A veces en la vida hay situaciones en las que hay que ahondar en la memoria en busca de conocimientos escolares olvidados hace mucho tiempo. Por ejemplo, es necesario determinar el área de un terreno de forma triangular, o ha llegado el momento de realizar otra renovación en un apartamento o casa privada, y es necesario calcular cuánto material se necesitará para una superficie con una forma triangular. Hubo un tiempo en el que podías resolver un problema de este tipo en un par de minutos, pero ahora estás tratando desesperadamente de recordar cómo determinar el área de un triángulo.

¡No te preocupes por eso! Después de todo, es bastante normal que el cerebro de una persona decida transferir conocimientos que no se han utilizado durante mucho tiempo a algún lugar remoto, del que a veces no es tan fácil extraerlos. Para que no tengas que luchar buscando conocimientos escolares olvidados para resolver tal problema, este artículo contiene varios métodos que facilitan encontrar el área requerida de un triángulo.

Es bien sabido que un triángulo es un tipo de polígono que está limitado al mínimo número posible de lados. En principio, cualquier polígono se puede dividir en varios triángulos conectando sus vértices con segmentos que no intersecan sus lados. Por tanto, conociendo el triángulo, puedes calcular el área de casi cualquier figura.

Entre todos los triángulos posibles que se presentan en la vida, se pueden distinguir los siguientes tipos particulares: y rectangular.

La forma más sencilla de calcular el área de un triángulo es cuando uno de sus ángulos es recto, es decir, en el caso de un triángulo rectángulo. Es fácil ver que es medio rectángulo. Por tanto, su área es igual a la mitad del producto de los lados que forman un ángulo recto entre sí.

Si conocemos la altura de un triángulo, bajada desde uno de sus vértices hacia el lado opuesto, y la longitud de este lado, que se llama base, entonces el área se calcula como la mitad del producto de la altura por la base. Esto se escribe usando la siguiente fórmula:

S = 1/2*b*h, en el cual

S es el área requerida del triángulo;

b, h - respectivamente, la altura y la base del triángulo.

Es muy fácil calcular el área de un triángulo isósceles porque la altura dividirá el lado opuesto y se puede medir fácilmente. Si se determina el área, entonces conviene tomar como altura la longitud de uno de los lados que forman un ángulo recto.

Por supuesto, todo esto es bueno, pero ¿cómo determinar si uno de los ángulos de un triángulo es recto o no? Si el tamaño de nuestra figura es pequeño, entonces podemos utilizar una esquina de construcción, un triángulo de dibujo, una postal u otro objeto con forma rectangular.

Pero ¿y si tenemos un terreno triangular? En este caso, proceda de la siguiente manera: cuente desde la parte superior del supuesto ángulo recto en un lado una distancia múltiplo de 3 (30 cm, 90 cm, 3 m), y en el otro lado mida una distancia múltiplo de 4 en el mismo proporción (40 cm, 160 cm, 4 m). Ahora necesitas medir la distancia entre los puntos finales de estos dos segmentos. Si el resultado es múltiplo de 5 (50 cm, 250 cm, 5 m), entonces podemos decir que el ángulo es recto.

Si se conoce la longitud de cada uno de los tres lados de nuestra figura, entonces el área del triángulo se puede determinar mediante la fórmula de Heron. Para que tenga una forma más sencilla se utiliza un nuevo valor, al que se le llama semiperímetro. Esta es la suma de todos los lados de nuestro triángulo, divididos por la mitad. Una vez calculado el semiperímetro, puedes comenzar a determinar el área mediante la fórmula:

S = raíz cuadrada (p (p-a)(p-b)(p-c)), donde

sqrt - raíz cuadrada;

p - valor del semiperímetro (p = (a+b+c)/2);

a, b, c - bordes (lados) del triángulo.

¿Pero qué pasa si el triángulo tiene una forma irregular? Hay dos formas posibles aquí. El primero de ellos es intentar dividir dicha figura en dos triángulos rectángulos, cuya suma de áreas se calcula por separado y luego se suma. O, si se conoce el ángulo entre dos lados y el tamaño de estos lados, aplique la fórmula:

S = 0,5 * ab * senC, donde

a,b - lados del triángulo;

c es el tamaño del ángulo entre estos lados.

Este último caso es raro en la práctica, pero aún así todo es posible en la vida, por lo que la fórmula anterior no será superflua. ¡Buena suerte con tus cálculos!

El triángulo es una figura familiar para todos. Y esto a pesar de la rica variedad de sus formas. Rectangular, equilátero, agudo, isósceles, obtuso. Cada uno de ellos es diferente de alguna manera. Pero cualquiera necesita averiguar el área de un triángulo.

Fórmulas comunes a todos los triángulos que utilizan las longitudes de los lados o las alturas.

Las designaciones adoptadas en ellos: lados - a, b, c; alturas en los lados correspondientes en a, n in, n con.

1. El área de un triángulo se calcula como el producto de ½, un lado y la altura restada del mismo. S = ½ * a * n a. Las fórmulas para los otros dos lados deben escribirse de manera similar.

2. Fórmula de Herón, en la que aparece el semiperímetro (suele denotarse con la letra p minúscula, a diferencia del perímetro completo). El semiperímetro se debe calcular de la siguiente manera: suma todos los lados y divídelos entre 2. La fórmula del semiperímetro es: p = (a+b+c) / 2. Entonces la igualdad para el área de la figura se ve así: S = √ (p * (p - a) * ( р - в) * (р - с)).

3. Si no desea utilizar un semiperímetro, entonces le resultará útil una fórmula que contenga solo las longitudes de los lados: S = ¼ * √ ((a + b + c) * (b + c - a ) * (a + c - c) * (a + b - c)). Es un poco más largo que el anterior, pero te ayudará si has olvidado cómo encontrar el semiperímetro.

Fórmulas generales que involucran los ángulos de un triángulo.

Notaciones necesarias para leer las fórmulas: α, β, γ - ángulos. Se encuentran en lados opuestos a, b, c, respectivamente.

1. Según él, la mitad del producto de dos lados por el seno del ángulo entre ellos es igual al área del triángulo. Es decir: S = ½ a * b * sen γ. Las fórmulas para los otros dos casos deben escribirse de forma similar.

2. El área de un triángulo se puede calcular a partir de un lado y tres ángulos conocidos. S = (a 2 * sen β * sen γ) / (2 sen α).

3. También existe una fórmula con un lado conocido y dos ángulos adyacentes. Se ve así: S = c 2 / (2 (ctg α + ctg β)).

Las dos últimas fórmulas no son las más sencillas. Es bastante difícil recordarlos.

Fórmulas generales para la situación cuando se conocen los radios de círculos inscritos o circunscritos.

Designaciones adicionales: r, R - radios. El primero se utiliza para el radio del círculo inscrito. El segundo es para el descrito.

1. La primera fórmula mediante la cual se calcula el área de un triángulo está relacionada con el semiperímetro. S = r * r. Otra forma de escribirlo es: S = ½ r * (a + b + c).

2. En el segundo caso, necesitarás multiplicar todos los lados del triángulo y dividirlos por cuadriplicar el radio del círculo circunscrito. En expresión literal se ve así: S = (a * b * c) / (4R).

3. La tercera situación te permite prescindir de conocer los lados, pero necesitarás los valores de los tres ángulos. S = 2 R 2 * pecado α * pecado β * pecado γ.

Caso especial: triángulo rectángulo

Esta es la situación más sencilla, ya que sólo se requiere la longitud de ambas piernas. Se designan con las letras latinas a y b. El área de un triángulo rectángulo es igual a la mitad del área del rectángulo que se le suma.

Matemáticamente se ve así: S = ½ a * b. Es el más fácil de recordar. Debido a que se parece a la fórmula para el área de un rectángulo, solo aparece una fracción, que indica la mitad.

Caso especial: triángulo isósceles

Como tiene dos lados iguales, algunas fórmulas para su área parecen algo simplificadas. Por ejemplo, la fórmula de Heron, que calcula el área de un triángulo isósceles, toma la siguiente forma:

S = ½ pulg √((a + ½ pulg)*(a - ½ pulg)).

Si lo transformas, se acortará. En este caso, la fórmula de Herón para un triángulo isósceles se escribe de la siguiente manera:

S = ¼ en √(4 * a 2 - b 2).

La fórmula del área parece algo más simple que la de un triángulo arbitrario si se conocen los lados y el ángulo entre ellos. S = ½ a 2 * sen β.

Caso especial: triángulo equilátero

Por lo general, en los problemas se conoce el lado al respecto o se puede descubrir de alguna manera. Entonces la fórmula para encontrar el área de dicho triángulo es la siguiente:

S = (a 2 √3) / 4.

Problemas para encontrar el área si el triángulo está representado en papel cuadriculado

La situación más sencilla es cuando se dibuja un triángulo rectángulo de modo que sus catetos coincidan con las líneas del papel. Luego solo necesitas contar la cantidad de células que caben en las piernas. Luego multiplícalos y divídelos por dos.

Cuando el triángulo es agudo u obtuso, es necesario dibujarlo en un rectángulo. Entonces la figura resultante tendrá 3 triángulos. Uno es el que se da en el problema. Y los otros dos son auxiliares y rectangulares. Las áreas de los dos últimos deben determinarse utilizando el método descrito anteriormente. Luego calcula el área del rectángulo y réstale las calculadas para los auxiliares. Se determina el área del triángulo.

La situación en la que ninguno de los lados del triángulo coincide con las líneas del papel resulta mucho más complicada. Luego hay que inscribirlo en un rectángulo de modo que los vértices de la figura original queden sobre sus lados. En este caso, habrá tres triángulos rectángulos auxiliares.

Ejemplo de un problema usando la fórmula de Heron

Condición. Algún triángulo tiene lados conocidos. Son iguales a 3, 5 y 6 cm. Necesitas encontrar su área.

Ahora puedes calcular el área del triángulo usando la fórmula anterior. Debajo de la raíz cuadrada está el producto de cuatro números: 7, 4, 2 y 1. Es decir, el área es √(4 * 14) = 2 √(14).

Si no se requiere mayor precisión, se puede sacar la raíz cuadrada de 14. Es igual a 3,74. Entonces el área será 7,48.

Respuesta. S = 2 √14 cm 2 o 7,48 cm 2.

Problema de ejemplo con triángulo rectángulo

Condición. Un cateto de un triángulo rectángulo es 31 cm más grande que el segundo. Debes averiguar sus longitudes si el área del triángulo es 180 cm 2.
Solución. Tendremos que resolver un sistema de dos ecuaciones. El primero está relacionado con el área. El segundo es con la proporción de los catetos, que se da en el problema.
180 = ½ a * b;

a = b + 31.
Primero, se debe sustituir el valor de "a" en la primera ecuación. Resulta: 180 = ½ (pulg + 31) * pulg. Sólo tiene una incógnita, por lo que es fácil de resolver. Después de abrir los paréntesis, se obtiene la ecuación cuadrática: 2 + 31 360 = 0. Esto da dos valores para "en": 9 y - 40. El segundo número no es adecuado como respuesta, ya que la longitud del lado de un triángulo no puede ser un valor negativo.

Queda por calcular el segundo tramo: suma 31 al número resultante, resulta 40. Estas son las cantidades buscadas en el problema.

Respuesta. Los catetos del triángulo miden 9 y 40 cm.

Problema de encontrar un lado a través del área, lado y ángulo de un triángulo

Condición. El área de cierto triángulo es 60 cm 2. Es necesario calcular uno de sus lados si el segundo lado mide 15 cm y el ángulo entre ellos es 30º.

Solución. Según la notación aceptada, el lado deseado es "a", el lado conocido es "b", el ángulo dado es "γ". Entonces la fórmula del área se puede reescribir de la siguiente manera:

60 = ½ a * 15 * sen 30º. Aquí el seno de 30 grados es 0,5.

Después de las transformaciones, “a” resulta ser igual a 60 / (0,5 * 0,5 * 15). Eso es 16.

Respuesta. El lado requerido es de 16 cm.

Problema sobre un cuadrado inscrito en un triángulo rectángulo

Condición. El vértice de un cuadrado de 24 cm de lado coincide con el ángulo recto del triángulo. Los otros dos se encuentran a los lados. El tercero pertenece a la hipotenusa. La longitud de uno de los catetos es 42 cm. ¿Cuál es el área del triángulo rectángulo?

Solución. Considere dos triángulos rectángulos. El primero es el especificado en la tarea. El segundo se basa en el cateto conocido del triángulo original. Son semejantes porque tienen un ángulo común y están formadas por rectas paralelas.

Entonces las proporciones de sus catetos son iguales. Los catetos del triángulo más pequeño son iguales a 24 cm (lado del cuadrado) y 18 cm (dado el cateto de 42 cm, reste el lado del cuadrado de 24 cm). Los catetos correspondientes de un triángulo grande son 42 cm y x cm. Es esta "x" la que se necesita para calcular el área del triángulo.

18/42 = 24/x, es decir, x = 24 * 42 / 18 = 56 (cm).

Entonces el área es igual al producto de 56 y 42 dividido por dos, es decir, 1176 cm 2.

Respuesta. El área requerida es 1176 cm 2.

Área de una figura geométrica- una característica numérica de una figura geométrica que muestra el tamaño de esta figura (parte de la superficie limitada por el contorno cerrado de esta figura). El tamaño del área se expresa por el número de unidades cuadradas que contiene.

Fórmulas de área de triángulo

Fórmula para el área de un triángulo por lado y altura
Área de un triángulo igual a la mitad del producto de la longitud de un lado de un triángulo por la longitud de la altura dibujada a este lado
Fórmula para el área de un triángulo basada en tres lados y el radio del círculo circunstante
Fórmula para el área de un triángulo basada en tres lados y el radio del círculo inscrito
Área de un triángulo es igual al producto del semiperímetro del triángulo por el radio del círculo inscrito.

Fórmulas de área cuadrada

Fórmula para el área de un cuadrado por la longitud del lado
Área cuadrada igual al cuadrado de la longitud de su lado.
Fórmula para el área de un cuadrado a lo largo de la diagonal
Área cuadrada igual a la mitad del cuadrado de la longitud de su diagonal.
S= 1 2
2

Fórmula del área del rectángulo

Área de un rectángulo

Fórmulas de área de paralelogramo

Fórmula para el área de un paralelogramo basada en la longitud y la altura de los lados
Área de un paralelogramo
Fórmula para el área de un paralelogramo basada en dos lados y el ángulo entre ellos
Área de un paralelogramo es igual al producto de las longitudes de sus lados multiplicado por el seno del ángulo entre ellos.
a b sen α

Fórmulas para el área de un rombo.

Fórmula para el área de un rombo según la longitud y la altura de los lados
Área de un rombo es igual al producto de la longitud de su lado por la longitud de la altura bajada a este lado.
Fórmula para el área de un rombo según la longitud del lado y el ángulo
Área de un rombo es igual al producto del cuadrado de la longitud de su lado por el seno del ángulo entre los lados del rombo.
Fórmula para el área de un rombo en función de las longitudes de sus diagonales
Área de un rombo igual a la mitad del producto de las longitudes de sus diagonales.

Fórmulas del área trapezoidal

Fórmula de Heron para el trapezoide.
Donde S es el área del trapezoide,
- longitudes de las bases del trapezoide,
- longitudes de los lados del trapezoide,

Área de un triángulo: fórmulas y ejemplos de resolución de problemas

Debajo están fórmulas para encontrar el área de un triángulo arbitrario los cuales son adecuados para encontrar el área de cualquier triángulo, independientemente de sus propiedades, ángulos o tamaños. Las fórmulas se presentan en forma de imagen, con explicaciones de su aplicación o justificación de su corrección. Además, una figura separada muestra la correspondencia entre los símbolos de letras en las fórmulas y los símbolos gráficos en el dibujo.

Nota . Si el triángulo tiene propiedades especiales (isosceles, rectangular, equilátero), puede utilizar las fórmulas que se indican a continuación, así como fórmulas especiales adicionales que son válidas sólo para triángulos con estas propiedades:

"Fórmula para el área de un triángulo equilátero"

Fórmulas de área de triángulo

Explicaciones de fórmulas:
a B C- las longitudes de los lados del triángulo cuya área queremos encontrar
r- radio del círculo inscrito en el triángulo
R- radio del círculo circunscrito alrededor del triángulo
h- altura del triángulo bajado hacia un lado
pag- semiperímetro de un triángulo, la mitad de la suma de sus lados (perímetro)
α - ángulo opuesto al lado a del triángulo
β - ángulo opuesto al lado b del triángulo
γ - ángulo opuesto al lado c del triángulo
h a, h b , h C- altura del triángulo bajada a los lados a, b, c

Tenga en cuenta que las notaciones dadas corresponden a la figura anterior, por lo que al resolver un problema de geometría real, le resultará visualmente más fácil sustituir los valores correctos en los lugares correctos de la fórmula.

El área del triángulo es la mitad del producto de la altura del triángulo por la longitud del lado por el cual se baja esta altura(Fórmula 1). La exactitud de esta fórmula se puede entender lógicamente. La altura bajada a la base dividirá un triángulo arbitrario en dos rectangulares. Si construyes cada uno de ellos en un rectángulo con dimensiones b y h, entonces obviamente el área de estos triángulos será igual a exactamente la mitad del área del rectángulo (Spr = bh)
El área del triángulo es la mitad del producto de sus dos lados por el seno del ángulo entre ellos(Fórmula 2) (vea un ejemplo de cómo resolver un problema usando esta fórmula a continuación). Aunque parezca diferente al anterior, se puede transformar fácilmente en él. Si bajamos la altura del ángulo B al lado b, resulta que el producto del lado a por el seno del ángulo γ, según las propiedades del seno en un triángulo rectángulo, es igual a la altura del triángulo que dibujamos. , que nos da la fórmula anterior
Se puede encontrar el área de un triángulo arbitrario. a través de trabajar la mitad del radio del círculo inscrito en él por la suma de las longitudes de todos sus lados(Fórmula 3), en pocas palabras, debes multiplicar el semiperímetro del triángulo por el radio del círculo inscrito (esto es más fácil de recordar)
El área de un triángulo arbitrario se puede encontrar dividiendo el producto de todos sus lados por 4 radios del círculo circunscrito a su alrededor (Fórmula 4)
La fórmula 5 consiste en encontrar el área de un triángulo a través de las longitudes de sus lados y su semiperímetro (la mitad de la suma de todos sus lados)
la fórmula de garza(6) es una representación de la misma fórmula sin utilizar el concepto de semiperímetro, solo a través de las longitudes de los lados
El área de un triángulo arbitrario es igual al producto del cuadrado del lado del triángulo y los senos de los ángulos adyacentes a este lado dividido por el doble seno del ángulo opuesto a este lado (Fórmula 7)
El área de un triángulo arbitrario se puede encontrar como el producto de dos cuadrados del círculo circunscrito a él por los senos de cada uno de sus ángulos. (Fórmula 8)
Si se conocen la longitud de un lado y los valores de dos ángulos adyacentes, entonces el área del triángulo se puede encontrar como el cuadrado de este lado dividido por la doble suma de las cotangentes de estos ángulos (Fórmula 9)
Si solo se conoce la longitud de cada una de las alturas del triángulo (Fórmula 10), entonces el área de dicho triángulo es inversamente proporcional a las longitudes de estas alturas, como según la Fórmula de Heron
La fórmula 11 te permite calcular. área de un triángulo según las coordenadas de sus vértices, que se especifican como valores (x;y) para cada uno de los vértices. Tenga en cuenta que el valor resultante debe tomarse en módulo, ya que las coordenadas de los vértices individuales (o incluso de todos) pueden estar en la región de valores negativos.

Nota. Los siguientes son ejemplos de resolución de problemas de geometría para encontrar el área de un triángulo. Si necesitas resolver un problema de geometría que no es similar aquí, escríbelo en el foro. En las soluciones, en lugar del símbolo de "raíz cuadrada", se puede utilizar la función sqrt(), en la que sqrt es el símbolo de la raíz cuadrada y la expresión radical se indica entre paréntesis..A veces, para expresiones radicales simples, se puede utilizar el símbolo. √

Tarea. Calcula el área dados dos lados y el ángulo entre ellos.

Los lados del triángulo miden 5 y 6 cm. El ángulo entre ellos es de 60 grados. Encuentra el área del triángulo..

Solución.

Para solucionar este problema utilizamos la fórmula número dos de la parte teórica de la lección.
El área de un triángulo se puede encontrar a través de las longitudes de dos lados y el seno del ángulo entre ellos y será igual a
S=1/2 ab sen γ

Como tenemos todos los datos necesarios para la solución (según la fórmula), solo podemos sustituir los valores de las condiciones del problema en la fórmula:
S = 1/2 * 5 * 6 * pecado 60

En la tabla de valores de funciones trigonométricas, encontraremos y sustituiremos el valor del seno de 60 grados en la expresión. Será igual a la raíz de tres por dos.
S = 15 √3 / 2

Respuesta: 7.5 √3 (dependiendo de los requerimientos del profesor, probablemente puedas dejar 15 √3/2)

Tarea. Encuentra el área de un triángulo equilátero

Calcula el área de un triángulo equilátero de 3 cm de lado.

Solución .

El área de un triángulo se puede encontrar usando la fórmula de Heron:

S = 1/4 raíz cuadrada ((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))

Como a = b = c, la fórmula para el área de un triángulo equilátero toma la forma:

S = √3 / 4 * a 2

S = √3 / 4 * 3 2

Respuesta: 9 √3 / 4.

Tarea. Cambio de área al cambiar la longitud de los lados

¿Cuántas veces aumentará el área del triángulo si los lados aumentan 4 veces?

Solución.

Dado que desconocemos las dimensiones de los lados del triángulo, para resolver el problema asumiremos que las longitudes de los lados son respectivamente iguales a los números arbitrarios a, b, c. Luego, para responder a la pregunta del problema, encontraremos el área del triángulo dado, y luego encontraremos el área del triángulo cuyos lados son cuatro veces más grandes. La razón de las áreas de estos triángulos nos dará la respuesta al problema.

A continuación proporcionamos una explicación textual de la solución al problema paso a paso. Sin embargo, al final, esta misma solución se presenta en una forma gráfica más conveniente. Los interesados pueden consultar inmediatamente las soluciones.

Para resolverlo utilizamos la fórmula de Heron (ver arriba en la parte teórica de la lección). Se parece a esto:

S = 1/4 raíz cuadrada ((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(ver la primera línea de la imagen a continuación)

Las longitudes de los lados de un triángulo arbitrario están especificadas por las variables a, b, c.
Si los lados se aumentan 4 veces, entonces el área del nuevo triángulo c será:

S 2 = 1/4 raíz((4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c))
(ver segunda línea en la imagen de abajo)

Como puede ver, 4 es un factor común que se puede quitar entre paréntesis de las cuatro expresiones de acuerdo con las reglas generales de las matemáticas.
Entonces

S 2 = 1/4 raíz cuadrada (4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - en la tercera línea de la imagen
S 2 = 1/4 sqrt(256 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - cuarta linea

La raíz cuadrada del número 256 está perfectamente extraída, así que saquémosla de debajo de la raíz.
S 2 = 16 * 1/4 raíz cuadrada ((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
S 2 = 4 raíz cuadrada ((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(ver quinta línea de la imagen a continuación)

Para responder a la pregunta del problema, solo necesitamos dividir el área del triángulo resultante por el área del original.
Determinemos las razones de área dividiendo las expresiones entre sí y reduciendo la fracción resultante.

Como recordarás del plan de estudios de geometría de tu escuela, un triángulo es una figura formada por tres segmentos conectados por tres puntos que no se encuentran en la misma línea recta. Un triángulo forma tres ángulos, de ahí el nombre de la figura. La definición puede ser diferente. Un triángulo también se puede llamar polígono de tres ángulos, la respuesta también será correcta. Los triángulos se dividen según el número de lados iguales y el tamaño de los ángulos en las figuras. Así, los triángulos se distinguen en isósceles, equiláteros y escalenos, además de rectangulares, agudos y obtusos, respectivamente.

Existen muchas fórmulas para calcular el área de un triángulo. Elige cómo encontrar el área de un triángulo, es decir Depende de usted qué fórmula utilizar. Pero vale la pena señalar solo algunas de las notaciones que se utilizan en muchas fórmulas para calcular el área de un triángulo. Así que recuerda:

S es el área del triángulo,

a, b, c son los lados del triángulo,

h es la altura del triángulo,

R es el radio del círculo circunscrito,

p es el semiperímetro.

Aquí tienes las notaciones básicas que pueden resultarte útiles si has olvidado por completo tu curso de geometría. A continuación se muestran las opciones más comprensibles y sencillas para calcular el área desconocida y misteriosa de un triángulo. No es difícil y te será útil tanto para las necesidades de tu hogar como para ayudar a tus hijos. Recordemos cómo calcular el área de un triángulo de la forma más sencilla posible:

En nuestro caso, el área del triángulo es: S = ½ * 2,2 cm * 2,5 cm = 2,75 cm cuadrados. Recuerda que el área se mide en centímetros cuadrados (sqcm).

Triángulo rectángulo y su área.

Un triángulo rectángulo es un triángulo en el que un ángulo mide 90 grados (de ahí que se le llame recto). Un ángulo recto está formado por dos rectas perpendiculares (en el caso de un triángulo, dos segmentos perpendiculares). En un triángulo rectángulo sólo puede haber un ángulo recto, porque... la suma de todos los ángulos de cualquier triángulo es igual a 180 grados. Resulta que los otros 2 ángulos deberían compartir los 90 grados restantes, por ejemplo 70 y 20, 45 y 45, etc. Entonces, recuerdas lo principal, solo queda descubrir cómo encontrar el área de un triángulo rectángulo. Imaginemos que tenemos un triángulo rectángulo frente a nosotros y necesitamos encontrar su área S.

1. La forma más sencilla de determinar el área de un triángulo rectángulo se calcula mediante la siguiente fórmula:

En nuestro caso, el área del triángulo rectángulo es: S = 2,5 cm * 3 cm / 2 = 3,75 cm cuadrados.

En principio, ya no es necesario verificar el área del triángulo de otras formas, porque Sólo éste será útil y ayudará en la vida cotidiana. Pero también existen opciones para medir el área de un triángulo a través de ángulos agudos.

2. Para otros métodos de cálculo, es necesario disponer de una tabla de cosenos, senos y tangentes. Juzgue usted mismo, aquí hay algunas opciones para calcular el área de un triángulo rectángulo que aún se pueden usar:

Decidimos usar la primera fórmula y con algunos borrones menores (la dibujamos en un cuaderno y usamos una regla y un transportador viejos), pero obtuvimos el cálculo correcto:

S = (2,5*2,5)/(2*0,9)=(3*3)/(2*1,2). Obtuvimos los siguientes resultados: 3,6=3,7, pero teniendo en cuenta el desplazamiento de las células, podemos perdonar este matiz.

Triángulo isósceles y su área.

Si se enfrenta a la tarea de calcular la fórmula de un triángulo isósceles, entonces la forma más sencilla es utilizar la fórmula principal y la que se considera clásica para el área de un triángulo.

Pero primero, antes de encontrar el área de un triángulo isósceles, averigüemos qué tipo de figura es. Un triángulo isósceles es un triángulo en el que dos lados tienen la misma longitud. Estos dos lados se llaman laterales, el tercer lado se llama base. No confundas un triángulo isósceles con un triángulo equilátero, es decir un triángulo regular con los tres lados iguales. En tal triángulo no hay tendencias especiales en los ángulos, o más bien en su tamaño. Sin embargo, los ángulos en la base de un triángulo isósceles son iguales, pero diferentes del ángulo entre lados iguales. Entonces, ya conoces la primera y principal fórmula, queda por descubrir qué otras fórmulas para determinar el área de un triángulo isósceles se conocen: