Ministerio de Educación de la Federación de Rusia

institución educativa municipal

"Escuela secundaria nº 22"

Ecuaciones cuadráticas y de orden superior.

Terminado:

Alumnos de 8º grado "B"

Kuznetsov Evgeniy y Rudi Alexey

Supervisor:

Zenina Alevtina Dmítrievna

Profesor de matemáticas

Introducción

1.1 Ecuaciones en la antigua Babilonia

1.2 ecuaciones árabes

1.3 Ecuaciones en la India

Capítulo 2. Teoría de ecuaciones cuadráticas y ecuaciones de orden superior.

2.1 Conceptos básicos

2.2 Fórmulas para coeficiente par en x

2.3 teorema de Vieta

2.4 Ecuaciones cuadráticas de naturaleza particular

2.5 Teorema de Vieta para polinomios (ecuaciones) de grados superiores

2.6 Ecuaciones reducibles a cuadráticas (bicuadráticas)

2.7 Estudio de ecuaciones bicuadráticas

2.8 fórmulas Cordano

2.9 Ecuaciones simétricas de tercer grado

2.10 Ecuaciones recíprocas

2.11 Circuito de Horner

Conclusión

Bibliografía

Anexo 1

Apéndice 2

Apéndice 3

Introducción

Las ecuaciones ocupan un lugar destacado en el curso de álgebra escolar. Se dedica más tiempo a su estudio que a cualquier otro tema. De hecho, las ecuaciones no sólo tienen una importancia teórica importante, sino que también sirven para fines puramente prácticos. La abrumadora cantidad de problemas sobre formas espaciales y relaciones cuantitativas en el mundo real se reduce a resolver varios tipos de ecuaciones. Al dominar las formas de resolverlos, encontramos respuestas a diversas cuestiones de la ciencia y la tecnología (transporte, agricultura, industria, comunicaciones, etc.).

En este ensayo me gustaría mostrar fórmulas y métodos para resolver varias ecuaciones. Para ello se dan ecuaciones que no se estudian en el currículo escolar. Se trata principalmente de ecuaciones de naturaleza particular y ecuaciones de grados superiores. Para ampliar este tema, se dan pruebas de estas fórmulas.

Objetivos de nuestro ensayo:

Mejorar las habilidades para resolver ecuaciones.

Desarrollar nuevas formas de resolver ecuaciones.

Aprenda algunas formas y fórmulas nuevas para resolver estas ecuaciones.

El objeto de estudio es el álgebra elemental. El objeto de estudio son las ecuaciones. La elección de este tema se basó en el hecho de que las ecuaciones se incluyen tanto en el plan de estudios de primaria como en cada grado posterior de las escuelas secundarias, liceos y universidades. Muchos problemas geométricos, problemas de física, química y biología se resuelven mediante ecuaciones. Las ecuaciones se resolvieron hace veinticinco siglos. Todavía se están creando hoy en día, tanto para su uso en el proceso educativo como para exámenes competitivos en universidades y olimpíadas del más alto nivel.

Capítulo 1. Historia de las ecuaciones cuadráticas y de orden superior.

1.1 Ecuaciones en la antigua Babilonia

El álgebra surgió en relación con la resolución de diversos problemas utilizando ecuaciones. Normalmente, los problemas requieren encontrar una o más incógnitas, y al mismo tiempo conocer los resultados de algunas acciones realizadas sobre las cantidades deseadas y dadas. Estos problemas se reducen a resolver una o un sistema de varias ecuaciones, a encontrar las necesarias mediante operaciones algebraicas con cantidades determinadas. El álgebra estudia las propiedades generales de las operaciones sobre cantidades.

Algunas técnicas algebraicas para resolver ecuaciones lineales y cuadráticas se conocían hace 4000 años en la antigua Babilonia. La necesidad de resolver ecuaciones no solo de primer, sino también de segundo grado, incluso en la antigüedad, surgió de la necesidad de resolver problemas relacionados con la búsqueda de áreas de terrenos y obras terrestres de carácter militar, así como con el desarrollo de la astronomía y las propias matemáticas. Como se mencionó anteriormente, los babilonios pudieron resolver ecuaciones cuadráticas alrededor del año 2000 a.C. Utilizando la notación algebraica moderna, podemos decir que en sus textos cuneiformes aparecen ecuaciones cuadráticas tanto incompletas como completas.

La regla para resolver estas ecuaciones, expuesta en los textos babilónicos, coincide esencialmente con las modernas, pero no se sabe cómo llegaron los babilonios a esta regla. Casi todos los textos cuneiformes encontrados hasta ahora sólo proporcionan problemas con soluciones presentadas en forma de recetas, sin indicación de cómo fueron encontrados.

A pesar del alto nivel de desarrollo del álgebra en Babilonia, los textos cuneiformes carecen del concepto de número negativo y de métodos generales para resolver una ecuación cuadrática.

1.2 ecuaciones árabes

Los árabes desarrollaron algunos métodos para resolver ecuaciones cuadráticas y de orden superior. Así, el famoso matemático árabe Al-Khorezmi en su libro “Al-Jabar” describió muchas formas de resolver diversas ecuaciones. Su peculiaridad era que Al-Khorezmi utilizaba radicales complejos para encontrar las raíces (soluciones) de las ecuaciones. La necesidad de resolver tales ecuaciones surgió en cuestiones sobre la división de la herencia.

1.3 Ecuaciones en la India

En la India también se resolvieron ecuaciones cuadráticas. Los problemas sobre ecuaciones cuadráticas ya se encuentran en el tratado astronómico "Aryabhattiam", compilado en 499 por el matemático y astrónomo indio Aryabhatta. Otro científico indio, Brahmagupta (siglo VII), estableció una regla general para resolver ecuaciones cuadráticas reducidas a una única forma cónica:

aх² + bx= c, donde a > 0

En esta ecuación, los coeficientes, excepto a, pueden ser negativos. El gobierno de Brahmagupta es esencialmente el mismo que el nuestro.

En la antigua India, eran comunes los concursos públicos para resolver problemas difíciles. Uno de los antiguos libros indios dice lo siguiente sobre tales competencias: “Así como el sol eclipsa a las estrellas con su brillo, así un hombre erudito eclipsará la gloria de otro en asambleas públicas, proponiendo y resolviendo problemas algebraicos”. Los problemas se presentaban a menudo en forma poética.

Nuestros ancestros lejanos resolvieron varias ecuaciones, tanto cuadráticas como de grados superiores. Estas ecuaciones fueron resueltas en países muy diferentes y lejanos. La necesidad de ecuaciones era grande. Las ecuaciones se utilizaron en la construcción, en asuntos militares y en situaciones cotidianas.

Capítulo 2. Ecuaciones cuadráticas y ecuaciones de orden superior.

2.1 Conceptos básicos

Una ecuación cuadrática es una ecuación de la forma

donde los coeficientes a, b, c son números reales cualesquiera y a ≠ 0.

Una ecuación cuadrática se dice reducida si su coeficiente principal es 1.

Ejemplo :

x2 + 2x + 6 = 0.

Una ecuación cuadrática se dice no reducida si el coeficiente principal es diferente de 1.

Ejemplo :

2x 2 + 8x + 3 = 0.

Una ecuación cuadrática completa es una ecuación cuadrática en la que los tres términos están presentes; en otras palabras, es una ecuación en la que los coeficientes b y c son distintos de cero.

Ejemplo :

3x 2 + 4x + 2 = 0.

Una ecuación cuadrática incompleta es una ecuación cuadrática en la que al menos un coeficiente b, c es igual a cero.

Por tanto, existen tres tipos de ecuaciones cuadráticas incompletas:

1) ax² = 0 (tiene dos raíces coincidentes x = 0).

2) ax² + bx = 0 (tiene dos raíces x 1 = 0 y x 2 = -)

Ejemplo :

x1 = 0, x2 = -5.

Respuesta: x 1 = 0, x 2 = -5.

Si -<0 - уравнение не имеет корней.

Ejemplo :

Respuesta: La ecuación no tiene raíces.

Si –> 0, entonces x 1,2 = ±

Ejemplo :

Respuesta: x 1,2 =±

Cualquier ecuación cuadrática se puede resolver usando el discriminante (b² - 4ac). Por lo general, la expresión b² - 4ac se denota con la letra D y se denomina discriminante de la ecuación cuadrática ax² + bx + c = 0 (o discriminante del término cuadrático triple ax² + bx + c)

Ejemplo :

x2 +14x – 23 = 0

D = b 2 – 4ac = 144 + 92 = 256

x2 =

Respuesta: x 1 = 1, x 2 = - 15.

Dependiendo del discriminante, la ecuación puede tener o no solución.

1) Si D< 0, то не имеет решения.

2) Si D = 0, entonces la ecuación tiene dos soluciones coincidentes x 1,2 =

3) Si D > 0, entonces tiene dos soluciones encontradas según la fórmula:

x 1,2 =

2.2 Fórmulas para coeficiente par en x

Estamos acostumbrados al hecho de que las raíces de una ecuación cuadrática

ax² + bx + c = 0 se encuentran mediante la fórmula

x 1,2 =

Pero los matemáticos nunca dejarán pasar la oportunidad de facilitar sus cálculos. Descubrieron que esta fórmula se puede simplificar en el caso en que el coeficiente b sea b = 2k, en particular si b es un número par.

De hecho, sea el coeficiente b de la ecuación cuadrática ax² + bx + c = 0 b = 2k. Sustituyendo el número 2k en lugar de b en nuestra fórmula, obtenemos:

Entonces, las raíces de la ecuación cuadrática ax² + 2kx + c = 0 se pueden calcular usando la fórmula:

x 1,2 =

Ejemplo :

5x 2 - 2x + 1 = 0

La ventaja de esta fórmula es que no se eleva al cuadrado el número b, sino su mitad, no se resta 4ac de este cuadrado, sino simplemente ac, y, finalmente, que el denominador no contiene 2a, sino simplemente a; .

Si se reduce la ecuación cuadrática, entonces nuestra fórmula se verá así:

Ejemplo :

x2 – 4x + 3 = 0

Respuesta: x1 = 3, x2 = 1.

2.3 teorema de Vieta

El matemático francés Francois Viète descubrió una propiedad muy interesante de las raíces de una ecuación cuadrática. Esta propiedad se llamó teorema de Vieta:

Entonces los números x 1 y x 2 son las raíces de la ecuación:

ax² + bx + c = 0

es necesario y suficiente para cumplir la igualdad

x 1 + x 2 = -b/a y x 1 x 2 = c/a

El teorema de Vieta nos permite juzgar los signos y el valor absoluto de una ecuación cuadrática

x² + bx + c = 0

1. Si b>0, c>0 entonces ambas raíces son negativas.

2. Si b<0, c>0 entonces ambas raíces son positivas.

3. Si b>0, c<0 то уравнение имеет корни разных знаков, причём отрицательный корень по абсолютной величине больше положительного.

4. Si b<0, c<0 то уравнение имеет корни разных знаков, причём отрицательный корень по абсолютной величине меньше положительного.

2.4 Ecuaciones cuadráticas de naturaleza particular

1) Si a + b + c = 0 en la ecuación ax² + bx + c = 0, entonces

x1 = 1 y x2 = .

Prueba :

En la ecuación ax² + bx + c = 0, sus raíces

x 1,2 = (1).

Representemos b a partir de la igualdad a + b + c = 0

Sustituyamos esta expresión en la fórmula (1):

=

Si consideramos las dos raíces de la ecuación por separado, obtenemos:

1) x 1 =

2) x 2 =

Se deduce: x 1 = 1, y x 2 =.

1. Ejemplo :

2x² - 3x + 1 = 0

a = 2, b = -3, c = 1.

a + b + c = 0, por lo tanto

2. Ejemplo :

418x² - 1254x + 836 = 0

Este ejemplo es muy difícil de resolver usando un discriminante, pero conociendo la fórmula anterior se puede resolver fácilmente.

a = 418, b = -1254, c = 836.

x 1 = 1 x 2 = 2

2) Si a - b + c = 0, en la ecuación ax² + bx + c = 0, entonces:

x 1 = -1 y x 2 = -.

Prueba :

Considere la ecuación ax² + bx + c = 0, se deduce que:

x 1,2 = (2).

Representemos b a partir de la igualdad a - b + c = 0

b = a + c, sustituir en la fórmula (2):

=

Obtenemos dos expresiones:

1) x 1 =

2) x 2 =

Esta fórmula es similar a la anterior, pero también es importante porque... Los ejemplos de este tipo son comunes.

1) Ejemplo :

2x² + 3x + 1 = 0

a = 2, b = 3, c = 1.

a - b + c = 0, por lo tanto

2)Ejemplo :

Respuesta:x1 = -1; x2 = -

3) Método “ transferencias ”

Las raíces de las ecuaciones cuadráticas y² + by + ac = 0 y ax² + bx + c = 0 están relacionadas por las siguientes relaciones:

x 1 = y x 2 =

Prueba :

a) Considere la ecuación ax² + bx + c = 0

x 1,2 = =

b) Considere la ecuación y² + by + ac = 0

y 1,2 =

Tenga en cuenta que los discriminantes de ambas soluciones son iguales; comparemos las raíces de estas dos ecuaciones. Se diferencian entre sí por un factor principal, las raíces de la primera ecuación son menores que las raíces de la segunda en a. Utilizando el teorema de Vieta y la regla anterior, no es difícil resolver varias ecuaciones.

Ejemplo :

Tenemos una ecuación cuadrática arbitraria.

10x² - 11x + 3 = 0

Transformemos esta ecuación de acuerdo con la regla dada.

y² - 11y + 30 = 0

Obtenemos la ecuación cuadrática reducida, que se puede resolver con bastante facilidad utilizando el teorema de Vieta.

Sean y 1 e y 2 las raíces de la ecuación y² - 11y + 30 = 0

y 1 y 2 = 30 y 1 = 6

y 1 + y 2 = 11 y 2 = 5

Sabiendo que las raíces de estas ecuaciones difieren entre sí en a, entonces

x1 = 6/10 = 0,6

x2 = 5/10 = 0,5

En algunos casos, es conveniente resolver primero no la ecuación dada ax² + bx + c = 0, sino la y² + by + ac = 0 reducida, que se obtiene a partir del coeficiente de “transferencia” a, y luego dividir el resultado encontrado. raíces por a para encontrar la ecuación original.

2.5 Fórmula de Vieta para polinomios (ecuaciones) de grados superiores

Las fórmulas derivadas por Viète para ecuaciones cuadráticas también son válidas para polinomios de grados superiores.

Deja que el polinomio

P(x) = a 0 x n + a 1 x n -1 + … +a n

Tiene n raíces diferentes x 1, x 2..., x n.

En este caso tiene una factorización de la forma:

a 0 x n + a 1 x n-1 +…+ a n = a 0 (x – x 1)(x – x 2)…(x – x n)

Dividamos ambos lados de esta igualdad por a 0 ≠ 0 y abramos los corchetes en la primera parte. Obtenemos la igualdad:

x n + ()x n -1 + … + () = x n – (x 1 + x 2 + … + x n) x n -1 + (x 1 x 2 + x 2 x 3 + … + x n -1 x n)x n - 2 + … +(-1) n x 1 x 2 … x n

Pero dos polinomios son idénticamente iguales si y sólo si los coeficientes de las mismas potencias son iguales. De ello se deduce que la igualdad

x 1 + x 2 + … + x norte = -

x 1 x 2 + x 2 x 3 + … + x n -1 x n =

x 1 x 2 … x n = (-1) n

Por ejemplo, para polinomios de tercer grado.

un 0 x³ + un 1 x² + un 2 x + un 3

tenemos identidades

x1 + x2 + x3 = -

x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 =

x 1 x 2 x 3 = -

Al igual que ocurre con las ecuaciones cuadráticas, esta fórmula se llama fórmula de Vieta. Los lados izquierdos de estas fórmulas son polinomios simétricos de las raíces x 1, x 2 ..., x n de esta ecuación, y los lados derechos se expresan mediante el coeficiente del polinomio.

2.6 Ecuaciones reducibles a cuadráticas (bicuadráticas)

Las ecuaciones de cuarto grado se reducen a ecuaciones cuadráticas:

hacha 4 + bx 2 + c = 0,

llamado bicuadrático, y a ≠ 0.

Basta con poner x 2 = y en esta ecuación, por lo tanto,

ay² + por + c = 0

Encontremos las raíces de la ecuación cuadrática resultante.

y 1,2 =

Para encontrar inmediatamente las raíces x 1, x 2, x 3, x 4, reemplace y con x y obtenga

x² =

x 1,2,3,4 = .

Si una ecuación de cuarto grado tiene x 1, entonces también tiene una raíz x 2 = -x 1,

Si tiene x 3, entonces x 4 = - x 3. La suma de las raíces de tal ecuación es cero.

Ejemplo :

2x 4 - 9x² + 4 = 0

Sustituyamos la ecuación en la fórmula de las raíces de ecuaciones bicuadráticas:

x 1,2,3,4 = ,

sabiendo que x 1 = -x 2 y x 3 = -x 4, entonces:

x 3,4 =

Respuesta: x 1,2 = ±2; x 1,2 =

2.7 Estudio de ecuaciones bicuadráticas

Tomemos la ecuación bicuadrática

hacha 4 + bx 2 + c = 0,

donde a, b, c son números reales y a > 0. Al introducir la incógnita auxiliar y = x², examinamos las raíces de esta ecuación e ingresamos los resultados en la tabla (ver Apéndice No. 1)

2.8 Fórmula Cardano

Si utilizamos el simbolismo moderno, la derivación de la fórmula Cardano puede verse así:

x =

Esta fórmula determina las raíces de una ecuación general de tercer grado:

hacha 3 + 3bx 2 + 3cx + d = 0.

Esta fórmula es muy engorrosa y compleja (contiene varios radicales complejos). No siempre se aplicará, porque... muy difícil de llenar.

2.9 Ecuaciones simétricas de tercer grado

Las ecuaciones simétricas de tercer grado son ecuaciones de la forma

ax³ + bx² +bx + a = 0 ( 1 )

ax³ + bx² - bx – a = 0 ( 2 )

donde a y b son números dados, con a¹0.

Demostremos cómo la ecuación ( 1 ).

ax³ + bx² + bx + a = a(x³ + 1) + bx(x + 1) = a(x + 1) (x² - x + 1) + bx(x + 1) = (x + 1) (ax² +(b – a)x + a).

Encontramos que la ecuación ( 1 ) es equivalente a la ecuación

(x + 1) (ax² +(b – a)x + a) = 0.

Esto significa que sus raíces serán las raíces de la ecuación.

ax² +(b – a)x + a = 0

y número x = -1

la ecuacion ( 2 )

ax³ + bx² - bx - a = a(x³ - 1) + bx(x - 1) = a(x - 1) (x² + x + 1) + bx(x - 1) = (x - 1) (ax 2 + hacha + a + bx) = (x - 1) (ax² +(b + a)x + a).

1) Ejemplo :

2x³ + 3x² - 3x – 2 = 0

Está claro que x 1 = 1, y

x 2 y x 3 raíces de la ecuación 2x² + 5x + 2 = 0,

Encontrémoslos a través del discriminante:

x 1,2 =

x2 = -, x3 = -2

2) Ejemplo :

5x³ + 21x² + 21x + 5 = 0

Está claro que x 1 = -1, y

x 2 y x 3 raíces de la ecuación 5x² + 26x + 5 = 0,

Encontrémoslos a través del discriminante:

x 1,2 =

x2 = -5, x3 = -0,2.

2.10 Ecuaciones recíprocas

Ecuación recíproca – ecuación algebraica

a 0 x n + a 1 x n – 1 + … + a n – 1 x + a n =0,

en el que a k = a n – k, donde k = 0, 1, 2…n, y a ≠ 0.

El problema de encontrar las raíces de una ecuación recíproca se reduce al problema de encontrar soluciones a una ecuación algebraica de menor grado. El término ecuaciones recíprocas fue introducido por L. Euler.

Ecuación de cuarto grado de la forma:

hacha 4 + bx 3 + cx 2 + bmx + am² = 0, (a ≠ 0).

Reduciendo esta ecuación a la forma

a (x² + m²/x²) + b(x + m/x) + c = 0, e y = x + m/x e y² - 2m = x² + m²/x²,

desde donde la ecuación se reduce a cuadrática

ay² + por + (c-2am) = 0.

3x 4 + 5x 3 – 14x 2 – 10x + 12 = 0

Dividiéndolo por x 2 da la ecuación equivalente

3x 2 + 5x – 14 – 5 ×, o

Dónde y

3(y 2 - 4) + 5y – 14 = 0, de donde

y 1 = y 2 = -2, por lo tanto

Y donde

Respuesta: x 1,2 = x 3,4 = .

Un caso especial de ecuaciones recíprocas son las ecuaciones simétricas. Hablamos antes de ecuaciones simétricas de tercer grado, pero existen ecuaciones simétricas de cuarto grado.

Ecuaciones simétricas de cuarto grado.

1) Si m = 1, entonces esta es una ecuación simétrica del primer tipo, que tiene la forma

ax 4 + bx 3 + cx 2 + bx + a = 0 y resuelto mediante una nueva sustitución

2) Si m = -1, entonces esta es una ecuación simétrica del segundo tipo, que tiene la forma

ax 4 + bx 3 + cx 2 - bx + a = 0 y resuelto mediante una nueva sustitución

2.11 Circuito de Horner

Para dividir polinomios se utiliza la regla de la “división por ángulo”, o esquema de Horner. . Para ello, los polinomios se ordenan en grados descendentes. X y encuentre el término principal del cociente Q(x) a partir de la condición de que al multiplicarlo por el término principal del divisor D(x), se obtenga el término principal del dividendo P(x). El término encontrado del cociente se multiplica, luego por el divisor y se resta del dividendo. El término principal del cociente se determina a partir de la condición de que, cuando se multiplica por el término principal del divisor, da el término principal del polinomio en diferencias, etc. El proceso continúa hasta que el grado de la diferencia es menor que el grado del divisor (ver Apéndice No. 2).

En el caso de las ecuaciones R = 0, este algoritmo se reemplaza por el esquema de Horner.

Ejemplo :

x 3 + 4 x 2 + x – 6 = 0

Encuentra los divisores del término libre ±1; ±2; ±3; ± 6.

Denotemos el lado izquierdo de la ecuación por f(x). Obviamente, f(1) = 0, x1 = 1. Divida f(x) entre x – 1. (ver Apéndice No. 3)

x 3 + 4x 2 + x – 6 = (x – 1) (x 2 + 5x + 6)

Denotamos el último factor por Q(x). Resolvemos la ecuación Q(x) = 0.

x 2,3 =

Respuesta : 1; -2; -3.

En este capítulo, hemos dado algunas fórmulas para resolver varias ecuaciones. La mayoría de estas fórmulas para resolver ecuaciones parciales. Estas propiedades son muy convenientes porque es mucho más fácil resolver ecuaciones usando una fórmula separada para esta ecuación, en lugar de usar el principio general. Hemos proporcionado una prueba y varios ejemplos para cada método.

Conclusión

El primer capítulo examinó la historia del surgimiento de ecuaciones cuadráticas y ecuaciones de orden superior. Hace más de 25 siglos se resolvieron varias ecuaciones. En Babilonia, India, se crearon muchos métodos para resolver este tipo de ecuaciones. Ha habido y seguirá habiendo una necesidad de ecuaciones.

El segundo capítulo proporciona varias formas de resolver (encontrar raíces) ecuaciones cuadráticas y ecuaciones de orden superior. Básicamente, estos son métodos para resolver ecuaciones de una naturaleza particular, es decir, para cada grupo de ecuaciones unidas por algunas propiedades o tipos comunes, se da una regla especial que se aplica solo a este grupo de ecuaciones. Este método (seleccionar tu propia fórmula para cada ecuación) es mucho más fácil que encontrar raíces mediante un discriminante.

En este resumen, se lograron todos los objetivos y se completaron las tareas principales, se probaron y aprendieron nuevas fórmulas previamente desconocidas. Trabajamos con muchos ejemplos de ejemplos antes de incluirlos en el resumen, por lo que ya tenemos una idea de cómo resolver algunas ecuaciones. Cada solución nos será útil en estudios posteriores. Este ensayo ayudó a clasificar conocimientos antiguos y aprender otros nuevos.

Bibliografía

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9. Sharygin I.F. “Curso optativo de álgebra”, M., 1989.

Anexo 1

Estudio de ecuaciones bicuadráticas.

Apéndice 2

Dividir un polinomio en un polinomio usando una esquina

Apéndice 3

Esquema de Horner

 Representantes de diversas civilizaciones: el Antiguo Egipto, la Antigua Babilonia, la Antigua Grecia, la Antigua India, la Antigua China, el Oriente medieval y Europa dominaron las técnicas para resolver ecuaciones cuadráticas.

Por primera vez, los matemáticos del Antiguo Egipto pudieron resolver una ecuación cuadrática. Uno de los papiros matemáticos contiene el siguiente problema:

"Encuentra los lados de un campo con forma de rectángulo si su área es 12 y su longitud es igual a su ancho". "La longitud del campo es 4", afirma el papiro.

Pasaron milenios y los números negativos entraron en el álgebra. Resolviendo la ecuación x²= 16, obtenemos dos números: 4, –4.

Por supuesto, en el problema egipcio tomaríamos X = 4, ya que la longitud del campo sólo puede ser una cantidad positiva.

Las fuentes que nos han llegado indican que los científicos antiguos tenían algunas técnicas generales para resolver problemas con cantidades desconocidas. La regla para resolver ecuaciones cuadráticas establecida en los textos babilónicos es esencialmente la misma que la moderna, pero no se sabe cómo los babilonios “llegaron tan lejos”. Pero en casi todos los papiros y textos cuneiformes encontrados sólo se dan problemas con soluciones. Los autores sólo ocasionalmente proporcionaron sus cálculos numéricos con comentarios breves como: “¡Mira!”, “¡Haz esto!”, “¡Encontraste el correcto!”

El matemático griego Diofanto compuso y resolvió ecuaciones cuadráticas. Su Aritmética no contiene una presentación sistemática del álgebra, pero sí una serie sistemática de problemas, acompañados de explicaciones y resueltos mediante la construcción de ecuaciones de varios grados.

Los problemas para componer ecuaciones cuadráticas ya se encuentran en el tratado astronómico "Aria-bhatiam", compilado en 499 por el matemático y astrónomo indio Aryabhatta.

Otro científico indio, Brahmagupta (siglo VII), describió la regla general para resolver ecuaciones cuadráticas de la forma ax² + bx = c.

​ En la antigua India, eran comunes los concursos públicos para resolver problemas difíciles. Uno de los antiguos libros indios sobre tales competiciones dice lo siguiente: “Así como el sol eclipsa a las estrellas con su brillo, así un hombre erudito eclipsará la gloria de otro en asambleas públicas, proponiendo y resolviendo problemas algebraicos”. Los problemas se presentaban a menudo en forma poética.

Éste es uno de los problemas del famoso matemático indio del siglo XII. Bhaskars:

Una bandada de monos juguetones

Después de haber comido hasta saciarme, me divertí.

Los ocho jugaban en el claro de la plaza.

Y doce sobre las lianas... empezaron a saltar, colgando...​

¿Cuántos monos había?

Dime, ¿en este paquete?

​ La solución de Bhaskara muestra que sabía que las raíces de ecuaciones cuadráticas tienen dos valores.

 Los textos matemáticos chinos más antiguos que nos han llegado se remontan a finales del siglo I. ANTES DE CRISTO. En el siglo II. ANTES DE CRISTO. Se escribió Matemáticas en nueve libros. Más tarde, en el siglo VII, se incluyó en la colección "Diez tratados clásicos", que fue estudiada durante muchos siglos. Matemáticas en Nueve Libros explica cómo encontrar la raíz cuadrada usando la fórmula para el cuadrado de la suma de dos números.

El método se llamaba "tian-yuan" (literalmente "elemento celestial"); así es como los chinos designaban una cantidad desconocida.​

 El primer manual para la resolución de problemas que se hizo ampliamente conocido fue obra del científico de Bagdad del siglo IX. Muhammad bin Musa al-Khwarizmi. La palabra "al-jabr" con el tiempo se convirtió en la conocida palabra "álgebra", y el trabajo de al-Khorezmi se convirtió en el punto de partida en el desarrollo de la ciencia de la resolución de ecuaciones. El tratado algebraico de Al-Khwarizmi ofrece una clasificación de ecuaciones lineales y cuadráticas. El autor cuenta seis tipos de ecuaciones, expresándolas de la siguiente manera:

-cuadrados de raíces iguales, es decir, ah ² = bх;

-cuadrados igual número, es decir, ah ² = s;

-las raíces son iguales al número, es decir, ax = c;

-los cuadrados y los números son iguales a las raíces, es decir, ah ²+ с = bх;

-los cuadrados y las raíces son iguales al número, es decir, ah ² + bх = с;

-las raices y los numeros son iguales a los cuadrados, es decir, bx + c = ax ²;

El tratado de Al-Khwarizmi es el primer libro que nos ha llegado y que establece sistemáticamente la clasificación de las ecuaciones cuadráticas y proporciona fórmulas para su solución.

Las fórmulas para resolver ecuaciones cuadráticas inspiradas en al-Khwarizmi en Europa se establecieron por primera vez en el Libro del Ábaco, escrito en 1202 por el matemático italiano Leonardo Fibonacci. El autor desarrolló de forma independiente algunos ejemplos algebraicos nuevos de resolución de problemas y fue el primero en Europa en introducir números negativos. Su libro contribuyó a la difusión del conocimiento algebraico no sólo en Italia, sino también en Alemania, Francia y otros países europeos. Muchos problemas del "Libro del Ábaco" se incluyeron en casi todos los libros de texto europeos de los siglos XVI y XVII. y parte del siglo XVIII.

Regla general para resolver ecuaciones cuadráticas reducidas a una única forma canónica x ² + bх = с, para todas las combinaciones posibles de signos de los coeficientes by с fue formulado en Europa recién en 1544 por M. Stiefel.

Vieta tiene una derivación general de la fórmula para resolver una ecuación cuadrática, pero también reconoció solo raíces positivas. Los matemáticos italianos Tartaglia, Cardano, Bombelli estuvieron entre los primeros en el siglo XVI. Además de las raíces positivas y negativas, se tienen en cuenta. Sólo en el siglo XVII, gracias a los trabajos de Girard, Descartes, Newton y otros científicos, el método de resolución de ecuaciones cuadráticas adquirió su forma moderna.

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1.1. De la historia del surgimiento de ecuaciones cuadráticas.

El álgebra surgió en relación con la resolución de diversos problemas utilizando ecuaciones. Normalmente, los problemas requieren encontrar una o más incógnitas, y al mismo tiempo conocer los resultados de algunas acciones realizadas sobre las cantidades deseadas y dadas. Estos problemas se reducen a resolver una o un sistema de varias ecuaciones, a encontrar las necesarias mediante operaciones algebraicas con cantidades determinadas. El álgebra estudia las propiedades generales de las operaciones sobre cantidades.

Algunas técnicas algebraicas para resolver ecuaciones lineales y cuadráticas se conocían hace 4000 años en la antigua Babilonia.

Ecuaciones cuadráticas en la antigua Babilonia

La necesidad de resolver ecuaciones no solo de primer, sino también de segundo grado, incluso en la antigüedad, se debió a la necesidad de resolver problemas relacionados con la búsqueda de áreas de terrenos y con trabajos de excavación de carácter militar, así como como ocurre con el desarrollo de la astronomía y las propias matemáticas. Los babilonios pudieron resolver ecuaciones cuadráticas alrededor del año 2000 a.C. Utilizando la notación algebraica moderna, podemos decir que en sus textos cuneiformes existen, además de incompletas, como, por ejemplo, ecuaciones cuadráticas completas:

La regla para resolver estas ecuaciones, expuesta en los textos babilónicos, coincide esencialmente con la moderna, pero no se sabe cómo llegaron los babilonios a esta regla. Casi todos los textos cuneiformes encontrados hasta ahora sólo proporcionan problemas con soluciones presentadas en forma de recetas, sin indicación de cómo fueron encontrados. A pesar del alto nivel de desarrollo del álgebra en Babilonia, los textos cuneiformes carecen del concepto de número negativo y de métodos generales para resolver ecuaciones cuadráticas.

La Aritmética de Diofanto no contiene una presentación sistemática del álgebra, pero sí una serie sistemática de problemas, acompañados de explicaciones y resueltos mediante la construcción de ecuaciones de varios grados.

Al componer ecuaciones, Diofanto selecciona hábilmente incógnitas para simplificar la solución.

Aquí, por ejemplo, está una de sus tareas.

Problema 2. "Encuentra dos números, sabiendo que su suma es 20 y su producto es 96".

Diofanto razona de la siguiente manera: de las condiciones del problema se deduce que los números requeridos no son iguales, ya que si fueran iguales, entonces su producto no sería igual a 96, sino a 100. Así, uno de ellos será mayor que la mitad de su suma, es decir 10 + x. El otro es menor, es decir, 10 - x. La diferencia entre ellos es 2x. De ahí la ecuación:

(10+x)(10-x) =96,

Por tanto, x = 2. Uno de los números requeridos es 12, el otro es 8. La solución x = - 2 no existe para Diofanto, ya que las matemáticas griegas sólo conocían números positivos.

Si resuelves este problema eligiendo uno de los números requeridos como incógnita, puedes llegar a una solución a la ecuación:

Está claro que al elegir la media diferencia de los números requeridos como incógnita, Diofanto simplifica la solución; logra reducir el problema a resolver una ecuación cuadrática incompleta.

Ecuaciones cuadráticas en India

Los problemas sobre ecuaciones cuadráticas ya se encuentran en el tratado astronómico "Aryabhattiam", compilado en 499 por el matemático y astrónomo indio Aryabhatta. Otro científico indio, Brahmagupta (siglo VII), esbozó una regla general para resolver ecuaciones cuadráticas reducidas a una única forma canónica:

hacha 2 + bx = c, a> 0. (1)

En la ecuación (1), los coeficientes también pueden ser negativos. El gobierno de Brahmagupta es esencialmente el mismo que el nuestro.

En la India eran comunes los concursos públicos para resolver problemas difíciles. Uno de los antiguos libros indios dice lo siguiente sobre tales competencias: “Así como el sol eclipsa a las estrellas con su brillo, así un hombre erudito eclipsará su gloria en las asambleas públicas al proponer y resolver problemas algebraicos”. Los problemas se presentaban a menudo en forma poética.

Éste es uno de los problemas del famoso matemático indio del siglo XII. Bhaskars.

La solución de Bhaskara indica que el autor sabía que las raíces de ecuaciones cuadráticas tienen dos valores.

La ecuación correspondiente al problema 3 es:

Bhaskara escribe bajo el pretexto:

x2 - 64x = - 768

y, para completar el lado izquierdo de esta ecuación hasta un cuadrado, suma 32 2 a ambos lados, obteniendo luego:

x 2 - b4x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x1 = 16, x2 = 48.

Ecuaciones cuadráticas de Al-Khwarizmi

El tratado algebraico de Al-Khwarizmi ofrece una clasificación de ecuaciones lineales y cuadráticas. El autor cuenta 6 tipos de ecuaciones, expresándolas de la siguiente manera:

1) “Los cuadrados son iguales a las raíces”, es decir, ax 2 = bx.

2) “Los cuadrados son iguales a los números”, es decir, ax 2 = c.

3) “Las raíces son iguales al número”, es decir, ax = c.

4) “Los cuadrados y los números son iguales a las raíces”, es decir, ax 2 + c = bx.

5) “Los cuadrados y las raíces son iguales al número”, es decir, ax 2 + bx = c.

6) “Las raíces y los números son iguales a los cuadrados”, es decir, bx + c == ax 2.

Para Al-Khwarizmi, que evitó el uso de números negativos, los términos de cada una de estas ecuaciones son sumandos y no restables. En este caso, obviamente no se tienen en cuenta las ecuaciones que no tienen soluciones positivas. El autor expone métodos para resolver estas ecuaciones utilizando las técnicas de al-jabr y al-mukabal. Su decisión, por supuesto, no coincide del todo con la nuestra. Sin mencionar que es puramente retórico, cabe señalar, por ejemplo, que al resolver una ecuación cuadrática incompleta del primer tipo, Al-Khorezmi, como todos los matemáticos hasta el siglo XVII, no tiene en cuenta la solución cero, Probablemente porque en la práctica específica no importa en las tareas. Al resolver ecuaciones cuadráticas completas, Al-Khwarizmi establece las reglas para resolverlas usando ejemplos numéricos particulares y luego sus demostraciones geométricas.

Pongamos un ejemplo.

Problema 4. “El cuadrado y el número 21 son iguales a 10 raíces. Encuentra la raíz” (es decir, la raíz de la ecuación x 2 + 21 = 10x).

Solución: divide el número de raíces por la mitad, obtienes 5, multiplica 5 por sí mismo, resta 21 del producto, lo que queda es 4. Saca la raíz de 4, obtienes 2. Resta 2 de 5, obtienes 3, esto será la raíz que estás buscando. O suma 2 a 5, lo que da 7, esto también es una raíz.

El tratado de Al-Khorezmi es el primer libro que nos ha llegado y que establece sistemáticamente la clasificación de ecuaciones cuadráticas y proporciona fórmulas para su solución.

Ecuaciones cuadráticas en Europa en los siglos XII-XVII.

Las formas para resolver ecuaciones cuadráticas siguiendo el modelo de Al-Khwarizmi en Europa se establecieron por primera vez en el "Libro del Ábaco", escrito en 1202. El matemático italiano Leonard Fibonacci. El autor desarrolló de forma independiente algunos ejemplos algebraicos nuevos de resolución de problemas y fue el primero en Europa en abordar la introducción de números negativos.

Este libro contribuyó a la difusión del conocimiento algebraico no sólo en Italia, sino también en Alemania, Francia y otros países europeos. Muchos problemas de este libro se utilizaron en casi todos los libros de texto europeos de los siglos XIV al XVII. La regla general para resolver ecuaciones cuadráticas reducidas a una única forma canónica x 2 + bх = с para todas las combinaciones posibles de signos y coeficientes b, c fue formulada en Europa en 1544 por M. Stiefel.

La derivación de la fórmula para resolver una ecuación cuadrática en forma general está disponible en Vieth, pero Vieth sólo reconoció raíces positivas. Los matemáticos italianos Tartaglia, Cardano, Bombelli estuvieron entre los primeros en el siglo XVI. Además de las positivas, también se tienen en cuenta las raíces negativas. Sólo en el siglo XVII. Gracias a los trabajos de Girard, Descartes, Newton y otros científicos, el método de resolución de ecuaciones cuadráticas adquiere una forma moderna.

Los orígenes de los métodos algebraicos para resolver problemas prácticos están asociados con la ciencia del mundo antiguo. Como se sabe por la historia de las matemáticas, una parte importante de los problemas matemáticos resueltos por los escribas y calculadores egipcios, sumerios y babilónicos (siglos XX-VI aC) eran de carácter calculador. Sin embargo, incluso entonces, de vez en cuando surgían problemas en los que el valor deseado de una cantidad estaba especificado por ciertas condiciones indirectas que, desde nuestro punto de vista moderno, requerían la composición de una ecuación o sistema de ecuaciones. Inicialmente, se utilizaron métodos aritméticos para resolver este tipo de problemas. Posteriormente, comenzaron a formarse los inicios de los conceptos algebraicos. Por ejemplo, los calculadores babilónicos pudieron resolver problemas que, desde el punto de vista de la clasificación moderna, pueden reducirse a ecuaciones de segundo grado. Se creó un método para la resolución de problemas planteados, que luego sirvió de base para aislar el componente algebraico y su estudio independiente.

Este estudio fue llevado a cabo en otra época, primero por matemáticos árabes (siglos VI-X d.C.), quienes identificaron acciones características mediante las cuales las ecuaciones se llevaban a una forma estándar: traer términos similares, transferir términos de una parte de la ecuación a otra con un cambio de signo. Y luego por los matemáticos europeos del Renacimiento, quienes, como resultado de una larga búsqueda, crearon el lenguaje del álgebra moderna, el uso de letras, la introducción de símbolos para operaciones aritméticas, paréntesis, etc. Siglos XVII. El álgebra ya estaba formada como una parte específica de las matemáticas, con su propia materia, método y áreas de aplicación. Su desarrollo posterior, hasta nuestros días, consistió en mejorar los métodos, ampliar el alcance de las aplicaciones, aclarar conceptos y sus conexiones con conceptos de otras ramas de las matemáticas.

Entonces, dada la importancia y amplitud del material relacionado con el concepto de ecuación, su estudio en los métodos matemáticos modernos se asocia con tres áreas principales de su origen y funcionamiento.

Kirill Kovalchuk

El proyecto "Ecuaciones cuadráticas a través de siglos y países" presenta a los estudiantes a los científicos matemáticos cuyos descubrimientos son la base del progreso científico y tecnológico, desarrolla el interés por las matemáticas como materia basada en el conocimiento del material histórico, amplía los horizontes de los estudiantes, estimula su actividad cognitiva y creatividad.

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Trabajo de proyecto de un estudiante de octavo grado de la escuela secundaria número 17 de la institución educativa municipal en el pueblo de Borisovka Kirill Kovalchuk Supervisor G.V.

Ecuaciones cuadráticas a través de siglos y países.

Objetivo del proyecto: familiarizar a los estudiantes con los científicos matemáticos, cuyos descubrimientos son la base del progreso científico y tecnológico. Mostrar la importancia de los trabajos de los científicos para el desarrollo de la geometría y la física.???????????? Demuestre visualmente la aplicación de los descubrimientos científicos en la vida. Desarrollar el interés por las matemáticas como materia basada en la familiaridad con el material histórico. Ampliar los horizontes de los estudiantes, estimular su actividad cognitiva y creatividad.

La necesidad de resolver ecuaciones no solo de primer grado, sino también de segundo, en la antigüedad fue causada por la necesidad de resolver problemas relacionados con la búsqueda de áreas de terrenos, con el desarrollo de la astronomía y las matemáticas. Las ecuaciones cuadráticas se pudieron resolver alrededor del año 2000 a.C. mi. Babilonios. Las reglas para resolver estas ecuaciones establecidas en los textos babilónicos son esencialmente las mismas que las modernas, pero estos textos carecen del concepto de número negativo y de métodos generales para resolver ecuaciones cuadráticas.

. (c. 365 - 300 aC) - matemático griego antiguo, autor de los primeros tratados teóricos sobre matemáticas que nos han llegado. Euclides o Euclides

Los comienzos de Euclides Donde el Nilo se fusiona con el mar, En la antigua tierra cálida de las pirámides vivió el matemático griego: el conocedor y sabio Euclides. Estudió geometría, enseñó geometría. Escribió una gran obra. El nombre de este libro es "Principios".

Euclides siglo III a.C. Euclides resolvió ecuaciones cuadráticas utilizando un método geométrico. Aquí está uno de los problemas del antiguo tratado griego: “Hay una ciudad con una frontera en forma de cuadrado con un lado de tamaño desconocido, en el centro de cada lado hay una puerta. Hay un pilar a una distancia de 20bu (1bu=1,6 m) de la puerta norte. Si caminas recto desde la puerta sur 14bu, luego giras hacia el oeste y avanzas otros 1775bu, podrás ver un pilar. La pregunta es: ¿de qué lado de la frontera de la ciudad? »

Para determinar el lado desconocido del cuadrado, obtenemos la ecuación cuadrática x ² +(k+l)x-2kd =0. En este caso, la ecuación se ve así x ² +34x-71000=0, de donde x=250bu l x d k

Ecuaciones cuadráticas en la India También se encuentran problemas sobre ecuaciones cuadráticas en el tratado astronómico “Aryabhattiam”, compilado en 499 por el matemático y astrónomo indio Aryabhatta. Otro científico indio, Brahmagupta, estableció una regla general para resolver ecuaciones cuadráticas reducidas a una única forma canónica: ax ² +bx=c , a>0 En la antigua India, eran comunes los concursos públicos para resolver problemas difíciles. Uno de los antiguos libros indios dice lo siguiente sobre tales competencias: “Así como el sol eclipsa a las estrellas con su brillo, así un hombre erudito eclipsará la gloria de otro en asambleas públicas, proponiendo y resolviendo problemas algebraicos”.

Uno de los problemas del famoso matemático indio del siglo XII, Bhaskara. Una bandada de monos juguetones, después de haber comido hasta saciarse, se divirtió. La octava parte de ellos en la plaza me estaba divirtiendo en el claro. Y doce sobre las lianas... Comenzaron a saltar colgados... ¿Cuántos monos había, dime, en esta bandada?

Solución. () 2 +12 = x, x 2 - 64x +768 = 0, a = 1, b = -64, c = 768, entonces D = (-64) 2 -4 1 768 = 1024 > 0. X 1, 2 = , x 1 = 48, x 2 = 16. Respuesta: Había 16 o 48 monos. Resolvámoslo.

La fórmula de las raíces de una ecuación cuadrática ha sido “redescubierta” varias veces. Una de las primeras derivaciones de esta fórmula que ha llegado hasta nuestros días pertenece al matemático indio Brahmagupta. El científico centroasiático al-Khwarizmi, en su tratado “Kitab al-jerb wal-mukabala”, obtuvo esta fórmula aislando un cuadrado completo.

¿Cómo resolvió al-Khorezmi esta ecuación? Escribió: “La regla es esta: duplica el número de raíces, x = 2x · 5 en este problema obtienes cinco, multiplica 5 por este igual, se convierte en veinticinco, 5 · 5 = 25 suma esto a treinta -nueve, 25 + 39 se convierte en sesenta y cuatro , 64 sacamos la raíz de esto, será ocho, 8 y restamos de esto la mitad del número de raíces, es decir, cinco, 8-5 quedarán tres - esto es y 3 será la raíz del cuadrado que estabas buscando." ¿Qué pasa con la segunda raíz? No se encontró la segunda raíz porque no se conocían los números negativos. x 2 +10 x = 39

Ecuaciones cuadráticas en Europa siglos XIII-XVII. Las fórmulas para resolver ecuaciones cuadráticas inspiradas en al-Khwarizmi en Europa se establecieron por primera vez en el “Libro del Ábaco”, escrito en 1202 por el matemático italiano Leonardo Fibonacci. Esta voluminosa obra, que refleja la influencia de las matemáticas tanto de los países islámicos como de la antigua Grecia, se distingue tanto por su integridad como por su claridad de presentación. El autor desarrolló de forma independiente algunas soluciones algebraicas nuevas a problemas y fue el primero en Europa en introducir números negativos. Su libro contribuyó a la difusión del conocimiento algebraico no sólo en Italia, sino también en Alemania, Francia y otros países europeos. Muchos problemas del Libro del Ábaco se utilizaron en casi todos los libros de texto europeos de los siglos XVI y XVII. y parcialmente 18.

Francois Viète - el mayor matemático del siglo XVI

Antes de F. Vieta, la resolución de una ecuación cuadrática se realizaba según sus propias reglas en forma de argumentos y descripciones verbales muy largas, acciones bastante engorrosas. Ni siquiera podían escribir la ecuación en sí; esto requería una descripción verbal bastante larga y compleja. Acuñó el término "coeficiente". Propuso que las cantidades requeridas se indicaran con vocales y los datos con consonantes. Gracias al simbolismo de Vieta, podemos escribir la ecuación cuadrática de la forma: ax 2 + bx + c =0. Teorema: La suma de las raíces de la ecuación cuadrática dada es igual al segundo coeficiente tomado con el signo opuesto, y el producto de las raíces es igual al término libre. A pesar de que este teorema se llama “teorema de Vieta”, ya lo conocía antes y sólo lo transformó a su forma moderna. A Vieta se le llama el "padre del álgebra".

La humanidad ha recorrido un largo camino desde la ignorancia hasta el conocimiento, reemplazando continuamente el conocimiento incompleto e imperfecto con conocimiento cada vez más completo y perfecto a lo largo del camino. Palabra final

Nosotros, que vivimos a principios del siglo XXI, nos sentimos atraídos por la antigüedad. En nuestros antepasados, notamos en primer lugar lo que les falta desde un punto de vista moderno y, por lo general, no notamos lo que a nosotros nos falta en comparación con ellos.

No nos olvidemos de ellos...

¡Gracias por su atención!