En el artículo se describió la esencia del método diseño paralelo y sus propiedades. Pero como muestra la práctica, a los estudiantes les resulta difícil percibir conceptos teóricos sin una demostración con ejemplos específicos.
En este artículo mostraremos cómo utilizar las propiedades de la proyección paralela y las propiedades de las figuras planas conocidas por los escolares (triángulo, paralelogramo, trapecio, círculo y hexágono) para Imágenes de estas figuras durante el diseño paralelo. .
1. Imagen triangular
1) Cualquier triángulo (rectangular, isósceles, regular) se representa como un triángulo arbitrario en un lugar conveniente de la figura.
2) Si ΔA 1 B 1 C 1 es rectangular, entonces se da la imagen de las direcciones de sus dos alturas (catetos). La altura bajada a la hipotenusa y el centro del círculo inscrito se representan arbitrariamente. La imagen de una perpendicular bajada desde un punto dado de la hipotenusa a cualquier cateto es un segmento paralelo al otro cateto.
3) Si ΔA 1 B 1 C 1 es isósceles, entonces la imagen de la mediana B 1 D 1 es la imagen de la altura y la bisectriz ΔA 1 B 1 C 1 . Las imágenes del centro de los círculos inscritos y circunscritos pertenecen a BD.
4) Si ΔA 1 B 1 C 1 es regular (equilátero), entonces los centros de los círculos inscritos y circunscritos coinciden y se encuentran en el punto de intersección de las medianas. Por tanto, la construcción de una imagen de este triángulo no puede ser arbitraria si, por ejemplo, se da el centro de uno de estos círculos.
2. Imagen de un paralelogramo
Cualquier paralelogramo dado A 1 B 1 C 1 D 1 (incluido un rectángulo, cuadrado, rombo) se puede representar mediante un paralelogramo arbitrario ABCD.
Sobre la imagen de un paralelogramo arbitrario, se pueden construir arbitrariamente imágenes de sus dos alturas extraídas de un vértice. Además, las alturas extraídas del vértice del ángulo agudo del paralelogramo, el original, se encuentran fuera del paralelogramo, y las alturas extraídas del vértice del ángulo obtuso se encuentran dentro de él.
1) Si A 1 B 1 C 1 D 1 es un rombo, entonces en la imagen se determina un par de líneas rectas mutuamente perpendiculares: estas son las diagonales ABCD. Por lo tanto, es arbitrariamente posible construir una imagen de una sola altura desde un vértice dado de un rombo hasta su lado.
Al representar otra altura de un rombo, tenga en cuenta que las bases de estas alturas se encuentran en una línea recta paralela a la diagonal del rombo.
De manera similar se representan las perpendiculares dibujadas a los lados de un rombo desde cualquier punto de su diagonal.
2) Si A 1 B 1 C 1 D 1 es un cuadrado, entonces su imagen es un paralelogramo arbitrario ABCD. Además, las imágenes de alturas, bisectrices, ángulos y perpendiculares a los lados no se pueden construir arbitrariamente.
3. Imagen de un trapecio
Cualquier trapezoide A 1 B 1 C 1 D 1 (así como isósceles y rectangular) se puede representar mediante un trapezoide arbitrario ABCD.
1) Si A 1 B 1 C 1 D 1 es un trapecio general, entonces la imagen de su altura y una de las perpendiculares bajadas desde el punto base hacia los lados se puede construir arbitrariamente.
2) Si A 1 B 1 C 1 D 1 es un trapezoide rectangular, entonces C 1 B 1 ⊥ A 1 B 1 , la imagen de la altura del trapezoide ya está dada en la figura, por lo que solo la perpendicular al lado inclinado puede representarse arbitrariamente.
3) Si A 1 B 1 C 1 D 1 es un trapezoide isósceles (hay un eje de simetría), entonces la imagen de la altura es un segmento que conecta los puntos medios de las bases superior e inferior del trapecio (o paralelo a él). ).
4. Imagen circular
La proyección paralela de un círculo es una elipse. El centro del círculo en la imagen es el punto de intersección de los diámetros conjugados de la elipse. Dos diámetros de un círculo (elipse) se llaman conjugados si cada uno de ellos biseca todas las cuerdas paralelas al otro diámetro.
4. Imagen de un hexágono regular
Un hexágono regular A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 se representa de la siguiente manera: primero, se dibuja un paralelogramo arbitrario BCEF y se dibujan sus diagonales BE y CF; luego, desde el punto de su intersección O, se colocan segmentos iguales de longitud arbitraria (pero mayores que la mitad del lado BC) paralelos a los lados BC y EF. Los extremos de los segmentos construidos son los vértices A y D.
Entonces, analizamos todo tipo de opciones. imágenes de figuras planas en un plano usando el método de proyección paralela .
En el próximo artículo veremos imagen de figuras espaciales en un plano.
En algunos casos, es más conveniente comenzar a construir proyecciones axonométricas construyendo una figura base. Por lo tanto, consideremos cómo se representan en axonometría las figuras geométricas planas ubicadas horizontalmente.
1. cuadrado mostrado en la Fig. 1, a y b.
A lo largo del eje X Coloque el lado del cuadrado a, a lo largo del eje. en- medio lado a/2 para proyección dimétrica frontal y lateral A para proyección isométrica. Los extremos de los segmentos están conectados por líneas rectas.
Arroz. 1. Proyecciones axonométricas de un cuadrado:
2. Construcción de una proyección axonométrica. triángulo mostrado en la Fig. 2, a y b.
Simétrico hasta un punto ACERCA DE(origen de los ejes de coordenadas) a lo largo del eje X dejar a un lado la mitad del lado del triángulo A/ 2, y a lo largo del eje en- su altura h(para proyección dimétrica frontal media altura hora/2). Los puntos resultantes están conectados por segmentos rectos.
Arroz. 2. Proyecciones axonométricas de un triángulo:
a - dimétrico frontal; b - isométrico
3. Construcción de una proyección axonométrica. hexágono regular mostrado en la Fig. 3.
Eje X a la derecha e izquierda del punto ACERCA DE Coloque segmentos iguales al lado del hexágono. Eje en simétrico al punto ACERCA DE Establecer los segmentos s/2, igual a la mitad de la distancia entre los lados opuestos del hexágono (para la proyección dimétrica frontal, estos segmentos se dividen por la mitad). De puntos metro Y norte, obtenido en el eje en, deslice hacia la derecha y hacia la izquierda paralelo al eje X segmentos iguales a la mitad del lado del hexágono. Los puntos resultantes están conectados por segmentos rectos.
Arroz. 3. Proyecciones axonométricas de un hexágono regular:
a - dimétrico frontal; b - isométrico
4. Construcción de una proyección axonométrica. círculo .
Proyección dimétrica frontal conveniente para representar objetos con contornos curvilíneos, similares a los que se muestran en la Fig. 4.
Fig.4. Proyecciones dimétricas frontales de piezas.
En la Fig. 5. frontal dado dimétrico Proyección de un cubo con círculos inscritos en sus caras. Los círculos ubicados en planos perpendiculares a los ejes x y z se representan mediante elipses. La cara frontal del cubo, perpendicular al eje y, se proyecta sin distorsión, y el círculo situado en él se representa sin distorsión, es decir, descrito por un compás.
Fig.5. Proyecciones dimétricas frontales de círculos inscritos en las caras de un cubo.
Construcción de una proyección dimétrica frontal de una pieza plana con un agujero cilíndrico. .
La proyección dimétrica frontal de una pieza plana con un orificio cilíndrico se realiza de la siguiente manera.
1. Construya el contorno de la cara frontal de la pieza con un compás (Fig. 6, a).
2. Se dibujan líneas rectas a través de los centros del círculo y arcos paralelos al eje y, sobre los cuales se coloca la mitad del espesor de la pieza. Se obtienen los centros del círculo y los arcos ubicados en la superficie posterior de la pieza (Fig. 6, b). A partir de estos centros se dibujan un círculo y arcos, cuyos radios deben ser iguales a los radios del círculo y arcos de la cara frontal.
3. Dibuja tangentes a los arcos. Elimine las líneas sobrantes y delinee el contorno visible (Fig. 6, c).
Arroz. 6. Construcción de una proyección dimétrica frontal de una pieza con elementos cilíndricos.
Proyecciones isométricas de círculos. .
Un cuadrado en proyección isométrica se proyecta en un rombo. Los círculos inscritos en cuadrados, por ejemplo, ubicados en las caras de un cubo (Fig. 7), se representan como elipses en una proyección isométrica. En la práctica, las elipses se sustituyen por óvalos, que se dibujan con cuatro arcos de círculo.
Arroz. 7. Proyecciones isométricas de círculos inscritos en las caras de un cubo.
Construcción de un óvalo inscrito en un rombo.
1. Construya un rombo con un lado igual al diámetro del círculo representado (Fig. 8, a). Para ello, a través del punto ACERCA DE dibujar ejes isométricos X Y y, y sobre ellos desde el punto ACERCA DE Coloque segmentos iguales al radio del círculo representado. A través de puntos a, b, ConY d dibuja líneas rectas paralelas a los ejes; consigue un rombo. El eje mayor del óvalo se encuentra en la diagonal mayor del rombo.
2. Encaja un óvalo en un rombo. Para ello, desde los vértices de los ángulos obtusos (puntos A Y EN) describe arcos con un radio R, igual a la distancia desde el vértice del ángulo obtuso (puntos A Y EN) a puntos a, b o Dakota del Sur respectivamente. desde el punto EN a los puntos A Y b dibuje líneas rectas (Fig.8, b); la intersección de estas líneas con la diagonal mayor del rombo da los puntos CON Y D, que serán los centros de pequeños arcos; radio R 1 arcos menores es igual a sa (Db). Los arcos de este radio conjugan los arcos grandes del óvalo.
Arroz. 8. Construcción de un óvalo en un plano perpendicular al eje. z.
Así se construye un óvalo, situado en un plano perpendicular al eje. z(óvalo 1 en la Fig. 7). Óvalos ubicados en planos perpendiculares a los ejes. X(óvalo 3) y en(óvalo 2), construya de la misma manera que el óvalo 1, solo el óvalo 3 se construye en los ejes en Y z(Fig.9, a), y el óvalo 2 (ver Fig.7) - en los ejes X Y z(Figura 9, b).
Arroz. 9. Construcción de un óvalo en planos perpendiculares a los ejes. X Y en
Construir una proyección isométrica de una pieza con un agujero cilíndrico..
Si en una proyección isométrica de una pieza es necesario representar un orificio cilíndrico pasante perforado perpendicularmente a la cara frontal, como se muestra en la figura. 10 a.
La construcción se lleva a cabo de la siguiente manera.
1. Encuentre la posición del centro del agujero en la cara frontal de la pieza. Los ejes isométricos se dibujan a través del centro encontrado. (Para determinar su dirección, es conveniente utilizar la imagen del cubo en la Fig. 7.) En los ejes desde el centro, se colocan segmentos iguales al radio del círculo representado (Fig. 10, a).
2. Construya un rombo cuyo lado sea igual al diámetro del círculo representado; dibuje una gran diagonal del rombo (Fig. 10, b).
3. Describir grandes arcos ovalados; Encuentre centros para arcos pequeños (Fig. 10, c).
4. Se realizan pequeños arcos (Fig. 10, d).
5. Construya el mismo óvalo en la cara posterior de la pieza y dibuje tangentes a ambos óvalos (Fig. 10, e).
Arroz. 10. Construcción de una proyección isométrica de una pieza con agujero cilíndrico.
31*. Dibuje una perpendicular desde el punto C a la línea AB (Fig. 29,a, donde AB || pl. V).
Solución. Se sabe que un ángulo recto se proyecta sobre un plano en forma de ángulo recto si uno de sus lados es paralelo al plano de proyección y el otro cruza este plano en un ángulo agudo.
En este caso (Fig.29, a) la recta AB es paralela al cuadrado. V. Por lo tanto, es posible desde el punto c" (Fig. 29, b) trazar una línea recta perpendicular a a"b" y encontrar las proyecciones del punto K en el que CK cruza a AB. Obtenemos las proyecciones c"k " y ck de la perpendicular deseada.
32. Traza una recta desde el punto C perpendicular a la recta AB: 1) AB || pl. H (figura .30, a), 2) AB || pl. W (Figura 30, b).
33*. Interseca las líneas rectas AB y CD (Fig.31, a) con una tercera línea recta perpendicular a ellas, es decir, encuentre la distancia más corta entre las líneas rectas AB y CD que se cruzan, de las cuales una línea recta (CD) es perpendicular al cuadrado. proyecciones n.
Solución. Dado que la recta CD es perpendicular al cuadrado. H, entonces cualquier perpendicular a él se ubica paralela al cuadrado. N. Por lo tanto, en el cuadrado se representa el ángulo recto entre la línea deseada y la línea recta AB. H en forma de ángulo recto. Horizonte. la proyección del punto de intersección de la línea deseada con la línea CD - punto m - coincide con (d) (Fig. 31, b). Dibujamos el horizonte por el punto m. proyección de la recta perpendicular a ab hasta que se cruce con ella en el punto k y encuentre k". De frente, la proyección de la recta deseada (k"m") se ubica paralela al eje x.
34*. Construya un rombo ABCD, sabiendo que el segmento BD es una de sus diagonales (BD || pl. V), y el vértice A debe estar en la recta EF (Fig. 32, a).
Solución. Las diagonales de un rombo son mutuamente perpendiculares y se bisecan en el punto de intersección. Por tanto, dividimos (Fig. 32, b) las proyecciones de la diagonal BD por la mitad. Desde BD || pl. V, luego desde el punto k" trazamos una perpendicular a la recta b"d". Esto corresponde a las reglas para construir la proyección de un ángulo recto en un plano con respecto al cual la diagonal BD es paralela. El punto de intersección de esta perpendicular con la proyección e"f" representa el frente, la proyección a "el vértice deseado del rombo A. Para construir el punto c" trazamos el segmento k"c" en la continuación de la recta a"k", diferente del segmento a"k". Desde el punto a" construimos el punto a en ef. El resto se desprende del dibujo.
35. Construya un triángulo isósceles ABC con base igual a BC (BC || pl. H). El vértice A debe estar en la línea recta EF (Fig. 33).
36. Construya un triángulo rectángulo ABC, cuyo lado A B se encuentre en la recta MN (MN || pl. V) y sea igual a l. Para el cateto BC se da su proyección bс (Fig. 34).
37*. Construya un triángulo isósceles con la base BC en la recta MN (MN || cuadrado H) y el vértice A en la recta EF (Fig. 35, a). La base BC debe ser igual a la altura del triángulo AK, y para el punto K se dan su horizonte y proyección.
Solución. Para construir un triángulo, es necesario encontrar su altura AK y poner la mitad de su valor en la línea recta M N a ambos lados del punto K. En la Fig. 35, b, desde el punto k construimos el punto k". Desde el punto k trazamos una perpendicular a la recta mn (el ángulo recto entre la altura AK y la base BC que se encuentra en MN se representa en el plano de proyección H como un ángulo recto ángulo, ya que la recta MN es paralela al cuadrado H). nos llevamos el frente. Proyección de altura AK.
Ahora puedes encontrar la altura real del AK. Para hacer esto, construimos un triángulo rectángulo akK, cuyo cateto kK es igual a la diferencia en las distancias de los puntos A y K al cuadrado. H. La hipotenusa aK expresa la altura de AK. Trazando sobre la recta mn los segmentos kb n kc, iguales a la mitad de la altura AK (es decir, la mitad del segmento aK), obtenemos los puntos b y c, y de ellos las proyecciones b" y c". El resto se desprende del dibujo.
38. Construye un cuadrado ABCD con lado BC en la recta MM, que || pl. V (Figura 36).
39. Construye un triángulo rectángulo ABC con el lado BC en la línea MN (MN || área H). Para el cateto AB se da la proyección a"b". La pierna BC debe ser 1,5 veces más grande que la pierna AB (Fig. 37).
8.1. Proyecciones dimétricas frontales de círculos.. Si quieren algunos elementos en la imagen axonométrica. por ejemplo, los círculos (Fig. 64) se mantienen sin distorsión y luego se utiliza una proyección dimétrica frontal. La construcción de una proyección dimétrica frontal de una pieza con un orificio cilíndrico, cuyas dos vistas se muestran en la Figura 64, a, se realiza de la siguiente manera:
- Usando los ejes x, y, z, dibuje líneas finas para delinear la forma externa de la pieza (Fig. 64, b).
- Encuentra el centro del agujero en la cara frontal. El eje del orificio se dibuja a través de él paralelo al eje y y se coloca sobre él la mitad del grosor de la pieza. Se obtiene el centro del agujero situado en la cara posterior.
- A partir de los puntos obtenidos, a partir de los centros, se dibujan círculos cuyo diámetro es igual al diámetro del agujero (Fig. 64, c).
- Elimine las líneas sobrantes y trace el contorno visible de la pieza (Fig. 64, d).
Arroz. 64. Construcción de una proyección dimétrica frontal.
En su libro de trabajo, construya una proyección dimétrica frontal de la parte que se muestra en la Figura 64, a. Apunte el eje y en la otra dirección. Amplíe el tamaño de la imagen aproximadamente dos veces.
8.2. Proyecciones isométricas de círculos.. La proyección isométrica de un círculo (Fig. 65) es una curva llamada elipse. Las elipses son difíciles de construir. En la práctica del dibujo, a menudo se construyen óvalos. Un óvalo es una curva cerrada delineada por arcos de círculo. Es conveniente construir un óvalo encajándolo en un rombo, que es una proyección isométrica de un cuadrado.
Arroz. 65. Imagen en proyección isométrica de círculos inscritos en un cubo.
La construcción de un óvalo inscrito en un rombo se realiza en la siguiente secuencia.
Primero, se construye un rombo con un lado igual al diámetro del círculo representado (Fig. 66, a). Para ello, los ejes isométricos x e y se trazan a través del punto O. Sobre ellos, desde el punto O, se colocan segmentos iguales al radio del círculo representado. Por los puntos a, b, cyd, trazar líneas rectas paralelas a los ejes; consigue un rombo.
Arroz. 66. Construyendo un óvalo
El eje mayor del óvalo se encuentra en la diagonal mayor del rombo.
Después de esto, se inscribe un óvalo en el rombo. Para ello, se dibujan arcos desde los vértices de ángulos obtusos (puntos A y B). Su radio R es igual a la distancia desde el vértice del ángulo obtuso (puntos A y B) hasta los puntos c, d o a, b, respectivamente (Fig. 66, b).
Se trazan líneas rectas que pasan por los puntos B y a, B y b. En la intersección de las rectas Ba y Bb con la diagonal más grande del rombo, se encuentran los puntos C y D (Fig.66, a). Estos puntos serán los centros de los arcos pequeños. Su radio R1 es igual a Ca (o Db). Los arcos de este radio conectan suavemente los grandes arcos del óvalo.
Observamos la construcción de un óvalo que se encuentra en un plano perpendicular al eje z (óvalo 1 en la Figura 65). También se construyen óvalos ubicados en planos perpendiculares al eje y (óvalo 2) y al eje x (óvalo 3). Solo para el óvalo 2 la construcción se realiza en los ejes x y z (Fig. 67, a), y para el óvalo 3, en los ejes y y z (Fig. 67, b). Consideremos cómo se aplican en la práctica los constructos estudiados.
Arroz. 67. Construcción de óvalos: a que se encuentran en un plano perpendicular al eje y; b - situado en un plano perpendicular al eje x
Arroz. 68. Construcción de una proyección isométrica de una pieza con un agujero cilíndrico.
8.3. Un método para construir proyecciones axonométricas de objetos con superficies redondas.. La Figura 68a muestra una proyección isométrica de la tabla. Es necesario representar un agujero cilíndrico perforado perpendicular al borde frontal. La construcción se hace así:
- Encuentra el centro del agujero en la cara frontal. Determine la dirección de los ejes isométricos para construir un rombo (ver Fig. 65). Se dibujan ejes desde el centro encontrado (Fig.68, a) y sobre ellos se colocan segmentos iguales al radio del círculo.
- Están construyendo un rombo. Dibújelo a lo largo de una diagonal grande (Fig. 68, b).
- Describe arcos grandes. Encuentre los centros de arcos pequeños (Fig. 68. c).
- Se dibujan pequeños arcos a partir de los centros encontrados.
Se construye el mismo óvalo en el borde posterior, pero solo se delinea su parte visible (Fig. 68, d).
