Estudio de un sistema de vectores de dependencia lineal. Dependencia lineal de un sistema de vectores.

a 1 = { 3, 5, 1 , 4 }, a 2 = { –2, 1, -5 , -7 }, a 3 = { -1, –2, 0, –1 }.

Solución. Buscamos una solución general al sistema de ecuaciones.

a 1 X 1 + a 2 X 2 + a 3 X 3 = Θ

Método de Gauss. Para ello, escribimos este sistema homogéneo en coordenadas:

Matriz del sistema

El sistema permitido tiene la forma: (r un = 2, norte= 3). El sistema es cooperativo e incierto. Su solución general ( X 2 – variable libre): X 3 = 13X 2 ; 3X 1 – 2X 2 – 13X 2 = 0 => X 1 = 5X 2 => X o = . La presencia de una solución particular distinta de cero, por ejemplo, indica que los vectores a 1 , a 2 , a 3 linealmente dependiente.

Ejemplo 2.

Descubra si un sistema dado de vectores es linealmente dependiente o linealmente independiente:

1. a 1 = { -20, -15, - 4 }, a 2 = { –7, -2, -4 }, a 3 = { 3, –1, –2 }.

Solución. Considere un sistema homogéneo de ecuaciones. a 1 X 1 + a 2 X 2 + a 3 X 3 = Θ

o en forma expandida (por coordenadas)

El sistema es homogéneo. Si no es degenerado, entonces tiene una solución única. En el caso de un sistema homogéneo, existe una solución cero (trivial). Esto significa que en este caso el sistema de vectores es independiente. Si el sistema es degenerado, entonces tiene soluciones distintas de cero y, por tanto, es dependiente.

Comprobamos el sistema en busca de degeneración:

= –80 – 28 + 180 – 48 + 80 – 210 = – 106 ≠ 0.

El sistema no es degenerado y, por tanto, los vectores a 1 , a 2 , a 3 independiente linealmente.

Tareas. Descubra si un sistema dado de vectores es linealmente dependiente o linealmente independiente:

1. a 1 = { -4, 2, 8 }, a 2 = { 14, -7, -28 }.

2. a 1 = { 2, -1, 3, 5 }, a 2 = { 6, -3, 3, 15 }.

3. a 1 = { -7, 5, 19 }, a 2 = { -5, 7 , -7 }, a 3 = { -8, 7, 14 }.

4. a 1 = { 1, 2, -2 }, a 2 = { 0, -1, 4 }, a 3 = { 2, -3, 3 }.

5. a 1 = { 1, 8 , -1 }, a 2 = { -2, 3, 3 }, a 3 = { 4, -11, 9 }.

6. a 1 = { 1, 2 , 3 }, a 2 = { 2, -1 , 1 }, a 3 = { 1, 3, 4 }.

7. a 1 = {0, 1, 1 , 0}, a 2 = {1, 1 , 3, 1}, a 3 = {1, 3, 5, 1}, a 4 = {0, 1, 1, -2}.

8. a 1 = {-1, 7, 1 , -2}, a 2 = {2, 3 , 2, 1}, a 3 = {4, 4, 4, -3}, a 4 = {1, 6, -11, 1}.

9. Demuestre que un sistema de vectores será linealmente dependiente si contiene:

a) dos vectores iguales;

b) dos vectores proporcionales.

En este artículo cubriremos:

• ¿Qué son los vectores colineales?
• ¿Cuáles son las condiciones para la colinealidad de los vectores?
• qué propiedades existen de los vectores colineales;
• ¿Cuál es la dependencia lineal de los vectores colineales?

Los vectores colineales son vectores que son paralelos a una recta o que se encuentran en una recta.

Ejemplo 1

Condiciones para la colinealidad de vectores.

Dos vectores son colineales si se cumple alguna de las siguientes condiciones:

• condición 1 . Los vectores a y b son colineales si existe un número λ tal que a = λ b;
• condición 2 . Los vectores a y b son colineales con proporciones de coordenadas iguales:

a = (a 1; a 2), b = (b 1; b 2) ⇒ a ∥ b ⇔ a 1 b 1 = a 2 b 2

• condición 3 . Los vectores a y b son colineales siempre que el producto vectorial y el vector cero sean iguales:

a ∥ b ⇔ a, b = 0

Nota 1

Condición 2 no aplicable si una de las coordenadas del vector es cero.

Nota 2

Condición 3 se aplica sólo a aquellos vectores que se especifican en el espacio.

Ejemplos de problemas para estudiar la colinealidad de vectores.

Examinamos los vectores a = (1; 3) y b = (2; 1) en busca de colinealidad.

¿Cómo resolver?

En este caso, es necesario utilizar la segunda condición de colinealidad. Para vectores dados se ve así:

La igualdad es falsa. De esto podemos concluir que los vectores a y b no son colineales.

Respuesta : un | | b

Ejemplo 2

¿Qué valor m del vector a = (1; 2) y b = (- 1; m) es necesario para que los vectores sean colineales?

¿Cómo resolver?

Usando la segunda condición de colinealidad, los vectores serán colineales si sus coordenadas son proporcionales:

Esto muestra que m = - 2.

Respuesta: metro = - 2 .

Criterios de dependencia lineal e independencia lineal de sistemas vectoriales.

Un sistema de vectores en un espacio vectorial es linealmente dependiente sólo si uno de los vectores del sistema se puede expresar en términos de los vectores restantes de este sistema.

Prueba

Sea el sistema e 1 , e 2 , . . . , e n es linealmente dependiente. Escribamos una combinación lineal de este sistema igual al vector cero:

un 1 mi 1 + un 2 mi 2 + . . . + un norte y norte = 0

en el que al menos uno de los coeficientes de combinación no es igual a cero.

Sea a k ≠ 0 k ∈ 1 , 2 , . . . , n.

Dividimos ambos lados de la igualdad por un coeficiente distinto de cero:

un k - 1 (un k - 1 un 1) mi 1 + (un k - 1 un k) mi k + . . . + (a k - 1 a n) e n = 0

Denotemos:

A k - 1 a m , donde m ∈ 1 , 2 , . . . , k - 1 , k + 1 , norte

En este caso:

β 1 mi 1 + . . . + β k - 1 mi k - 1 + β k + 1 mi k + 1 + . . . + β norte mi norte = 0

o mi k = (- β 1) mi 1 + . . . + (- β k - 1) mi k - 1 + (- β k + 1) mi k + 1 + . . . + (- β norte) mi norte

De ello se deduce que uno de los vectores del sistema se expresa a través de todos los demás vectores del sistema. Que es lo que había que demostrar (etc.).

Adecuación

Sea uno de los vectores expresado linealmente a través de todos los demás vectores del sistema:

mi k = γ 1 mi 1 + . . . + γ k - 1 mi k - 1 + γ k + 1 mi k + 1 + . . . + γ norte mi norte

Movemos el vector e k al lado derecho de esta igualdad:

0 = γ 1 mi 1 + . . . + γ k - 1 mi k - 1 - mi k + γ k + 1 mi k + 1 + . . . + γ norte mi norte

Dado que el coeficiente del vector e k es igual a - 1 ≠ 0, obtenemos una representación no trivial de cero mediante un sistema de vectores e 1, e 2, . . . , e n , y esto, a su vez, significa que este sistema de vectores es linealmente dependiente. Que es lo que había que demostrar (etc.).

Consecuencia:

• Un sistema de vectores es linealmente independiente cuando ninguno de sus vectores puede expresarse en términos de todos los demás vectores del sistema.
• Un sistema de vectores que contiene un vector cero o dos vectores iguales es linealmente dependiente.

Propiedades de vectores linealmente dependientes.

1. Para vectores bidimensionales y tridimensionales, se cumple la siguiente condición: dos vectores linealmente dependientes son colineales. Dos vectores colineales son linealmente dependientes.
2. Para vectores tridimensionales, se cumple la siguiente condición: tres vectores linealmente dependientes son coplanares. (3 vectores coplanares son linealmente dependientes).
3. Para vectores n-dimensionales, se cumple la siguiente condición: n + 1 vectores siempre son linealmente dependientes.

Ejemplos de resolución de problemas que involucran dependencia lineal o independencia lineal de vectores

Comprobemos la independencia lineal de los vectores a = 3, 4, 5, b = - 3, 0, 5, c = 4, 4, 4, d = 3, 4, 0.

Solución. Los vectores son linealmente dependientes porque la dimensión de los vectores es menor que el número de vectores.

Ejemplo 4

Comprobemos la independencia lineal de los vectores a = 1, 1, 1, b = 1, 2, 0, c = 0, - 1, 1.

Solución. Encontramos los valores de los coeficientes en los que la combinación lineal será igual al vector cero:

x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0

Escribimos la ecuación vectorial en forma lineal:

x 1 + x 2 = 0 x 1 + 2 x 2 - x 3 = 0 x 1 + x 3 = 0

Resolvemos este sistema usando el método gaussiano:

1 1 0 | 0 1 2 - 1 | 0 1 0 1 | 0 ~

De la 2ª línea restamos la 1ª, de la 3ª - la 1ª:

~ 1 1 0 | 0 1 - 1 2 - 1 - 1 - 0 | 0 - 0 1 - 1 0 - 1 1 - 0 | 0 - 0 ~ 1 1 0 | 0 0 1 - 1 | 0 0 - 1 1 | 0 ~

De la 1ª línea restamos la 2ª, a la 3ª sumamos la 2ª:

~ 1 - 0 1 - 1 0 - (- 1) | 0 - 0 0 1 - 1 | 0 0 + 0 - 1 + 1 1 + (- 1) | 0 + 0 ~ 0 1 0 | 1 0 1 - 1 | 0 0 0 0 | 0

De la solución se deduce que el sistema tiene muchas soluciones. Esto significa que existe una combinación distinta de cero de valores de tales números x 1, x 2, x 3 para los cuales la combinación lineal de a, b, c es igual al vector cero. Por tanto, los vectores a, b, c son linealmente dependiente.

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Introducido por nosotros operaciones lineales sobre vectores permiten crear varias expresiones para cantidades vectoriales y transformarlos usando las propiedades establecidas para estas operaciones.

Con base en un conjunto dado de vectores a 1, ..., an, puedes crear una expresión de la forma

donde a 1, ... y n son números reales arbitrarios. Esta expresión se llama combinación lineal de vectores un 1, ..., un n. Los números α i, i = 1, n, representan coeficientes de combinación lineal. Un conjunto de vectores también se llama sistema de vectores.

En relación con el concepto introducido de combinación lineal de vectores, surge el problema de describir un conjunto de vectores que pueda escribirse como una combinación lineal de un sistema dado de vectores a 1, ..., a n. Además, surgen naturalmente preguntas sobre las condiciones bajo las cuales se produce la representación de un vector en forma de combinación lineal y sobre la unicidad de dicha representación.

Definición 2.1. Los vectores a 1, ... y n se denominan linealmente dependiente, si existe un conjunto de coeficientes α 1 , ... , α n tales que

α 1 a 1 + ... + α n а n = 0 (2.2)

y al menos uno de estos coeficientes es distinto de cero. Si el conjunto especificado de coeficientes no existe, entonces los vectores se llaman independiente linealmente.

Si α 1 = ... = α n = 0, entonces, obviamente, α 1 a 1 + ... + α n a n = 0. Teniendo esto en cuenta, podemos decir esto: vectores a 1, ..., y n son linealmente independientes si de la igualdad (2.2) se deduce que todos los coeficientes α 1 , ... , α n son iguales a cero.

El siguiente teorema explica por qué el nuevo concepto se denomina término "dependencia" (o "independencia") y proporciona un criterio simple para la dependencia lineal.

Teorema 2.1. Para que los vectores a 1, ..., y n, n > 1, sean linealmente dependientes, es necesario y suficiente que uno de ellos sea combinación lineal de los demás.

◄ Necesidad. Supongamos que los vectores a 1, ... y n son linealmente dependientes. Según la Definición 2.1 de dependencia lineal, en la igualdad (2.2) a la izquierda hay al menos un coeficiente distinto de cero, por ejemplo α 1. Dejando el primer término al lado izquierdo de la igualdad, movemos el resto al lado derecho, cambiando sus signos, como es habitual. Dividiendo la igualdad resultante por α 1, obtenemos

un 1 =-α 2 /α 1 ⋅ un 2 - ... - α n /α 1 ⋅ un n

aquellos. representación del vector a 1 como combinación lineal de los vectores restantes a 2, ..., a n.

Adecuación. Dejemos, por ejemplo, que el primer vector a 1 se pueda representar como una combinación lineal de los vectores restantes: a 1 = β 2 a 2 + ... + β n a n. Transfiriendo todos los términos del lado derecho al izquierdo, obtenemos a 1 - β 2 a 2 - ... - β n a n = 0, es decir una combinación lineal de vectores a 1, ..., a n con coeficientes α 1 = 1, α 2 = - β 2, ..., α n = - β n, igual a vector cero. En esta combinación lineal, no todos los coeficientes son cero. Según la Definición 2.1, los vectores a 1, ... y n son linealmente dependientes.

La definición y el criterio de dependencia lineal se formulan para implicar la presencia de dos o más vectores. Sin embargo, también podemos hablar de una dependencia lineal de un vector. Para realizar esta posibilidad, en lugar de "los vectores son linealmente dependientes", es necesario decir "el sistema de vectores es linealmente dependiente". Es fácil ver que la expresión "un sistema de un vector es linealmente dependiente" significa que este único vector es cero (en una combinación lineal solo hay un coeficiente y no debe ser igual a cero).

El concepto de dependencia lineal tiene una interpretación geométrica simple. Las siguientes tres afirmaciones aclaran esta interpretación.

Teorema 2.2. Dos vectores son linealmente dependientes si y sólo si colineal.

◄ Si los vectores a y b son linealmente dependientes, entonces uno de ellos, por ejemplo a, se expresa a través del otro, es decir a = λb para algún número real λ. Según la definición 1.7 obras vectores por número, los vectores a y b son colineales.

Sean ahora colineales los vectores a y b. Si ambos son cero, entonces es obvio que son linealmente dependientes, ya que cualquier combinación lineal de ellos es igual al vector cero. Sea uno de estos vectores distinto de 0, por ejemplo el vector b. Denotemos por λ la relación de longitudes de vectores: λ = |a|/|b|. Los vectores colineales pueden ser unidireccional o dirigido de manera opuesta. En el último caso, cambiamos el signo de λ. Luego, comprobando la Definición 1.7, estamos convencidos de que a = λb. Según el teorema 2.1, los vectores ayb son linealmente dependientes.

Observación 2.1. En el caso de dos vectores, teniendo en cuenta el criterio de dependencia lineal, el teorema demostrado se puede reformular de la siguiente manera: dos vectores son colineales si y sólo si uno de ellos se representa como producto del otro por un número. Este es un criterio conveniente para la colinealidad de dos vectores.

Teorema 2.3. Tres vectores son linealmente dependientes si y sólo si coplanar.

◄ Si tres vectores a, b, c son linealmente dependientes, entonces, según el teorema 2.1, uno de ellos, por ejemplo a, es una combinación lineal de los demás: a = βb + γс. Combinemos los orígenes de los vectores b y c en el punto A. Entonces los vectores βb, γс tendrán un origen común en el punto A y a lo largo según la regla del paralelogramo, su suma es aquellos. el vector a será un vector con origen A y el fin, que es el vértice de un paralelogramo construido sobre vectores componentes. Por tanto, todos los vectores se encuentran en el mismo plano, es decir, coplanares.

Sean coplanares los vectores a, b, c. Si uno de estos vectores es cero, entonces es obvio que será una combinación lineal de los demás. Basta con tomar todos los coeficientes de una combinación lineal iguales a cero. Por tanto, podemos suponer que los tres vectores no son cero. Compatible comenzó de estos vectores en un punto común O. Sean sus extremos los puntos A, B, C, respectivamente (figura 2.1). Por el punto C trazamos rectas paralelas a rectas que pasan por pares de puntos O, A y O, B. Designando los puntos de intersección como A" y B", obtenemos un paralelogramo OA"CB", por tanto, OC" = OA" + OB". El vector OA" y el vector distinto de cero a = OA son colineales, por lo que el primero de ellos se puede obtener multiplicando el segundo por un número real α:OA" = αOA. De manera similar, OB" = βOB, β ∈ R. Como resultado, obtenemos que OC" = α OA. + βOB, es decir, el vector c es una combinación lineal de los vectores a y b. Según el teorema 2.1, los vectores a, b, c son linealmente dependientes.

Teorema 2.4. Cualesquiera cuatro vectores son linealmente dependientes.

◄ Realizamos la demostración según el mismo esquema que en el Teorema 2.3. Considere cuatro vectores arbitrarios a, b, cy d. Si uno de los cuatro vectores es cero, o entre ellos hay dos vectores colineales, o tres de los cuatro vectores son coplanares, entonces estos cuatro vectores son linealmente dependientes. Por ejemplo, si los vectores a y b son colineales, entonces podemos hacer su combinación lineal αa + βb = 0 con coeficientes distintos de cero, y luego agregar los dos vectores restantes a esta combinación, tomando ceros como coeficientes. Obtenemos una combinación lineal de cuatro vectores igual a 0, en la que hay coeficientes distintos de cero.

Por lo tanto, podemos suponer que entre los cuatro vectores seleccionados, ningún vector es cero, ningún dos es colineal y ningún tres es coplanar. Elijamos el punto O como su comienzo común. Entonces los extremos de los vectores a, b, c, d serán algunos puntos A, B, C, D (figura 2.2). Por el punto D trazamos tres planos paralelos a los planos OBC, OCA, OAB, y sean A", B", C" los puntos de intersección de estos planos con las rectas OA, OB, OS, respectivamente. Obtenemos un paralelepípedo OA" C "B" C" B"DA", y los vectores a, b, c se encuentran en sus aristas que emergen del vértice O. Dado que el cuadrilátero OC"DC" es un paralelogramo, entonces OD = OC" + OC "A su vez, el segmento OC" es una diagonal del paralelogramo OA"C"B", por lo que OC" = OA" + OB" y OD = OA" + OB" + OC".

Queda por señalar que los pares de vectores OA ≠ 0 y OA" , OB ≠ 0 y OB" , OC ≠ 0 y OC" son colineales y, por tanto, es posible seleccionar los coeficientes α, β, γ de modo que OA" = αOA, OB" = βOB y OC" = γOC. Finalmente obtenemos OD = αOA + βOB + γOC. En consecuencia, el vector OD se expresa a través de los otros tres vectores y los cuatro vectores, según el teorema 2.1, son linealmente dependientes.

Dejar l es un espacio lineal arbitrario, a i Î L,- sus elementos (vectores).

Definición 3.3.1. Expresión , Dónde , - números reales arbitrarios, llamados combinación lineal vectores un 1, un 2,…, un norte.

si el vector R = , entonces dicen que R descompuesto en vectores un 1, un 2,…, un norte.

Definición 3.3.2. Una combinación lineal de vectores se llama no trivial, si entre los números hay al menos uno distinto de cero. De lo contrario, la combinación lineal se llama trivial.

Definición 3.3.3 . Vectores a 1 , a 2 ,…, a norte se llaman linealmente dependientes si existe una combinación lineal no trivial de ellos tal que

= 0 .

Definición 3.3.4. Vectores a 1 ,a 2 ,…, a norte se llaman linealmente independientes si la igualdad = 0 sólo es posible en el caso de que todos los números yo 1, yo 2,…, l norte son simultáneamente iguales a cero.

Tenga en cuenta que cualquier elemento distinto de cero a 1 puede considerarse como un sistema linealmente independiente, ya que la igualdad yo un 1 = 0 posible sólo si yo= 0.

Teorema 3.3.1. Una condición necesaria y suficiente para la dependencia lineal a 1 , a 2 ,…, a norte es la posibilidad de descomponer al menos uno de estos elementos en el resto.

Prueba. Necesidad. Sean los elementos a 1 , a 2 ,…, a norte linealmente dependiente. Esto significa que = 0 , y al menos uno de los números yo 1, yo 2,…, l norte diferente de cero. Dejar con certeza yo 1 ¹ 0. Entonces

es decir, el elemento a 1 se descompone en elementos a 2, a 3,…, a norte.

Adecuación. Sea el elemento a 1 descompuesto en los elementos a 2 , a 3 , …, a norte, es decir, un 1 = . Entonces = 0 , por lo tanto, existe una combinación lineal no trivial de vectores a 1 , a 2 ,…, a norte, igual 0 , por lo que son linealmente dependientes .

Teorema 3.3.2. Si al menos uno de los elementos a 1 , a 2 ,…, a norte cero, entonces estos vectores son linealmente dependientes.

Prueba . Dejar a norte= 0 , entonces = 0 , lo que significa la dependencia lineal de estos elementos.

Teorema 3.3.3. Si entre n vectores cualquier p (p< n) векторов линейно зависимы, то и все n элементов линейно зависимы.

Prueba. Sean, para mayor precisión, los elementos a 1 , a 2 ,…, a pag linealmente dependiente. Esto significa que existe una combinación lineal no trivial tal que = 0 . La igualdad especificada se conservará si agregamos el elemento a ambas partes. Entonces + = 0 , y al menos uno de los números yo 1, yo 2,…, lp diferente de cero. Por lo tanto, los vectores a 1 , a 2 ,…, a norte son linealmente dependientes.

Corolario 3.3.1. Si n elementos son linealmente independientes, entonces cualesquiera k de ellos son linealmente independientes (k< n).

Teorema 3.3.4. Si los vectores un 1, un 2,…, un norte- 1 son linealmente independientes y los elementos un 1, un 2,…, un norte- 1,a n son linealmente dependientes, entonces el vector a n se puede expandir en vectores un 1, un 2,…, un norte- 1 .

Prueba. Dado que por condición a 1 , a 2 ,…, a norte- 1,a norte son linealmente dependientes, entonces existe una combinación lineal no trivial de ellos = 0 , y (de lo contrario, los vectores a 1 , a 2 ,…, a resultarán linealmente dependientes norte- 1). Pero entonces el vector

,

Q.E.D.

Tarea 1. Descubra si el sistema de vectores es linealmente independiente. El sistema de vectores estará especificado por la matriz del sistema, cuyas columnas están formadas por las coordenadas de los vectores.

.

Solución. Sea la combinación lineal igual a cero. Habiendo escrito esta igualdad en coordenadas, obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

.

Este sistema de ecuaciones se llama triangular. Ella solo tiene una solución. . Por lo tanto, los vectores independiente linealmente.

Tarea 2. Descubra si el sistema de vectores es linealmente independiente.

.

Solución. Vectores son linealmente independientes (ver problema 1). Demostremos que el vector es una combinación lineal de vectores. . Coeficientes de expansión vectorial se determinan a partir del sistema de ecuaciones

.

Este sistema, al igual que el triangular, tiene una solución única.

Por tanto, el sistema de vectores. linealmente dependiente.

Comentario. Las matrices del mismo tipo que en el problema 1 se llaman triangular , y en el problema 2 – triangular escalonado . La cuestión de la dependencia lineal de un sistema de vectores se resuelve fácilmente si la matriz compuesta por las coordenadas de estos vectores es triangular escalonada. Si la matriz no tiene una forma especial, entonces usando conversiones de cadenas elementales , preservando las relaciones lineales entre las columnas, se puede reducir a una forma triangular escalonada.

Conversiones de cadenas elementales matrices (EPS) las siguientes operaciones sobre una matriz se denominan:

1) reordenamiento de cuerdas;

2) multiplicar una cadena por un número distinto de cero;

3) agregar otra cadena a una cadena, multiplicada por un número arbitrario.

Tarea 3. Encuentre el subsistema linealmente independiente máximo y calcule el rango del sistema de vectores.

.

Solución. Reduzcamos la matriz del sistema usando EPS a una forma triangular escalonada. Para explicar el procedimiento, denotamos la línea con el número de la matriz a transformar con el símbolo. La columna después de la flecha indica las acciones en las filas de la matriz que se está convirtiendo que se deben realizar para obtener las filas de la nueva matriz.

.

Obviamente, las dos primeras columnas de la matriz resultante son linealmente independientes, la tercera columna es su combinación lineal y la cuarta no depende de las dos primeras. Vectores se llaman básicos. Forman un subsistema linealmente independiente máximo del sistema. , y el rango del sistema es tres.

Base, coordenadas

Tarea 4. Encuentre la base y las coordenadas de los vectores en esta base en el conjunto de vectores geométricos cuyas coordenadas satisfacen la condición .

Solución. El conjunto es un plano que pasa por el origen. Una base arbitraria en un plano consta de dos vectores no colineales. Las coordenadas de los vectores en la base seleccionada se determinan resolviendo el correspondiente sistema de ecuaciones lineales.

Hay otra forma de resolver este problema, cuando puedes encontrar la base usando las coordenadas.

Coordenadas los espacios no son coordenadas en el plano, ya que están relacionados por la relación , es decir, no son independientes. Las variables independientes y (se llaman libres) definen de forma única un vector en el plano y, por tanto, pueden elegirse como coordenadas en . Entonces la base consta de vectores que se encuentran y corresponden a conjuntos de variables libres Y , eso es .

Tarea 5. Encuentre la base y las coordenadas de los vectores en esta base en el conjunto de todos los vectores en el espacio cuyas coordenadas impares son iguales entre sí.

Solución. Elijamos, como en el problema anterior, coordenadas en el espacio.

Porque , luego variables libres determinan de forma única el vector desde y, por lo tanto, son coordenadas. La base correspondiente consta de vectores.

Tarea 6. Encuentre la base y las coordenadas de los vectores en esta base en el conjunto de todas las matrices de la forma , Dónde – números arbitrarios.

Solución. Cada matriz de es representable de forma única en la forma:

Esta relación es la expansión del vector con respecto a la base.
con coordenadas .

Tarea 7. Encuentre la dimensión y la base del casco lineal de un sistema de vectores.

.

Solución. Usando el EPS, transformamos la matriz de las coordenadas de los vectores del sistema a una forma triangular escalonada.

.

columnas las últimas matrices son linealmente independientes y las columnas expresado linealmente a través de ellos. Por lo tanto, los vectores formar una base , Y .

Comentario. base en se elige de forma ambigua. Por ejemplo, vectores también forma una base .