En esta lección veremos dos operaciones más con vectores: producto vectorial de vectores Y producto mixto de vectores (enlace inmediato para quienes lo necesiten). Está bien, a veces sucede que para la felicidad total, además de producto escalar de vectores, cada vez se necesitan más. Esta es la adicción a los vectores. Puede parecer que nos adentramos en la jungla de la geometría analítica. Esto está mal. En esta sección de matemáticas superiores generalmente hay poca madera, excepto quizás suficiente para Pinocho. De hecho, el material es muy común y simple, apenas más complicado que el mismo. producto escalar, habrá incluso menos tareas típicas. Lo principal en geometría analítica, como muchos estarán convencidos o ya lo han estado, es NO COMETIR ERRORES EN LOS CÁLCULOS. Repite como un hechizo y serás feliz =)

Si los vectores brillan en algún lugar lejano, como un rayo en el horizonte, no importa, comienza con la lección. Vectores para tontos recuperar o readquirir conocimientos básicos sobre vectores. Los lectores más preparados pueden familiarizarse con la información de forma selectiva; traté de recopilar la colección más completa de ejemplos que se encuentran a menudo en el trabajo práctico.

¿Qué te hará feliz de inmediato? Cuando era pequeña podía hacer malabarismos con dos y hasta tres pelotas. Funcionó bien. Ahora no tendrás que hacer ningún malabarismo, ya que consideraremos solo vectores espaciales, y se omitirán los vectores planos con dos coordenadas. ¿Por qué? Así nacieron estas acciones: el vector y el producto mixto de vectores se definen y funcionan en un espacio tridimensional. ¡Ya es más fácil!

Esta operación, al igual que el producto escalar, implica dos vectores. Que estas sean letras imperecederas.

La acción en sí denotado por de la siguiente manera: . Hay otras opciones, pero estoy acostumbrado a denotar el producto vectorial de vectores de esta manera, entre corchetes con una cruz.

Y de inmediato pregunta: si en producto escalar de vectores están involucrados dos vectores, y aquí también se multiplican dos vectores, entonces cuál es la diferencia? La diferencia obvia está, en primer lugar, en el RESULTADO:

El resultado del producto escalar de vectores es NÚMERO:

El resultado del producto cruzado de vectores es VECTOR: , es decir, multiplicamos los vectores y obtenemos un vector nuevamente. Club cerrado. En realidad, de aquí proviene el nombre de la operación. En diferentes publicaciones educativas, las designaciones también pueden variar; usaré la letra.

Definición de producto cruzado

Primero habrá una definición con una imagen, luego comentarios.

Definición: Producto vectorial no colineal vectores, tomado en este orden, llamado VECTOR, longitud que es numéricamente igual al área del paralelogramo, construido sobre estos vectores; vector ortogonal a vectores, y está dirigido para que la base tenga una orientación correcta:

Analicemos la definición pieza por pieza, ¡hay muchas cosas interesantes aquí!

Así, se pueden destacar los siguientes puntos importantes:

1) Los vectores originales, indicados por flechas rojas, por definición. no colineal. Será apropiado considerar el caso de los vectores colineales un poco más adelante.

2) Se toman vectores en un orden estrictamente definido: – "a" se multiplica por "be", no "ser" con "a". El resultado de la multiplicación de vectores. es VECTOR, que se indica en azul. Si los vectores se multiplican en orden inverso, obtenemos un vector de igual longitud y de dirección opuesta (color frambuesa). Es decir, la igualdad es verdadera. .

3) Ahora conozcamos el significado geométrico del producto vectorial. ¡Este es un punto muy importante! La LONGITUD del vector azul (y, por lo tanto, del vector carmesí) es numéricamente igual al ÁREA del paralelogramo construido sobre los vectores. En la figura, este paralelogramo está sombreado en negro.

Nota : el dibujo es esquemático y, naturalmente, la longitud nominal del producto vectorial no es igual al área del paralelogramo.

Recordemos una de las fórmulas geométricas: El área de un paralelogramo es igual al producto de los lados adyacentes por el seno del ángulo entre ellos. Por lo tanto, con base en lo anterior, es válida la fórmula para calcular la LONGITUD de un producto vectorial:

Hago hincapié en que la fórmula trata sobre la LONGITUD del vector y no sobre el vector en sí. ¿Cuál es el significado práctico? Y el significado es que en problemas de geometría analítica, el área de un paralelogramo a menudo se encuentra mediante el concepto de producto vectorial:

Obtengamos la segunda fórmula importante. La diagonal de un paralelogramo (línea de puntos roja) lo divide en dos triángulos iguales. Por lo tanto, el área de un triángulo construido sobre vectores (sombreado en rojo) se puede encontrar usando la fórmula:

4) Un hecho igualmente importante es que el vector es ortogonal a los vectores, es decir . Por supuesto, el vector dirigido en sentido opuesto (flecha de frambuesa) también es ortogonal a los vectores originales.

5) El vector se dirige de modo que base Tiene bien orientación. En la lección sobre transición a una nueva base Hablé con suficiente detalle sobre orientación plana, y ahora descubriremos qué es la orientación espacial. te lo explicaré con los dedos mano derecha. combinar mentalmente dedo índice con vectores y dedo medio con vectores. Dedo anular y meñique presiónelo en su palma. Como resultado pulgar– el producto vectorial buscará hacia arriba. Ésta es una base orientada a la derecha (es ésta en la figura). Ahora cambia los vectores ( dedos índice y medio) en algunos lugares, como resultado el pulgar se girará y el producto vectorial ya mirará hacia abajo. Esta es también una base orientada hacia los derechos. Quizás tengas una pregunta: ¿qué base ha dejado la orientación? “Asignar” a los mismos dedos mano izquierda vectores, y obtener la base izquierda y la orientación izquierda del espacio (en este caso, el pulgar estará ubicado en la dirección del vector inferior). En sentido figurado, estas bases “tuercen” u orientan el espacio en diferentes direcciones. Y este concepto no debe considerarse algo inverosímil o abstracto; por ejemplo, el espejo más común cambia la orientación del espacio, y si "saca el objeto reflejado del espejo", entonces, en el caso general, No será posible combinarlo con el “original”. Por cierto, acerca tres dedos al espejo y analiza el reflejo ;-)

...qué bueno que ahora sepas orientado a la derecha y a la izquierda bases, porque las declaraciones de algunos profesores sobre un cambio de orientación dan miedo =)

Producto cruzado de vectores colineales

La definición se ha discutido en detalle, queda por descubrir qué sucede cuando los vectores son colineales. Si los vectores son colineales, entonces se pueden colocar en una línea recta y nuestro paralelogramo también se "dobla" en una línea recta. El área de tal, como dicen los matemáticos, degenerar paralelogramo es igual a cero. Lo mismo se desprende de la fórmula: el seno de cero o 180 grados es igual a cero, lo que significa que el área es cero

Así, si , entonces . Estrictamente hablando, el producto vectorial en sí es igual al vector cero, pero en la práctica esto a menudo se descuida y se escribe que es simplemente igual a cero.

Un caso especial es el producto cruzado de un vector consigo mismo:

Utilizando el producto vectorial se puede comprobar la colinealidad de vectores tridimensionales, y también analizaremos este problema, entre otros.

Para resolver ejemplos prácticos es posible que necesites tabla trigonométrica para encontrar los valores de los senos a partir de él.

Bueno, encendamos el fuego:

Ejemplo 1

a) Encuentre la longitud del producto vectorial de vectores si

b) Encuentra el área de un paralelogramo construido sobre vectores si

Solución: No, esto no es un error tipográfico, deliberadamente hice los mismos datos iniciales en las cláusulas. ¡Porque el diseño de las soluciones será diferente!

a) Según la condición, necesitas encontrar longitud vector (producto cruzado). Según la fórmula correspondiente:

Respuesta:

Si le preguntaron sobre la longitud, en la respuesta indicamos la dimensión: unidades.

b) Según la condición, es necesario encontrar cuadrado paralelogramo construido sobre vectores. El área de este paralelogramo es numéricamente igual a la longitud del producto vectorial:

Respuesta:

Tenga en cuenta que la respuesta no habla en absoluto del producto vectorial sobre el que nos preguntaron; área de la figura, en consecuencia, la dimensión son unidades cuadradas.

Siempre miramos QUÉ necesitamos encontrar según la condición y, en base a esto, formulamos claro respuesta. Puede parecer literalismo, pero hay muchos literalistas entre los profesores y la tarea tiene muchas posibilidades de ser devuelta para revisión. Aunque no se trata de una objeción especialmente descabellada, si la respuesta es incorrecta, da la impresión de que la persona no comprende cosas simples y/o no ha comprendido la esencia de la tarea. Este punto siempre debe mantenerse bajo control al resolver cualquier problema en matemáticas superiores, y también en otras materias.

¿A dónde se fue la letra grande “en”? En principio, se podría haber adjuntado adicionalmente a la solución, pero para acortar la entrada no lo hice. Espero que todos entiendan eso y es una designación para lo mismo.

Un ejemplo popular de solución de bricolaje:

Ejemplo 2

Encuentra el área de un triángulo construido sobre vectores si

La fórmula para encontrar el área de un triángulo a través del producto vectorial se da en los comentarios a la definición. La solución y la respuesta están al final de la lección.

En la práctica, la tarea es realmente muy común; los triángulos generalmente pueden atormentarte.

Para resolver otros problemas necesitaremos:

Propiedades del producto vectorial de vectores.

Ya hemos considerado algunas propiedades del producto vectorial, sin embargo, las incluiré en esta lista.

Para vectores arbitrarios y un número arbitrario, las siguientes propiedades son verdaderas:

1) En otras fuentes de información, este elemento no suele destacarse en las propiedades, pero es muy importante en términos prácticos. Pues dejalo ser.

2) – la propiedad también se analiza anteriormente, a veces se la llama anticonmutatividad. En otras palabras, el orden de los vectores importa.

3) – asociativo o de asociación leyes de productos vectoriales. Las constantes se pueden mover fácilmente fuera del producto vectorial. Realmente, ¿qué deberían hacer allí?

4) – distribución o distributivo leyes de productos vectoriales. Tampoco hay problemas para abrir los soportes.

Para demostrarlo, veamos un breve ejemplo:

Ejemplo 3

encontrar si

Solución: La condición nuevamente requiere encontrar la longitud del producto vectorial. Pintemos nuestra miniatura:

(1) Según leyes asociativas, sacamos las constantes del alcance del producto vectorial.

(2) Movemos la constante fuera del módulo y el módulo "se come" el signo menos. La longitud no puede ser negativa.

(3) El resto está claro.

Respuesta:

Es hora de echar más leña al fuego:

Ejemplo 4

Calcula el área de un triángulo construido sobre vectores si

Solución: Encuentra el área del triángulo usando la fórmula . El problema es que los vectores “tse” y “de” se presentan como sumas de vectores. El algoritmo aquí es estándar y recuerda algo a los ejemplos 3 y 4 de la lección. Producto escalar de vectores. Para mayor claridad, dividiremos la solución en tres etapas:

1) En el primer paso, expresamos el producto vectorial a través del producto vectorial, de hecho, expresemos un vector en términos de un vector. ¡Aún no se sabe nada sobre las longitudes!

(1) Sustituir las expresiones de los vectores.

(2) Utilizando leyes distributivas, abrimos los corchetes según la regla de multiplicación de polinomios.

(3) Usando leyes asociativas, movemos todas las constantes más allá de los productos vectoriales. Con un poco de experiencia, los pasos 2 y 3 se pueden realizar simultáneamente.

(4) El primer y último término son iguales a cero (vector cero) debido a la propiedad nice. En el segundo término utilizamos la propiedad de anticonmutatividad de un producto vectorial:

(5) Presentamos términos similares.

Como resultado, el vector resultó expresarse a través de un vector, que es lo que se necesitaba lograr:

2) En el segundo paso, encontramos la longitud del producto vectorial que necesitamos. Esta acción es similar al Ejemplo 3:

3) Encuentra el área del triángulo requerido:

Las etapas 2 y 3 de la solución podrían haberse escrito en una línea.

Respuesta:

El problema considerado es bastante común en las pruebas, aquí hay un ejemplo para resolverlo usted mismo:

Ejemplo 5

encontrar si

Una breve solución y respuesta al final de la lección. A ver qué tan atento estuviste al estudiar los ejemplos anteriores ;-)

Producto cruzado de vectores en coordenadas.

La fórmula es realmente sencilla: en la línea superior del determinante escribimos los vectores de coordenadas, en la segunda y tercera línea “ponemos” las coordenadas de los vectores, y ponemos en estricto orden– primero las coordenadas del vector “ve”, luego las coordenadas del vector “doble-ve”. Si es necesario multiplicar los vectores en un orden diferente, entonces se deben intercambiar las filas:

Ejemplo 10

Compruebe si los siguientes vectores espaciales son colineales:
A)
b)

Solución: La verificación se basa en una de las afirmaciones de esta lección: si los vectores son colineales, entonces su producto vectorial es igual a cero (vector cero): .

a) Encuentre el producto vectorial:

Por tanto, los vectores no son colineales.

b) Encuentra el producto vectorial:

Respuesta: a) no colineal, b)

Aquí, quizás, esté toda la información básica sobre el producto vectorial de vectores.

Esta sección no será muy extensa, ya que hay pocos problemas en los que se utiliza el producto mixto de vectores. De hecho, todo dependerá de la definición, el significado geométrico y un par de fórmulas de trabajo.

Un producto mixto de vectores es el producto de tres vectores.:

Así que se alinearon como un tren y no pueden esperar a ser identificados.

Primero, de nuevo, una definición y una imagen:

Definición: Trabajo mixto no coplanar vectores, tomado en este orden, llamado volumen paralelepípedo, construido sobre estos vectores, equipado con un signo "+" si la base está a la derecha y un signo "-" si la base está a la izquierda.

Hagamos el dibujo. Las líneas invisibles para nosotros se dibujan con líneas de puntos:

Profundicemos en la definición:

2) Se toman vectores en un cierto orden, es decir, la reordenación de vectores en el producto, como se puede adivinar, no ocurre sin consecuencias.

3) Antes de comentar el significado geométrico, señalaré un hecho obvio: el producto mixto de vectores es un NÚMERO: . En la literatura educativa, el diseño puede ser ligeramente diferente; estoy acostumbrado a denotar un producto mixto con , y el resultado de los cálculos con la letra "pe".

priorato el producto mezclado es el volumen del paralelepípedo, construido sobre vectores (la figura está dibujada con vectores rojos y líneas negras). Es decir, el número es igual al volumen de este paralelepípedo.

Nota : El dibujo es esquemático.

4) No nos preocupemos más por el concepto de orientación de la base y el espacio. El significado de la parte final es que se puede agregar un signo menos al volumen. En palabras simples, un producto mixto puede ser negativo: .

Directamente de la definición se desprende la fórmula para calcular el volumen de un paralelepípedo construido sobre vectores.

Para considerar este tema en detalle, es necesario cubrir varias secciones más. El tema está directamente relacionado con términos como producto escalar y producto vectorial. En este artículo intentamos dar una definición precisa, indicar una fórmula que ayudará a determinar el producto utilizando las coordenadas de los vectores. Además, el artículo incluye secciones que enumeran las propiedades del producto y proporciona un análisis detallado de igualdades y problemas típicos.

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Término

Para determinar cuál es este término, es necesario tomar tres vectores.

Definición 1

Trabajo mixto a → , b → y d → es el valor que es igual al producto escalar de a → × b → y d → , donde a → × b → es la multiplicación de a → y b → . La operación de multiplicación a →, b → y d → a menudo se denota por a → · b → · d →. Puedes transformar la fórmula así: a → · b → · d → = (a → × b → , d →) .

Multiplicación en un sistema de coordenadas.

Podemos multiplicar vectores si se especifican en el plano de coordenadas.

Tomemos i → , j → , k →

El producto de vectores en este caso particular tendrá la siguiente forma: a → × b → = (a y · b z - a z · b y) · i → + (a z · b x + a x · b z) · j → + (a x · b y + a y · b x) k → = a y a z b y b z i → - a x a z b x b z j → + a x a y b x b y k →

Definición 2

Para hacer el producto escalar en el sistema de coordenadas es necesario sumar los resultados obtenidos durante la multiplicación de coordenadas.

Por lo tanto:

a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x + a x b z) j → + (a x b y + a y b x) k → = a y a z b y b z i → - a x a z b x b z · j → + a x a y b x b y · k →

También podemos definir un producto mixto de vectores si un sistema de coordenadas dado especifica las coordenadas de los vectores que se están multiplicando.

a → × b → = (a y a z b y b z · i → - a x a z b x b z · j → + a x a y b x b y · k → , d x · i → + d y · j → + d z · k →) = = a y a z b y b z · d x - a x a z b x b z · d y + x a y b x by d z = a x a y a z b x by b z d x d y d z

Así, podemos concluir que:

a → · b → · d = a → × b → , d → = a x a y a z b x b y b z d x d y d z

Definición 3

Un producto mixto se puede equiparar. al determinante de una matriz cuyas filas son coordenadas vectoriales. Visualmente se ve así: a → · b → · d = a → × b → , d → = a x a y a z b x b y b z d x d y d z .

Propiedades de las operaciones sobre vectores A partir de las características que se destacan en un producto escalar o vectorial, podemos derivar las características que caracterizan al producto mixto. A continuación presentamos las principales propiedades.

1. (λ a →) b → d → = a → (λ b →) d → = a → b → (λ d →) = λ a → b → d → λ ∈ R ;
2. a → · b → · d → = d → · a → · b → = b → · d → · a → ; a → · d → · b → = b → · a → · d → = d → · b → · a → ;
3. (a (1) → + a (2) →) · b → · d → = a (1) → · b → · d → + a (2) → · b → · d → a → · (b (1) ) → + b (2) →) d → = a → b (1) → d → + a → b (2) → d → a → b → (d (1) → + d (2) →) = a → b → d (2) → + a → b → d (2) →

Además de las propiedades anteriores, cabe aclarar que si el multiplicador es cero, entonces el resultado de la multiplicación también será cero.

El resultado de la multiplicación también será cero si dos o más factores son iguales.

En efecto, si a → = b →, entonces, siguiendo la definición del producto vectorial [ a → × b → ] = a → · b → · sin 0 = 0 , por lo tanto, el producto mixto es igual a cero, ya que ([ a → × b → ] , re →) = (0 → , re →) = 0 .

Si a → = b → o b → = d →, entonces el ángulo entre los vectores [a → × b →] y d → es igual a π 2. Por definición del producto escalar de vectores ([ a → × b → ], d →) = [ a → × b → ] · d → · cos π 2 = 0 .

Las propiedades de la operación de multiplicación se requieren con mayor frecuencia al resolver problemas.
Para analizar este tema en detalle, tomemos algunos ejemplos y describámoslos en detalle.

Ejemplo 1

Demuestre la igualdad ([ a → × b → ], d → + λ a → + b →) = ([ a → × b → ], d →), donde λ es algún número real.

Para encontrar una solución a esta igualdad, se debe transformar su lado izquierdo. Para hacer esto, use la tercera propiedad de un producto mixto, que dice:

([ a → × b → ], d → + λ a → + b →) = ([ a → × b → ], d →) + ([ a → × b → ], λ a →) + ( [ a → × b → ] , b →)
Hemos visto que (([ a → × b → ] , b →) = 0 . De esto se deduce que
([ a → × b → ], d → + λ a → + b →) = ([ a → × b → ], d →) + ([ a → × b → ], λ a →) + ( [ a → × b → ] , b →) = = ([ a → × b → ] , d → ) + ([ a → × b → ] , λ a →) + 0 = ([ a → × b → ] , re →) + ([ a → × b → ] , λ a →)

Según la primera propiedad, ([ a ⇀ × b ⇀ ], λ · a →) = λ · ([ a ⇀ × b ⇀ ], a →), y ([ a ⇀ × b ⇀ ], a →) = 0. Así, ([ a ⇀ × b ⇀ ], λ · a →) . Es por eso,
([ a ⇀ × b ⇀ ], d → + λ a → + b →) = ([ a ⇀ × b ⇀ ], d →) + ([ a ⇀ × b ⇀ ], λ a →) = = ([ a ⇀ × b ⇀ ], d →) + 0 = ([ a ⇀ × b ⇀ ], d →)

La igualdad ha quedado demostrada.

Ejemplo 2

Es necesario demostrar que el módulo del producto mixto de tres vectores no es mayor que el producto de sus longitudes.

Solución

Según la condición, podemos presentar el ejemplo en forma de desigualdad a → × b → , d → ≤ a → · b → · d → .

Por definición, transformamos la desigualdad a → × b → , d → = a → × b → · d → · cos (a → × b → ^ , d →) = = a → · b → · sin (a → , b → ^) d → porque ([ a → × b → ^ ] , d)

Usando funciones elementales, podemos concluir que 0 ≤ sin (a → , b → ^) ≤ 1, 0 ≤ cos ([ a → × b → ^ ], d →) ≤ 1.

De esto podemos concluir que
(a → × b → , d →) = a → · b → · sin (a → , b →) ^ · d → · cos (a → × b → ^ , d →) ≤ ≤ a → · b → · 1 re → 1 = a → b → re →

La desigualdad ha sido probada.

Análisis de tareas típicas.

Para determinar cuál es el producto de vectores, necesitas saber las coordenadas de los vectores que se multiplican. Para la operación, puedes usar la siguiente fórmula a → · b → · d → = (a → × b → , d →) = a x a y a z b x b y b z d x d y d z .

Ejemplo 3

En un sistema de coordenadas rectangular, hay 3 vectores con las siguientes coordenadas: a → = (1, - 2, 3), b → (- 2, 2, 1), d → = (3, - 2, 5). Es necesario determinar a qué es igual el producto de los vectores indicados a → · b → · d →.

Con base en la teoría presentada anteriormente, podemos usar la regla de que el producto mixto se puede calcular mediante el determinante de la matriz. Se verá así: a → b → d → = (a → × b → , d →) = a x a y a z b x b y b z d x d y d z = 1 - 2 3 - 2 2 1 3 - 2 5 = = 1 2 5 + (- 1 ) 1 3 + 3 (- 2) (- 2) - 3 2 3 - (- 1) (- 2) 5 - 1 1 (- 2) = - 7

Ejemplo 4

Es necesario encontrar el producto de los vectores i → + j → , i → + j → - k → , i → + j → + 2 · k → , donde i → , j → , k → son los vectores unitarios de sistema de coordenadas cartesiano rectangular.

Con base en la condición que establece que los vectores están ubicados en un sistema de coordenadas dado, se pueden derivar sus coordenadas: i → + j → = (1, 1, 0) i → + j → - k → = (1, 1, - 1) i → + j → + 2 k → = (1, 1, 2)

Usamos la fórmula que se usó arriba.
i → + j → × (i → + j → - k → , (i → + j → + 2 k →) = 1 1 0 1 1 - 1 1 1 2 = 0 i → + j → × (i → + j → - k → , (i → + j → + 2 k →) = 0

También es posible determinar el producto mixto utilizando la longitud del vector, que ya se conoce, y el ángulo entre ellos. Veamos esta tesis con un ejemplo.

Ejemplo 5

En un sistema de coordenadas rectangular hay tres vectores a →, b → y d →, que son perpendiculares entre sí. Son triples diestros y sus longitudes son 4, 2 y 3. Es necesario multiplicar los vectores.

Denotemos c → = a → × b → .

Según la regla, el resultado de multiplicar vectores escalares es un número igual al resultado de multiplicar las longitudes de los vectores utilizados por el coseno del ángulo entre ellos. Concluimos que a → · b → · d → = ([ a → × b → ], d →) = c → , d → = c → · d → · cos (c → , d → ^) .

Usamos la longitud del vector d → especificada en la condición de ejemplo: a → b → d → = c → d → cos (c → , d → ^) = 3 c → cos (c → , d → ^) . Es necesario determinar c → y c → , d → ^ . Por condición a →, b → ^ = π 2, a → = 4, b → = 2. El vector c → se encuentra usando la fórmula: c → = [ a → × b → ] = a → · b → · sin a → , b → ^ = 4 · 2 · sin π 2 = 8
Podemos concluir que c → es perpendicular a a → y b → . Los vectores a → , b → , c → serán un triplete derecho, por lo que se utiliza el sistema de coordenadas cartesiano. Los vectores c → y d → serán unidireccionales, es decir, c → , d → ^ = 0 . Usando los resultados derivados, resolvemos el ejemplo a → · b → · d → = 3 · c → · cos (c → , d → ^) = 3 · 8 · cos 0 = 24 .

a → · b → · d → = 24 .

Usamos los factores a → , b → y d → .

Los vectores a → , b → y d → se originan en el mismo punto. Los usamos como lados para construir una figura.

Denotemos que c → = [ a → × b → ] . Para este caso, podemos definir el producto de vectores como a → · b → · d → = c → · d → · cos (c → , d → ^) = c → · n p c → d → , donde n p c → d → es la proyección numérica del vector d → a la dirección del vector c → = [ a → × b → ] .

El valor absoluto n p c → d → es igual al número, que también es igual a la altura de la figura para la cual se utilizan los vectores a → , b → y d → como lados. En base a esto, cabe aclarar que c → = [ a → × b → ] es perpendicular a a → tanto vector como vector según la definición de multiplicación de vectores. El valor c → = a → x b → es igual al área del paralelepípedo construido sobre los vectores a → y b →.

Concluimos que el módulo del producto a → · b → · d → = c → · n p c → d → es igual al resultado de multiplicar el área de la base por la altura de la figura, que está construida sobre el vectores a → , b → y d → .

Definición 4

El valor absoluto del producto vectorial es el volumen del paralelepípedo.: V par l l e l e p i p i d a = a → · b → · d → .

Esta fórmula es el significado geométrico.

Definición 5

Volumen de un tetraedro, que está construido sobre a →, b → y d →, equivale a 1/6 del volumen del paralelepípedo Obtenemos, V t e t r a e d a = 1 6 · V par l l e l e p i d a = 1 6 · a → · b → · d → .

Para consolidar conocimientos, veamos algunos ejemplos típicos.

Ejemplo 6

Es necesario encontrar el volumen de un paralelepípedo, cuyos lados son A B → = (3, 6, 3), A C → = (1, 3, - 2), A A 1 → = (2, 2, 2) , especificado en un sistema de coordenadas rectangular. El volumen de un paralelepípedo se puede encontrar usando la fórmula del valor absoluto. De esto se deduce: A B → · A C → · A A 1 → = 3 6 3 1 3 - 2 2 2 2 = 3 · 3 · 2 + 6 · (- 2) · 2 + 3 · 1 · 2 - 3 · 3 · 2 - 6 1 2 - 3 (- 2) 2 = - 18

Entonces, V par l l e l e p e d a = - 18 = 18 .

V par l l e l e p i p i d a = 18

Ejemplo 7

El sistema de coordenadas contiene los puntos A (0, 1, 0), B (3, - 1, 5), C (1, 0, 3), D (- 2, 3, 1). Es necesario determinar el volumen del tetraedro que se ubica en estos puntos.

Usemos la fórmula V t e t r a e d r a = 1 6 · A B → · A C → · A D → . Podemos determinar las coordenadas de los vectores a partir de las coordenadas de los puntos: A B → = (3 - 0, - 1 - 1, 5 - 0) = (3, - 2, 5) A C → = (1 - 0, 0 - 1 , 3 - 0 ) = (1 , - 1 , 3 ) A D → = (- 2 - 0 , 3 - 1 , 1 - 0 ) = (- 2 , 2 , 1 )

A continuación, determinamos el producto mixto A B → A C → A D → mediante coordenadas vectoriales: A B → A C → A D → = 3 - 2 5 1 - 1 3 - 2 2 1 = 3 (- 1) 1 + (- 2 ) · 3 · (- 2) + 5 · 1 · 2 - 5 · (- 1) · (- 2) - (- 2) · 1 · 1 - 3 · 3 · 2 = - 7 Volumen V t et r a e d r a = 1 6 · - 7 = 7 6 .

V t mi t r a e d r a = 7 6 .

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Esta calculadora en línea calcula el producto mixto de vectores. Se da una solución detallada. Para calcular un producto mixto de vectores, seleccione el método de representación de vectores (por coordenadas o por dos puntos), ingrese datos en las celdas y haga clic en el botón "Calcular".

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Instrucciones de entrada de datos. Los números se ingresan como números enteros (ejemplos: 487, 5, -7623, etc.), decimales (ej. 67, 102,54, etc.) o fracciones. La fracción debe ingresarse en la forma a/b, donde a y b (b>0) son números enteros o decimales. Ejemplos 45/5, 6,6/76,4, -7/6,7, etc.

Producto mixto de vectores (teoría)

Trabajo mixto tres vectores es el número que se obtiene por producto escalar del resultado del producto vectorial de los dos primeros vectores y el tercer vector. En otras palabras, si se dan tres vectores a, b Y C, luego para obtener el producto mixto de estos vectores, primero los dos primeros vectores y el vector resultante [ ab] se multiplica escalarmente por el vector C.

Producto mixto de tres vectores. a, b Y C denotado de la siguiente manera: a B C más o menos ( a B C). Entonces podemos escribir:

Antes de formular un teorema que represente el significado geométrico de un producto mixto, familiarícese con los conceptos de triple derecho, triple izquierdo, sistema de coordenadas derecho, sistema de coordenadas izquierdo (definiciones 2, 2" y 3 en la página Producto vectorial de vectores en línea).

Para ser más precisos, en lo que sigue consideraremos sólo sistemas de coordenadas diestros.

Teorema 1. Producto mixto de vectores. ([ab],C) es igual al volumen de un paralelípedo construido sobre vectores reducidos a un origen común a B C, tomado con un signo más, si tres a B C derecha, y con signo menos si son tres a B C izquierda Si los vectores a B C son coplanares, entonces ([ ab],C) es igual a cero.

Corolario 1. Se cumple la siguiente igualdad:

Por lo tanto, nos basta demostrar que

De la expresión (3) se desprende claramente que las partes izquierda y derecha son iguales al volumen del paralelípedo. Pero los signos de los lados derecho e izquierdo coinciden, ya que los triples de los vectores a B C Y bca tener la misma orientación.

La igualdad probada (1) nos permite escribir el producto mixto de tres vectores a B C solo en la forma a B C, sin especificar qué dos vectores se multiplican vectorialmente por los dos primeros o los dos últimos.

Corolario 2. Una condición necesaria y suficiente para la coplanaridad de tres vectores es que su producto mixto sea igual a cero.

La prueba se desprende del teorema 1. De hecho, si los vectores son coplanares, entonces el producto mixto de estos vectores es igual a cero. Por el contrario, si el producto mixto es igual a cero, entonces la coplanaridad de estos vectores se deriva del Teorema 1 (ya que el volumen de un paralelípedo construido sobre vectores reducidos a un origen común es igual a cero).

Corolario 3. El producto mixto de tres vectores, dos de los cuales coinciden, es igual a cero.

En realidad. Si dos de los tres vectores coinciden, entonces son coplanares. Por tanto, el producto mixto de estos vectores es igual a cero.

Producto mixto de vectores en coordenadas cartesianas

Teorema 2. Sean tres vectores. a, b Y C definido por sus coordenadas rectangulares cartesianas

Prueba. Trabajo mixto a B C igual al producto escalar de vectores [ ab] Y C. Producto cruzado de vectores [ ab] en coordenadas cartesianas se calcula mediante la fórmula ():

La última expresión se puede escribir usando determinantes de segundo orden:

es necesario y suficiente que el determinante sea igual a cero, cuyas filas se llenan con las coordenadas de estos vectores, es decir:

.

(7)

Para demostrar el corolario, basta considerar la fórmula (4) y el Corolario 2.

Producto mixto de vectores con ejemplos.

Ejemplo 1. Encuentra el producto mixto de vectores. ab, Dónde

Producto mixto de vectores. a B C igual al determinante de la matriz l. Calculemos el determinante de la matriz. l, expandiendo el determinante a lo largo de la línea 1:

Punto final del vector a.

Objetivo. La calculadora en línea está diseñada para calcular el producto mixto de vectores. La solución resultante se guarda en un archivo de Word. Además, se crea una plantilla de solución en Excel.

Signos de coplanaridad de vectores.

Signo de coplanaridad. Si el sistema a, b, c es diestro, entonces abc>0; si es izquierda, entonces abc Significado geométrico del producto mixto.. El producto mixto abc de tres vectores no coplanares a, b, c es igual a volumen de un paralelepípedo construido sobre vectores a, b, c, tomado con signo más si el sistema a, b, c es diestro, y con signo menos si este sistema es zurdo.

Propiedades de un producto mixto.

1. Cuando los factores se reordenan circularmente, el producto mixto no cambia; cuando se reordenan dos factores, el signo se invierte: abc=bca=cab=-(bac)=-(cba)=-(acb)
   Se desprende del significado geométrico.
2. (a+b)cd=acd+bcd (propiedad distributiva). Se extiende a cualquier número de términos.
   Se desprende de la definición de producto mixto.
3. (ma)bc=m(abc) (propiedad combinativa respecto de un factor escalar).
   Se desprende de la definición de producto mixto. Estas propiedades permiten aplicar transformaciones a productos mixtos que se diferencian de los algebraicos ordinarios solo en que el orden de los factores solo se puede cambiar teniendo en cuenta el signo del producto.
4. Un producto mixto que tiene al menos dos factores iguales es igual a cero: aab=0.

Ejemplo No. 1. Encuentra un producto mixto. ab(3a+2b-5c)=3aba+2abb-5abc=-5abc .

Ejemplo No. 2. (a+b)(b+c)(c+a)= (axb+axc+bxb+bxc)(c+a)= (axb+axc +bxc)(c+a)=abc+acc+aca+ aba +bcc+bca. Todos los términos excepto los dos extremos son iguales a cero. Además, bca=abc. Por lo tanto (a+b)(b+c)(c+a)=2abc .

Ejemplo No. 3. Calcula el producto mixto de tres vectores a=15i+20j+5k, b=2i-4j+14k, c=3i-6j+21k.
Solución. Para calcular el producto mixto de vectores, es necesario encontrar el determinante de un sistema compuesto por coordenadas vectoriales. Escribamos el sistema en el formulario.