Datos interesantes sobre la proporción áurea. De la historia antigua de la proporción áurea.

Se suele decir que las matemáticas tienen su propia belleza, pero ya a mediados del siglo V a.C. mi. o incluso mucho antes se supo que en la belleza hay muchas matemáticas.

número phi

Calculando la proporción áurea

Hay una gran cantidad de formas de expresar matemáticamente la proporción áurea, y todos estos métodos tienen su propia simplicidad, precisión y encanto. Euclides lo describió como “una sección en proporción extrema y media”. Una expresión más “matemática” se ve así: si la proporción áurea es igual a x, entonces. O así: x/1 = 1/x -1. En palabras, la proporción áurea se define como la proporción en la que “la longitud de toda la línea se relaciona con la parte mayor de la misma manera que con la parte más pequeña”.

Dato interesante sobre la proporción áurea n.º 3. Los rectángulos áureos se pueden dividir en un número infinito de rectángulos áureos que disminuyen de tamaño, "cortando" partes de ellos a lo largo de la línea más corta. En la terminología de la escuela griega de matemáticos, esta propiedad convierte al rectángulo áureo en un gnomon, un objeto capaz de mantener su forma a medida que crece (o se encoge).

Un buen ejemplo de la proporción áurea es una tarjeta de crédito, que tiene tamaños estándar uniformes en todo el mundo. Según las reglas de la proporción áurea, la proporción entre su lado corto y su lado largo es la misma que la proporción entre su lado largo y la suma de las longitudes de los lados corto y largo. Esto hace que la tarjeta de crédito sea un rectángulo dorado. Esta forma fue elegida por su apariencia equilibrada: no parece ni demasiado larga ni demasiado ancha. Una forma de comprobar si un rectángulo es dorado es colocar dos rectángulos uno al lado del otro, uno “parado” verticalmente sobre un borde pequeño y el otro “parado” tocando al primero en un borde largo. Si la diagonal que pasa por las esquinas de un rectángulo horizontal continúa hasta llegar a la esquina superior de un rectángulo vertical, los rectángulos son dorados. Este principio se ve mucho más a menudo en la arquitectura. Así, el rectángulo dorado es la fachada del edificio de la ONU en Nueva York.

Matemáticas en el arte y la naturaleza.

Hay algo prosaico en la proporción áurea, al menos para aquellos que no tienen inclinaciones matemáticas. Estamos hablando de su expresión numérica. El valor de x en la expresión algebraica x 2 – x – 1 = 0 es 1,6180339887... y así hasta el infinito. Sin embargo, la proporción áurea tiene la relación más directa con el arte occidental. Esta conexión surgió en gran medida gracias a las obras de Luca Pacioli a principios del siglo XVI. Pacioli era contemporáneo, y algunos de los dibujos del maestro, incluida la imagen más famosa del Hombre de Vitruvio, aparecen en el libro de Pacioli De Divina Proportione (La Divina Proportione), publicado en 1509. Este libro establece las reglas geométricas básicas de la belleza, e inspiró al creador número phi. Así, en las proporciones perfectas del cuerpo humano, la proporción entre la altura y el ombligo y la altura total es dorada. Desafortunadamente, las mediciones reales indican que en realidad no existen cuerpos "perfectos". En el siglo 20 Se buscaba la proporción áurea en las formas naturales. Quienes hicieron esto con suficiente perseverancia lo encontraron en las proporciones de las hojas, la distribución de los brotes en el tallo (los patrones naturales obedecen de manera bastante aproximada al principio de la secuencia de Fibonacci) y también en la trayectoria en picada de un halcón cazador. Para algunos, esto era evidencia a favor de la existencia de un plan determinado según el cual se organiza la naturaleza misma. Para otros, significó que nuestra percepción de la belleza (o al menos de la proporcionalidad agradable a la vista) estaba dictada por las matemáticas del crecimiento, que representan estructuras que aumentan de tamaño sin perder su forma general.

Dato interesante #5. Las mediciones reales indican que en realidad no existen cuerpos “perfectos” que satisfagan la regla de la sección áurea.

Espiral dorada

Se puede construir una espiral que se despliegue según el principio de la proporción áurea utilizando una serie de rectángulos áureos. Este es un caso especial de una espiral logarítmica que diverge de un punto del eje en un ángulo constante (matemáticamente, es más correcto formular de esta manera: una curva cuya tangente forma el mismo ángulo con el vector de radio en cada punto). Esta espiral está asociada al nombre de Jacob Bernoulli (a pesar de que fue el primero en esbozarla), principal investigador de sus propiedades. Bernoulli también quería grabar una espiral de este tipo en su lápida, pero el albañil, poco versado en geometría, reprodujo allí la espiral de Arquímedes con una trayectoria de divergencia más plana.

Una persona distingue los objetos que le rodean por su forma. El interés por la forma de un objeto puede venir dictado por una necesidad vital o puede deberse a la belleza de la forma. La forma, cuya construcción se basa en una combinación de simetría y proporción áurea, contribuye a la mejor percepción visual y a la aparición de un sentimiento de belleza y armonía. El todo siempre consta de partes, las partes de diferentes tamaños mantienen una cierta relación entre sí y con el todo. El principio de la proporción áurea es la máxima manifestación de la perfección estructural y funcional del todo y sus partes en el arte, la ciencia, la tecnología y la naturaleza.

Proporción áurea - proporción armónica

segmento recto AB se puede dividir en dos partes de la siguiente manera:

en dos partes iguales - AB : C.A. = AB : Sol;





en dos partes desiguales en cualquier aspecto (dichas partes no forman proporciones);





así, cuando AB : C.A. = C.A. : Sol.

La proporción áurea es una división proporcional de un segmento en partes desiguales, en la que todo el segmento está relacionado con la parte mayor como la parte mayor misma está relacionada con la más pequeña; o en otras palabras, el segmento menor es al mayor como el mayor es al todo.

a : b = b : C o Con : b = b : A.

Arroz. 1. Imagen geométrica de la proporción áurea.

El conocimiento práctico de la proporción áurea comienza dividiendo un segmento de línea recta en la proporción áurea utilizando un compás y una regla.

Arroz. 2. Dividir un segmento de línea recta usando la proporción áurea. ANTES DE CRISTO. = 1/2 AB; CD = ANTES DE CRISTO.

desde el punto EN se restablece una perpendicular igual a la mitad AB. Punto recibido CON conectado por una línea a un punto A. Se traza un segmento en la línea resultante. Sol terminando con un punto D. Segmento de línea ANUNCIO transferido a directo AB. El punto resultante mi divide un segmento AB en la proporción áurea.

Los segmentos de la proporción áurea se expresan como una fracción irracional infinita. A.E.= 0,618..., si AB tomar como uno SER= 0,382... A efectos prácticos, se suelen utilizar valores aproximados de 0,62 y 0,38. Si el segmento AB tomado como 100 partes, entonces la parte mayor del segmento es igual a 62 y la parte más pequeña es 38 partes.

Las propiedades de la proporción áurea se describen mediante la ecuación:

X 2 - X - 1 = 0.

Solución a esta ecuación:

Las propiedades de la proporción áurea han creado un aura romántica de misterio y adoración casi mística en torno a este número.

Segunda proporción áurea

Esta proporción se encuentra en la arquitectura, y también se da al construir composiciones de imágenes de formato horizontal alargado.

Arroz. 3. Construcción de la segunda proporción áurea.

La división se realiza de la siguiente manera (ver Fig. 3). Segmento de línea AB dividido según la proporción áurea. desde el punto CON se restablece la perpendicular CD. Radio AB hay un punto D, que está conectado por una línea a un punto A. Ángulo recto ACD se divide por la mitad. desde el punto CON Se dibuja una línea hasta que se cruza con la línea. ANUNCIO. Punto mi divide un segmento ANUNCIO en relación con 56:44.

Arroz. 4. Dividiendo un rectángulo con la línea de la segunda proporción áurea

En la Fig. La Figura 4 muestra la posición de la línea de la segunda proporción áurea. Se encuentra a medio camino entre la línea de proporción áurea y la línea media del rectángulo.

triangulo Dorado

Arroz. 5. Construcción de un pentágono regular y un pentagrama.

Para construir un pentagrama, necesitas construir un pentágono regular. El método de construcción fue desarrollado por el pintor y artista gráfico alemán Alberto Durero (1471...1528). Dejar oh- centro del círculo, A- un punto en un círculo y mi- la mitad del segmento OA. Perpendicular al radio OA, restaurado en el punto ACERCA DE, corta la circunferencia en el punto D. Con un compás, traza un segmento en el diámetro. CE = DE. La longitud del lado de un pentágono regular inscrito en una circunferencia es corriente continua. Diseña segmentos en el círculo. corriente continua y obtenemos cinco puntos para dibujar un pentágono regular. Conectamos las esquinas del pentágono entre sí con diagonales y obtenemos un pentagrama. Todas las diagonales del pentágono se dividen entre sí en segmentos conectados por la proporción áurea.

Cada extremo de la estrella pentagonal representa un triángulo dorado. Sus lados forman un ángulo de 36° en el vértice, y la base, colocada de lado, lo divide en proporción a la proporción áurea.

Arroz. 6. Construcción del triángulo dorado

Realizamos un directo AB. desde el punto A coloque un segmento sobre él tres veces ACERCA DE valor arbitrario, a través del punto resultante R trazar una perpendicular a la recta AB, en la perpendicular a la derecha e izquierda del punto R dejar de lado los segmentos ACERCA DE. Puntos recibidos d Y d 1 conectar con lineas rectas a un punto A. Segmento de línea dd pon 1 en la línea Anuncio 1, obteniendo un punto CON. Ella dividió la línea Anuncio 1 en proporción a la proporción áurea. Líneas Anuncio 1 y dd 1 se utiliza para construir un rectángulo "dorado".

Historia de la proporción áurea

Los griegos eran hábiles geómetras. Incluso enseñaron aritmética a sus hijos utilizando figuras geométricas. El cuadrado pitagórico y la diagonal de este cuadrado fueron la base para la construcción de rectángulos dinámicos.

Arroz. 7. Rectángulos dinámicos

Platón (427...347 aC) también conocía la división áurea. Su diálogo "Timeo" está dedicado a las opiniones matemáticas y estéticas de la escuela pitagórica y, en particular, a las cuestiones de la división áurea.

La fachada del antiguo templo griego del Partenón presenta proporciones doradas. Durante sus excavaciones se descubrieron brújulas que fueron utilizadas por arquitectos y escultores del mundo antiguo. El compás pompeyano (museo de Nápoles) también contiene las proporciones de la división áurea.

Arroz. 8. Brújula de proporción áurea antigua

En la literatura antigua que ha llegado hasta nosotros, la división áurea se mencionó por primera vez en los Elementos de Euclides. En el segundo libro de los “Principios” se da la construcción geométrica de la división áurea. Después de Euclides, el estudio de la división áurea fue realizado por Hipsicles (siglo II a. C.), Pappus (siglo III d. C.) y otros. La Europa medieval, con la división áurea. Nos conocimos a través de traducciones árabes de los Elementos de Euclides. El traductor navarro J. Campano (siglo III) comentó la traducción. Los secretos de la división dorada fueron celosamente guardados y mantenidos en estricto secreto. Eran conocidos sólo por los iniciados.

Durante el Renacimiento, el interés por la división áurea aumentó entre científicos y artistas debido a su uso tanto en geometría como en arte, especialmente en arquitectura. Leonardo da Vinci, artista y científico, vio que los artistas italianos tenían mucha experiencia empírica, pero poca. conocimiento . Concibió y comenzó a escribir un libro sobre geometría, pero en ese momento apareció un libro del monje Luca Pacioli y Leonardo abandonó su idea. Según los contemporáneos e historiadores de la ciencia, Luca Pacioli fue una verdadera luminaria, el mayor matemático de Italia en el período comprendido entre Fibonacci y Galileo. Luca Pacioli fue alumno del artista Piero della Franceschi, quien escribió dos libros, uno de los cuales se tituló “Sobre la perspectiva en la pintura”. Se le considera el creador de la geometría descriptiva.

Luca Pacioli comprendió perfectamente la importancia de la ciencia para el arte. En 1496, por invitación del duque de Moreau, llegó a Milán, donde dio conferencias sobre matemáticas. Leonardo da Vinci también trabajó en Milán en la corte Moro en aquella época. En 1509 se publicó en Venecia el libro de Luca Pacioli “La divina proporción” con ilustraciones brillantemente ejecutadas, por lo que se cree que fueron realizadas por Leonardo da Vinci. El libro fue un himno entusiasta a la proporción áurea. Entre las muchas ventajas de la proporción áurea, el monje Luca Pacioli no dejó de nombrar su “esencia divina” como expresión de la divina trinidad: Dios hijo, Dios padre y Dios espíritu santo (se daba a entender que el pequeño segmento es la personificación de Dios el hijo, el segmento más grande - Dios el padre, y el segmento completo - Dios del Espíritu Santo).

Leonardo da Vinci también prestó mucha atención al estudio de la división áurea. Hizo secciones de un cuerpo estereométrico formado por pentágonos regulares, y cada vez obtuvo rectángulos con proporciones de aspecto en la división áurea. Por eso le dio el nombre a esta división. proporción áurea. Por eso sigue siendo el más popular.

Al mismo tiempo, en el norte de Europa, en Alemania, Alberto Durero trabajaba en los mismos problemas. Esboza la introducción a la primera versión del tratado sobre proporciones. Escribe Durero. “Es necesario que alguien que sepa hacer algo lo enseñe a otros que lo necesiten. Esto es lo que me propuse hacer”.

A juzgar por una de las cartas de Durero, conoció a Luca Pacioli mientras estaba en Italia. Alberto Durero desarrolla detalladamente la teoría de las proporciones del cuerpo humano. Durero asignó un lugar importante en su sistema de relaciones a la sección áurea. La altura de una persona se divide en proporciones áureas por la línea del cinturón, así como por una línea trazada a través de las puntas de los dedos medios de las manos bajas, la parte inferior del rostro por la boca, etc. La brújula proporcional de Durero es bien conocida.

Gran astrónomo del siglo XVI. Johannes Kepler llamó a la proporción áurea uno de los tesoros de la geometría. Fue el primero en llamar la atención sobre la importancia de la proporción áurea para la botánica (el crecimiento de las plantas y su estructura).

Kepler llamó a la proporción áurea autocontinua: "Está estructurada de tal manera", escribió, "que los dos términos más bajos de esta proporción interminable suman el tercer término y los dos últimos términos cualesquiera, si se suman". , da el siguiente término, y la misma proporción permanece hasta el infinito."

La construcción de una serie de segmentos de la proporción áurea se puede realizar tanto en dirección de aumento (series crecientes) como en dirección de disminución (series descendentes).

Si está en una línea recta de longitud arbitraria, reserve el segmento metro, pon el segmento al lado METRO. A partir de estos dos segmentos construimos una escala de segmentos de la proporción áurea de la serie ascendente y descendente.

Arroz. 9. Construcción de una escala de segmentos de proporción áurea.

En los siglos siguientes, la regla de la proporción áurea se convirtió en un canon académico, y cuando, con el tiempo, comenzó en el arte la lucha contra la rutina académica, en el fragor de la lucha “tiraron al bebé con el agua del baño”. La proporción áurea fue “descubierta” nuevamente a mediados del siglo XIX. En 1855, el investigador alemán de la proporción áurea, el profesor Zeising, publicó su obra “Estudios estéticos”. Lo que le ocurrió a Zeising fue exactamente lo que inevitablemente debería sucederle a un investigador que considera un fenómeno como tal, sin conexión con otros fenómenos. Absolutizó la proporción de la sección áurea, declarándola universal para todos los fenómenos de la naturaleza y el arte. Zeising tuvo numerosos seguidores, pero también hubo oponentes que declararon que su doctrina de las proporciones era "estética matemática".

Arroz. 10. Proporciones áureas en partes del cuerpo humano.

Zeising hizo un trabajo tremendo. Midió unos dos mil cuerpos humanos y llegó a la conclusión de que la proporción áurea expresa la ley estadística media. La división del cuerpo por el punto del ombligo es el indicador más importante de la proporción áurea. Las proporciones del cuerpo masculino fluctúan dentro de la proporción promedio de 13: 8 = 1.625 y están algo más cerca de la proporción áurea que las proporciones del cuerpo femenino, en relación con el cual el valor promedio de la proporción se expresa en la proporción 8: 5 = 1,6. En un recién nacido la proporción es de 1:1, a los 13 años es de 1,6 y a los 21 años es igual a la de un hombre. Las proporciones de la proporción áurea también aparecen en relación con otras partes del cuerpo: la longitud del hombro, el antebrazo y la mano, la mano y los dedos, etc.

Arroz. once. Proporciones áureas en la figura humana

Zeising puso a prueba la validez de su teoría en las estatuas griegas. Desarrolló las proporciones de Apolo Belvedere con el mayor detalle. Se estudiaron vasijas griegas, estructuras arquitectónicas de diversas épocas, plantas, animales, huevos de aves, tonos musicales y métricas poéticas. Zeising dio una definición a la proporción áurea y mostró cómo se expresa en segmentos de recta y en números. Cuando se obtuvieron los números que expresaban las longitudes de los segmentos, Zeising vio que constituían una serie de Fibonacci, que podía continuar indefinidamente en una dirección u otra. Su siguiente libro se tituló "La división áurea como ley morfológica básica en la naturaleza y el arte". En 1876 se publicó en Rusia un pequeño libro, casi un folleto, en el que se describía esta obra de Zeising. El autor se refugió bajo las iniciales Yu.F.V. Esta edición no menciona ni una sola obra de pintura.

A finales del siglo XIX - principios del XX. Aparecieron muchas teorías puramente formalistas sobre el uso de la proporción áurea en obras de arte y arquitectura. Con el desarrollo del diseño y la estética técnica, la ley de la proporción áurea se extendió al diseño de automóviles, muebles, etc.

serie de fibonacci

Una serie de números 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, etc. conocida como serie de Fibonacci. La peculiaridad de la secuencia de números es que cada uno de sus miembros, a partir del tercero, es igual a la suma de los dos anteriores 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34, etc., y la proporción de números adyacentes en la serie se acerca a la proporción de la división áurea. Entonces, 21: 34 = 0,617 y 34: 55 = 0,618. Esta relación se denota con el símbolo F. Sólo esta relación - 0,618: 0,382 - da una división continua de un segmento de línea recta en la proporción áurea, aumentándola o disminuyéndola hasta el infinito, cuando el segmento más pequeño está relacionado con el más grande como el más grande está con el todo.

Fibonacci también abordó las necesidades prácticas del comercio: ¿cuál es el menor número de pesas que se pueden utilizar para pesar un producto? Fibonacci demuestra que el sistema óptimo de pesos es: 1, 2, 4, 8, 16...

Proporción áurea generalizada

Los científicos continuaron desarrollando activamente la teoría de los números de Fibonacci y la proporción áurea. Yu Matiyasevich resuelve el décimo problema de Hilbert utilizando números de Fibonacci. Están surgiendo métodos elegantes para resolver una serie de problemas cibernéticos (teoría de la búsqueda, juegos, programación) utilizando los números de Fibonacci y la proporción áurea. En Estados Unidos se está creando incluso la Asociación Matemática de Fibonacci, que publica una revista especial desde 1963.

Uno de los logros en este campo es el descubrimiento de los números de Fibonacci generalizados y las proporciones áureas generalizadas.

La serie de Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8) y la serie “binaria” de pesos descubierta por él 1, 2, 4, 8, 16... a primera vista son completamente diferentes. Pero los algoritmos para su construcción son muy similares entre sí: en el primer caso, cada número es la suma del número anterior consigo mismo 2 = 1 + 1; 4 = 2 + 2..., en el segundo, esta es la suma de los dos números anteriores 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, 5 = 3 + 2.... ¿Es posible encontrar un general? ¿Fórmula matemática de la que obtenemos “series binarias y series de Fibonacci”? ¿O tal vez esta fórmula nos dará nuevos conjuntos numéricos que tienen algunas propiedades nuevas y únicas?

De hecho, establezcamos el parámetro numérico. S, que puede tomar cualquier valor: 0, 1, 2, 3, 4, 5... Considere una serie numérica, S+ 1 de cuyos primeros términos son unidades, y cada uno de los siguientes es igual a la suma de dos términos del anterior y separados del anterior por S pasos. Si norte Denotamos el ésimo término de esta serie por φ S ( norte), entonces obtenemos la fórmula general φ S ( norte) = φ S ( norte- 1) + φ S ( norte - S - 1).

Es obvio que cuando S= 0 de esta fórmula obtenemos una serie “binaria”, con S= 1 - serie de Fibonacci, con S= 2, 3, 4. nueva serie de números, que se llaman S-Números de Fibonacci.

En general dorado S-la proporción es la raíz positiva de la ecuación áurea S-secciones x S+1 - x S - 1 = 0.

Es fácil demostrar que cuando S= 0, el segmento se divide por la mitad, y cuando S= 1 - la conocida proporción áurea clásica.

Relaciones entre vecinos S- Los números de Fibonacci coinciden con absoluta precisión matemática en el límite con el oro. S-¡dimensiones! Los matemáticos en tales casos dicen que el oro S-las secciones son invariantes numéricas S-Números de Fibonacci.

Hechos que confirman la existencia del oro. S-secciones en la naturaleza, cita el científico bielorruso E.M. Soroko en el libro “Armonía estructural de sistemas” (Minsk, “Ciencia y Tecnología”, 1984). Resulta, por ejemplo, que las aleaciones binarias bien estudiadas tienen propiedades funcionales especiales y pronunciadas (térmicamente estables, duras, resistentes al desgaste, resistentes a la oxidación, etc.) sólo si las gravedades específicas de los componentes originales están relacionadas entre sí. por uno de oro S-dimensiones. Esto permitió al autor plantear la hipótesis de que el oro S-las secciones son invariantes numéricas de sistemas autoorganizados. Una vez confirmada experimentalmente, esta hipótesis puede ser de fundamental importancia para el desarrollo de la sinergia, un nuevo campo de la ciencia que estudia los procesos en sistemas autoorganizados.

Usando códigos de oro S-Las proporciones se pueden expresar mediante cualquier número real como suma de potencias de oro. S-proporciones con coeficientes enteros.

La diferencia fundamental entre este método de codificación de números es que las bases de los nuevos códigos, que son doradas S-proporciones, con S> 0 resultan ser números irracionales. Así, los nuevos sistemas numéricos con bases irracionales parecen poner la jerarquía históricamente establecida de relaciones entre números racionales e irracionales “de pies a cabeza”. El hecho es que los números naturales fueron “descubiertos” por primera vez; entonces sus razones son números racionales. Y solo más tarde, después del descubrimiento de los segmentos inconmensurables por parte de los pitagóricos, nacieron los números irracionales. Por ejemplo, en los sistemas numéricos posicionales decimales, quinarios, binarios y otros clásicos, los números naturales se eligieron como una especie de principio fundamental (10, 5, 2) a partir del cual, de acuerdo con ciertas reglas, todos los demás números naturales, así como los racionales. y números irracionales.

Una especie de alternativa a los métodos de notación existentes es un nuevo sistema irracional, como principio fundamental, cuyo comienzo es un número irracional (que, recordemos, es la raíz de la ecuación de la proporción áurea); otros números reales ya están expresados ​​a través de él.

En tal sistema numérico, cualquier número natural siempre puede representarse como finito, ¡y no infinito, como se pensaba anteriormente! - la suma de los grados de cualquiera de los oros S-dimensiones. Esta es una de las razones por las que la aritmética "irracional", que tiene una simplicidad y elegancia matemáticas asombrosas, parece haber absorbido las mejores cualidades de la aritmética binaria clásica y de "Fibonacci".

Principios de formación en la naturaleza.

El caparazón está retorcido en espiral. Si lo desdoblas, obtienes un largo un poco más corto que el largo de la serpiente. Una pequeña concha de diez centímetros tiene una espiral de 35 cm de largo. Las espirales son muy comunes en la naturaleza. La idea de la proporción áurea estará incompleta sin hablar de la espiral.

Arroz. 12. Espiral de Arquímedes

La forma de la concha en espiral atrajo la atención de Arquímedes. Lo estudió y se le ocurrió una ecuación para la espiral. La espiral dibujada según esta ecuación lleva su nombre. El aumento de su paso es siempre uniforme. Actualmente, la espiral de Arquímedes se utiliza mucho en tecnología.

Goethe también destacó la tendencia de la naturaleza hacia la espiralidad. La disposición helicoidal y espiral de las hojas en las ramas de los árboles se observó hace mucho tiempo. La espiral se vio en la disposición de semillas de girasol, piñas, piñas, cactus, etc. El trabajo conjunto de botánicos y matemáticos ha arrojado luz sobre estos sorprendentes fenómenos naturales. Resultó que la serie de Fibonacci se manifiesta en la disposición de las hojas en una rama (filotaxia), semillas de girasol y piñas y, por lo tanto, se manifiesta la ley de la proporción áurea. La araña teje su tela en forma de espiral. Un huracán gira como una espiral. Una manada de renos asustada se dispersa en espiral. La molécula de ADN está retorcida en una doble hélice. Goethe llamó a la espiral la "curva de la vida".

Entre las hierbas al borde del camino crece una planta corriente: la achicoria. Echemos un vistazo más de cerca. Se ha formado un brote a partir del tallo principal. Allí mismo se encontraba la primera hoja.

Arroz. 13. Achicoria

El brote hace una fuerte expulsión al espacio, se detiene, suelta una hoja, pero esta vez es más corta que la primera, nuevamente hace una expulsión al espacio, pero con menos fuerza, suelta una hoja de un tamaño aún más pequeño y es expulsada nuevamente. . Si la primera emisión se toma en 100 unidades, la segunda es igual a 62 unidades, la tercera a 38, la cuarta a 24, etc. La longitud de los pétalos también está sujeta a la proporción áurea. Al crecer y conquistar el espacio, la planta mantuvo ciertas proporciones. Los impulsos de su crecimiento disminuyeron gradualmente en proporción a la proporción áurea.

Arroz. 14. Lagarto vivíparo

A primera vista, el lagarto tiene proporciones agradables a nuestros ojos: la longitud de su cola está relacionada con la longitud del resto del cuerpo de 62 a 38.

Tanto en el mundo vegetal como en el animal, irrumpe persistentemente la tendencia formativa de la naturaleza: la simetría en cuanto a la dirección del crecimiento y el movimiento. Aquí la proporción áurea aparece en las proporciones de partes perpendiculares a la dirección de crecimiento.

La naturaleza ha realizado la división en partes simétricas y proporciones áureas. Las partes revelan una repetición de la estructura del todo.

Arroz. 15. huevo de ave

El gran Goethe, poeta, naturalista y artista (dibujaba y pintaba con acuarelas), soñaba con crear una doctrina unificada sobre la forma, formación y transformación de los cuerpos orgánicos. Fue él quien introdujo el término morfología en el uso científico.

Pierre Curie formuló a principios de este siglo una serie de ideas profundas sobre la simetría. Sostuvo que no se puede considerar la simetría de ningún cuerpo sin tener en cuenta la simetría del entorno.

Las leyes de la simetría "áurea" se manifiestan en las transiciones de energía de las partículas elementales, en la estructura de algunos compuestos químicos, en los sistemas planetarios y cósmicos, en las estructuras genéticas de los organismos vivos. Estos patrones, como se indicó anteriormente, existen en la estructura de los órganos humanos individuales y del cuerpo en su conjunto, y también se manifiestan en los biorritmos y el funcionamiento del cerebro y la percepción visual.

Proporción áurea y simetría.

La división áurea no es una manifestación de asimetría, algo opuesto a la simetría. Según las ideas modernas, la división áurea es simetría asimétrica. La ciencia de la simetría incluye conceptos como estático Y simetría dinámica. La simetría estática caracteriza la paz y el equilibrio, mientras que la simetría dinámica caracteriza el movimiento y el crecimiento. Así, en la naturaleza, la simetría estática está representada por la estructura de los cristales, y en el arte caracteriza la paz, el equilibrio y la inmovilidad. La simetría dinámica expresa actividad, caracteriza el movimiento, el desarrollo, el ritmo, es evidencia de vida. La simetría estática se caracteriza por segmentos iguales y valores iguales. La simetría dinámica se caracteriza por un aumento de segmentos o su disminución, y se expresa en los valores de la sección áurea de una serie creciente o decreciente.

Los antiguos veían la proporción áurea como un reflejo del orden cósmico, y Johannes Kepler la llamó uno de los tesoros de la geometría. La ciencia moderna considera la proporción áurea como "simetría asimétrica", llamándola en un sentido amplio una regla universal que refleja la estructura y el orden de nuestro orden mundial.

Definición

La definición más completa de la proporción áurea establece que la parte más pequeña está relacionada con la más grande, como la parte más grande está relacionada con el todo. Su valor aproximado es 1,6180339887. En un valor porcentual redondeado, las proporciones de las partes del todo corresponderán entre 62% y 38%. Esta relación opera en las formas de espacio y tiempo.

Los antiguos egipcios tenían una idea sobre las proporciones áureas, las conocían en Rusia, pero por primera vez la proporción áurea fue explicada científicamente por el monje Luca Pacioli en el libro "La divina proporción" (1509), cuyas ilustraciones fueron supuestamente realizado por Leonardo da Vinci. Pacioli vio en la sección áurea la divina trinidad: el segmento pequeño personificaba al Hijo, el segmento grande al Padre y el conjunto al Espíritu Santo. El nombre del matemático italiano Leonardo Fibonacci está directamente asociado con la regla de la proporción áurea. Como resultado de resolver uno de los problemas, el científico ideó una secuencia de números ahora conocida como serie de Fibonacci: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, etc. Kepler llamó la atención sobre la relación de esta secuencia con la proporción áurea: “Está dispuesta de tal manera que los dos términos inferiores de esta proporción interminable suman el tercer término, y los dos últimos términos cualesquiera, si se suman, dan el siguiente término, y la misma proporción se mantiene ad infinitum " Ahora la serie de Fibonacci es la base aritmética para calcular las proporciones de la proporción áurea en todas sus manifestaciones. Leonardo da Vinci también dedicó mucho tiempo a estudiar las características de la proporción áurea, probablemente el término en sí le pertenece; Sus dibujos de un cuerpo estereométrico formado por pentágonos regulares demuestran que cada uno de los rectángulos obtenidos por sección da la relación de aspecto en la división áurea. Con el tiempo, la regla de la proporción áurea se convirtió en una rutina académica, y sólo el filósofo Adolf Zeising le dio una segunda vida en 1855. Llevó las proporciones de la sección áurea al absoluto, haciéndolas universales para todos los fenómenos del mundo circundante. Sin embargo, su “estética matemática” generó muchas críticas.

Incluso sin entrar en cálculos, la proporción áurea se puede encontrar fácilmente en la naturaleza. Entonces, la proporción de la cola y el cuerpo de un lagarto, las distancias entre las hojas de una rama caen debajo de ella, hay una proporción áurea en forma de huevo, si se traza una línea condicional a través de su parte más ancha. El científico bielorruso Eduard Soroko, que estudió las formas de las divisiones áureas en la naturaleza, señaló que todo lo que crece y aspira a ocupar su lugar en el espacio está dotado de las proporciones de la sección áurea. En su opinión, una de las formas más interesantes es la torsión en espiral. Arquímedes, prestando atención a la espiral, dedujo una ecuación basada en su forma, que todavía se utiliza en tecnología. Más tarde, Goethe notó la atracción de la naturaleza por las formas espirales y llamó a la espiral la "curva de la vida". Los científicos modernos han descubierto que manifestaciones de formas espirales en la naturaleza como la concha de un caracol, la disposición de las semillas de girasol, los patrones de telaraña, el movimiento de un huracán, la estructura del ADN e incluso la estructura de las galaxias contienen la serie de Fibonacci.

Los diseñadores de moda y de ropa hacen todos los cálculos basándose en las proporciones de la proporción áurea. El hombre es una forma universal para probar las leyes de la proporción áurea. Por supuesto, por naturaleza, no todas las personas tienen proporciones ideales, lo que crea ciertas dificultades a la hora de elegir la ropa. En el diario de Leonardo da Vinci hay un dibujo de un hombre desnudo inscrito en un círculo, en dos posiciones superpuestas. Leonardo, basándose en las investigaciones del arquitecto romano Vitruvio, intentó establecer las proporciones del cuerpo humano. Más tarde, el arquitecto francés Le Corbusier, utilizando el “Hombre de Vitruvio” de Leonardo, creó su propia escala de “proporciones armónicas”, que influyó en la estética de la arquitectura del siglo XX. Adolf Zeising, al estudiar la proporcionalidad humana, hizo un trabajo colosal. Midió unos dos mil cuerpos humanos, así como muchas estatuas antiguas, y concluyó que la proporción áurea expresa la ley estadística promedio. En una persona, casi todas las partes del cuerpo están subordinadas a él, pero el principal indicador de la proporción áurea es la división del cuerpo por el punto del ombligo. Como resultado de las mediciones, el investigador encontró que las proporciones del cuerpo masculino 13:8 están más cerca de la proporción áurea que las proporciones del cuerpo femenino: 8:5.

El arte de las formas espaciales.

El artista Vasily Surikov dijo "que en la composición hay una ley inmutable, cuando en una imagen no se puede quitar ni agregar nada, ni siquiera se puede agregar un punto extra, esto es verdadera matemática". Durante mucho tiempo, los artistas han seguido esta ley de forma intuitiva, pero después de Leonardo da Vinci, el proceso de creación de una pintura ya no está completo sin resolver problemas geométricos. Por ejemplo, Alberto Durero utilizó la brújula proporcional que inventó para determinar los puntos de la sección áurea. El crítico de arte F.V. Kovalev, tras examinar en detalle el cuadro de Nikolai Ge "Alexander Sergeevich Pushkin en el pueblo de Mikhailovskoye", señala que cada detalle del lienzo, ya sea una chimenea, una estantería, un sillón o el propio poeta, está estrictamente escrito. en proporciones doradas. Los investigadores de la proporción áurea estudian y miden incansablemente las obras maestras arquitectónicas, afirmando que se convirtieron en tales porque fueron creadas según los cánones áureos: su lista incluye las Grandes Pirámides de Giza, la Catedral de Notre Dame, la Catedral de San Basilio y el Partenón. Y hoy, en cualquier arte de formas espaciales, se intenta seguir las proporciones de la sección áurea, ya que, según los críticos de arte, facilitan la percepción de la obra y forman un sentimiento estético en el espectador. Palabra, sonido y cine Las formas de arte temporal nos demuestran a su manera el principio de la división áurea. Los eruditos literarios, por ejemplo, han notado que el número más popular de versos en los poemas del último período de la obra de Pushkin corresponde a la serie de Fibonacci: 5, 8, 13, 21, 34. La regla de la proporción áurea también se aplica en obras individuales del clásico ruso. Así, el clímax de "La dama de espadas" es la dramática escena de Herman y la Condesa, que termina con la muerte de esta última. La historia tiene 853 líneas y el clímax ocurre en la línea 535 (853:535 = 1,6): este es el punto de la proporción áurea. El musicólogo soviético E.K. Rosenov destaca la asombrosa precisión de las proporciones de la sección áurea en las formas estrictas y libres de las obras de Johann Sebastian Bach, que corresponde al estilo reflexivo, concentrado y técnicamente verificado del maestro. Esto también se aplica a las obras destacadas de otros compositores, donde la solución musical más sorprendente o inesperada suele ocurrir en el punto de la proporción áurea. El director de cine Sergei Eisenstein coordinó deliberadamente el guión de su película “El acorazado Potemkin” con la regla de la proporción áurea, dividiendo la película en cinco partes. En las tres primeras secciones la acción se desarrolla en el barco, y en las dos últimas, en Odessa. La transición a escenas de la ciudad es el punto medio dorado de la película.

La proporción áurea es una manifestación universal de armonía estructural. Se encuentra en la naturaleza, la ciencia, el arte, en todo aquello con lo que una persona puede entrar en contacto. Una vez que la humanidad conoció la regla de oro, ya no la traicionó.

Definición.

Los antiguos veían la proporción áurea como un reflejo del orden cósmico, y Johannes Kepler la llamó uno de los tesoros de la geometría. La ciencia moderna considera la proporción áurea como “simetría asimétrica”, llamándola en un sentido amplio una regla universal que refleja la estructura y el orden de nuestro orden mundial.

Historia.
Los antiguos egipcios tenían una idea sobre las proporciones áureas, las conocían en Rusia, pero por primera vez la proporción áurea fue explicada científicamente por el monje Luca Pacioli en el libro "La divina proporción" (1509), cuyas ilustraciones fueron supuestamente realizado por Leonardo da Vinci. Pacioli vio la divina trinidad en la sección áurea: el segmento pequeño personificaba al hijo, el segmento grande al padre y el conjunto al espíritu santo.

El nombre del matemático italiano Leonardo Fibonacci está directamente asociado con la regla de la proporción áurea. Como resultado de resolver uno de los problemas, al científico se le ocurrió una secuencia de números ahora conocida como la serie de Fibonacci: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, etc. Kepler llamó la atención sobre la relación de esta secuencia con la proporción áurea: “Está dispuesta de tal manera que los dos miembros más jóvenes de esta proporción infinita en la suma dan el tercer miembro, y los dos últimos miembros cualesquiera, si se suman, dan el siguiente miembro, además , la misma proporción se conserva hasta el infinito”. Ahora la serie de Fibonacci es la base aritmética para calcular las proporciones de la proporción áurea en todas sus manifestaciones.

Los números de Fibonacci son una división armónica, una medida de belleza. La proporción áurea en la naturaleza, el hombre, el arte, la arquitectura, la escultura, el diseño, las matemáticas, la música https://psihologiyaotnoshenij.com/stati/zolotoe-sechenie-kak-eto-rabotaet

Leonardo da Vinci también dedicó mucho tiempo a estudiar las características de la proporción áurea, probablemente el término en sí le pertenece; Sus dibujos de un cuerpo estereométrico formado por pentágonos regulares demuestran que cada uno de los rectángulos obtenidos por sección da la relación de aspecto en la división áurea.

Con el tiempo, la regla de la proporción áurea se convirtió en una rutina académica, y sólo el filósofo Adolf Zeising le dio una segunda vida en 1855. Llevó las proporciones de la sección áurea al absoluto, haciéndolas universales para todos los fenómenos del mundo circundante. Sin embargo, su “Estética Matemática” provocó muchas críticas.

Naturaleza.
Incluso sin entrar en cálculos, la proporción áurea se puede encontrar fácilmente en la naturaleza. Entonces, la proporción de la cola y el cuerpo de un lagarto, las distancias entre las hojas de una rama caen debajo de ella, hay una proporción áurea en forma de huevo, si se traza una línea condicional a través de su parte más ancha.

El científico bielorruso Eduard Soroko, que estudió las formas de las divisiones áureas en la naturaleza, señaló que todo lo que crece y aspira a ocupar su lugar en el espacio está dotado de las proporciones de la sección áurea. En su opinión, una de las formas más interesantes es la torsión en espiral.
Arquímedes, prestando atención a la espiral, dedujo una ecuación basada en su forma, que todavía se utiliza en tecnología. Más tarde, Goethe notó la atracción de la naturaleza por las formas espirales y llamó a la espiral la "Curva de la Vida". Los científicos modernos han descubierto que manifestaciones de formas espirales en la naturaleza como la concha de un caracol, la disposición de las semillas de girasol, los patrones de telaraña, el movimiento de un huracán, la estructura del ADN e incluso la estructura de las galaxias contienen la serie de Fibonacci.

Humano.
Los diseñadores de moda y de ropa hacen todos los cálculos basándose en las proporciones de la proporción áurea. El hombre es una forma universal para probar las leyes de la proporción áurea. Por supuesto, por naturaleza, no todas las personas tienen proporciones ideales, lo que crea ciertas dificultades a la hora de elegir la ropa.

En el diario de Leonardo da Vinci hay un dibujo de un hombre desnudo inscrito en un círculo, en dos posiciones superpuestas. Leonardo, basándose en las investigaciones del arquitecto romano Vitruvio, intentó establecer las proporciones del cuerpo humano. Más tarde, el arquitecto francés Le Corbusier, utilizando el "Hombre de Vitruvio" de Leonardo, creó su propia escala de "proporciones armónicas", que influyó en la estética de la arquitectura del siglo XX.

Adolf Zeising, al explorar la proporcionalidad del hombre, hizo un trabajo colosal. Midió unos dos mil cuerpos humanos, así como muchas estatuas antiguas, y concluyó que la proporción áurea expresa la ley estadística promedio. En una persona, casi todas las partes del cuerpo están subordinadas a él, pero el principal indicador de la proporción áurea es la división del cuerpo por el punto del ombligo.
Como resultado de las mediciones, el investigador encontró que las proporciones del cuerpo masculino 13:8 están más cerca de la proporción áurea que las proporciones del cuerpo femenino: 8:5.

El arte de las formas espaciales.
El artista Vasili Surikov dijo: “que en una composición hay una ley inmutable, cuando en una imagen no se puede quitar ni añadir nada, ni siquiera se puede poner un punto extra, esto es verdadera matemática”. Durante mucho tiempo, los artistas siguieron esta ley de forma intuitiva, pero después de Leonardo da Vinci, el proceso de creación de una pintura ya no está completo sin resolver problemas geométricos. Por ejemplo, Alberto Durero utilizó la brújula proporcional que inventó para determinar los puntos de la sección áurea.

El crítico de arte F.v. Kovalev, después de examinar en detalle el cuadro de Nikolai Ge "Alexander Sergeevich Pushkin en el pueblo de Mikhailovskoye", señala que cada detalle del lienzo, ya sea una chimenea, una estantería, un sillón o el propio poeta, está estrictamente inscrito en proporciones doradas. .

Los investigadores de la proporción áurea estudian y miden incansablemente las obras maestras arquitectónicas, afirmando que se convirtieron en tales porque fueron creadas según los cánones áureos: su lista incluye las grandes pirámides de Giza, la Catedral de Notre Dame, la Catedral de San Basilio y el Partenón.
Y hoy, en cualquier arte de formas espaciales, se intenta seguir las proporciones de la sección áurea, ya que, según los críticos de arte, facilitan la percepción de la obra y forman un sentimiento estético en el espectador.

Palabra, sonido y cine.
¿Los formularios son temporales? Las artes Go, a su manera, nos demuestran el principio de la división áurea. Los eruditos literarios, por ejemplo, han notado que el número más popular de versos en los poemas del último período de la obra de Pushkin corresponde a la serie de Fibonacci: 5, 8, 13, 21, 34.

La regla de la sección áurea también se aplica en obras individuales del clásico ruso. Así, el clímax de "La dama de espadas" es la dramática escena de Herman y la Condesa, que termina con la muerte de esta última. La historia tiene 853 líneas y el clímax ocurre en la línea 535 (853: 535 = 1, 6): este es el punto de la proporción áurea.

El musicólogo soviético E. K. Rosenov destaca la asombrosa precisión de las relaciones de la sección áurea en las formas estrictas y libres de las obras de Johann Sebastian Bach, que corresponde al estilo reflexivo, concentrado y técnicamente verificado del maestro. Esto también se aplica a las obras destacadas de otros compositores, donde la solución musical más sorprendente o inesperada suele ocurrir en el punto de la proporción áurea.
El director de cine Sergei Eisenstein coordinó deliberadamente el guión de su película “El acorazado Potemkin” siguiendo la regla de la proporción áurea, dividiendo la película en cinco partes. En las tres primeras secciones la acción se desarrolla en el barco, y en las dos últimas, en Odessa. La transición a escenas de la ciudad es el punto medio dorado de la película.

La proporción áurea es una manifestación universal de armonía estructural. Se encuentra en la naturaleza, la ciencia, el arte, en todo aquello con lo que una persona puede entrar en contacto. Una vez que la humanidad conoció la regla de oro, ya no la traicionó.

La proporción áurea es una manifestación universal de armonía estructural. Se encuentra en la naturaleza, la ciencia, el arte, en todo aquello con lo que una persona puede entrar en contacto. Una vez que la humanidad conoció la regla de oro, ya no la traicionó.

Definición
La definición más completa de la proporción áurea establece que la parte más pequeña está relacionada con la más grande, como la parte más grande está relacionada con el todo. Su valor aproximado es 1,6180339887. En un valor porcentual redondeado, las proporciones de las partes del todo corresponderán entre 62% y 38%. Esta relación opera en las formas de espacio y tiempo.

Los antiguos veían la proporción áurea como un reflejo del orden cósmico, y Johannes Kepler la llamó uno de los tesoros de la geometría. La ciencia moderna considera la proporción áurea como "simetría asimétrica", llamándola en un sentido amplio una regla universal que refleja la estructura y el orden de nuestro orden mundial.

Historia
Los antiguos egipcios tenían una idea sobre las proporciones áureas, las conocían en Rusia, pero por primera vez la proporción áurea fue explicada científicamente por el monje Luca Pacioli en el libro "La divina proporción" (1509), cuyas ilustraciones fueron supuestamente realizado por Leonardo da Vinci. Pacioli vio en la sección áurea la divina trinidad: el segmento pequeño personificaba al Hijo, el segmento grande al Padre y el conjunto al Espíritu Santo.

El nombre del matemático italiano Leonardo Fibonacci está directamente asociado con la regla de la proporción áurea. Como resultado de resolver uno de los problemas, el científico ideó una secuencia de números ahora conocida como serie de Fibonacci: 0, 1, 1, 2, 3... etc. Kepler llamó la atención sobre la relación de esta secuencia con la proporción áurea: “Está dispuesta de tal manera que los dos términos inferiores de esta proporción interminable suman el tercer término, y los dos últimos términos cualesquiera, si se suman, dan el siguiente término, y la misma proporción se mantiene ad infinitum " Ahora la serie de Fibonacci es la base aritmética para calcular las proporciones de la proporción áurea en todas sus manifestaciones.

Leonardo da Vinci también dedicó mucho tiempo a estudiar las características de la proporción áurea, probablemente el término en sí le pertenece; Sus dibujos de un cuerpo estereométrico formado por pentágonos regulares demuestran que cada uno de los rectángulos obtenidos por sección da la relación de aspecto en la división áurea.

Con el tiempo, la regla de la proporción áurea se convirtió en una rutina académica, y sólo el filósofo Adolf Zeising le dio una segunda vida en 1855. Llevó las proporciones de la sección áurea al absoluto, haciéndolas universales para todos los fenómenos del mundo circundante. Sin embargo, su “estética matemática” provocó muchas críticas.

Naturaleza
Incluso sin entrar en cálculos, la proporción áurea se puede encontrar fácilmente en la naturaleza. Entonces, la proporción de la cola y el cuerpo de un lagarto, las distancias entre las hojas de una rama caen debajo de ella, hay una proporción áurea en forma de huevo, si se traza una línea condicional a través de su parte más ancha.

El científico bielorruso Eduard Soroko, que estudió las formas de las divisiones áureas en la naturaleza, señaló que todo lo que crece y aspira a ocupar su lugar en el espacio está dotado de las proporciones de la sección áurea. En su opinión, una de las formas más interesantes es la torsión en espiral.
Arquímedes, prestando atención a la espiral, dedujo una ecuación basada en su forma, que todavía se utiliza en tecnología. Más tarde, Goethe notó la atracción de la naturaleza por las formas espirales y llamó a la espiral la "curva de la vida". Los científicos modernos han descubierto que manifestaciones de formas espirales en la naturaleza como la concha de un caracol, la disposición de las semillas de girasol, los patrones de telaraña, el movimiento de un huracán, la estructura del ADN e incluso la estructura de las galaxias contienen la serie de Fibonacci.

Humano
Los diseñadores de moda y de ropa hacen todos los cálculos basándose en las proporciones de la proporción áurea. El hombre es una forma universal para probar las leyes de la proporción áurea. Por supuesto, por naturaleza, no todas las personas tienen proporciones ideales, lo que crea ciertas dificultades a la hora de elegir la ropa.

En el diario de Leonardo da Vinci hay un dibujo de un hombre desnudo inscrito en un círculo, en dos posiciones superpuestas. Leonardo, basándose en las investigaciones del arquitecto romano Vitruvio, intentó establecer las proporciones del cuerpo humano. Más tarde, el arquitecto francés Le Corbusier, utilizando el “Hombre de Vitruvio” de Leonardo, creó su propia escala de “proporciones armónicas”, que influyó en la estética de la arquitectura del siglo XX.

Adolf Zeising, al estudiar la proporcionalidad humana, hizo un trabajo colosal. Midió unos dos mil cuerpos humanos, así como muchas estatuas antiguas, y concluyó que la proporción áurea expresa la ley estadística promedio. En una persona, casi todas las partes del cuerpo están subordinadas a él, pero el principal indicador de la proporción áurea es la división del cuerpo por el punto del ombligo.
Como resultado de las mediciones, el investigador encontró que las proporciones del cuerpo masculino 13:8 están más cerca de la proporción áurea que las proporciones del cuerpo femenino: 8:5.

El arte de las formas espaciales.
El artista Vasily Surikov dijo "que en la composición hay una ley inmutable, cuando en una imagen no se puede quitar ni agregar nada, ni siquiera se puede agregar un punto extra, esto es verdadera matemática". Durante mucho tiempo, los artistas han seguido esta ley de forma intuitiva, pero después de Leonardo da Vinci, el proceso de creación de una pintura ya no está completo sin resolver problemas geométricos. Por ejemplo, Alberto Durero utilizó la brújula proporcional que inventó para determinar los puntos de la sección áurea.

El crítico de arte F.V. Kovalev, tras examinar en detalle el cuadro de Nikolai Ge "Alexander Sergeevich Pushkin en el pueblo de Mikhailovskoye", señala que cada detalle del lienzo, ya sea una chimenea, una estantería, un sillón o el propio poeta, está estrictamente escrito. en proporciones doradas.

Los investigadores de la proporción áurea estudian y miden incansablemente las obras maestras arquitectónicas, afirmando que se convirtieron en tales porque fueron creadas según los cánones áureos: su lista incluye las Grandes Pirámides de Giza, la Catedral de Notre Dame, la Catedral de San Basilio y el Partenón.
Y hoy, en cualquier arte de formas espaciales, se intenta seguir las proporciones de la sección áurea, ya que, según los críticos de arte, facilitan la percepción de la obra y forman un sentimiento estético en el espectador.

Palabra, sonido y cine.
Las formas de arte temporal nos demuestran a su manera el principio de la división áurea. Los eruditos literarios, por ejemplo, han notado que el número más popular de versos en los poemas del último período de la obra de Pushkin corresponde a la serie de Fibonacci: 5, 8, 13, 21, 34.

La regla de la sección áurea también se aplica en obras individuales del clásico ruso. Así, el clímax de "La dama de espadas" es la dramática escena de Herman y la Condesa, que termina con la muerte de esta última. La historia tiene 853 líneas y el clímax ocurre en la línea 535 (853:535 = 1,6): este es el punto de la proporción áurea.

El musicólogo soviético E.K. Rosenov destaca la asombrosa precisión de las proporciones de la sección áurea en las formas estrictas y libres de las obras de Johann Sebastian Bach, que corresponde al estilo reflexivo, concentrado y técnicamente verificado del maestro. Esto también se aplica a las obras destacadas de otros compositores, donde la solución musical más llamativa o inesperada suele ocurrir en el punto de la proporción áurea.
El director de cine Sergei Eisenstein coordinó deliberadamente el guión de su película “El acorazado Potemkin” con la regla de la proporción áurea, dividiendo la película en cinco partes. En las tres primeras secciones la acción se desarrolla en el barco, y en las dos últimas, en Odessa. La transición a escenas de la ciudad es el punto medio dorado de la película.