Muy a menudo, en el plan de estudios de matemáticas de la escuela, los niños se enfrentan al problema de cómo convertir una fracción regular a un decimal. Para convertir una fracción común a decimal, primero recordemos qué son una fracción común y un decimal. Una fracción ordinaria es una fracción de la forma m/n, donde m es el numerador y n es el denominador. Ejemplo: 13/8; 6/7, etc Las fracciones se dividen en números regulares, impropios y mixtos. Una fracción propia es cuando el numerador es menor que el denominador: m/n, donde m 3. Una fracción impropia siempre se puede representar como un número mixto, a saber: 4/3 = 1 y 1/3;
Convertir una fracción a un decimal
Ahora veamos cómo convertir una fracción mixta a decimal. Cualquier fracción ordinaria, ya sea propia o impropia, se puede convertir a decimal. Para hacer esto, necesitas dividir el numerador por el denominador. Ejemplo: fracción simple (propia) 1/2. Divide el numerador 1 por el denominador 2 para obtener 0,5. Tomemos el ejemplo de 45/12; inmediatamente queda claro que se trata de una fracción irregular. Aquí el denominador es menor que el numerador. Convertir una fracción impropia a decimal: 45: 12 = 3,75.
Convertir números mixtos a decimales
Ejemplo: 25/8. Primero convertimos el número mixto en una fracción impropia: 25/8 = 3x8+1/8 = 3 y 1/8; luego divide el numerador igual a 1 por el denominador igual a 8, usando una columna o en una calculadora y obtiene una fracción decimal igual a 0,125. El artículo proporciona los ejemplos más sencillos de conversión a fracciones decimales. Habiendo comprendido la técnica de traducción utilizando ejemplos sencillos, podrás resolver fácilmente los más complejos.
Ya en la escuela primaria, los estudiantes están expuestos a fracciones. Y luego aparecen en cada tema. No puedes olvidar acciones con estos números. Por tanto, necesitas conocer toda la información sobre fracciones ordinarias y decimales. Estos conceptos no son complicados, lo principal es entender todo en orden.
¿Por qué se necesitan fracciones?
El mundo que nos rodea se compone de objetos enteros. Por tanto, no hay necesidad de acciones. Pero la vida cotidiana empuja constantemente a la gente a trabajar con partes de objetos y cosas.
Por ejemplo, el chocolate se compone de varios trozos. Considere una situación en la que su ficha está formada por doce rectángulos. Si lo divides en dos, obtienes 6 partes. Se puede dividir fácilmente en tres. Pero no será posible dar a cinco personas un número entero de rebanadas de chocolate.
Por cierto, estas porciones ya son fracciones. Y su mayor división conduce a la aparición de números más complejos.
¿Qué es una "fracción"?
Este es un número formado por partes de una unidad. Exteriormente, parecen dos números separados por una barra horizontal o diagonal. Esta característica se llama fraccionaria. El número escrito en la parte superior (izquierda) se llama numerador. Lo que está abajo (derecha) es el denominador.
Básicamente, la barra resulta ser un signo de división. Es decir, al numerador se le puede llamar dividendo y al denominador se le puede llamar divisor.
¿Qué fracciones hay?
En matemáticas sólo existen dos tipos: fracciones ordinarias y decimales. Los escolares conocen los primeros en la escuela primaria y los llaman simplemente "fracciones". Este último se aprenderá en 5º grado. Ahí es cuando aparecen estos nombres.
Las fracciones comunes son todas aquellas que se escriben como dos números separados por una línea. Por ejemplo, 4/7. Un decimal es un número en el que la parte fraccionaria tiene notación posicional y está separada del número entero por una coma. Por ejemplo, 4.7. Los estudiantes deben comprender claramente que los dos ejemplos dados son números completamente diferentes.
Cada fracción simple se puede escribir como decimal. Esta afirmación casi siempre es cierta a la inversa. Existen reglas que te permiten escribir una fracción decimal como una fracción común.
¿Qué subtipos tienen este tipo de fracciones?
Es mejor empezar en orden cronológico, a medida que se van estudiando. Las fracciones comunes son lo primero. Entre ellos se pueden distinguir 5 subespecies.
Correcto. Su numerador siempre es menor que su denominador.
Equivocado. Su numerador es mayor o igual que su denominador.
Reducible/irreducible. Puede resultar correcto o incorrecto. Otra cosa importante es si el numerador y el denominador tienen factores comunes. Si los hay, entonces es necesario dividir ambas partes de la fracción entre ellas, es decir, reducirla.
Mezclado. Se asigna un número entero a su parte fraccionaria regular (irregular) habitual. Además, siempre es de izquierdas.
Compuesto. Está formado por dos fracciones divididas entre sí. Es decir, contiene tres líneas fraccionarias a la vez.
Las fracciones decimales tienen sólo dos subtipos:
finito, es decir, aquel cuya parte fraccionaria es limitada (tiene fin);
infinito: un número cuyos dígitos después del punto decimal no terminan (se pueden escribir sin fin).
¿Cómo convertir una fracción decimal a una fracción común?
Si se trata de un número finito, entonces se aplica una asociación basada en la regla: lo que escucho, así escribo. Es decir, hay que leerlo correctamente y escribirlo, pero sin coma, sino con barra fraccionaria.
Como pista sobre el denominador requerido, debes recordar que siempre es uno y varios ceros. Debes escribir tantos de estos últimos como dígitos haya en la parte fraccionaria del número en cuestión.
¿Cómo convertir fracciones decimales en fracciones ordinarias si falta su parte entera, es decir, igual a cero? Por ejemplo, 0,9 o 0,05. Después de aplicar la regla especificada, resulta que es necesario escribir cero números enteros. Pero no está indicado. Ya solo queda anotar las partes fraccionarias. El primer número tendrá un denominador de 10, el segundo tendrá un denominador de 100. Es decir, los ejemplos dados tendrán como respuestas los siguientes números: 9/10, 5/100. Además, resulta que este último se puede reducir en 5. Por lo tanto, el resultado debe escribirse como 1/20.
¿Cómo se puede convertir una fracción decimal en una fracción ordinaria si su parte entera es distinta de cero? Por ejemplo, 5,23 o 13,00108. En ambos ejemplos, se lee la parte completa y se escribe su valor. En el primer caso es 5, en el segundo es 13. Luego debes pasar a la parte fraccionaria. Con ellos se supone que se debe realizar la misma operación. El primer número aparece 23/100, el segundo - 108/100000. El segundo valor debe reducirse nuevamente. La respuesta da las siguientes fracciones mixtas: 5 23/100 y 13 27/25000.
¿Cómo convertir una fracción decimal infinita a una fracción ordinaria?
Si no es periódica, dicha operación no será posible. Este hecho se debe al hecho de que cada fracción decimal siempre se convierte en una fracción finita o periódica.
Lo único que puedes hacer con esa fracción es redondearla. Pero entonces el decimal será aproximadamente igual a ese infinito. Ya se puede convertir en uno normal. Pero el proceso inverso: la conversión a decimal nunca dará el valor inicial. Es decir, infinitas fracciones no periódicas no se convierten en fracciones ordinarias. Es necesario recordar esto.
¿Cómo escribir una fracción periódica infinita como una fracción ordinaria?
En estos números, siempre hay uno o más dígitos después del punto decimal que se repiten. Se les llama período. Por ejemplo, 0,3(3). Aquí "3" está en el punto. Se clasifican como racionales porque se pueden convertir en fracciones ordinarias.
Quienes se han topado con fracciones periódicas saben que pueden ser puras o mixtas. En el primer caso, el punto comienza inmediatamente desde la coma. En la segunda, la parte fraccionaria comienza con algunos números, y luego comienza la repetición.
La regla por la cual debes escribir un decimal infinito como una fracción ordinaria será diferente para los dos tipos de números indicados. Es bastante fácil escribir fracciones periódicas puras como fracciones ordinarias. Al igual que con los finitos, es necesario convertirlos: escribe el período en el numerador, y el denominador será el número 9, repetido tantas veces como dígitos contenga el período.
Por ejemplo, 0,(5). El número no tiene parte entera, por lo que debes comenzar inmediatamente con la parte fraccionaria. Escribe 5 como numerador y 9 como denominador. Es decir, la respuesta será la fracción 5/9.
La regla sobre cómo escribir una fracción periódica decimal ordinaria que es mixta.
Mire la duración del período. Esa es la cantidad de 9 que tendrá el denominador.
Escribe el denominador: primero nueves, luego ceros.
Para determinar el numerador, debes escribir la diferencia de dos números. Todos los números después del punto decimal se minimizarán, junto con el punto. Deducible: es sin período.
Por ejemplo, 0,5(8): escribe la fracción decimal periódica como una fracción común. La parte fraccionaria antes del período contiene un dígito. Entonces habrá un cero. También hay un solo número en el período: 8. Es decir, solo hay un nueve. Es decir, debes escribir 90 en el denominador.
Para determinar el numerador, debes restar 5 de 58. Resulta 53. Por ejemplo, la respuesta tendría que escribirse como 53/90.
¿Cómo se convierten las fracciones a decimales?
La opción más sencilla es un número cuyo denominador sea el número 10, 100, etc. Luego, simplemente se descarta el denominador y se coloca una coma entre las partes fraccionaria y entera.
Hay situaciones en las que el denominador se convierte fácilmente en 10, 100, etc. Por ejemplo, los números 5, 20, 25. Basta con multiplicarlos por 2, 5 y 4, respectivamente. Solo necesitas multiplicar no solo el denominador, sino también el numerador por el mismo número.
Para todos los demás casos, resulta útil una regla sencilla: dividir el numerador por el denominador. En este caso, puedes obtener dos respuestas posibles: una fracción decimal finita o periódica.
Operaciones con fracciones ordinarias
Suma y resta
Los estudiantes los conocen antes que los demás. Además, al principio las fracciones tienen los mismos denominadores y luego diferentes. Las reglas generales se pueden reducir a este plan.
Encuentra el mínimo común múltiplo de los denominadores.
Escribe factores adicionales para todas las fracciones ordinarias.
Multiplica los numeradores y denominadores por los factores especificados para ellos.
Suma (resta) los numeradores de las fracciones y deja el denominador común sin cambios.
Si el numerador del minuendo es menor que el sustraendo, entonces necesitamos saber si tenemos un número mixto o una fracción propia.
En el primer caso, es necesario pedir prestado uno de toda la pieza. Suma el denominador al numerador de la fracción. Y luego haz la resta.
En el segundo, es necesario aplicar la regla de restar un número mayor de un número menor. Es decir, del módulo del sustraendo, reste el módulo del minuendo y, en respuesta, ponga un signo "-".
Mire atentamente el resultado de la suma (resta). Si obtienes una fracción impropia, entonces debes seleccionar la parte entera. Es decir, divide el numerador por el denominador.
Multiplicación y división
Para realizarlos no es necesario reducir las fracciones a un denominador común. Esto facilita la realización de acciones. Pero todavía exigen que sigas las reglas.
Al multiplicar fracciones, debes fijarte en los números en los numeradores y denominadores. Si cualquier numerador y denominador tienen un factor común, entonces se pueden reducir.
Multiplica los numeradores.
Multiplica los denominadores.
Si el resultado es una fracción reducible, entonces se debe simplificar nuevamente.
Al dividir, primero debes reemplazar la división con la multiplicación y el divisor (segunda fracción) con la fracción recíproca (intercambia el numerador y el denominador).
Luego proceda como con la multiplicación (comenzando desde el punto 1).
En las tareas en las que es necesario multiplicar (dividir) por un número entero, este último debe escribirse como una fracción impropia. Es decir, con un denominador de 1. Luego actúa como se describe arriba.
Operaciones con decimales
Suma y resta
Por supuesto, siempre puedes convertir un decimal en una fracción. Y actuar según el plan ya descrito. Pero a veces es más conveniente actuar sin esta traducción. Entonces las reglas para sumar y restar serán exactamente las mismas.
Iguala el número de dígitos en la parte fraccionaria del número, es decir, después del punto decimal. Súmale el número de ceros que faltan.
Escribe las fracciones de modo que la coma quede debajo de la coma.
Sumar (restar) como números naturales.
Elimina la coma.
Multiplicación y división
Es importante que no sea necesario agregar ceros aquí. Las fracciones deben dejarse como se dan en el ejemplo. Y luego vaya según el plan.
Para multiplicar, debes escribir las fracciones una debajo de la otra, ignorando las comas.
Multiplica como números naturales.
Coloca una coma en la respuesta, contando desde el extremo derecho de la respuesta tantos dígitos como haya en las partes fraccionarias de ambos factores.
Para dividir, primero debes transformar el divisor: convertirlo en un número natural. Es decir, multiplicarlo por 10, 100, etc., dependiendo de cuántos dígitos haya en la parte fraccionaria del divisor.
Multiplica el dividendo por el mismo número.
Dividir una fracción decimal por un número natural.
Coloca una coma en tu respuesta en el momento en que finaliza la división de la parte entera.
¿Qué pasa si un ejemplo contiene ambos tipos de fracciones?
Sí, en matemáticas a menudo hay ejemplos en los que es necesario realizar operaciones con fracciones ordinarias y decimales. En tales tareas hay dos posibles soluciones. Debe sopesar objetivamente los números y elegir el óptimo.
Primera forma: representar decimales ordinarios.
Es adecuado si la división o traducción da como resultado fracciones finitas. Si al menos un número da una parte periódica, entonces esta técnica está prohibida. Por lo tanto, aunque no te guste trabajar con fracciones ordinarias, tendrás que contarlas.
Segunda forma: escribir fracciones decimales como ordinarias
Esta técnica resulta conveniente si la parte después del punto decimal contiene 1-2 dígitos. Si hay más, es posible que termines con una fracción común muy grande y la notación decimal hará que la tarea sea más rápida y fácil de calcular. Por lo tanto, siempre es necesario evaluar con seriedad la tarea y elegir el método de solución más simple.
Sucede que, para facilitar los cálculos, es necesario convertir una fracción ordinaria a un decimal y viceversa. Hablaremos sobre cómo hacer esto en este artículo. Veamos las reglas para convertir fracciones ordinarias a decimales y viceversa, y también demos ejemplos.
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Consideraremos convertir fracciones ordinarias a decimales, siguiendo una secuencia determinada. Primero, veamos cómo las fracciones ordinarias con un denominador múltiplo de 10 se convierten a decimales: 10, 100, 1000, etc. Las fracciones con tales denominadores son, de hecho, una notación más engorrosa de fracciones decimales.
A continuación, veremos cómo convertir fracciones ordinarias con cualquier denominador, no sólo un múltiplo de 10, en fracciones decimales. Tenga en cuenta que al convertir fracciones ordinarias a decimales, no solo se obtienen decimales finitos, sino también fracciones decimales periódicas infinitas.
¡Empecemos!
Traducción de fracciones ordinarias con denominadores 10, 100, 1000, etc. a decimales
En primer lugar, digamos que algunas fracciones requieren cierta preparación antes de convertirse a forma decimal. ¿Qué es? Antes del número en el numerador, debes agregar tantos ceros para que el número de dígitos en el numerador sea igual al número de ceros en el denominador. Por ejemplo, para la fracción 3100, el número 0 se debe sumar una vez a la izquierda del 3 en el numerador. La fracción 610, según la regla antes expuesta, no necesita modificación.
Consideremos un ejemplo más, después del cual formularemos una regla que es especialmente conveniente de usar al principio, aunque no hay mucha experiencia en la conversión de fracciones. Entonces, la fracción 1610000 después de agregar ceros en el numerador se verá como 001510000.
Cómo convertir una fracción común con denominador 10, 100, 1000, etc. a decimales?
Regla para convertir fracciones propias ordinarias a decimales
- Escribe 0 y pon una coma después.
- Anotamos el número del numerador que se obtuvo después de sumar ceros.
Ahora pasemos a los ejemplos.
Ejemplo 1: convertir fracciones a decimales
Convirtamos la fracción 39.100 a decimal.
Primero, miramos la fracción y vemos que no es necesario realizar ninguna acción preparatoria: el número de dígitos en el numerador coincide con el número de ceros en el denominador.
Siguiendo la regla, escribimos 0, ponemos un punto decimal después y escribimos el número del numerador. Obtenemos la fracción decimal 0,39.
Veamos la solución a otro ejemplo sobre este tema.
Ejemplo 2. Convertir fracciones a decimales
Escribamos la fracción 105 10000000 como decimal.
El número de ceros en el denominador es 7 y el numerador tiene solo tres dígitos. Agreguemos 4 ceros más antes del número en el numerador:
0000105 10000000
Ahora escribimos 0, ponemos un punto decimal después y anotamos el número del numerador. Obtenemos la fracción decimal 0,0000105.
Las fracciones consideradas en todos los ejemplos son fracciones propias ordinarias. Pero, ¿cómo se convierte una fracción impropia a decimal? Digamos de inmediato que no es necesario prepararse para sumar ceros a tales fracciones. Formulemos una regla.
Regla para convertir fracciones impropias ordinarias a decimales
- Escribe el número que está en el numerador.
- Usamos un punto decimal para separar tantos dígitos a la derecha como ceros hay en el denominador de la fracción original.
A continuación se muestra un ejemplo de cómo utilizar esta regla.
Ejemplo 3. Convertir fracciones a decimales
Convirtamos la fracción 56888038009 100000 de una fracción irregular ordinaria a un decimal.
Primero, escribamos el número del numerador:
Ahora, a la derecha, separamos cinco dígitos con un punto decimal (el número de ceros en el denominador es cinco). Obtenemos:
La siguiente pregunta que surge naturalmente es: cómo convertir un número mixto en una fracción decimal si el denominador de su parte fraccionaria es el número 10, 100, 1000, etc. Para convertir dicho número a una fracción decimal, puede utilizar la siguiente regla.
Regla para convertir números mixtos a decimales
- Preparamos la parte fraccionaria del número, si es necesario.
- Anotamos la parte entera del número original y le ponemos una coma después.
- Anotamos el número del numerador de la parte fraccionaria junto con los ceros añadidos.
Veamos un ejemplo.
Ejemplo 4: convertir números mixtos a decimales
Convirtamos el número mixto 23 17 10000 a una fracción decimal.
En la parte fraccionaria tenemos la expresión 17 10000. Preparémoslo y agreguemos dos ceros más a la izquierda del numerador. Obtenemos: 0017 10000.
Ahora escribimos la parte entera del número y le ponemos una coma después: 23, . .
Después del punto decimal, escribe el número del numerador junto con ceros. Obtenemos el resultado:
23 17 10000 = 23 , 0017
Convertir fracciones ordinarias en fracciones periódicas finitas e infinitas
Por supuesto, puedes convertir a decimales y fracciones ordinarias con un denominador distinto de 10, 100, 1000, etc.
A menudo, una fracción se puede reducir fácilmente a un nuevo denominador y luego utilizar la regla establecida en el primer párrafo de este artículo. Por ejemplo, basta con multiplicar el numerador y el denominador de la fracción 25 por 2 y obtenemos la fracción 410, que se convierte fácilmente a la forma decimal 0,4.
Sin embargo, este método de convertir una fracción a decimal no siempre se puede utilizar. A continuación consideraremos qué hacer si es imposible aplicar el método considerado.
Una forma fundamentalmente nueva de convertir una fracción a decimal es dividir el numerador por el denominador con una columna. Esta operación es muy similar a dividir números naturales con una columna, pero tiene sus propias características.
Al dividir, el numerador se representa como una fracción decimal: se coloca una coma a la derecha del último dígito del numerador y se agregan ceros. En el cociente resultante se coloca un punto decimal cuando finaliza la división de la parte entera del numerador. Cómo funciona exactamente este método quedará claro después de observar los ejemplos.
Ejemplo 5. Convertir fracciones a decimales
Convirtamos la fracción común 621 4 a forma decimal.
Representemos el número 621 del numerador como una fracción decimal, agregando algunos ceros después del punto decimal. 621 = 621,00
Ahora dividamos 621,00 entre 4 usando una columna. Los primeros tres pasos de la división serán los mismos que cuando se dividen números naturales, y obtendremos.
Cuando llegamos al punto decimal en el dividendo, y el resto es distinto de cero, ponemos un punto decimal en el cociente y seguimos dividiendo, sin prestar más atención a la coma en el dividendo.
Como resultado, obtenemos la fracción decimal 155, 25, que es el resultado de invertir la fracción común 621 4
621 4 = 155 , 25
Veamos otro ejemplo para reforzar el material.
Ejemplo 6. Convertir fracciones a decimales
Inviertamos la fracción común 21 800.
Para ello, divide la fracción 21.000 en una columna entre 800. La división de la parte entera terminará en el primer paso, por lo que inmediatamente después ponemos un punto decimal en el cociente y continuamos la división, sin prestar atención a la coma en el dividendo hasta que obtengamos un resto igual a cero.
Como resultado, obtuvimos: 21.800 = 0,02625.
Pero, ¿qué pasa si al dividir todavía no obtenemos un resto de 0? En tales casos, la división puede continuar indefinidamente. Sin embargo, a partir de un determinado paso, los residuos se repetirán periódicamente. En consecuencia, se repetirán los números del cociente. Esto significa que una fracción ordinaria se convierte en una fracción periódica infinita decimal. Ilustremos esto con un ejemplo.
Ejemplo 7. Convertir fracciones a decimales
Convirtamos la fracción común 19 44 a decimal. Para ello, realizamos la división por columnas.
Vemos que durante la división se repiten los residuos 8 y 36. En este caso se repiten los números 1 y 8 en el cociente. Este es el período en fracción decimal. Al grabar, estos números se colocan entre paréntesis.
Por tanto, la fracción ordinaria original se convierte en una fracción decimal periódica infinita.
19 44 = 0 , 43 (18) .
Veamos una fracción ordinaria irreducible. ¿Qué forma adoptará? ¿Qué fracciones ordinarias se convierten a decimales finitos y cuáles a infinitas periódicas?
Primero, digamos que si una fracción se puede reducir a uno de los denominadores 10, 100, 1000..., entonces tendrá la forma de una fracción decimal final. Para que una fracción pueda reducirse a uno de estos denominadores, su denominador debe ser divisor de al menos uno de los números 10, 100, 1000, etc. De las reglas para factorizar números en factores primos se deduce que el divisor de números es 10, 100, 1000, etc. debe, cuando se factoriza en factores primos, contener solo los números 2 y 5.
Resumamos lo dicho:
- Una fracción común se puede reducir a un decimal final si su denominador se puede factorizar en factores primos de 2 y 5.
- Si, además de los números 2 y 5, hay otros números primos en el desarrollo del denominador, la fracción se reduce a la forma de una fracción decimal periódica infinita.
Pongamos un ejemplo.
Ejemplo 8. Convertir fracciones a decimales
¿Cuál de estas fracciones 47 20, 7 12, 21 56, 31 17 se convierte en una fracción decimal final y cuál, solo en una periódica? Respondamos esta pregunta sin convertir directamente una fracción a decimal.
La fracción 47 20, como es fácil comprobar, al multiplicar el numerador y el denominador por 5 se reduce a un nuevo denominador 100.
47 20 = 235 100. De esto concluimos que esta fracción se convierte a una fracción decimal final.
Factorizar el denominador de la fracción 7 12 da 12 = 2 · 2 · 3. Dado que el factor primo 3 es diferente de 2 y 5, esta fracción no se puede representar como una fracción decimal finita, sino que tendrá la forma de una fracción periódica infinita.
En primer lugar, es necesario reducir la fracción 21 56. Después de reducir por 7, obtenemos la fracción irreducible 3 8, cuyo denominador se factoriza para dar 8 = 2 · 2 · 2. Por tanto, es una fracción decimal final.
En el caso de la fracción 31 17, factorizar el denominador es el propio número primo 17. En consecuencia, esta fracción se puede convertir en una fracción decimal periódica infinita.
Una fracción ordinaria no se puede convertir en una fracción decimal infinita y no periódica.
Arriba hablamos solo de fracciones periódicas finitas e infinitas. Pero, ¿se puede convertir cualquier fracción ordinaria en una fracción infinita no periódica?
Respondemos: ¡no!
¡Importante!
Al convertir una fracción infinita a decimal, el resultado es un decimal finito o un decimal periódico infinito.
El resto de una división siempre es menor que el divisor. En otras palabras, según el teorema de divisibilidad, si dividimos algún número natural por el número q, entonces el resto de la división en cualquier caso no puede ser mayor que q-1. Una vez completada la división, es posible una de las siguientes situaciones:
- Obtenemos un resto de 0, y aquí es donde termina la división.
- Obtenemos un resto, que se repite en la división posterior, lo que da como resultado una fracción periódica infinita.
No puede haber otras opciones al convertir una fracción a decimal. Digamos también que la duración del período (número de dígitos) en una fracción periódica infinita es siempre menor que el número de dígitos en el denominador de la fracción ordinaria correspondiente.
Convertir decimales a fracciones
Ahora es el momento de ver el proceso inverso de convertir una fracción decimal en una fracción común. Formulemos una regla de traducción que incluya tres etapas. ¿Cómo convertir una fracción decimal a una fracción común?
Regla para convertir fracciones decimales a fracciones ordinarias
- En el numerador escribimos el número de la fracción decimal original, descartando la coma y todos los ceros de la izquierda, si los hubiera.
- En el denominador escribimos uno seguido de tantos ceros como dígitos haya después del punto decimal en la fracción decimal original.
- Si es necesario, reduzca la fracción ordinaria resultante.
Veamos la aplicación de esta regla usando ejemplos.
Ejemplo 8. Convertir fracciones decimales a fracciones ordinarias
Imaginemos el número 3,025 como una fracción ordinaria.
- Escribimos la propia fracción decimal en el numerador, descartando la coma: 3025.
- En el denominador escribimos uno, y después tres ceros; esta es exactamente la cantidad de dígitos que contiene la fracción original después del punto decimal: 3025 1000.
- La fracción resultante 3025 1000 se puede reducir en 25, dando como resultado: 3025 1000 = 121 40.
Ejemplo 9. Convertir fracciones decimales en fracciones ordinarias
Convirtamos la fracción 0,0017 de decimal a ordinaria.
- En el numerador escribimos la fracción 0, 0017, descartando la coma y los ceros de la izquierda. Resultarán 17.
- Escribimos uno en el denominador, y después escribimos cuatro ceros: 17 10000. Esta fracción es irreducible.
Si una fracción decimal tiene una parte entera, dicha fracción se puede convertir inmediatamente en un número mixto. ¿Cómo hacer esto?
Formulemos una regla más.
Regla para convertir decimales a números mixtos.
- El número antes del punto decimal en la fracción se escribe como la parte entera del número mixto.
- En el numerador escribimos el número después de la coma decimal de la fracción, descartando los ceros de la izquierda si los hay.
- En el denominador de la parte fraccionaria sumamos uno y tantos ceros como dígitos haya después del punto decimal en la parte fraccionaria.
Tomemos un ejemplo
Ejemplo 10: convertir un decimal en un número mixto
Imaginemos la fracción 155, 06005 como un número mixto.
- Escribimos el número 155 como parte entera.
- En el numerador escribimos los números después de la coma decimal, descartando el cero.
- Escribimos uno y cinco ceros en el denominador.
Aprendamos un número mixto: 155 6005 100000
La parte fraccionaria se puede reducir en 5. Lo acortamos y obtenemos el resultado final:
155 , 06005 = 155 1201 20000
Convertir infinitos decimales periódicos a fracciones
Veamos ejemplos de cómo convertir fracciones decimales periódicas en fracciones ordinarias. Antes de comenzar, aclaremos: cualquier fracción decimal periódica se puede convertir en una fracción ordinaria.
El caso más sencillo es cuando el período de la fracción es cero. Una fracción periódica con un período cero se reemplaza por una fracción decimal final, y el proceso de revertir dicha fracción se reduce a revertir la fracción decimal final.
Ejemplo 11. Convertir una fracción decimal periódica a una fracción común
Invirtamos la fracción periódica 3, 75 (0).
Eliminando los ceros de la derecha, obtenemos la fracción decimal final 3,75.
Convirtiendo esta fracción a una fracción ordinaria usando el algoritmo discutido en los párrafos anteriores, obtenemos:
3 , 75 (0) = 3 , 75 = 375 100 = 15 4 .
¿Qué pasa si el período de la fracción es distinto de cero? La parte periódica debe considerarse como la suma de los términos de una progresión geométrica, que decrece. Expliquemos esto con un ejemplo:
0 , (74) = 0 , 74 + 0 , 0074 + 0 , 000074 + 0 , 00000074 + . .
Existe una fórmula para la suma de términos de una progresión geométrica decreciente infinita. Si el primer término de la progresión es b y el denominador q es tal que 0< q < 1 , то сумма равна b 1 - q .
Veamos algunos ejemplos usando esta fórmula.
Ejemplo 12. Convertir una fracción decimal periódica a una fracción común
Tengamos una fracción periódica 0, (8) y necesitamos convertirla a una fracción ordinaria.
0 , (8) = 0 , 8 + 0 , 08 + 0 , 008 + . .
Aquí tenemos una progresión geométrica infinita decreciente con el primer término 0, 8 y el denominador 0, 1.
Apliquemos la fórmula:
0 , (8) = 0 , 8 + 0 , 08 + 0 , 008 + . . = 0 , 8 1 - 0 , 1 = 0 , 8 0 , 9 = 8 9
Esta es la fracción ordinaria requerida.
Para consolidar el material, considere otro ejemplo.
Ejemplo 13. Convertir una fracción decimal periódica a una fracción común
Inviertamos la fracción 0, 43 (18).
Primero escribimos la fracción como una suma infinita:
0 , 43 (18) = 0 , 43 + (0 , 0018 + 0 , 000018 + 0 , 00000018 . .)
Veamos los términos entre paréntesis. Esta progresión geométrica se puede representar de la siguiente manera:
0 , 0018 + 0 , 000018 + 0 , 00000018 . . = 0 , 0018 1 - 0 , 01 = 0 , 0018 0 , 99 = 18 9900 .
Sumamos el resultado a la fracción final 0, 43 = 43 100 y obtenemos el resultado:
0 , 43 (18) = 43 100 + 18 9900
Después de sumar estas fracciones y reducir, obtenemos la respuesta final:
0 , 43 (18) = 19 44
Para concluir este artículo, diremos que las fracciones decimales infinitas no periódicas no se pueden convertir en fracciones ordinarias.
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Todas las fracciones se dividen en dos tipos: ordinarias y decimales. Las fracciones de este tipo se llaman ordinarias: 9/8,3/4,1/2,1 3/4. Tienen un número superior (numerador) y un número inferior (denominador). Cuando el numerador es menor que el denominador, la fracción se llama propia; en caso contrario, la fracción se llama impropia. Las fracciones como 1 7/8 constan de una parte entera (1) y una parte fraccionaria (7/8) y se llaman mixtas.
Entonces las fracciones son:
- Común
- Correcto
- Equivocado
- Mezclado
- Decimal
Cómo hacer un decimal a partir de una fracción.
Un curso básico de matemáticas escolar enseña cómo convertir una fracción a un decimal. Todo es extremadamente simple: debes dividir el numerador por el denominador "manualmente" o, si eres muy vago, usando una microcalculadora. He aquí un ejemplo: 2/5=0,4;3/4=0,75; 1/2=0,5. No es mucho más difícil convertir una fracción impropia a decimal. Ejemplo: 1 3/4= 7/4= 1,75. El último resultado lo podemos obtener sin división, si tenemos en cuenta que 3/4 = 0,75 y sumamos uno: 1 + 0,75 = 1,75.
Sin embargo, no todas las fracciones ordinarias son tan sencillas. Por ejemplo, intentemos convertir 1/3 de fracciones ordinarias a decimales. Incluso alguien que haya obtenido una C en matemáticas (usando un sistema de cinco puntos) notará que no importa cuánto tiempo continúe la división, después del cero y la coma habrá un número infinito de triples 1/3 = 0,3333…. . Se acostumbra leer así: punto cero, tres en punto. En consecuencia, se escribe de la siguiente manera: 1/3=0,(3). Ocurrirá una situación similar si intentas convertir 5/6 en una fracción decimal: 5/6=0,8(3). Estas fracciones se denominan periódicas infinitas. Aquí tienes un ejemplo de la fracción 3/7: 3/7= 0,42857142857142857142857142857143…, es decir, 3/7=0.(428571).
Entonces, como resultado de convertir una fracción común a un decimal, puedes obtener:
- fracción decimal no periódica;
- fracción decimal periódica.
Cabe señalar que también existen infinitas fracciones no periódicas que se obtienen realizando las siguientes acciones: sacar la raíz enésima, logaritmo, potenciación. Por ejemplo, √3= 1,732050807568877…. El famoso número π≈ 3.1415926535897932384626433832795…. .
Ahora multipliquemos 3 por 0,(3): 3×0,(3)=0,(9)=1. Resulta que 0,(9) es otra forma de unidad de escritura. Asimismo, 9=9/9,16=16,0, etc.
También es legítima la pregunta opuesta a la que da título a este artículo: “cómo convertir una fracción decimal en una normal”. La respuesta a esta pregunta la da un ejemplo: 0,5= 5/10=1/2. En el último ejemplo, reducimos el numerador y denominador de la fracción 5/10 a 5. Es decir, para convertir un decimal en una fracción común, debes representarlo como una fracción con un denominador de 10.
Será interesante ver este video sobre qué son las fracciones:
Para aprender cómo convertir una fracción decimal a una fracción común, consulte aquí:
Parecería que convertir una fracción decimal en una fracción normal es un tema elemental, ¡pero muchos estudiantes no lo entienden! Por lo tanto, hoy analizaremos en detalle varios algoritmos a la vez, con la ayuda de los cuales comprenderá cualquier fracción en solo un segundo.
Déjame recordarte que existen al menos dos formas de escribir una misma fracción: común y decimal. Las fracciones decimales son todo tipo de construcciones de la forma 0,75; 1,33; e incluso −7,41. A continuación se muestran ejemplos de fracciones ordinarias que expresan los mismos números:
Ahora averigüémoslo: ¿cómo pasar de la notación decimal a la notación regular? Y lo más importante: ¿cómo hacerlo lo más rápido posible?
Algoritmo básico
De hecho, existen al menos dos algoritmos. Y ahora veremos ambos. Empecemos por el primero, el más sencillo y comprensible.
Para convertir un decimal a una fracción, debes seguir tres pasos:
Una nota importante sobre los números negativos. Si en el ejemplo original hay un signo menos delante de la fracción decimal, entonces en el resultado también debería haber un signo menos delante de la fracción común. Aquí hay algunos ejemplos más:
Ejemplos de transición de la notación decimal de fracciones a la ordinaria Me gustaría prestar especial atención al último ejemplo. Como puedes ver, la fracción 0,0025 contiene muchos ceros después del punto decimal. Debido a esto, debes multiplicar el numerador y el denominador por 10 hasta cuatro veces. ¿Es posible simplificar de alguna manera el algoritmo en este caso?
Por supuesto que puedes. Y ahora veremos un algoritmo alternativo: es un poco más difícil de entender, pero después de un poco de práctica funciona mucho más rápido que el estándar.
manera más rápida
Este algoritmo también tiene 3 pasos. Para obtener una fracción de un decimal, haga lo siguiente:
- Cuente cuántos dígitos hay después del punto decimal. Por ejemplo, la fracción 1,75 tiene dos de esos dígitos y 0,0025 tiene cuatro. Denotemos esta cantidad con la letra $n$.
- Reescribe el número original como una fracción de la forma $\frac(a)(((10)^(n)))$, donde $a$ son todos los dígitos de la fracción original (sin los ceros “iniciales” en el izquierda, si corresponde), y $n$ es el mismo número de dígitos después del punto decimal que calculamos en el primer paso. En otras palabras, debes dividir los dígitos de la fracción original por uno seguido de $n$ ceros.
- Si es posible, reduzca la fracción resultante.
¡Eso es todo! A primera vista, este esquema es más complicado que el anterior. Pero en realidad es más sencillo y más rápido. Juzgue usted mismo:
Como puede ver, en la fracción 0,64 hay dos dígitos después del punto decimal: 6 y 4. Por lo tanto $n=2$. Si eliminamos la coma y los ceros de la izquierda (en este caso, solo un cero), obtenemos el número 64. Pasemos al segundo paso: $((10)^(n))=((10)^ (2))=100$, por lo tanto, el denominador es exactamente cien. Bueno, entonces solo queda reducir el numerador y el denominador :)
Otro ejemplo:
Aquí todo es un poco más complicado. En primer lugar, ya hay 3 números después del punto decimal, es decir $n=3$, entonces tienes que dividir por $((10)^(n))=((10)^(3))=1000$. En segundo lugar, si eliminamos la coma de la notación decimal, obtenemos esto: 0,004 → 0004. Recuerde que hay que eliminar los ceros de la izquierda, por lo que en realidad tenemos el número 4. Entonces todo es simple: divide, reduce y obtiene la respuesta.
Finalmente, el último ejemplo:
La peculiaridad de esta fracción es la presencia de una parte entera. Por lo tanto, el resultado que obtenemos es una fracción impropia de 47/25. Por supuesto, puedes intentar dividir 47 entre 25 con un resto y así aislar nuevamente toda la parte. Pero, ¿por qué complicarse la vida si esto se puede hacer en la etapa de transformación? Bueno, averigüémoslo.
¿Qué hacer con toda la parte?
De hecho, todo es muy simple: si queremos obtener una fracción adecuada, entonces debemos quitarle toda la parte durante la transformación y luego, cuando obtengamos el resultado, agregarla nuevamente a la derecha antes de la línea de fracción. .
Por ejemplo, considere el mismo número: 1,88. Califiquemos por uno (la parte completa) y miremos la fracción 0,88. Se puede convertir fácilmente:
Luego recordamos la unidad “perdida” y la agregamos al frente:
\[\frac(22)(25)\a 1\frac(22)(25)\]
¡Eso es todo! La respuesta resultó ser la misma que después de seleccionar la parte completa la última vez. Un par de ejemplos más:
\[\begin(align)& 2.15\to 0.15=\frac(15)(100)=\frac(3)(20)\to 2\frac(3)(20); \\& 13.8\a 0.8=\frac(8)(10)=\frac(4)(5)\a 13\frac(4)(5). \\\end(alinear)\]
Ésta es la belleza de las matemáticas: no importa el camino que tomes, si todos los cálculos se hacen correctamente, la respuesta siempre será la misma :)
En conclusión, me gustaría considerar otra técnica que ayuda a muchos.
Transformaciones “de oído”
Pensemos en qué es un decimal. Más precisamente, cómo lo leemos. Por ejemplo, el número 0,64: lo leemos como "cero coma 64 centésimas", ¿verdad? Bueno, o simplemente “64 centésimas”. La palabra clave aquí es “centésimas”, es decir número 100.
¿Qué pasa con 0,004? Esto es “cero coma 4 milésimas” o simplemente “cuatro milésimas”. De una forma u otra, la palabra clave es “miles”, es decir 1000.
Entonces, ¿cuál es el problema? Y el hecho es que son estos números los que finalmente “aparecen” en los denominadores en la segunda etapa del algoritmo. Aquellos. 0,004 es “cuatro milésimas” o “4 dividido por 1000”:
Intenta practicar tú mismo, es muy sencillo. Lo principal es leer correctamente la fracción original. Por ejemplo, 2,5 es “2 enteros, 5 décimos”, por lo que
Y algo de 1,125 es “1 entero, 125 milésimas”, así que
En el último ejemplo, por supuesto, alguien objetará, diciendo que no es obvio para todos los estudiantes que 1000 es divisible por 125. Pero aquí debes recordar que 1000 = 10 3 y 10 = 2 ∙ 5, por lo tanto
\[\begin(align)& 1000=10\cdot 10\cdot 10=2\cdot 5\cdot 2\cdot 5\cdot 2\cdot 5= \\& =2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\ cdot 5\cdot 5=8\cdot 125\end(align)\]
Por lo tanto, cualquier potencia de diez se puede descomponer solo en los factores 2 y 5; son estos factores los que deben buscarse en el numerador para que al final todo se reduzca.
Esto concluye la lección. Pasemos a una operación inversa más compleja; consulte "
