Significado físico del módulo de un número. Determinar el módulo de un número

Instrucciones

Si el módulo se presenta en el formulario función continua, entonces el valor de su argumento puede ser positivo o negativo: |x| = x, x ≥ 0; |x| = - x, x

z1 + z2 = (x1 + x2) + i(y1 + y2);
z1 - z2 = (x1 - x2) + i(y1 - y2);

Es fácil ver que la suma y resta de números complejos sigue la misma regla que la suma y.

El producto de dos números complejos es igual a:

z1*z2 = (x1 + iy1)*(x2 + iy2) = x1*x2 + i*y1*x2 + i*x1*y2 + (i^2)*y1*y2.

Como i^2 = -1, entonces resultado final igual a:

(x1*x2 - y1*y2) + i(x1*y2 + x2*y1).

Las operaciones de exponenciación y extracción de raíces para números complejos se definen de la misma manera que para los números reales. Sin embargo, en la región compleja, para cualquier número, hay exactamente n números b tales que b^n = a, es decir, n raíces de enésimo grado.

En particular, esto significa que cualquier ecuación algebraica El enésimo grado con una variable tiene exactamente n raíces complejas, algunos de los cuales pueden ser y .

Vídeo sobre el tema.

Fuentes:

• Conferencia " Números complejos" en 2019

Una raíz es un icono que representa operacion matematica encontrar un número cuya elevación a la potencia indicada antes del signo raíz debería dar el número indicado bajo este mismo signo. A menudo, para resolver problemas que involucran raíces, no basta con calcular el valor. Es necesario realizar operaciones adicionales, una de las cuales es ingresar un número, variable o expresión debajo del signo raíz.

Instrucciones

Determina el exponente raíz. Un exponente es un número entero que indica la potencia a la que se debe elevar el resultado del cálculo de la raíz para obtener la expresión radical (el número del que se extrae esta raíz). El exponente raíz como superíndice antes del icono de raíz. Si no se especifica éste, es Raíz cuadrada, cuyo grado es dos. Por ejemplo, el exponente de la raíz √3 es dos, el exponente de ³√3 es tres, el exponente de la raíz ⁴√3 es cuatro, etc.

Eleve el número que desea ingresar bajo el signo raíz a una potencia, igual al indicador esta raíz que determinaste en el paso anterior. Por ejemplo, si necesita ingresar el número 5 debajo del signo raíz ⁴√3, entonces el índice del grado raíz es cuatro y necesita el resultado de elevar 5 a la cuarta potencia 5⁴=625. Puede hacer esto de la forma que más le convenga: mentalmente, utilizando una calculadora o los servicios alojados correspondientes.

Introduce el valor obtenido en el paso anterior bajo el signo de la raíz como multiplicador de la expresión radical. Para el ejemplo usado en el paso anterior al agregar ⁴√3 5 (5*⁴√3) debajo de la raíz, esta acción se puede realizar así: 5*⁴√3=⁴√(625*3).

Simplifique la expresión radical resultante si es posible. Para ver un ejemplo de los pasos anteriores, solo necesitas multiplicar los números bajo el signo raíz: 5*⁴√3=⁴√(625*3)=⁴√1875. Esto completa la operación de ingresar el número debajo de la raíz.

Si el problema contiene variables desconocidas, entonces los pasos descritos anteriormente se pueden realizar en vista general. Por ejemplo, si necesita ingresar una variable desconocida x debajo de la raíz cuarta y la expresión radical es 5/x³, entonces la secuencia completa de acciones se puede escribir de la siguiente manera: x*⁴√(5/x³)=⁴ √(x⁴*5/x³)= ⁴√(x*5).

Fuentes:

• ¿Cómo se llama el signo raíz?

Los números reales no son suficientes para resolver ninguna ecuación cuadrática. El más simple de ecuaciones cuadráticas, al no tener raíces entre los números reales, esto es x^2+1=0. Al resolverlo resulta que x=±sqrt(-1), y según las leyes del álgebra elemental, extraemos la raíz de un grado par del negativo números está prohibido.

Módulo de números este número en sí se llama si no es negativo, o el mismo número con signo opuesto, si es negativo.

Por ejemplo, el módulo del número 5 es 5 y el módulo del número –5 también es 5.

Es decir, por módulo de un número queremos decir valor absoluto, valor absoluto este número sin tener en cuenta su signo.

Denotado como sigue: |5|, | X|, |A| etc.

Regla:

Explicación:

|5| = 5
Se lee así: el módulo del número 5 es 5.

|–5| = –(–5) = 5
Se lee así: el módulo del número –5 es 5.

|0| = 0
Se lee así: el módulo de cero es cero.

Propiedades del módulo:

Significado geométrico del módulo.

El módulo de un número es la distancia del cero a ese número.

Por ejemplo, tomemos nuevamente el número 5. La distancia de 0 a 5 es la misma que de 0 a –5 (Fig. 1). Y cuando para nosotros es importante saber sólo la longitud del segmento, entonces el signo no sólo tiene significado, sino también significado. Sin embargo, esto no es del todo cierto: medimos la distancia sólo con números positivos - o números no negativos. Sea el precio de división de nuestra escala 1 cm. Entonces la longitud del segmento de cero a 5 es de 5 cm, de cero a –5 también es de 5 cm.

En la práctica, la distancia a menudo se mide no sólo desde cero: el punto de referencia puede ser cualquier número (Fig. 2). Pero esto no cambia la esencia. Notación de la forma |a – b| expresa la distancia entre puntos A Y b en la recta numérica.

Ejemplo 1. Resuelve la ecuación | X – 1| = 3.

Solución .

El significado de la ecuación es que la distancia entre puntos X y 1 es igual a 3 (Fig. 2). Por lo tanto, desde el punto 1 contamos tres divisiones hacia la izquierda y tres divisiones hacia la derecha, y vemos claramente ambos valores. X:
X 1 = –2, X 2 = 4.

Podemos calcularlo.

│X – 1 = 3
│X – 1 = –3

│X = 3 + 1
│X = –3 + 1

│X = 4
│ X = –2.

Respuesta : X 1 = –2; X 2 = 4.

Ejemplo 2. Buscar módulo de expresión:

Solución .

Primero, averigüemos si la expresión es positiva o negativa. Para hacer esto, transformamos la expresión para que esté formada por números homogéneos. No busquemos la raíz de 5, es bastante difícil. Hagámoslo más sencillo: elevemos 3 y 10 a la raíz. Luego comparemos la magnitud de los números que forman la diferencia:

3 = √9. Por lo tanto, 3√5 = √9 √5 = √45

10 = √100.

Vemos que el primer número es menor que el segundo. Esto significa que la expresión es negativa, es decir, su respuesta es menor que cero:

3√5 – 10 < 0.

Pero según la regla, el módulo de un número negativo es el mismo número con el signo opuesto. Tenemos expresión negativa. Por tanto, es necesario cambiar su signo por el contrario. El opuesto de 3√5 – 10 es –(3√5 – 10). Abramos los corchetes y obtengamos la respuesta:

–(3√5 – 10) = –3√5 + 10 = 10 – 3√5.

Respuesta .

Módulo de un número racional llaman a la distancia desde el origen hasta el punto en la línea de coordenadas correspondiente a este número.

Dado que la distancia (longitud de un segmento) sólo se puede expresar como un número positivo o cero, podemos decir que el módulo de un número no puede ser negativo.

Propiedades del módulo:

El módulo de un número positivo es igual al número mismo.
|a| = a, si a > 0;

El módulo de un número negativo es igual al número opuesto.
|-a| = a si a< 0;

módulo cero igual a cero.
|0| = 0 si a = 0;

Números opuestos tener módulos iguales.
|-a| = |a|;

Ejemplos de módulos numeros racionales:

4.Métodos básicos de solución. ecuaciones irracionales y desigualdades.

Llamamos irracional a una ecuación o desigualdad si contiene una variable bajo los radicales, es decir, bajo los signos de la raíz cuadrada, cúbica, etc. Las ecuaciones y desigualdades irracionales tienen cierta especificidad.

Recordemos que el rango de valores aceptables (abreviado como VA) de una ecuación o desigualdad es el conjunto de valores de una variable para los cuales ambos lados ecuación dada o las desigualdades tienen sentido. En cualquier tarea, puede prescindir de buscar (y sin mencionar) ODZ, por lo que no existe una necesidad particular de este concepto. Pero tampoco hay nada malo en ello; Además, en determinadas situaciones, encontrar ODZ resulta muy útil. Por lo tanto, en algunas ecuaciones y desigualdades irracionales no todo se reduce a ninguna técnica específica, solo una mirada de cerca y teniendo en cuenta la ODZ.

Transformaciones equivalentes

Pasamos a considerar tipos estándar ecuaciones y desigualdades irracionales. En este caso, una búsqueda preliminar de DZ resulta, por regla general, un paso innecesario; Estos problemas se resuelven más eficazmente con la ayuda de transiciones equivalentes apropiadas. Ecuaciones de la forma √ A = √ B

Comencemos con un ejemplo.

Resolvamos la ecuación √ x = √ 2x + 1. Debido a la monotonía de la función √ x, las expresiones radicales deben ser iguales: x = 2x+1, de donde x = −1. Sin embargo, al sustituir este valor de x en la ecuación se obtiene números negativos bajo radicales; por lo tanto, x = −1 no es raíz de esta ecuación y, por lo tanto, no tiene soluciones. Ahora consideremos Situación general. Sea una ecuación √ A = √ B, donde A y B son algunas expresiones que contienen una variable. Entonces, en primer lugar, las expresiones radicales deben ser iguales: A = B. En segundo lugar, ambas expresiones radicales deben ser no negativas; pero en virtud de su igualdad, basta con exigir que uno de ellos sea no negativo. Así, tenemos: √ A = √ B ⇔ (A = B, A > 0 o √ A = √ B ⇔ (A = B, B > 0. En este caso, es natural exigir que la expresión que sea más simple no es negativo.

5. Graficar una función, expresiones analíticas que contiene el módulo:

El módulo de un número es la distancia desde el punto de referencia al punto correspondiente a este punto.

Algoritmo para trazar y=|f(x)|.

1.Construye una gráfica y=f(x)

2. Deje sin cambios las secciones del gráfico que se encuentran encima del eje de abscisas.

3. Las áreas que se encuentran debajo del eje x se reflejan con respecto a este eje.

Algoritmo para trazar y=f(|x|).

1. Construyamos una gráfica y=f(x).

2. eliminar todos los puntos ubicados a la izquierda del eje OY.

3. Todos los puntos que se encuentran en el eje del amplificador operacional y a su derecha se reflejarán simétricamente con respecto al eje del amplificador operacional.

Algoritmo para trazar |y|=|f(x)|

1.Construye una gráfica y=f(x).

2.construya una gráfica y=|f(x)|.

3. Haz que sea una imagen reflejada en relación con el eje Ox.

6.Propiedades y horario función cuadrada y=ax+bx+c

Una función que se puede especificar mediante la fórmula y=ax2+bx+c, donde a,b,c∈R y a≠0,

llamada función cuadrática.

El dominio de definición de la función y=ax2+bx+c ( valores aceptables argumentos x) son todos numeros reales(R).

Cronograma función cuadrática es una parábola.

La abscisa del vértice de una parábola (xo;yo) se puede calcular mediante la fórmula:

Para trazar una función cuadrática necesitas:

1) calcular las coordenadas del vértice de la parábola: x0=−b/2a e y0, que se encuentra sustituyendo el valor x0 en fórmula de función,

2) marca el vértice de la parábola en Plano coordinado, dibuja el eje de simetría de la parábola,

3) determinar la dirección de las ramas de la parábola,

4) marcar el punto de intersección de la parábola con Oy eje,

5) crear una tabla de valores seleccionando valores requeridos argumento x.

Resuelta la ecuación cuadrática ax2+bx+c=0, obtenemos los puntos de intersección de la parábola con el eje Ox o las raíces de la función (si el discriminante D>0)

si D<0, то точек пересечения параболы с осью Ox не существует,

Mantener su privacidad es importante para nosotros. Por este motivo, hemos desarrollado una Política de Privacidad que describe cómo usamos y almacenamos su información. Revise nuestras prácticas de privacidad y háganos saber si tiene alguna pregunta.

Recopilación y uso de información personal.

La información personal se refiere a datos que pueden usarse para identificar o contactar a una persona específica.

Es posible que se le solicite que proporcione su información personal en cualquier momento cuando se comunique con nosotros.

A continuación se muestran algunos ejemplos de los tipos de información personal que podemos recopilar y cómo podemos usar dicha información.

Qué información personal recopilamos:

• Cuando envía una solicitud en el sitio, podemos recopilar diversa información, incluido su nombre, número de teléfono, dirección de correo electrónico, etc.

Cómo usamos tu información personal:

• La información personal que recopilamos nos permite comunicarnos con usted con ofertas únicas, promociones y otros eventos y próximos eventos.
• De vez en cuando, podemos utilizar su información personal para enviar avisos y comunicaciones importantes.
• También podemos utilizar información personal para fines internos, como realizar auditorías, análisis de datos e investigaciones diversas para mejorar los servicios que brindamos y brindarle recomendaciones sobre nuestros servicios.
• Si participa en un sorteo de premios, concurso o promoción similar, podemos utilizar la información que proporcione para administrar dichos programas.

Divulgación de información a terceros

No revelamos la información que recibimos de usted a terceros.

Excepciones:

• Si es necesario, de conformidad con la ley, un procedimiento judicial, en procedimientos legales y/o en base a solicitudes públicas o solicitudes de autoridades gubernamentales en el territorio de la Federación de Rusia, revelar su información personal. También podemos divulgar información sobre usted si determinamos que dicha divulgación es necesaria o apropiada para fines de seguridad, cumplimiento de la ley u otros fines de importancia pública.
• En caso de una reorganización, fusión o venta, podemos transferir la información personal que recopilamos al tercero sucesor correspondiente.

Protección de información personal

Tomamos precauciones, incluidas las administrativas, técnicas y físicas, para proteger su información personal contra pérdida, robo y uso indebido, así como contra acceso no autorizado, divulgación, alteración y destrucción.

Respetando su privacidad a nivel de empresa

Para garantizar que su información personal esté segura, comunicamos estándares de privacidad y seguridad a nuestros empleados y aplicamos estrictamente las prácticas de privacidad.

El módulo de número es un nuevo concepto en matemáticas. Echemos un vistazo más de cerca a qué es un módulo numérico y cómo trabajar con él.

Veamos un ejemplo:

Salimos de casa para ir a la tienda. Caminamos 300 m, matemáticamente esta expresión se puede escribir como +300, el significado del número 300 del signo “+” no cambiará. La distancia o módulo de un número en matemáticas es lo mismo y se puede escribir así: |300|=300. El signo del módulo de un número se indica mediante dos líneas verticales.

Y luego caminamos 200 m en dirección opuesta. Matemáticamente, podemos escribir la ruta de retorno como -200. Pero no decimos “fuimos menos doscientos metros”, aunque regresamos, porque la distancia como cantidad sigue siendo positiva. Para ello se introdujo el concepto de módulo en matemáticas. Puedes escribir la distancia o módulo del número -200 así: |-200|=200.

Propiedades del módulo.

Definición:
Módulo de un número o valor absoluto de un número es la distancia desde el punto de partida hasta el punto de destino.

El módulo de un número entero distinto de cero es siempre un número positivo.

El módulo está escrito así:

1. El módulo de un número positivo es igual al número mismo.
| un|=a

2. El módulo de un número negativo es igual al número opuesto.
|- un|=a

3. El módulo de cero es igual a cero.
|0|=0

4. Los módulos de números opuestos son iguales.
| un|=|-un|=a

Preguntas relacionadas:
¿Cuál es el módulo de un número?
Respuesta: El módulo es la distancia desde el punto de partida hasta el punto de destino.

Si pones un signo “+” delante de un número entero, ¿qué pasa?
Respuesta: el número no cambiará su significado, por ejemplo, 4=+4.

Si pones un signo "-" delante de un número entero, ¿qué sucede?
Respuesta: el número cambiará a, por ejemplo, 4 y -4.

¿Qué números tienen el mismo módulo?
Respuesta: los números positivos y el cero tendrán el mismo módulo. Por ejemplo, 15=|15|.

¿Qué números tienen un módulo del número opuesto?
Respuesta: para números negativos, el módulo será igual al número opuesto. Por ejemplo, |-6|=6.

Ejemplo 1:
Encuentra el módulo de los números: a) 0 b) 5 c) -7?

Solución:
a) |0|=0
b) |5|=5
c)|-7|=7

Ejemplo #2:
¿Hay dos números diferentes cuyos módulos son iguales?

Solución:
|10|=10
|-10|=10

Los módulos de los números opuestos son iguales.

Ejemplo #3:
¿Qué dos números opuestos tienen módulo 9?

Solución:
|9|=9
|-9|=9

Respuesta: 9 y -9.

Ejemplo #4:
Siga estos pasos: a) |+5|+|-3| b) |-3|+|-8| c)|+4|-|+1|

Solución:
a) |+5|+|-3|=5+3=8
b) |-3|+|-8|=3+8=11
c)|+4|-|+1|=4-1=3

Ejemplo #5:
Encuentre: a) el módulo del número 2 b) el módulo del número 6 c) el módulo del número 8 d) el módulo del número 1 e) el módulo del número 0.
Solución:

a) el módulo del número 2 se denota como |2| o |+2| Es lo mismo.
|2|=2

b) el módulo del número 6 se denota como |6| o |+6| Es lo mismo.
|6|=6

c) el módulo del número 8 se denota como |8| o |+8| Es lo mismo.
|8|=8

d) el módulo del número 1 se denota como |1| o |+1| Es lo mismo.
|1|=1

e) el módulo del número 0 se denota como |0|, |+0| o |-0| Es lo mismo.
|0|=0