Dos condiciones para una pirámide regular por su definición. Pirámide y sus elementos.

Una figura tridimensional que suele aparecer en los problemas geométricos es la pirámide. La más simple de todas las figuras de esta clase es la triangular. En este artículo analizaremos en detalle las fórmulas básicas y propiedades del correcto.

Ideas geométricas sobre la figura.

Antes de pasar a considerar las propiedades de una pirámide triangular regular, echemos un vistazo más de cerca a qué tipo de figura estamos hablando.

Supongamos que existe un triángulo arbitrario en el espacio tridimensional. Seleccionemos cualquier punto de este espacio que no se encuentre en el plano del triángulo y conectémoslo con los tres vértices del triángulo. Tenemos una pirámide triangular.

Consta de 4 lados, todos los cuales son triángulos. Los puntos donde se encuentran tres caras se llaman vértices. La figura también tiene cuatro de ellos. Las líneas de intersección de dos caras son aristas. La pirámide en cuestión tiene 6 aristas. La siguiente figura muestra un ejemplo de esta figura.

Como la figura está formada por cuatro lados, también se le llama tetraedro.

Pirámide correcta

Arriba consideramos una figura arbitraria con base triangular. Ahora supongamos que dibujamos un segmento perpendicular desde la cima de la pirámide hasta su base. Este segmento se llama altura. Evidentemente, puedes dibujar 4 alturas diferentes para la figura. Si la altura cruza la base triangular en el centro geométrico, entonces dicha pirámide se llama recta.

Una pirámide recta, cuya base es un triángulo equilátero, se llama regular. Para ella, los tres triángulos que forman la superficie lateral de la figura son isósceles e iguales entre sí. Un caso especial de una pirámide regular es la situación en la que los cuatro lados son triángulos equiláteros idénticos.

Consideremos las propiedades de una pirámide triangular regular y demos las fórmulas correspondientes para calcular sus parámetros.

Lado base, altura, borde lateral y apotema.

Dos cualesquiera de los parámetros enumerados determinan de forma única las dos características restantes. Presentemos fórmulas que relacionen estas cantidades.

Supongamos que el lado de la base de una pirámide triangular regular es a. La longitud de su borde lateral es b. ¿Cuál será la altura de una pirámide triangular regular y su apotema?

Para la altura h obtenemos la expresión:

Esta fórmula se deriva del teorema de Pitágoras, según el cual el borde lateral, la altura y 2/3 de la altura de la base son.

La apotema de una pirámide es la altura de cualquier triángulo lateral. La longitud de la apotema a b es igual a:

a b = √(b 2 - a 2 /4)

De estas fórmulas se desprende claramente que cualquiera que sea el lado de la base de una pirámide regular triangular y la longitud de su borde lateral, la apotema siempre será mayor que la altura de la pirámide.

Las dos fórmulas presentadas contienen las cuatro características lineales de la figura en cuestión. Por lo tanto, dados los dos conocidos, puedes encontrar el resto resolviendo el sistema de igualdades escritas.

Volumen de la figura

Para absolutamente cualquier pirámide (incluida una inclinada), el valor del volumen de espacio limitado por ella se puede determinar conociendo la altura de la figura y el área de su base. La fórmula correspondiente es:

Aplicando esta expresión a la figura en cuestión, obtenemos la siguiente fórmula:

Donde la altura de una pirámide triangular regular es h y su lado de base es a.

No es difícil obtener una fórmula para el volumen de un tetraedro en el que todos los lados son iguales y representan triángulos equiláteros. En este caso, el volumen de la figura está determinado por la fórmula:

Es decir, está determinada únicamente por la longitud del lado a.

Área de superficie

Sigamos considerando el triangular regular. El área total de todas las caras de una figura se llama área de superficie. Esto último puede estudiarse convenientemente considerando el desarrollo correspondiente. La siguiente figura muestra cómo se ve el desarrollo de una pirámide triangular regular.

Supongamos que conocemos la altura h y el lado de la base a de la figura. Entonces el área de su base será igual a:

Todo escolar puede obtener esta expresión si recuerda cómo encontrar el área de un triángulo y además tiene en cuenta que la altura de un triángulo equilátero es también bisectriz y mediana.

El área de la superficie lateral formada por tres triángulos isósceles idénticos es:

S b = 3/2*√(a 2 /12+h 2)*a

Esta igualdad se deriva de la expresión de la apotema de la pirámide en términos de la altura y longitud de la base.

La superficie total de la figura es:

S = S o + S b = √3/4*a 2 + 3/2*√(a 2 /12+h 2)*a

Tenga en cuenta que para un tetraedro en el que los cuatro lados son triángulos equiláteros idénticos, el área S será igual a:

Propiedades de una pirámide triangular truncada regular

Si la parte superior de la pirámide triangular considerada se corta con un plano paralelo a la base, la parte inferior restante se llamará pirámide truncada.

En el caso de una base triangular, el resultado del método de corte descrito es un nuevo triángulo, que también es equilátero, pero tiene una longitud de lado más corta que el lado de la base. A continuación se muestra una pirámide triangular truncada.

Vemos que esta figura ya está limitada por dos bases triangulares y tres trapecios isósceles.

Supongamos que la altura de la figura resultante es igual a h, las longitudes de los lados de las bases inferior y superior son a 1 y a 2, respectivamente, y la apotema (altura del trapezoide) es igual a a b. Entonces el área de superficie de la pirámide truncada se puede calcular mediante la fórmula:

S = 3/2*(a 1 +a 2)*a b + √3/4*(a 1 2 + a 2 2)

Aquí el primer término es el área de la superficie lateral, el segundo término es el área de las bases triangulares.

El volumen de la figura se calcula de la siguiente manera:

V = √3/12*h*(a 1 2 + a 2 2 + a 1 *a 2)

Para determinar inequívocamente las características de una pirámide truncada, es necesario conocer sus tres parámetros, como lo demuestran las fórmulas dadas.

Una pirámide es un poliedro que tiene un polígono en su base. Todas las caras, a su vez, forman triángulos que convergen en un vértice. Las pirámides son triangulares, cuadrangulares, etc. Para determinar qué pirámide está frente a ti, basta con contar el número de ángulos en su base. La definición de "altura de una pirámide" se encuentra muy a menudo en los problemas de geometría del plan de estudios escolar. En este artículo intentaremos ver diferentes formas de encontrarlo.

Partes de la pirámide

Cada pirámide consta de los siguientes elementos:

• caras laterales, que tienen tres esquinas y convergen en el ápice;
• la apotema representa la altura que desciende desde su ápice;
• la cima de la pirámide es un punto que conecta las nervaduras laterales, pero no se encuentra en el plano de la base;
• la base es un polígono en el que no se encuentra el vértice;
• la altura de una pirámide es un segmento que corta la cima de la pirámide y forma un ángulo recto con su base.

Cómo encontrar la altura de una pirámide si se conoce su volumen

Mediante la fórmula V = (S*h)/3 (en la fórmula V es el volumen, S es el área de la base, h es la altura de la pirámide) encontramos que h = (3*V)/ S. Para consolidar el material, solucionemos el problema de inmediato. La base triangular mide 50 cm 2 , mientras que su volumen es 125 cm 3 . Se desconoce la altura de la pirámide triangular, que es la que necesitamos encontrar. Aquí todo es sencillo: insertamos los datos en nuestra fórmula. Obtenemos h = (3*125)/50 = 7,5 cm.

Cómo encontrar la altura de una pirámide si se conoce la longitud de la diagonal y sus aristas

Como recordamos, la altura de la pirámide forma un ángulo recto con su base. Esto significa que la altura, el borde y la mitad de la diagonal forman juntos. Muchos, por supuesto, recuerdan el teorema de Pitágoras. Conociendo dos dimensiones, no será difícil encontrar la tercera cantidad. Recordemos el conocido teorema a² = b² + c², donde a es la hipotenusa, y en nuestro caso la arista de la pirámide; b - el primer cateto o la mitad de la diagonal yc - respectivamente, el segundo cateto o la altura de la pirámide. De esta fórmula c² = a² - b².

Ahora el problema: en una pirámide regular la diagonal es de 20 cm, cuando la longitud de la arista es de 30 cm hay que encontrar la altura. Resolvemos: c² = 30² - 20² = 900-400 = 500. Por tanto c = √ 500 = aproximadamente 22,4.

Cómo encontrar la altura de una pirámide truncada

Es un polígono con una sección transversal paralela a su base. La altura de una pirámide truncada es el segmento que une sus dos bases. La altura se puede encontrar para una pirámide regular si se conocen las longitudes de las diagonales de ambas bases, así como el borde de la pirámide. Sea la diagonal de la base más grande d1, mientras que la diagonal de la base más pequeña es d2 y la arista tiene una longitud l. Para encontrar la altura, puedes bajar las alturas desde los dos puntos superiores opuestos del diagrama hasta su base. Vemos que tenemos dos triángulos rectángulos; lo único que queda es encontrar las longitudes de sus catetos. Para hacer esto, resta la diagonal más pequeña de la diagonal más grande y divide por 2. Así encontraremos un cateto: a = (d1-d2)/2. Después de lo cual, según el teorema de Pitágoras, todo lo que tenemos que hacer es encontrar el segundo cateto, que es la altura de la pirámide.

Ahora veamos todo esto en la práctica. Tenemos una tarea por delante. Una pirámide truncada tiene un cuadrado en la base, la longitud diagonal de la base más grande es de 10 cm, mientras que la más pequeña es de 6 cm y el borde es de 4 cm. Necesitas encontrar la altura. Primero encontramos un cateto: a = (10-6)/2 = 2 cm. Un cateto mide 2 cm y la hipotenusa mide 4 cm. Resulta que el segundo cateto o altura será igual a 16-. 4 = 12, es decir, h = √12 = unos 3,5 cm.

Este vídeo tutorial ayudará a los usuarios a tener una idea del tema Pirámide. Pirámide correcta. En esta lección nos familiarizaremos con el concepto de pirámide y le daremos una definición. Consideremos qué es una pirámide regular y qué propiedades tiene. Luego demostramos el teorema sobre la superficie lateral de una pirámide regular.

En esta lección nos familiarizaremos con el concepto de pirámide y le daremos una definición.

Considere un polígono Un 1 Un 2...Un, que se encuentra en el plano α, y el punto PAG, que no se encuentra en el plano α (Fig. 1). Conectemos los puntos PAG con picos Un 1, Un 2, Un 3, … Un. Obtenemos norte triangulos: Un 1 Un 2 R, Un 2 Un 3 R etcétera.

Definición. Poliedro RA 1 A 2 ...A n, compuestos de norte-cuadrado Un 1 Un 2...Un Y norte triangulos AR 1 A 2, AR 2 A 3 …ra norte un norte-1 se llama norte-pirámide de carbón. Arroz. 1.

Arroz. 1

Considere una pirámide cuadrangular PABCD(Figura 2).

R- la cima de la pirámide.

A B C D- la base de la pirámide.

REAL ACADEMIA DE BELLAS ARTES- costilla lateral.

AB- nervadura base.

desde el punto R dejemos caer la perpendicular enfermera registrada al plano base A B C D. La perpendicular trazada es la altura de la pirámide.

Arroz. 2

La superficie completa de la pirámide consta de la superficie lateral, es decir, el área de todas las caras laterales y el área de la base:

S completo = S lateral + S principal

Una pirámide se dice correcta si:

• su base es un polígono regular;
• el segmento que conecta la cima de la pirámide con el centro de la base es su altura.

Explicación utilizando el ejemplo de una pirámide cuadrangular regular.

Considere una pirámide cuadrangular regular. PABCD(Fig. 3).

R- la cima de la pirámide. Base de la pirámide A B C D- un cuadrilátero regular, es decir, un cuadrado. Punto ACERCA DE, el punto de intersección de las diagonales, es el centro del cuadrado. Medio, RO es la altura de la pirámide.

Arroz. 3

Explicación: en lo correcto norte En un triángulo coinciden el centro del círculo inscrito y el centro del círculo circunstante. Este centro se llama centro del polígono. A veces dicen que el vértice se proyecta hacia el centro.

La altura de la cara lateral de una pirámide regular trazada desde su vértice se llama apotema y es designado Ja.

1. todas las aristas laterales de una pirámide regular son iguales;

2. Las caras laterales son triángulos isósceles iguales.

Demostraremos estas propiedades usando el ejemplo de una pirámide cuadrangular regular.

Dado: PABCD- pirámide cuadrangular regular,

A B C D- cuadrado,

RO- altura de la pirámide.

Probar:

1. RA = PB = RS = PD

2.∆ABP = ∆BCP =∆CDP =∆DAP Ver Fig. 4.

Arroz. 4

Prueba.

RO- altura de la pirámide. Es decir, recto RO perpendicular al plano A B C, y por lo tanto directo JSC, VO, SO Y HACER acostado en él. entonces triangulos ROA, ROV, ROS, VARILLA- rectangular.

Considere un cuadrado A B C D. De las propiedades de un cuadrado se deduce que AO = VO = CO = HACER.

Entonces los triángulos rectángulos ROA, ROV, ROS, VARILLA pierna RO- general y piernas JSC, VO, SO Y HACER son iguales, lo que significa que estos triángulos son iguales en dos lados. De la igualdad de triángulos se sigue la igualdad de segmentos, RA = PB = RS = PD. El punto 1 ha sido probado.

Segmentos AB Y Sol son iguales porque son lados de un mismo cuadrado, RA = PB = RS. entonces triangulos AVR Y VSR - isósceles e iguales en tres lados.

De manera similar encontramos que los triángulos ABP, VCP, CDP, DAP son isósceles e iguales, como se requiere demostrar en el párrafo 2.

El área de la superficie lateral de una pirámide regular es igual a la mitad del producto del perímetro de la base por la apotema:

Para demostrar esto, elijamos una pirámide triangular regular.

Dado: RAVS- pirámide triangular regular.

AB = BC = CA.

RO- altura.

Probar: . Ver Fig. 5.

Arroz. 5

Prueba.

RAVS- pirámide triangular regular. Eso es AB= CA = antes de Cristo. Dejar ACERCA DE- centro del triángulo A B C, Entonces RO es la altura de la pirámide. En la base de la pirámide se encuentra un triángulo equilátero A B C. Darse cuenta de .

triangulos RAV, RVS, RSA- triángulos isósceles iguales (por propiedad). Una pirámide triangular tiene tres caras laterales: RAV, RVS, RSA. Esto significa que el área de la superficie lateral de la pirámide es:

Lado S = 3S CRUDO

El teorema ha sido demostrado.

El radio de un círculo inscrito en la base de una pirámide cuadrangular regular es de 3 m, la altura de la pirámide es de 4 m. Encuentre el área de la superficie lateral de la pirámide.

Dado: pirámide cuadrangular regular A B C D,

A B C D- cuadrado,

r= 3 metros,

RO- altura de la pirámide,

RO= 4 metros.

Encontrar: lado S. Ver Fig. 6.

Arroz. 6

Solución.

Según el teorema demostrado, .

Primero busquemos el lado de la base. AB. Sabemos que el radio de un círculo inscrito en la base de una pirámide cuadrangular regular es de 3 m.

Entonces, m.

Encuentra el perímetro del cuadrado. A B C D con un lado de 6 m:

Considere un triángulo BCD. Dejar METRO- medio del lado corriente continua. Porque ACERCA DE- medio BD, Eso (metro).

Triángulo DPC- isósceles. METRO- medio corriente continua. Eso es, RM- mediana, y por tanto la altura en el triángulo DPC. Entonces RM- apotema de la pirámide.

RO- altura de la pirámide. Entonces, directamente RO perpendicular al plano A B C, y por lo tanto directo om, acostado en él. Encontremos la apotema RM de un triángulo rectángulo ROM.

Ahora podemos encontrar la superficie lateral de la pirámide:

Respuesta: 60 m2.

El radio del círculo circunscrito alrededor de la base de una pirámide triangular regular es igual a m y el área de la superficie lateral es de 18 m 2. Encuentra la longitud de la apotema.

Dado: ABCP- pirámide triangular regular,

AB = BC = SA,

R= metro,

Lado S = 18 m2.

Encontrar: . Ver Fig. 7.

Arroz. 7

Solución.

en un triangulo rectángulo A B C Se da el radio del círculo circunscrito. busquemos un lado AB este triángulo usando la ley de los senos.

Conociendo el lado de un triángulo regular (m), encontramos su perímetro.

Por el teorema del área de la superficie lateral de una pirámide regular, donde Ja- apotema de la pirámide. Entonces:

Respuesta: 4 metros.

Entonces, vimos qué es una pirámide, qué es una pirámide regular y demostramos el teorema sobre la superficie lateral de una pirámide regular. En la próxima lección nos familiarizaremos con la pirámide truncada.

Bibliografía

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Tarea

1. ¿Puede un polígono regular ser la base de una pirámide irregular?
2. Demuestre que las aristas disjuntas de una pirámide regular son perpendiculares.
3. Encuentre el valor del ángulo diédrico en el lado de la base de una pirámide cuadrangular regular si la apotema de la pirámide es igual al lado de su base.
4. RAVS- pirámide triangular regular. Construye el ángulo lineal del ángulo diédrico en la base de la pirámide.

Los estudiantes encuentran el concepto de pirámide mucho antes de estudiar geometría. La culpa la tienen las famosas grandes maravillas egipcias del mundo. Por eso, al empezar a estudiar este maravilloso poliedro, la mayoría de los estudiantes ya lo imaginan claramente. Todas las atracciones mencionadas anteriormente tienen la forma correcta. Qué ha pasado pirámide regular, y qué propiedades tiene se discutirán más a fondo.

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Definición

Hay bastantes definiciones de pirámide. Desde la antigüedad ha sido muy popular.

Por ejemplo, Euclides lo definió como una figura corporal formada por planos que, partiendo de uno, convergen en un punto determinado.

Heron proporcionó una formulación más precisa. Insistió en que esa era la cifra que tiene una base y planos en forma de triángulos, convergiendo en un punto.

Según la interpretación moderna, la pirámide se representa como un poliedro espacial, que consta de ciertos k-gon y k figuras triangulares planas, que tienen un punto común.

Veámoslo con más detalle, de qué elementos se compone:

• El k-gon se considera la base de la figura;
• Las formas trigonales sobresalen como los bordes de la parte lateral;
• la parte superior de donde se originan los elementos laterales se llama ápice;
• todos los segmentos que conectan un vértice se llaman aristas;
• si una línea recta se baja desde el vértice al plano de la figura en un ángulo de 90 grados, entonces su parte contenida en el espacio interno es la altura de la pirámide;
• en cualquier elemento lateral, se puede trazar una perpendicular, llamada apotema, al lado de nuestro poliedro.

El número de aristas se calcula usando la fórmula 2*k, donde k es el número de lados del k-gon. Cuántas caras tiene un poliedro como una pirámide se pueden determinar usando la expresión k+1.

¡Importante! Una pirámide de forma regular es una figura estereométrica cuyo plano base es un k-gón de lados iguales.

Propiedades básicas

Pirámide correcta tiene muchas propiedades, que son únicos para ella. Enumeremoslos:

1. La base es una figura de la forma correcta.
2. Las aristas de la pirámide que limitan los elementos laterales tienen valores numéricos iguales.
3. Los elementos laterales son triángulos isósceles.
4. La base de la altura de la figura cae en el centro del polígono, siendo a la vez el punto central del inscrito y circunscrito.
5. Todas las nervaduras laterales están inclinadas con respecto al plano de la base en el mismo ángulo.
6. Todas las superficies laterales tienen el mismo ángulo de inclinación con respecto a la base.

Gracias a todas las propiedades enumeradas, realizar cálculos de elementos es mucho más sencillo. Con base en las propiedades anteriores, prestamos atención a dos signos:

1. En el caso de que el polígono encaje en un círculo, las caras laterales tendrán ángulos iguales con la base.
2. Al describir un círculo alrededor de un polígono, todos los bordes de la pirámide que emanan del vértice tendrán longitudes iguales y ángulos iguales con la base.

La base es un cuadrado.

Pirámide cuadrangular regular - un poliedro cuya base es un cuadrado.

Tiene cuatro caras laterales, que son de apariencia isósceles.

Un cuadrado se representa en un plano, pero se basa en todas las propiedades de un cuadrilátero regular.

Por ejemplo, si es necesario relacionar el lado de un cuadrado con su diagonal, entonces usa la siguiente fórmula: la diagonal es igual al producto del lado del cuadrado por la raíz cuadrada de dos.

Se basa en un triángulo regular.

Una pirámide triangular regular es un poliedro cuya base es un triágono regular.

Si la base es un triángulo regular y los bordes laterales son iguales a los bordes de la base, entonces tal figura llamado tetraedro.

Todas las caras de un tetraedro son 3-gonos equiláteros. En este caso, es necesario conocer algunos puntos y no perder el tiempo en ellos a la hora de calcular:

• el ángulo de inclinación de las nervaduras con respecto a cualquier base es de 60 grados;
• el tamaño de todas las caras internas también es de 60 grados;
• cualquier rostro puede actuar como base;
• , dibujado dentro de la figura, estos son elementos iguales.

Secciones de un poliedro

En cualquier poliedro hay varios tipos de secciones departamento. A menudo, en un curso de geometría escolar se trabaja con dos:

• axial;
• paralelo a la base.

Una sección axial se obtiene cortando un poliedro con un plano que pasa por el vértice, las aristas laterales y el eje. En este caso, el eje es la altura extraída desde el vértice. El plano de corte está limitado por las líneas de intersección de todas las caras, lo que da como resultado un triángulo.

¡Atención! En una pirámide regular, la sección axial es un triángulo isósceles.

Si el plano de corte corre paralelo a la base, entonces el resultado es la segunda opción. En este caso tenemos una figura de sección similar a la base.

Por ejemplo, si hay un cuadrado en la base, entonces la sección paralela a la base también será un cuadrado, solo que de dimensiones más pequeñas.

Al resolver problemas bajo esta condición, utilizan signos y propiedades de similitud de figuras, basado en el teorema de Tales. En primer lugar, es necesario determinar el coeficiente de similitud.

Si el plano se traza paralelo a la base y corta la parte superior del poliedro, entonces se obtiene una pirámide truncada regular en la parte inferior. Entonces se dice que las bases de un poliedro truncado son polígonos semejantes. En este caso, las caras laterales son trapecios isósceles. La sección axial también es isósceles.

Para determinar la altura de un poliedro truncado es necesario dibujar la altura en la sección axial, es decir, en el trapezoide.

Áreas de superficie

Los principales problemas geométricos que hay que resolver en un curso de geometría escolar son encontrar el área de superficie y el volumen de una pirámide.

Hay dos tipos de valores de área de superficie:

• área de los elementos laterales;
• área de toda la superficie.

Por el propio nombre queda claro de qué estamos hablando. La superficie lateral incluye sólo los elementos laterales. De esto se deduce que para encontrarlo, simplemente es necesario sumar las áreas de los planos laterales, es decir, las áreas de 3 gónos isósceles. Intentemos derivar la fórmula para el área de los elementos laterales:

1. El área de un 3-gón isósceles es Str=1/2(aL), donde a es el lado de la base, L es la apotema.
2. El número de planos laterales depende del tipo de k-gon en la base. Por ejemplo, una pirámide cuadrangular regular tiene cuatro planos laterales. Por lo tanto, es necesario sumar las áreas de cuatro figuras Sside=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4a*L. La expresión se simplifica de esta forma porque el valor es 4a = Rosn, donde Rosn es el perímetro de la base. Y la expresión 1/2*Rosn es su semiperímetro.
3. Entonces, concluimos que el área de los elementos laterales de una pirámide regular es igual al producto del semiperímetro de la base por la apotema: Sside = Rosn * L.

El área de la superficie total de la pirámide consiste en la suma de las áreas de los planos laterales y la base: Sp.p. = Slado + Sbas.

En cuanto al área de la base, aquí se utiliza la fórmula según el tipo de polígono.

Volumen de una pirámide regular. igual al producto del área del plano base por la altura dividido por tres: V=1/3*Sbas*H, donde H es la altura del poliedro.

¿Qué es una pirámide regular en geometría?

Propiedades de una pirámide cuadrangular regular

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Introducción

Cuando encontramos la palabra “pirámide”, nuestra memoria asociativa nos lleva a Egipto. Si hablamos de los primeros monumentos arquitectónicos, podemos decir que su número es de al menos varios cientos. Un escritor árabe del siglo XIII dijo: “Todo en el mundo tiene miedo del tiempo, y el tiempo tiene miedo de las pirámides”. Las pirámides son la única de las siete maravillas del mundo que ha sobrevivido hasta nuestros días, antes de la era de la tecnología informática. Sin embargo, los investigadores aún no han podido encontrar las claves de todos sus misterios. Cuanto más aprendemos sobre las pirámides, más preguntas tenemos. Las pirámides son de interés para historiadores, físicos, biólogos, médicos, filósofos, etc. Suscitan un gran interés y fomentan un estudio más profundo de sus propiedades, tanto desde el punto de vista matemático como de otro tipo (histórico, geográfico, etc.).

Es por eso objetivo Nuestra investigación consistió en estudiar las propiedades de la pirámide desde diferentes puntos de vista. Hemos identificado como objetivos intermedios: consideración de las propiedades de la pirámide desde el punto de vista matemático, estudio de hipótesis sobre la existencia de secretos y misterios de la pirámide, así como las posibilidades de su aplicación.

Objeto El estudio de este trabajo es una pirámide.

Artículo investigación: características y propiedades de la pirámide.

Tareas investigación:

Estudiar literatura científica popular sobre el tema de investigación.

Consideremos la pirámide como un cuerpo geométrico.

Determinar las propiedades y características de la pirámide.

Encuentre material que confirme la aplicación de las propiedades de la pirámide en diversos campos de la ciencia y la tecnología.

Métodos investigación: análisis, síntesis, analogía, modelado mental.

Resultado esperado del trabajo. Debe haber información estructurada sobre la pirámide, sus propiedades y posibilidades de aplicación.

Etapas de preparación del proyecto.:

Determinar el tema, las metas y los objetivos del proyecto.

Estudiar y recoger material.

Elaboración de un plan de proyecto.

Formulación del resultado esperado de la actividad del proyecto, incluida la asimilación de material nuevo, la formación de conocimientos, destrezas y habilidades en la actividad temática.

Presentación de resultados de investigación.

Reflexión

Pirámide como cuerpo geométrico.

Consideremos los orígenes de la palabra y el término " pirámide" Inmediatamente vale la pena señalar que la “pirámide” o “ pirámide"(Inglés), " pirámide"(francés, español y lenguas eslavas), "piramida"(alemán) es un término occidental con orígenes en la antigua Grecia. En griego antiguo πύραμίς ("PAG irami"y muchos más. h. Πύραμίδες « pirámides") tiene varios significados. Los antiguos griegos llamaban pirámide» Pastel de trigo que recordaba la forma de los edificios egipcios. Más tarde, la palabra pasó a significar “una estructura monumental con un área cuadrada en la base y lados inclinados que se unen en la parte superior”. El diccionario etimológico indica que el griego "pyramis" proviene del egipcio " pimar." Primera interpretación escrita de la palabra. "pirámide" encontrado en Europa en 1555 y significa: "uno de los tipos de estructuras antiguas de los reyes". Después del descubrimiento de las pirámides en México y con el desarrollo de la ciencia en el siglo XVIII, la pirámide se convirtió no solo en un antiguo monumento arquitectónico, sino también en una figura geométrica regular con cuatro lados simétricos (1716). La geometría piramidal comenzó en el Antiguo Egipto y Babilonia, pero se desarrolló activamente en la Antigua Grecia. El primero en establecer el volumen de la pirámide fue Demócrito, y así lo demostró Eudoxo de Cnido.

La primera definición pertenece al matemático griego antiguo, autor de tratados teóricos sobre matemáticas que nos han llegado, Euclides. En el volumen XII de sus "Principios" define una pirámide como una figura sólida delimitada por planos que desde un plano (base) convergen en un punto (ápice). Pero esta definición ya fue criticada en la antigüedad. Entonces Herón propuso la siguiente definición de pirámide: “Es una figura delimitada por triángulos que convergen en un punto y cuya base es un polígono”.

Existe una definición del matemático francés Adrien Marie Legendre, quien en 1794 en su obra “Elementos de geometría” define una pirámide de la siguiente manera: “Una pirámide es una figura sólida formada por triángulos que convergen en un punto y terminan en lados diferentes de una base plana."

Los diccionarios modernos interpretan el término "pirámide" de la siguiente manera:

Analizando las definiciones de pirámide, podemos concluir que todas las fuentes tienen formulaciones similares:

Una pirámide es un poliedro cuya base es un polígono y el resto de caras son triángulos que tienen un vértice común. Según el número de ángulos de la base, las pirámides se clasifican en triangulares, cuadrangulares, etc.

Polígono A 1 A 2 A 3 ... An es la base de la pirámide, y los triángulos RA 1 A 2 , RA 2 A 3 , ..., RANA 1 son las caras laterales de la pirámide, P es la cima de la pirámide, segmentos RA 1 , RA 2 , ..., RAN - costillas laterales.

La perpendicular trazada desde la cima de la pirámide al plano de la base se llama altura pirámides.

Además de una pirámide arbitraria, existe una pirámide regular, en cuya base hay un polígono regular y una pirámide truncada.

Área La superficie total de una pirámide es la suma de las áreas de todas sus caras. Sfull = S lado + S principal, donde S lado es la suma de las áreas de las caras laterales.

Volumen La pirámide se encuentra mediante la fórmula: V=1/3S main.h, donde S main. - área de la base, h - altura.

A propiedades de la pirámide relatar:

Cuando todos los bordes laterales son del mismo tamaño, entonces es fácil describir un círculo alrededor de la base de la pirámide, con la parte superior de la pirámide proyectada hacia el centro de este círculo; las nervaduras laterales forman ángulos iguales con el plano de la base; Además, lo contrario también es cierto, es decir. cuando las nervaduras laterales forman ángulos iguales con el plano de la base, o cuando se puede describir un círculo alrededor de la base de la pirámide y la cima de la pirámide se proyecta hacia el centro de este círculo, significa que todos los bordes laterales de la pirámide son del mismo tamaño.

Cuando las caras laterales tienen un ángulo de inclinación con respecto al plano de la base de la misma magnitud, entonces es fácil describir un círculo alrededor de la base de la pirámide, y la cima de la pirámide se proyectará hacia el centro de este círculo. ; las alturas de las caras laterales son de igual longitud; El área de la superficie lateral es igual a la mitad del producto del perímetro de la base por la altura de la cara lateral.

La pirámide se llama correcto, si su base es un polígono regular y su vértice está proyectado al centro de la base. Las caras laterales de una pirámide regular son triángulos isósceles iguales (Fig. 2a). Eje de una pirámide regular es la recta que contiene su altura. Apotema - la altura de la cara lateral de una pirámide regular extraída de su vértice.

Cuadrado La cara lateral de una pirámide regular se expresa de la siguiente manera: Slado. =1/2P h, donde P es el perímetro de la base, h es la altura de la cara lateral (apotema de una pirámide regular). Si la pirámide es intersecada por el plano A’B’C’D’, paralelo a la base, entonces los bordes laterales y la altura se dividen por este plano en partes proporcionales; en sección transversal se obtiene un polígono A’B’C’D’, similar a la base; Las áreas de la sección transversal y las bases están relacionadas como los cuadrados de sus distancias al vértice.

Pirámide truncada Se obtiene cortando su parte superior de la pirámide con un plano paralelo a la base (Fig. 2b). Las bases de la pirámide truncada son polígonos semejantes ABCD y A`B`C`D`, las caras laterales son trapecios. La altura de una pirámide truncada es la distancia entre las bases. El volumen de una pirámide truncada se encuentra mediante la fórmula: V = 1/3 h (S + + S'), donde S y S' son las áreas de las bases ABCD y A'B'C'D', h es la altura.

Las bases de una pirámide n-gonal truncada regular son n-gonos regulares. El área de la superficie lateral de una pirámide truncada regular se expresa de la siguiente manera: Slado. = ½(P+P’)h, donde P y P’ son los perímetros de las bases, h es la altura de la cara lateral (apotema de una pirámide truncada regular)

Las secciones de una pirámide formadas por planos que pasan por su vértice son triángulos. La sección que pasa por dos aristas laterales no adyacentes de la pirámide se llama sección diagonal. Si la sección pasa por un punto en el borde lateral y el lado de la base, entonces su trayectoria hasta el plano de la base de la pirámide será este lado. Una sección que pasa por un punto que se encuentra en la cara de la pirámide y una traza de sección dada en el plano base, entonces la construcción se debe realizar de la siguiente manera: encontrar el punto de intersección del plano de la cara dada y la traza de sección de la pirámide y designarla; construir una línea recta que pase por un punto dado y el punto de intersección resultante; Repita estos pasos para las siguientes caras.

Pirámide rectangular - Se trata de una pirámide en la que uno de los bordes laterales es perpendicular a la base. En este caso, este borde será la altura de la pirámide (Fig. 2c).

Pirámide triangular regular Es una pirámide cuya base es un triángulo regular y el vértice se proyecta hacia el centro de la base. Un caso especial de pirámide triangular regular es tetraedro. (Figura 2a)

Consideremos teoremas que conectan la pirámide con otros cuerpos geométricos.

Esfera

Se puede describir una esfera alrededor de una pirámide cuando en la base de la pirámide hay un polígono alrededor del cual se puede describir un círculo (condición necesaria y suficiente). El centro de la esfera será el punto de intersección de los planos que pasan por los puntos medios de las aristas de la pirámide perpendiculares a ellos. De este teorema se deduce que una esfera se puede describir tanto alrededor de cualquier pirámide triangular como alrededor de cualquier pirámide regular; Una esfera puede inscribirse en una pirámide cuando los planos bisectores de los ángulos diédricos internos de la pirámide se cruzan en un punto (condición necesaria y suficiente). Este punto será el centro de la esfera.

Cono

Se dice que un cono está inscrito en una pirámide si sus vértices coinciden y su base está inscrita en la base de la pirámide. Además, es posible encajar un cono en una pirámide sólo cuando las apotemas de la pirámide son iguales entre sí (una condición necesaria y suficiente); Se dice que un cono se describe cerca de una pirámide cuando sus vértices coinciden y su base se describe cerca de la base de la pirámide. Además, es posible describir un cono cerca de una pirámide sólo cuando todos los bordes laterales de la pirámide son iguales entre sí (una condición necesaria y suficiente); Las alturas de dichos conos y pirámides son iguales entre sí.

Cilindro

Se dice que un cilindro está inscrito en una pirámide si una de sus bases coincide con un círculo inscrito en la sección de la pirámide por un plano paralelo a la base, y la otra base pertenece a la base de la pirámide. Se dice que un cilindro se describe cerca de una pirámide si el vértice de la pirámide pertenece a una de sus bases y su otra base se describe cerca de la base de la pirámide. Además, es posible describir un cilindro cerca de una pirámide sólo si hay un polígono inscrito en la base de la pirámide (condición necesaria y suficiente).

Muy a menudo en sus investigaciones los científicos utilizan las propiedades de la pirámide. con proporciones de proporción áurea. Veremos cómo se utilizaron las proporciones áureas al construir pirámides en el siguiente párrafo, y aquí nos detendremos en la definición de proporción áurea.

El diccionario enciclopédico matemático da la siguiente definición proporción áurea- es la división del segmento AB en dos partes de tal manera que su parte mayor AC sea la media proporcional entre todo el segmento AB y su parte menor CD.

La determinación algebraica de la sección áurea del segmento AB = a se reduce a resolver la ecuación a:x = x:(a-x), de la cual x es aproximadamente igual a 0,62a. La razón x se puede expresar como fracciones n/n+1= 0,618, donde n es el número de Fibonacci numerado n.

La proporción áurea se utiliza a menudo en obras de arte, arquitectura y se encuentra en la naturaleza. Ejemplos vívidos son la escultura de Apolo Belvedere y el Partenón. Durante la construcción del Partenón, se utilizó la relación entre la altura del edificio y su longitud y esta relación es 0,618. Los objetos que nos rodean también proporcionan ejemplos de la proporción áurea; por ejemplo, las encuadernaciones de muchos libros también tienen una proporción ancho-largo cercana a 0,618.

Así, después de estudiar la literatura científica popular sobre el problema de investigación, llegamos a la conclusión de que una pirámide es un poliedro, cuya base es un polígono, y el resto de las caras son triángulos con un vértice común. Examinamos los elementos y propiedades de la pirámide, sus tipos y su relación con las proporciones de la Proporción Áurea.

2. Características de la pirámide

Entonces, en el Gran Diccionario Enciclopédico está escrito que una pirámide es una estructura monumental que tiene la forma geométrica de una pirámide (a veces escalonada o en forma de torre). Las pirámides eran el nombre que se les daba a las tumbas de los antiguos faraones egipcios del tercer y segundo milenio antes de Cristo. e., así como pedestales de templos en Centro y Sudamérica asociados con cultos cosmológicos. Entre las grandiosas pirámides de Egipto, un lugar especial lo ocupa la Gran Pirámide del faraón Keops. Antes de comenzar a analizar la forma y el tamaño de la pirámide de Keops, conviene recordar qué sistema de medidas utilizaban los egipcios. Los egipcios tenían tres unidades de longitud: un “codo” (466 mm), que equivalía a siete “palmas” (66,5 mm), que a su vez equivalía a cuatro “dedos” (16,6 mm).

La mayoría de los investigadores coinciden en que la longitud del lado de la base de la pirámide, por ejemplo GF, es igual a L = 233,16 m. Este valor corresponde casi exactamente a 500 “codos”. El cumplimiento total de 500 "codos" se producirá si la longitud del "codo" se considera igual a 0,4663 m.

Los investigadores estiman la altura de la pirámide (H) de 146,6 a 148,2 m y dependiendo de la altura aceptada de la pirámide, todas las relaciones de sus elementos geométricos cambian. ¿Cuál es el motivo de las diferencias en las estimaciones de la altura de la pirámide? El caso es que la pirámide de Keops está truncada. Su plataforma superior hoy mide aproximadamente 10x10 m, pero hace un siglo medía 6x6 m. Obviamente la cima de la pirámide fue desmantelada y no corresponde a la original. Al evaluar la altura de la pirámide, es necesario tener en cuenta un factor físico como el asentamiento de la estructura. Durante un largo período de tiempo, bajo la influencia de una presión colosal (que alcanzó las 500 toneladas por 1 m 2 de superficie inferior), la altura de la pirámide disminuyó en comparación con su altura original. La altura original de la pirámide se puede recrear encontrando una idea geométrica básica.

En 1837, el coronel inglés G. Wise midió el ángulo de inclinación de las caras de la pirámide: resultó ser igual a a = 51°51". Este valor es reconocido todavía hoy por la mayoría de los investigadores. El valor indicado de la El ángulo corresponde a una tangente (tg a) igual a 1,27306. Este valor corresponde a la relación de la altura de la pirámide AC a la mitad de su base CB, es decir, AC/CB = H/ (L/2) = 2H/. l.

¡Y aquí los investigadores se llevaron una gran sorpresa! El caso es que si sacamos la raíz cuadrada de la proporción áurea, obtenemos el siguiente resultado = 1,272. Comparando este valor con el valor tg a = 1,27306, vemos que estos valores están muy cerca uno del otro. Si tomamos el ángulo a = 51°50", es decir, lo reducimos solo en un minuto de arco, entonces el valor de a será igual a 1,272, es decir, coincidirá con el valor. Cabe señalar que en 1840 G. Wise repitió sus mediciones y aclaró que el valor del ángulo a = 51°50".

Estas mediciones llevaron a los investigadores a la siguiente interesante hipótesis: el triángulo ACB de la pirámide de Keops se basó en la relación AC/CB = 1,272.

Consideremos ahora un triángulo rectángulo ABC, en el que la relación de los catetos AC/CB = . Si ahora denotamos las longitudes de los lados del rectángulo ABC por x, y, z, y además tenemos en cuenta que la relación y/x =, entonces, de acuerdo con el teorema de Pitágoras, la longitud z se puede calcular mediante la fórmula:

Si aceptamos x = 1, y = , entonces:

Un triángulo rectángulo cuyos lados están en la proporción t::1 se llama triángulo rectángulo "áureo".

Entonces, si tomamos como base la hipótesis de que la principal "idea geométrica" ​​de la pirámide de Keops es un triángulo rectángulo "dorado", entonces desde aquí podemos calcular fácilmente la altura "de diseño" de la pirámide de Keops. Es igual a:

Alto = (L/2)/= 148,28 m.

Deduzcamos ahora algunas otras relaciones para la pirámide de Keops, que surgen de la hipótesis "áurea". En particular, encontraremos la relación entre el área exterior de la pirámide y el área de su base. Para hacer esto, tomamos la longitud del cateto CB como uno, es decir: CB = 1. Pero entonces la longitud del lado de la base de la pirámide es GF = 2, y el área de la base EFGH será ser igual a S EFGH = 4.

Calculemos ahora el área de la cara lateral de la pirámide de Keops S D . Como la altura AB del triángulo AEF es igual a t, el área de la cara lateral será igual a S D = t. Entonces el área total de las cuatro caras laterales de la pirámide será igual a 4t, y la relación entre el área exterior total de la pirámide y el área de la base será igual a la proporción áurea. Este es el principal misterio geométrico de la pirámide de Keops.

Y además, durante la construcción de las pirámides de Egipto, se encontró que un cuadrado construido a la altura de la pirámide es exactamente igual al área de cada uno de los triángulos laterales. Así lo confirman las últimas mediciones.

Sabemos que la relación entre la longitud de un círculo y su diámetro es un valor constante, bien conocido por los matemáticos y escolares modernos: este es el número "Pi" = 3,1416... Pero si sumamos los cuatro lados de la base de la pirámide de Keops, obtenemos 931,22 m. Dividiendo este número por el doble de la altura de la pirámide (2x148,208), obtenemos 3,1416..., es decir, el número “Pi”. En consecuencia, la pirámide de Keops es un monumento único que representa la encarnación material del número "Pi", que juega un papel importante en las matemáticas.

Así, la presencia de la proporción áurea en las dimensiones de la pirámide. - la relación entre el doble lado de la pirámide y su altura - es un número muy cercano en valor al número π. Sin duda, esta también es una característica. Aunque muchos autores creen que esta coincidencia es accidental, ya que la fracción 14/11 es “una buena aproximación tanto para la raíz cuadrada de la proporción áurea como para la razón entre las áreas de un cuadrado y el círculo inscrito en él”.

Sin embargo, es incorrecto hablar aquí sólo de las pirámides de Egipto. No sólo existen pirámides egipcias, existe toda una red de pirámides en la Tierra. Los principales monumentos (las pirámides de Egipto y México, la Isla de Pascua y el complejo de Stonehenge en Inglaterra) a primera vista están esparcidos al azar por todo nuestro planeta. Pero si el estudio incluye el complejo tibetano de pirámides, entonces aparece un estricto sistema matemático de su ubicación en la superficie de la Tierra. En el contexto de la cordillera del Himalaya, se destaca claramente una formación piramidal: el monte Kailash. La ubicación de la ciudad de Kailash, las pirámides de Egipto y México es muy interesante, es decir, si conectas la ciudad de Kailash con las pirámides de México, la línea que las conecta va a la Isla de Pascua. Si conectas la ciudad de Kailash con las pirámides de Egipto, la línea de su conexión vuelve a ir a la Isla de Pascua. Se describió exactamente una cuarta parte del globo. Si conectamos las pirámides de México y Egipto, veremos dos triángulos iguales. Si encuentras sus áreas, entonces su suma es igual a un cuarto del área del globo.

Se ha revelado una conexión indiscutible entre el complejo piramidal tibetano con otras estructuras antigüedad: las pirámides egipcias y mexicanas, los colosos de la Isla de Pascua y el complejo de Stonehenge en Inglaterra. La altura de la pirámide principal del Tíbet, el monte Kailash, es 6714 metros. La distancia de Kailash al Polo Norte es 6714 kilómetros, la distancia de Kailash a Stonehenge es 6714 kilómetros Si los ponemos en el globo desde el Polo Norte 6714 kilómetros, luego llegaremos a la llamada Torre del Diablo, que parece una pirámide trunca. Y finalmente, exactamente 6714 kilómetros desde Stonehenge hasta el Triángulo de las Bermudas.

Como resultado de estos estudios, podemos concluir que existe un sistema geográfico piramidal en la Tierra.

Así, las características incluyen la relación entre el área exterior total de la pirámide y el área de la base será igual a la proporción áurea; la presencia en las dimensiones de la pirámide de la proporción áurea (la relación entre el doble lado de la pirámide y su altura) es un número muy cercano en valor al número π, es decir, la pirámide de Keops es un monumento único que representa la encarnación material del número “Pi”; la existencia de un sistema piramidal-geográfico.

3. Otras propiedades y usos de la pirámide.

Consideremos la aplicación práctica de esta figura geométrica. Por ejemplo, holograma. Primero, veamos qué es la holografía. Holografía - un conjunto de tecnologías para registrar, reproducir y remodelar con precisión los campos ondulatorios de la radiación electromagnética óptica, un método fotográfico especial en el que, mediante un láser, se graban y luego se reconstruyen imágenes de objetos tridimensionales, muy similares a los reales. Un holograma es un producto de la holografía, una imagen tridimensional creada mediante un láser que reproduce la imagen de un objeto tridimensional. Usando una pirámide tetraédrica truncada regular, puede recrear una imagen: un holograma. Se crean un archivo fotográfico y una pirámide tetraédrica truncada regular a partir de un material translúcido. Se hace una pequeña sangría desde el píxel inferior y el del medio en relación con el eje de ordenadas. Este punto será la mitad del lado del cuadrado formado por la sección. La fotografía se multiplica y sus copias se posicionan de la misma forma con respecto a los otros tres lados. Coloca la pirámide sobre el cuadrado con su sección transversal hacia abajo para que coincida con el cuadrado. El monitor genera una onda de luz, cada una de las cuatro fotografías idénticas, al estar en un plano que es una proyección de la cara de la pirámide, incide sobre la cara misma. Como resultado, en cada una de las cuatro caras tenemos imágenes idénticas, y dado que el material del que está hecha la pirámide tiene la propiedad de transparencia, las ondas parecen refractarse y encontrarse en el centro. Como resultado, obtenemos el mismo patrón de interferencia de una onda estacionaria, cuyo eje central o cuyo eje de rotación es la altura de una pirámide truncada regular. Este método también funciona con imágenes de vídeo, ya que el principio de funcionamiento permanece sin cambios.

Considerando casos especiales, se puede ver que la pirámide se usa ampliamente en la vida cotidiana, incluso en el hogar. La forma piramidal se encuentra frecuentemente, principalmente en la naturaleza: plantas, cristales, la molécula de metano tiene la forma de una pirámide triangular regular: un tetraedro, La celda unitaria de un cristal de diamante es también un tetraedro, con átomos de carbono ubicados en el centro y cuatro vértices. Las pirámides se encuentran en casa y en los juguetes de los niños. Los botones y teclados de ordenador suelen parecerse a una pirámide truncada cuadrangular. Se pueden ver en forma de elementos de edificios o de estructuras arquitectónicas mismas, como estructuras de tejados translúcidos.

Veamos algunos ejemplos más del uso del término "pirámide".

Pirámides ecológicas- estos son modelos gráficos (generalmente en forma de triángulos) que reflejan el número de individuos (pirámide de números), la cantidad de su biomasa (pirámide de biomasa) o la energía contenida en ellos (pirámide de energía) en cada nivel trófico y indicando una disminución en todos los indicadores al aumentar el nivel trófico

Pirámide de información. Refleja la jerarquía de diferentes tipos de información. El suministro de información está estructurado según el siguiente esquema piramidal: en la parte superior se encuentran los principales indicadores mediante los cuales se puede seguir claramente el ritmo de avance de la empresa hacia el objetivo elegido. Si algo anda mal, puede ir al nivel medio de la pirámide: datos generalizados. Aclaran el panorama para cada indicador individualmente o en conjunto. Con estos datos, puede determinar la posible ubicación de una falla o problema. Para obtener información más completa, debe consultar la base de la pirámide: una descripción detallada del estado de todos los procesos en forma numérica. Estos datos ayudan a identificar la causa del problema para poder corregirlo y evitarlo en el futuro.

Taxonomía de la flora. La taxonomía de Bloom ofrece una clasificación de tareas en forma de pirámide que los profesores fijan a los estudiantes y, en consecuencia, objetivos de aprendizaje. Divide los objetivos educativos en tres áreas: cognitiva, afectiva y psicomotora. Dentro de cada esfera individual, para pasar a un nivel superior, es necesaria la experiencia de los niveles anteriores distinguidos en esta esfera.

Pirámide financiera- un fenómeno específico del desarrollo económico. El nombre "pirámide" ilustra claramente la situación en la que las personas "en la base" de la pirámide dan dinero a la pequeña cima. Además, cada nuevo participante paga para aumentar las posibilidades de su ascenso a la cima de la pirámide.

Pirámide de necesidades Maslow refleja una de las teorías de la motivación más populares y conocidas: la teoría de la jerarquía. necesidades. Maslow distribuyó las necesidades a medida que aumentaban, explicando esta construcción por el hecho de que una persona no puede experimentar necesidades de alto nivel mientras necesita cosas más primitivas. A medida que se satisfacen las necesidades de nivel inferior, las de nivel superior se vuelven cada vez más relevantes, pero esto no significa que el lugar de la necesidad anterior sea ocupado por una nueva sólo cuando la anterior esté completamente satisfecha.

Otro ejemplo del uso del término “pirámide” es pirámide alimenticia - una representación esquemática de los principios de una alimentación saludable desarrollados por nutricionistas. Los alimentos que forman la base de la pirámide deben consumirse con la mayor frecuencia posible, mientras que los alimentos de la cima de la pirámide deben evitarse o consumirse en cantidades limitadas.

Así, todo lo anterior muestra la variedad de usos de la pirámide en nuestras vidas. Quizás la pirámide tenga un propósito mucho más elevado y esté destinada a algo mayor que los usos prácticos que ahora se descubren.

Conclusión

Constantemente nos encontramos con pirámides en nuestras vidas: son pirámides del antiguo Egipto y juguetes con los que juegan los niños; objetos de arquitectura y diseño, cristales naturales; Virus que sólo pueden verse con un microscopio electrónico. A lo largo de los muchos milenios de su existencia, las pirámides se han convertido en una especie de símbolo que personifica el deseo del hombre de alcanzar la cima del conocimiento.

Durante el estudio, determinamos que las pirámides son un fenómeno bastante común en todo el mundo.

Estudiamos la literatura científica popular sobre el tema de investigación, examinamos varias interpretaciones del término "pirámide", determinamos que en el sentido geométrico una pirámide es un poliedro, cuya base es un polígono, y el resto de las caras son triángulos que tienen una vértice común. Estudiamos los tipos de pirámides (regulares, truncadas, rectangulares), elementos (apotema, caras laterales, aristas laterales, vértice, altura, base, sección diagonal) y las propiedades de las pirámides geométricas cuando las aristas laterales son iguales y cuando las caras laterales están inclinados con respecto al plano de la base en el mismo ángulo. Examinamos teoremas que conectan la pirámide con otros cuerpos geométricos (esfera, cono, cilindro).

Incluimos las siguientes características de la pirámide:

la relación entre el área exterior total de la pirámide y el área de la base será igual a la proporción áurea;

la presencia en las dimensiones de la pirámide de la proporción áurea (la relación entre el doble lado de la pirámide y su altura) es un número muy cercano en valor al número π, es decir, la pirámide de Keops es un monumento único que representa la encarnación material del número “Pi”;

la existencia de un sistema piramidal-geográfico.

Estudiamos el uso moderno de esta figura geométrica. Observamos cómo están conectados la pirámide y el holograma y notamos que la forma piramidal se encuentra con mayor frecuencia en la naturaleza (plantas, cristales, moléculas de metano, la estructura de la red de diamantes, etc.). A lo largo del estudio encontramos material que confirma el uso de las propiedades de la pirámide en diversos campos de la ciencia y la tecnología, en la vida cotidiana de las personas, en el análisis de la información, en la economía y en muchas otras áreas. Y llegaron a la conclusión de que tal vez las pirámides tengan un propósito mucho más elevado y estén destinadas a algo mayor que las formas prácticas de utilizarlas que ahora se descubren.

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