Fórmula para la longitud de la línea media de un paralelogramo. Triángulo, cuadrilátero, paralelogramo

linea intermedia Figuras en planimetría: segmento que conecta los puntos medios de dos lados de una figura determinada. El concepto se utiliza para las siguientes figuras: triángulo, cuadrilátero, trapezoide.

Línea media del triángulo

Propiedades

la línea media del triángulo es paralela a la base e igual a la mitad de ella.
la línea media corta un triángulo similar y homotético al original con un coeficiente de 1/2; su área es igual a un cuarto del área del triángulo original.
las tres líneas medias dividen el triángulo original en cuatro triángulos iguales. El central de estos triángulos se llama triángulo complementario o medial.

Señales

Si un segmento es paralelo a uno de los lados del triángulo y conecta el punto medio de un lado del triángulo con un punto que se encuentra en el otro lado del triángulo, entonces esta es la línea media.

Línea media de un cuadrilátero

Línea media de un cuadrilátero- un segmento que conecta los puntos medios de los lados opuestos de un cuadrilátero.

Propiedades

La primera línea conecta 2 lados opuestos. El segundo conecta otros 2 lados opuestos. El tercero conecta los centros de dos diagonales (no en todos los cuadriláteros las diagonales se dividen por la mitad en el punto de intersección).

Si en un cuadrilátero convexo la línea media forma ángulos iguales con las diagonales del cuadrilátero, entonces las diagonales son iguales.
La longitud de la línea media de un cuadrilátero es menor que la mitad de la suma de los otros dos lados o igual a ella si estos lados son paralelos, y sólo en este caso.
Los puntos medios de los lados de un cuadrilátero arbitrario son los vértices de un paralelogramo. Su área es igual a la mitad del área del cuadrilátero y su centro se encuentra en el punto de intersección de las líneas medias. Este paralelogramo se llama paralelogramo de Varignon;
El último punto significa lo siguiente: En un cuadrilátero convexo puedes dibujar cuatro líneas medias del segundo tipo. Líneas medias del segundo tipo.- cuatro segmentos dentro de un cuadrilátero, que pasan por los puntos medios de sus lados adyacentes paralelos a las diagonales. cuatro líneas medias del segundo tipo de un cuadrilátero convexo, córtelo en cuatro triángulos y un cuadrilátero central. Este cuadrilátero central es un paralelogramo de Varignon.
El punto de intersección de las líneas medias de un cuadrilátero es su punto medio común y biseca el segmento que conecta los puntos medios de las diagonales. Además, es el centroide de los vértices del cuadrilátero.
En un cuadrilátero arbitrario, el vector de la línea media es igual a la mitad de la suma de los vectores de las bases.

Línea media del trapezoide

Línea media del trapezoide- un segmento que conecta los puntos medios de los lados de este trapezoide. El segmento que conecta los puntos medios de las bases del trapezoide se llama segunda línea media del trapezoide.

Se calcula mediante la fórmula: E F = A D + B C 2 (\displaystyle EF=(\frac (AD+BC)(2))), Dónde ANUNCIO Y ANTES DE CRISTO.- la base del trapezoide.

Línea media del triángulo

Propiedades

La línea media del triángulo es paralela al tercer lado e igual a la mitad del mismo.
cuando se dibujan las tres líneas medias, se forman 4 triángulos iguales, similares (incluso homotéticos) al original con un coeficiente de 1/2.
la línea media corta un triángulo similar a este, y su área es igual a un cuarto del área del triángulo original.

Línea media del cuadrilátero

Línea media del cuadrilátero- un segmento que conecta los puntos medios de los lados opuestos de un cuadrilátero.

Propiedades

La primera línea conecta 2 lados opuestos. El segundo conecta los otros 2 lados opuestos. El tercero conecta los centros de dos diagonales (no todos los cuadriláteros tienen centros que se cruzan)

Si en un cuadrilátero convexo la línea media forma ángulos iguales con las diagonales del cuadrilátero, entonces las diagonales son iguales.
La longitud de la línea media de un cuadrilátero es menor que la mitad de la suma de los otros dos lados o igual a ella si estos lados son paralelos, y sólo en este caso.
Los puntos medios de los lados de un cuadrilátero arbitrario son los vértices de un paralelogramo. Su área es igual a la mitad del área del cuadrilátero y su centro se encuentra en el punto de intersección de las líneas medias. Este paralelogramo se llama paralelogramo de Varignon;
El punto de intersección de las líneas medias de un cuadrilátero es su punto medio común y biseca el segmento que conecta los puntos medios de las diagonales. Además, es el centroide de los vértices del cuadrilátero.
En un cuadrilátero arbitrario, el vector de la línea media es igual a la mitad de la suma de los vectores de las bases.

Línea media del trapezoide

Propiedades

la línea media es paralela a las bases e igual a su mitad de la suma.

ver también

Notas

Fundación Wikimedia. 2010.

Vea qué es "Midline" en otros diccionarios:

LINEA INTERMEDIA- (1) un segmento trapezoide que conecta los puntos medios de los lados laterales del trapezoide. La línea media del trapezoide es paralela a sus bases e igual a su media suma; (2) de un triángulo, un segmento que conecta los puntos medios de dos lados de este triángulo: el tercer lado en este caso... ... Gran Enciclopedia Politécnica

Un triángulo (trapezoide) es un segmento que conecta los puntos medios de dos lados de un triángulo (lados de un trapezoide)... Gran diccionario enciclopédico

linea intermedia- 24 línea central: Línea imaginaria que pasa por el perfil del hilo de manera que el espesor del hombro sea igual al ancho de la ranura. Fuente … Diccionario-libro de referencia de términos de documentación normativa y técnica.

Triángulo (trapezoide), segmento que conecta los puntos medios de dos lados del triángulo (lados del trapezoide). * * * LÍNEA MEDIA LÍNEA MEDIA de un triángulo (trapecio), un segmento que conecta los puntos medios de dos lados del triángulo (lados laterales del trapezoide)... diccionario enciclopédico

linea intermedia- vidurio linija statusas T sritis Kūno kultūra ir sportas apibrėžtis 3 mm linija, dalijanti teniso se convirtió en paviršių išilgai pusiau. atitikmenys: inglés. línea central; línea media vok. Mittellinie, frus. línea media...Sporto terminų žodynas

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1) S. l. triángulo, segmento que conecta los puntos medios de dos lados de un triángulo (el tercer lado se llama base). S.l. del triángulo es paralela a la base e igual a la mitad de ella; área de las partes del triángulo en que c lo divide. yo.,... ... Gran enciclopedia soviética

Segmento de un triángulo que conecta los puntos medios de dos lados del triángulo. El tercer lado del triángulo se llama base del triángulo. S.l. de un triángulo es paralela a la base e igual a la mitad de su longitud. En cualquier triángulo S. l. se corta de... ... Enciclopedia Matemática

Triángulo (trapezoide), segmento que conecta los puntos medios de dos lados del triángulo (lados del trapezoide)... Ciencias Naturales. diccionario enciclopédico

Conferencia científica y práctica de escolares de Gomel sobre matemáticas, sus aplicaciones y tecnologías de la información "Búsqueda"

Trabajo educativo y de investigación.

Líneas centrales de formas geométricas.

Morozova Elizaveta

Gómel 2010

Introducción

1.Propiedades de las líneas medias

2. Triángulo, cuadrilátero, paralelogramo

3. Cuadrilátero, tetraedro. centros de masa

4. Tetraedro, octaedro, paralelepípedo, cubo

Conclusión

Lista de literatura usada

Solicitud

Introducción

La geometría es una parte integral de la cultura general y los métodos geométricos sirven como herramienta para comprender el mundo, contribuyen a la formación de ideas científicas sobre el espacio circundante y al descubrimiento de la armonía y perfección del Universo. La geometría comienza con un triángulo. Desde hace dos milenios, el triángulo es un símbolo de la geometría, pero no es un símbolo. Un triángulo es un átomo de geometría. El triángulo es inagotable: constantemente se descubren nuevas propiedades. Para hablar de todas sus propiedades conocidas, se necesita un volumen comparable en volumen al de la Gran Enciclopedia. Queremos hablar de las líneas medias de las formas geométricas y sus propiedades.

Nuestro trabajo traza una cadena de teoremas que cubre todo el curso de geometría. Comienza con un teorema sobre las líneas medias de un triángulo y conduce a propiedades interesantes del tetraedro y otros poliedros.

La línea media de una figura es un segmento que conecta los puntos medios de dos lados de una figura determinada.

1. Propiedades de las líneas medias

Propiedades de un triángulo:

Cuando se dibujan las tres líneas medias, se forman 4 triángulos iguales, similar al original con un coeficiente de 1/2.

la línea media es paralela a la base del triángulo e igual a su mitad;

la línea media corta un triángulo similar a este, y su área es un cuarto de su área.

Propiedades de un cuadrilátero:

Si en un cuadrilátero convexo la línea media forma ángulos iguales con las diagonales del cuadrilátero, entonces las diagonales son iguales.

la longitud de la línea media de un cuadrilátero es menor que la mitad de la suma de los otros dos lados o igual a ella si estos lados son paralelos, y sólo en este caso.

los puntos medios de los lados de un cuadrilátero arbitrario son los vértices de un paralelogramo. Su área es igual a la mitad del área del cuadrilátero y su centro se encuentra en el punto de intersección de las líneas medias. Este paralelogramo se llama paralelogramo de Varignon;

El punto de intersección de las líneas medias de un cuadrilátero es su punto medio común y biseca el segmento que conecta los puntos medios de las diagonales. Además, es el centroide de los vértices del cuadrilátero.

Propiedades del trapezoide:

la línea media es paralela a las bases del trapezoide e igual a su media suma;

Los puntos medios de los lados de un trapecio isósceles son los vértices de un rombo.

2. Triángulo, cuadrilátero, paralelogramo

A cualquier triángulo KLM se le pueden unir tres triángulos iguales AKM, BLK, CLM, cada uno de los cuales, junto con el triángulo KLM, forma un paralelogramo (Fig. 1). En este caso, AK = ML = KB, y el vértice K es adyacente a tres ángulos iguales a tres ángulos diferentes del triángulo, suman 180°, por lo tanto K es la mitad del segmento AB; de manera similar, L es el punto medio del segmento BC y M es el punto medio del segmento CA.

Teorema 1. Si conectamos los puntos medios de los lados de cualquier triángulo, obtenemos cuatro triángulos iguales, formando el del medio un paralelogramo con cada uno de los otros tres.

Esta formulación involucra las tres líneas medias del triángulo a la vez.

Teorema 2. El segmento que conecta los puntos medios de los dos lados del triángulo es paralelo al tercer lado del triángulo e igual a la mitad del mismo (ver Fig. 1).

Es este teorema y su recíproco (que una línea recta paralela a la base y que pasa por el centro de un lado de un triángulo divide el otro lado por la mitad) es lo que más a menudo se necesita para resolver problemas.

Del teorema de las líneas medias de un triángulo se desprende la propiedad de la línea media de un trapezoide (Fig. 2), así como los teoremas de los segmentos que conectan los puntos medios de los lados de un cuadrilátero arbitrario.

Teorema 3. Los puntos medios de los lados de un cuadrilátero son los vértices de un paralelogramo. Los lados de este paralelogramo son paralelos a las diagonales del cuadrilátero y sus longitudes son iguales a la mitad de las longitudes de las diagonales.

De hecho, si K y L son los puntos medios de los lados AB y BC (Fig. 3), entonces KL es la línea media del triángulo ABC, por lo tanto el segmento KL es paralelo a la diagonal AC e igual a la mitad de ella; si M y N son los puntos medios de los lados CD y AD, entonces el segmento MN también es paralelo a AC e igual a AC/2. Por tanto, los segmentos KL y MN son paralelos e iguales entre sí, lo que significa que el cuadrilátero KLMN es un paralelogramo.

Como corolario del Teorema 3, obtenemos un hecho interesante (Parte 4).

Teorema 4. En cualquier cuadrilátero, los segmentos que conectan los puntos medios de lados opuestos se dividen por la mitad por el punto de intersección.

En estos segmentos se pueden ver las diagonales del paralelogramo (ver Fig. 3), y en el paralelogramo las diagonales están divididas por la mitad por el punto de intersección (este punto es el centro de simetría del paralelogramo).

Vemos que los teoremas 3 y 4 y nuestro razonamiento siguen siendo válidos tanto para un cuadrilátero no convexo como para un cuadrilátero con línea discontinua cerrada que se interseca a sí mismo (Fig. 4; en el último caso puede resultar que el paralelogramo KLMN sea "degenerado" - los puntos K, L, M, N se encuentran en la misma recta).

Demostremos cómo a partir de los teoremas 3 y 4 podemos derivar el teorema principal sobre las medianas de un triángulo.

Teorema5 . Las medianas de un triángulo se cortan en un punto y lo dividen en una proporción de 2:1 (contando desde el vértice del que se extrae la mediana).

Dibujemos dos medianas AL y SC del triángulo ABC. Sea O su punto de intersección. Los puntos medios de los lados de un cuadrilátero ABCO no convexo son los puntos K, L, M y N (Fig.5): los vértices del paralelogramo, y el punto de intersección de sus diagonales KM y LN para nuestra configuración será el punto de intersección de las medianas O. Entonces, AN = NO = OL y CM = MO = OK, es decir, el punto O divide cada una de las medianas AL y CK en una proporción de 2:1.

En lugar de la mediana SC, podríamos considerar la mediana extraída del vértice B y asegurarnos de la misma manera que divide a la mediana AL en la proporción 2:1, es decir, pasa por el mismo punto O.

3. Cuadrángulo y tetraedro. centros de masa

Los teoremas 3 y 4 también son válidos para cualquier línea discontinua cerrada espacial que consta de cuatro enlaces AB, BC, CD, DA, cuyos cuatro vértices A, B, C, D no se encuentran en el mismo plano.

Un cuadrilátero espacial de este tipo se puede obtener recortando un cuadrilátero ABCD de papel y doblándolo en diagonal en un cierto ángulo (Fig. 6, a). Está claro que las líneas medias KL y MN de los triángulos ABC y ADC siguen siendo sus líneas medias y serán paralelas al segmento AC e iguales a AC/2. (Aquí utilizamos el hecho de que la propiedad básica de las líneas paralelas sigue siendo válida para el espacio: si dos líneas KL y MN son paralelas a la tercera línea AC, entonces KL y MN se encuentran en el mismo plano y son paralelas entre sí.)

Así, los puntos K, L, M, N son los vértices del paralelogramo; Así, los segmentos KM y LN se cruzan y se dividen por la mitad por el punto de intersección. En lugar de un cuadrilátero, podemos hablar de un tetraedro, una pirámide triangular ABCD: los puntos medios K, L, M, N de sus aristas AB, AC, CD y DA siempre se encuentran en el mismo plano. Al cortar el tetraedro a lo largo de este plano (Fig.6, b), obtenemos un paralelogramo KLMN, cuyos dos lados son paralelos al borde AC e iguales

AC/2, y los otros dos son paralelos al borde BD e iguales a BD/2.

El mismo paralelogramo, la "sección media" del tetraedro, se puede construir para otros pares de aristas opuestas. Cada dos de estos tres paralelogramos tienen una diagonal común. En este caso coinciden los puntos medios de las diagonales. Entonces obtenemos un corolario interesante:

Teorema 6. Tres segmentos que conectan los puntos medios de los bordes opuestos del tetraedro se cruzan en un punto y se dividen por la mitad (Fig. 7).

Este y otros hechos discutidos anteriormente se explican naturalmente en el lenguaje de la mecánica, utilizando el concepto de centro de masa. El teorema 5 habla de uno de los puntos notables del triángulo: el punto de intersección de las medianas; en el Teorema 6, sobre un punto notable para los cuatro vértices de un tetraedro. Estos puntos son los centros de masa del triángulo y del tetraedro, respectivamente. Primero volvamos al teorema 5 sobre las medianas.

Coloquemos tres pesos idénticos en los vértices del triángulo (Fig. 8).

Tomemos la masa de cada uno como uno. Encontremos el centro de masa de este sistema de carga.

Consideremos primero dos pesos ubicados en los vértices A y B: su centro de masa está ubicado en el medio del segmento AB, por lo que estos pesos pueden ser reemplazados por un peso de masa 2, colocado en el medio K del segmento AB. (Figura 8, a). Ahora necesitas encontrar el centro de masa de un sistema de dos cargas: una con masa 1 en el punto C y la segunda con masa 2 en el punto K. Según la regla de la palanca, el centro de masa de dicho sistema está ubicado en punto O, dividiendo el segmento SC en la proporción 2:1 (más cerca de la carga en el punto K con una masa mayor - Fig. 8, b).

Primero podríamos combinar las cargas en los puntos B y C, y luego la carga resultante de la masa 2 en el medio L del segmento BC con la carga en el punto A. O primero combinar las cargas A y C, a. luego agregue B. De cualquier manera deberíamos obtener el mismo resultado. El centro de masa queda así situado en el punto O, dividiendo cada una de las medianas en una proporción de 2:1, contando desde el vértice. Consideraciones similares podrían explicar el Teorema 4: el hecho de que los segmentos que conectan los puntos medios de lados opuestos de un cuadrilátero se bisecan entre sí (sirven como diagonales de un paralelogramo): basta con colocar pesos idénticos en los vértices del cuadrilátero y combinarlos en pares de dos maneras (Fig. 9).

Por supuesto, cuatro pesos unitarios ubicados en un plano o en el espacio (en los vértices de un tetraedro) se pueden dividir en dos pares de tres maneras; el centro de masa está ubicado en el medio entre los puntos medios de los segmentos que conectan estos pares de puntos (Fig. 10) - explicación del Teorema 6. (Para un cuadrilátero plano, el resultado obtenido se ve así: dos segmentos que conectan los puntos medios de lados opuestos y un segmento que conecta los puntos medios de las diagonales, se cruzan en un punto Oh y lo dividen por la mitad).

Por el punto O, el centro de masa de cuatro cargas idénticas, pasan cuatro segmentos más, que conectan cada uno de ellos con el centro de masa de los otros tres. Estos cuatro segmentos están divididos por el punto O en una proporción de 3:1. Para explicar este hecho, primero debes encontrar el centro de masa de los tres pesos y luego unir el cuarto.

4. Tetraedro, octaedro, paralelepípedo, cubo

Al comienzo del trabajo, miramos un triángulo dividido por las líneas medias en cuatro triángulos idénticos (ver Fig. 1). Intentemos hacer la misma construcción para una pirámide triangular arbitraria (tetraedro). Cortamos el tetraedro en pedazos de la siguiente manera: a través de la mitad de los tres bordes que salen de cada vértice, hacemos un corte plano (Fig. 11, a). Luego se cortarán cuatro pequeños tetraedros idénticos del tetraedro. Por analogía con un triángulo, uno pensaría que en el medio habría otro tetraedro similar. Pero no es así: el poliedro que queda del tetraedro grande después de quitar los cuatro pequeños tendrá seis vértices y ocho caras; se llama octaedro (figura 11.6). Una forma cómoda de comprobarlo es utilizando un trozo de queso en forma de tetraedro. El octaedro resultante tiene un centro de simetría, ya que los puntos medios de los bordes opuestos del tetraedro se cruzan en un punto común y son atravesados por él.

Una construcción interesante está asociada a un triángulo dividido por las líneas medias en cuatro triángulos: podemos considerar esta figura como el desarrollo de un determinado tetraedro.

Imaginemos un triángulo agudo recortado en papel. Doblándolo a lo largo de las líneas medias para que los vértices converjan en un punto y pegando los bordes del papel que convergen en este punto, obtenemos un tetraedro en el que las cuatro caras son triángulos iguales; sus bordes opuestos son iguales (Fig. 12). Este tetraedro se llama semirregular. Cada una de las tres "secciones intermedias" de este tetraedro (paralelogramos cuyos lados son paralelos a los bordes opuestos e iguales a sus mitades) será un rombo.

Por lo tanto, las diagonales de estos paralelogramos (tres segmentos que conectan los puntos medios de aristas opuestas) son perpendiculares entre sí. Entre las numerosas propiedades de un tetraedro semirregular, destacamos las siguientes: la suma de los ángulos que convergen en cada uno de sus vértices es igual a 180° (estos ángulos son respectivamente iguales a los ángulos del triángulo original). En particular, si comenzamos con un triángulo equilátero, obtenemos un tetraedro regular con

Al inicio del trabajo vimos que cada triángulo se puede considerar como un triángulo formado por las líneas medias de un triángulo mayor. No existe una analogía directa en el espacio para tal construcción. Pero resulta que cualquier tetraedro puede considerarse como el “núcleo” de un paralelepípedo, en el que las seis aristas del tetraedro sirven como diagonales de las caras. Para hacer esto, necesitas realizar la siguiente construcción en el espacio. A través de cada arista del tetraedro trazamos un plano paralelo al borde opuesto. Los planos dibujados a través de los bordes opuestos del tetraedro serán paralelos entre sí (son paralelos al plano de la "sección media", un paralelogramo con vértices en el medio de los otros cuatro bordes del tetraedro). De este modo se obtienen tres pares de planos paralelos, cuya intersección forma el paralelepípedo deseado (dos planos paralelos se cruzan con un tercero a lo largo de rectas paralelas). Los vértices del tetraedro sirven como cuatro vértices no adyacentes del paralelepípedo construido (Fig. 13). Por el contrario, en cualquier paralelepípedo se pueden seleccionar cuatro vértices no adyacentes y cortarle tetraedros de esquina con planos que pasen por cada tres de ellos. Después de eso, quedará un "núcleo": un tetraedro, cuyos bordes son las diagonales de las caras del paralelepípedo.

Si el tetraedro original es semirregular, entonces cada cara del paralelepípedo construido será un paralelogramo con diagonales iguales, es decir rectángulo.

Lo contrario también es cierto: el “núcleo” de un paralelepípedo rectangular es un tetraedro semirregular. Tres rombos, las secciones medias de dicho tetraedro, se encuentran en tres planos mutuamente perpendiculares. Sirven como planos de simetría del octaedro obtenido a partir de dicho tetraedro cortando las esquinas.

Para un tetraedro regular, el paralelepípedo descrito a su alrededor será un cubo (Fig. 14), y los centros de las caras de este cubo, los centros de las aristas del tetraedro, serán los vértices de un octaedro regular, todos cuyas caras son triángulos regulares. (Los tres planos de simetría del octaedro cortan al tetraedro en cuadrados).

Así, en la Figura 14 vemos inmediatamente tres de los cinco sólidos platónicos (poliedros regulares): cubo, tetraedro y octaedro.

Conclusión

A partir del trabajo realizado se pueden extraer las siguientes conclusiones:

Las líneas medias tienen varias propiedades útiles en las formas geométricas.

Un teorema puede demostrarse utilizando la línea central de las figuras y también explicarse en el lenguaje de la mecánica, utilizando el concepto de centro de masa.

Usando líneas medias, puede construir varias figuras planimétricas (paralelogramo, rombo, cuadrado) y estereométricas (cubo, octaedro, tetraedro, etc.).

Las propiedades de las líneas medias ayudan a resolver racionalmente problemas de cualquier nivel.

Lista de fuentes y literatura utilizada.

Revista mensual de divulgación científica, física y matemáticas, de la Academia de Ciencias de la URSS y de la Academia de Ciencias Pedagógicas de la Literatura. “Cuántico No. 6 1989 p. 46.

S. Aksimova. Matemáticas entretenidas. – San Petersburgo, “Trigon”, 1997 p. 526.

V.V. Shlykov, L.E. Zezetko. Lecciones prácticas de geometría, décimo grado: un manual para profesores - Mn.: TetraSystems, 2004 p. 68,76, 78.

Solicitud

¿Por qué la línea media de un trapezoide no puede pasar por el punto de intersección de las diagonales?

BCDA 1 B 1 C 1 D 1 - paralelepípedo. Los puntos E y F son los puntos de intersección de las diagonales de las caras. AA1B 1 B y BB 1 C 1 C, respectivamente, y los puntos K y T son los puntos medios de las costillas AD y DC, respectivamente. ¿Es cierto que las rectas EF y CT son paralelas?

En un prisma triangular ABCA 1 B 1 C 1 los puntos O y F son la mitad de las aristas AB y BC, respectivamente. Los puntos T y K son la mitad de los segmentos AB 1 y BC 1, respectivamente. ¿Cómo están ubicadas las líneas directas TK y OF?

ABCA 1 B 1 C 1 es un prisma triangular regular, cuyos bordes son iguales entre sí. El punto O es el centro de la arista CC 1 y el punto F se encuentra en la arista BB] de modo que BF: FB X =1:3. Construya un punto K en el que la recta l que pasa por el punto F paralela a la recta AO corte al plano ABC. Calcula la superficie total del prisma si KF = 1 cm.

cifra

Más temprano. 2. Esto geométrico cifra. Este cifra está formado por un cerrado línea. Los hay convexos y no convexos. Ud. cifras hay lados..., sector, esfera, segmento, seno, medio, promedio línea, razón, propiedad, grado, estereometría, secante...

Definición

Un paralelogramo es un cuadrilátero cuyos lados opuestos son paralelos en pares.

Teorema (primer signo de un paralelogramo)

Si dos lados de un cuadrilátero son iguales y paralelos, entonces el cuadrilátero es un paralelogramo.

Prueba

Sean los lados \(AB\) y \(CD\) paralelos en el cuadrilátero \(ABCD\) y \(AB = CD\).

Dibujemos una diagonal \(AC\) que divida este cuadrilátero en dos triángulos iguales: \(ABC\) y \(CDA\) . Estos triángulos son iguales en dos lados y el ángulo entre ellos (\(AC\) es el lado común, \(AB = CD\) por condición, \(\angle 1 = \angle 2\) como ángulos transversales en la intersección de rectas paralelas \ (AB\) y \(CD\) secante \(AC\) ), entonces \(\angle 3 = \angle 4\) . Pero los ángulos \(3\) y \(4\) se encuentran transversalmente en la intersección de las rectas \(AD\) y \(BC\) por la secante \(AC\), por lo tanto, \(AD\parallel BC \). Así, en el cuadrilátero \(ABCD\) los lados opuestos son paralelos por pares y, por tanto, el cuadrilátero \(ABCD\) es un paralelogramo.

Teorema (segundo signo de un paralelogramo)

Si en un cuadrilátero los lados opuestos son iguales en pares, entonces este cuadrilátero es un paralelogramo.

Prueba

Dibujemos una diagonal \(AC\) de este cuadrilátero \(ABCD\) dividiéndolo en triángulos \(ABC\) y \(CDA\) .

Estos triángulos son iguales en tres lados (\(AC\) – común, \(AB = CD\) y \(BC = DA\) por condición), por lo tanto \(\angle 1 = \angle 2\) – se encuentran transversalmente en \(AB\) y \(CD\) y secante \(AC\) . De ello se deduce que \(AB\parallel CD\) . Dado que \(AB = CD\) y \(AB\parallel CD\) , entonces, según el primer criterio de un paralelogramo, el cuadrilátero \(ABCD\) es un paralelogramo.

Teorema (tercer signo de un paralelogramo)

Si las diagonales de un cuadrilátero se cortan y se dividen por la mitad por el punto de intersección, entonces este cuadrilátero es un paralelogramo.

Prueba

Considere un cuadrilátero \(ABCD\) en el que las diagonales \(AC\) y \(BD\) se cruzan en el punto \(O\) y son atravesadas por este punto.

Los triángulos \(AOB\) y \(COD\) son iguales según el primer signo de igualdad de los triángulos (\(AO = OC\), \(BO = OD\) por condición, \(\angle AOB = \angle COD\) como ángulos verticales), entonces \(AB = CD\) y \(\angle 1 = \angle 2\) . De la igualdad de los ángulos \(1\) y \(2\) (cruzados en \(AB\) y \(CD\) y la secante \(AC\) ) se deduce que \(AB\parallel CD \).

Entonces, en el cuadrilátero \(ABCD\) los lados \(AB\) y \(CD\) son iguales y paralelos, lo que significa que según el primer criterio de un paralelogramo, el cuadrilátero \(ABCD\) es un paralelogramo .

Propiedades de un paralelogramo:

1. En un paralelogramo, los lados opuestos son iguales y los ángulos opuestos son iguales.

2. Las diagonales de un paralelogramo se dividen por la mitad por el punto de intersección.

Propiedades de la bisectriz de un paralelogramo:

1. La bisectriz de un paralelogramo le corta un triángulo isósceles.

2. Las bisectrices de los ángulos adyacentes de un paralelogramo se cruzan en ángulos rectos.

3. Los segmentos de bisectriz de ángulos opuestos son iguales y paralelos.

Prueba

1) Sea \(ABCD\) un paralelogramo, \(AE\) la bisectriz del ángulo \(BAD\) .

Los ángulos \(1\) y \(2\) son iguales y se encuentran transversalmente a las rectas paralelas \(AD\) y \(BC\) y a la secante \(AE\). Los ángulos \(1\) y \(3\) son iguales, ya que \(AE\) es bisectriz. Eventualmente \(\ángulo 3 = \ángulo 1 = \ángulo 2\), lo que significa que el triángulo \(ABE\) es isósceles.

2) Sean \(ABCD\) un paralelogramo, \(AN\) y \(BM\) las bisectrices de los ángulos \(BAD\) y \(ABC\), respectivamente.

Dado que la suma de los ángulos unilaterales de rectas paralelas y una transversal es igual a \(180^(\circ)\), entonces \(\angle DAB + \angle ABC = 180^(\circ)\).

Dado que \(AN\) y \(BM\) son bisectrices, entonces \(\angle BAN + \angle ABM = 0.5(\angle DAB + \angle ABC) = 0.5\cdot 180^\circ = 90^(\circ)\), dónde \(\angle AOB = 180^\circ - (\angle BAN + \angle ABM) = 90^\circ\).

3. Sean \(AN\) y \(CM\) las bisectrices de los ángulos del paralelogramo \(ABCD\).

Como los ángulos opuestos en un paralelogramo son iguales, entonces \(\angle 2 = 0.5\cdot\angle MAL = 0.5\cdot\angle BCD = \angle 1\). Además, los ángulos \(1\) y \(3\) son iguales y se encuentran transversalmente a las rectas paralelas \(AD\) y \(BC\) y la secante \(CM\), entonces \(\angle 2 = \angle 3\) , lo que implica que \(AN\parallel CM\) . Además, \(AM\parallel CN\) , entonces \(ANCM\) es un paralelogramo, por lo tanto \(AN = CM\) .

Un cuadrilátero en el que sólo dos lados son paralelos se llama trapezoide.

Los lados paralelos de un trapezoide se llaman sus razones, y aquellos lados que no son paralelos se llaman lados. Si los lados son iguales, entonces dicho trapezoide es isósceles. La distancia entre las bases se llama altura del trapezoide.

Trapezoide de línea media

La línea media es un segmento que conecta los puntos medios de los lados laterales del trapezoide. La línea media del trapezoide es paralela a sus bases.

Teorema:

Si la línea recta que cruza el centro de un lado es paralela a las bases del trapezoide, entonces biseca el segundo lado del trapezoide.

Teorema:

La longitud de la línea media es igual a la media aritmética de las longitudes de sus bases.

MN || AB || corriente continua
AM = MD; BN=NC

MN línea media, AB y CD - bases, AD y BC - lados laterales

MN = (AB + DC)/2

Teorema:

La longitud de la línea media de un trapecio es igual a la media aritmética de las longitudes de sus bases.

La tarea principal: Demuestre que la línea media de un trapezoide biseca un segmento cuyos extremos se encuentran en el medio de las bases del trapezoide.

Línea media del triángulo

El segmento que une los puntos medios de dos lados de un triángulo se llama línea media del triángulo. Es paralelo al tercer lado y su longitud es igual a la mitad de la longitud del tercer lado.
Teorema: Si una línea que corta el punto medio de un lado de un triángulo es paralela al otro lado del triángulo, entonces biseca el tercer lado.

AM = MC y BN = NC =>

Aplicar las propiedades de la línea media de un triángulo y un trapezoide.

Dividir un segmento en un número determinado de partes iguales.
Tarea: Divida el segmento AB en 5 partes iguales.
Solución:
Sea p un rayo aleatorio cuyo origen es el punto A y que no se encuentra en la recta AB. Reservamos secuencialmente 5 segmentos iguales en p AA 1 = A 1 A 2 = A 2 A 3 = A 3 A 4 = A 4 A 5
Conectamos A 5 con B y trazamos líneas a través de A 4, A 3, A 2 y A 1 que son paralelas a A 5 B. Se cruzan con AB respectivamente en los puntos B 4, B 3, B 2 y B 1. Estos puntos dividen el segmento AB en 5 partes iguales. De hecho, del trapecio BB 3 A 3 A 5 vemos que BB 4 = B 4 B 3. De la misma forma, del trapezoide B 4 B 2 A 2 A 4 obtenemos B 4 B 3 = B 3 B 2

Mientras que del trapezoide B 3 B 1 A 1 A 3, B 3 B 2 = B 2 B 1.
Luego de B 2 AA 2 se deduce que B 2 B 1 = B 1 A. En conclusión obtenemos:
AB 1 = B 1 B 2 = B 2 B 3 = B 3 B 4 = B 4 B
Está claro que para dividir el segmento AB en otro número de partes iguales, necesitamos proyectar el mismo número de segmentos iguales sobre el rayo p. Y luego continúe de la manera descrita anteriormente.