Lo más importante para nosotros es poder calcular el desplazamiento de un cuerpo, porque conociendo el desplazamiento también podemos encontrar las coordenadas del cuerpo, y esta es la tarea principal de la mecánica. ¿Cómo calcular el desplazamiento durante un movimiento uniformemente acelerado?
La forma más sencilla de obtener la fórmula para determinar el desplazamiento es utilizar el método gráfico.
En el § 9 vimos que en el caso de un movimiento uniforme rectilíneo, el desplazamiento del cuerpo es numéricamente igual al área de la figura (rectángulo) ubicada debajo de la gráfica de velocidad. ¿Es esto cierto para el movimiento uniformemente acelerado?
Con un movimiento uniformemente acelerado de un cuerpo que se produce a lo largo del eje de coordenadas X, la velocidad no permanece constante en el tiempo, sino que cambia con el tiempo según las fórmulas:
Por lo tanto, las gráficas de velocidad tienen la forma que se muestra en la Figura 40. La línea 1 en esta figura corresponde al movimiento con aceleración “positiva” (la velocidad aumenta), la línea 2 corresponde al movimiento con aceleración “negativa” (la velocidad disminuye). Ambos gráficos se refieren al caso en el que en ese momento el cuerpo tenía una velocidad
Seleccionemos una pequeña sección en el gráfico de velocidad del movimiento uniformemente acelerado (Fig. 41) y la dejamos caer desde los puntos ay perpendiculares al eje. La longitud del segmento en el eje es numéricamente igual al pequeño período de tiempo durante el cual el. la velocidad cambió de su valor en el punto a a su valor en el punto Debajo de la sección, los gráficos resultaron ser una franja estrecha
Si el período de tiempo numéricamente igual al segmento es lo suficientemente pequeño, entonces durante este tiempo el cambio en la velocidad también será pequeño. El movimiento durante este período de tiempo puede considerarse uniforme y la tira se diferenciará poco del rectángulo. El área de la franja es por tanto numéricamente igual al desplazamiento del cuerpo durante el tiempo correspondiente al segmento
Pero toda el área de la figura ubicada debajo del gráfico de velocidad se puede dividir en franjas tan estrechas. En consecuencia, el desplazamiento durante todo el tiempo es numéricamente igual al área del trapezoide. El área del trapezoide, como se sabe por geometría, es igual al producto de la mitad de la suma de sus bases por la altura. En nuestro caso, la longitud de una de las bases del trapezoide es numéricamente igual a la longitud de la otra, V. Su altura es numéricamente igual a:
Sustituyamos la expresión (1a) en esta fórmula, entonces
Dividiendo el numerador por el denominador término por término, obtenemos:
Sustituyendo la expresión (16) en la fórmula (2), obtenemos (ver Fig. 42):
La fórmula (2a) se utiliza en el caso en que el vector de aceleración se dirige de la misma manera que el eje de coordenadas, y la fórmula (26), cuando la dirección del vector de aceleración es opuesta a la dirección de este eje.
Si la velocidad inicial es cero (Fig.43) y el vector de aceleración se dirige a lo largo del eje de coordenadas, entonces de la fórmula (2a) se deduce que
Si la dirección del vector de aceleración es opuesta a la dirección del eje de coordenadas, entonces de la fórmula (26) se deduce que
(El signo "-" aquí significa que el vector de desplazamiento, así como el vector de aceleración, están dirigidos en dirección opuesta al eje de coordenadas seleccionado).
Recordemos que en las fórmulas (2a) y (26) las cantidades y pueden ser tanto positivas como negativas; estas son proyecciones de los vectores y
Ahora que hemos obtenido fórmulas para calcular el desplazamiento, nos resulta fácil obtener una fórmula para calcular las coordenadas del cuerpo. Vimos (ver § 8) que para encontrar la coordenada de un cuerpo en algún momento, necesitamos agregar a la coordenada inicial la proyección del vector de desplazamiento del cuerpo sobre el eje de coordenadas:
(Para) si el vector de aceleración se dirige de la misma manera que el eje de coordenadas, y
si la dirección del vector de aceleración es opuesta a la dirección del eje de coordenadas.
Estas son las fórmulas que permiten encontrar la posición de un cuerpo en cualquier momento durante un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado. Para hacer esto, necesita conocer la coordenada inicial del cuerpo, su velocidad inicial y su aceleración a.
Problema 1. El conductor de un automóvil que circulaba a una velocidad de 72 km/h vio un semáforo en rojo y pisó el freno. Después de esto, el auto comenzó a reducir la velocidad, moviéndose con aceleración.
¿Qué distancia recorrerá el automóvil en segundos después de comenzar a frenar? ¿Qué distancia recorrerá el automóvil antes de detenerse por completo?
Solución. Como origen de coordenadas, elegimos el punto de la carretera en el que el coche empezó a reducir la velocidad. Dirigiremos el eje de coordenadas en la dirección de movimiento del coche (Fig. 44), y referiremos el inicio del cómputo del tiempo al momento en que el conductor pisó el freno. La velocidad del automóvil está en la misma dirección que el eje X y la aceleración del automóvil es opuesta a la dirección de ese eje. Por lo tanto, la proyección de la velocidad sobre el eje X es positiva y la proyección de la aceleración es negativa, y las coordenadas del automóvil deben encontrarse usando la fórmula (36):
Sustituyendo los valores en esta fórmula.
Ahora averigüemos qué distancia recorrerá el automóvil antes de detenerse por completo. Para ello necesitamos saber el tiempo de viaje. Se puede averiguar usando la fórmula.
Dado que en el momento en que el automóvil se detiene su velocidad es cero, entonces
La distancia que recorrerá el automóvil antes de detenerse por completo es igual a las coordenadas del automóvil en ese momento.
Tarea 2. Determine el desplazamiento del cuerpo, cuya gráfica de velocidad se muestra en la Figura 45. La aceleración del cuerpo es igual a a.
Solución. Dado que al principio el módulo de velocidad del cuerpo disminuye con el tiempo, el vector de aceleración se dirige en dirección opuesta a la dirección . Para calcular el desplazamiento podemos usar la fórmula
Del gráfico se desprende claramente que el tiempo de movimiento es, por lo tanto:
La respuesta obtenida muestra que la gráfica que se muestra en la Figura 45 corresponde al movimiento de un cuerpo primero en una dirección, y luego la misma distancia en la dirección opuesta, por lo que el cuerpo termina en el punto de partida. Un gráfico de este tipo podría, por ejemplo, relacionarse con el movimiento de un cuerpo lanzado verticalmente hacia arriba.
Problema 3. Un cuerpo se mueve a lo largo de una línea recta uniformemente acelerado con aceleración a. Encuentre la diferencia en las distancias recorridas por el cuerpo en dos períodos de tiempo iguales sucesivos, es decir
Solución. Tomemos como eje X la línea recta por la que se mueve el cuerpo. Si en el punto A (Fig.46) la velocidad del cuerpo era igual, entonces su desplazamiento en el tiempo es igual a:
En el punto B el cuerpo tenía una velocidad y su desplazamiento durante el siguiente período de tiempo es igual a:
2. ¿La figura 47 muestra gráficos de la velocidad de movimiento de tres cuerpos? ¿Cuál es la naturaleza del movimiento de estos cuerpos? ¿Qué se puede decir sobre las velocidades de movimiento de los cuerpos en momentos de tiempo correspondientes a los puntos A y B? Determina las aceleraciones y escribe las ecuaciones de movimiento (fórmulas de velocidad y desplazamiento) de estos cuerpos.
3. Utilizando las gráficas de las velocidades de tres cuerpos que se muestran en la Figura 48, complete las siguientes tareas: a) Determine las aceleraciones de estos cuerpos; b) compensar
de cada cuerpo, la fórmula para la dependencia de la velocidad con el tiempo: c) ¿en qué son similares y diferentes los movimientos correspondientes a los gráficos 2 y 3?
4. La Figura 49 muestra gráficas de la velocidad de movimiento de tres cuerpos. Utilizando estos gráficos: a) determine a qué corresponden los segmentos OA, OB y OS en los ejes de coordenadas; 6) encuentra las aceleraciones con las que se mueven los cuerpos: c) escribe las ecuaciones de movimiento para cada cuerpo.
5. Al despegar, un avión pasa la pista en 15 segundos y en el momento de despegar del suelo tiene una velocidad de 100 m/seg. ¿A qué velocidad se movía el avión y cuál era la longitud de la pista?
6. El coche se detuvo en un semáforo. Después de que se enciende la señal verde, comienza a moverse con aceleración y se mueve hasta que su velocidad llega a ser igual a 16 m/s, después de lo cual continúa moviéndose a velocidad constante. ¿A qué distancia del semáforo estará el automóvil 15 segundos después de que aparezca la señal verde?
7. Un proyectil cuya velocidad es de 1000 m/seg penetra la pared del dugout durante un tiempo y luego tiene una velocidad de 200 m/seg. Suponiendo que el movimiento de un proyectil en el espesor de una pared se acelera uniformemente, encuentre el espesor de la pared.
8. El cohete se mueve con aceleración y en algún momento alcanza una velocidad de 900 m/seg. ¿Qué camino tomará a continuación?
9. ¿A qué distancia de la Tierra estaría la nave espacial 30 minutos después del lanzamiento si se moviera constantemente en línea recta con aceleración?
Movimiento uniforme– es un movimiento a velocidad constante, es decir, cuando la velocidad no cambia (v = const) y no se produce aceleración o desaceleración (a = 0).
Movimiento en línea recta- este es un movimiento en línea recta, es decir, la trayectoria del movimiento rectilíneo es una línea recta.
- este es un movimiento en el que un cuerpo realiza movimientos iguales en intervalos de tiempo iguales. Por ejemplo, si dividimos un determinado intervalo de tiempo en intervalos de un segundo, entonces, con un movimiento uniforme, el cuerpo se moverá la misma distancia para cada uno de estos intervalos de tiempo.
La velocidad del movimiento rectilíneo uniforme no depende del tiempo y en cada punto de la trayectoria se dirige de la misma manera que el movimiento del cuerpo. Es decir, el vector de desplazamiento coincide en dirección con el vector de velocidad. En este caso, la velocidad promedio para cualquier período de tiempo es igual a la velocidad instantánea:
Velocidad del movimiento rectilíneo uniforme es una cantidad vectorial física igual a la relación entre el movimiento de un cuerpo durante cualquier período de tiempo y el valor de este intervalo t:
V(vector) = s(vector) / t
Por tanto, la velocidad del movimiento rectilíneo uniforme muestra cuánto movimiento realiza un punto material por unidad de tiempo.
Moviente con movimiento lineal uniforme está determinado por la fórmula:
s(vector) = V(vector) t
Distancia viajada en movimiento lineal es igual al módulo de desplazamiento. Si la dirección positiva del eje OX coincide con la dirección del movimiento, entonces la proyección de la velocidad sobre el eje OX es igual al valor de la velocidad y es positiva:
v x = v, es decir v > 0
La proyección del desplazamiento sobre el eje OX es igual a:
s = vt = x – x 0
donde x 0 es la coordenada inicial del cuerpo, x es la coordenada final del cuerpo (o la coordenada del cuerpo en cualquier momento)
Ecuación de movimiento, es decir, la dependencia de las coordenadas del cuerpo con el tiempo x = x(t), toma la forma:
Si la dirección positiva del eje OX es opuesta a la dirección del movimiento del cuerpo, entonces la proyección de la velocidad del cuerpo sobre el eje OX es negativa, la velocidad es menor que cero (v< 0), и тогда уравнение движения принимает вид:
4. Movimiento igualmente alterno.
Movimiento lineal uniforme- Este es un caso especial de movimiento desigual.
movimiento desigual- este es un movimiento en el que un cuerpo (punto material) realiza movimientos desiguales durante períodos de tiempo iguales. Por ejemplo, un autobús urbano se mueve de manera desigual, ya que su movimiento consiste principalmente en aceleración y desaceleración.
Movimiento igualmente alternativo- este es un movimiento en el que la velocidad de un cuerpo (punto material) cambia igualmente en períodos de tiempo iguales.
Aceleración de un cuerpo durante el movimiento uniforme. permanece constante en magnitud y dirección (a = const).
El movimiento uniforme puede acelerarse o desacelerarse uniformemente.
Movimiento uniformemente acelerado- este es el movimiento de un cuerpo (punto material) con aceleración positiva, es decir, con tal movimiento el cuerpo acelera con aceleración constante. En el caso de un movimiento uniformemente acelerado, el módulo de velocidad del cuerpo aumenta con el tiempo, la dirección de la aceleración coincide con la dirección de la velocidad del movimiento.
Igual cámara lenta- este es el movimiento de un cuerpo (punto material) con aceleración negativa, es decir, con tal movimiento el cuerpo se desacelera uniformemente. En movimiento uniformemente lento, los vectores velocidad y aceleración son opuestos y el módulo de velocidad disminuye con el tiempo.
En mecánica, cualquier movimiento rectilíneo se acelera, por lo que el movimiento lento se diferencia del movimiento acelerado solo en el signo de la proyección del vector de aceleración sobre el eje seleccionado del sistema de coordenadas.
Velocidad variable media se determina dividiendo el movimiento del cuerpo por el tiempo durante el cual se realizó este movimiento. La unidad de velocidad media es m/s.
Velocidad instantanea es la velocidad de un cuerpo (punto material) en un momento dado del tiempo o en un punto dado de la trayectoria, es decir, el límite al que tiende la velocidad promedio con una disminución infinita en el período de tiempo Δt:
V=lím(^t-0) ^s/^t
Vector de velocidad instantánea El movimiento uniformemente alterno se puede encontrar como la primera derivada del vector de desplazamiento con respecto al tiempo:
V(vector) = s’(vector)
Proyección del vector de velocidad en el eje OX:
esta es la derivada de la coordenada con respecto al tiempo (las proyecciones del vector velocidad sobre otros ejes de coordenadas se obtienen de manera similar).
Aceleración es una cantidad que determina la tasa de cambio en la velocidad de un cuerpo, es decir, el límite al que tiende el cambio de velocidad con una disminución infinita en el período de tiempo Δt:
a(vector) = lim(t-0) ^v(vector)/^t
Vector de aceleración del movimiento uniformemente alterno. se puede encontrar como la primera derivada del vector velocidad con respecto al tiempo o como la segunda derivada del vector desplazamiento con respecto al tiempo:
a(vector) = v(vector)" = s(vector)"
Considerando que 0 es la velocidad del cuerpo en el momento inicial (velocidad inicial), es la velocidad del cuerpo en un momento dado (velocidad final), t es el período de tiempo durante el cual ocurrió el cambio de velocidad , fórmula de aceleración será el siguiente:
a(vector) = v(vector)-v0(vector)/t
De aquí fórmula de velocidad uniforme en cualquier momento:
v(vector) = v 0 (vector) + a(vector)t
Si un cuerpo se mueve rectilíneamente a lo largo del eje OX de un sistema de coordenadas cartesiano rectilíneo, coincidiendo en dirección con la trayectoria del cuerpo, entonces la proyección del vector velocidad sobre este eje está determinada por la fórmula:
v x = v 0x ± a x t
El signo “-” (menos) delante de la proyección del vector de aceleración se refiere a un movimiento uniformemente lento. Las ecuaciones para las proyecciones del vector velocidad sobre otros ejes de coordenadas se escriben de manera similar.
Dado que en el movimiento uniforme la aceleración es constante (a = constante), la gráfica de aceleración es una línea recta paralela al eje 0t (eje del tiempo, figura 1.15).
Arroz. 1.15. Dependencia de la aceleración del cuerpo con el tiempo.
Dependencia de la velocidad en el tiempo. es una función lineal, cuya gráfica es una línea recta (figura 1.16).
Arroz. 1.16. Dependencia de la velocidad del cuerpo con el tiempo.
Gráfico de velocidad versus tiempo(Figura 1.16) muestra que
En este caso, el desplazamiento es numéricamente igual al área de la figura 0abc (figura 1.16).
El área de un trapezoide es igual al producto de la mitad de la suma de las longitudes de sus bases por su altura. Las bases del trapezoide 0abc son numéricamente iguales:
La altura del trapezoide es t. Así, el área del trapezoide y, por tanto, la proyección del desplazamiento sobre el eje OX es igual a:
En el caso de un movimiento uniformemente lento, la proyección de la aceleración es negativa y en la fórmula para la proyección del desplazamiento se coloca un signo “-” (menos) antes de la aceleración.
Fórmula general para determinar la proyección de desplazamiento:
En la figura 2.2 se muestra una gráfica de la velocidad de un cuerpo versus el tiempo con diversas aceleraciones. 1.17. La gráfica de desplazamiento versus tiempo para v0 = 0 se muestra en la figura. 1.18.
Arroz. 1.17. Dependencia de la velocidad del cuerpo respecto del tiempo para diferentes valores de aceleración.
Arroz. 1.18. Dependencia del movimiento corporal del tiempo.
La velocidad del cuerpo en un momento dado t 1 es igual a la tangente del ángulo de inclinación entre la tangente a la gráfica y el eje del tiempo v = tg α, y el desplazamiento está determinado por la fórmula:
Si se desconoce el tiempo de movimiento del cuerpo, se puede utilizar otra fórmula de desplazamiento resolviendo un sistema de dos ecuaciones:
Fórmula para la multiplicación abreviada de diferencia cuadrada. nos ayudará a derivar la fórmula para la proyección de desplazamiento:
Dado que la coordenada del cuerpo en cualquier momento está determinada por la suma de la coordenada inicial y la proyección del desplazamiento, entonces ecuación del movimiento del cuerpo se verá así:
La gráfica de la coordenada x(t) también es una parábola (como la gráfica del desplazamiento), pero el vértice de la parábola en el caso general no coincide con el origen de coordenadas. cuando una x< 0 и х 0 = 0 ветви параболы направлены вниз (рис. 1.18).
Trayectoria(del latín tardío trayectorias, relacionado con el movimiento) es la línea a lo largo de la cual se mueve un cuerpo (punto material). La trayectoria del movimiento puede ser recta (el cuerpo se mueve en una dirección) y curva, es decir, el movimiento mecánico puede ser rectilíneo y curvilíneo.
Trayectoria en línea recta en este sistema de coordenadas es una línea recta. Por ejemplo, podemos suponer que la trayectoria de un automóvil en una carretera llana y sin curvas es recta.
movimiento curvilíneo es el movimiento de los cuerpos en círculo, elipse, parábola o hipérbola. Un ejemplo de movimiento curvilíneo es el movimiento de un punto en la rueda de un automóvil en movimiento o el movimiento de un automóvil en una curva.
El movimiento puede resultar difícil. Por ejemplo, la trayectoria de un cuerpo al inicio de su recorrido puede ser rectilínea y luego curva. Por ejemplo, al comienzo del viaje un automóvil avanza por una carretera recta, y luego la carretera comienza a “serpentear” y el automóvil comienza a moverse en una dirección curva.
Camino
Camino es la longitud de la trayectoria. La trayectoria es una cantidad escalar y se mide en metros (m) en el sistema SI. El cálculo de la ruta se realiza en muchos problemas de física. Algunos ejemplos se analizarán más adelante en este tutorial.
Mover vector
Mover vector(o simplemente Moviente) es un segmento de línea recta dirigido que conecta la posición inicial del cuerpo con su posición posterior (Fig. 1.1). El desplazamiento es una cantidad vectorial. El vector de desplazamiento se dirige desde el punto inicial del movimiento hasta el punto final.
Módulo de vector de movimiento(es decir, la longitud del segmento que conecta los puntos inicial y final del movimiento) puede ser igual a la distancia recorrida o menor que la distancia recorrida. Pero la magnitud del vector de desplazamiento nunca puede ser mayor que la distancia recorrida.
La magnitud del vector de desplazamiento es igual a la distancia recorrida cuando el camino coincide con la trayectoria (ver secciones y ), por ejemplo, si un automóvil se mueve del punto A al punto B por una carretera recta. La magnitud del vector de desplazamiento es menor que la distancia recorrida cuando un punto material se mueve a lo largo de una trayectoria curva (figura 1.1).
Arroz. 1.1. Vector de desplazamiento y distancia recorrida.
En la Fig. 1.1:
Otro ejemplo. Si el automóvil circula una vez en círculo, resulta que el punto en el que comienza el movimiento coincidirá con el punto en el que termina el movimiento, y luego el vector de desplazamiento será igual a cero y la distancia recorrida será igual a la longitud del círculo. Así, camino y movimiento son dos conceptos diferentes.
Regla de suma de vectores
Los vectores de desplazamiento se suman geométricamente de acuerdo con la regla de la suma de vectores (regla del triángulo o regla del paralelogramo, ver Fig. 1.2).
Arroz. 1.2. Suma de vectores de desplazamiento.
La Figura 1.2 muestra las reglas para sumar los vectores S1 y S2:
a) Suma según la regla del triángulo
b) Suma según la regla del paralelogramo
Proyecciones de vectores de movimiento
Al resolver problemas de física, a menudo se utilizan proyecciones del vector de desplazamiento sobre ejes de coordenadas. Las proyecciones del vector de desplazamiento sobre los ejes de coordenadas se pueden expresar mediante las diferencias en las coordenadas de su final y comienzo. Por ejemplo, si un punto material se mueve del punto A al punto B, entonces el vector de desplazamiento (ver Fig. 1.3).
Elijamos el eje OX para que el vector quede en el mismo plano que este eje. Bajemos las perpendiculares desde los puntos A y B (desde los puntos inicial y final del vector de desplazamiento) hasta que se crucen con el eje OX. Así, obtenemos las proyecciones de los puntos A y B sobre el eje X. Denotemos las proyecciones de los puntos A y B, respectivamente, como A x y B x. La longitud del segmento A x B x en el eje OX es proyección vectorial de desplazamiento en el eje OX, es decir
S x = A x B x
¡IMPORTANTE!
Les recuerdo para aquellos que no conocen muy bien las matemáticas: no confundan un vector con la proyección de un vector sobre cualquier eje (por ejemplo, S x). Un vector siempre se indica mediante una letra o varias letras, encima de las cuales hay una flecha. En algunos documentos electrónicos, la flecha no está colocada, ya que esto puede causar dificultades al crear un documento electrónico. En tales casos, guíese por el contenido del artículo, donde la palabra "vector" puede estar escrita junto a la letra o de alguna otra manera le indican que se trata de un vector y no solo de un segmento.
Arroz. 1.3. Proyección del vector de desplazamiento.
La proyección del vector de desplazamiento sobre el eje OX es igual a la diferencia entre las coordenadas del final y el comienzo del vector, es decir
S x = x – x 0
Las proyecciones del vector de desplazamiento en los ejes OY y OZ se determinan y escriben de manera similar:
S y = y – y 0 S z = z – z 0
Aquí x 0 , y 0 , z 0 son las coordenadas iniciales, o las coordenadas de la posición inicial del cuerpo (punto material); x, y, z: coordenadas finales o coordenadas de la posición posterior del cuerpo (punto material).
La proyección del vector de desplazamiento se considera positiva si la dirección del vector y la dirección del eje de coordenadas coinciden (como en la Fig. 1.3). Si la dirección del vector y la dirección del eje de coordenadas no coinciden (opuestas), entonces la proyección del vector es negativa (figura 1.4).
Si el vector de desplazamiento es paralelo al eje, entonces el módulo de su proyección es igual al módulo del propio vector. Si el vector de desplazamiento es perpendicular al eje, entonces el módulo de su proyección es igual a cero (figura 1.4).
Arroz. 1.4. Módulos de proyección de vectores de movimiento.
La diferencia entre los valores inicial y posterior de una determinada cantidad se denomina cambio en esta cantidad. Es decir, la proyección del vector de desplazamiento sobre el eje de coordenadas es igual al cambio en la coordenada correspondiente. Por ejemplo, para el caso en que el cuerpo se mueve perpendicular al eje X (figura 1.4), resulta que el cuerpo NO SE MUEVE con respecto al eje X. Es decir, el movimiento del cuerpo a lo largo del eje X es cero.
Consideremos un ejemplo del movimiento de un cuerpo en un plano. La posición inicial del cuerpo es el punto A con coordenadas x 0 e y 0, es decir, A(x 0, y 0). La posición final del cuerpo es el punto B con coordenadas xey, es decir, B(x, y). Encontremos el módulo de desplazamiento del cuerpo.
Desde los puntos A y B bajamos perpendiculares a los ejes de coordenadas OX y OY (Fig. 1.5).
Arroz. 1.5. Movimiento de un cuerpo en un avión.
Determinemos las proyecciones del vector de desplazamiento en los ejes OX y OY:
S x = x – x 0 S y = y – y 0
En la Fig. 1.5 queda claro que el triángulo ABC es un triángulo rectángulo. De esto se deduce que al resolver el problema se puede utilizar Teorema de pitágoras, con el cual puedes encontrar el módulo del vector de desplazamiento, ya que
AC = s x CB = s y
Según el teorema de Pitágoras
S 2 = S x 2 + S y 2
¿Dónde se puede encontrar el módulo del vector de desplazamiento, es decir, la longitud del recorrido del cuerpo desde el punto A al punto B?
Y finalmente, te sugiero que consolides tus conocimientos y calcules algunos ejemplos a tu criterio. Para hacer esto, ingrese algunos números en los campos de coordenadas y haga clic en el botón CALCULAR. Su navegador debe admitir la ejecución de scripts JavaScript y la ejecución de scripts debe estar habilitada en la configuración de su navegador; de lo contrario, no se realizará el cálculo. En los números reales, las partes enteras y fraccionarias deben estar separadas por un punto, por ejemplo, 10,5.
¿Cómo, conociendo la distancia de frenado, determinar la velocidad inicial del automóvil y cómo, conociendo las características del movimiento, como la velocidad inicial, la aceleración, el tiempo, determinan el movimiento del automóvil? Las respuestas las obtendremos después de familiarizarnos con el tema de la lección de hoy: "Movimiento durante un movimiento uniformemente acelerado, dependencia de las coordenadas en el tiempo durante un movimiento uniformemente acelerado".
Con un movimiento uniformemente acelerado, la gráfica parece una línea recta que va hacia arriba, ya que su proyección de aceleración es mayor que cero.
Con un movimiento rectilíneo uniforme, el área será numéricamente igual al módulo de proyección del movimiento del cuerpo. Resulta que este hecho se puede generalizar no solo para el caso de movimiento uniforme, sino también para cualquier movimiento, es decir, se puede demostrar que el área debajo de la gráfica es numéricamente igual al módulo de proyección de desplazamiento. Esto se hace estrictamente matemáticamente, pero usaremos un método gráfico.
Arroz. 2. Gráfica de velocidad versus tiempo para un movimiento uniformemente acelerado ()
Dividamos la gráfica de la proyección de la velocidad versus el tiempo para un movimiento uniformemente acelerado en pequeños intervalos de tiempo Δt. Supongamos que son tan pequeños que la velocidad prácticamente no cambió a lo largo de su longitud, es decir, convertiremos condicionalmente la gráfica de la dependencia lineal en la figura en una escalera. A cada paso creemos que la velocidad prácticamente no ha cambiado. Imaginemos que hacemos que los intervalos de tiempo Δt sean infinitesimales. En matemáticas dicen: hacemos la transición al límite. En este caso, el área de dicha escalera coincidirá infinitamente con el área del trapezoide, que está limitada por la gráfica V x (t). Esto significa que para el caso de movimiento uniformemente acelerado podemos decir que el módulo de la proyección de desplazamiento es numéricamente igual al área limitada por la gráfica V x (t): los ejes de abscisas y ordenadas y la perpendicular bajada a las abscisas, es decir es decir, el área del trapezoide OABC que vemos en la Figura 2.
El problema pasa de ser físico a matemático: encontrar el área de un trapezoide. Esta es una situación estándar cuando los físicos crean un modelo que describe un fenómeno particular, y luego entran en juego las matemáticas, enriqueciendo este modelo con ecuaciones y leyes, algo que convierte el modelo en una teoría.
Encontramos el área del trapezoide: el trapezoide es rectangular, ya que el ángulo entre los ejes es 90 0, dividimos el trapezoide en dos figuras: un rectángulo y un triángulo. Evidentemente, el área total será igual a la suma de las áreas de estas figuras (Fig. 3). Encontremos sus áreas: el área del rectángulo es igual al producto de los lados, es decir, V 0x t, el área del triángulo rectángulo será igual a la mitad del producto de los catetos - 1/2AD BD, sustituyendo los valores de las proyecciones, obtenemos: 1/2t (V x - V 0x), y, recordando la ley de cambios de velocidad a lo largo del tiempo durante un movimiento uniformemente acelerado: V x (t) = V 0x + a x t, es bastante obvio que la diferencia en las proyecciones de velocidad es igual al producto de la proyección de aceleración a x por el tiempo t, es decir, V x - V 0x = a x t.
Arroz. 3. Determinación del área del trapezoide ( Fuente)
Teniendo en cuenta que el área del trapezoide es numéricamente igual al módulo de proyección de desplazamiento, obtenemos:
S x(t) = V 0 x t + a x t 2 /2
Hemos obtenido la ley de la dependencia de la proyección del desplazamiento en el tiempo durante el movimiento uniformemente acelerado en forma escalar; en forma vectorial se verá así:
(t) = t + t2/2
Derivemos otra fórmula para la proyección del desplazamiento, que no incluirá el tiempo como variable. Resolvamos el sistema de ecuaciones eliminando el tiempo:
S x (t) = V 0 x + a x t 2 /2
V x (t) = V 0 x + a x t
Imaginemos que desconocemos el tiempo, luego expresaremos el tiempo a partir de la segunda ecuación:
t = V x - V 0x / a x
Sustituyamos el valor resultante en la primera ecuación:
Consigamos esta engorrosa expresión, la elevemos al cuadrado y demos otras similares:
Hemos obtenido una expresión muy conveniente para la proyección del movimiento para el caso en el que no conocemos el tiempo del movimiento.
Sea nuestra velocidad inicial del automóvil, cuando comenzó a frenar, V 0 = 72 km/h, velocidad final V = 0, aceleración a = 4 m/s 2 . Descubra la longitud de la distancia de frenado. Convirtiendo kilómetros a metros y sustituyendo los valores en la fórmula, encontramos que la distancia de frenado será:
S x = 0 - 400(m/s) 2 / -2 · 4 m/s 2 = 50 m
Analicemos la siguiente fórmula:
S x = (V 0 x + V x) / 2 t
La proyección de desplazamiento es la mitad de las proyecciones de las velocidades inicial y final, multiplicada por el tiempo de movimiento. Recordemos la fórmula de desplazamiento para la velocidad media.
S x = V av · t
En el caso de un movimiento uniformemente acelerado, la velocidad media será:
V av = (V 0 + V k) / 2
Nos hemos acercado a resolver el principal problema de la mecánica del movimiento uniformemente acelerado, es decir, obtener la ley según la cual la coordenada cambia con el tiempo:
x(t) = x 0 + V 0 x t + a x t 2 /2
Para aprender a utilizar esta ley, analicemos un problema típico.
Un automóvil, que parte del reposo, adquiere una aceleración de 2 m/s 2 . Calcula la distancia recorrida por el auto en 3 segundos y en un tercer segundo.
Dado: V 0 x = 0
Escribamos la ley según la cual el desplazamiento cambia con el tiempo en
movimiento uniformemente acelerado: S x = V 0 x t + a x t 2 /2. 2 segundos< Δt 2 < 3.
Podemos responder la primera pregunta del problema ingresando los datos:
t 1 = 3 c S 1x = a x t 2 /2 = 2 3 2 / 2 = 9 (m) - este es el camino recorrido
c coche en 3 segundos.
Averigüemos qué distancia recorrió en 2 segundos:
S x (2 s) = a x t 2 /2 = 2 2 2 / 2 = 4 (m)
Entonces, tú y yo sabemos que en dos segundos el auto recorrió 4 metros.
Ahora, conociendo estas dos distancias, podemos encontrar el camino que recorrió en el tercer segundo:
S 2x = S 1x + S x (2 s) = 9 - 4 = 5 (m)
En libros de texto y material didáctico (por ejemplo), se deriva una fórmula para la proyección del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (RUM) utilizando un ejemplo particular de un gráfico de velocidad cuando la proyección de la velocidad inicial v x> 0 y aceleración una x> 0, y la dirección del eje X coincide con la dirección del movimiento. En este caso, la magnitud de la proyección de desplazamiento se considera igual al área del trapezoide. Sin embargo, no se tiene en cuenta que, por ejemplo, cuando v x> 0 y una x < 0 получается не трапеция, а два треугольника, расположенных по разные стороны оси времени.
Las fórmulas obtenidas para la proyección del desplazamiento durante PRUD no se transforman a forma vectorial. Aparentemente, los autores entienden que esto conducirá a fórmulas que son válidas para cualquier palanca de empuje (no necesariamente recta). Vincular la derivación de la fórmula de desplazamiento al propulsor lleva al hecho de que al analizar el propulsor con una velocidad inicial no colineal a la aceleración, cada vez es necesario descomponer el movimiento en uniforme y rectilíneo uniformemente acelerado (por ejemplo, al analizar el movimiento curvilíneo de un cuerpo bajo la influencia de la gravedad, el movimiento curvilíneo de una carga en un campo eléctrico homogéneo).
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Para evitar esto, proponemos derivar una fórmula vectorial que sea válida para movimiento con cualquier aceleración (no solo en línea recta). Deje que el cuerpo realice un movimiento uniformemente acelerado con una velocidad inicial υ 0 y aceleración a . Se puede considerar que este movimiento consiste en un movimiento uniforme con velocidad υ 0 y movimiento uniformemente acelerado con velocidad inicial υ 0 = 0 y aceleración a .
Moviente s con movimiento uniforme en el tiempo t es igual υ 0 t. El movimiento con el control del acelerador con velocidad inicial cero obviamente puede depender sólo de la aceleración. a y tiempo t, es decir. es alguna función F( a,t). Por tanto, para la suma de estos dos movimientos, podemos escribir:
s = υ 0 t + F( a,t). (1)
Durante t el cuerpo alcanzará velocidad υ = υ 0 + a t.
Para definir una función F( a,t), supongamos que el movimiento se captura en una película y se muestra en orden inverso. En este caso, la imagen corporal al mismo tiempo. t y con la misma aceleración a hará un movimiento s arr = – s con velocidad inicial υ arr = – υ = –(υ 0 + a t).
Ejemplo de fórmula (1): s llegar = υ Arr. t + F( a,t), y teniendo en cuenta las expresiones para s Arr. υ llegar:
–s = –(υ 0 + a t)t + F( a,t) ⇒ s = υ 0 t + a t 2 – F( a,t). (2)
Igualemos los lados derechos de las expresiones (1) y (2) para la misma cantidad. s : υ 0 t + F( a,t) =υ 0 t + a t 2 – F( a,t).
Resolviendo esta ecuación, obtenemos F( a,t)= en 2/2.
Ahora la fórmula (1) para el movimiento uniformemente acelerado se puede escribir de la siguiente manera: s = υ 0 t + a t 2 /2.
Literatura
- Kikoin I.K., Kikoin A.K. Física-9. – M.: Educación, 1999.
- Kabardin O.F. Física. – M.: AST-Escuela de Prensa, 2009.
