El volumen de un cono se expresa con la misma fórmula que el volumen de una pirámide: V = 1 / 3 S h,

donde V es el volumen del cono, S es el área de la base del cono, h- su altura.

Finalmente V = 1/3 πR 2 h, donde R es el radio de la base del cono.

La obtención de la fórmula del volumen de un cono se puede explicar mediante el siguiente razonamiento:

Dejemos que se dé un cono (fig). Inscribamos en él una pirámide regular, es decir, construiremos dentro del cono una pirámide cuyo vértice coincida con el vértice del cono, y cuya base sea un polígono regular inscrito en la base del cono.

El volumen de esta pirámide se expresa mediante la fórmula: V’ = 1 / 3 S’ h, donde V es el volumen de la pirámide,

S’ es el área de su base, h- altura de la pirámide.

Si tomamos un polígono con una gran cantidad de lados como base de la pirámide, entonces el área de la base de la pirámide diferirá muy poco del área del círculo y el volumen de la pirámide será difieren muy poco del volumen del cono. Si ignoramos estas diferencias de tamaño, entonces el volumen del cono se expresa mediante la siguiente fórmula:

V=1/3S h, donde V es el volumen del cono, S es el área de la base del cono, h- altura del cono.

Reemplazando S por πR 2, donde R es el radio del círculo, obtenemos la fórmula: V = 1 / 3 πR 2 h, expresando el volumen del cono.

Nota. En la fórmula V = 1/3 S h se coloca un signo de igualdad exacta y no aproximada, aunque por el razonamiento realizado podríamos considerarlo aproximado, pero en bachillerato se comprueba que la igualdad

V=1/3S h exacto, no aproximado.

Volumen de un cono arbitrario.

Teorema. El volumen de un cono arbitrario es igual a un tercio del producto del área de la base por la altura, aquellos.

V = 1/3 QH, (1)

donde Q es el área de la base y H es la altura del cono.

Considere un cono con vértice S y base Ф (Fig.).

Sea el área de la base Φ igual a Q y la altura del cono sea igual a H. Entonces hay secuencias de polígonos Φ norte y F' norte con áreas Q norte y Q' norte tal que

F norte⊂ Ф norte⊂ Ф' norte y \(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q’ norte= \(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q norte= Q.

Es obvio que una pirámide con cima S y base F' norte estará inscrita en un cono dado, y una pirámide con vértice S y base Ф norte- descrito alrededor del cono.

Los volúmenes de estas pirámides son respectivamente iguales.

V norte= 1/3Q norte H, V' norte= 1/3 Q' norte h

\(\lim_(n \rightarrow \infty)\) V norte= \(\lim_(n \rightarrow \infty)\) V’ norte= 1/3 QH

entonces se prueba la fórmula (1).

Consecuencia. El volumen de un cono, cuya base es una elipse con semiejes a y b, se calcula mediante la fórmula

V = 1/3π ab H (2)

En particular, volumen de un cono cuya base es una circunferencia de radio R, calculado por la fórmula

V = 1 / 3 π R 2 H (3)

donde H es la altura del cono.

Como sabes, el área de una elipse con semiejes. A Y b igual a π ab, y por tanto la fórmula (2) se obtiene de (1) con Q = π ab. Si a = b= R, entonces se obtiene la fórmula (3).

Volumen de un cono circular recto.

Teorema 1. El volumen de un cono circular recto con altura H y radio base R se calcula mediante la fórmula

V = 1 / 3 π R 2 H

Este cono puede considerarse como un cuerpo obtenido al girar un triángulo con vértices en los puntos O(0; 0), B(H; 0), A(H; R) alrededor del eje. Oh(arroz.).

El triángulo OAB es un trapecio curvilíneo correspondiente a la función

y = R/H incógnita, incógnita∈ . Por lo tanto, usando la conocida fórmula, obtenemos

$$ V=\pi\int_(0)^(H)(\frac(R)(H)x)^2dx=\\=\frac(\pi R^2)(H^2)\cdot\frac (x^3)(3)\left|\begin(array)(c)H\\\\ 0\end(array)\right.=\\=\frac(1)(3)\pi R^2H $$

Consecuencia. El volumen de un cono circular recto es igual a un tercio del producto del área de la base por la altura, es decir.

donde Q - área base, y H - altura del cono.

Teorema 2. El volumen de un cono truncado con radios de base r y R y altura H se calcula mediante la fórmula

V = 1/3 πH( r 2 + R 2 + r R).

Se puede obtener un cono truncado girando alrededor de un eje. Oh trapezoide O ABC (fig.).

La recta AB pasa por los puntos (0; r) y (H; R), por lo que tiene la ecuación

$$ y=\frac(R-r)(H)x + r $$

obtenemos

$$ V=\pi\int_(0)^(H)(\frac(R-r)(H)x + r)^2dx $$

Para calcular la integral, hacemos el reemplazo.

$$ u=\frac(R-r)(H)x + r, du=\frac(R-r)(H)dx $$

Obviamente cuando incógnita varía de 0 a H, variable Y varía de r a R, y por lo tanto

$$ V=\pi\int_(r)^(R)u^2\frac(H)(R-r)du=\\=\frac(\pi H)(R-r)\cdot\frac(u^3) (3)\left|\begin(array)(c)R\\\\ r\end(array)\right.=\\=\frac(\pi H)(3(R-r))(R^3- r^3)=\\=\frac(1)(3)\pi H(R^2 + r^2 + Rr) $$

La geometría como ciencia se formó en el Antiguo Egipto y alcanzó un alto nivel de desarrollo. El famoso filósofo Platón fundó la Academia, donde se prestó mucha atención a la sistematización del conocimiento existente. El cono como una de las figuras geométricas fue mencionado por primera vez en el famoso tratado "Elementos" de Euclides. Euclides conocía las obras de Platón. Hoy en día, pocas personas saben que la palabra "cono" traducida del griego significa "piña". El matemático griego Euclides, que vivió en Alejandría, es considerado legítimamente el fundador del álgebra geométrica. Los antiguos griegos no sólo se convirtieron en los sucesores del conocimiento de los egipcios, sino que también ampliaron significativamente la teoría.

Historia de la definición de cono.

La geometría como ciencia surgió de las exigencias prácticas de la construcción y de la observación de la naturaleza. Poco a poco se fue generalizando el conocimiento experimental y se demostraron las propiedades de unos cuerpos a través de otros. Los antiguos griegos introdujeron el concepto de axiomas y pruebas. Un axioma es una afirmación obtenida por medios prácticos y no requiere prueba.

En su libro, Euclides definió un cono como una figura que se obtiene al girar un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos. También posee el teorema principal que determina el volumen de un cono. Este teorema fue demostrado por el antiguo matemático griego Eudoxo de Cnido.

Otro matemático de la antigua Grecia, Apolonio de Perga, que fue alumno de Euclides, desarrolló y expuso la teoría de las superficies cónicas en sus libros. Posee la definición de superficie cónica y su secante. Los escolares de hoy estudian la geometría euclidiana, que ha conservado los teoremas y definiciones básicos de la antigüedad.

Definiciones básicas

Un cono circular rectángulo se forma girando un triángulo rectángulo alrededor de un cateto. Como puede ver, el concepto de cono no ha cambiado desde la época de Euclides.

La hipotenusa AS del triángulo rectángulo AOS, cuando se gira alrededor del cateto OS, forma la superficie lateral del cono, por eso se le llama generador. El cateto OS del triángulo gira simultáneamente hacia la altura del cono y su eje. El punto S se convierte en el vértice del cono. El cateto AO, después de haber descrito un círculo (base), se convirtió en el radio de un cono.

Si dibujamos un plano desde arriba que pase por el vértice y el eje del cono, podemos ver que la sección axial resultante es un triángulo isósceles, en el que el eje es la altura del triángulo.

Dónde do- circunferencia de la base, yo— longitud de la generatriz del cono, R— radio de la base.

Fórmula para calcular el volumen de un cono.

Para calcular el volumen de un cono, utilice la siguiente fórmula:

donde S es el área de la base del cono. Como la base es un círculo, su área se calcula de la siguiente manera:

De esto se desprende:

donde V es el volumen del cono;

n es un número igual a 3,14;

R es el radio de la base correspondiente al segmento AO en la Figura 1;

H es la altura igual al segmento OS.

Cono truncado, volumen

Hay un cono circular recto. Si cortas la parte superior con un plano perpendicular a la altura, obtienes un cono truncado. Sus dos bases tienen forma de círculo con radios R1 y R2.

Si se forma un cono rectángulo girando un triángulo rectángulo, entonces se forma un cono truncado girando un trapezoide rectangular alrededor de un lado recto.

El volumen de un cono truncado se calcula mediante la siguiente fórmula:

V=n*(R 1 2 +R 2 2 +R 1 *R 2)*H/3.

Cono y su sección por plano.

El antiguo matemático griego Apolonio de Perga escribió el trabajo teórico "Secciones cónicas". Gracias a su trabajo en geometría aparecieron definiciones de curvas: parábola, elipse, hipérbola. Veamos qué tiene que ver el cono con esto.

Tomemos un cono circular recto. Si el plano lo cruza perpendicular al eje, entonces se forma un círculo en la sección. Cuando una secante corta un cono formando un ángulo con el eje, se obtiene una elipse en la sección.

Un plano de corte perpendicular a la base y paralelo al eje del cono forma una hipérbola en la superficie. Un plano que corta el cono formando un ángulo con la base y paralelo a la tangente al cono crea una curva en la superficie, que se llama parábola.

solución del problema

Incluso la sencilla tarea de cómo hacer un cubo de cierto tamaño requiere conocimientos. Por ejemplo, es necesario calcular las dimensiones de un cubo para que tenga un volumen de 10 litros.

V=10l=10dm3;

El desarrollo del cono tiene la forma que se muestra esquemáticamente en la Figura 3.

L es la generatriz del cono.

Para conocer el área de superficie del balde, la cual se calcula mediante la siguiente fórmula:

S=n*(R 1 +R 2)*L,

es necesario calcular el generador. Lo encontramos a partir del valor de volumen V=n*(R 1 2 +R 2 2 +R 1 *R 2)*H/3.

Por lo tanto H=3V/n*(R 1 2 +R 2 2 +R 1 *R 2).

Un cono truncado se forma girando un trapezoide rectangular, cuyo lado es la generatriz del cono.

L 2 =(R 2- R 1) 2 +H 2.

Ahora tenemos todos los datos para construir un dibujo de un cubo.

¿Por qué los cubos contra incendios tienen forma de cono?

¿Quién se ha preguntado alguna vez por qué los cubos contra incendios tienen una forma cónica aparentemente extraña? Y esto no es así. Resulta que un cubo cónico a la hora de extinguir un incendio tiene muchas ventajas sobre uno normal, que tiene forma de cono truncado.

En primer lugar, resulta que el cubo contra incendios se llena de agua más rápido y no se derrama cuando se transporta. Un cono con un volumen mayor que un balde normal le permite transferir más agua a la vez.

En segundo lugar, el agua se puede arrojar a una distancia mayor que la de un balde normal.

En tercer lugar, si el cubo cónico se cae de las manos y cae al fuego, entonces toda el agua se vierte sobre la fuente del fuego.

Todos estos factores ahorran tiempo, el factor principal a la hora de extinguir un incendio.

Aplicación práctica

Los escolares suelen tener preguntas sobre por qué necesitan aprender a calcular el volumen de varios cuerpos geométricos, incluido un cono.

Y los ingenieros de diseño se enfrentan constantemente a la necesidad de calcular el volumen de las partes cónicas de las piezas de la máquina. Se trata de puntas de taladro, piezas de tornos y fresadoras. La forma de cono permitirá que los taladros penetren fácilmente en el material sin necesidad de realizar un marcado inicial con una herramienta especial.

El volumen de un cono es un montón de arena o tierra vertida sobre el suelo. Si es necesario, tomando medidas sencillas, se puede calcular su volumen. Algunos pueden sentirse confundidos por la cuestión de cómo saber el radio y la altura de un montón de arena. Armados con una cinta métrica, medimos la circunferencia del montículo C. Usando la fórmula R=C/2n encontramos el radio. Lanzando una cuerda (cinta) sobre el vértice, encontramos la longitud de la generatriz. Y calcular la altura utilizando el teorema de Pitágoras y el volumen no es difícil. Por supuesto, este cálculo es aproximado, pero te permite determinar si te engañaron al traer una tonelada de arena en lugar de un cubo.

Algunos edificios tienen forma de cono truncado. Por ejemplo, la torre de televisión Ostankino se acerca a la forma de un cono. Se puede imaginar que consta de dos conos colocados uno encima del otro. Las cúpulas de los antiguos castillos y catedrales representan un cono, cuyo volumen los arquitectos antiguos calcularon con asombrosa precisión.

Si miras de cerca los objetos circundantes, muchos de ellos son conos:

• embudos para verter líquidos;
• altavoz de bocina;
• conos de aparcamiento;
• pantalla para lámpara de pie;
• el habitual árbol de Navidad;
• instrumentos musicales de viento.

Como puede verse en los ejemplos dados, la capacidad de calcular el volumen de un cono y su superficie es necesaria en la vida profesional y cotidiana. Esperamos que el artículo le resulte útil.

Los cuerpos de rotación que se estudian en la escuela son el cilindro, el cono y la bola.

Si en un problema del Examen Estatal Unificado de matemáticas necesitas calcular el volumen de un cono o el área de una esfera, considérate afortunado.

Aplicar fórmulas para volumen y área de superficie de un cilindro, cono y esfera. Todos ellos están en nuestra mesa. Aprender de memoria. Aquí comienza el conocimiento de la estereometría.

A veces es bueno dibujar la vista desde arriba. O, como en este problema, desde abajo.

2. ¿Cuántas veces es mayor el volumen de un cono circunscrito a una pirámide cuadrangular regular que el volumen de un cono inscrito en esta pirámide?

Es simple: dibuja la vista desde abajo. Vemos que el radio del círculo mayor es veces mayor que el radio del círculo más pequeño. Las alturas de ambos conos son las mismas. Por tanto, el volumen del cono más grande será el doble.

Otro punto importante. Recordamos que en los problemas de la parte B del Examen Estatal Unificado de Matemáticas, la respuesta se escribe como un número entero o una fracción decimal final. Por lo tanto, no debería haber ninguno en su respuesta en la parte B. ¡Tampoco es necesario sustituir el valor aproximado del número! ¡Definitivamente debe encogerse! Es por ello que en algunos problemas la tarea se formula, por ejemplo, de la siguiente manera: "Encuentra el área de la superficie lateral del cilindro dividida por".

¿Dónde más se utilizan las fórmulas para el volumen y la superficie de los cuerpos de revolución? Por supuesto, en el problema C2 (16). También te lo contamos.

1. Cálculo del volumen del cubo.

a- lado del cubo

Fórmula para el volumen de un cubo, ( V ):

2. Encuentra por fórmula el volumen de un paralelepípedo rectangular.

a, b, c- lados de un paralelepípedo

A veces, el lado de un paralelepípedo se llama arista.

Fórmula para el volumen de un paralelepípedo, ( V):

3. Fórmula para calcular el volumen de una bola, esfera.

R — radio de la bola

Usando la fórmula, si se da el radio, puedes encontrar el volumen de la pelota, ( V):

4. ¿Cómo calcular el volumen de un cilindro?

h- altura del cilindro

r— radio base

Usando la fórmula, encuentre el volumen de un cilindro si se conocen su radio base y su altura, ( V):

5. ¿Cómo encontrar el volumen de un cono?

R— radio base

H— altura del cono

Fórmula para el volumen de un cono si se conocen el radio y la altura ( V):

7. Fórmula para el volumen de un cono truncado

r— radio base superior

R— radio inferior

h - altura del cono

Fórmula para el volumen de un cono truncado, si se conoce: el radio de la base inferior, el radio de la base superior y la altura del cono ( V):

8. Volumen de un tetraedro regular

Un tetraedro regular es una pirámide cuyas caras son triángulos equiláteros.

A- borde de un tetraedro

Fórmula para calcular el volumen de un tetraedro regular ( V):

9. Volumen de una pirámide cuadrangular regular.

Una pirámide con base cuadrada y lados iguales de un triángulo isósceles se llama pirámide cuadrangular regular.

a- lado de la base

h- altura de la pirámide

Fórmula para calcular el volumen de una pirámide cuadrangular regular, ( V):

10. Volumen de una pirámide triangular regular.

Una pirámide cuya base es un triángulo equilátero y cuyos lados son triángulos isósceles iguales se llama pirámide triangular regular.

a- lado de la base

h- altura de la pirámide

Fórmula para el volumen de una pirámide triangular regular, dada la altura y el lado de la base ( V):

11. Encuentra el volumen de una pirámide regular.

Se llama regular a una pirámide que tiene un polígono regular y triángulos iguales en su base.

h- altura de la pirámide

a- lado de la base de la pirámide

norte- el número de lados del polígono en la base

Fórmula para el volumen de una pirámide regular, conociendo la altura, el lado de la base y el número de estos lados ( V):

Todas las fórmulas para volúmenes de cuerpos geométricos.
Geometría, Álgebra, Física

Fórmulas de volumen

Volumen de una figura geométrica.- una característica cuantitativa del espacio ocupado por un cuerpo o sustancia. En los casos más simples, el volumen se mide por el número de cubos unitarios que caben en el cuerpo, es decir, cubos con una arista igual a una unidad de longitud. El volumen del cuerpo o la capacidad del recipiente está determinado por su forma y dimensiones lineales.

Fórmula para el volumen de un cubo.

1) El volumen de un cubo es igual al cubo de su arista.

V- volumen del cubo

h— altura del borde del cubo

Fórmula para el volumen de una pirámide.

1) El volumen de la pirámide es igual a un tercio del producto del área de la base S (ABCD) y la altura h (OS).

V- volumen de la pirámide

S- área de la base de la pirámide

h- altura de la pirámide

Fórmulas para el volumen de un cono.

1) El volumen de un cono es igual a un tercio del producto del área de la base por la altura.

2) El volumen del cono es igual a un tercio del producto de pi (3.1415) por el cuadrado del radio de la base por la altura.

V- volumen del cono

S- área de la base del cono

h— altura del cono

π — número pi (3.1415)

r— radio del cono

Fórmulas de volumen de cilindros

1) El volumen de un cilindro es igual al producto del área de la base por la altura.

2) El volumen del cilindro es igual al producto de pi (3.1415) por el cuadrado del radio de la base por la altura.

V- volumen del cilindro

S- área de la base del cilindro

h- altura del cilindro

π — número pi (3.1415)

r— radio del cilindro

Fórmula para el volumen de una pelota.

1) El volumen de la pelota se calcula mediante la siguiente fórmula.

V- volumen de la pelota

π — número pi (3.1415)

R- radio de la bola

Fórmula del volumen del tetraedro

1) El volumen de un tetraedro es igual a la fracción en cuyo numerador es la raíz cuadrada de dos multiplicada por el cubo de la longitud de la arista del tetraedro, y en el denominador doce.

Fórmulas de volumen
Fórmulas de volumen y programas online para calcular el volumen.

Fórmula de volumen.

Fórmula de volumen necesario para calcular los parámetros y características de una figura geométrica.

Volumen de la figura Es una característica cuantitativa del espacio que ocupa un cuerpo o sustancia. En los casos más simples, el volumen se mide por el número de cubos unitarios que caben en el cuerpo, es decir, cubos con una arista igual a una unidad de longitud. El volumen del cuerpo o la capacidad del recipiente está determinado por su forma y dimensiones lineales.

Paralelepípedo.

El volumen de un paralelepípedo rectangular es igual al producto del área de la base por la altura.

Cilindro.

El volumen de un cilindro es igual al producto del área de la base por la altura.

El volumen del cilindro es igual al producto de pi (3,1415) por el cuadrado del radio de la base por la altura.

Pirámide.

El volumen de la pirámide es igual a un tercio del producto del área de la base S (ABCDE) por la altura h (OS).

Pirámide correcta- es una pirámide, en cuya base se encuentra un polígono regular, y la altura pasa por el centro del círculo inscrito en la base.

Pirámide triangular regular Es una pirámide cuya base es un triángulo equilátero y sus lados son triángulos isósceles iguales.

Pirámide cuadrangular regular Es una pirámide cuya base es un cuadrado y sus lados son triángulos isósceles iguales.

tetraedro es una pirámide cuyas caras son triángulos equiláteros.

Pirámide truncada.

El volumen de una pirámide truncada es igual a un tercio del producto de la altura h (OS) por la suma de las áreas de la base superior S 1 (abcde), la base inferior de la pirámide truncada S 2 (ABCDE) y el promedio proporcional entre ellos.

Es fácil calcular el volumen de un cubo: es necesario multiplicar el largo, el ancho y el alto. Como un cubo tiene una longitud igual a su ancho e igual a su altura, el volumen del cubo es igual a s 3 .

Cono es un cuerpo en el espacio euclidiano que se obtiene combinando todos los rayos que emanan de un punto (el vértice del cono) y atraviesan una superficie plana.

cono truncado Funcionará si dibujas una sección en el cono paralela a la base.

V = 1/3 πh (R 2 + Rr + r 2)

El volumen de la esfera es una vez y media menor que el volumen del cilindro circunscrito a su alrededor.

Prisma.

El volumen de un prisma es igual al producto del área de la base del prisma por su altura.

sector de pelota.

El volumen de un sector esférico es igual al volumen de una pirámide, cuya base tiene la misma área que la parte de la superficie esférica cortada por el sector, y la altura es igual al radio de la bola.

capa de bolas- es la parte de la pelota encerrada entre dos planos paralelos secantes.

segmento de bola- esta parte de la bola, separada de ella por algún plano, se llama segmento esférico o esférico

Fórmula de volumen
Fórmula para el volumen de un cubo, esfera, pirámide, paralelogramo, cilindro, tetraedro, cono, prisma y volúmenes de otras formas geométricas.

En un curso de estereometría, una de las preguntas principales es cómo calcular el volumen de un cuerpo geométrico particular. Todo empieza con un simple paralelepípedo y termina con una bola.

También en la vida uno tiene que enfrentarse a menudo a problemas similares. Por ejemplo, para calcular el volumen de agua que cabe en un balde o barril.

Propiedades válidas para el volumen de cada cuerpo.

1. Este valor es siempre un número positivo.
2. Si el cuerpo se puede dividir en partes de modo que no haya intersecciones, entonces el volumen total resulta ser igual a la suma de los volúmenes de las partes.
3. Los cuerpos iguales tienen volúmenes iguales.
4. Si un cuerpo más pequeño está completamente contenido en uno más grande, entonces el volumen del primero es menor que el del segundo.

Designaciones generales para todos los cuerpos.

Cada uno de ellos tiene aristas y bases, y en ellos se construyen alturas. Por lo tanto, dichos elementos están designados igualmente para ellos. Así es exactamente como están escritos en las fórmulas. Aprenderemos más a calcular el volumen de cada cuerpo y aplicaremos nuevas habilidades en la práctica.

Algunas fórmulas tienen otras cantidades. Su designación se discutirá cuando surja tal necesidad.

Prisma, paralelepípedo (recto e inclinado) y cubo.

Estos cuerpos se combinan porque se ven muy similares y las fórmulas para calcular el volumen son idénticas:

V = S * h.

Sólo S será diferente. En el caso de un paralelepípedo, se calcula como para un rectángulo o un cuadrado. En un prisma, la base puede ser un triángulo, un paralelogramo, un cuadrilátero arbitrario u otro polígono.

Para un cubo, la fórmula se simplifica significativamente porque todas sus dimensiones son iguales:

V = a 3.

Pirámide, tetraedro, pirámide truncada

Para el primero de estos cuerpos existe una fórmula para calcular el volumen:

V = 1/3 * S * n.

Un tetraedro es un caso especial de pirámide triangular. Todos sus bordes son iguales. Por tanto, se vuelve a obtener una fórmula simplificada:

V = (a 3 * √2) / 12, o V = 1/ 3 S h

Una pirámide queda truncada cuando se le corta la parte superior. Por tanto, su volumen es igual a la diferencia entre dos pirámides: la que estaría intacta y la cima retirada. Si es posible encontrar ambas bases de dicha pirámide (S 1 - la más grande y S 2 - la más pequeña), entonces es conveniente utilizar esta fórmula para calcular el volumen:

Cilindro, cono y cono truncado

V =π * r 2 * h.

La situación con un cono es algo más complicada. Hay una fórmula para ello:

V = 1/3 π * r 2 * h. Es muy similar al indicado para el cilindro, sólo que el valor se reduce tres veces.

Al igual que con una pirámide truncada, la situación no es fácil con un cono que tiene dos bases. La fórmula para calcular el volumen de un cono truncado se ve así:

V = 1/3 π * h * (r 1 2 + r 1 r 2 + r 2 2). Aquí r 1 es el radio de la base inferior, r 2 es el radio de la superior (más pequeña).

Bola, segmentos de bola y sector.

Estas son las fórmulas más difíciles de recordar. Para el volumen de la pelota se ve así:

V = 4/3 π *r 3 .

En los problemas a menudo surge la pregunta sobre cómo calcular el volumen de un segmento esférico, una parte de una esfera que, por así decirlo, está cortada paralela al diámetro. En este caso, la siguiente fórmula vendrá al rescate:

V = π h 2 * (r - h/3). En él se toma h como la altura del segmento, es decir, la parte que recorre el radio de la bola.

El sector se divide en dos partes: un cono y un segmento esférico. Por tanto, su volumen se define como la suma de estos cuerpos. La fórmula después de las transformaciones se ve así:

V = 2/3 πr 2 * h. Aquí h también es la altura del segmento.

Problemas de muestra

Sobre los volúmenes de un cilindro, una esfera y un cono.

Condición: el diámetro del cilindro (1er cuerpo) es igual a su altura, el diámetro de la bola (2do cuerpo) y la altura del cono (3er cuerpo), verificar la proporcionalidad de los volúmenes V 1: V 2: V 3 = 3:2:1

Solución. Primero necesitas escribir tres fórmulas para volúmenes. Entonces considere que el radio es la mitad del diámetro. Es decir, la altura será igual a dos radios: h = 2r. Al hacer una simple sustitución, resulta que las fórmulas para volúmenes se verán así:

V 1 = 2 π r 3, V 3 = 2/3 π r 3. La fórmula para el volumen de una pelota no cambia porque en ella no aparece la altura.

Ahora queda anotar las proporciones de volumen y realizar la reducción 2π y r 3. Resulta que V 1: V 2: V 3 = 1: 2/3: 1/3. Estos números se pueden escribir fácilmente como 3:2:1.

Sobre el volumen de la pelota.

Condición: Hay dos sandías con radios de 15 y 20 cm, ¿cuál es más rentable para comerlas: la primera con cuatro personas o la segunda con ocho?

Solución. Para responder a esta pregunta, necesitarás encontrar la proporción de los volúmenes de las partes que saldrán de cada sandía. Teniendo en cuenta que son esferas, necesitamos escribir dos fórmulas para los volúmenes. Luego tenga en cuenta que del primero todos recibirán solo una cuarta parte, y del segundo, un octavo.

Queda por anotar la proporción de los volúmenes de las piezas. Se verá así:

(V 1: 4) / (V 2: 8) = (1/3 π r 1 3) / (1/6 π r 2 3). Después de la transformación, solo queda la fracción: (2 r 1 3) / r 2 3. Luego de sustituir los valores y calcular se obtiene la fracción 6750/8000. De él se desprende claramente que la porción de la primera sandía será menor que la de la segunda.

Respuesta. Es más rentable comerse un octavo de sandía con un radio de 20 cm.

Sobre los volúmenes de la pirámide y el cubo.

Condición: hay una pirámide hecha de barro con una base rectangular de 8X9 cm y una altura de 9 cm, del mismo trozo de barro se hizo un cubo, ¿cuál es su arista?

Solución. Si designamos los lados del rectángulo con las letras b y c, entonces el área de la base de la pirámide se calcula como su producto. Entonces la fórmula para su volumen es:

La fórmula para el volumen de un cubo está escrita en el artículo anterior. Estos dos valores son iguales: V 1 = V 2 . Todo lo que queda es igualar los lados derechos de las fórmulas y hacer los cálculos necesarios. Resulta que la arista del cubo será igual a 6 cm.

Sobre el volumen de un paralelepípedo

Condición: Necesitas hacer una caja con una capacidad de 0,96 m 3, se conocen su ancho y largo: 1,2 y 0,8 metros, ¿cuál debe ser su altura?

Solución. Como la base de un paralelepípedo es un rectángulo, su área se define como el producto del largo (a) por el ancho (b). Por lo tanto, la fórmula para el volumen queda así:

A partir de ahí es fácil determinar la altura dividiendo el volumen por el área. Resulta que la altura debería ser de 1 m.

Respuesta. La altura de la caja es de un metro.

¿Cómo calcular el volumen de varios cuerpos geométricos?
En un curso de estereometría, una de las tareas principales es cómo calcular el volumen de un cuerpo geométrico particular. Todo empieza con un simple paralelepípedo y termina con una bola.