Ecuación de una recta en un plano.
El vector de dirección es recto. Vector normal

Una línea recta en un plano es una de las figuras geométricas más simples, que conoces desde la escuela primaria, y hoy aprenderemos a manejarla utilizando los métodos de la geometría analítica. Para dominar el material, debes poder construir una línea recta; saber qué ecuación define una línea recta, en particular, una línea recta que pasa por el origen de coordenadas y líneas rectas paralelas a los ejes de coordenadas. Esta información se puede encontrar en el manual. Gráficas y propiedades de funciones elementales. Lo creé para Mathan, pero la sección sobre la función lineal resultó ser muy exitosa y detallada. Por eso, queridas teteras, calentad allí primero. Además es necesario tener conocimientos básicos sobre vectores, de lo contrario la comprensión del material será incompleta.

En esta lección veremos formas en las que puedes crear una ecuación de una línea recta en un plano. Recomiendo no descuidar los ejemplos prácticos (aunque parezcan muy sencillos), ya que les proporcionaré hechos elementales e importantes, técnicas técnicas que serán necesarias en el futuro, incluso en otras secciones de la matemática superior.

• ¿Cómo escribir una ecuación de una línea recta con un coeficiente de ángulo?
• Cómo ?
• ¿Cómo encontrar un vector director usando la ecuación general de una línea recta?
• ¿Cómo escribir una ecuación de una recta dado un punto y un vector normal?

y comenzamos:

Ecuación de una recta con pendiente

La conocida forma "escolar" de una ecuación en línea recta se llama ecuación de una recta con pendiente. Por ejemplo, si la ecuación da una línea recta, entonces su pendiente es: . Consideremos el significado geométrico de este coeficiente y cómo su valor afecta la ubicación de la línea recta:

En un curso de geometría se demuestra que la pendiente de la recta es igual a tangente del ángulo entre la dirección del eje positivoy esta línea: , y el ángulo “se desenrosca” en sentido antihorario.

Para no saturar el dibujo, dibujé ángulos solo para dos líneas rectas. Consideremos la línea "roja" y su pendiente. Según lo anterior: (el ángulo “alfa” se indica con un arco verde). Para la línea recta "azul" con el coeficiente del ángulo, la igualdad es verdadera (el ángulo "beta" se indica con un arco marrón). Y si se conoce la tangente del ángulo, entonces, si es necesario, es fácil de encontrar. y la esquina misma usando la función inversa: arcotangente. Como suele decirse, una tabla trigonométrica o una microcalculadora en tus manos. De este modo, el coeficiente angular caracteriza el grado de inclinación de la línea recta hacia el eje de abscisas.

Son posibles los siguientes casos:

1) Si la pendiente es negativa: entonces la línea, en términos generales, va de arriba a abajo. Algunos ejemplos son las líneas rectas “azul” y “frambuesa” del dibujo.

2) Si la pendiente es positiva: entonces la recta va de abajo hacia arriba. Ejemplos: líneas rectas "negras" y "rojas" en el dibujo.

3) Si la pendiente es cero: , entonces la ecuación toma la forma , y la recta correspondiente es paralela al eje. Un ejemplo es la línea recta "amarilla".

4) Para una familia de rectas paralelas a un eje (no hay ningún ejemplo en el dibujo, salvo el propio eje), el coeficiente angular no existe (la tangente de 90 grados no está definida).

Cuanto mayor sea el coeficiente de pendiente en valor absoluto, más pronunciada será la gráfica de línea recta..

Por ejemplo, considere dos líneas rectas. Por tanto, aquí la recta tiene una pendiente más pronunciada. Permítanme recordarles que el módulo le permite ignorar el letrero, solo nos interesa valores absolutos coeficientes angulares.

A su vez, una línea recta es más pronunciada que las rectas. .

Por el contrario: cuanto menor sea el coeficiente de pendiente en valor absoluto, más plana será la línea recta.

Para lineas rectas la desigualdad es cierta, por tanto la recta es más plana. Tobogán infantil, para no sufrir hematomas ni golpes.

¿Por qué es esto necesario?

Prolongue su tormento El conocimiento de los hechos anteriores le permite ver de inmediato sus errores, en particular, los errores al construir gráficos, si el dibujo resulta ser "obviamente algo incorrecto". Es aconsejable que usted inmediatamente estaba claro que, por ejemplo, la línea recta es muy empinada y va de abajo hacia arriba, y la línea recta es muy plana, presionada cerca del eje y va de arriba hacia abajo.

En los problemas geométricos suelen aparecer varias rectas, por lo que conviene designarlas de alguna manera.

Designaciones: las líneas rectas se designan con letras latinas minúsculas: . Una opción popular es designarlos utilizando la misma letra con subíndices naturales. Por ejemplo, las cinco líneas que acabamos de ver se pueden denotar como .

Dado que cualquier línea recta está determinada únicamente por dos puntos, se puede denotar mediante estos puntos: etc. La designación implica claramente que los puntos pertenecen a la línea.

Es hora de calentar un poco:

¿Cómo escribir una ecuación de una línea recta con un coeficiente de ángulo?

Si se conocen un punto que pertenece a una determinada recta y el coeficiente angular de esta recta, entonces la ecuación de esta recta se expresa mediante la fórmula:

Ejemplo 1

Escribe una ecuación de una recta con coeficiente angular si se sabe que el punto pertenece a esta recta.

Solución: Compongamos la ecuación de la línea recta usando la fórmula . En este caso:

Respuesta:

Examen se hace de forma sencilla. Primero, miramos la ecuación resultante y nos aseguramos de que nuestra pendiente esté en su lugar. En segundo lugar, las coordenadas del punto deben satisfacer esta ecuación. Introduzcámoslos en la ecuación:

Se obtiene la igualdad correcta, lo que significa que el punto satisface la ecuación resultante.

Conclusión: La ecuación se encontró correctamente.

Un ejemplo más complicado para resolver por tu cuenta:

Ejemplo 2

Escribe una ecuación para una recta si se sabe que su ángulo de inclinación con respecto a la dirección positiva del eje es y el punto pertenece a esta recta.

Si tiene alguna dificultad, vuelva a leer el material teórico. Más precisamente, más práctico, me salto mucha evidencia.

Ha sonado la última campana, la ceremonia de graduación ha terminado y fuera de las puertas de nuestra escuela natal nos espera la propia geometría analítica. Se acabaron las bromas... O tal vez recién estén comenzando =)

Con nostalgia agitamos nuestro bolígrafo hacia lo familiar y nos familiarizamos con la ecuación general de una línea recta. Porque en geometría analítica esto es exactamente lo que se usa:

La ecuación general de una recta tiene la forma: , donde están algunos números. Al mismo tiempo, los coeficientes simultáneamente no son iguales a cero, ya que la ecuación pierde su significado.

Vistámonos de traje y relacionemos la ecuación con el coeficiente de pendiente. Primero, muevamos todos los términos al lado izquierdo:

Se debe poner en primer lugar el término con “X”:

En principio, la ecuación ya tiene la forma , pero según las reglas de etiqueta matemática, el coeficiente del primer término (en este caso) debe ser positivo. Cambio de signos:

¡Recuerda esta característica técnica!¡Hacemos que el primer coeficiente (la mayoría de las veces) sea positivo!

En geometría analítica, la ecuación de una línea recta casi siempre se dará en forma general. Bueno, si es necesario, se puede reducir fácilmente a la forma "escuela" con un coeficiente angular (con la excepción de las líneas rectas paralelas al eje de ordenadas).

Preguntémonos qué suficiente¿Sabes construir una línea recta? Dos puntos. Pero más sobre este incidente de la infancia, ahora se adhieren a la regla de las flechas. Cada recta tiene una pendiente muy concreta, a la que es fácil “adaptarse”. vector.

Un vector que es paralelo a una recta se llama vector director de esa recta.. Es obvio que cualquier línea recta tiene un número infinito de vectores directores, y todos ellos serán colineales (codireccionales o no, no importa).

Denotaré el vector de dirección de la siguiente manera: .

Pero un vector no es suficiente para construir una línea recta; el vector es libre y no está ligado a ningún punto del plano. Por tanto, es necesario adicionalmente conocer algún punto que pertenezca a la recta.

¿Cómo escribir una ecuación de una línea recta usando un punto y un vector director?

Si se conoce un determinado punto que pertenece a una recta y el vector director de esta recta, entonces la ecuación de esta recta se puede compilar mediante la fórmula:

A veces se llama ecuación canónica de la recta .

que hacer cuando una de las coordenadas es igual a cero, lo entenderemos en los ejemplos prácticos a continuación. Por cierto, tenga en cuenta: ambos a la vez Las coordenadas no pueden ser iguales a cero, ya que el vector cero no especifica una dirección específica.

Ejemplo 3

Escribe una ecuación para una línea recta usando un punto y un vector director.

Solución: Compongamos la ecuación de una línea recta usando la fórmula. En este caso:

Usando las propiedades de la proporción nos deshacemos de las fracciones:

Y llevamos la ecuación a su forma general:

Respuesta:

Como regla general, no es necesario hacer un dibujo en tales ejemplos, pero para comprender:

En el dibujo vemos el punto inicial, el vector director original (se puede trazar desde cualquier punto del plano) y la línea recta construida. Por cierto, en muchos casos lo más conveniente es construir una línea recta utilizando una ecuación con un coeficiente angular. Es fácil transformar nuestra ecuación en forma y seleccionar fácilmente otro punto para construir una línea recta.

Como se señaló al principio del párrafo, una línea recta tiene infinitos vectores directores y todos ellos son colineales. Por ejemplo, dibujé tres de esos vectores: . Cualquiera que sea el vector director que elijamos, el resultado siempre será la misma ecuación en línea recta.

Creemos una ecuación de una línea recta usando un punto y un vector director:

Resolviendo la proporción:

Divide ambos lados por –2 y obtén la conocida ecuación:

Los interesados ​​pueden probar vectores de la misma forma. o cualquier otro vector colineal.

Ahora resolvamos el problema inverso:

¿Cómo encontrar un vector director usando la ecuación general de una línea recta?

Muy simple:

Si una recta está dada por una ecuación general en un sistema de coordenadas rectangular, entonces el vector es el vector director de esta recta.

Ejemplos de cómo encontrar vectores de dirección de líneas rectas:

La afirmación nos permite encontrar solo un vector director de un número infinito, pero no necesitamos más. Aunque en algunos casos es recomendable reducir las coordenadas de los vectores directores:

Así, la ecuación especifica una línea recta paralela al eje y las coordenadas del vector director resultante se dividen convenientemente por –2, obteniendo exactamente el vector base como vector director. Lógico.

De manera similar, la ecuación especifica una línea recta paralela al eje, y al dividir las coordenadas del vector por 5, obtenemos el vector unitario como vector director.

ahora hagámoslo comprobando el ejemplo 3. El ejemplo subió, así que les recuerdo que en él compilamos la ecuación de una recta usando un punto y un vector director.

En primer lugar, utilizando la ecuación de la recta reconstruimos su vector director: – todo está bien, hemos recibido el vector original (en algunos casos el resultado puede ser un vector colineal al original, y esto suele ser fácil de notar por la proporcionalidad de las coordenadas correspondientes).

En segundo lugar, las coordenadas del punto deben satisfacer la ecuación. Los sustituimos en la ecuación:

Se obtuvo la igualdad correcta, lo cual nos alegra mucho.

Conclusión: La tarea se completó correctamente.

Ejemplo 4

Escribe una ecuación para una línea recta usando un punto y un vector director.

Este es un ejemplo para que lo resuelvas por tu cuenta. La solución y la respuesta están al final de la lección. Es muy recomendable comprobarlo utilizando el algoritmo que acabamos de comentar. Intente siempre (si es posible) consultar un borrador. Es una estupidez cometer errores que se pueden evitar al 100%.

En el caso de que una de las coordenadas del vector director sea cero se procede de forma muy sencilla:

Ejemplo 5

Solución: La fórmula no es adecuada ya que el denominador del lado derecho es cero. ¡Hay una salida! Usando las propiedades de la proporción, reescribimos la fórmula en el formulario y el resto rodó por una rutina profunda:

Respuesta:

Examen:

1) Restaurar el vector director de la línea:
– el vector resultante es colineal con el vector de dirección original.

2) Sustituye las coordenadas del punto en la ecuación:

Se obtiene la igualdad correcta.

Conclusión: tarea completada correctamente

Surge la pregunta: ¿por qué molestarse con la fórmula si existe una versión universal que funcionará en cualquier caso? Hay dos razones. Primero, la fórmula está en forma de fracción. mucho mejor recordado. Y en segundo lugar, la desventaja de la fórmula universal es que el riesgo de confundirse aumenta significativamente al sustituir coordenadas.

Ejemplo 6

Escribe una ecuación para una línea recta usando un punto y un vector director.

Este es un ejemplo para que lo resuelvas por tu cuenta.

Volvamos a los dos puntos omnipresentes:

¿Cómo escribir una ecuación de una línea recta usando dos puntos?

Si se conocen dos puntos, entonces la ecuación de una línea recta que pasa por estos puntos se puede compilar mediante la fórmula:

De hecho, este es un tipo de fórmula y he aquí por qué: si se conocen dos puntos, entonces el vector será el vector director de la recta dada. En la lección Vectores para tontos Consideramos el problema más simple: cómo encontrar las coordenadas de un vector desde dos puntos. Según este problema, las coordenadas del vector dirección son:

Nota : los puntos se pueden “intercambiar” y se puede utilizar la fórmula . Esta solución será equivalente.

Ejemplo 7

Escribe una ecuación de una línea recta usando dos puntos. .

Solución: Usamos la fórmula:

Combinando los denominadores:

Y baraja la baraja:

Ahora es el momento de deshacerse de los números fraccionarios. En este caso, debes multiplicar ambos lados por 6:

Abre los corchetes y recuerda la ecuación:

Respuesta:

Examen es obvio: las coordenadas de los puntos iniciales deben satisfacer la ecuación resultante:

1) Sustituir las coordenadas del punto:

Verdadera igualdad.

2) Sustituir las coordenadas del punto:

Verdadera igualdad.

Conclusión: La ecuación de la recta está escrita correctamente.

Si al menos uno de los puntos no satisface la ecuación, busque un error.

Vale la pena señalar que la verificación gráfica en este caso es difícil, ya que construye una línea recta y comprueba si los puntos le pertenecen. , no es tan simple.

Notaré un par de aspectos técnicos más de la solución. Quizás en este problema sea más rentable utilizar la fórmula espejo. y en los mismos puntos hacer una ecuacion:

Menos fracciones. Si quieres puedes llevar a cabo la solución hasta el final, el resultado debe ser la misma ecuación.

El segundo punto es observar la respuesta final y descubrir si se puede simplificar aún más. Por ejemplo, si obtienes la ecuación , entonces es recomendable reducirla a dos: – la ecuación definirá la misma línea recta. Sin embargo, este ya es un tema de conversación sobre posición relativa de las líneas.

Habiendo recibido la respuesta En el ejemplo 7, por si acaso, verifiqué si TODOS los coeficientes de la ecuación son divisibles por 2, 3 o 7. Aunque, la mayoría de las veces, estas reducciones se realizan durante la solución.

Ejemplo 8

Escribe una ecuación para una recta que pasa por los puntos. .

Este es un ejemplo de una solución independiente que le permitirá comprender y practicar mejor las técnicas de cálculo.

Similar al párrafo anterior: si en la fórmula uno de los denominadores (la coordenada del vector de dirección) se vuelve cero, luego lo reescribimos en la forma. Una vez más, observe lo incómoda y confundida que se ve. No veo mucho sentido en dar ejemplos prácticos, ya que ya hemos resuelto este problema (ver No. 5, 6).

Vector normal directo (vector normal)

¿Que es normal? En palabras simples, una normal es una perpendicular. Es decir, el vector normal de una recta es perpendicular a una recta dada. Evidentemente, cualquier recta tiene un número infinito de ellos (además de vectores directores), y todos los vectores normales de la recta serán colineales (codireccionales o no, da igual).

Tratarlos será incluso más fácil que con los vectores guía:

Si una recta está dada por una ecuación general en un sistema de coordenadas rectangular, entonces el vector es el vector normal de esta recta.

Si es necesario "sacar" cuidadosamente las coordenadas del vector director de la ecuación, entonces las coordenadas del vector normal se pueden "eliminar" simplemente.

El vector normal siempre es ortogonal al vector director de la recta. Verifiquemos la ortogonalidad de estos vectores usando producto escalar:

Daré ejemplos con las mismas ecuaciones que para el vector dirección:

¿Es posible construir una ecuación de una recta dado un punto y un vector normal? Lo siento en mis entrañas, es posible. Si se conoce el vector normal, entonces la dirección de la línea recta en sí está claramente definida: se trata de una "estructura rígida" con un ángulo de 90 grados.

¿Cómo escribir una ecuación de una recta dado un punto y un vector normal?

Si se conoce un determinado punto que pertenece a una recta y el vector normal de esta recta, entonces la ecuación de esta recta se expresa mediante la fórmula:

Aquí todo salió bien sin fracciones ni otras sorpresas. Este es nuestro vector normal. Lo amo. Y respeto =)

Ejemplo 9

Escribe una ecuación de una línea recta dado un punto y un vector normal. Encuentra el vector dirección de la recta.

Solución: Usamos la fórmula:

Se ha obtenido la ecuación general de la recta, comprobemos:

1) “Eliminar” las coordenadas del vector normal de la ecuación: – sí, de hecho, el vector original se obtuvo de la condición (o se debe obtener un vector colineal).

2) Comprobemos si el punto satisface la ecuación:

Verdadera igualdad.

Una vez que estemos convencidos de que la ecuación está compuesta correctamente, completaremos la segunda parte, más sencilla, de la tarea. Sacamos el vector director de la recta:

Respuesta:

En el dibujo la situación se ve así:

Para fines educativos, una tarea similar se puede resolver de forma independiente:

Ejemplo 10

Escribe una ecuación de una línea recta dado un punto y un vector normal. Encuentra el vector dirección de la recta.

La sección final de la lección estará dedicada a tipos de ecuaciones de una línea recta en un plano menos comunes, pero también importantes.

Ecuación de una recta en segmentos.
Ecuación de una recta en forma paramétrica

La ecuación de una recta en segmentos tiene la forma , donde son constantes distintas de cero. Algunos tipos de ecuaciones no se pueden representar de esta forma, por ejemplo, la proporcionalidad directa (ya que el término libre es igual a cero y no hay forma de obtener uno en el lado derecho).

En sentido figurado, se trata de una ecuación de tipo “técnico”. Una tarea común es representar la ecuación general de una recta como una ecuación de una recta en segmentos. ¿Cómo es conveniente? La ecuación de una recta en segmentos permite encontrar rápidamente los puntos de intersección de una recta con ejes de coordenadas, lo que puede ser muy importante en algunas tareas de matemáticas superiores.

Encontremos el punto de intersección de la recta con el eje. Restablecemos la “y” a cero y la ecuación toma la forma. El punto deseado se obtiene automáticamente: .

Lo mismo con el eje. – el punto en el que la recta corta el eje de ordenadas.

En matemáticas, uno de los parámetros que describe la posición de una recta en el plano cartesiano es el coeficiente angular de esta recta. Este parámetro caracteriza la pendiente de la línea recta hacia el eje de abscisas. Para entender cómo encontrar la pendiente, primero recuerde la forma general de la ecuación de una línea recta en el sistema de coordenadas XY.

En general, cualquier recta puede representarse mediante la expresión ax+by=c, donde a, b y c son números reales arbitrarios, pero a 2 + b 2 ≠ 0.

Usando transformaciones simples, dicha ecuación se puede llevar a la forma y=kx+d, en la que k y d son números reales. El número k es la pendiente, y la ecuación de una recta de este tipo se llama ecuación con pendiente. Resulta que para encontrar la pendiente, simplemente necesitas reducir la ecuación original a la forma indicada arriba. Para una comprensión más completa, considere un ejemplo específico:

Problema: Encuentra la pendiente de la recta dada por la ecuación 36x - 18y = 108

Solución: Transformemos la ecuación original.

Respuesta: La pendiente requerida de esta recta es 2.

Si al transformar la ecuación obtuvimos una expresión como x = const y como resultado no podemos representar y en función de x, entonces estamos ante una línea recta paralela al eje X. El coeficiente angular de tal. una línea recta es igual al infinito.

Para rectas expresadas por una ecuación como y = const, la pendiente es cero. Esto es típico de líneas rectas paralelas al eje de abscisas. Por ejemplo:

Problema: Encuentra la pendiente de la recta dada por la ecuación 24x + 12y - 4(3y + 7) = 4

Solución: llevemos la ecuación original a su forma general.

24x + 12y - 12y + 28 = 4

Es imposible expresar y a partir de la expresión resultante, por lo tanto, el coeficiente angular de esta línea es igual al infinito y la línea misma será paralela al eje Y.

Significado geométrico

Para una mejor comprensión, veamos la imagen:

En la figura vemos una gráfica de una función como y = kx. Para simplificar, tomemos el coeficiente c = 0. En el triángulo OAB, la relación entre el lado BA y AO será igual al coeficiente angular k. Al mismo tiempo, la relación BA/AO es la tangente del ángulo agudo α en el triángulo rectángulo OAB. Resulta que el coeficiente angular de la recta es igual a la tangente del ángulo que forma esta recta con el eje de abscisas de la cuadrícula de coordenadas.

Resolviendo el problema de cómo encontrar el coeficiente angular de una línea recta, encontramos la tangente del ángulo entre ella y el eje X de la cuadrícula de coordenadas. Los casos límite, cuando la línea en cuestión es paralela a los ejes de coordenadas, confirman lo anterior. De hecho, para una línea recta descrita por la ecuación y=const, el ángulo entre ella y el eje de abscisas es cero. La tangente del ángulo cero también es cero y la pendiente también es cero.

Para líneas rectas perpendiculares al eje de abscisas y descritas por la ecuación x=const, el ángulo entre ellas y el eje X es de 90 grados. La tangente de un ángulo recto es igual al infinito, y el coeficiente angular de rectas semejantes también es igual al infinito, lo que confirma lo escrito anteriormente.

pendiente tangente

Una tarea común que se encuentra a menudo en la práctica es también encontrar la pendiente de una tangente a la gráfica de una función en un punto determinado. Una tangente es una recta, por lo que también le es aplicable el concepto de pendiente.

Para saber cómo encontrar la pendiente de una tangente, necesitaremos recordar el concepto de derivada. La derivada de cualquier función en un punto determinado es una constante numéricamente igual a la tangente del ángulo que se forma entre la tangente en el punto especificado a la gráfica de esta función y el eje de abscisas. Resulta que para determinar el coeficiente angular de la tangente en el punto x 0, necesitamos calcular el valor de la derivada de la función original en este punto k = f"(x 0). Veamos el ejemplo:

Problema: Encuentra la pendiente de la recta tangente a la función y = 12x 2 + 2xe x en x = 0,1.

Solución: encuentre la derivada de la función original en forma general.

y"(0.1) = 24. 0.1 + 2. 0.1. e 0.1 + 2. e 0.1

Respuesta: La pendiente requerida en el punto x = 0,1 es 4,831

Este programa matemático encuentra la ecuación de la tangente a la gráfica de la función \(f(x)\) en un punto \(a\) especificado por el usuario.

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Un poco de teoría.

Pendiente directa

Recuerda que la gráfica de la función lineal \(y=kx+b\) es una línea recta. El número \(k=tg \alpha \) se llama pendiente de una recta, y el ángulo \(\alpha \) es el ángulo entre esta línea y el eje Ox

Si \(k>0\), entonces \(0 Si \(kEcuación de la tangente a la gráfica de la función

Si el punto M(a; f(a)) pertenece a la gráfica de la función y = f(x) y si en este punto se puede trazar una tangente a la gráfica de la función que no sea perpendicular al eje x, luego, del significado geométrico de la derivada se deduce que el coeficiente angular de la tangente es igual a f "(a). A continuación, desarrollaremos un algoritmo para componer una ecuación para una tangente a la gráfica de cualquier función.

Sea una función y = f(x) y un punto M(a; f(a)) en la gráfica de esta función; sepamos que f"(a) existe. Creemos una ecuación para la tangente a la gráfica de una función dada en un punto dado. Esta ecuación, como la ecuación de cualquier línea recta no paralela al eje de ordenadas, tiene la forma y = kx + b, entonces la tarea es encontrar los valores de los coeficientes k y b.

Con el coeficiente angular k todo está claro: se sabe que k = f"(a). Para calcular el valor de b utilizamos el hecho de que la recta deseada pasa por el punto M(a; f(a)) . Esto significa que si sustituimos las coordenadas del punto M en la ecuación de una recta, obtenemos la igualdad correcta: \(f(a)=ka+b\), es decir \(b = f(a) -. ka\).

Queda por sustituir los valores encontrados de los coeficientes k y b en la ecuación de la recta:

Recibimos ecuación de la tangente a la gráfica de una función\(y = f(x) \) en el punto \(x=a \).

Algoritmo para encontrar la ecuación de la tangente a la gráfica de la función \(y=f(x)\)
1. Designa la abscisa del punto tangente con la letra \(a\)
2. Calcula \(f(a)\)
3. Encuentra \(f"(x)\) y calcula \(f"(a)\)
4. Sustituye los números encontrados \(a, f(a), f"(a) \) en la fórmula \(y=f(a)+ f"(a)(x-a) \)

La pendiente es recta. En este artículo veremos problemas relacionados con el plano de coordenadas incluidos en el Examen Estatal Unificado de Matemáticas. Estas son tareas para:

— determinación del coeficiente angular de una recta cuando se conocen dos puntos por los que pasa;
— determinación de la abscisa u ordenada del punto de intersección de dos rectas en un plano.

En esta sección se describió qué es la abscisa y la ordenada de un punto. En él ya hemos considerado varios problemas relacionados con el plano coordenado. ¿Qué necesita comprender para el tipo de problema que se está considerando? Un poco de teoría.

La ecuación de una línea recta en el plano coordenado tiene la forma:

Dónde k – esta es la pendiente de la recta.

¡Próximo momento! La pendiente de una recta es igual a la tangente del ángulo de inclinación de la recta. Este es el ángulo entre una línea dada y el eje.Oh.

Varía de 0 a 180 grados.

Es decir, si reducimos la ecuación de una recta a la forma y = kx + b, entonces siempre podemos determinar el coeficiente k (coeficiente de pendiente).

Además, si basándonos en la condición podemos determinar la tangente del ángulo de inclinación de una línea recta, entonces encontraremos su coeficiente angular.

¡Siguiente punto teórico!Ecuación de una recta que pasa por dos puntos dados.La fórmula se ve así:

Consideremos las tareas (similares a las tareas del banco de tareas abierto):

Encuentra la pendiente de la recta que pasa por los puntos con coordenadas (–6;0) y (0;6).

En este problema, la forma más racional de resolverlo es encontrar la tangente del ángulo entre el eje x y la línea recta dada. Se sabe que es igual a la pendiente. Consideremos un triángulo rectángulo formado por una recta y los ejes x y oy:

La tangente de un ángulo en un triángulo rectángulo es la razón entre el lado opuesto y el lado adyacente:

*Ambos catetos son iguales a seis (estas son sus longitudes).

Por supuesto, este problema se puede resolver utilizando la fórmula para encontrar la ecuación de una línea recta que pasa por dos puntos dados. Pero esta será una solución a más largo plazo.

Respuesta 1

Encuentra la pendiente de la recta que pasa por los puntos de coordenadas (5;0) y (0;5).

Nuestros puntos tienen coordenadas (5;0) y (0;5). Medio,

Pongamos la fórmula en la forma. y = kx + b

Encontramos que la pendiente k = – 1.

Respuesta 1

Derecho a pasa por puntos con coordenadas (0;6) y (8;0). Derecho b pasa por el punto de coordenadas (0;10) y es paralela a la recta a b con eje Vaya.

En este problema puedes encontrar la ecuación de la recta. a, determine la pendiente para ello. en la linea recta b la pendiente será la misma ya que son paralelos. A continuación puedes encontrar la ecuación de la recta. b. Y luego, sustituyendo el valor y = 0, encuentra la abscisa. ¡PERO!

En este caso, es más fácil utilizar la propiedad de semejanza de triángulos.

Los triángulos rectángulos formados por estas líneas (paralelas) y ejes de coordenadas son similares, lo que significa que las proporciones de sus lados correspondientes son iguales.

La abscisa requerida es 40/3.

Respuesta: 40/3

Derecho a pasa por puntos con coordenadas (0;8) y (–12;0). Derecho b pasa por el punto de coordenadas (0; –12) y es paralela a la recta a. Encuentra la abscisa del punto de intersección de la recta. b con eje Vaya.

Para este problema, la forma más racional de resolverlo es utilizar la propiedad de semejanza de los triángulos. Pero lo solucionaremos de otra forma.

Conocemos los puntos por los que pasa la recta. A. Podemos escribir una ecuación para una línea recta. La fórmula para la ecuación de una recta que pasa por dos puntos dados tiene la forma:

Por condición, los puntos tienen coordenadas (0;8) y (–12;0). Medio,

Vamos a recordarlo y = kx + b:

Tengo esa esquina k = 2/3.

*El coeficiente angular se puede encontrar a través de la tangente del ángulo en un triángulo rectángulo con catetos 8 y 12.

Se sabe que las rectas paralelas tienen coeficientes angulares iguales. Esto significa que la ecuación de la recta que pasa por el punto (0;-12) tiene la forma:

Encuentra el valor b Podemos sustituir la abscisa y la ordenada en la ecuación:

Por tanto, la línea recta queda así:

Ahora, para encontrar la abscisa deseada del punto de intersección de la línea con el eje x, debes sustituir y = 0:

Respuesta: 18

Encuentra la ordenada del punto de intersección del eje. Vaya y una recta que pasa por el punto B(10;12) y paralela a una recta que pasa por el origen y el punto A(10;24).

Encontremos la ecuación de una recta que pasa por puntos de coordenadas (0;0) y (10;24).

La fórmula para la ecuación de una recta que pasa por dos puntos dados tiene la forma:

Nuestros puntos tienen coordenadas (0;0) y (10;24). Medio,

Vamos a recordarlo y = kx + b

Los coeficientes de los ángulos de las rectas paralelas son iguales. Esto significa que la ecuación de la recta que pasa por el punto B(10;12) tiene la forma:

Significado b Encontremos sustituyendo las coordenadas del punto B(10;12) en esta ecuación:

Obtenemos la ecuación de la recta:

Para encontrar la ordenada del punto de intersección de esta recta con el eje UNED debe sustituirse en la ecuación encontrada X= 0:

*La solución más sencilla. Usando traslación paralela, desplazamos esta línea hacia abajo a lo largo del eje UNED al punto (10;12). El desplazamiento se produce en 12 unidades, es decir, el punto A(10;24) “se movió” al punto B(10;12) y el punto O(0;0) se “movió” al punto (0;–12). Esto significa que la línea recta resultante cruzará el eje. UNED en el punto (0;–12).

La ordenada requerida es –12.

Respuesta: –12

Encuentra la ordenada del punto de intersección de la recta dada por la ecuación

3x + 2у = 6, con eje Oye.

Coordenada del punto de intersección de una recta dada con un eje UNED tiene la forma (0; en). Sustituyamos la abscisa en la ecuación. X= 0, y encuentra la ordenada:

La ordenada del punto de intersección de la recta y el eje. UNED es igual a 3.

*El sistema está resuelto:

Respuesta: 3

Encuentra la ordenada del punto de intersección de las rectas dadas por las ecuaciones.

3x + 2y = 6 Y y = –x.

Cuando se dan dos rectas, y la cuestión es encontrar las coordenadas del punto de intersección de dichas rectas, se resuelve un sistema de estas ecuaciones:

En la primera ecuación sustituimos - X en lugar de en:

La ordenada es igual a menos seis.

Respuesta: – 6

Encuentra la pendiente de la recta que pasa por los puntos con coordenadas (–2;0) y (0;2).

Encuentra la pendiente de la recta que pasa por los puntos de coordenadas (2;0) y (0;2).

La línea a pasa por puntos con coordenadas (0;4) y (6;0). La línea b pasa por el punto de coordenadas (0;8) y es paralela a la línea a. Encuentra la abscisa del punto de intersección de la línea b con el eje Ox.

Encuentre la ordenada del punto de intersección del eje oy y la recta que pasa por el punto B (6;4) y paralela a la recta que pasa por el origen y el punto A (6;8).

1. Es necesario entender claramente que el coeficiente angular de una recta es igual a la tangente del ángulo de inclinación de la recta. Esto le ayudará a resolver muchos problemas de este tipo.

2. Se debe entender la fórmula para encontrar una línea recta que pasa por dos puntos dados. Con su ayuda siempre encontrarás la ecuación de una recta si se dan las coordenadas de sus dos puntos.

3. Recuerda que las pendientes de las rectas paralelas son iguales.

4. Como comprenderá, en algunos problemas es conveniente utilizar la función de similitud de triángulos. Los problemas se resuelven prácticamente de forma oral.

5. Los problemas en los que se dan dos rectas y se requiere encontrar la abscisa u ordenada del punto de su intersección se pueden resolver gráficamente. Es decir, constrúyalos en un plano de coordenadas (en una hoja de papel en un cuadrado) y determine visualmente el punto de intersección. *Pero este método no siempre es aplicable.

6. Y por último. Si se dan una línea recta y las coordenadas de los puntos de su intersección con los ejes de coordenadas, entonces en tales problemas es conveniente encontrar el coeficiente angular encontrando la tangente del ángulo en el triángulo rectángulo formado. A continuación se muestra esquemáticamente cómo “ver” este triángulo con diferentes posiciones de líneas rectas en el plano:

>> Ángulo recto de 0 a 90 grados<<

>> Ángulo recto de 90 a 180 grados<<

Eso es todo. ¡Buena suerte para ti!

Sinceramente, Alejandro.

P.D: Le agradecería que me hablara del sitio en las redes sociales.