La función se puede especificar de varias maneras. Depende de la regla que se utilice para especificarlo. La forma explícita de especificar la función es y = f (x). Hay ocasiones en las que su descripción resulta imposible o inconveniente. Si hay muchos pares (x; y) que deben calcularse para el parámetro t en el intervalo (a; b). Resolver el sistema x = 3 cos t y = 3 sen t con 0 ≤ t< 2 π необходимо задавать окружность с центром координат с радиусом равным 3 .
Definición de una función paramétrica
De aquí tenemos que x = φ (t), y = ψ (t) están definidos para un valor t ∈ (a; b) y tienen una función inversa t = Θ (x) para x = φ (t), entonces estamos hablando de especificar una ecuación paramétrica de una función de la forma y = ψ (Θ (x)) .
Hay casos en los que, para estudiar una función, es necesario buscar la derivada con respecto a x. Consideremos la fórmula para la derivada de una función definida paramétricamente de la forma y x " = ψ " (t) φ " (t), hablemos de la derivada de segundo y enésimo orden.
Derivación de la fórmula para la derivada de una función definida paramétricamente
Tenemos que x = φ (t), y = ψ (t), definido y diferenciable para t ∈ a; b, donde x t " = φ " (t) ≠ 0 y x = φ (t), entonces existe una función inversa de la forma t = Θ (x).
Para empezar, debes pasar de una tarea paramétrica a una explícita. Para hacer esto, necesita obtener una función compleja de la forma y = ψ (t) = ψ (Θ (x)), donde hay un argumento x.
Con base en la regla para encontrar la derivada de una función compleja, obtenemos que y " x = ψ Θ (x) = ψ " Θ x · Θ " x .
Esto muestra que t = Θ (x) y x = φ (t) son funciones inversas de la fórmula de función inversa Θ " (x) = 1 φ " (t), entonces y " x = ψ " Θ (x) Θ " (x) = ψ " (t) φ " (t) .
Pasemos a considerar la resolución de varios ejemplos utilizando una tabla de derivadas según la regla de diferenciación.
Ejemplo 1
Encuentra la derivada de la función x = t 2 + 1 y = t.
Solución
Por condición tenemos que φ (t) = t 2 + 1, ψ (t) = t, de aquí obtenemos que φ "(t) = t 2 + 1", ψ "(t) = t " = 1. Debes utilizar la fórmula derivada y escribir la respuesta en la forma:
y " x = ψ " (t) φ " (t) = 1 2 t
Respuesta: y x " = 1 2 t x = t 2 + 1 .
Cuando se trabaja con la derivada de una función h, el parámetro t especifica la expresión del argumento x a través del mismo parámetro t, para no perder la conexión entre los valores de la derivada y la función definida paramétricamente con el argumento a al que corresponden estos valores.
Para determinar la derivada de segundo orden de una función dada paramétricamente, es necesario usar la fórmula para la derivada de primer orden en la función resultante, luego obtenemos que
y "" x = ψ " (t) φ " (t) " φ " (t) = ψ "" (t) φ " (t) - ψ " (t) φ "" (t) φ " (t) 2 φ " (t) = ψ "" (t) · φ " (t) - ψ " (t) · φ "" (t) φ " (t) 3 .
Ejemplo 2
Encuentre las derivadas de segundo y segundo orden de la función dada x = cos (2 t) y = t 2.
Solución
Por condición, encontramos que φ (t) = cos (2 t), ψ (t) = t 2.
Luego de la transformación
φ " (t) = cos (2 t) " = - sen (2 t) 2 t " = - 2 sen (2 t) ψ (t) = t 2 " = 2 t
Se deduce que y x " = ψ " (t) φ " (t) = 2 t - 2 sin 2 t = - t sin (2 t) .
Obtenemos que la forma de la derivada de 1er orden es x = cos (2 t) y x " = - t sin (2 t) .
Para resolverlo, debes aplicar la fórmula derivada de segundo orden. Obtenemos una expresión de la forma.
y x "" = - t sin (2 t) φ " t = - t " · sin (2 t) - t · (sin (2 t)) " sin 2 (2 t) - 2 sin (2 t) = = 1 sen (2 t) - t cos (2 t) (2 t) " 2 sen 3 (2 t) = sen (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 sen 3 (2 t)
Luego, especificando la derivada de segundo orden usando una función paramétrica
x = cos (2 t) y x "" = sen (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 sen 3 (2 t)
Una solución similar se puede resolver utilizando otro método. Entonces
φ " t = (cos (2 t)) " = - sen (2 t) 2 t " = - 2 sen (2 t) ⇒ φ "" t = - 2 sen (2 t) " = - 2 sen (2 t) " = - 2 cos (2 t) · (2 t) " = - 4 cos (2 t) ψ " (t) = (t 2) " = 2 t ⇒ ψ "" (t) = ( 2 t) " = 2
De aquí entendemos eso
y "" x = ψ "" (t) φ " (t) - ψ " (t) φ "" (t) φ " (t) 3 = 2 - 2 sen (2 t) - 2 t (- 4 cos (2 t)) - 2 sen 2 t 3 = = sen (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 sen 3 (2 t)
Respuesta: y "" x = sen (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 sen 3 (2 t)
Las derivadas de orden superior con funciones definidas paramétricamente se encuentran de manera similar.
Si nota un error en el texto, resáltelo y presione Ctrl+Enter
Diferenciación logarítmica
Derivadas de funciones elementales
Reglas básicas de diferenciación.
Función diferencial
Parte lineal principal del incremento de la función. A D X para determinar la diferenciabilidad de una función
D f=f(X)-F(X 0)=Un(x-x 0)+o(x-x 0), x®x 0
llamado diferencial de la función F(X) en el punto X 0 y se denota
df(X 0)=f¢(X 0)D x=A D X.
El diferencial depende del punto. X 0 y del incremento D X. en re X al mismo tiempo la ven como una variable independiente, por lo que en cada punto el diferencial es una función lineal del incremento D X.
Si consideramos como una función F(X)=x, entonces obtenemos dx= D x,dy=Adx. Esto es consistente con la notación de Leibniz.
Interpretación geométrica del diferencial como incremento de la ordenada de una tangente.
Arroz. 4.3
1) f= constante , f¢= 0,gl= 0D x= 0.
2) f=u+v, f¢=u¢+v¢, df = du+dv.
3) f=uv, f¢=u¢v+v¢u, df = u dv + v du.
Consecuencia. (cf(X))¢=cf¢(X), (C 1 F 1 (X)+…+c n f n(X))¢=c 1 f¢ 1 (X)+…+ c n f¢ n(X)
4) f=u/v,v(X 0)¹0 y la derivada existe, entonces f¢=(u¢v-v¢ tu)/v 2 .
Por brevedad denotaremos tu=tu(X), tu 0 =tu(X 0), entonces
Pasando al límite en D x® 0 obtenemos la igualdad requerida.
5) Derivada de una función compleja.
Teorema. Si hay f¢(X 0), g¢(X 0)yx 0 = g(t 0), entonces en algún barrio t 0 la función compleja f está definida(gramo(t)), es diferenciable en el punto t 0 Y
Prueba.
F(X)-F(X 0)=f¢(X 0)(xx 0)+ a( X)(xx 0), XÎ Ud.(X 0).
F(gramo(t))-F(gramo(t 0))= f¢(X 0)(gramo(t)-gramo(t 0))+ a( gramo(t))(gramo(t)-gramo(t 0)).
Dividamos ambos lados de esta igualdad por ( t-t 0) y vayamos al límite en t®t 0 .
6) Cálculo de la derivada de la función inversa.
Teorema. Sea f continua y estrictamente monótona en[a,b]. Sea en el punto x 0 Î( a,b)hay f¢(X 0)¹ 0 , entonces la función inversa x=f -1 (y)tiene en el punto y 0 derivada igual a
Prueba. Nosotros contamos F estrictamente monótonamente creciente, entonces F -1 (y) es continuo, aumenta monótonamente en [ F(a),F(b)]. Pongamos y 0 = f(X 0), y=f(X), x - x 0 =D X,
y - y 0 =D y. Debido a la continuidad de la función inversa D y®0 ÞD X®0, tenemos
Pasando al límite, obtenemos la igualdad requerida.
7) La derivada de una función par es impar, la derivada de una función impar es par.
De hecho, si x®-x 0 , Eso - x®x 0 , Es por eso
Para función par para función impar
1) f= constante, f¢(X)=0.
2) F(X)=x,f¢(X)=1.
3) F(X)=ex, f¢(X)= e x ,
4) F(X)=a x ,(una x)¢ = hacha en a.
5) en a.
6) F(X)=ln X,
Consecuencia. (la derivada de una función par es impar)
7) (X metro )¢= metro X-1 , X>0, X metro =e metro en X .
8) (pecado X)¢= porque X,
9) (porque X)¢=- pecado X,(porque X)¢= (pecado( x+ p/2)) ¢= porque( x+ p/2)=-pecado X.
10) (tg X)¢= 1/cos 2 X.
11) (ctg X)¢= -1/pecado 2 X.
16)sh X, ch X.
f(x),, de lo que se deduce que f¢(X)= f(X)(en F(X))¢ .
La misma fórmula se puede obtener de diferentes maneras. F(X)=e en F(X) , f¢=e en F(X) (en F(X))¢.
Ejemplo. Calcular la derivada de una función. f=xx.
=x x = x x = x x = x x(en x+ 1).
Ubicación geométrica de puntos en un plano.
lo llamaremos gráfica de una función, dado paramétricamente. También hablan de especificación paramétrica de una función.
Nota 1. Si x,y continuo para [a,b] Y X(t) estrictamente monótono en el segmento (por ejemplo, aumenta estrictamente monótonamente), luego en [ a,b], a=x(a) , b=x(b) función definida F(X)=y(t(X)), donde T(X) – función inversa a x(t). La gráfica de esta función coincide con la gráfica de la función.
Si el dominio de definición una función dada paramétricamente se puede dividir en un número finito de segmentos ,k= 1,2,...,norte, en cada uno de los cuales hay una función X(t) es estrictamente monótona, entonces la función definida paramétricamente se descompone en un número finito de funciones ordinarias f k(X)=y(t -1 (X)) con dominios [ X(a k), X(b k)] para secciones crecientes X(t) y con dominios [ X(b k), X(a k)] para áreas de función decreciente X(t). Las funciones obtenidas de esta manera se denominan ramas univaluadas de una función definida paramétricamente.
La figura muestra una gráfica de una función definida paramétricamente.
Con la parametrización seleccionada, el área de definición se divide en cinco secciones de estricta monotonicidad de la función sin(2 t), exactamente: tÎ tÎ ,tÎ ,tÎ , y, en consecuencia, el gráfico se dividirá en cinco ramas inequívocas correspondientes a estas secciones.
Arroz. 4.4
Arroz. 4.5
Puedes elegir una parametrización diferente de la misma ubicación geométrica de puntos.
En este caso sólo habrá cuatro sucursales de este tipo. Corresponderán a zonas de estricta monotonía. tÎ ,tÎ ,tÎ ,tÎ funciones pecado(2 t).
Arroz. 4.6
Cuatro secciones de monotonicidad de la función sin(2 t) en un segmento largo.
Arroz. 4.7
La representación de ambas gráficas en una figura le permite representar aproximadamente la gráfica de una función especificada paramétricamente, utilizando las áreas de monotonicidad de ambas funciones.
Como ejemplo, considere la primera rama correspondiente al segmento tÎ . Al final de esta sección la función x= pecado(2 t) toma valores -1 y 1 , por lo que esta rama se definirá en [-1,1] . Después de esto, debes observar las áreas de monotonía de la segunda función. y= porque( t), ella tiene puesto dos secciones de monotonía . Esto nos permite decir que la primera rama tiene dos tramos de monotonicidad. Habiendo encontrado los puntos finales del gráfico, puede conectarlos con líneas rectas para indicar la naturaleza de la monotonía del gráfico. Habiendo hecho esto con cada rama, obtenemos áreas de monotonicidad de ramas inequívocas del gráfico (están resaltadas en rojo en la figura)
Arroz. 4.8
Primera rama de valor único F 1 (X)=y(t(X)) , correspondiente al sitio será determinado para XО[-1,1] . Primera rama de valor único tÎ , XО[-1,1].
Las otras tres ramas también tendrán un dominio de definición [-1,1] .
Arroz. 4.9
Segunda sucursal tÎ XО[-1,1].
Arroz. 4.10
Tercera rama tÎ XО[-1,1]
Arroz. 4.11
Cuarta rama tÎ XО[-1,1]
Arroz. 4.12
Comentario 2. Una misma función puede tener diferentes configuraciones paramétricas. Las diferencias pueden afectar tanto a las funciones mismas X(t), y(t) , y el dominio de la definición estas funciones.
Ejemplo de diferentes asignaciones de parámetros para la misma función
Y tО[-1, 1] .
Nota 3. Si x,y son continuos en , X(t)- estrictamente monótono en el segmento y hay derivados y¢(t 0),x¢(t 0)¹0, entonces hay f¢(X 0)= .
En realidad, .
La última afirmación también se aplica a ramas de un solo valor de una función definida paramétricamente.
4.2 Derivados y diferenciales de orden superior
Mayores derivados y diferenciales. Diferenciación de funciones especificadas paramétricamente. La fórmula de Leibniz.
Hasta ahora, hemos considerado ecuaciones de rectas en un plano que conectan directamente las coordenadas actuales de los puntos de estas rectas. Sin embargo, a menudo se utiliza otro método para definir una línea, en el que las coordenadas actuales se consideran funciones de una tercera variable.
Sean dadas dos funciones de una variable.
considerado para los mismos valores de t. Entonces cualquiera de estos valores de t corresponde a un determinado valor y a un determinado valor de y, y por tanto a un determinado punto. Cuando la variable t recorre todos los valores del dominio de definición de funciones (73), el punto describe una determinada línea C en el plano. Las ecuaciones (73) se denominan ecuaciones paramétricas de esta línea, y la variable se llama. un parámetro.
Supongamos que la función tiene una función inversa. Sustituyendo esta función en la segunda de las ecuaciones (73), obtenemos la ecuación.
expresando y como una función
Convengamos en decir que esta función viene dada paramétricamente por las ecuaciones (73). La transición de estas ecuaciones a la ecuación (74) se llama eliminación de parámetros. Al considerar funciones definidas paramétricamente, excluir el parámetro no sólo no es necesario, sino que tampoco siempre es posible en la práctica.
En muchos casos, es mucho más conveniente, dados diferentes valores del parámetro, luego calcular, utilizando las fórmulas (73), los valores correspondientes del argumento y la función y.
Veamos ejemplos.
Ejemplo 1. Sea un punto arbitrario en un círculo con centro en el origen y radio R. Las coordenadas cartesianas xey de este punto se expresan a través de su radio polar y ángulo polar, que denotamos aquí por t, de la siguiente manera ( véase el capítulo I, artículo 3, apartado 3):
Las ecuaciones (75) se denominan ecuaciones paramétricas de un círculo. El parámetro en ellos es el ángulo polar, que varía de 0 a .
Si las ecuaciones (75) se elevan al cuadrado término por término y se suman, entonces en virtud de la identidad se elimina el parámetro y se obtiene la ecuación de un círculo en el sistema de coordenadas cartesiano, que define dos funciones elementales:
Cada una de estas funciones se especifica paramétricamente mediante las ecuaciones (75), pero los rangos de parámetros para estas funciones son diferentes. Para el primero de ellos; La gráfica de esta función es el semicírculo superior. Para la segunda función, su gráfica es el semicírculo inferior.
Ejemplo 2. Considere simultáneamente una elipse.
y un círculo con centro en el origen y radio a (Fig. 138).
A cada punto M de la elipse le asociamos un punto N del círculo, que tiene la misma abscisa que el punto M y se sitúa con éste en el mismo lado del eje Ox. La posición del punto N, y por tanto del punto M, está completamente determinada por el ángulo polar t del punto. En este caso, para su abscisa común obtenemos la siguiente expresión: x = a. Encontramos la ordenada en el punto M a partir de la ecuación de la elipse:
Se eligió el signo porque la ordenada del punto M y la ordenada del punto N deben tener el mismo signo.
Así, se obtienen las siguientes ecuaciones paramétricas para la elipse:
Aquí el parámetro t varía de 0 a .
Ejemplo 3. Considere un círculo con centro en el punto a) y radio a, que obviamente toca el eje x en el origen (Fig. 139). Supongamos que este círculo rueda sin deslizarse a lo largo del eje x. Entonces el punto M del círculo, que en el momento inicial coincidía con el origen de coordenadas, describe una recta llamada cicloide.
Derivemos las ecuaciones paramétricas de la cicloide, tomando como parámetro t el ángulo MSV de rotación del círculo al mover su punto fijo desde la posición O a la posición M. Luego para las coordenadas e y del punto M obtenemos las siguientes expresiones:
Debido a que el círculo rueda a lo largo del eje sin deslizarse, la longitud del segmento OB es igual a la longitud del arco BM. Dado que la longitud del arco BM es igual al producto del radio a y el ángulo central t, entonces . Es por eso . Pero por lo tanto,
Estas ecuaciones son las ecuaciones paramétricas de la cicloide. Cuando el parámetro t cambia de 0 al círculo hará una revolución completa. El punto M describirá un arco de la cicloide.
Excluir aquí el parámetro t conduce a expresiones engorrosas y es prácticamente poco práctico.
La definición paramétrica de líneas se utiliza especialmente en mecánica, y el papel del parámetro lo desempeña el tiempo.
Ejemplo 4. Determinemos la trayectoria de un proyectil disparado con una velocidad inicial en un ángulo a con la horizontal. Despreciamos la resistencia del aire y las dimensiones del proyectil, considerándolo un punto material.
Elijamos un sistema de coordenadas. Tomemos como origen de coordenadas el punto de partida del proyectil desde la boca. Dirijamos el eje Ox horizontalmente y el eje Oy verticalmente, colocándolos en el mismo plano que la boca del arma. Si no hubiera fuerza de gravedad, entonces el proyectil se movería en línea recta, formando un ángulo a con el eje Ox, y en el tiempo t habría recorrido la distancia. Las coordenadas del proyectil en el tiempo t serían respectivamente iguales. a: . Debido a la gravedad, el proyectil en este momento debería descender verticalmente una cantidad. Por lo tanto, en realidad, en el tiempo t, las coordenadas del proyectil están determinadas por las fórmulas:
Estas ecuaciones contienen cantidades constantes. Cuando t cambia, las coordenadas en el punto de la trayectoria del proyectil también cambiarán. Las ecuaciones son ecuaciones paramétricas de la trayectoria del proyectil, en las que el parámetro es el tiempo.
Expresando a partir de la primera ecuación y sustituyéndola en
la segunda ecuación, obtenemos la ecuación de la trayectoria del proyectil en la forma Esta es la ecuación de una parábola.
Dejemos que la función se especifique de forma paramétrica:
(1)
¿Dónde hay una variable llamada parámetro? Y dejemos que las funciones tengan derivadas en un cierto valor de la variable. Además, la función también tiene una función inversa en una determinada vecindad del punto. Entonces la función (1) tiene una derivada en el punto que, en forma paramétrica, está determinada por las fórmulas:
(2)
Aquí y están las derivadas de las funciones y con respecto a la variable (parámetro). A menudo se escriben de la siguiente manera:
;
.
Entonces el sistema (2) se puede escribir de la siguiente manera:
Prueba
Por condición, la función tiene una función inversa. Denotémoslo como
.
Entonces la función original se puede representar como una función compleja:
.
Encontremos su derivada usando las reglas para diferenciar funciones complejas e inversas:
.
La regla ha sido probada.
Prueba de la segunda manera.
Encontremos la derivada de la segunda forma, basándonos en la definición de la derivada de la función en el punto:
.
Introduzcamos la notación:
.
Entonces la fórmula anterior toma la forma:
.
Aprovechemos que la función tiene una función inversa en la vecindad del punto.
Introduzcamos la siguiente notación:
;
;
;
.
Divide el numerador y denominador de la fracción por:
.
En , . Entonces
.
La regla ha sido probada.
Derivados de orden superior
Para encontrar derivadas de órdenes superiores, es necesario realizar la diferenciación varias veces. Digamos que necesitamos encontrar la derivada de segundo orden de una función definida paramétricamente, de la siguiente forma:
(1)
Usando la fórmula (2) encontramos la primera derivada, que también se determina paramétricamente:
(2)
Denotamos la primera derivada por la variable:
.
Luego, para encontrar la segunda derivada de una función con respecto a la variable, necesitas encontrar la primera derivada de la función con respecto a la variable. La dependencia de una variable de otra también se especifica de forma paramétrica:
(3)
Comparando (3) con las fórmulas (1) y (2), encontramos:
Ahora expresemos el resultado a través de las funciones y . Para hacer esto, sustituyamos y apliquemos la fórmula de la fracción derivada:
.
Entonces
.
De aquí obtenemos la segunda derivada de la función respecto de la variable:
También se da en forma paramétrica. Tenga en cuenta que la primera línea también se puede escribir de la siguiente manera:
.
Continuando con el proceso, se pueden obtener derivadas de funciones a partir de una variable de tercer orden y superiores.
Tenga en cuenta que no es necesario introducir una notación para la derivada. Puedes escribirlo así:
;
.
Ejemplo 1
Encuentra la derivada de una función definida paramétricamente:
Solución
Encontramos derivadas con respecto a .
De la tabla de derivadas encontramos:
;
.
Aplicamos:
.
Aquí .
.
Aquí .
La derivada requerida:
.
Respuesta
Ejemplo 2
Encuentra la derivada de la función expresada a través del parámetro:
Solución
Ampliemos los corchetes usando fórmulas para funciones de potencia y raíces:
.
Encontrar la derivada:
.
Encontrar la derivada. Para ello, introducimos una variable y aplicamos la fórmula para la derivada de una función compleja.
.
Encontramos la derivada deseada:
.
Respuesta
Ejemplo 3
Encuentre las derivadas de segundo y tercer orden de la función definida paramétricamente en el Ejemplo 1:
Solución
En el Ejemplo 1 encontramos la derivada de primer orden:
Introduzcamos la designación. Entonces la función es derivada con respecto a . Se especifica paramétricamente:
Para encontrar la segunda derivada con respecto a , necesitamos encontrar la primera derivada con respecto a .
Diferenciemos por .
.
Encontramos la derivada de en el Ejemplo 1:
.
La derivada de segundo orden con respecto a es igual a la derivada de primer orden con respecto a:
.
Entonces, encontramos la derivada de segundo orden con respecto a la forma paramétrica:
Ahora encontramos la derivada de tercer orden. Introduzcamos la designación. Luego necesitamos encontrar la derivada de primer orden de la función, que se especifica de forma paramétrica:
Encuentre la derivada con respecto a . Para ello, lo reescribimos en forma equivalente:
.
De
.
La derivada de tercer orden con respecto a es igual a la derivada de primer orden con respecto a:
.
Comentario
No es necesario ingresar las variables y , que son derivadas de y , respectivamente. Entonces puedes escribirlo así:
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Respuesta
En representación paramétrica, la derivada de segundo orden tiene la siguiente forma:
Derivada de tercer orden.
