Puede resultar difícil contar directamente los casos que favorecen un acontecimiento determinado. Por lo tanto, para determinar la probabilidad de un evento, puede resultar ventajoso imaginarlo como una combinación de otros eventos más simples. Sin embargo, en este caso es necesario conocer las reglas que gobiernan las probabilidades en combinaciones de eventos. Es a estas reglas a las que se relacionan los teoremas mencionados en el título del párrafo.

El primero de ellos se relaciona con el cálculo de la probabilidad de que ocurra al menos uno de varios eventos.

Teorema de la suma.

Sean A y B dos eventos incompatibles. Entonces la probabilidad de que ocurra al menos uno de estos dos eventos es igual a la suma de sus probabilidades:

Prueba. Sea un grupo completo de eventos incompatibles por pares. Entonces, si entre estos eventos elementales hay exactamente eventos favorables a A y exactamente eventos favorables a B. Dado que los eventos A y B son incompatibles, entonces ningún evento puede favorecer a ambos eventos. Un evento (A o B), que consiste en la ocurrencia de al menos uno de estos dos eventos, es obviamente favorecido tanto por cada uno de los eventos que favorecen a A como por cada uno de los eventos.

Favorable B. Por lo tanto, el número total de eventos favorables al evento (A o B) es igual a la suma que sigue:

Q.E.D.

Es fácil ver que el teorema de la suma formulado anteriormente para el caso de dos eventos puede transferirse fácilmente al caso de cualquier número finito de ellos. Precisamente si hay eventos incompatibles por pares, entonces

Para el caso de tres eventos, por ejemplo, se puede escribir

Una consecuencia importante del teorema de la suma es el enunciado: si los eventos son incompatibles por pares y únicamente posibles, entonces

De hecho, el evento o o o es, por supuesto, cierto y su probabilidad, como se indica en el § 1, es igual a uno. En particular, si se refieren a dos eventos mutuamente opuestos, entonces

Ilustremos el teorema de la suma con ejemplos.

Ejemplo 1. Al disparar a un objetivo, la probabilidad de realizar un tiro excelente es 0,3 y la probabilidad de realizar un tiro "bueno" es 0,4. ¿Cuál es la probabilidad de obtener una puntuación de al menos “buena” en un tiro?

Solución. Si el evento A significa recibir una calificación de “excelente” y el evento B significa recibir una calificación de “buena”, entonces

Ejemplo 2. En una urna que contiene bolas blancas, rojas y negras, hay bolas blancas y yo bolas rojas. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una bola que no sea negra?

Solución. Si el evento A consiste en la aparición de una bola blanca y el evento B consiste en una bola roja, entonces la apariencia de la bola no es negra.

significa la apariencia de una bola blanca o roja. Dado que por definición de probabilidad

entonces, según el teorema de la suma, la probabilidad de que aparezca una bola que no sea negra es igual;

Este problema se puede solucionar de esta manera. Supongamos que el evento C consiste en la aparición de una bola negra. El número de bolas negras es igual de modo que P (C) La aparición de una bola no negra es el evento opuesto de C, por lo tanto, con base en el corolario anterior del teorema de la suma, tenemos:

como antes.

Ejemplo 3. En una lotería de dinero en efectivo, para una serie de 1000 boletos hay 120 ganancias en efectivo y 80 ganancias materiales. ¿Cuál es la probabilidad de ganar algo con un billete de lotería?

Solución. Si denotamos por A un evento que consiste en una ganancia monetaria y por B una ganancia material, entonces de la definición de probabilidad se sigue

El evento que nos interesa está representado por (A o B), por lo que se deduce del teorema de la suma

Por tanto, la probabilidad de ganar es 0,2.

Antes de pasar al siguiente teorema, es necesario familiarizarse con un nuevo concepto importante: el concepto de probabilidad condicional. Para ello, comenzaremos considerando el siguiente ejemplo.

Supongamos que hay 400 bombillas en un almacén, fabricadas en dos fábricas diferentes, y la primera produce el 75% de todas las bombillas y la segunda, el 25%. Supongamos que entre las bombillas fabricadas por la primera planta, el 83% satisfacen las condiciones de una determinada norma, y ​​para los productos de la segunda planta este porcentaje es del 63. Determinemos la probabilidad de que una bombilla extraída aleatoriamente de la El almacén cumplirá las condiciones de la norma.

Tenga en cuenta que el número total de bombillas estándar disponibles se compone de las bombillas fabricadas por la primera

fábrica, y 63 bombillas fabricadas en la segunda planta, es decir, igual a 312. Dado que la elección de cualquier bombilla debe considerarse igualmente posible, tenemos 312 casos favorables de 400, por lo que

donde el evento B es que la bombilla que hemos elegido es estándar.

Durante este cálculo no se hicieron suposiciones sobre el producto de a qué planta pertenecía la bombilla que elegimos. Si hacemos suposiciones de este tipo, entonces es obvio que la probabilidad que nos interesa puede cambiar. Así, por ejemplo, si se sabe que la bombilla seleccionada fue fabricada en la primera planta (evento A), entonces la probabilidad de que sea estándar ya no será 0,78, sino 0,83.

Este tipo de probabilidad, es decir, la probabilidad del evento B dado que ocurre el evento A, se llama probabilidad condicional del evento B dada la ocurrencia del evento A y se denota

Si en el ejemplo anterior denotamos por A el evento de que la bombilla seleccionada se fabrica en la primera planta, entonces podemos escribir

Ahora podemos formular un teorema importante relacionado con el cálculo de la probabilidad de combinar eventos.

Teorema de la multiplicación.

La probabilidad de combinar los eventos A y B es igual al producto de la probabilidad de uno de los eventos por la probabilidad condicional del otro, suponiendo que el primero ocurrió:

En este caso, la combinación de los eventos A y B significa la ocurrencia de cada uno de ellos, es decir, la ocurrencia tanto del evento A como del evento B.

Prueba. Consideremos un grupo completo de eventos incompatibles por pares igualmente posibles, cada uno de los cuales puede ser favorable o desfavorable tanto para el evento A como para el evento B.

Dividamos todos estos eventos en cuatro grupos diferentes de la siguiente manera. El primer grupo incluye aquellos eventos que favorecen tanto el evento A como el evento B; El segundo y tercer grupo incluyen aquellos eventos que favorecen a uno de los dos eventos que nos interesan y no favorecen al otro, por ejemplo, el segundo grupo incluye aquellos que favorecen a A pero no favorecen a B, y el tercer grupo incluye aquellos que favorecer a B pero no favorecer a A; finalmente a

El cuarto grupo incluye aquellos eventos que no favorecen ni a A ni a B.

Dado que la numeración de los eventos no importa, podemos suponer que esta división en cuatro grupos se ve así:

Grupo I:

Grupo II:

III grupo:

IV grupo:

Así, entre eventos igualmente posibles e incompatibles por pares, hay eventos que favorecen tanto al evento A como al evento B, eventos que favorecen al evento A, pero no favorecen al evento A, eventos que favorecen a B, pero no favorecen a A y, finalmente, Eventos que no favorecen ni a A ni a B.

Notemos, dicho sea de paso, que cualquiera de los cuatro grupos que hemos considerado (e incluso más de uno) no puede contener un solo evento. En este caso, el número correspondiente que indica el número de eventos en dicho grupo será igual a cero.

Nuestro desglose en grupos le permite escribir inmediatamente

pues la combinación de los eventos A y B se ve favorecida por los eventos del primer grupo y sólo por ellos. El número total de eventos que favorecen a A es igual al número total de eventos en el primer y segundo grupo, y los que favorecen a B es igual al número total de eventos en el primer y tercer grupo.

Calculemos ahora la probabilidad, es decir, la probabilidad del evento B, siempre que haya ocurrido el evento A. Ahora los eventos incluidos en el tercer y cuarto grupo desaparecen, ya que su ocurrencia contradeciría la ocurrencia del evento A, y el número de casos posibles ya no es igual a . De estos, el evento B se ve favorecido sólo por los eventos del primer grupo, por lo que obtenemos:

Para demostrar el teorema, basta ahora escribir la identidad obvia:

y reemplace las tres fracciones con las probabilidades calculadas anteriormente. Llegamos a la igualdad establecida en el teorema:

Está claro que la identidad que escribimos anteriormente tiene sentido sólo si es siempre verdadera, a menos que A sea un evento imposible.

Dado que los eventos A y B son iguales, al intercambiarlos obtenemos otra forma del teorema de la multiplicación:

Sin embargo, esta igualdad se puede obtener de la misma forma que la anterior, si observas que usando la identidad

Comparando los lados derechos de las dos expresiones para la probabilidad P(A y B), obtenemos una igualdad útil:

Consideremos ahora ejemplos que ilustran el teorema de la multiplicación.

Ejemplo 4. En los productos de una determinada empresa, el 96% de los productos se consideran aptos (evento A). 75 productos de cada cien adecuados resultan pertenecer al primer grado (evento B). Determine la probabilidad de que un producto seleccionado al azar sea adecuado y pertenezca al primer grado.

Solución. La probabilidad deseada es la probabilidad de combinar los eventos A y B. Por condición tenemos: . Por lo tanto, el teorema de la multiplicación da

Ejemplo 5. La probabilidad de dar en el blanco de un solo disparo (evento A) es 0,2. ¿Cuál es la probabilidad de dar en el blanco si falla el 2% de las mechas (es decir, en el 2% de los casos el disparo no alcanza el objetivo)?

Solución. Sea el evento B que ocurrirá un disparo, y sea B el evento opuesto. Luego por condición y según el corolario del teorema de la suma. Además, según la condición.

Dar en el blanco significa combinar los eventos A y B (el tiro se disparará y acertará), por lo tanto, según el teorema de la multiplicación

Se puede obtener un caso especial importante del teorema de la multiplicación utilizando el concepto de independencia de eventos.

Dos eventos se llaman independientes si la probabilidad de uno de ellos no cambia como resultado de si el otro ocurre o no.

Ejemplos de eventos independientes son la aparición de un número diferente de puntos al volver a lanzar un dado o una u otra cara de la moneda al volver a lanzar una moneda, ya que es obvio que la probabilidad de obtener un escudo de armas en el segundo lanzamiento es igual. independientemente de si el escudo de armas apareció o no en el primero.

De manera similar, la probabilidad de sacar una bola blanca por segunda vez de una urna que contiene bolas blancas y negras si la primera bola extraída se devuelve previamente no depende de si la bola fue extraída la primera vez, blanca o negra. Por tanto, los resultados de la primera y segunda eliminación son independientes entre sí. Por el contrario, si la bola extraída primero no regresa a la urna, entonces el resultado de la segunda extracción depende de la primera, porque la composición de las bolas en la urna después de la primera extracción cambia según su resultado. Aquí tenemos un ejemplo de eventos dependientes.

Usando la notación adoptada para las probabilidades condicionales, podemos escribir la condición para la independencia de los eventos A y B en la forma

Usando estas igualdades, podemos reducir el teorema de la multiplicación para eventos independientes a la siguiente forma.

Si los eventos A y B son independientes, entonces la probabilidad de su combinación es igual al producto de las probabilidades de estos eventos:

De hecho, basta con poner la expresión inicial del teorema de la multiplicación, que se deriva de la independencia de los eventos, y obtendremos la igualdad requerida.

Consideremos ahora varios eventos: los llamaremos colectivamente independientes si la probabilidad de que ocurra cualquiera de ellos no depende de si otros eventos considerados ocurrieron o no.

En el caso de eventos que son colectivamente independientes, el teorema de la multiplicación se puede extender a cualquier número finito de ellos, por lo que se puede formular de la siguiente manera:

La probabilidad de combinar eventos independientes en conjunto es igual al producto de las probabilidades de estos eventos:

Ejemplo 6. Un trabajador opera tres máquinas automáticas, y debe acercarse a cada una de ellas para corregir un mal funcionamiento si la máquina se detiene. La probabilidad de que la primera máquina no se detenga en una hora es 0,9. La misma probabilidad para la segunda máquina es 0,8 y para la tercera, 0,7. Determine la probabilidad de que dentro de una hora el trabajador no necesite acercarse a ninguna de las máquinas a las que está dando servicio.

Ejemplo 7. Probabilidad de derribar un avión con un disparo de rifle ¿Cuál es la probabilidad de destruir un avión enemigo si se disparan 250 rifles al mismo tiempo?

Solución. La probabilidad de que el avión no sea derribado con un solo disparo es igual al teorema de la suma. Luego podemos calcular, usando el teorema de la multiplicación, la probabilidad de que el avión no sea derribado con 250 disparos, como la probabilidad de combinar. eventos. Es igual a Después de esto, podemos usar nuevamente el teorema de la suma y encontrar la probabilidad de que el avión sea derribado como la probabilidad del evento opuesto.

De esto se puede ver que, aunque la probabilidad de derribar un avión con un solo disparo de rifle es insignificante, sin embargo, cuando se dispara con 250 rifles, la probabilidad de derribar un avión ya es muy notable. Aumenta significativamente si se aumenta el número de rifles. Entonces, cuando se dispara con 500 rifles, la probabilidad de derribar un avión, como es fácil de calcular, es igual a cuando se dispara con 1000 rifles, incluso.

El teorema de la multiplicación demostrado anteriormente nos permite ampliar un poco el teorema de la suma, extendiéndolo al caso de eventos compatibles. Está claro que si los eventos A y B son compatibles, entonces la probabilidad de que ocurra al menos uno de ellos no es igual a la suma de sus probabilidades. Por ejemplo, si el evento A significa un número par

el número de puntos al lanzar un dado, y el evento B es la pérdida de un número de puntos que es múltiplo de tres, entonces el evento (A o B) se ve favorecido por la pérdida de 2, 3, 4 y 6 puntos, eso es

Por otro lado, eso es. Entonces en este caso

De esto se desprende claramente que en el caso de eventos compatibles se debe cambiar el teorema de la suma de probabilidades. Como veremos ahora, se puede formular de tal manera que sea válido tanto para eventos compatibles como para eventos incompatibles, de modo que el teorema de la suma considerado anteriormente resulta ser un caso especial del nuevo.

Eventos que no son favorables a A.

Todos los eventos elementales que favorecen a un evento (A o B) deben favorecer solo a A, o solo a B, o tanto a A como a B. Por lo tanto, el número total de tales eventos es igual a

y la probabilidad

Q.E.D.

Aplicando la fórmula (9) al ejemplo anterior del número de puntos que aparecen al lanzar un dado, obtenemos:

que coincide con el resultado del cálculo directo.

Obviamente, la fórmula (1) es un caso especial de (9). De hecho, si los eventos A y B son incompatibles, entonces la probabilidad de combinación

Por ejemplo. Dos fusibles están conectados en serie al circuito eléctrico. La probabilidad de falla del primer fusible es 0,6 y la del segundo es 0,2. Determinemos la probabilidad de un corte de energía como resultado de una falla de al menos uno de estos fusibles.

Solución. Dado que los eventos A y B, consistentes en el fallo del primero y segundo de los fusibles, son compatibles, la probabilidad requerida vendrá determinada por la fórmula (9):

Ejercicios

El estudio de la teoría de la probabilidad comienza con la resolución de problemas que implican suma y multiplicación de probabilidades. Vale la pena mencionar de inmediato que un estudiante puede enfrentar un problema al dominar esta área del conocimiento: si los procesos físicos o químicos se pueden representar visualmente y comprender empíricamente, entonces el nivel de abstracción matemática es muy alto y la comprensión aquí solo viene con experiencia.

Sin embargo, el juego vale la pena, porque las fórmulas, tanto las que se analizan en este artículo como las más complejas, se utilizan en todas partes hoy en día y bien pueden ser útiles en el trabajo.

Origen

Curiosamente, el impulso para el desarrollo de esta rama de las matemáticas fueron... los juegos de azar. De hecho, los dados, el lanzamiento de una moneda, el póquer y la ruleta son ejemplos típicos que utilizan la suma y la multiplicación de probabilidades. Esto se puede ver claramente utilizando los ejemplos de problemas de cualquier libro de texto. La gente estaba interesada en saber cómo aumentar sus posibilidades de ganar, y hay que decir que algunos lo consiguieron.

Por ejemplo, ya en el siglo XXI, una persona, cuyo nombre no revelaremos, utilizó este conocimiento acumulado durante siglos para literalmente "limpiar" el casino, ganando varias decenas de millones de dólares en la ruleta.

Sin embargo, a pesar del creciente interés en el tema, recién en el siglo XX se desarrolló un marco teórico que completó el “teorema”. Hoy en día, en casi cualquier ciencia se pueden encontrar cálculos utilizando métodos probabilísticos.

Aplicabilidad

Un punto importante al utilizar fórmulas para sumar y multiplicar probabilidades y probabilidad condicional es la satisfacibilidad del teorema del límite central. De lo contrario, aunque el alumno no se dé cuenta, todos los cálculos, por muy plausibles que parezcan, serán incorrectos.

Sí, un estudiante altamente motivado se siente tentado a utilizar nuevos conocimientos en cada oportunidad. Pero en este caso es necesario frenar un poco y delimitar estrictamente el ámbito de aplicabilidad.

La teoría de la probabilidad se ocupa de eventos aleatorios, que en términos empíricos representan los resultados de experimentos: podemos lanzar un dado de seis caras, sacar una carta de una baraja, predecir el número de piezas defectuosas en un lote. Sin embargo, en algunas cuestiones está estrictamente prohibido utilizar fórmulas de esta sección de matemáticas. Discutiremos las características de considerar las probabilidades de un evento, los teoremas de suma y multiplicación de eventos al final del artículo, pero por ahora pasemos a los ejemplos.

Conceptos básicos

Un evento aleatorio se refiere a algún proceso o resultado que puede aparecer o no como resultado de un experimento. Por ejemplo, lanzamos un sándwich; puede caer con la mantequilla hacia arriba o hacia abajo. Cualquiera de los dos resultados será aleatorio y no sabemos de antemano cuál de ellos tendrá lugar.

Al estudiar la suma y la multiplicación de probabilidades, necesitaremos dos conceptos más.

Estos eventos se denominan conjuntos y la ocurrencia de uno de los cuales no excluye la ocurrencia del otro. Digamos que dos personas disparan a un objetivo al mismo tiempo. Si uno de ellos tiene éxito, no afectará de ninguna manera la capacidad del segundo para dar en el blanco o fallar.

Serán hechos incompatibles aquellos cuya ocurrencia al mismo tiempo sea imposible. Por ejemplo, si sacas solo una bola de una caja, no podrás obtener la azul y la roja a la vez.

Designación

El concepto de probabilidad se denota con la letra mayúscula latina P. A continuación, entre paréntesis, se encuentran los argumentos que denotan ciertos eventos.

En las fórmulas del teorema de la suma, la probabilidad condicional y el teorema de la multiplicación, verás expresiones entre paréntesis, por ejemplo: A+B, AB o A|B. Se calcularán de varias formas y ahora nos ocuparemos de ellas.

Suma

Consideremos casos en los que se utilizan fórmulas para sumar y multiplicar probabilidades.

Para eventos incompatibles, la fórmula de suma más simple es relevante: la probabilidad de cualquiera de los resultados aleatorios será igual a la suma de las probabilidades de cada uno de estos resultados.

Supongamos que hay una caja con 2 canicas azules, 3 rojas y 5 amarillas. Hay un total de 10 artículos en la caja. ¿Cuál es la verdad de la afirmación de que sacaremos una bola azul o roja? Será igual a 2/10 + 3/10, es decir cincuenta por ciento.

En el caso de eventos incompatibles, la fórmula se complica, ya que se añade un término adicional. Volvamos a ello en un párrafo, después de considerar otra fórmula.

Multiplicación

La suma y multiplicación de probabilidades de eventos independientes se utilizan en diferentes casos. Si según las condiciones del experimento estamos satisfechos con alguno de los dos resultados posibles, calcularemos la suma; si queremos obtener dos resultados determinados uno tras otro, recurriremos a utilizar una fórmula diferente.

Volviendo al ejemplo del apartado anterior, queremos dibujar primero la bola azul y luego la roja. Conocemos el primer número: es 2/10. ¿Qué pasa después? Quedan 9 bolas y todavía queda la misma cantidad de rojas: tres. Según los cálculos, será 3/9 o 1/3. ¿Pero qué hacer ahora con dos números? La respuesta correcta es multiplicar para obtener 2/30.

Eventos conjuntos

Ahora podemos recurrir nuevamente a la fórmula de la suma de eventos conjuntos. ¿Por qué nos distrajimos del tema? Para descubrir cómo se multiplican las probabilidades. Ahora necesitaremos este conocimiento.

Ya sabemos cuáles serán los dos primeros términos (los mismos que en la fórmula de suma discutida anteriormente), pero ahora necesitamos restar el producto de probabilidades, que acabamos de aprender a calcular. Para mayor claridad, escribamos la fórmula: P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB). Resulta que tanto la suma como la multiplicación de probabilidades se utilizan en una expresión.

Digamos que tenemos que resolver cualquiera de dos problemas para obtener crédito. Podemos resolver el primero con una probabilidad de 0,3 y el segundo con una probabilidad de 0,6. Solución: 0,3 + 0,6 - 0,18 = 0,72. Tenga en cuenta que simplemente sumar los números aquí no será suficiente.

La probabilidad condicional

Finalmente, está el concepto de probabilidad condicional, cuyos argumentos se indican entre paréntesis y separados por una barra vertical. La entrada P(A|B) dice lo siguiente: “la probabilidad del evento A dado el evento B”.

Veamos un ejemplo: un amigo te regala algún aparato, que sea un teléfono. Puede estar roto (20%) o intacto (80%). Eres capaz de reparar cualquier dispositivo que llegue a tus manos con una probabilidad de 0,4, o no puedes hacerlo (0,6). Finalmente, si el dispositivo está en funcionamiento, puedes contactar a la persona adecuada con una probabilidad de 0,7.

Es fácil ver cómo se desarrolla la probabilidad condicional en este caso: no podrás comunicarte con una persona si el teléfono está roto, pero si funciona, no necesitas repararlo. Por lo tanto, para obtener resultados en el "segundo nivel", es necesario averiguar qué evento se ejecutó en el primero.

Cálculos

Veamos ejemplos de resolución de problemas que implican suma y multiplicación de probabilidades, utilizando los datos del párrafo anterior.

Primero, encontremos la probabilidad de que repare el dispositivo que le entregaron. Para ello, en primer lugar, debe estar defectuoso y, en segundo lugar, debes poder repararlo. Este es un problema típico que utiliza la multiplicación: obtenemos 0,2 * 0,4 = 0,08.

¿Cuál es la probabilidad de que llegue inmediatamente a la persona adecuada? Es tan simple como eso: 0,8*0,7 = 0,56. En este caso, descubrió que el teléfono funciona y realizó la llamada con éxito.

Finalmente, considere este escenario: recibe un teléfono roto, lo repara, luego marca un número y la persona al otro lado contesta. Aquí ya necesitamos multiplicar tres componentes: 0,2*0,4*0,7 = 0,056.

¿Qué hacer si tienes dos teléfonos que no funcionan a la vez? ¿Qué posibilidades hay de que arregles al menos uno de ellos? sobre suma y multiplicación de probabilidades, ya que se utilizan eventos conjuntos. Solución: 0,4 + 0,4 - 0,4*0,4 = 0,8 - 0,16 = 0,64. Así, si te llegan dos dispositivos rotos, podrás repararlo en el 64% de los casos.

Uso cuidadoso

Como se indicó al principio del artículo, el uso de la teoría de la probabilidad debe ser deliberado y consciente.

Cuanto mayor sea la serie de experimentos, más se acercará el valor predicho teóricamente al obtenido en la práctica. Por ejemplo, lanzamos una moneda. Teóricamente, conociendo la existencia de fórmulas de suma y multiplicación de probabilidades, podemos predecir cuántas veces aparecerán “cara” y “cruz” si realizamos el experimento 10 veces. Realizamos un experimento y, por coincidencia, la proporción de los lados dibujados fue de 3 a 7. Pero si realizamos una serie de 100, 1000 o más intentos, resulta que la gráfica de distribución se acerca cada vez más a la teórica: 44 a 56, 482 a 518, y así sucesivamente.

Ahora imaginemos que este experimento no se lleva a cabo con una moneda, sino con la producción de alguna nueva sustancia química, cuya probabilidad desconocemos. Realizaríamos 10 experimentos y, sin obtener un resultado exitoso, podríamos generalizar: “es imposible obtener la sustancia”. Pero quién sabe, si hubiéramos hecho el undécimo intento, ¿habríamos logrado el objetivo o no?

Entonces, si uno se adentra en lo desconocido, en un área inexplorada, es posible que la teoría de la probabilidad no se aplique. En este caso, cada intento posterior puede tener éxito y generalizaciones como “X no existe” o “X es imposible” serán prematuras.

Palabra final

Entonces, analizamos dos tipos de suma, multiplicación y probabilidades condicionales. Con un estudio más profundo de esta área, es necesario aprender a distinguir situaciones en las que se utiliza cada fórmula específica. Además, es necesario imaginar si los métodos probabilísticos son generalmente aplicables para resolver su problema.

Si practicas, al cabo de un tiempo empezarás a realizar todas las operaciones necesarias exclusivamente en tu mente. Para aquellos interesados ​​en los juegos de cartas, esta habilidad puede considerarse extremadamente valiosa: aumentarán significativamente sus posibilidades de ganar simplemente calculando la probabilidad de que una carta o palo en particular caiga. Sin embargo, podrá encontrar fácilmente aplicaciones de los conocimientos adquiridos en otras áreas de actividad.

Teoremas de suma y multiplicación de probabilidad

Teorema de la suma

La probabilidad de que ocurra uno de varios eventos incompatibles es igual a la suma de las probabilidades de estos eventos.

En el caso de dos eventos incompatibles A y B tenemos:

P(A+B) = P(A) + P(B) (7)

El evento opuesto al evento A se denota por . La combinación de eventos A da un evento confiable y dado que los eventos A son incompatibles, entonces

P(A) + P() = 1 (8)

La probabilidad del evento A, calculada bajo el supuesto de que ha ocurrido el evento B, se llama la probabilidad condicional evento A y se denota con el símbolo P B (A).

Si los eventos A y B son independientes, entonces P(B) = P A (B).

Eventos A, B, C,... se llaman colectivamente independiente, si la probabilidad de cada uno de ellos no cambia debido a la ocurrencia o no de otros eventos por separado o en cualquier combinación de ellos y en cualquier número.

Teorema de multiplicación

La probabilidad de que ocurran los eventos A, B y C... es igual al producto de sus probabilidades, calculado bajo el supuesto de que todos los eventos que precedieron a cada uno de ellos tuvieron lugar, es decir

P(AB) = P(A)P A (B)(9)

La notación P A (B) denota la probabilidad del evento B bajo el supuesto de que el evento A ya ocurrió.

Si los eventos A, B, C,... son colectivamente independientes, entonces la probabilidad de que todos ocurran es igual al producto de sus probabilidades:

P(ABC) = P(A)P(B)P(C) (10)

Ejemplo 3.1. La bolsa contiene bolas: 10 blancas, 15 negras, 20 azules y 25 rojas. Se sacó una bola. ¿Encuentra la probabilidad de que la bola extraída sea blanca? ¿negro? Y una cosa más: ¿blanco o negro?

Solución.

El número de todos los ensayos posibles n = 10 + 15 + 20 + 25 = 70;

Probabilidad P(b) = 10/70 = 1/7, P(h) = 15/70 = 3/14.

Aplicamos el teorema de la suma de probabilidades:

R(b + h) = R(b) + R(h) = 1/7 + 3/14 = 5/14.

Nota: Las letras mayúsculas entre paréntesis indican respectivamente el color de cada bola según las condiciones del problema.

Ejemplo 3.2 La primera caja contiene dos bolas blancas y diez negras. La segunda caja contiene ocho bolas blancas y cuatro negras. De cada caja se sacó una pelota. Determina la probabilidad de que ambas bolas sean blancas.

Solución.

El evento A es la aparición de una bola blanca en la primera casilla. El evento B es la aparición de una bola blanca en la segunda casilla. Los eventos A y B son independientes.

Probabilidades P(A) = 2/12 = 1/6, P(B) = 8/12 = 2/3.

Aplicamos el teorema de la multiplicación de probabilidades:

P(AB) = P(A)P(B) = 2/18 = 1/9.

Preguntas de revisión

1 ¿Qué es factorial?

2 Enumere las principales tareas de la combinatoria.

3 ¿Cómo se llaman las permutaciones?

4 ¿Cómo se llaman los movimientos?

5 ¿Cómo se llaman las combinaciones?

6 ¿Qué eventos se llaman confiables?

7 ¿Qué eventos se llaman incompatibles?

8 ¿Cuál es la probabilidad de un evento?

9 ¿Qué se llama probabilidad condicional?

10 Formular teoremas de suma y multiplicación de probabilidades.

11 etc..Colocación desde PAG elementos por k (k ≤p ) es cualquier conjunto formado por A elementos tomados en un orden específico de los datos PAG elementos.

Así, dos colocaciones de PAG elementos por A se consideran diferentes si difieren en los elementos mismos o en el orden de su disposición Número de ubicaciones de PAG elementos por A denotar un pk y calculado usando la fórmula

A p k =

Si las colocaciones de PAG elementos por PAG difieren entre sí sólo en el orden de los elementos, entonces representan permutaciones de PAG elementos

Ejemplo 1. Los alumnos de segundo grado estudian 9 materias. ¿De cuántas maneras puedes hacer un horario para un día que contenga 4 temas diferentes?

Solución: Cualquier horario de un día, compuesto por 4 materias diferentes, se diferencia del otro ya sea en el conjunto de materias o en el orden en que se presentan. Esto significa que en este ejemplo estamos hablando de ubicaciones de 9 elementos de 4. Tenemos

Un 9 4 = = 6 ∙ 7 ∙ 8 ∙ 9 = 3024

El horario se puede crear de 3024 formas.

Ejemplo 2.¿Cuántos números de tres cifras (sin repetir los números del número) se pueden formar a partir de los números 0,1,2,3,4,5,6?

Solución Si no hay cero entre siete dígitos, entonces el número de números de tres dígitos (sin dígitos repetidos) que se pueden formar a partir de estos dígitos es igual al número de colocaciones

22

de 7 elementos de 3 cada uno sin embargo, entre estos números se encuentra el número 0, con el cual un número de tres cifras no puede comenzar. Por lo tanto, de las disposiciones de 7 elementos por 3, es necesario excluir aquellos cuyo primer elemento es 0. Su número es igual al número de disposiciones de sus 6 elementos por 2. =

Esto significa que el número requerido de números de tres dígitos es

A 7 3 - A 6 2 = - = 5 ∙ 6 ∙ 7 - 5 ∙ 6 = 180.

3. Consolidación de los conocimientos adquiridos en el proceso de resolución de problemas

№754 . ¿De cuántas maneras puede dormir una familia de tres personas en un compartimento de cuatro plazas si no hay otros pasajeros en el compartimento?

Solución. El número de formas es igual. Un 4 3 = = 1∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 = 24

№755. De los 30 participantes en la reunión se deberá seleccionar un presidente y un secretario. ¿De cuántas maneras se puede hacer esto?

Solución. Dado que cualquiera de los participantes puede ser secretario o presidente, el número de formas de elegirlos es igual

Un 30 2 = = = 29 ∙ 30 = 870

№762 Cuantos números de cuatro cifras que no tienen cifras idénticas se pueden formar a partir de los siguientes dígitos: a) 1,3,5,7,9. b) 0,2,4,6,8?

Solución a) A 5 4 = = 1∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 = 120

b)) ¡A 5 4 - A 4 3 = 5! - ¡4! = 120 – 24 = 96

Tarea No. 756, No. 757, No. 758, No. 759.

Tema de la lección 6: “Combinaciones”

Propósito: Dar el concepto de combinaciones, presentar la fórmula para calcular combinaciones, enseñar cómo usar esta fórmula para contar el número de combinaciones.

1 Revisar la tarea.

№ 756 . Hay 7 vías alternativas en la estación. ¿De cuántas maneras se pueden disponer 4 trenes sobre ellos?

23

Solución : A 7 4 = = 4 ∙ 5 ∙ 6 ∙ 7 = 20 ∙ 42 = 840 formas

№757 ¿De cuántas maneras puede un entrenador determinar cuál de los 12 atletas listos para participar en el relevo 4x100 m correrá en la primera, segunda, tercera y cuarta etapa?

Solución: A 12 4 = = 9 ∙ 10 ∙ 11 ∙12 = 90 ∙132 = 11 880

№ 758. En un gráfico circular, el círculo se divide en 5 sectores. Decidimos pintar los sectores con diferentes pinturas extraídas de un set que contiene 10 pinturas. ¿De cuántas maneras se puede hacer esto?

Solución: Un 10 5 = = 6 ∙ 7 ∙ 8 ∙ 9 ∙ 10 = 30 240

№759. ¿De cuántas maneras pueden sentarse 6 estudiantes que toman un examen en un salón de clases con 20 mesas individuales?

Solución: A 20 6 = = 15∙ 16 ∙17∙ 18∙19 ∙20 = 27 907 200

Puede organizar la verificación de las tareas de diferentes maneras: verifique oralmente las soluciones a los ejercicios de la tarea, anote las soluciones de algunos de ellos en la pizarra y, mientras se registran las soluciones, realice una encuesta a los estudiantes sobre las siguientes preguntas:

1. ¿Qué significa la entrada? ¡PAG!

2. ¿Qué se llama una permutación de? PAG ¿elementos?

3. ¿Qué fórmula se utiliza para calcular el número de permutaciones?

4. Lo que se llama colocación de PAG elementos por ¿A?

5. PAG elementos por ¿A?

2 Explicación del nuevo material.

Que queden 5 claveles de diferentes colores. Designémoslos con letras. a, c, c, d, f. Necesitas hacer un ramo de tres claveles. Averigüemos qué ramos se pueden componer.

Si el ramo incluye claveles A , entonces puedes hacer los siguientes ramos:

avs, avd, ave, asd, ace, ade.

Si el ramo no incluye claveles A, pero entran los clavos V , entonces podrás conseguir los siguientes ramos:

todos, todos, en todas partes.

Finalmente, si el ramo no incluye clavel A, ni un clavo V, Entonces solo queda una opción para componer un ramo:

sde.

24

Hemos indicado todas las formas posibles de hacer ramos, en las que se combinan tres de cada 5 claveles de diferentes formas. Dicen que lo hemos hecho todo posible. combinaciones de 5 elementos, 3 cada uno, encontramos que C 5 3 = 10.

Derivemos la fórmula para el número de combinaciones de PAG elementos en k, donde k ≤ pag.

Primero averigüemos cómo se expresa C 5 3 mediante A 5 3 y P 3 . Descubrimos que sus 5 elementos se pueden convertir en las siguientes combinaciones de 3 elementos:

avs, avd, ave, asd, ase, ade, vsd, todos, vde, sde.

En cada combinación realizaremos todas las permutaciones. El número de permutaciones de 3 elementos es igual a P 3 . Como resultado, obtenemos todas las combinaciones posibles de 5 elementos de 3, que difieren en los elementos mismos o en el orden de los elementos, es decir, todas las ubicaciones de 5 elementos son 3 cada una. En total obtenemos A 5 3 ubicaciones.

Medio , C 5 3 ∙ P 3 = A 5 3, por lo tanto C 5 3 = A 5 3: P 3

Razonando en el caso general, obtenemos C p k = A p k: P k,

Usando el hecho de que A p k = , donde k ≤ p., obtenemos Cpk = .

Esta es la fórmula para calcular el número de combinaciones de PAG elementos por A a cualquiera

k ≤ pag.

Ejemplo 1. De un conjunto de 15 pinturas, debes elegir 3 colores para pintar la caja. ¿De cuántas maneras se puede hacer esta elección?

Solución: Cada elección de tres colores se diferencia de la otra en al menos un color. Esto quiere decir que aquí estamos hablando de combinaciones de 15 elementos de 3

De 15 3 = = (13∙ 14∙15) : ( 1∙ 2 ∙ 3) = 455

Prime2 Hay 12 niños y 10 niñas en la clase. Se necesitan tres niños y dos niñas para limpiar el área cercana a la escuela. ¿De cuántas maneras se puede hacer esta elección?

Solución: Puedes elegir 3 niños de 12 con 12 3, y se pueden seleccionar dos niñas de 10 con 10 2. Dado que para cada elección de niños es posible elegir niñas de 10 2 maneras, entonces puedes elegir estudiantes, lo cual se analiza en el problema.

С 12 3 ∙ С 10 2 = ∙ = 220 ∙ 45 = 9900

3) Consolidación de nuevo material en el proceso de resolución de problemas.

25

Tarea

Sasha tiene 8 novelas históricas en la biblioteca de su casa. Petya quiere quitarle 2 novelas. ¿De cuántas maneras se puede hacer esta elección?

Solución: C 8 2 = = ( 7 ∙ 8) : ( 1∙ 2) = 56: 2 = 28

№779 un

Hay 16 personas en el club de ajedrez. ¿De cuántas maneras puede un entrenador seleccionar un equipo de 4 personas para el próximo torneo?

Solución: C 16 4 = = ( 13∙ 14∙15 ∙16) : ( 1∙ 2 ∙ 3 ∙ 4) = 13 ∙ 7 ∙5∙ 4 = 91 ∙20 = 1820

№774 El equipo de renovación de la escuela está formado por 12 pintores y 5 carpinteros. De ellos, es necesario asignar 4 pintores y 2 carpinteros para reparar el pabellón deportivo. ¿De cuántas maneras se puede hacer esto?

С 12 4 ∙ С 5 2 = ∙ = 495 ∙ 10 = 4950

Tarea No. 768, No. 769, No. 770, No. 775

Tema de la Lección 7: “Resolución de problemas usando fórmulas para calcular el número de movimientos, ubicaciones, combinaciones”

Objetivo: Consolidación de los conocimientos de los estudiantes. Formación de habilidades para la resolución de problemas combinatorios simples.

1 Revisar la tarea

№768 Hay 7 personas en la clase que están haciendo matemáticas con éxito. ¿De cuántas maneras puedes elegir a dos de ellos para participar en la Olimpiada de Matemáticas?

Solución: C 7 2 = = (6∙ 7): 2 = 21

№769 La tienda de Filatelia vende 8 series diferentes de sellos dedicados a temas deportivos. ¿De cuántas maneras puedes elegir 3 conjuntos de ellos?

Solución: C 8 3 = = ( 6 ∙ 7 ∙ 8) : ( 1∙ 2 ∙ 3) = 56

26

№770 Los estudiantes recibieron una lista de 10 libros para leer durante las vacaciones. ¿De cuántas maneras puede un estudiante elegir 6 libros entre ellos?

Solución: C 10 6 = = ( 7 ∙ 8 ∙ 9∙ 10) : ( 1∙ 2 ∙ 3 ∙ 4) = 210

№775 La biblioteca ofreció al lector una selección de 10 libros y 4 revistas recién llegadas. ¿De cuántas maneras puede elegir entre ellos 3 libros y 2 revistas?

Solución: C 10 3 ∙ C 4 2 = ∙ = 120 ∙ 6 = 720

Preguntas para la clase

1. ¿Qué se llama una permutación de? PAG ¿elementos?

2. ¿Qué fórmula se utiliza para calcular el número de permutaciones?

3. Lo que se llama colocación de PAG elementos por ¿A?

4. ¿Qué fórmula se utiliza para calcular el número de ubicaciones de PAG elementos por ¿A?

5. Lo que se llama una combinación de PAG elementos por ¿A?

6. ¿Qué fórmula se utiliza para calcular el número de combinaciones de PAG elementos por ¿A?

Problemas para solución conjunta

Al resolver cada problema, primero hay una discusión: cuál de las tres fórmulas estudiadas ayudará a obtener la respuesta y por qué.

1. ¿Cuántos números de cuatro cifras se pueden formar a partir de los números 4,6,8,9, siempre que todos los números sean diferentes?

2. De entre 15 personas en un grupo de estudiantes, se deberá elegir un jefe y su suplente. ¿De cuántas maneras se puede hacer esto?

3. De los 10 mejores alumnos de la escuela, dos personas deben ser enviadas a la reunión de líderes.

¿De cuántas maneras se puede hacer esto?

Comentario: En el problema número 3, no importa a quién elegir: 2 personas cualesquiera de 10, por lo que la fórmula para contar el número de combinaciones funciona aquí.

En el problema número 2, se elige un par ordenado, porque en el par seleccionado, si se intercambian los apellidos, será una elección diferente, por lo que aquí funciona la fórmula para calcular el número de colocaciones

Respuestas a problemas para solución conjunta:

No. 1 el día 24. No. 2 210 caminos. No. 3 45 maneras

Problemas para discusión conjunta y cálculos independientes.

No. 1 6 amigos se reunieron y cada uno se dio la mano. ¿Cuántos apretones de manos hubo?

27

No. 2 ¿De cuántas maneras puedes crear un horario para estudiantes de 1er grado para un día si tienen 7 materias y ese día debería haber 4 lecciones?

(Número de plazas de 7 a 4)

No. 3 Hay 6 personas en la familia y hay 6 sillas en la mesa de la cocina. Se decidió sentarse en estas 6 sillas de una manera nueva cada noche antes de cenar. ¿Cuántos días pueden los miembros de la familia hacer esto sin repetirlo?

No. 4 Los invitados A, B, C, D acudieron al dueño de la casa. En la mesa redonda hay cinco sillas diferentes. ¿Cuántos métodos de asiento existen?

(4 personas vinieron de visita + el propietario = 5 personas se sientan en 5 sillas, es necesario contar el número de permutaciones)

5. En el libro para colorear, se dibujan un triángulo, un cuadrado y un círculo que no se cruzan. Cada figura debe estar pintada en uno de los colores del arcoíris, diferentes figuras en diferentes colores. ¿Cuántas formas de colorear hay?

(Cuente el número de colocaciones de 7 a 3)

No. 6 Hay 10 niños y 4 niñas en la clase. Es necesario elegir 3 personas de guardia para que entre ellas haya 2 niños y 1 niña. ¿De cuántas maneras se puede hacer esto?

(El número de combinaciones de 10 por 2 multiplicado por el número de combinaciones de 4 por 1)

Respuestas a problemas de autocálculo.

№1 15 apretones de manos

№2.840 maneras

№3 720 días

№5 120 maneras

№6.180 maneras

Tarea No. 835, No. 841

Lección 8 Tema: “Trabajo independiente”

Propósito: probar el conocimiento de los estudiantes.

1.Revisar la tarea

№^ 835 Cuantos números pares de cuatro dígitos en los que los dígitos no se repiten se pueden escribir usando los números a) 1,2,3,7. segundo) 1,2,3,4.

28

a) Nuestros números deben terminar en un dígito par, dicho dígito en la condición uno es el dígito 2, lo pondremos en el último lugar y reorganizaremos los 3 dígitos restantes, ¡el número de tales permutaciones es 3! = 6. Entonces puedes formar 6 números pares

b) razonamos como en el ejemplo a) poniendo el número 2 en el último lugar obtenemos 6 números pares, poniendo el número 4 en el último lugar obtenemos 6 números pares más,

eso significa que solo hay 12 números pares

№841 ¿De cuántas maneras se puede elegir en una clase de 24 estudiantes: a) dos asistentes; b) el jefe y su asistente?

a) porque 2 personas cualesquiera de 24 pueden estar de servicio, entonces el número de pares es igual

C 24 2 = = 23 ∙ 24:2 = 276

b) aquí arrancan un par ordenado de elementos de 24 elementos, el número de dichos pares es A 24 2 = = 23 ∙ 24 = 552

La opción 1 resuelve las tareas No. 1,2,3,4,5.

La opción 2 resuelve las tareas nº 6,7,8,9,10.

Resolver los problemas combinatorios más simples.

(basado en materiales de K.R. en abril de 2010)

1 . ¿De cuántas maneras se pueden ordenar en un estante cinco libros de diferentes autores?

2. ¿De cuántas maneras se puede preparar una merienda con una bebida y un pastel, si el menú incluye: té, café, cacao y tartas de manzana o cereza?

3. El miércoles, según el cronograma, debería haber 5 lecciones en el noveno grado “A”: química, física, álgebra, biología y seguridad humana. ¿De cuántas maneras puedes crear un horario para este día?

4. Hay 2 caballos blancos y 4 caballos bayos. ¿De cuántas maneras puedes

hacer un par de caballos de diferentes colores?

5. ¿De cuántas maneras puedes poner 5 monedas diferentes en 5 bolsillos diferentes?

29

6. Hay 3 sombreros de diferentes estilos y 4 bufandas de diferentes colores en el estante del armario. ¿De cuántas maneras puedes hacer un conjunto de un gorro y una bufanda?

7. 4 participantes llegaron a la final del concurso de belleza. De cuantas maneras

¿Es posible establecer el orden de actuación de las participantes en la final de belleza?

^ 8 .Hay 4 patos y 3 gansos. ¿De cuántas maneras puedes elegir dos pájaros diferentes?

9. ¿De cuántas maneras se pueden dividir 5 letras diferentes en 5 letras diferentes?

sobres, si sólo se coloca una carta en cada sobre?

10. Una caja contiene 5 bolas rojas y 4 verdes. ¿De cuántas maneras puedes hacer un par de bolas de diferentes colores?

Respuestas para tareas de autoestudio.

Tipo de lección: aprendiendo nuevo material.
Tareas educativas:
- dar el concepto de evento aleatorio, la probabilidad de un evento;
- enseñar a calcular las probabilidades de un evento; probabilidades de eventos aleatorios según la definición clásica;
- enseñar a aplicar teoremas de suma y multiplicación de probabilidades para resolver problemas;
- continuar desarrollando el interés por las matemáticas resolviendo problemas utilizando la definición clásica de probabilidad para calcular directamente las probabilidades de los fenómenos;
- inculcar el interés por las matemáticas utilizando material histórico;
- cultivar una actitud consciente hacia el proceso de aprendizaje, inculcar un sentido de responsabilidad por la calidad del conocimiento, ejercer el autocontrol sobre el proceso de resolución y diseño de ejercicios.

Proporcionar clases:
- tarjetas de tareas para interrogatorios individuales;
- tarjetas de tareas para trabajos de prueba;
- presentación.

El estudiante debe saber:
- definiciones y fórmulas para el número de permutaciones, ubicaciones y combinaciones;
- definición clásica de probabilidad;
- determinar la suma de eventos, el producto de eventos; formulaciones y fórmulas de teoremas de suma y multiplicación de probabilidades.

El estudiante debe ser capaz de:
- calcular permutaciones, ubicaciones y combinaciones;
- calcular la probabilidad de un evento utilizando la definición clásica y fórmulas combinatorias;
- resolver problemas utilizando teoremas de suma y multiplicación de probabilidades.

Motivación de la actividad cognitiva de los estudiantes.
El profesor informa que el surgimiento de la teoría de la probabilidad se remonta a mediados del siglo XVII. y asociado a las investigaciones de B. Pascal, P. Fermat y H. Huygens (1629-1695). Un paso importante en el desarrollo de la teoría de la probabilidad está asociado con el trabajo de J. Bernoulli (1654-1705). Es la primera prueba de una de las disposiciones más importantes de la teoría de la probabilidad: la ley de los grandes números. La siguiente etapa en el desarrollo de la teoría está asociada con los nombres de A. Moivre (1667-1754), C. Gauss, P. Laplace (1749-1827), S. Poisson (1781-1840). Entre los científicos de la escuela de San Petersburgo, cabe mencionar los nombres de A.M. Lyapunov (1857-1918) y A.A Markov (1856-1922). Después del trabajo de estos matemáticos, la teoría de la probabilidad comenzó a ser llamada en todo el mundo "ciencia rusa". A mediados de los años 20, A.Ya. Khinchin (1894-1959) y A.N. Kolmogorov creó la Escuela de Teoría de la Probabilidad de Moscú. Aporte de la acad. A.N. Kolmogorov - premio Lenin, premio internacional que lleva su nombre. B. Bolzano, miembro de varios académicos extranjeros, es un experto en matemáticas modernas. El mérito de A.N Kolmogorov radica no solo en el desarrollo de nuevas teorías científicas, sino más aún en el hecho de que formó a toda una galaxia de científicos talentosos (el académico de la Academia de Ciencias de la República Socialista Soviética de Ucrania, B.V. Gnedenko, el académico Yu.V. . Prokhorov, B.A. Sevastyanov y otros).
La teoría de la probabilidad, una ciencia matemática que estudia los patrones de variables aleatorias, se ha convertido durante la última década en uno de los principales métodos de la ciencia y la tecnología modernas. El rápido desarrollo de la teoría del control automático ha llevado a la necesidad de resolver numerosas cuestiones relacionadas con el esclarecimiento del posible curso de los procesos influenciados por factores aleatorios. La teoría de la probabilidad es necesaria para una amplia gama de especialistas: físicos, biólogos, médicos, economistas, ingenieros, militares, directores de producción, etc.

Progreso de la lección.

I. Organizar el tiempo.

II. revisando la tarea
Realizar una encuesta frontal en forma de respuestas a las preguntas:

Consulta la solución a los ejercicios:

• ¿De cuántas maneras puedes hacer una lista de 10 personas?
• ¿De cuántas maneras se pueden utilizar 15 trabajadores para crear equipos de 5 personas cada uno?
• 30 estudiantes intercambiaron tarjetas fotográficas entre sí. ¿Cuántas tarjetas con fotografías se distribuyeron en total?

III. Aprender material nuevo.
En el diccionario explicativo S.I. Ozhegov y N.Yu. Shvedova leemos: "La probabilidad es la posibilidad de cumplimiento, la viabilidad de algo". A menudo utilizamos "probablemente", "más probable", "increíblemente" en la vida cotidiana, sin tener en cuenta estimaciones cuantitativas específicas de esta posibilidad de ejecución.
El fundador de la teoría de la probabilidad moderna A.N. Kolmogorov escribió sobre la probabilidad de la siguiente manera: "La probabilidad matemática es una característica numérica del grado de posibilidad de que ocurra un evento específico en ciertas condiciones específicas que puede repetirse un número ilimitado de veces".
Entonces, en matemáticas, la probabilidad se mide mediante un número. Muy pronto descubriremos exactamente cómo se puede hacer esto. Pero comenzaremos discutiendo qué eventos tienen “probabilidad matemática” y cuáles son esas “ciertas condiciones que pueden repetirse un número ilimitado de veces”. Por eso consideraremos eventos aleatorios y experimentos aleatorios.
Hay que decir que la teoría de la probabilidad, como ninguna otra área de las matemáticas, está llena de contradicciones y paradojas. La explicación es muy simple: está demasiado estrechamente relacionada con la realidad que nos rodea. Durante mucho tiempo ni siquiera quisieron clasificarla, junto con la estadística matemática, como disciplinas matemáticas, considerándolas ciencias puramente aplicadas.
Sólo en la primera mitad del siglo pasado, principalmente gracias a las obras de nuestro gran compatriota A.N. Kolmogorov, cuyo nombre ya se mencionó anteriormente, construyó las bases matemáticas de la teoría de la probabilidad, lo que permitió separar la ciencia misma de sus aplicaciones. El enfoque propuesto por Kolmogorov ahora se llama comúnmente axiomático, ya que la probabilidad en él (o más bien, el espacio de probabilidad) se define como una determinada estructura matemática que satisface un determinado sistema de axiomas.
Es sobre este enfoque que se construye el curso universitario moderno sobre teoría de la probabilidad, que todos los profesores de matemáticas actuales han pasado alguna vez. Sin embargo, en la escuela, este enfoque del estudio de la probabilidad (y de las matemáticas en general) no es razonable. Si en una universidad el énfasis principal está en estudiar el aparato matemático para estudiar modelos probabilísticos, entonces en la escuela el estudiante debe aprender a construir estos modelos, analizar, comprobar su adecuación a situaciones reales. Este punto de vista es compartido hoy por la mayoría de los científicos involucrados en los problemas de la educación matemática escolar.
En los libros de texto escolares modernos se puede encontrar la siguiente definición: un evento se llama aleatorio, si en las mismas condiciones puede suceder o no. Por ejemplo, el evento “Al lanzar un dado aparecerán 6 puntos” será aleatorio.
Implícito en la definición anterior hay un requisito importante que debe enfatizarse: debemos ser capaces de reproducir repetidamente las mismas condiciones en las que se observa un evento determinado(por ejemplo, lanzar un cubo); de lo contrario, es imposible juzgar su aleatoriedad.
Por tanto, cuando hablamos de cualquier evento aleatorio, siempre nos referimos a la presencia de determinadas condiciones, sin las cuales no tiene ningún sentido hablar de este evento. Este conjunto de condiciones se llama experiencia aleatoria o experimento aleatorio.
Más llamaremos aleatorio a cualquier evento asociado con un experimento aleatorio. Antes de un experimento, por regla general, es imposible decir con certeza si un evento determinado sucederá o no; esto queda claro solo después de su finalización. Pero no en vano hicimos la cláusula "como regla": en la teoría de la probabilidad, se acostumbra considerar aleatorios todos los eventos asociados con un experimento aleatorio, incluidos:

• imposible eso nunca puede suceder;
• confiable, que ocurren en cada experimento de este tipo.

Por ejemplo, el evento "Los dados arrojarán 7 puntos" es imposible, pero "Los dados arrojarán menos de 7 puntos" es confiable. Eso sí, si hablamos de un cubo con números del 1 al 6 escritos en sus caras.
Los eventos se llaman incompatible si sólo uno de ellos es posible que aparezca cada vez. Los eventos se llaman articulación, si, en determinadas condiciones, la ocurrencia de uno de estos eventos no excluye la ocurrencia del otro durante la misma prueba (Hay dos bolas en la urna: blanca y negra, la aparición de una bola negra no excluye la ocurrencia de uno blanco durante el mismo juicio). Los eventos se llaman opuesto, si bajo las condiciones de la prueba, siendo sus únicos resultados, son incompatibles. La probabilidad de un evento se considera como una medida de la posibilidad objetiva de que ocurra un evento aleatorio.

Designaciones:
Eventos aleatorios (en mayúsculas del alfabeto latino): A,B,C,D,.. (o ). Se omite "aleatorio" y simplemente dicen "eventos".
El número de resultados favorables a la ocurrencia de un evento determinado – m;
El número de todos los resultados (experimentos) es n.
Definición clásica de probabilidad.
Probabilidad El evento A es la relación entre el número de resultados m que favorecen la ocurrencia de este evento y el número n de todos los resultados (inconsistentes, solo posibles e igualmente posibles), es decir.
– probabilidad de un evento aleatorio
La probabilidad de cualquier evento no puede ser menor que cero y mayor que uno, es decir 0≤P(A)≤1
Un evento imposible corresponde a la probabilidad P(A)=0, y un evento confiable corresponde a la probabilidad P(A)=1

Teoremas de suma de probabilidades.
Teorema para sumar las probabilidades de eventos incompatibles.
La probabilidad de que ocurra uno de varios eventos incompatibles por pares, sin importar cuál, es igual a la suma de las probabilidades de estos eventos:

P(A+B)=P(A)+P(B);
P(+ +…+=P(+P+…+P().

Teorema para sumar probabilidades de eventos conjuntos.
La probabilidad de que ocurra al menos uno de dos eventos conjuntos es igual a la suma de las probabilidades de estos eventos sin la probabilidad de que ocurran juntos:

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

Para tres eventos conjuntos se cumple la fórmula:
P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)

El evento opuesto al evento A (es decir, la no ocurrencia del evento A) se denota por . La suma de las probabilidades de dos eventos opuestos es igual a uno: P(A)+P()=1

La probabilidad de ocurrencia del evento A, calculada bajo el supuesto de que el evento B ya ocurrió, se llama la probabilidad condicional Los eventos A están sujetos a B y se denotan (A) o P(A/B).
Si A y B son eventos independientes, entonces
P(B)-(B)=(B).

Los eventos A,B,C,... se llaman independiente en conjunto, si la probabilidad de cada uno de ellos no cambia por la ocurrencia o no de otros eventos por separado o en cualquier combinación de los mismos.

Teoremas de multiplicación de probabilidad.
Teorema para multiplicar las probabilidades de eventos independientes.
La probabilidad de que dos eventos independientes ocurran conjuntamente es igual al producto de las probabilidades de estos eventos:
P(AB)=P(A) P(B)

La probabilidad de que ocurran varios eventos que son independientes en conjunto se calcula mediante la fórmula:
P()=P() P()…P().

Teorema para multiplicar las probabilidades de eventos dependientes.
La probabilidad de que ocurran conjuntamente dos eventos dependientes es igual al producto de uno de ellos por la probabilidad condicional del segundo:
P(AB)=P(A) (B)=P(B) (A)

IV. Aplicación de conocimientos en la resolución de problemas típicos.
Tarea 1.
En una lotería de 1000 boletos, hay 200 ganadores. Se saca un boleto al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que este boleto sea ganador?
Solución: El boleto para el evento A está ganando. El número total de resultados diferentes es n=1000
El número de resultados favorables para ganar es m=200. Según la fórmula P(A)=, obtenemos P(A)== = 0,2 = 0,147

Problema 4.
Hay 20 piezas dispuestas en orden aleatorio en la caja, 5 de las cuales son estándar. Un trabajador toma 3 piezas al azar. Encuentre la probabilidad de que al menos una de las piezas tomadas sea estándar.

Tarea 5.
Encuentre la probabilidad de que un número de dos dígitos elegido al azar sea múltiplo de 3 o 5, o de ambos

Tarea 6.
Una urna contiene 4 bolas blancas y 8 negras, la otra contiene 3 bolas blancas y 9 negras. De cada urna se sacó una bola. Calcula la probabilidad de que ambas bolas sean blancas.
Solución: Sea A la apariencia de una bola blanca de la primera urna y B sea la apariencia de una bola blanca de la segunda urna. Obviamente los eventos A y B son independientes. Encontremos P(A)=4/12=1/3, P(B)=3/12=1/4, obtenemos
P(AB)=P(A) P(B)=(1/3) (1/4)=1/12=0.083

Tarea 7.
La caja contiene 12 piezas, de las cuales 8 son estándar. Un trabajador toma dos piezas al azar, una tras otra. Encuentre la probabilidad de que ambas partes sean estándar.
Solución: Introduzcamos la siguiente notación: A – la primera parte tomada es estándar; B – la segunda parte tomada es estándar. La probabilidad de que la primera parte sea estándar es P(A)=8/12=2/3. La probabilidad de que la segunda parte tomada sea estándar, siempre que la primera parte sea estándar, es decir la probabilidad condicional del evento B es igual a (B)=7/11.
La probabilidad de que ambas partes resulten estándar se encuentra utilizando el teorema para multiplicar las probabilidades de eventos dependientes:
P(AB)=P(A) (B)=(2/3) (7/11)=14/33=0.424

Aplicación independiente de conocimientos, habilidades y habilidades.
Opción 1.

1. ¿Cuál es la probabilidad de que un número entero seleccionado al azar entre 40 y 70 sea múltiplo de 6?
2. ¿Cuál es la probabilidad de que si se lanza una moneda cinco veces salga tres veces?

Opcion 2.

1. ¿Cuál es la probabilidad de que un número entero seleccionado al azar entre 1 y 30 (inclusive) sea divisor de 30?
2. El instituto de investigación emplea a 120 personas, de las cuales 70 saben inglés, 60 saben alemán y 50 saben ambos. ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado seleccionado al azar no sepa ni un solo idioma extranjero?

VI. Resumiendo la lección.

VII. Tarea:
G.N. Yakovlev, matemáticas, libro 2, § 24.1, 24.2, págs. 365-386. Ejercicios 24.11, 24.12, 24.17

¡Notas importantes!
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2. Antes de comenzar a leer el artículo, preste atención a nuestro navegador para conocer los recursos más útiles para

¿Qué es la probabilidad?

La primera vez que encontré este término, no habría entendido de qué se trataba. Por tanto, intentaré explicarlo claramente.

La probabilidad es la posibilidad de que suceda el evento que queremos.

Por ejemplo, decidiste ir a la casa de un amigo, recuerdas la entrada e incluso el piso en el que vive. Pero olvidé el número y la ubicación del apartamento. Y ahora estás parado en las escaleras y frente a ti hay puertas para elegir.

¿Cuál es la posibilidad (probabilidad) de que si tocas el primer timbre, tu amigo te abra la puerta? Solo hay apartamentos y un amigo vive solo detrás de uno de ellos. Con las mismas posibilidades podemos elegir cualquier puerta.

¿Pero cuál es esta oportunidad?

La puerta, la puerta correcta. Probabilidad de adivinar tocando el primer timbre: . Es decir, una de cada tres veces adivinarás con precisión.

Queremos saber, habiendo llamado una vez, ¿con qué frecuencia adivinaremos la puerta? Veamos todas las opciones:

1. Usted llamó 1er puerta
2. Usted llamó 2do puerta
3. Usted llamó 3er puerta

Ahora veamos todas las opciones donde podría estar un amigo:

A. Detrás 1er la puerta
b. Detrás 2do la puerta
v. Detrás 3er la puerta

Comparemos todas las opciones en forma de tabla. Una marca de verificación indica opciones cuando su elección coincide con la ubicación de un amigo, una cruz, cuando no coincide.

¿Cómo ves todo? Tal vez opciones la ubicación de tu amigo y tu elección de a qué puerta llamar.

A resultados favorables de todos . Es decir, adivinarás una vez tocando el timbre una vez, es decir. .

Esto es probabilidad: la relación entre un resultado favorable (cuando su elección coincide con la ubicación de su amigo) y el número de eventos posibles.

La definición es la fórmula. La probabilidad generalmente se denota por p, entonces:

No es muy conveniente escribir una fórmula de este tipo, por lo que tomaremos por el número de resultados favorables y por el número total de resultados.

La probabilidad se puede escribir como un porcentaje; para hacer esto, es necesario multiplicar el resultado resultante por:

La palabra “resultados” probablemente le llamó la atención. Dado que los matemáticos llaman experimentos a varias acciones (en nuestro caso, tal acción es un timbre), el resultado de tales experimentos generalmente se denomina resultado.

Bueno, hay resultados favorables y desfavorables.

Volvamos a nuestro ejemplo. Digamos que llamamos a una de las puertas, pero un extraño nos abrió. No acertamos. ¿Cuál es la probabilidad de que si tocamos una de las puertas restantes, nuestro amigo nos la abra?

Si pensabas eso, entonces esto es un error. Vamos a resolverlo.

Nos quedan dos puertas. Entonces tenemos posibles pasos:

1) Llamar 1er puerta
2) Llamar 2do puerta

El amigo, a pesar de todo esto, definitivamente está detrás de uno de ellos (después de todo, no estaba detrás del que llamamos):

a) Amigo por 1er la puerta
b) Amigo por 2do la puerta

Dibujemos la tabla nuevamente:

Como puede ver, sólo hay opciones que son favorables. Es decir, la probabilidad es igual.

¿Por qué no?

La situación que consideramos es ejemplo de eventos dependientes. El primer evento es el primer timbre, el segundo evento es el segundo timbre.

Y se les llama dependientes porque influyen en las siguientes acciones. Después de todo, si después del primer toque de timbre fue abierto un amigo, ¿cuál sería la probabilidad de que estuviera detrás de uno de los otros dos? Bien, .

Pero si hay eventos dependientes, entonces también debe haberlos. independiente? Así es, suceden.

Un ejemplo de libro de texto es lanzar una moneda.

1. Lanza una moneda una vez. ¿Cuál es la probabilidad de obtener cara, por ejemplo? Así es, porque hay todas las opciones (ya sea cara o cruz, descuidaremos la probabilidad de que la moneda caiga en su borde), pero solo nos conviene.
2. Pero salió cara. Bien, lancemos de nuevo. ¿Cuál es la probabilidad de obtener cara ahora? Nada ha cambiado, todo sigue igual. ¿Cuantas opciones? Dos. ¿Con cuántos estamos contentos? Uno.

Y que salga cara al menos mil veces seguidas. La probabilidad de obtener cara a la vez será la misma. Siempre hay opciones y favorables.

Es fácil distinguir eventos dependientes de independientes:

1. Si el experimento se realiza una vez (lanzan una moneda una vez, tocan el timbre una vez, etc.), entonces los eventos son siempre independientes.
2. Si un experimento se lleva a cabo varias veces (se lanza una moneda una vez, se toca el timbre varias veces), entonces el primer evento es siempre independiente. Y luego, si cambia el número de resultados favorables o el número de todos los resultados, entonces los eventos son dependientes, y si no, son independientes.

Practiquemos un poco la determinación de la probabilidad.

Ejemplo 1.

La moneda se lanza dos veces. ¿Cuál es la probabilidad de que salga cara dos veces seguidas?

Solución:

Consideremos todas las opciones posibles:

1. águila-águila
2. Cara y cruz
3. Colas-Cabezas
4. colas-colas

Como puedes ver, sólo hay opciones. De estos sólo estamos satisfechos. Es decir, la probabilidad:

Si la condición simplemente te pide que encuentres la probabilidad, entonces la respuesta debe darse en forma de fracción decimal. Si se especificara que la respuesta se debe dar en porcentaje, entonces multiplicaríamos por.

Respuesta:

Ejemplo 2.

En una caja de bombones, todos los bombones están empaquetados en el mismo envoltorio. Sin embargo, de los dulces: con nueces, con coñac, con cerezas, con caramelo y con turrón.

¿Cuál es la probabilidad de tomar un caramelo y obtener un caramelo con nueces? Da tu respuesta como porcentaje.

Solución:

¿Cuántos resultados posibles hay? .

Es decir, si coges un caramelo, será uno de los disponibles en la caja.

¿Cuántos resultados favorables?

Porque la caja contiene sólo bombones con nueces.

Respuesta:

Ejemplo 3.

En una caja de globos. de los cuales son blancos y negros.

1. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una bola blanca?
2. Agregamos más bolas negras a la caja. ¿Cuál es ahora la probabilidad de sacar una bola blanca?

Solución:

a) En la caja sólo hay bolas. De ellos son blancos.

La probabilidad es:

b) Ahora hay más bolas en la caja. Y quedan otros tantos blancos...

Respuesta:

Probabilidad total

Digamos que hay bolas rojas y verdes en una caja. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una bola roja? ¿Bola verde? ¿Bola roja o verde?

Probabilidad de sacar una bola roja.

Bola verde:

Bola roja o verde:

Como puede ver, la suma de todos los eventos posibles es igual a (). Comprender este punto te ayudará a resolver muchos problemas.

Ejemplo 4.

Hay marcadores en el cuadro: verde, rojo, azul, amarillo, negro.

¿Cuál es la probabilidad de sacar NO un marcador rojo?

Solución:

contemos el numero resultados favorables.

NO es un marcador rojo, eso significa verde, azul, amarillo o negro.

Regla para multiplicar las probabilidades de eventos independientes.

Ya sabes qué son los eventos independientes.

¿Qué pasa si necesitas encontrar la probabilidad de que ocurran dos (o más) eventos independientes seguidos?

Digamos que queremos saber cuál es la probabilidad de que si lanzamos una moneda una vez, veamos cara dos veces.

Ya hemos considerado - .

¿Qué pasa si lanzamos una moneda una vez? ¿Cuál es la probabilidad de ver un águila dos veces seguidas?

Total de opciones posibles:

1. águila-águila-águila
2. Cara-cara-cruz
3. Cara-cruz-cara
4. Cara-cruz-cruz
5. Cruz-cara-cara
6. Cruz-cara-cruz
7. Cruz-cruz-cara
8. Colas-colas-colas

No sé ustedes, pero yo cometí errores varias veces al compilar esta lista. ¡Guau! Y sólo nos conviene la opción (la primera).

Para 5 lanzamientos, usted mismo puede hacer una lista de posibles resultados. Pero los matemáticos no son tan trabajadores como tú.

Por lo tanto, primero notaron y luego demostraron que la probabilidad de una determinada secuencia de eventos independientes disminuye cada vez en la probabilidad de un evento.

En otras palabras,

Veamos el ejemplo de la misma moneda desafortunada.

¿Probabilidad de sacar cara en un desafío? . Ahora lanzamos la moneda una vez.

¿Cuál es la probabilidad de obtener cara seguida?

Esta regla no sólo funciona si se nos pide que encontremos la probabilidad de que el mismo evento ocurra varias veces seguidas.

Si quisiéramos encontrar la secuencia CORAS-CARA-COLAS para lanzamientos consecutivos, haríamos lo mismo.

La probabilidad de obtener cruz es , cara - .

La probabilidad de obtener la secuencia COLAS-CABEZAS-COLAS-COLAS:

Puedes comprobarlo tú mismo haciendo una tabla.

La regla para sumar las probabilidades de eventos incompatibles.

¡Así que deja de! Nueva definición.

Vamos a resolverlo. Tomemos nuestra moneda gastada y lancemos una vez.
Posibles opciones:

1. águila-águila-águila
2. Cara-cara-cruz
3. Cara-cruz-cara
4. Cara-cruz-cruz
5. Cruz-cara-cara
6. Cruz-cara-cruz
7. Cruz-cruz-cara
8. Colas-colas-colas

Entonces, los eventos incompatibles son una secuencia determinada de eventos. - Estos son eventos incompatibles.

Si queremos determinar cuál es la probabilidad de dos (o más) eventos incompatibles, entonces sumamos las probabilidades de estos eventos.

Debes entender que cara o cruz son dos eventos independientes.

Si queremos determinar la probabilidad de que ocurra una secuencia (o cualquier otra), entonces usamos la regla de multiplicar probabilidades.
¿Cuál es la probabilidad de obtener cara en el primer lanzamiento y cruz en el segundo y tercer lanzamiento?

Pero si queremos saber cuál es la probabilidad de obtener una de varias secuencias, por ejemplo, cuando sale cara exactamente una vez, es decir opciones y, luego debemos sumar las probabilidades de estas secuencias.

Las opciones totales nos convienen.

Podemos obtener lo mismo sumando las probabilidades de ocurrencia de cada secuencia:

Por lo tanto, sumamos probabilidades cuando queremos determinar la probabilidad de ciertas secuencias de eventos inconsistentes.

Existe una gran regla que le ayudará a evitar confundirse cuándo multiplicar y cuándo sumar:

Volvamos al ejemplo en el que lanzamos una moneda una vez y queríamos saber la probabilidad de ver cara una vez.
Que es lo que va a pasar?

Debería caerse:
(cara Y cruz Y cruz) O (cruz Y cara Y cruz) O (cruz Y cruz Y cara).
Así resulta:

Veamos algunos ejemplos.

Ejemplo 5.

Hay lápices en la caja. rojo, verde, naranja y amarillo y negro. ¿Cuál es la probabilidad de sacar lápices rojos o verdes?

Solución:

Ejemplo 6.

Si se lanza un dado dos veces ¿cuál es la probabilidad de obtener un total de 8?

Solución.

¿Cómo podemos conseguir puntos?

(y) o (y) o (y) o (y) o (y).

La probabilidad de obtener una (cualquier) cara es .

Calculamos la probabilidad:

Capacitación.

Creo que ahora entiendes cuándo necesitas calcular probabilidades, cuándo sumarlas y cuándo multiplicarlas. ¿No es? Practiquemos un poco.

Tareas:

Tomemos una baraja de cartas que contenga cartas que incluyan espadas, corazones, 13 tréboles y 13 diamantes. Del al As de cada palo.

1. ¿Cuál es la probabilidad de sacar tréboles seguidos (devolvemos a la baraja la primera carta extraída y la barajamos)?
2. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una carta negra (picas o tréboles)?
3. ¿Cuál es la probabilidad de sacar un dibujo (jota, reina, rey o as)?
4. ¿Cuál es la probabilidad de sacar dos dibujos seguidos (quitamos la primera carta extraída de la baraja)?
5. ¿Cuál es la probabilidad, al tomar dos cartas, de obtener una combinación (sota, reina o rey) y un as? No importa el orden en que se extraigan las cartas.

Respuestas:

Si pudiste resolver todos los problemas tú mismo, ¡eres genial! ¡Ahora resolverás como loco los problemas de teoría de la probabilidad en el Examen Estatal Unificado!

TEORÍA DE PROBABILIDAD. NIVEL PROMEDIO

Veamos un ejemplo. Digamos que lanzamos un dado. ¿Qué clase de hueso es este? ¿Lo sabes? Así llaman a un cubo con números en sus caras. Cuántas caras, tantos números: ¿de hasta cuántos? Antes.

Entonces tiramos los dados y queremos que salga o. Y lo entendemos.

En la teoría de la probabilidad dicen lo que pasó. evento auspicioso(no confundir con próspero).

Si sucediera, el evento también sería favorable. En total, sólo pueden ocurrir dos eventos favorables.

¿Cuantos son desfavorables? Como hay totales de eventos posibles, significa que los desfavorables son eventos (esto es si o cae).

Definición:

La probabilidad es la relación entre el número de eventos favorables y el número de todos los eventos posibles.. Es decir, la probabilidad muestra qué proporción de todos los eventos posibles son favorables.

Denotan probabilidad con una letra latina (aparentemente de la palabra inglesa probabilidad - probabilidad).

Es costumbre medir la probabilidad como porcentaje (ver temas y). Para hacer esto, el valor de probabilidad debe multiplicarse por. En el ejemplo de los dados, probabilidad.

Y en porcentaje: .

Ejemplos (decide por ti mismo):

1. ¿Cuál es la probabilidad de obtener cara al lanzar una moneda? ¿Cuál es la probabilidad de que caiga cara?
2. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número par al lanzar un dado? ¿Cuál es extraño?
3. En una caja de lápices sencillos, azules y rojos. Dibujamos un lápiz al azar. ¿Cuál es la probabilidad de obtener uno simple?

Soluciones:

1. ¿Cuántas opciones hay? Cara y cruz, solo dos. ¿Cuantos de ellos son favorables? Sólo uno es un águila. Entonces la probabilidad

   Lo mismo ocurre con las colas: .

2. Opciones totales: (cuántas caras tiene el cubo, tantas opciones diferentes). Favorables: (todos estos son números pares :).
   Probabilidad. Por supuesto, ocurre lo mismo con los números impares.
3. Total: . Favorable: . Probabilidad: .

Probabilidad total

Todos los lápices de la caja son verdes. ¿Cuál es la probabilidad de sacar un lápiz rojo? No hay posibilidades: probabilidad (después de todo, eventos favorables -).

Un evento así se llama imposible.

¿Cuál es la probabilidad de sacar un lápiz verde? Hay exactamente el mismo número de eventos favorables que eventos totales (todos los eventos son favorables). Entonces la probabilidad es igual a o.

Un evento así se llama confiable.

Si una caja contiene lápices verdes y rojos, ¿cuál es la probabilidad de sacar lápices verdes o rojos? Una vez más. Tengamos en cuenta esto: la probabilidad de sacar el verde es igual y la roja es igual.

En resumen, estas probabilidades son exactamente iguales. Eso es, la suma de las probabilidades de todos los eventos posibles es igual a o.

Ejemplo:

En una caja de lápices, entre ellos están los azules, rojos, verdes, lisos, amarillos y el resto son naranjas. ¿Cuál es la probabilidad de no sacar verde?

Solución:

Recordamos que todas las probabilidades suman. Y la probabilidad de salir verde es igual. Esto significa que la probabilidad de no sacar el verde es igual.

Recuerda este truco: La probabilidad de que un evento no ocurra es igual a menos la probabilidad de que ocurra el evento.

Eventos independientes y la regla de la multiplicación.

Lanzas una moneda una vez y quieres que salga cara las dos veces. ¿Cuál es la probabilidad de que esto ocurra?

Repasemos todas las opciones posibles y determinemos cuántas hay:

Cara-cara, cruz-cara, cara-cruz, cruz-cruz. ¿Qué otra cosa?

Opciones totales. De ellos, sólo uno nos conviene: Eagle-Eagle. En total, la probabilidad es igual.

Bien. Ahora lancemos una moneda una vez. Haz los cálculos tú mismo. ¿Sucedió? (respuesta).

Es posible que hayas notado que con la adición de cada lanzamiento posterior, la probabilidad se reduce a la mitad. La regla general se llama regla de multiplicación:

Las probabilidades de eventos independientes cambian.

¿Qué son los eventos independientes? Todo es lógico: son los que no dependen unos de otros. Por ejemplo, cuando lanzamos una moneda varias veces, cada vez se realiza un nuevo lanzamiento, cuyo resultado no depende de todos los lanzamientos anteriores. Con la misma facilidad podemos lanzar dos monedas diferentes al mismo tiempo.

Más ejemplos:

1. Los dados se lanzan dos veces. ¿Cuál es la probabilidad de obtenerlo ambas veces?
2. La moneda se lanza una vez. ¿Cuál es la probabilidad de que salga cara la primera vez y luego cruz dos veces?
3. El jugador tira dos dados. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los números que aparecen en ellos sea igual?

Respuestas:

1. Los eventos son independientes, lo que significa que la regla de la multiplicación funciona: .
2. La probabilidad de que salga cara es igual. La probabilidad de que salga cruz es la misma. Multiplicar:
3. 12 sólo se puede obtener si se lanzan dos -ki: .

Eventos incompatibles y la regla de la suma

Los eventos que se complementan hasta el punto de tener total probabilidad se denominan incompatibles. Como sugiere el nombre, no pueden ocurrir simultáneamente. Por ejemplo, si lanzamos una moneda al aire, puede salir cara o cruz.

Ejemplo.

En una caja de lápices, entre ellos están los azules, rojos, verdes, lisos, amarillos y el resto son naranjas. ¿Cuál es la probabilidad de sacar verde o rojo?

Solución .

La probabilidad de sacar un lápiz verde es igual. Rojo - .

Eventos favorables en todos: verde + rojo. Esto significa que la probabilidad de sacar verde o rojo es igual.

La misma probabilidad se puede representar de esta forma: .

Esta es la regla de la suma: las probabilidades de eventos incompatibles se acumulan.

Problemas de tipo mixto

Ejemplo.

La moneda se lanza dos veces. ¿Cuál es la probabilidad de que los resultados de las tiradas sean diferentes?

Solución .

Esto significa que si el primer resultado es cara, el segundo debe ser cruz, y viceversa. Resulta que hay dos pares de eventos independientes y estos pares son incompatibles entre sí. Cómo no confundirse acerca de dónde multiplicar y dónde sumar.

Existe una regla simple para tales situaciones. Intenta describir lo que va a pasar usando las conjunciones “Y” u “O”. Por ejemplo, en este caso:

Debería aparecer (cara y cruz) o (cruz y cara).

Donde hay conjunción “y” habrá multiplicación, y donde hay “o” habrá suma:

Inténtalo tú mismo:

1. ¿Cuál es la probabilidad de que si se lanza dos veces una moneda, caiga en el mismo lado ambas veces?
2. Los dados se lanzan dos veces. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un total de puntos?

Soluciones:

Otro ejemplo:

Lanza una moneda una vez. ¿Cuál es la probabilidad de que salga cara al menos una vez?

Solución:

TEORÍA DE PROBABILIDAD. BREVEMENTE SOBRE LAS COSAS PRINCIPALES

La probabilidad es la relación entre el número de eventos favorables y el número de todos los eventos posibles.

Eventos independientes

Dos eventos son independientes si la ocurrencia de uno no cambia la probabilidad de que ocurra el otro.

Probabilidad total

La probabilidad de todos los eventos posibles es igual a ().

La probabilidad de que un evento no ocurra es igual a menos la probabilidad de que ocurra el evento.

Regla para multiplicar las probabilidades de eventos independientes.

La probabilidad de una determinada secuencia de eventos independientes es igual al producto de las probabilidades de cada evento.

Eventos incompatibles

Los eventos incompatibles son aquellos que no pueden ocurrir simultáneamente como resultado de un experimento. Varios eventos incompatibles forman un grupo completo de eventos.

Las probabilidades de eventos incompatibles se acumulan.

Habiendo descrito lo que debería suceder, usando las conjunciones “Y” u “O”, en lugar de “Y” ponemos un signo de multiplicación, y en lugar de “O” ponemos un signo de suma.

Bueno, se acabó el tema. Si estás leyendo estas líneas es que eres muy guay.

Porque sólo el 5% de las personas son capaces de dominar algo por sí mismas. Y si lees hasta el final, ¡estás en este 5%!

Ahora lo más importante.

Has entendido la teoría sobre este tema. Y, repito, esto... ¡esto es simplemente genial! Ya eres mejor que la gran mayoría de tus compañeros.

El problema es que esto puede no ser suficiente...

¿Para qué?

Por aprobar con éxito el Examen Estatal Unificado, por ingresar a la universidad con un presupuesto limitado y, LO MÁS IMPORTANTE, de por vida.

No te convenceré de nada, solo diré una cosa...

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Pero esto no es lo principal.

Lo principal es que son MÁS FELICES (existen estudios de este tipo). ¿Quizás porque se abren ante ellos muchas más oportunidades y la vida se vuelve más brillante? No lo sé...

Pero piensa por ti mismo...

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