Cómo determina la casa de apuestas las probabilidades. Coeficiente numérico: cómo encontrarlo para expresiones alfanuméricas y alfabéticas

En las descripciones matemáticas el término " coeficiente numérico", en particular, cuando se trabaja con expresiones literales y expresiones con variables, es conveniente utilizar el concepto de coeficiente numérico de una expresión. En este artículo daremos una definición del coeficiente numérico de una expresión y analizaremos ejemplos de cómo encontrarlo.

Navegación de páginas.

Determinación del coeficiente numérico, ejemplos.

En el libro de texto de matemáticas de N. Ya. Vilenkin para sexto grado se da lo siguiente. determinación del coeficiente numérico de una expresión.

Definición.

Si una expresión de letras es el producto de una o más letras y un número, entonces este número se llama coeficiente numérico de expresión.

Por cierto, al coeficiente numérico a menudo se le llama simplemente coeficiente.

La definición sonora nos permite dar ejemplos de coeficientes numéricos de expresiones. Primero, considere el producto del número 3 y la letra a de la forma 3·a. El número 3 es el coeficiente numérico de esta expresión por definición. Otro ejemplo: en el producto x·y·0,2·x·x·z el único factor numérico es 0,2, que es el coeficiente numérico de esta expresión.

Ahora demos un contraejemplo. El número 3 no es un coeficiente numérico de la expresión 3·x+y, ya que la expresión original no es un producto. Pero este número 3 es el coeficiente numérico del primero de los términos de la expresión original.

Y el producto 5·a·2·b·3·c contiene no uno, sino tres números. Para determinar el coeficiente numérico de esta expresión, se debe convertir en un producto que contenga un único factor numérico. Descubriremos cómo se hace esto en el siguiente párrafo de este artículo; este es el proceso.

Vale la pena señalar que los productos de letras idénticas se pueden escribir en la forma , por lo que la definición de coeficiente numérico también es adecuada para expresiones con potencias. Por ejemplo, la expresión 5 x 3 y z 2 es esencialmente una expresión de la forma 5 x x x x y z z, su coeficiente, por definición, es el número 5.

También debes centrarte en los coeficientes numéricos 1 y −1. Su peculiaridad es que casi nunca se escriben explícitamente. Si una expresión es un producto de varias letras (sin un factor numérico) y hay un signo más delante, o no hay ningún signo, entonces el coeficiente numérico de dicha expresión se considera el número 1. Si un producto de varias letras va precedido de un signo menos, entonces se considera que el coeficiente de dicha expresión es el número −1. Por ejemplo, el coeficiente numérico de la expresión a b es igual a uno (ya que a b se puede escribir como 1 a b ), y el coeficiente numérico de la expresión −x es igual a menos uno (ya que −x es idénticamente igual a la expresión ( −1) x ).

Posteriormente, la definición de coeficiente numérico se amplía desde el producto de un número y varias letras hasta el producto de expresiones de un número y varias letras. Así, por ejemplo, en un producto el número −5 puede considerarse un coeficiente numérico. De manera similar, el número 3 es el coeficiente de la expresión 3·(1+1/x)·x, y es el coeficiente de la expresión .

Encontrar el coeficiente numérico de una expresión

Cuando una expresión es un producto con un factor numérico, ese factor es el coeficiente numérico. Cuando una expresión tiene una forma diferente, encontrar su coeficiente numérico implica realizar previamente algunas transformaciones idénticas, con la ayuda de las cuales la expresión original se reduce a un producto con un factor numérico.

Ejemplo.

Encuentra el coeficiente numérico de la expresión −4·x·(−2) .

Solución.

Agrupemos los factores, que son números, y luego multiplíquelos: −4·x·(−2)=((−4)·(−2))·x=8·x. Ahora el coeficiente requerido es claramente visible; es igual a 8.

El término "coeficiente numérico" aparece a menudo en descripciones matemáticas, por ejemplo, cuando se trabaja con expresiones literales y expresiones con variables. El material del artículo siguiente revela el concepto de este término, incluido el uso del ejemplo de resolución de problemas para encontrar un coeficiente numérico.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Determinación del coeficiente numérico. Ejemplos

Libro de texto N.Ya. Vilenkina (material educativo para estudiantes de sexto grado) da la siguiente definición del coeficiente numérico de la expresión:

Definición 1

Si una expresión de letras es el producto de una o más letras y un número, entonces este número se llama coeficiente numérico de expresión.

El coeficiente numérico a menudo se denomina simplemente coeficiente.

Esta definición permite indicar ejemplos de coeficientes numéricos de expresiones.

Ejemplo 1

Considere el producto del número 5 y la letra a, que tendrá la siguiente forma: 5 un. El número 5 es el coeficiente numérico de la expresión definida anteriormente.

Otro ejemplo:

Ejemplo 2

en una obra determinada x y 1, 3 x x z la fracción decimal 1, 3 es el único factor numérico que servirá como coeficiente numérico de la expresión.

Veamos también la siguiente expresión:

Ejemplo 3

7x+y. El número 7 en este caso no sirve como coeficiente numérico de la expresión, ya que la expresión dada no es un producto. Pero al mismo tiempo, el número 7 es el coeficiente numérico del primer término de la expresión dada.

Ejemplo 4

Deja que el producto se entregue. 2 a 6 b 9 c.

Vemos que la notación de expresión contiene tres números y, para encontrar el coeficiente numérico de la expresión original, se debe reescribir como una expresión con un solo factor numérico. En realidad, este es el proceso de encontrar un coeficiente numérico.

Tenga en cuenta que los productos de letras idénticas se pueden representar como potencias con un exponente natural, por lo tanto, la definición de coeficiente numérico también es válida para expresiones con potencias.

P.ej:

Ejemplo 5

Expresión 3 x 3 y z 2– esencialmente una versión optimizada de la expresión 3 · x · x · x · y · z · z, donde el coeficiente de la expresión es el número 3.

Hablemos por separado de los coeficientes numéricos 1 y - 1. Rara vez se escriben explícitamente, y ésta es su peculiaridad. Cuando un producto consta de varias letras (sin un factor numérico explícito) y está precedido por un signo más o ningún signo, podemos decir que el coeficiente numérico de dicha expresión es el número 1. Cuando se indica un signo menos antes del producto de letras, se puede argumentar que en este caso el coeficiente numérico es el número - 1.

Ejemplo 6

Por ejemplo, en el producto - 5 x + 1, el número - 5 servirá como coeficiente numérico.

Por analogía, en la expresión 8 1 + 1 x x número 8 – coeficiente de expresión; y en la expresión π + 1 4 · sin x + π 6 · cos - π 3 + 2 · x el coeficiente numérico es π + 1 4.

Encontrar el coeficiente numérico de una expresión

Dijimos anteriormente que si una expresión es un producto con un único factor numérico, entonces este factor será el coeficiente numérico de la expresión. En el caso de que la expresión esté escrita en una forma diferente, se deben realizar una serie de transformaciones idénticas, que llevarán la expresión dada a la forma de un producto con un solo factor numérico.

Ejemplo 7

expresión dada − 3 x (− 6). Es necesario determinar su coeficiente numérico.

Solución

Realicemos una transformación idéntica, es decir, agruparemos los factores que son números y los multiplicaremos. Entonces obtenemos: − 3 x (− 6) = ((− 3) (− 6)) x = 18 x .

En la expresión resultante vemos un coeficiente numérico explícito igual a 18.

Respuesta: 18

Ejemplo 8

La expresión dada es a - 1 2 · 2 · a - 6 - 2 · a 2 - 3 · a - 3 . Es necesario determinar su coeficiente numérico.

Solución

Para determinar el coeficiente numérico, transformamos la expresión entera dada en un polinomio. Abramos los corchetes y agreguemos términos similares, obtenemos:

un - 1 2 2 un - 6 - 2 un 2 - 3 un - 3 = = 2 un 2 - 6 un - un + 3 - 2 un 2 + 6 un - 3 = - un

El coeficiente numérico de la expresión resultante será el número - 1.

Respuesta: - 1 .

Si nota un error en el texto, resáltelo y presione Ctrl+Enter

El artículo de hoy hablará sobre cómo se pueden relacionar las variables entre sí. Usando la correlación, podemos determinar si existe una relación entre la primera y la segunda variable. ¡Espero que esta actividad te resulte tan divertida como las anteriores!

La correlación mide la fuerza y ​​la dirección de la relación entre xey. La figura muestra diferentes tipos de correlación en forma de diagramas de dispersión de pares ordenados (x, y). Tradicionalmente, la variable x se coloca en el eje horizontal y la variable y se coloca en el eje vertical.

El gráfico A es un ejemplo de correlación lineal positiva: a medida que x aumenta, y también aumenta, y de forma lineal. El gráfico B nos muestra un ejemplo de correlación lineal negativa, donde a medida que x aumenta, y disminuye linealmente. En el gráfico C vemos que no existe correlación entre x e y. Estas variables no se influyen entre sí de ninguna manera.

Finalmente, el Gráfico D es un ejemplo de relaciones no lineales entre variables. A medida que x aumenta, y primero disminuye, luego cambia de dirección y aumenta.

El resto del artículo se centra en las relaciones lineales entre las variables dependientes e independientes.

Coeficiente de correlación

El coeficiente de correlación, r, nos proporciona tanto la fuerza como la dirección de la relación entre las variables independientes y dependientes. Los valores de r oscilan entre -1,0 y +1,0. Cuando r es positivo, la relación entre x e y es positiva (gráfico A en la figura), y cuando r es negativo, la relación también es negativa (gráfico B). Un coeficiente de correlación cercano a cero indica que no existe relación entre xey (gráfico C).

La fuerza de la relación entre xey está determinada por si el coeficiente de correlación está cerca de - 1,0 o +- 1,0. Estudia el siguiente dibujo.

El gráfico A muestra una correlación positiva perfecta entre xey en r = + 1,0. Gráfico B: correlación negativa ideal entre xey en r = - 1,0. Los gráficos C y D son ejemplos de relaciones más débiles entre las variables dependientes e independientes.

El coeficiente de correlación, r, determina tanto la fuerza como la dirección de la relación entre las variables dependientes e independientes. Los valores de r oscilan entre - 1,0 (fuerte relación negativa) y + 1,0 (fuerte relación positiva). Cuando r = 0 no hay conexión entre las variables x e y.

Podemos calcular el coeficiente de correlación real usando la siguiente ecuación:

¡Bien bien! Sé que esta ecuación parece una mezcla aterradora de símbolos extraños, pero antes de que entre en pánico, apliquemos el ejemplo de la calificación de un examen. Digamos que quiero determinar si existe una relación entre la cantidad de horas que un estudiante dedica a estudiar estadística y la puntuación del examen final. La siguiente tabla nos ayudará a dividir esta ecuación en varios cálculos simples y hacerlos más manejables.

Como puedes ver, existe una correlación positiva muy fuerte entre el número de horas dedicadas al estudio de una materia y la nota del examen. Los profesores estarán muy contentos de saber esto.

¿Cuál es el beneficio de establecer relaciones entre variables similares? Gran pregunta. Si se descubre que existe una relación, podemos predecir los resultados del examen en función de una cierta cantidad de horas dedicadas a estudiar la materia. En pocas palabras, cuanto más fuerte sea la conexión, más precisa será nuestra predicción.

Usar Excel para calcular coeficientes de correlación

Estoy seguro de que después de ver estos terribles cálculos de coeficientes de correlación, estarás realmente encantado de saber que Excel puede hacer todo este trabajo por ti utilizando la función CORREL con las siguientes características:

CORREL (matriz 1; matriz 2),

matriz 1 = rango de datos para la primera variable,

matriz 2 = rango de datos para la segunda variable.

Por ejemplo, la figura muestra la función CORREL utilizada para calcular el coeficiente de correlación para el ejemplo de calificación del examen.

El coeficiente de proporcionalidad (coeficiente de proporcionalidad lineal) es igual a la relación de los dos lados correspondientes de figuras similares. Figuras similares son figuras de la misma forma, pero de diferentes tamaños. El coeficiente de proporcionalidad se utiliza para resolver problemas geométricos básicos. El factor de proporcionalidad se puede utilizar para calcular las longitudes de lados desconocidos. Por otro lado, el coeficiente de proporcionalidad se puede calcular a partir de los lados correspondientes. Dichos cálculos implican la operación de multiplicación o simplificación de fracciones.

Pasos

Cálculo del coeficiente de proporcionalidad de figuras similares.

Asegúrate de que las formas sean similares. En tales figuras, todos los ángulos son iguales y los lados están relacionados en cierta proporción. Figuras similares tienen la misma forma, pero una figura es más grande que la otra.

• El problema debe decir que las figuras son semejantes, o que tienen ángulos iguales, o que los lados son proporcionales, o que una figura es proporcional a la otra.

1. Encuentra los lados correspondientes de ambas figuras. Es posible que necesites rotar o reflejar una de las formas para alinear ambas formas y determinar los lados correspondientes. Como regla general, los problemas dan las longitudes de los lados correspondientes; de lo contrario, mídalos. Si no se conocen los valores de al menos un par de lados correspondientes, es imposible encontrar el coeficiente de proporcionalidad.

   • Por ejemplo, dado un triángulo cuya base mide 15 cm, y un triángulo semejante con una base igual a 10 cm.

2. Anota la actitud. Cada par de figuras similares tiene dos coeficientes de proporcionalidad: uno se usa al aumentar el tamaño y el otro al disminuir. Si el tamaño de una figura más pequeña aumenta al tamaño de una figura más grande, use la relación: relación de aspecto = (lado de la figura más grande) / (lado de la figura más pequeña). Si el tamaño de una figura más grande se reduce al tamaño de una figura más pequeña, use la relación: relación de aspecto = (lado de la figura más pequeña) / (lado de la figura más grande).

   • Por ejemplo, si un triángulo con una base de 15 cm se reduce a un triángulo con una base de 10 cm, use la relación: factor de proporcionalidad = (lado de la figura más pequeña) / (lado de la figura más grande).
     Sustituyendo los valores apropiados se obtiene: coeficiente de proporcionalidad = .

3. Simplifica tu actitud. Una relación simplificada (fracción) es un coeficiente de proporcionalidad. Al disminuir de tamaño, el factor de proporcionalidad es una fracción propia. Al aumentar el tamaño, el factor de proporcionalidad es un número entero o una fracción impropia que se puede convertir a decimal.

   • Por ejemplo, actitud 10 15 (\displaystyle (\frac (10)(15))) se simplifica a . Así, el coeficiente de proporcionalidad de dos triángulos con bases de 15 cm y 10 cm es igual a 2 3 (\displaystyle (\frac (2)(3))).

   Cálculo de lados por coeficiente de proporcionalidad.

   1. Encuentra los valores de los lados de la figura. Se darán los valores laterales de una de estas figuras; de lo contrario, mídalos. Si se desconocen los lados de una de estas figuras, no se pueden calcular los lados de la segunda figura.

      • Por ejemplo, dado un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 4 cm y 3 cm, y la hipotenusa mide 5 cm.

   2. Descubre si una figura similar será mayor o menor que ésta. Si es mayor, los lados serán más grandes y el factor de proporcionalidad será un número entero, una fracción impropia o un decimal. Si una figura semejante es más pequeña que una dada, los lados serán más pequeños y el coeficiente de proporcionalidad será una fracción propia.

      • Por ejemplo, si el coeficiente de proporcionalidad es 2, la cifra similar es mayor que la cifra dada.

   3. Multiplica el valor de un lado por el factor de proporcionalidad. Se debe dar un factor de proporcionalidad. Si multiplicas el lado por el coeficiente de proporcionalidad, puedes encontrar el valor del lado correspondiente de una figura similar.

      • Por ejemplo, si la hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 5 cm y el coeficiente de proporcionalidad es 2, la hipotenusa de un triángulo semejante se calcula de la siguiente manera: 5 × 2 = 10 (\displaystyle 5\times 2=10). Por tanto, la hipotenusa de un triángulo semejante mide 10 cm.

   4. Encuentra los valores de los lados restantes de una figura similar. Para ello, multiplica los valores conocidos de los lados por el coeficiente de proporcionalidad. Recibirás los valores de los lados correspondientes de una figura similar.

      • Por ejemplo, si la base de un triángulo rectángulo mide 4 cm y el factor de proporcionalidad es 2, la base de un triángulo semejante se calcula de la siguiente manera: 4 × 2 = 8 (\displaystyle 4\times 2=8). Por tanto, la base de un triángulo semejante mide 8 cm. Si el cateto de un triángulo rectángulo mide 3 cm y el coeficiente de proporcionalidad es 2, el cateto de un triángulo semejante se calcula de la siguiente manera: 3 × 2 = 6 (\displaystyle 3\times 2=6). Por tanto, el lado de un triángulo semejante mide 6 cm.

   Ejemplos de resolución de problemas

   1. Tarea 1. Encuentre el coeficiente de proporcionalidad de las siguientes figuras similares: un rectángulo con un ancho de 6 cm y un rectángulo con un ancho de 54 cm.

      • Escribe la proporción basada en los dos anchos. A medida que aumenta el tamaño, la relación se escribirá de la siguiente manera: coeficiente de proporcionalidad = . Al reducir el tamaño, la relación se escribirá de la siguiente manera: coeficiente de proporcionalidad = .
      • Simplifica tu actitud. Actitud 54 6 (\displaystyle (\frac (54)(6))) simplifica a 9 1 = 9 (\displaystyle (\frac (9)(1))=9). Actitud 6 54 (\displaystyle (\frac (6)(54))) se simplifica a . Por tanto, el coeficiente de proporcionalidad de dos rectángulos es igual a 9 (\displaystyle 9) o 1 9 (\displaystyle (\frac (1)(9))).

   2. Tarea 2. El lado de un polígono irregular mide 14 cm. El lado de un polígono semejante mide 8 cm.

¡Hola a todos!

Al entrar en la comunidad de apuestas deportivas, no encontré ningún artículo sobre la teoría de las apuestas, aunque yo mismo he apostado y sé que no hay menos material teórico en las apuestas que en el póquer. Por eso, quiero publicar aquí algunos posts sobre los fundamentos matemáticos y analíticos de las apuestas deportivas. Espero que le sea útil a alguien.

Me gustaría empezar donde empieza todo jugador: por la línea de la casa de apuestas. La primera pregunta que me vino a la mente cuando leí por primera vez una línea impresa fue: ¿Cómo determina una casa de apuestas toda esta masa de probabilidades?

Las casas de apuestas operan únicamente con el fin de obtener ganancias. Y, contrariamente a la creencia popular, el beneficio de la casa de apuestas no depende del número de apuestas perdidas, sino de las cuotas correctamente establecidas. ¿Qué significa "correcto"? Esto significa que en caso de cualquier resultado, incluso el más inesperado, del evento, la casa de apuestas debería quedarse con ganancias.

Veamos cómo se forman los coeficientes. Primero, los analistas determinan las posibilidades de los equipos. Esto se hace de muchas formas, que se pueden dividir en dos grupos: analíticas y heurísticas. Los analíticos son principalmente estadística y matemáticas (teoría de la probabilidad), los heurísticos son evaluaciones de expertos. Combinando los resultados obtenidos de una forma u otra, se derivan las probabilidades del resultado del evento. Supongamos que como resultado de las actividades de analistas y expertos, se obtuvieron las siguientes probabilidades de resultados:

Estas son "cuotas puras", pero nunca se alinearán porque la casa de apuestas no obtendrá ganancias en este caso. Las probabilidades de línea para estos eventos se verán así:

Es decir, de cada cien mil rublos apostados por todos los jugadores, 75.000 se apostaron a la victoria 1, 15.000 al empate y 10.000 a la victoria 2. La mayoría de los jugadores apuestan con mayor frecuencia por los favoritos obvios, lo que constituye la mayoría de las apuestas rápidas basadas en tales resultados. ¿Qué obtendrá la casa de apuestas por cada cientos de miles de dólares invertidos por los jugadores en caso de resultados diferentes?

Se puede ver que si el favorito gana, lo que ocurre con mayor frecuencia, la casa de apuestas sufrirá pérdidas. Esto es completamente inaceptable para los negocios y la casa de apuestas está obligada a excluir incluso la posibilidad teórica de que surja tal situación.

Para ello, debe reducir artificialmente las probabilidades del favorito. La casa de apuestas no sabe de antemano exactamente cómo se distribuirán las apuestas, pero sabe con certeza que los jugadores "cargarán" sobre el favorito, por lo que, por seguridad, sobreestima la probabilidad de victoria del favorito.

En realidad, ni las posibilidades reales ni la distribución de los fondos entre los jugadores pueden calcularse con precisión; siempre hay algún error. Por lo tanto, las casas de apuestas intentan inicialmente reducir las cuotas del favorito para garantizar sus ganancias, es decir, determine las posibilidades de los equipos y agregue entre un 10 y un 20% a la probabilidad calculada de victoria del favorito. Y a medida que se reciben las apuestas, dependiendo de su distribución actual real, las cuotas se varían para que el beneficio sea mayor.

Conclusión: el principio fundamental que guía a las casas de apuestas es la distribución de las finanzas entre dos o más grupos de jugadores de tal manera que se paguen las ganancias con los fondos de los perdedores, dejando un cierto porcentaje para ellos. Muy a menudo, los coeficientes obtenidos de esta forma no tienen nada que ver con las probabilidades de determinados eventos. Por tanto, es necesario disponer de un sistema propio de evaluación de eventos deportivos.

¡Gracias por su atención!