación A es igual a la relación entre el número de resultados que favorecen su ocurrencia y el número de todos los resultados posibles.

La fórmula se ve así: P(A)=m/n.

A es en realidad un evento. Si aparece un caso opuesto a A, se puede escribir como  o A 1 .

m es el número de posibles casos favorables.

n - todos los eventos que pueden suceder.

Por ejemplo, A = “robar una carta del palo del corazón”. Hay 36 cartas en una baraja estándar, 9 de ellas son de corazones. En consecuencia, la fórmula para resolver el problema será la siguiente:

P(A)=9/36=0,25.

Como resultado, la probabilidad de que se extraiga una carta del palo de corazón de la baraja será de 0,25.

Hacia las matemáticas superiores

Ahora se sabe poco qué es la teoría de la probabilidad, fórmulas y ejemplos de resolución de problemas que se encuentran en el currículo escolar. Sin embargo, la teoría de la probabilidad también se encuentra en las matemáticas superiores, que se enseñan en las universidades. La mayoría de las veces operan con definiciones geométricas y estadísticas de la teoría y fórmulas complejas.

La teoría de la probabilidad es muy interesante. Es mejor empezar a estudiar fórmulas y ejemplos (matemáticas superiores) poco a poco, con una definición estadística (o frecuencial) de probabilidad.

El enfoque estadístico no contradice el clásico, sino que lo amplía ligeramente. Si en el primer caso fue necesario determinar con qué probabilidad ocurrirá un evento, entonces en este método es necesario indicar con qué frecuencia ocurrirá. Aquí se introduce un nuevo concepto de “frecuencia relativa”, que puede denotarse por W n (A). La fórmula no se diferencia de la clásica:

Si se calcula la fórmula clásica para la predicción, entonces la estadística se calcula de acuerdo con los resultados del experimento. Tomemos, por ejemplo, una pequeña tarea.

El departamento de control tecnológico comprueba la calidad de los productos. Entre 100 productos, se encontró que 3 eran de mala calidad. ¿Cómo encontrar la probabilidad de frecuencia de un producto de calidad?

A = “la apariencia de un producto de calidad”.

Wn(A)=97/100=0,97

Así, la frecuencia de un producto de calidad es 0,97. ¿De dónde sacaste 97? De 100 productos revisados, se encontró que 3 eran de mala calidad. Restamos 3 de 100 y obtenemos 97, esta es la cantidad de bienes de calidad.

Un poco de combinatoria

Otro método de la teoría de la probabilidad se llama combinatoria. Su principio básico es que si una determinada elección A se puede hacer de m maneras diferentes, y una elección B se puede hacer de n maneras diferentes, entonces la elección de A y B se puede hacer mediante multiplicación.

Por ejemplo, hay 5 caminos que van de la ciudad A a la ciudad B. Hay 4 caminos desde la ciudad B a la ciudad C. ¿De cuántas maneras se puede llegar de la ciudad A a la ciudad C?

Es simple: 5x4=20, es decir, de veinte maneras diferentes puedes llegar del punto A al punto C.

Compliquemos la tarea. ¿Cuántas formas hay de distribuir las cartas en solitario? Hay 36 cartas en la baraja; este es el punto de partida. Para saber la cantidad de formas, debes "restar" una tarjeta a la vez desde el punto de partida y multiplicar.

Es decir, 36x35x34x33x32...x2x1= el resultado no cabe en la pantalla de la calculadora, por lo que simplemente se puede designar como 36!. Firmar "!" al lado del número indica que toda la serie de números se multiplica.

En combinatoria existen conceptos como permutación, colocación y combinación. Cada uno de ellos tiene su propia fórmula.

Un conjunto ordenado de elementos de un conjunto se llama arreglo. Las ubicaciones se pueden repetir, es decir, un elemento se puede utilizar varias veces. Y sin repetición, cuando no se repiten elementos. n son todos los elementos, m son elementos que participan en la colocación. La fórmula para la colocación sin repetición se verá así:

A n m = n!/(n-m)!

Las conexiones de n elementos que difieren sólo en el orden de colocación se denominan permutaciones. En matemáticas se ve así: P n = n!

Las combinaciones de n elementos de m son aquellos compuestos en los que es importante qué elementos eran y cuál es su número total. La fórmula se verá así:

A n m =n!/m!(n-m)!

La fórmula de Bernoulli.

En la teoría de la probabilidad, como en toda disciplina, existen trabajos de investigadores destacados en su campo que la han llevado a un nuevo nivel. Uno de estos trabajos es la fórmula de Bernoulli, que permite determinar la probabilidad de que ocurra un determinado evento en condiciones independientes. Esto sugiere que la ocurrencia de A en un experimento no depende de la ocurrencia o no ocurrencia del mismo evento en ensayos anteriores o posteriores.

La ecuación de Bernoulli:

P norte (m) = C norte m ×p m ×q n-m.

La probabilidad (p) de que ocurra el evento (A) es constante para cada prueba. La probabilidad de que la situación ocurra exactamente m veces en n número de experimentos se calculará mediante la fórmula presentada anteriormente. En consecuencia, surge la pregunta de cómo averiguar el número q.

Si el evento A ocurre p número de veces, entonces es posible que no ocurra. La unidad es un número que se utiliza para designar todos los resultados de una situación en una disciplina. Por tanto, q es un número que denota la posibilidad de que un evento no ocurra.

Ahora conoces la fórmula de Bernoulli (teoría de la probabilidad). Consideraremos ejemplos de resolución de problemas (primer nivel) a continuación.

Tarea 2: Un visitante de la tienda realizará una compra con una probabilidad de 0,2. 6 visitantes entraron de forma independiente a la tienda. ¿Cuál es la probabilidad de que un visitante realice una compra?

Solución: Como se desconoce cuántos visitantes deberían realizar una compra, uno o los seis, es necesario calcular todas las probabilidades posibles utilizando la fórmula de Bernoulli.

A = "el visitante realizará una compra".

En este caso: p = 0,2 (como se indica en la tarea). En consecuencia, q=1-0,2 = 0,8.

n = 6 (ya que hay 6 clientes en la tienda). El número m variará de 0 (ningún cliente realizará una compra) a 6 (todos los visitantes de la tienda comprarán algo). Como resultado obtenemos la solución:

P 6 (0) = C 0 6 ×p 0 ×q 6 =q 6 = (0,8) 6 = 0,2621.

Ninguno de los compradores realizará una compra con probabilidad de 0,2621.

¿De qué otra manera se utiliza la fórmula de Bernoulli (teoría de la probabilidad)? Ejemplos de resolución de problemas (segundo nivel) a continuación.

Después del ejemplo anterior, surgen preguntas sobre adónde fueron C y r. En relación con p, un número elevado a 0 será igual a uno. En cuanto a C, se puede encontrar mediante la fórmula:

C norte metro = norte! /m!(n-m)!

Ya que en el primer ejemplo m = 0, respectivamente, C = 1, lo que en principio no afecta el resultado. Usando la nueva fórmula, intentemos averiguar cuál es la probabilidad de que dos visitantes compren productos.

P 6 (2) = C 6 2 ×p 2 ×q 4 = (6×5×4×3×2×1) / (2×1×4×3×2×1) × (0,2) 2 × ( 0,8) 4 = 15 × 0,04 × 0,4096 = 0,246.

La teoría de la probabilidad no es tan complicada. La fórmula de Bernoulli, cuyos ejemplos se presentan anteriormente, es una prueba directa de ello.

la fórmula de poisson

La ecuación de Poisson se utiliza para calcular situaciones aleatorias de baja probabilidad.

Fórmula básica:

Pn(m)=λm/m! × mi (-λ) .

En este caso λ = n x p. Aquí hay una fórmula simple de Poisson (teoría de la probabilidad). Consideraremos ejemplos de resolución de problemas a continuación.

Tarea 3: La fábrica produjo 100.000 piezas. Aparición de una pieza defectuosa = 0,0001. ¿Cuál es la probabilidad de que haya 5 piezas defectuosas en un lote?

Como puede ver, el matrimonio es un evento poco probable y, por lo tanto, se utiliza la fórmula de Poisson (teoría de la probabilidad) para el cálculo. Los ejemplos de resolución de problemas de este tipo no se diferencian de otras tareas de la disciplina; sustituimos los datos necesarios en la fórmula dada:

A = “una pieza seleccionada al azar será defectuosa”.

p = 0,0001 (según las condiciones de la tarea).

n = 100000 (número de piezas).

m = 5 (piezas defectuosas). Sustituimos los datos en la fórmula y obtenemos:

¡100.000 rands (5) = 10 5/5! X e -10 = 0,0375.

Al igual que la fórmula de Bernoulli (teoría de la probabilidad), cuyos ejemplos de soluciones están escritos arriba, la ecuación de Poisson tiene una e desconocida. De hecho, se puede encontrar mediante la fórmula:

mi -λ = lim norte ->∞ (1-λ/n) norte .

Sin embargo, existen tablas especiales que contienen casi todos los valores de e.

Teorema de De Moivre-Laplace

Si en el esquema de Bernoulli el número de ensayos es suficientemente grande y la probabilidad de que ocurra el evento A en todos los esquemas es la misma, entonces la probabilidad de que ocurra el evento A un cierto número de veces en una serie de pruebas se puede encontrar mediante Fórmula de Laplace:

Р n (m)= 1/√npq x ϕ(X m).

X m = m-np/√npq.

Para recordar mejor la fórmula de Laplace (teoría de la probabilidad), a continuación se incluyen ejemplos de problemas que le ayudarán.

Primero, encontremos X m, sustituyamos los datos (todos están enumerados arriba) en la fórmula y obtenemos 0,025. Usando tablas encontramos el número ϕ(0,025), cuyo valor es 0,3988. Ahora puedes sustituir todos los datos en la fórmula:

P 800 (267) = 1/√(800 x 1/3 x 2/3) x 0,3988 = 3/40 x 0,3988 = 0,03.

Por tanto, la probabilidad de que el volante funcione exactamente 267 veces es 0,03.

fórmula de bayes

La fórmula de Bayes (teoría de la probabilidad), cuyos ejemplos de resolución de problemas se darán a continuación, es una ecuación que describe la probabilidad de un evento en función de las circunstancias que podrían estar asociadas con él. La fórmula básica es la siguiente:

P (A|B) = P (B|A) x P (A) / P (B).

A y B son eventos definidos.

P(A|B) es una probabilidad condicional, es decir, el evento A puede ocurrir siempre que el evento B sea verdadero.

P (B|A) - probabilidad condicional del evento B.

Entonces, la parte final del curso corto "Teoría de la probabilidad" es la fórmula de Bayes, cuyos ejemplos de soluciones a problemas se encuentran a continuación.

Tarea 5: Se llevaron al almacén teléfonos de tres empresas. Al mismo tiempo, la proporción de teléfonos fabricados en la primera planta es del 25%, en la segunda del 60% y en la tercera del 15%. También se sabe que el porcentaje medio de productos defectuosos en la primera fábrica es del 2%, en la segunda del 4% y en la tercera del 1%. Necesita encontrar la probabilidad de que un teléfono seleccionado al azar esté defectuoso.

A = "teléfono elegido al azar".

B 1: el teléfono que produjo la primera fábrica. En consecuencia, aparecerán las introductorias B 2 y B 3 (para la segunda y tercera fábrica).

Como resultado obtenemos:

P(B1) = 25%/100% = 0,25; P(B2) = 0,6; P (B 3) = 0,15: así encontramos la probabilidad de cada opción.

Ahora necesita encontrar las probabilidades condicionales del evento deseado, es decir, la probabilidad de productos defectuosos en las empresas:

P (A/B 1) = 2%/100% = 0,02;

P(A/B2) = 0,04;

P(A/B3) = 0,01.

Ahora sustituyamos los datos en la fórmula de Bayes y obtenemos:

P(A) = 0,25 x 0,2 + 0,6 x 0,4 + 0,15 x 0,01 = 0,0305.

El artículo presenta la teoría de la probabilidad, fórmulas y ejemplos de resolución de problemas, pero esto es sólo la punta del iceberg de una vasta disciplina. Y después de todo lo que se ha escrito, será lógico preguntarse si la teoría de la probabilidad es necesaria en la vida. Es difícil para una persona común responder; es mejor preguntarle a alguien que lo ha usado para ganar el premio mayor más de una vez.

La doctrina de las leyes que rigen los llamados. fenómenos aleatorios. Diccionario de palabras extranjeras incluidas en el idioma ruso. Chudinov A.N., 1910 ... Diccionario de palabras extranjeras de la lengua rusa.

teoría de probabilidad- - [L.G. Diccionario inglés-ruso sobre tecnologías de la información. M.: State Enterprise TsNIIS, 2003.] Temas tecnología de la información en general EN teoría de la probabilidad teoría de las posibilidadescálculo de probabilidad ... Guía del traductor técnico

Teoría de probabilidad- es una parte de las matemáticas que estudia las relaciones entre las probabilidades (ver Probabilidad y Estadística) de varios eventos. Enumeremos los teoremas más importantes relacionados con esta ciencia. La probabilidad de que ocurra uno de varios eventos incompatibles es igual a... ... Diccionario enciclopédico F.A. Brockhaus y I.A. Efrón

TEORÍA DE PROBABILIDAD- matemático una ciencia que permite, a partir de las probabilidades de algunos eventos aleatorios (ver), encontrar las probabilidades de eventos aleatorios asociados con k.l. camino con los primeros. Televisión moderna. basado en la axiomática (ver Método axiomático) de A. N. Kolmogorov. Sobre el… … Enciclopedia sociológica rusa

Teoría de probabilidad- una rama de las matemáticas en la que, a partir de las probabilidades dadas de algunos eventos aleatorios, se encuentran las probabilidades de otros eventos relacionados de alguna manera con el primero. La teoría de la probabilidad también estudia variables aleatorias y procesos aleatorios. Uno de los principales... ... Conceptos de las ciencias naturales modernas. Glosario de términos básicos

teoría de probabilidad- tikimybių teorija statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. teoría de la probabilidad vok. Wahrscheinlichkeitstheorie, frus. teoría de la probabilidad, f pranc. teoría de las probabilidades, f … Fizikos terminų žodynas

Teoría de probabilidad- ...Wikipedia

Teoría de probabilidad- una disciplina matemática que estudia los patrones de fenómenos aleatorios... Los inicios de las ciencias naturales modernas.

TEORÍA DE PROBABILIDAD- (teoría de la probabilidad) ver Probabilidad... Gran diccionario sociológico explicativo.

Teoría de la probabilidad y sus aplicaciones.- (“Teoría de la probabilidad y sus aplicaciones”) revista científica del Departamento de Matemáticas de la Academia de Ciencias de la URSS. Publica artículos originales y comunicaciones breves sobre teoría de la probabilidad, cuestiones generales de la estadística matemática y sus aplicaciones en las ciencias naturales y... ... Gran enciclopedia soviética

Libros

• Teoría de probabilidad. , Ventzel E.S.. El libro es un libro de texto destinado a personas familiarizadas con las matemáticas en el marco de un curso universitario regular y interesadas en las aplicaciones técnicas de la teoría de la probabilidad, en... Compra por 1993 UAH (sólo en Ucrania)
• Teoría de probabilidad. , Ventzel E.S.. Este libro se producirá de acuerdo con su pedido utilizando la tecnología Print-on-Demand. El libro es un libro de texto destinado a personas familiarizadas con las matemáticas en el ámbito ordinario...

Mamá lavó el marco

Al final de las largas vacaciones de verano, es hora de regresar lentamente a las matemáticas superiores y abrir solemnemente el archivo Verdov vacío para comenzar a crear una nueva sección: . Lo admito, las primeras líneas no son fáciles, pero el primer paso es la mitad del camino, por lo que sugiero que todos estudien detenidamente el artículo introductorio, después de lo cual dominar el tema será 2 veces más fácil. No estoy exagerando en absoluto. …En vísperas del próximo 1 de septiembre, recuerdo el primer grado y la primaria…. Las letras forman sílabas, las sílabas forman palabras, las palabras forman oraciones cortas: mamá lavó el marco. ¡Dominar la estadística matemática y de Turver es tan fácil como aprender a leer! Sin embargo, para ello es necesario conocer los términos, conceptos y designaciones clave, así como algunas reglas específicas, que son el tema de esta lección.

Pero primero, acepte mis felicitaciones por el inicio (continuación, finalización, marca según corresponda) del año escolar y acepte el regalo. El mejor regalo es un libro, y para el trabajo independiente recomiendo la siguiente literatura:

1) Gmurman V.E. Teoría de la probabilidad y estadística matemática

Un libro de texto legendario que ha pasado por más de diez reimpresiones. Se distingue por su inteligibilidad y presentación extremadamente simple del material, y creo que los primeros capítulos ya son completamente accesibles para los estudiantes de los grados 6-7.

2) Gmurman V.E. Guía para la resolución de problemas de teoría de la probabilidad y estadística matemática.

Un libro de soluciones del mismo Vladimir Efimovich con ejemplos y problemas detallados.

NECESARIAMENTE¡Descarga ambos libros de Internet o consigue sus originales en papel! También funcionará la versión de los años 60 y 70, lo que es aún mejor para los tontos. Aunque la frase "teoría de la probabilidad para tontos" suena bastante ridícula, ya que casi todo se limita a operaciones aritméticas elementales. Sin embargo, se saltan en algunos lugares. derivados Y integrales, pero esto es sólo en algunos lugares.

Intentaré lograr la misma claridad de presentación, pero debo advertir que mi curso está dirigido a resolución de problemas y los cálculos teóricos se mantienen al mínimo. Por lo tanto, si necesita una teoría detallada, pruebas de teoremas (¡teoremas-teoremas!), consulte el libro de texto. Bueno quien quiere aprender a resolver problemas en teoría de la probabilidad y estadística matemática en el menor tiempo posible, ¡sígueme!

Eso es suficiente para empezar =)

A medida que lea los artículos, es recomendable familiarizarse (al menos brevemente) con tareas adicionales de los tipos considerados. En la pagina Soluciones listas para usar para matemáticas superiores Se publicarán los correspondientes pdf con ejemplos de soluciones. También se proporcionará una importante ayuda IDZ 18.1 Ryabushko(más simple) y IDZ resuelto según la colección de Chudesenko(más difícil).

1) Cantidad dos eventos y el evento se llama cual es que sucederá o evento o evento o ambos eventos al mismo tiempo. En el caso de que los acontecimientos incompatible, la última opción desaparece, es decir, puede ocurrir o evento o evento .

La regla también se aplica a un mayor número de términos, por ejemplo, el evento es lo que pasará al menos uno de eventos , A si los eventos son incompatibles – entonces una cosa y solo una cosa evento de esta cantidad: o evento , o evento , o evento , o evento , o evento .

Hay muchos ejemplos:

Eventos (al tirar un dado no aparecerán 5 puntos) es lo que aparecerá o 1, o 2, o 3, o 4, o 6 puntos.

Evento (se eliminará no más dos puntos) es que aparecerá 1 o 2puntos.

Evento (habrá un número par de puntos) es lo que aparece o 2 o 4 o 6 puntos.

El evento es que se sacará una carta roja (corazón) de la baraja. o pandereta), y el evento – que se extraerá la “imagen” (jack o dama o rey o as).

Un poco más interesante es el caso de los eventos conjuntos:

El evento es que se sacará un trébol de la baraja. o Siete o siete de tréboles Según la definición dada anteriormente, al menos algo- o cualquier trébol o cualquier siete o su "intersección" - siete de tréboles. Es fácil calcular que este evento corresponde a 12 resultados elementales (9 cartas de tréboles + 3 sietes restantes).

El evento es que mañana a las 12.00 vendrá AL MENOS UNO de los eventos conjuntos sumables, a saber:

– o sólo habrá lluvia/sólo tormenta/sólo sol;
– o sólo ocurrirá un par de eventos (lluvia + tormenta / lluvia + sol / tormenta + sol);
– o los tres eventos aparecerán simultáneamente.

Es decir, el evento incluye 7 resultados posibles.

El segundo pilar del álgebra de eventos:

2) La obra dos eventos y llamar a un evento que consiste en la ocurrencia conjunta de estos eventos, en otras palabras, la multiplicación significa que bajo algunas circunstancias habrá Y evento , Y evento . Una afirmación similar es cierta para un mayor número de eventos, por ejemplo, una obra implica que bajo ciertas condiciones sucederá. Y evento , Y evento , Y evento , …, Y evento .

Considere una prueba en la que se lanzan dos monedas y los siguientes eventos:

– aparecerá cara en la primera moneda;
– la primera moneda saldrá cara;
– aparecerá cara en la segunda moneda;
– la segunda moneda saldrá cara.

Entonces:
Y el 2) aparecerán cabezas;
– el evento es que en ambas monedas (el día 1 Y el 2) será cara;
– el evento es que la primera moneda saldrá cara Y la segunda moneda es cruz;
– el evento es que la primera moneda saldrá cara Y en la segunda moneda hay un águila.

Es fácil ver que los acontecimientos incompatible (porque, por ejemplo, no puede caer 2 caras y 2 cruces al mismo tiempo) y forma grupo completo (ya que se tiene en cuenta Todo posibles resultados de lanzar dos monedas). Resumamos estos eventos: . ¿Cómo interpretar esta entrada? Muy simple: la multiplicación significa un conectivo lógico. Y, y además – O. Así, la cantidad es fácil de leer en un lenguaje humano comprensible: “aparecerán dos cabezas o dos cabezas o la primera moneda saldrá cara Y en la segunda cola o la primera moneda saldrá cara Y en la segunda moneda hay un águila"

Este fue un ejemplo cuando en una prueba Se trata de varios objetos, en este caso dos monedas. Otro esquema común en problemas prácticos es volver a probar , cuando, por ejemplo, se lanza el mismo dado 3 veces seguidas. Como demostración, considere los siguientes eventos:

– en el 1er lanzamiento obtendrás 4 puntos;
– en el segundo lanzamiento obtendrás 5 puntos;
– en el 3er lanzamiento obtendrás 6 puntos.

Entonces el evento es que en el 1er lanzamiento obtendrás 4 puntos Y en el 2do lanzamiento obtendrás 5 puntos Y en el tercer lanzamiento obtendrás 6 puntos. Evidentemente, en el caso de un cubo habrá significativamente más combinaciones (resultados) que si estuviéramos lanzando una moneda.

...Entiendo que quizás los ejemplos que se analizan no sean muy interesantes, pero son cosas que se encuentran muchas veces en los problemas y no hay escapatoria a ellas. Además de una moneda, te esperan un cubo y una baraja de cartas, urnas con bolas multicolores, varias personas anónimas disparando a una diana y un trabajador incansable que constantemente está puliendo algunos detalles =)

probabilidad de evento

probabilidad de evento es el concepto central de la teoría de la probabilidad. ... Algo muy lógico, pero teníamos que empezar por algún lado =) Hay varios enfoques para su definición:

;
Definición geométrica de probabilidad. ;
Definición estadística de probabilidad .

En este artículo me centraré en la definición clásica de probabilidad, que es la más utilizada en tareas educativas.

Designaciones. La probabilidad de un determinado evento se indica con una letra latina mayúscula y el evento en sí se coloca entre paréntesis, actuando como una especie de argumento. Por ejemplo:

Además, la letra minúscula se utiliza mucho para indicar probabilidad. En particular, se pueden abandonar las engorrosas designaciones de eventos y sus probabilidades. a favor del siguiente estilo::

– la probabilidad de que al lanzar una moneda salga cara;
– la probabilidad de que una tirada de dados dé como resultado 5 puntos;
– la probabilidad de que se saque de la baraja una carta del palo de trébol.

Esta opción es popular a la hora de resolver problemas prácticos, ya que permite reducir significativamente la grabación de la solución. Como en el primer caso, aquí es conveniente utilizar subíndices/superíndices “parlantes”.

Todos han adivinado durante mucho tiempo los números que acabo de escribir arriba, y ahora descubriremos cómo resultaron:

Definición clásica de probabilidad:

La probabilidad de que ocurra un evento en una determinada prueba se llama razón, donde:

– número total de todos igualmente posible, elemental resultados de esta prueba, que forman grupo completo de eventos;

- cantidad elemental resultados, favorable evento.

Al lanzar una moneda, puede caer cara o cruz; estos eventos se forman grupo completo, por tanto, el número total de resultados; al mismo tiempo, cada uno de ellos elemental Y igualmente posible. El evento se ve favorecido por el resultado (cara). Según la definición clásica de probabilidad: .

De manera similar, como resultado del lanzamiento de un dado, pueden aparecer resultados elementales igualmente posibles, formando un grupo completo, y el evento se ve favorecido por un único resultado (tirar un cinco). Es por eso: NO SE ACEPTA HACER ESTO (aunque no está prohibido estimar porcentajes mentalmente).

Es habitual utilizar fracciones de una unidad., y, obviamente, la probabilidad puede variar dentro de . Además, si , entonces el evento es imposible, Si - confiable, y si , entonces estamos hablando de aleatorio evento.

! Si mientras resuelves cualquier problema obtienes algún otro valor de probabilidad, ¡busca el error!

En el enfoque clásico para determinar la probabilidad, los valores extremos (cero y uno) se obtienen exactamente mediante el mismo razonamiento. Saque 1 bola al azar de cierta urna que contiene 10 bolas rojas. Considere los siguientes eventos:

En un solo ensayo no ocurrirá un evento de baja probabilidad..

Esta es la razón por la que no ganarás el premio mayor de la lotería si la probabilidad de que se produzca este evento es, digamos, 0,00000001. Sí, sí, eres tú, el único billete en una determinada circulación. Sin embargo, una mayor cantidad de boletos y una mayor cantidad de sorteos no le ayudarán mucho. ...Cuando les cuento esto a otros, casi siempre escucho como respuesta: “pero alguien gana”. Bien, entonces hagamos el siguiente experimento: compre un boleto para cualquier lotería hoy o mañana (¡no se demore!). Y si ganas... bueno, al menos más de 10 kilorublos, asegúrate de registrarte; te explicaré por qué sucedió esto. Por un porcentaje, por supuesto =) =)

Pero no hay por qué estar triste, porque existe un principio opuesto: si la probabilidad de algún evento es muy cercana a uno, entonces en una sola prueba sucederá. casi seguro pasará. Por eso, no hay que tener miedo antes de hacer paracaidismo, al contrario, ¡sonríe! Después de todo, deben surgir circunstancias completamente impensables y fantásticas para que ambos paracaídas fallen.

Aunque todo esto es poesía, ya que dependiendo del contenido del evento, el primer principio puede resultar alegre y el segundo, triste; o incluso ambos en paralelo.

Quizás eso sea suficiente por ahora, en clase. Problemas de probabilidad clásicos sacaremos el máximo partido a la fórmula. En la parte final de este artículo, consideraremos un teorema importante:

La suma de las probabilidades de eventos que forman un grupo completo es igual a uno.. En términos generales, si los eventos forman un grupo completo, entonces con un 100% de probabilidad uno de ellos sucederá. En el caso más simple, un grupo completo está formado por eventos opuestos, por ejemplo:

– como resultado del lanzamiento de una moneda, aparecerá cara;
– el resultado del lanzamiento de una moneda será cruz.

Según el teorema:

Está absolutamente claro que estos eventos son igualmente posibles y sus probabilidades son las mismas. .

Debido a la igualdad de probabilidades, los eventos igualmente posibles a menudo se denominan igualmente probable . Y aquí hay un trabalenguas para determinar el grado de intoxicación =)

Ejemplo con un cubo: los eventos son opuestos, por lo tanto .

El teorema considerado es conveniente porque le permite encontrar rápidamente la probabilidad del evento opuesto. Entonces, si se conoce la probabilidad de que salga un cinco, es fácil calcular la probabilidad de que no salga:

Esto es mucho más sencillo que sumar las probabilidades de cinco resultados elementales. Por cierto, para resultados elementales, este teorema también es cierto:
. Por ejemplo, si es la probabilidad de que el tirador dé en el blanco, entonces es la probabilidad de que falle.

! En la teoría de la probabilidad, no es deseable utilizar letras para otros fines.

En honor al Día del Conocimiento, no pondré tarea =), pero es muy importante que puedas responder las siguientes preguntas:

– ¿Qué tipos de eventos existen?
– ¿Qué es el azar y la igual posibilidad de un evento?
– ¿Cómo entiende usted los términos compatibilidad/incompatibilidad de eventos?
– ¿Qué es un grupo completo de eventos, eventos opuestos?
– ¿Qué significa la suma y multiplicación de eventos?
– ¿Cuál es la esencia de la definición clásica de probabilidad?
– ¿Por qué es útil el teorema de la suma de probabilidades de eventos que forman un grupo completo?

No, no es necesario que abarrotes nada, estos son solo los conceptos básicos de la teoría de la probabilidad, una especie de manual que rápidamente encajará en tu cabeza. Y para que esto suceda lo antes posible, te sugiero que te familiarices con las lecciones.

Universidad Técnica Estatal de Nizhny Novgorod

a ellos. A.E.Alekseeva

Resumen sobre la teoría disciplinaria de la probabilidad.

Realizado por: Ruchina N.A gr 10MEnz

Comprobado por: Gladkov V.V.

Nizhni Nóvgorod, 2011

Teoría de probabilidad……………………………………

Tema de la teoría de la probabilidad…………………………

Conceptos básicos de la teoría de la probabilidad………………

Eventos aleatorios, probabilidades de eventos………………………………………………………………

Teoremas de límites……………………………………

Procesos aleatorios…………………………………………………………

Referencia histórica……………………………………

Libros usados…………………………………………

Teoría de probabilidad

Teoría de probabilidad - una ciencia matemática que permite, a partir de las probabilidades de algunos eventos aleatorios, encontrar las probabilidades de otros eventos aleatorios relacionados de alguna manera con el primero.

Una afirmación de que un evento ocurre con probabilidad. , igual a, por ejemplo, 0,75, no representa en sí mismo un valor final, ya que nos esforzamos por obtener conocimientos fiables. El valor cognitivo final son aquellos resultados de la teoría de la probabilidad que nos permiten afirmar que la probabilidad de que ocurra cualquier evento A muy cerca de la unidad o (lo que es lo mismo) la probabilidad de que el evento no ocurra A muy pequeña. De acuerdo con el principio de “despreciar probabilidades suficientemente pequeñas”, tal evento se considera, con razón, prácticamente seguro. Las conclusiones de este tipo que tienen interés científico y práctico generalmente se basan en el supuesto de que la ocurrencia o no de un evento A Depende de una gran cantidad de factores aleatorios, poco relacionados entre sí. . Por tanto, también podemos decir que la teoría de la probabilidad es una ciencia matemática que dilucida los patrones que surgen durante la interacción de una gran cantidad de factores aleatorios.

Tema de la teoría de la probabilidad.

Tema de la teoría de la probabilidad. Describir la relación natural entre ciertas condiciones. S y evento A, cuya ocurrencia o no ocurrencia en determinadas condiciones puede determinarse con precisión, las ciencias naturales suelen utilizar uno de los dos esquemas siguientes:

a) siempre que se cumplan las condiciones S llega un evento A. Esta forma, por ejemplo, tiene todas las leyes de la mecánica clásica, que establecen que, dadas las condiciones iniciales y las fuerzas que actúan sobre un cuerpo o un sistema de cuerpos, el movimiento se producirá de una manera única y definida.

b) En condiciones S evento A tiene una cierta probabilidad PAG(COMO), igual r. Entonces, por ejemplo, las leyes de la radiación radiactiva establecen que para cada sustancia radiactiva existe una cierta probabilidad de que de una determinada cantidad de sustancia en un período de tiempo determinado, alguna cantidad se desintegre. norteátomos.

Llamémoslo la frecuencia del evento. A en esta serie de norte pruebas (es decir, de norte implementación repetida de condiciones S) actitud h = m/n números metro aquellas pruebas en las que A vinieron, a su número total norte. Disponibilidad del evento A bajo condiciones S una cierta probabilidad igual a R, se manifiesta en el hecho de que en casi todas las series suficientemente largas de pruebas la frecuencia del evento A aproximadamente igual a r.

Los patrones estadísticos, es decir, los patrones descritos mediante un esquema del tipo (b), se descubrieron por primera vez en juegos de azar como los dados. Los patrones estadísticos de nacimientos y muertes también se conocen desde hace mucho tiempo (por ejemplo, la probabilidad de que un recién nacido sea niño es 0,515). Finales del siglo XIX y primera mitad del siglo XX. marcado por el descubrimiento de un gran número de leyes estadísticas en física, química, biología, etc.

La posibilidad de aplicar los métodos de la teoría de la probabilidad al estudio de patrones estadísticos relacionados con campos de la ciencia muy distantes entre sí se basa en que las probabilidades de los eventos siempre satisfacen ciertas relaciones simples. El estudio de las propiedades de las probabilidades de eventos sobre la base de estas relaciones simples es el tema de la teoría de la probabilidad.

Conceptos básicos de la teoría de la probabilidad.

Conceptos básicos de la teoría de la probabilidad. Los conceptos básicos de la teoría de la probabilidad, como disciplina matemática, se definen de forma más sencilla en el marco de la llamada teoría de la probabilidad elemental. Cada prueba T, considerado en la teoría de la probabilidad elemental es tal que termina en uno y sólo uno de los eventos mi 1 , mi 2 ,..., mi S (de una forma u otra, según el caso). Estos eventos se denominan resultados del ensayo. Con cada resultado mi k numero positivo asociado R A - la probabilidad de este resultado. Números pag k debe sumar uno. Luego se consideran los eventos. A, consistente en que “ocurre o mi i , o mi j ,..., o mi k" Resultados mi i , mi j ,..., mi k se llaman favorables A, y por definición asumen la probabilidad R(A) eventos A, igual a la suma de las probabilidades de resultados favorables para él:

PAG(A) =pag i +pag s +… +pag k . (1)

Caso especial pag 1 =pag 2 =...pag s = 1/S conduce a la fórmula

R(A) =r/s.(2)

La fórmula (2) expresa la llamada definición clásica de probabilidad, según la cual la probabilidad de un evento A igual a la razón del número r resultados favorables A, al numero s todos los resultados “igualmente posibles”. La definición clásica de probabilidad sólo reduce el concepto de “probabilidad” al concepto de “igual posibilidad”, que permanece sin una definición clara.

Ejemplo. Al lanzar dos dados, cada uno de los 36 resultados posibles se puede indicar mediante ( i,j), Dónde i- el número de puntos obtenidos en el primer dado, j- En el segundo. Se supone que los resultados son igualmente probables. Evento A -“la suma de puntos es 4”, tres resultados son favorables (1; 3), (2; 2), (3; 1). Por eso, R(A) = 3/36= 1/12.

A partir de cualquier evento dado, se pueden determinar dos nuevos eventos: su unión (suma) y su combinación (producto).

Evento EN llamado agrupación de eventos A 1 , A 2 ,..., A r ,-, si tiene la forma: “viene o A 1 , o A 2 ,..., o A r ».

El evento C se llama combinación de eventos. A 1 , A. 2 ,..., A r , si tiene la forma: “viene y A 1 , Y A 2 ,..., Y A r » . La fusión de eventos se denota con el signo  y la combinación con el signo . Así, escriben:

B = Un 1  A 2  …  A r , C = A 1  A 2  …  A r .

Eventos A Y EN se llaman incompatibles si su implementación simultánea es imposible, es decir, si no hay uno solo favorable entre los resultados de la prueba y A Y EN.

Las operaciones introducidas de combinar y combinar eventos están asociadas con dos teoremas principales de la teoría de la probabilidad: los teoremas de la suma y la multiplicación de probabilidades.

Teorema de la suma de probabilidades: Si los eventos A 1 ,A 2 ,...,A r son tales que cada dos de ellos son incompatibles, entonces la probabilidad de su unión es igual a la suma de sus probabilidades.

Entonces, en el ejemplo anterior de tirar dos dados, el evento EN -“la suma de puntos no supera 4”, hay unión de tres eventos incompatibles A 2 ,A 3 ,A 4, consistente en que la suma de puntos es igual a 2, 3, 4, respectivamente. La probabilidad de estos eventos es 1/36; 2/36; 3/36. Según el teorema de la suma, la probabilidad R(EN) igual a

1/36 + 2/36 + 3/36 = 6/36 = 1/6.

Eventos A 1 ,A 2 ,...,A r se llaman independientes si la probabilidad condicional de cada uno de ellos, siempre que haya ocurrido alguno de los demás, es igual a su probabilidad “incondicional”.

Teorema de la multiplicación de probabilidades: Probabilidad de combinar eventos. A 1 ,A 2 ,...,A r es igual a la probabilidad del evento A 1 , multiplicado por la probabilidad del evento A 2 tomado bajo la condición de que A 1 ocurrió,..., multiplicado por la probabilidad del evento A siempre que A 1 ,A 2 ,...,A r-1 ha llegado. Para eventos independientes, el teorema de la multiplicación lleva a la fórmula:

PAG(A 1 A 2 …A r) =PAG(A 1 )PAG(A 2 )· … · PAG(A r), (3)

es decir, la probabilidad de combinar eventos independientes es igual al producto de las probabilidades de estos eventos. La fórmula (3) sigue siendo válida si en ambas partes algunos de los eventos se reemplazan por sus opuestos.

Ejemplo. Se realizan 4 disparos al objetivo con una probabilidad de acertar de 0,2 por disparo. Se supone que los impactos en el objetivo de diferentes disparos son eventos independientes. ¿Cuál es la probabilidad de dar en el blanco exactamente tres veces?

El resultado de cada prueba se puede indicar mediante una secuencia de cuatro letras [por ejemplo, (y, n, n, y) significa que el primer y cuarto tiros acertaron (éxito), y el segundo y tercer tiros no acertaron (fracaso)]. Habrá un total de 2·2·2·2 = 16 resultados. De acuerdo con el supuesto de independencia de los resultados de los disparos individuales, se debe utilizar la fórmula (3) y una nota para determinar las probabilidades de estos resultados. Por lo tanto, la probabilidad del resultado (y, n. n, n) debe establecerse igual a 0,2·0,8·0,8·0,8 = 0,1024; aquí 0,8 = 1-0,2 es la probabilidad de fallar con un solo disparo. El evento “el objetivo es alcanzado tres veces” se ve favorecido por los resultados (y, y, y, n), (y, y, n, y), (y, n, y, y). (n, y, y, y), la probabilidad de cada uno es la misma:

0,2 0,2 ​​0,2 ​​0,8 =...... =0,8 0,2 0,2 ​​0,2 ​​= 0,0064;

por lo tanto, la probabilidad requerida es igual a

4·0,0064 = 0,0256.

Resumiendo el razonamiento del ejemplo analizado, podemos derivar una de las fórmulas básicas de la teoría de la probabilidad: si los eventos A 1 , A 2 ,..., A norte son independientes y tienen cada probabilidad R, entonces la probabilidad de que ocurra es exactamente metro de los cuales es igual

PAG norte (metro)=C norte metro pag metro (1-pag) Nuevo Méjico ; (4)

Aquí C norte metro denota el número de combinaciones de norte elementos por metro. En general norte Los cálculos que utilizan la fórmula (4) se vuelven difíciles.

Entre las fórmulas básicas de la teoría de la probabilidad elemental se encuentra también la llamada fórmula de probabilidad total: si eventos A 1 , A 2 ,..., A r son incompatibles por pares y su unión es un evento confiable, entonces para cualquier evento EN su probabilidad es igual a su suma.

El teorema de la multiplicación de probabilidades es particularmente útil cuando se consideran pruebas compuestas. Dicen que es una prueba t compuesto de pruebas t 1 , t 2 ,...,T n-1 , t norte, Si cada resultado de la prueba t hay una combinación de algunos resultados A i , B j ,..., X k , Y yo pruebas relevantes t 1 , t 2 ,...,T n-1 , t norte. Por una razón u otra, las probabilidades a menudo se conocen

PAG(A i), PAG(B j /A i), …,PAG(Y yo /A i B j …X k). (5)

A partir de las probabilidades (5) usando el teorema de la multiplicación, se pueden determinar las probabilidades R(mi) para todos los resultados mi prueba compuesta, y al mismo tiempo la probabilidad de todos los eventos asociados con esta prueba. Desde un punto de vista práctico, dos tipos de pruebas compuestas parecen ser las más importantes:

a) los componentes de la prueba son independientes, es decir, las probabilidades (5) son iguales a las probabilidades incondicionales PAG(A i), PAG(B j),..., PAG(Y yo);

b) las probabilidades de los resultados de cualquier prueba están influenciadas únicamente por los resultados de la prueba inmediatamente anterior, es decir, las probabilidades (5) son iguales, respectivamente: PAG(A i), PAG(B j /A i),..., PAG(Y i /X k). En este caso hablamos de pruebas conectadas en una cadena de Markov. Las probabilidades de todos los eventos asociados con una prueba compuesta están completamente determinadas aquí por las probabilidades iniciales. R(A i) y probabilidades de transición PAG(B j /A i),..., PAG(Y yo /X k).

Fórmulas básicas en teoría de la probabilidad.

Fórmulas de la teoría de la probabilidad.

1. Fórmulas básicas de combinatoria.

a) reordenamientos.

\b) colocación

c) combinaciones .

2. Definición clásica de probabilidad.

¿Dónde está el número de resultados favorables al evento? Es el número de todos los resultados elementales igualmente posibles.

3. Probabilidad de la suma de eventos

Teorema para sumar las probabilidades de eventos incompatibles:

Teorema para sumar las probabilidades de eventos conjuntos:

4. Probabilidad de que ocurran eventos

Teorema para multiplicar las probabilidades de eventos independientes:

Teorema para multiplicar las probabilidades de eventos dependientes:

,

Probabilidad condicional de un evento dado que el evento ocurrió

La probabilidad condicional de un evento dado que el evento ocurrió.

La combinatoria es una rama de las matemáticas que estudia cuestiones sobre cuántas combinaciones diferentes, sujetas a ciertas condiciones, se pueden hacer a partir de objetos determinados. Los conceptos básicos de la combinatoria son muy importantes para estimar las probabilidades de eventos aleatorios, porque Son ellos los que nos permiten calcular el número fundamentalmente posible de opciones diferentes para el desarrollo de eventos.

Fórmula básica de combinatoria.

Sean k grupos de elementos y el i-ésimo grupo consta de ni elementos. Seleccionemos un elemento de cada grupo. Entonces, el número total N de formas en que se puede hacer tal elección está determinado por la relación N=n1*n2*n3*...*nk.

Ejemplo 1. Expliquemos esta regla con un ejemplo sencillo. Sean dos grupos de elementos, y el primer grupo consta de n1 elementos y el segundo, de n2 elementos. ¿Cuántos pares diferentes de elementos se pueden formar a partir de estos dos grupos, de modo que el par contenga un elemento de cada grupo? Digamos que tomamos el primer elemento del primer grupo y, sin cambiarlo, revisamos todos los pares posibles, cambiando solo los elementos del segundo grupo. Hay n2 pares de este tipo para este elemento. Luego tomamos el segundo elemento del primer grupo y también le hacemos todos los pares posibles. También habrá n2 pares de este tipo. Como solo hay n1 elementos en el primer grupo, el total de opciones posibles será n1*n2.

Ejemplo 2. ¿Cuántos números pares de tres dígitos se pueden formar a partir de los dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, si los dígitos se pueden repetir?

Solución: n1=6 (porque puedes tomar cualquier número de 1, 2, 3, 4, 5, 6 como primer dígito), n2=7 (porque puedes tomar cualquier número de 0 como segundo dígito, 1, 2 , 3, 4, 5, 6), n3=4 (ya que cualquier número entre 0, 2, 4, 6 puede tomarse como tercer dígito).

Entonces, N=n1*n2*n3=6*7*4=168.

En el caso de que todos los grupos consten del mismo número de elementos, es decir n1=n2=...nk=n podemos suponer que cada selección se realiza del mismo grupo y que el elemento después de la selección se devuelve al grupo. Entonces el número de todos los métodos de selección es igual a nk. Este método de selección se llama muestreo con retorno.

Ejemplo. ¿Cuántos números de cuatro cifras se pueden formar con los dígitos 1, 5, 6, 7, 8?

Solución. Para cada dígito de un número de cuatro cifras hay cinco posibilidades, lo que significa N=5*5*5*5=54=625.

Considere un conjunto que consta de n elementos. A este conjunto lo llamaremos población general.

Definición 1. Una disposición de n elementos por m es cualquier conjunto ordenado de m elementos diferentes seleccionados de una población de n elementos.

Ejemplo. Diferentes disposiciones de tres elementos (1, 2, 3) por dos serán los conjuntos (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 3), (3 , 2 ). Las ubicaciones pueden diferir entre sí tanto en elementos como en su orden.

El número de ubicaciones se denota por A, m de n y se calcula mediante la fórmula:

Nota: n!=1*2*3*...*n (léase: "en factorial"), además, se supone que 0!=1.

Ejemplo 5. ¿Cuántos números de dos cifras hay en los que la cifra de las decenas y la de las unidades son distintas e impares?

Solución: porque Si hay cinco dígitos impares, es decir, 1, 3, 5, 7, 9, entonces esta tarea se reduce a seleccionar y colocar dos de los cinco dígitos diferentes en dos posiciones diferentes, es decir. los números indicados serán:

Definición 2. Una combinación de n elementos de m es cualquier conjunto desordenado de m elementos diferentes seleccionados de una población de n elementos.

Ejemplo 6. Para un conjunto (1, 2, 3), las combinaciones son (1, 2), (1, 3), (2, 3).

El número de combinaciones se denota por Cnm y se calcula mediante la fórmula:

Definición 3. Una permutación de n elementos es cualquier conjunto ordenado de estos elementos.

Ejemplo 7a. Todas las permutaciones posibles de un conjunto formado por tres elementos (1, 2, 3) son: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 3, 1), (2, 1, 3) , (3, 2, 1), (3, 1, 2).

El número de permutaciones diferentes de n elementos se denota por Pn y se calcula mediante la fórmula Pn=n!.

Ejemplo 8. ¿De cuántas maneras se pueden ordenar siete libros de diferentes autores en una fila en un estante?

Solución: Este problema trata sobre el número de permutaciones de siete libros diferentes. Hay P7=7!=1*2*3*4*5*6*7=5040 formas de organizar libros.

Discusión. Vemos que el número de combinaciones posibles se puede calcular según diferentes reglas (permutaciones, combinaciones, ubicaciones) y el resultado será diferente, porque El principio de cálculo y las fórmulas mismas son diferentes. Si observa detenidamente las definiciones, notará que el resultado depende de varios factores simultáneamente.

En primer lugar, de cuántos elementos podemos combinar sus conjuntos (qué tan grande es la totalidad de elementos).

En segundo lugar, el resultado depende del tamaño de los conjuntos de elementos que necesitamos.

Finalmente, es importante saber si el orden de los elementos del conjunto es significativo para nosotros. Expliquemos el último factor usando el siguiente ejemplo.

Ejemplo. Hay 20 personas presentes en la reunión de padres. ¿Cuántas opciones diferentes hay para la composición del comité de padres si debe incluir 5 personas?

Solución: En este ejemplo, no nos interesa el orden de los nombres en la lista del comité. Si, como resultado, las mismas personas resultan ser parte de él, entonces, en significado, para nosotros esta es la misma opción. Por tanto, podemos utilizar una fórmula para contar el número de combinaciones de 20 elementos de 5.

Las cosas serán diferentes si cada miembro del comité es inicialmente responsable de un área de trabajo específica. Entonces, con la misma composición de lista del comité, ¡posiblemente haya 5 dentro de él! permutaciones que importan. El número de opciones diferentes (tanto en composición como en área de responsabilidad) está determinado en este caso por el número de ubicaciones de 20 elementos de 5.

Definición geométrica de probabilidad.

Imaginemos una prueba aleatoria como arrojar un punto al azar a alguna región geométrica G (en una línea recta, un plano o un espacio). Los resultados elementales son puntos individuales de G, cualquier evento es un subconjunto de esta área, el espacio de resultados elementales de G. Podemos suponer que todos los puntos de G son "iguales" y entonces la probabilidad de que un punto caiga en un determinado subconjunto es proporcional a su medida (longitud, área, volumen) y no depende de su ubicación y forma.

La probabilidad geométrica del evento A está determinada por la relación: , donde m(G), m(A) son medidas geométricas (longitudes, áreas o volúmenes) de todo el espacio de resultados elementales y el evento A.

Ejemplo. Se lanza al azar un círculo de radio r () sobre un plano graficado por franjas paralelas de ancho 2d, cuya distancia entre las líneas axiales es igual a 2D. Calcula la probabilidad de que el círculo se cruce con una determinada franja.

Solución. Como resultado elemental de esta prueba, consideraremos la distancia x desde el centro del círculo hasta la línea central de la franja más cercana al círculo. Entonces todo el espacio de resultados elementales es un segmento. La intersección de un círculo con una franja se producirá si su centro cae dentro de la franja, es decir, o está ubicado desde el borde de la franja a una distancia menor que el radio, es decir,

Para la probabilidad requerida obtenemos: .

Clasificación de eventos en posibles, probables y aleatorios. Conceptos de sucesos elementales simples y complejos. Operaciones sobre eventos. Definición clásica de la probabilidad de un evento aleatorio y sus propiedades. Elementos de combinatoria en teoría de probabilidad. Probabilidad geométrica. Axiomas de la teoría de la probabilidad.

1. Clasificación de eventos

Uno de los conceptos básicos de la teoría de la probabilidad es el concepto de evento. Un evento es cualquier hecho que puede ocurrir como resultado de una experiencia o prueba. Por experiencia o prueba nos referimos a la implementación de un determinado conjunto de condiciones.

Ejemplos de eventos:

– dar en el blanco cuando se dispara con un arma (experiencia - disparar; evento - dar en el blanco);

– pérdida de dos emblemas al lanzar una moneda tres veces (experiencia - lanzar una moneda tres veces; evento - pérdida de dos emblemas);

– la aparición de un error de medición dentro de límites especificados al medir el alcance hasta un objetivo (experiencia - medición del alcance; evento - error de medición).

Se pueden dar innumerables ejemplos similares. Los eventos se indican con letras mayúsculas del alfabeto latino, etc.

Se hace una distinción entre eventos conjuntos y no conjuntos. Los eventos se llaman conjuntos si la ocurrencia de uno de ellos no excluye la ocurrencia del otro. De lo contrario, los eventos se denominan incompatibles. Por ejemplo, se lanzan dos dados. Evento: tres puntos en el primer dado, evento: tres puntos en el segundo dado y eventos conjuntos. Deje que la tienda reciba un lote de zapatos del mismo estilo y talla, pero de diferentes colores. Evento - una caja tomada al azar resultará contener zapatos negros, un evento - la caja resultará contener zapatos marrones y - eventos incompatibles.

Un evento se considera confiable si es seguro que ocurrirá en las condiciones de una experiencia determinada.

Un evento se llama imposible si no puede ocurrir bajo las condiciones de una experiencia dada. Por ejemplo, el caso de que se tome una pieza estándar de un lote de piezas estándar es confiable, pero una pieza no estándar es imposible.

Un evento se llama posible o aleatorio si, como resultado de la experiencia, puede aparecer, pero no aparecer. Un ejemplo de evento aleatorio podría ser la identificación de defectos en un producto durante la inspección de un lote de productos terminados, una discrepancia entre el tamaño del producto procesado y el especificado o la falla de uno de los enlaces en el sistema de control automatizado.

Los eventos se consideran igualmente posibles si, según las condiciones de la prueba, ninguno de estos eventos es objetivamente más posible que los demás. Por ejemplo, supongamos que varias plantas de fabricación suministran bombillas a una tienda (en cantidades iguales). Los eventos que implican la compra de una bombilla de cualquiera de estas fábricas son igualmente posibles.

El concepto importante es el grupo completo de eventos. Varios eventos en un experimento dado forman un grupo completo si es seguro que al menos uno de ellos aparecerá como resultado del experimento. Por ejemplo, una urna contiene diez bolas, seis de ellas son rojas, cuatro son blancas y cinco bolas tienen números. - la aparición de una bola roja durante un sorteo, - la aparición de una bola blanca, - la aparición de una bola con un número. Los eventos forman un grupo completo de eventos conjuntos.

Introduzcamos el concepto de evento opuesto o adicional. Un evento opuesto es un evento que necesariamente debe ocurrir si algún evento no ocurre. Los acontecimientos opuestos son incompatibles y los únicos posibles. Forman un grupo completo de eventos. Por ejemplo, si un lote de productos manufacturados consta de productos buenos y defectuosos, cuando se elimina un producto, puede resultar bueno (un evento) o defectuoso (un evento).

2. Operaciones sobre eventos

Al desarrollar un aparato y una metodología para estudiar eventos aleatorios en la teoría de la probabilidad, el concepto de suma y producto de eventos es muy importante.

Clasificación de eventos en posibles, probables y aleatorios. Conceptos de sucesos elementales simples y complejos. Operaciones sobre eventos. Definición clásica de la probabilidad de un evento aleatorio y sus propiedades. Elementos de combinatoria en teoría de probabilidad. Probabilidad geométrica. Axiomas de la teoría de la probabilidad.

Clasificación de eventos

Uno de los conceptos básicos de la teoría de la probabilidad es el concepto de evento. Bajo evento comprender cualquier hecho que pueda ocurrir como resultado de una experiencia o prueba. Bajo experiencia, o prueba, se refiere a la implementación de un determinado conjunto de condiciones.

Ejemplos de eventos:

– dar en el blanco cuando se dispara con un arma (experiencia - disparar; evento - dar en el blanco);
– pérdida de dos emblemas al lanzar una moneda tres veces (experiencia - lanzar una moneda tres veces; evento - pérdida de dos emblemas);
– la aparición de un error de medición dentro de límites especificados al medir el alcance hasta un objetivo (experiencia - medición del alcance; evento - error de medición).

Se pueden dar innumerables ejemplos similares. Los eventos se indican con letras mayúsculas del alfabeto latino, etc.

Distinguir eventos conjuntos Y incompatible. Los eventos se llaman conjuntos si la ocurrencia de uno de ellos no excluye la ocurrencia del otro. De lo contrario, los eventos se denominan incompatibles. Por ejemplo, se lanzan dos dados. El evento es la pérdida de tres puntos en el primer dado, el evento es la pérdida de tres puntos en el segundo dado. y - eventos conjuntos. Deje que la tienda reciba un lote de zapatos del mismo estilo y talla, pero de diferentes colores. Evento: una caja tomada al azar contendrá zapatos negros, evento: la caja contendrá zapatos marrones y eventos incompatibles.

El evento se llama confiable, si es seguro que ocurrirá en las condiciones de un experimento determinado.

Un evento se llama imposible si no puede ocurrir bajo las condiciones de una experiencia dada. Por ejemplo, el caso de que se tome una pieza estándar de un lote de piezas estándar es confiable, pero una pieza no estándar es imposible.

El evento se llama posible, o aleatorio, si por experiencia puede aparecer, pero no aparece. Un ejemplo de evento aleatorio podría ser la identificación de defectos en un producto durante la inspección de un lote de productos terminados, una discrepancia entre el tamaño del producto procesado y el especificado o la falla de uno de los enlaces en el sistema de control automatizado.

Los eventos se llaman igualmente posible, si, según las condiciones de la prueba, ninguno de estos eventos es objetivamente más posible que los demás. Por ejemplo, supongamos que varias plantas de fabricación suministran bombillas a una tienda (en cantidades iguales). Los eventos que implican la compra de una bombilla de cualquiera de estas fábricas son igualmente posibles.

Un concepto importante es grupo completo de eventos. Varios eventos en un experimento dado forman un grupo completo si es seguro que al menos uno de ellos aparecerá como resultado del experimento. Por ejemplo, una urna contiene diez bolas, seis de ellas son rojas, cuatro son blancas y cinco bolas tienen números. - la aparición de una bola roja durante un sorteo, - la aparición de una bola blanca, - la aparición de una bola con un número. Los eventos forman un grupo completo de eventos conjuntos.

Introduzcamos el concepto de evento opuesto o adicional. Bajo opuesto Se entiende por evento aquel que necesariamente debe ocurrir si algún evento no ocurre. Los acontecimientos opuestos son incompatibles y los únicos posibles. Forman un grupo completo de eventos. Por ejemplo, si un lote de productos manufacturados consta de productos buenos y defectuosos, cuando se elimina un producto, puede resultar un evento bueno o un evento defectuoso.

Operaciones sobre eventos

Al desarrollar un aparato y una metodología para estudiar eventos aleatorios en la teoría de la probabilidad, el concepto de suma y producto de eventos es muy importante.

La suma, o unión, de varios eventos es un evento que consiste en la ocurrencia de al menos uno de estos eventos.

La suma de eventos se indica de la siguiente manera:

Por ejemplo, si un evento es dar en el objetivo con el primer disparo, un evento con el segundo, entonces el evento es dar en el objetivo en general, no importa con qué disparo: el primero, el segundo o ambos.

El producto, o intersección, de varios eventos es un evento que consiste en la ocurrencia conjunta de todos estos eventos.

La producción de eventos está indicada.

Por ejemplo, si el evento es que el objetivo es alcanzado con el primer disparo, el evento es que el objetivo es alcanzado con el segundo disparo, entonces el evento es que el objetivo fue alcanzado con ambos disparos.

Los conceptos de suma y producto de eventos tienen una clara interpretación geométrica. Supongamos que el evento consiste en que un punto ingresa a la región, el evento consiste en ingresar a la región, luego el evento consiste en que el punto ingresa a la región sombreada en la figura. 1, y el evento es cuando un punto golpea el área sombreada en la Fig. 2.

Definición clásica de la probabilidad de un evento aleatorio.

Para comparar cuantitativamente eventos según el grado de posibilidad de que ocurran, se introduce una medida numérica, que se llama probabilidad de un evento.

La probabilidad de un evento es un número que expresa la medida de la posibilidad objetiva de que ocurra un evento.

La probabilidad de un evento se indicará con el símbolo.

La probabilidad de un evento es igual a la relación entre el número de casos favorables a él, del número total de casos únicamente posibles, igualmente posibles e incompatibles, al número es decir.

Ésta es la definición clásica de probabilidad. Por lo tanto, para encontrar la probabilidad de un evento, es necesario, habiendo considerado los diversos resultados de la prueba, encontrar un conjunto de casos únicamente posibles, igualmente posibles e incompatibles, calcular su número total, el número de casos favorables a un determinado evento, y luego realice el cálculo usando la fórmula (1.1).

De la fórmula (1.1) se deduce que la probabilidad de un evento es un número no negativo y puede variar de cero a uno dependiendo de la proporción del número favorable de casos respecto del número total de casos:

Propiedades de la probabilidad

Propiedad 1. Si todos los casos son favorables para un evento determinado, entonces este evento seguramente ocurrirá. En consecuencia, el evento en cuestión es confiable y la probabilidad de que ocurra es , ya que en este caso

Propiedad 2. Si no hay un solo caso favorable para un evento determinado, entonces este evento no puede ocurrir como resultado de la experiencia. En consecuencia, el evento en cuestión es imposible, y la probabilidad de que ocurra es , ya que en este caso:

Propiedad 3. La probabilidad de que ocurran eventos que formen un grupo completo es igual a uno.

Propiedad 4. La probabilidad de que ocurra el evento opuesto se determina de la misma manera que la probabilidad de que ocurra el evento:

donde es el número de casos favorables a la ocurrencia del evento contrario. Por tanto, la probabilidad de que ocurra el evento opuesto es igual a la diferencia entre la unidad y la probabilidad de que ocurra el evento:

Una ventaja importante de la definición clásica de probabilidad de un evento es que con su ayuda se puede determinar la probabilidad de un evento sin recurrir a la experiencia, sino basándose en el razonamiento lógico.

Ejemplo 1. Mientras marcaba un número de teléfono, el suscriptor olvidó un dígito y lo marcó al azar. Calcula la probabilidad de que se marque el número correcto.

Solución. Designemos el evento en el que se marca el número requerido. El suscriptor podría marcar cualquiera de los 10 dígitos, por lo que el número total de resultados posibles es 10. Estos resultados son los únicos posibles (se debe marcar uno de los dígitos) e igualmente posibles (el dígito se marca al azar). Sólo un resultado favorece el evento (sólo hay un número requerido). La probabilidad requerida es igual a la relación entre el número de resultados favorables al evento y el número de todos los resultados:

Elementos de combinatoria

En teoría de la probabilidad, se utilizan a menudo colocaciones, permutaciones y combinaciones. Si se da un conjunto, entonces colocación (combinación) de los elementos por es cualquier subconjunto ordenado (desordenado) de los elementos del conjunto. Cuando se coloca se llama reordenamiento de elementos.

Tomemos, por ejemplo, un conjunto. Las ubicaciones de los tres elementos de este conjunto de dos son , , , , ; combinaciones - , , .

Dos combinaciones difieren en al menos un elemento y las ubicaciones difieren en los elementos mismos o en el orden en que aparecen. El número de combinaciones de elementos se calcula mediante la fórmula.

es el número de colocaciones de elementos por ; - número de permutaciones de elementos.

Ejemplo 2. En un lote de 10 piezas hay 7 estándar. Calcula la probabilidad de que entre 6 piezas tomadas al azar haya exactamente 4 estándar.

Solución. El número total de posibles resultados de la prueba es igual al número de formas en que se pueden extraer 6 partes de 10, es decir, igual al número de combinaciones de 10 elementos de 6. El número de resultados favorables al evento (entre los 6 piezas extraídas hay exactamente 4 piezas estándar) se determina de la siguiente manera: se pueden tomar 4 piezas estándar de 7 piezas estándar de diferentes maneras; en este caso, el resto de piezas deben ser no estándar; Hay formas de tomar 2 piezas no estándar de piezas no estándar. Por tanto, el número de resultados favorables es igual a . La probabilidad inicial es igual a la relación entre el número de resultados favorables al evento y el número de todos los resultados:

Definición estadística de probabilidad

La fórmula (1.1) se utiliza para calcular directamente las probabilidades de eventos sólo cuando la experiencia se reduce a un patrón de casos. En la práctica, la definición clásica de probabilidad a menudo no es aplicable por dos razones: primero, la definición clásica de probabilidad supone que el número total de casos debe ser finito. De hecho, muchas veces no está limitado. En segundo lugar, a menudo resulta imposible presentar los resultados de un experimento en forma de acontecimientos igualmente posibles e incompatibles.

La frecuencia de ocurrencia de eventos durante experimentos repetidos tiende a estabilizarse alrededor de algún valor constante. Así, al evento considerado se le puede asociar un cierto valor constante, alrededor del cual se agrupan las frecuencias y que es una característica de la conexión objetiva entre el conjunto de condiciones bajo las cuales se realizan los experimentos y el evento.

La probabilidad de un evento aleatorio es el número alrededor del cual se agrupan las frecuencias de este evento a medida que aumenta el número de ensayos.

Esta definición de probabilidad se llama estadístico.

La ventaja del método estadístico para determinar la probabilidad es que se basa en un experimento real. Sin embargo, su importante inconveniente es que para determinar la probabilidad es necesario realizar una gran cantidad de experimentos, que muy a menudo van asociados a costes de material. La definición estadística de la probabilidad de un evento, aunque revela completamente el contenido de este concepto, no permite calcular realmente la probabilidad.

La definición clásica de probabilidad considera el grupo completo de un número finito de eventos igualmente posibles. En la práctica, muy a menudo el número de resultados posibles de las pruebas es infinito. En tales casos, la definición clásica de probabilidad no es aplicable. Sin embargo, a veces, en tales casos, se puede utilizar otro método para calcular la probabilidad. Para ser más precisos, nos limitaremos al caso bidimensional.

Sea una determinada región de área, que contiene otra región de área, dada en el plano (Fig. 3). Se lanza un punto al azar en el área. ¿Cuál es la probabilidad de que un punto caiga en la región? Se supone que un punto lanzado al azar puede impactar en cualquier punto de la región, y la probabilidad de impactar en cualquier parte de la región es proporcional al área de la parte y no depende de su ubicación y forma. En este caso, la probabilidad de ingresar al área.

Así, en el caso general, si la posibilidad de que un punto aparezca aleatoriamente dentro de un área determinada en una línea, un plano o en el espacio no está determinada por la posición de esta área y sus límites, sino solo por su tamaño, es decir, su longitud , área o volumen, entonces La probabilidad de que un punto aleatorio caiga dentro de una determinada región se define como la relación entre el tamaño de esta región y el tamaño de toda la región en la que puede aparecer un punto determinado. Ésta es la definición geométrica de probabilidad.

Ejemplo 3. Un objetivo redondo gira a una velocidad angular constante. Una quinta parte del objetivo está pintada de verde y el resto de blanco (Fig. 4). Se dispara un tiro al objetivo de tal manera que dar en el blanco sea un evento fiable. Debes determinar la probabilidad de alcanzar el sector objetivo de color verde.

Solución. Denotemos “el disparo impactó en el sector de color verde”. Entonces . La probabilidad se obtiene como la relación entre el área de la parte del objetivo pintada de verde y el área total del objetivo, ya que los aciertos en cualquier parte del objetivo son igualmente posibles.

Axiomas de la teoría de la probabilidad.

De la definición estadística de probabilidad de un evento aleatorio se deduce que la probabilidad de un evento es el número alrededor del cual se agrupan las frecuencias de este evento observado experimentalmente. Por tanto, se introducen los axiomas de la teoría de la probabilidad para que la probabilidad de un evento tenga las propiedades básicas de la frecuencia.

Axioma 1. Cada evento corresponde a un cierto número que satisface la condición y se llama probabilidad.