Rotor (matemáticas)
Rotor, o vórtice es un operador diferencial vectorial sobre un campo vectorial.
Designada
(en la literatura en idioma ruso) o
(en literatura inglesa),
y también como multiplicación vectorial del operador diferencial por un campo vectorial:
El resultado de la acción de este operador en un campo vectorial específico. F llamado rotor de campo F o, en resumen, simplemente rotor F y representa un nuevo campo vectorial:
campo de podredumbre F(longitud y dirección de la descomposición del vector F en cada punto del espacio) caracteriza en cierto sentido la componente rotacional del campo F respectivamente en cada punto.
Imagen intuitiva
Si v(x,y,z) es el campo de velocidad del gas (o flujo de líquido), entonces pudrirse v- un vector proporcional al vector de velocidad angular de una mota de polvo (o bola) muy pequeña y ligera situada en el flujo (y arrastrada por el movimiento del gas o del líquido; aunque el centro de la bola se puede fijar si se desea, siempre que pueda girar libremente alrededor de él).
Específicamente pudrirse v = 2 ω , Dónde ω - esta velocidad angular.
Para ver una ilustración sencilla de este hecho, consulte a continuación.
Esta analogía puede formularse de manera bastante estricta (ver más abajo). La definición básica mediante circulación (que figura en el párrafo siguiente) puede considerarse equivalente a la obtenida de esta manera.
Definición matemática
El rizo de un campo vectorial es un vector cuya proyección en cada dirección norte es el límite de la relación de circulación de un campo vectorial a lo largo de un contorno l, que es el borde del área plana Δ S, perpendicular a esta dirección, al tamaño de esta área, cuando las dimensiones del área tienden a cero y el área misma se contrae hasta un punto:
.
La dirección de recorrido del contorno se elige de modo que, mirando en esa dirección, el contorno l caminó en el sentido de las agujas del reloj.
En un sistema de coordenadas cartesiano tridimensional, el rotor (como se define arriba) se calcula de la siguiente manera (aquí F- denota un determinado campo vectorial con componentes cartesianos, y - vectores unitarios de coordenadas cartesianas):
Por conveniencia, podemos representar formalmente el rotor como un producto vectorial del operador nabla (a la izquierda) y el campo vectorial:
(La última igualdad representa formalmente el producto vectorial como determinante).
Definiciones relacionadas
Un campo vectorial cuya curvatura es cero en cualquier punto se llama irrotacional y es potencial. Dado que estas condiciones son necesarias y suficientes entre sí, ambos términos son sinónimos prácticos. (Sin embargo, esto es cierto sólo para el caso de campos definidos en un dominio simplemente conectado).
Para obtener un poco más de detalle sobre la condicionalidad mutua de la potencialidad y la naturaleza irrotacional del campo, consulte más abajo (Propiedades básicas).
Por el contrario, un campo cuyo curl no es igual a cero se suele llamar vórtice , tal campo no puede ser potencial.
Generalización
La generalización más directa del rotor aplicada a campos vectoriales (y pseudovectoriales) definidos en espacios de dimensión arbitraria (siempre que la dimensión del espacio coincida con la dimensión del vector de campo) es la siguiente:
con índices metro Y norte de 1 a la dimensión del espacio.
Esto también se puede escribir como un producto externo:
En este caso, el rotor es un campo tensor antisimétrico de valencia dos.
En el caso de la dimensión 3, la convolución de este tensor con el símbolo de Levi-Civita da la definición habitual de rotor tridimensional que figura en el artículo anterior.
Para un espacio bidimensional, además, si se desea, se puede utilizar una fórmula similar con un producto pseudoescalar (dicho rotor será un pseudoescalar coincidiendo con la proyección del producto vectorial tradicional sobre un eje ortogonal a un espacio bidimensional dado espacio (si consideramos que el espacio bidimensional está incrustado en algún espacio tridimensional, de modo que el producto vectorial tradicional tiene significado).
Las características más importantes de un campo vectorial son el rotor y la divergencia. En esta sección consideraremos la descripción matemática de estas características de los campos vectoriales y los métodos para calcularlos mediante operaciones diferenciales. En este caso utilizaremos únicamente el sistema de coordenadas cartesiano. Consideraremos una definición más completa de divergencia y rotor y su significado físico en el próximo capítulo. Más adelante consideraremos el cálculo de estas cantidades en sistemas de coordenadas curvilíneos.
Consideremos un campo vectorial definido en un espacio tridimensional.
Definición 1. La divergencia de un campo vectorial es un número que está definido por la expresión
Se supone que existen las correspondientes derivadas parciales en el punto considerado. La divergencia de un campo vectorial, al igual que el gradiente, se puede escribir usando el operador nabla
Aquí la divergencia se representa como el producto escalar de vectores y F. Observemos sin pruebas que la divergencia describe la densidad de fuentes que crean el campo.
Ejemplo 1. Calcular la divergencia de un campo vectorial en un punto.
Definición 2. La curvatura de un campo vectorial es un vector que está definido por la expresión
Tenga en cuenta que en la suma presentada, los índices en términos adyacentes cambian según la regla de permutación circular, teniendo en cuenta la regla.
El rizo de un campo vectorial se puede escribir usando el operador nabla
Un rotor caracteriza la tendencia de un campo vectorial a girar o arremolinarse, por lo que a veces se le llama vórtice y se designa rizoF.
Ejemplo 1. Calcule la curvatura de un campo vectorial en un punto.
A veces resulta necesario calcular el gradiente de un campo vectorial. En este caso, se calcula el gradiente de cada componente del campo vectorial. El resultado es un tensor de segundo rango, que determina el gradiente del vector. Este tensor puede ser descrito por la matriz.
Para describir tales objetos es conveniente utilizar la notación tensorial.
creyendo. El uso de métodos tensoriales simplifica las operaciones matemáticas con dichos objetos. En el curso "Fundamentos del análisis tensorial", que se imparte en paralelo al curso "Capítulos adicionales de matemáticas superiores", se ofrece una presentación detallada del aparato de cálculo tensorial.
Ejemplo 1. Calcular el gradiente de un campo vectorial.
Solución. Para los cálculos utilizamos notación tensorial. Tenemos
Aquí el símbolo de Kronecker es la matriz de identidad.
Ejemplo 2. Calcule el gradiente del campo escalar y compare las expresiones y.
Algunas propiedades del operador nabla
Anteriormente presentamos el operador de diferenciación de vectores.
Usando este operador, escribimos las principales operaciones diferenciales en campos tensoriales:
El operador es una generalización del operador de diferenciación y tiene las propiedades correspondientes de la derivada:
1) la derivada de la suma es igual a la suma de las derivadas
2) el multiplicador constante se puede sacar del signo del operador
Traducido al lenguaje de las funciones vectoriales, estas propiedades tienen la forma:
Estas fórmulas se derivan de la misma manera que las fórmulas correspondientes para las derivadas de una función de una variable.
Usar el operador de Hamilton nos permite simplificar muchas operaciones relacionadas con la diferenciación en campos tensoriales. Sin embargo, tenga en cuenta que este operador es un operador vectorial y debe manejarse con cuidado. Veamos algunas aplicaciones de este operador. En este caso, las fórmulas correspondientes se escriben tanto utilizando el operador de Hamilton como en notación convencional.
El concepto de divergencia como propiedad local de un campo vectorial se introdujo al considerar el flujo de un campo vectorial sobre una superficie cerrada. De manera similar, se puede introducir la característica correspondiente al considerar la circulación de un campo vectorial.
Consideremos algún punto. METRO y campo vectorial a . Elijamos alguna dirección caracterizada por el vector unitario norte y un plano perpendicular al vector norte y pasando por el punto METRO. rodeemos el punto METRO contorno l, tumbado en un plano determinado. Calculemos la circulación del campo vectorial a lo largo de este contorno y tomemos la relación entre esta circulación y el área. S, limitado por el contorno l:
Encontremos ahora el límite de esta relación en S®0, siempre que el contorno l se reduce a un punto METRO sin bajar del avión. Este límite se llama rotor campo vectorial a en el punto M:
. (7.6)
Nota 3. El rotor es una característica del "componente rotacional" del campo vectorial, por lo que se denomina podredumbre. Sin embargo, a veces en lugar de la palabra rotor aparece el término " vórtice" y está designado por el símbolo rizo.
Derivemos ahora la fórmula para el rotor en el sistema de coordenadas cartesiano. Dejar norte
coincide con la dirección del eje Onz, y el contorno l es un rectángulo de lados D X y D y, mientras que el circuito se recorre en sentido antihorario (ver Fig. 7.3). Entonces obtenemos
.
Para el primer término obtenemos
(segmentos DA Y ANTES DE CRISTO. puede ser ignorado, ya que aquí x=constante Y dx=0). Más
.
De manera similar obtenemos para el segundo término
.
Como resultado, encontramos
.
De manera similar, calculamos proyecciones sobre otros ejes de coordenadas:
, 
.
En forma vectorial esto se puede hacer de la siguiente manera:
Esta fórmula se puede escribir de forma más compacta en forma simbólica:
. (7.8)
La fórmula (7.7) se obtiene de (7.8) expandiendo el determinante a lo largo de la primera fila.
Ejemplo 7.4. Calcular la curvatura de un campo vectorial. a =X 2 y 3 i +j +z k en el punto M(1;1;1).
Solución. vamos a escribirlo
De este modo,
.
Ejemplo 7.5. Encuentre el rotor del campo de velocidades del cuerpo giratorio. v =–w y i +w X j .
Solución. Porque el v X=–w y, v y=v X, v z=0, entonces
.
Entonces, la velocidad del rotor de un cuerpo rígido en cualquier punto es igual al doble de la velocidad angular. El significado mecánico encontrado del rotor tiene un significado más amplio. Por ejemplo, una rueda con palas en un flujo de fluido tendrá una velocidad de rotación máxima si el eje de rotación está dirigido a lo largo de la rotación. a , y la velocidad de rotación será igual a .
teoría de campo
También conocido como análisis vectorial. Y para algunos, el análisis vectorial, conocido como teoría de campos =) ¡Finalmente llegamos a este interesante tema! Esta sección de matemáticas superiores no puede llamarse simple, sin embargo, en futuros artículos intentaré lograr dos objetivos:
a) para que todos entiendan de qué se trata la conversación;
b) y para que los "tontos" aprendan a resolver, como mínimo, cosas simples, al menos al nivel de las tareas que se ofrecen a los estudiantes a tiempo parcial.
Todo el material se presentará en un estilo popular y, si necesita información más rigurosa y completa, puede tomar, por ejemplo, el tercer volumen de Fichtenholtz o consultar Wiki.
Y descifremos inmediatamente el título. Con la teoría, creo que todo está claro: siguiendo las mejores tradiciones del sitio, analizaremos sus conceptos básicos y nos centraremos en la práctica. Bueno, ¿con qué asocias la palabra “campo”?
Campo de césped, campo de fútbol... ¿Más? Campo de actividad, campo de experimentos. Saludos humanistas! ...¿De un curso escolar? Campo eléctrico, magnético, electromagnético..., vale. El campo gravitacional de la Tierra en el que nos encontramos. ¡Excelente! Entonces, ¿quién dijo eso del campo? válido Y números complejos? ...¡algunos monstruos se han reunido aquí! =) Afortunadamente álgebra ya pasó.
En las próximas lecciones nos familiarizaremos con un concepto específico. campos, ejemplos específicos de la vida, y también aprenderá a resolver problemas temáticos de análisis vectorial. La teoría de campo se estudia mejor, como habrás adivinado correctamente, en un campo, en la naturaleza, donde hay un bosque, un río, un lago, una casa de pueblo, e invito a todos a sumergirse, si no en la cálida realidad del verano, luego en gratos recuerdos:
Los campos en el sentido considerado hoy son escalar Y vector, y comenzaremos con sus “bloques de construcción”.
En primer lugar, escalar. Muy a menudo este término se identifica erróneamente con número. No, las cosas son un poco diferentes: escalar es una cantidad, cada valor de la cual se puede expresar solo un numero. Hay muchos ejemplos de masa en física: largo, ancho, área, volumen, densidad, temperatura, etc. Todas estas son cantidades escalares. Y, por cierto, la masa también es un ejemplo.
En segundo lugar, vector. Mencioné la definición algebraica de un vector en la lección sobre transformaciones lineales y una de sus encarnaciones privadas es simplemente imposible no saber=) Típico vector es expresado dos o más números(con tus coordenadas). E incluso para un vector unidimensional solo un numero no es suficiente– porque el vector también tiene una dirección. Y el punto de aplicación si el vector. no soltera. Los vectores caracterizan los campos de fuerza física, la velocidad y muchas otras cantidades.
Bueno, ahora puedes empezar a cosechar pepinos de aluminio:
campo escalar
Si cada algún punto áreas del espacio se asigna un número determinado (normalmente real), entonces dicen que en esta zona se da campo escalar.
Consideremos, por ejemplo, una perpendicular que emana de la tierra. Rayo. Introduce una pala para mayor claridad =) ¿Qué? campos escalares¿Puedo preguntar sobre esta viga? Lo primero que me viene a la mente es campo de altura– cuando a cada punto de la viga se le asigna su altura sobre el nivel del suelo. O, por ejemplo, campo de presión atmosférica– aquí cada punto del haz corresponde a un valor numérico de la presión atmosférica en un punto determinado.
Ahora acerquémonos al lago y dibujemos mentalmente un avión sobre su superficie. Si cada punto del fragmento "agua" del plano está asociado con la profundidad del lago, entonces, por favor, se da el campo escalar. En estos mismos puntos, se pueden considerar otras cantidades escalares, por ejemplo, la temperatura de la superficie del agua.
La propiedad más importante de un campo escalar. es su invariancia en relación con el sistema de coordenadas. Si lo traducimos al lenguaje humano, no importa desde qué lado miremos la pala/lago: un campo escalar. (altura, profundidad, temperatura, etc.) esto no cambiará. Además, el campo escalar, digamos la profundidad, se puede establecer en otra superficie, por ejemplo, en un lugar adecuado. hemisferio, o directamente sobre la propia superficie del agua. ¿Por qué no? ¿No es posible asignar un número a cada punto del hemisferio situado sobre el lago? Sugerí la planicidad únicamente por conveniencia.
Agreguemos una coordenada más. Toma una piedra en tu mano. Cada punto de esta piedra se puede asignar a su densidad física. Y nuevamente, no importa en qué sistema de coordenadas lo consideremos, no importa cómo lo giremos en nuestra mano, el campo de densidad escalar permanecerá sin cambios. Sin embargo, algunas personas pueden cuestionar este hecho =) Así es la piedra filosofal.
Desde un punto de vista puramente matemático (más allá del significado físico u otro significado privado) Los campos escalares se especifican tradicionalmente mediante nuestras funciones "ordinarias". uno , dos , tres y más variables. Al mismo tiempo, en la teoría de campos, los atributos tradicionales de estas funciones se utilizan ampliamente, como dominio, líneas de nivel y superficies.
Con el espacio tridimensional todo es similar:
– aquí cada punto permitido en el espacio está asociado a un vector que comienza en un punto dado. La "admisibilidad" está determinada por los dominios de definición de funciones, y si cada uno de ellos se define para todos los "X", "E", "Z", entonces el campo vectorial se especificará en todo el espacio.
! Designaciones : los campos vectoriales también se indican con la letra o, y sus componentes con o, respectivamente.
De lo anterior queda claro desde hace tiempo que, al menos matemáticamente, los campos escalares y vectoriales se pueden definir en todo el espacio. Sin embargo, todavía tuve cuidado con los ejemplos físicos correspondientes, ya que conceptos como temperatura, gravedad(u otros) después de todo en algún lugar puede que no exista en absoluto. Pero esto ya no es terror, sino ciencia ficción =) Y no solo ciencia ficción. Porque el viento, por regla general, no sopla dentro de las piedras.
Cabe señalar que algunos campos vectoriales (mismos campos de velocidad) cambian rápidamente con el tiempo y, por lo tanto, muchos modelos físicos consideran una variable independiente adicional. Por cierto, lo mismo se aplica a los campos escalares: la temperatura, de hecho, tampoco está "congelada" en el tiempo.
Sin embargo, dentro del marco de las matemáticas, nos limitaremos a la trinidad, y cuando tales campos "se encuentren" implicaremos algún momento fijo en el tiempo o un tiempo durante el cual el campo no ha cambiado.
Líneas vectoriales
Si se describen campos escalares líneas y superficies niveladas, entonces la "forma" del campo vectorial se puede caracterizar lineas vectoriales. Probablemente muchos recuerden esta experiencia escolar: se coloca un imán debajo de una hoja de papel y encima (¡vamos a ver!) se derraman limaduras de hierro, que simplemente se "alinean" a lo largo de las líneas del campo.
Intentaré formularlo de manera más simple: cada punto de una línea vectorial es el comienzo vector de campo, que se encuentra en la tangente en un punto dado: 
Por supuesto, los vectores lineales en el caso general tienen diferentes longitudes, por lo que en la figura de arriba, cuando se mueven de izquierda a derecha, su longitud aumenta; aquí podemos suponer que nos acercamos, por ejemplo, a un imán. En los campos físicos de fuerza, las líneas vectoriales se denominan: líneas eléctricas. Otro ejemplo más simple es el campo gravitacional de la Tierra: sus líneas de campo son rayos con el comienzo en el centro del planeta, y los vectores gravedad Ubicado directamente sobre los propios rayos.
Las líneas vectoriales de campos de velocidad se llaman líneas actuales. Imagine nuevamente una tormenta de polvo: las partículas de polvo junto con las moléculas de aire se mueven a lo largo de estas líneas. Lo mismo ocurre con un río: las trayectorias a lo largo de las cuales se mueven las moléculas de líquido (y no sólo) son, en sentido literal, líneas de corriente. En general, muchos conceptos de la teoría de campos provienen de la hidrodinámica, con la que nos encontraremos más de una vez.
Si un campo vectorial "plano" está dado por una función distinta de cero, entonces sus líneas de campo se pueden encontrar a partir de ecuación diferencial. La solución a esta ecuación da familia líneas vectoriales en un avión. A veces, en las tareas es necesario dibujar varias líneas de este tipo, lo que generalmente no causa dificultades: elegimos varios valores convenientes de "tse", dibujamos algunos hipérboles, y el orden.
La situación con un campo vectorial espacial es más interesante. Sus líneas de campo están determinadas por las relaciones. 
. Aquí tenemos que decidir sistema de dos ecuaciones diferenciales y conseguir dos familias superficies espaciales. Las líneas de intersección de estas familias serán líneas vectoriales espaciales. Si todos los componentes (“pe”, “ku”, “er”) son distintos de cero, entonces existen varias soluciones técnicas. No consideraré todos estos métodos. (porque el artículo crecerá hasta alcanzar tamaños indecentes), pero me centraré en un caso particular común, cuando uno de los componentes del campo vectorial es igual a cero. Enumeremos todas las opciones a la vez:
si , entonces es necesario resolver el sistema;
si , entonces el sistema;
y si, entonces.
Y por alguna razón hace mucho que no practicamos:
Ejemplo 1
Encuentra las líneas de campo del campo vectorial.
Solución: en este problema, por lo tanto resolvemos sistema:
El significado es muy simple. Entonces, si una función especifica un campo escalar de profundidad del lago, entonces la función vectorial correspondiente define el conjunto no libre vectores, cada uno de los cuales indica una dirección ascenso rápido fondo en un punto u otro y la velocidad de esta subida.
Si una función especifica un campo de temperatura escalar de una determinada región del espacio, entonces el campo vectorial correspondiente caracteriza la dirección y la velocidad. calentamiento más rápido espacio en cada punto de esta área.
Veamos un problema matemático general:
Ejemplo 3
Dado un campo escalar y un punto. Requerido:
1) componer la función de gradiente del campo escalar;
que es igual a diferencia de potencial .
En otras palabras, en el campo potencial sólo importan los puntos inicial y final de la ruta. Y si estos puntos coinciden, entonces el trabajo total de fuerzas a lo largo de un contorno cerrado será igual a cero:
Recojamos una pluma del suelo y la entreguemos al punto de partida. En este caso, la trayectoria de nuestro movimiento vuelve a ser arbitraria; incluso puedes dejar caer el bolígrafo, volver a cogerlo, etc.
¿Por qué el resultado final es cero?
¿Cayó la pluma del punto “a” al punto “b”? Cayó. La fuerza de gravedad hizo el trabajo.
¿El bolígrafo tocó el punto "a"? Entiendo. Esto significa que se hizo exactamente el mismo trabajo. contra la gravedad, y no importa con qué "aventuras" y con qué fuerzas, incluso si el viento lo hizo retroceder.
Nota : En física, el signo menos simboliza la dirección opuesta.
Por tanto, el trabajo total realizado por las fuerzas es cero: 
Como ya he señalado, el concepto de trabajo físico y el laico son diferentes. Y esta diferencia te ayudará a comprender bien no una pluma o incluso un ladrillo, sino, por ejemplo, un piano :)
Juntos, levanten el piano y bájenlo por las escaleras. Arrástralo por la calle. Tanto como quieras y donde quieras. Y si nadie llamó al tonto, devuélvele el instrumento. ¿Has trabajado? Ciertamente. Hasta el séptimo sudor. Pero desde el punto de vista de la física, no se ha realizado ningún trabajo.
La frase "diferencia de potencial" es tentadora para hablar más sobre el campo electrostático potencial, pero sorprender a sus lectores de alguna manera no es nada humano =) Además, hay innumerables ejemplos, porque cualquier campo gradiente es potencial, de los cuales hay diez centavos la docena.
Pero es fácil decir "un centavo la docena": aquí se nos da un campo vectorial - ¿Cómo determinar si es potencial o no?
Rotor de campo vectorial
O el vórtice componente, que también se expresa mediante vectores.
Tomemos nuevamente la pluma en nuestras manos y la enviemos con cuidado flotando río abajo. Para garantizar la pureza del experimento, asumiremos que es homogéneo y simétrico con respecto a su centro. El eje se levanta.
Consideremos campo vectorial velocidad actual y un cierto punto en la superficie del agua sobre el cual se encuentra el centro de la pluma.
si en en este punto el bolígrafo gira en sentido antihorario, luego lo emparejaremos con el saliente no libre vector ascendente. Al mismo tiempo, cuanto más rápido gira el bolígrafo, más largo es este vector... por alguna razón me parece tan negro bajo los brillantes rayos del sol... Si la rotación ocurre en el sentido de las agujas del reloj, entonces el vector "mira" hacia abajo. Si la pluma no gira en absoluto, entonces el vector es cero.
Conoce - esto es todo vector de rotor campo de velocidad vectorial, caracteriza la dirección de "remolino" del líquido en en este punto y velocidad angular de rotación de la pluma (¡pero no la dirección o velocidad de la corriente misma!).
Está absolutamente claro que todos los puntos del río tienen un vector de rotación (incluidos los que están "bajo el agua"), por lo tanto, para campo vectorial de velocidad actual¡Hemos definido un nuevo campo vectorial!
Si un campo vectorial está dado por una función, entonces su campo de rotor está dado por la siguiente función vectorial:
Además, si los vectores campo del rotor Los ríos son de gran magnitud y tienden a cambiar de dirección, esto no significa en absoluto que estemos hablando de un río sinuoso e inquieto. (volver al ejemplo). Esta situación también se puede observar en un canal recto, cuando, por ejemplo, la velocidad es mayor en el medio y menor cerca de las orillas. Es decir, se genera la rotación del bolígrafo. diferentes caudales V vecino líneas actuales.
Por otro lado, si los vectores del rotor son cortos, ¡podría ser un río de montaña "sinuoso"! Es importante que en líneas actuales adyacentes la velocidad de la corriente misma (rápido o lento) difería ligeramente.
Y finalmente, respondemos a la pregunta planteada anteriormente: en cualquier punto del campo potencial su rotor es cero:
O mejor dicho, el vector cero.
El campo potencial también se llama irrotacional campo.
Por supuesto, no existe un flujo “ideal”, pero muy a menudo se puede observar que campo de velocidad Los ríos están cerca de su potencial: varios objetos flotan tranquilamente y no giran, ... ¿te imaginaste también esta imagen? Sin embargo, pueden nadar muy rápido y en una curva, y luego disminuir la velocidad y luego acelerar; es importante que la velocidad de la corriente esté en líneas actuales adyacentes fue preservado constante.
Y, por supuesto, nuestro campo gravitacional mortal. Para el siguiente experimento, cualquier objeto bastante pesado y homogéneo es adecuado, por ejemplo, un libro cerrado, una lata de cerveza sin abrir o, por cierto, un ladrillo que ha esperado entre bastidores =) Sujete sus extremos con las manos. , levántelo y suéltelo con cuidado para que caiga libre. No girará. Y si es así, entonces este es su “esfuerzo personal” o el ladrillo que obtuvo no era el correcto. ¡No seas perezoso y comprueba este hecho! Simplemente no tires nada por la ventana, ya no es una pluma.
Después de lo cual, con la conciencia tranquila y el tono elevado, podrá volver a las tareas prácticas:
Ejemplo 5
Demuestre que un campo vectorial es potencial y encuentre su potencial.
Solución: la condición establece directamente la potencialidad del campo, y nuestra tarea es probar este hecho. Encontremos la función del rotor o, como se suele decir, el rotor de un campo determinado:
Por conveniencia, anotamos los componentes del campo:
y empecemos a buscarlos Derivadas parciales– es conveniente “clasificarlos” en orden “rotativo”, de izquierda a derecha:
- Y inmediatamente Mira esto 
(para evitar hacer trabajo extra en caso de un resultado distinto de cero). Vamonos:
De este modo:
, por lo tanto, el campo es potencial y, por lo tanto, representa una función de gradiente 
algún campo escalar especificado por el potencial.
