ov, primero debes comprender un concepto como el de diferir un vector desde un punto determinado.
Definición 1
Si el punto $A$ es el comienzo de cualquier vector $\overrightarrow(a)$, entonces se dice que el vector $\overrightarrow(a)$ está retrasado desde el punto $A$ (Fig. 1).
Figura 1. $\overrightarrow(a)$ trazada desde el punto $A$
Introduzcamos el siguiente teorema:
Teorema 1
Desde cualquier punto $K$ se puede trazar un vector $\overrightarrow(a)$ y, además, solo uno.
Prueba.
Existencia: Hay dos casos a considerar aquí:
El vector $\overrightarrow(a)$ es cero.
En este caso, es obvio que el vector deseado es el vector $\overrightarrow(KK)$.
El vector $\overrightarrow(a)$ no es cero.
Denotemos con el punto $A$ el comienzo del vector $\overrightarrow(a)$, y con el punto $B$ el final del vector $\overrightarrow(a)$. Dibujemos una línea recta $b$ que pase por el punto $K$ paralela al vector $\overrightarrow(a)$. Tracemos los segmentos $\left|KL\right|=|AB|$ y $\left|KM\right|=|AB|$ en esta línea. Considere los vectores $\overrightarrow(KL)$ y $\overrightarrow(KM)$. De estos dos vectores, el deseado será el que estará codirigido con el vector $\overrightarrow(a)$ (Fig. 2)
Figura 2. Ilustración del Teorema 1
Unicidad: la unicidad se deriva inmediatamente de la construcción realizada en el punto de “existencia”.
El teorema ha sido demostrado.
Resta de vectores. Regla uno
Tengamos los vectores $\overrightarrow(a)$ y $\overrightarrow(b)$.
Definición 2
La diferencia de dos vectores $\overrightarrow(a)$ y $\overrightarrow(b)$ es un vector $\overrightarrow(c)$ que, cuando se suma al vector $\overrightarrow(b)$, da el vector $\ overrightarrow(a)$ , es decir
\[\overrightarrow(b)+\overrightarrow(c)=\overrightarrow(a)\]
Designación:$\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)=\overrightarrow(c)$.
Consideremos construir la diferencia entre dos vectores usando el problema.
Ejemplo 1
Sean dados los vectores $\overrightarrow(a)$ y $\overrightarrow(b)$. Construya el vector $\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)$.
Solución.
Construyamos un punto arbitrario $O$ y tracemos los vectores $\overrightarrow(OA)=\overrightarrow(a)$ y $\overrightarrow(OB)=\overrightarrow(b)$ a partir de él. Al conectar el punto $B$ con el punto $A$, obtenemos el vector $\overrightarrow(BA)$ (Fig. 3).
Figura 3. Diferencia de dos vectores
Usando la regla del triángulo para construir la suma de dos vectores, vemos que
\[\overrightarrow(OB)+\overrightarrow(BA)=\overrightarrow(OA)\]
\[\overrightarrow(b)+\overrightarrow(BA)=\overrightarrow(a)\]
De la Definición 2, obtenemos que
\[\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)=\overrightarrow(BA)\]
Respuesta:$\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)=\overrightarrow(BA)$.
De este problema obtenemos la siguiente regla para encontrar la diferencia de dos vectores. Para encontrar la diferencia $\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)$ necesitas trazar los vectores $\overrightarrow(OA)=\overrightarrow(a)$ y $\overrightarrow(OB)=\overrightarrow(b) de un punto arbitrario $O$ )$ y conecta el final del segundo vector con el final del primer vector.
Resta de vectores. Regla dos
Recordemos el siguiente concepto que necesitamos.
Definición 3
El vector $\overrightarrow(a_1)$ se llama arbitrario para el vector $\overrightarrow(a)$ si estos vectores tienen direcciones opuestas y tienen la misma longitud.
Designación: El vector $(-\overrightarrow(a))$ es lo opuesto al vector $\overrightarrow(a)$.
Para introducir la segunda regla para la diferencia de dos vectores, primero debemos introducir y demostrar el siguiente teorema.
Teorema 2
Para dos vectores cualesquiera $\overrightarrow(a)$ y $\overrightarrow(b)$ se cumple la siguiente igualdad:
\[\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)=\overrightarrow(a)+(-\overrightarrow(b))\]
Prueba.
Por definición 2, tenemos
Sumamos el vector $\left(-\overrightarrow(b)\right)$ a ambas partes, obtenemos
Dado que los vectores $\overrightarrow(b)$ y $\left(-\overrightarrow(b)\right)$ son opuestos, entonces $\overrightarrow(b)+\left(-\overrightarrow(b)\right)=\ flecha superior (0)$. Tenemos
El teorema ha sido demostrado.
De este teorema obtenemos la siguiente regla para la diferencia entre dos vectores: Para encontrar la diferencia $\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)$, necesitamos trazar el vector $\overrightarrow(OA)=\overrightarrow(a )$ desde un punto arbitrario $O$, luego, desde el punto resultante $A$, traza el vector $\overrightarrow(AB)=-\overrightarrow(b)$ y conecta el comienzo del primer vector con el final del segundo vector.
Ejemplo de un problema sobre el concepto de diferencia vectorial.
Ejemplo 2
Sea un paralelogramo $ADCD$ cuyas diagonales se cortan en el punto $O$. $\overrightarrow(AB)=\overrightarrow(a)$, $\overrightarrow(AD)=\overrightarrow(b)$ (Fig. 4). Expresa los siguientes vectores a través de los vectores $\overrightarrow(a)$ y $\overrightarrow(b)$:
a) $\overrightarrow(DC)+\overrightarrow(CB)$
b) $\overrightarrow(BO)-\overrightarrow(OC)$
Figura 4. Paralelogramo
Solución.
a) Realizamos la suma según la regla del triángulo, obtenemos
\[\overrightarrow(DC)+\overrightarrow(CB)=\overrightarrow(DB)\]
De la primera regla para la diferencia de dos vectores, obtenemos
\[\overrightarrow(DB)=\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)\]
b) Como $\overrightarrow(OC)=\overrightarrow(AO)$, obtenemos
\[\overrightarrow(BO)-\overrightarrow(OC)=\overrightarrow(BO)-\overrightarrow(AO)\]
Por el teorema 2, tenemos
\[\overrightarrow(BO)-\overrightarrow(AO)=\overrightarrow(BO)+\left(-\overrightarrow(AO)\right)=\overrightarrow(BO)+\overrightarrow(OA)\]
Usando la regla del triángulo, finalmente tenemos
\[\overrightarrow(BO)+\overrightarrow(OA)=\overrightarrow(BA)=-\overrightarrow(AB)=-\overrightarrow(a)\]
1. Definir la igualdad de vectores geométricos.
Se dice que dos vectores geométricos son iguales si:
son colineales y unidireccionales;
sus longitudes son las mismas.
2. Definir la suma de vectores y la multiplicación de un vector por un número.
La suma a + b de dos vectores a y b se llama vector c y se construye según la siguiente regla del triángulo. Alineemos el comienzo del vector b con el final del vector a. Entonces la suma de estos vectores será un vector c, cuyo comienzo coincide con el comienzo de a y el final con el final de b.
Junto con la regla del triángulo, existe la regla del paralelogramo. Habiendo elegido un origen común para los vectores a y b, construimos un paralelogramo sobre estos vectores. Entonces la diagonal del paralelogramo, procedente del origen común de los vectores, determina su suma.
Al multiplicar un vector por un número, la dirección del vector no cambia, pero la longitud del vector se multiplica por el número.
3. Dar definiciones de vectores colineales y coplanares.
Dos vectores geométricos se llaman colineales si se encuentran en la misma recta o en rectas paralelas.
Tres vectores geométricos se llaman coplanares si estos vectores se encuentran en líneas paralelas a algún plano.
4. Defina un sistema de vectores linealmente dependiente y linealmente independiente.
Los vectores a 1 , … , a n se denominan linealmente dependientes si existe tal conjunto de coeficientes α 1 , . . . , α n , que α 1 a 1 + . . . + α n a n = 0 y al menos uno de estos coeficientes es distinto de cero.
Si el conjunto de coeficientes especificado no existe, entonces los vectores se denominan linealmente independientes.
5. Formular criterios geométricos para la dependencia lineal. 2 y 3 vectores.
Dos vectores son linealmente dependientes si y sólo si son colineales.
6. Definir la base y las coordenadas de un vector.
La base es un conjunto de vectores en un espacio vectorial tal que cualquier vector en este espacio puede representarse de forma única como una combinación lineal de vectores de este conjunto: vectores de base.
Las coordenadas vectoriales son los coeficientes de la única combinación lineal posible de vectores base en el sistema de coordenadas seleccionado, igual al vector dado.
7. Formule un teorema sobre la descomposición de un vector con respecto a una base.
Cualquier vector de un espacio vectorial se puede expandir hasta su base y, además, de forma única.
Si = (̅ | – base , ̅ | = (1, 2, 3), entonces hay un conjunto de números ( | ...) tal que |
||||
̅ + + ̅̅, donde ( | ...) – coordenadas del vector en la base. | ||||||
8. Defina la proyección escalar ortogonal de un vector sobre una dirección.
La proyección ortogonal de un vector sobre la dirección del vector se llama cantidad escalar Pr = | | cos() , donde ángulo es el ángulo entre los vectores.
9. Defina el producto escalar de vectores.
El producto escalar de dos vectores es el número igual a cos -
producto de longitudes | | y| | de estos vectores por el coseno del ángulo entre ellos.
10. Formule la propiedad de linealidad del producto escalar.
λ(̅ ̅ ).
= ̅ с̅+ ̅ с̅.
11. Escribe una fórmula para calcular el producto escalar de dos vectores dados en base ortonormal.
̅ = { , }, ̅ = { , }
̅ ̅ = + +
12. Escribe una fórmula para el coseno del ángulo entre vectores especificados en base ortonormal.
̅ ̅ porque =̅ |̅|| |
13. Defina la tripleta derecha e izquierda de vectores.
Un triple ordenado de vectores no coplanares a, b, c se llama derecho si la dirección de vectora se combina con la dirección de vectorb utilizando la rotación más corta de vectora en el plano de estos vectores, que desde el lado de vectora se hace en sentido antihorario. . De lo contrario (rotación en el sentido de las agujas del reloj), estos tres se llaman zurdos.
14. Defina el producto vectorial de vectores.
Ilustraciones vectoriales Los vectores no colineales ̅ y ̅ se denominan vectores ̅ que satisfacen las siguientes tres condiciones:
el vector c es ortogonal a los vectores a y b;
la longitud del vector c es igual a |с̅ | = |̅ | |̅ |sin ϕ, donde ϕ es el ángulo entre los vectores ̅ y ̅ ;
el triple ordenado de vectores ̅ ,̅ ,с̅ es diestro.
15. Formule la propiedad de conmutatividad (simetría) de un producto escalar y la propiedad de anticonmutatividad (antisimetría) de un producto vectorial.
El producto escalar es conmutativo: ̅ ̅ =̅ ̅ .
El producto vectorial es anticonmutativo: ̅ x̅ =− ̅ x̅ .
16. Formule la propiedad de linealidad del producto vectorial de vectores.
la propiedad de asociatividad junto con la multiplicación por un número (λ ̅ )×̅ = λ(̅ ×̅ );
propiedad de la distributividad con respecto a la suma (̅ +̅ )×с̅ =̅ ×с̅ +̅ ×с̅ .
Las propiedades de asociatividad y distributividad de un producto vectorial se combinan, de manera similar al caso de un producto escalar, en propiedad de linealidad de un producto vectorial
en relación con el primer factor. Debido a la propiedad de anticonmutatividad de un producto vectorial, el producto vectorial es lineal con respecto al segundo factor:
̅ ×(λ̅ ) = −(λ̅ )×̅ = −λ(̅ ×̅ ) = λ(̅ ×̅ )
̅ ×(̅ +̅с ) = −(̅ +̅с )×̅ = −(̅ ×̅ +̅с ×̅ ) =̅ ×̅ +̅ ×̅с .
17. Escribe una fórmula para calcular el producto vectorial en base ortonormal derecha.
̅ = { , }, ̅ = { , }.
18. Defina un producto mixto de vectores.
Trabajo mixto tres vectores̅ ,̅ ,с̅ se llama número igual a (̅ ×̅ )с̅ - el producto escalar del producto vectorial de los dos primeros vectores y el tercer vector.
19. Formule la propiedad de permutación (simetría sesgada) de un producto mixto.
Válido para trabajo mixto regla de permutación cíclica:
̅ с̅ = с̅ ̅ | = ̅с ̅= − ̅ с̅ | = − с̅ ̅= − ̅ ̅с. | ||||||||
20. Formule la propiedad de linealidad de un producto mixto. | ||||||||||
Para un producto mixto, la propiedad de asociatividad con respecto a | ||||||||||
multiplicar vectores por un número: (λ ̅ )с̅ | = λ(̅ с̅ ). | |||||||||
Para un producto mixto, la propiedad de distributividad se cumple: (̅̅̅ +̅̅̅ )с̅ | = ̅̅̅ |
|||||||||
̅с + ̅̅̅ | ||||||||||
Con. | ||||||||||
Estas propiedades de un producto mixto se formulan para el primer factor. Sin embargo, usando la permutación cíclica, uno puede resultar similar
declaraciones tanto para el segundo como para el tercer factor, es decir las igualdades son verdaderas
̅ (λ̅) ̅s = λ (̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ (λ̅s) = λ (̅ ̅ ̅ ̅s), ̅ (̅̅̅ 1 +̅̅̅ 2) ̅s = ̅ ̅̅̅ 1 s +̅ 2 ̅s, ̅ ̅ (̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ 1 +̅ 2 ) =̅ ̅ 1 +̅ ̅ 2 ,
y como resultado tenemos la propiedad de linealidad del producto mixto. para cada factor.
21. Escribe una fórmula para calcular un producto mixto en base ortonormal derecha.
̅ = { , }, ̅ = { , }, ̅= { , }
22. Escribe la ecuación general del avión y la ecuación “en segmentos”. Explique el significado geométrico de los parámetros incluidos en estas ecuaciones.
La ecuación Ax + By + Cz + D = 0 se llama ecuación del plano general. Los coeficientes A, B, C para las incógnitas de esta ecuación tienen un significado geométrico claro: el vector n = (A; B; C) es perpendicular al plano. Se llama vector normal del avión. Al igual que la ecuación general del avión, se determina hasta un factor numérico (distinto de cero).
La ecuación + + = 1 se llama ecuación del plano en segmentos, donde a, b, c –
las coordenadas correspondientes de los puntos que se encuentran en los ejes OX, OY y OZ, respectivamente.
23. Escribe la ecuación del avión que pasa por 3 puntos dados.
Sean puntos 1 (1, 1, 1), 2 (2, 2, 2), 3 (3, 3, 3) y el punto M(x, y, z) un punto perteneciente al plano formado por puntos 1, 2 y 3, entonces la ecuación del plano tiene
− 1 | − 1 | − 1 |
| 2 −1 | 2 − 1 | 2 −1 | = 0 |
3 − 1 | 3 − 1 | 3 − 1 |
24. Formule las condiciones de paralelismo y perpendicularidad de dos planos.
dos aviones perpendicular, si sus vectores normales son ortogonales.
Dos planos son paralelos si sus vectores normales son colineales.
25. Escribe una fórmula para la distancia de un punto a un plano dada por la ecuación general.
Para encontrar la distancia desde el punto 0 (0, 0, 0) al avión
: + + + = 0 se utiliza la fórmula:(,) = | 0 + 0 + 0 + |
√ 2 +2 +2
26. Escribe las ecuaciones canónicas y paramétricas de una línea recta en el espacio. Explique el significado geométrico de los parámetros incluidos en estas ecuaciones.
Ecuación ( = 0 + , donde (l; m; n) son las coordenadas del vector director = recta L y
(0 ;0 ; | – las coordenadas del punto 0 L en el sistema de coordenadas rectangulares se llaman |
|||||||||||||||
ecuaciones paramétricas de una línea recta en el espacio. |
||||||||||||||||
La ecuacion | − 0 | − 0 | − 0 | se llaman ecuaciones canónicas de la recta |
||||||||||||
espacio. | ||||||||||||||||
27. Escribe la ecuación de una recta que pasa por dos puntos dados en el espacio. |
||||||||||||||||
Ecuaciones | − 1 | − 1 | − 1 | llamadas ecuaciones de una recta que pasa por dos puntos |
||||||||||||
1 (1, 1, 1) y 2 (2, 2, 2).
28. Escribe la condición para que dos rectas pertenezcan al mismo plano.
Sean a y b los vectores directores de estas rectas, y sean los puntos M1 y M2 pertenecientes a las rectas 1 y 2, respectivamente. Entonces dos rectas pertenecerán al mismo plano si el producto mixto (a, b, M1 M2) es igual a 0.
29. Escribe la fórmula para la distancia de un punto a una línea en el espacio.
La distancia desde el punto 1 a la recta L se puede calcular mediante la fórmula:
30. Escribe la fórmula para la distancia entre líneas que se cruzan.
La distancia entre las líneas de cruce 1 y 2 se puede calcular mediante la fórmula:
propiedad directa
1. Demuestre un criterio geométrico para la dependencia lineal de tres vectores.
Tres vectores son linealmente dependientes si y sólo si son coplanares.
Prueba:
Si tres vectores ̅ ,̅ ,̅ son linealmente dependientes, entonces, según el teorema 2.1 (sobre la dependencia lineal de los vectores), uno de ellos, por ejemplo ̅ , es una combinación lineal de los demás: ̅ = β̅ + γ̅ . Combinemos los orígenes de los vectores ̅ y ̅ en el punto A. Entonces los vectores β̅ , γ̅ tendrán un origen común en el punto A y, según la regla del paralelogramo, su suma, es decir vector̅ será un vector cuyo comienzo A y el final serán el vértice de un paralelogramo construido sobre vectores de términos. Por tanto, todos los vectores se encuentran en el mismo plano, es decir coplanar.
Sean coplanares los vectores ̅ , ̅ , ̅. Si uno de estos vectores es cero, entonces es obvio que será una combinación lineal de los demás. Basta con tomar todos los coeficientes de una combinación lineal iguales a cero. Por tanto, podemos suponer que los tres vectores no son cero. Combinemos los comienzos de estos vectores en un punto común O. Sean sus extremos los puntos A, B, C, respectivamente (figura 2.1). Por el punto C trazamos líneas paralelas a líneas que pasan por pares de puntos O, A y O, B. Designando los puntos de intersección como A' y B', obtenemos
paralelogramo OA’CB’, por lo tanto = ′ + ′ . Vector′ y vector distinto de cero̅ | ||||||
son colineales, por lo que el primero de ellos se puede obtener multiplicando el segundo por | ||||||
número real α: ′ = . De manera similar′ = , β R. Como resultado obtenemos, Qué |
||||||
̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ | ||||||
= ′ + ′ , es decir vector̅ es una combinación lineal de vectores̅ y. Según el teorema |
||||||
̅ son linealmente dependientes. | ||||||
2.1 (sobre la dependencia lineal de los vectores), vectores ̅ , | ||||||
2. Demuestra el teorema sobre la expansión de un vector con respecto a una base. | ||||||||
Teorema sobre la descomposición de un vector respecto de una base. Si = (̅ | – base , ̅ | = (1, 2, 3), entonces |
||||||
hay un conjunto de números ( | ...) tal que̅= ̅̅̅ | ̅ + + ̅ ̅, donde ( | ...) – coordenadas |
|||||
vector en la base.
Prueba: (para i = 2)
(̅1, ̅2)– base 2, ̅2
Por definición del espacio V2: x, e1, e2 son coplanares => (criterio para la dependencia lineal de 3 vectores) => ̅, ̅ 1, ̅ 2 son linealmente dependientes => 0, 1, 2.
0 ̅+1 ̅1 +2 ̅2 = 0̅ ,0 2 +1 2 +2 2 ≠ 0
Caso 1: 0 = 0, entonces1 ̅ 1 + 2 ̅ 2 = 0 ̅,1 2 + 2 2 ≠ 0, lo que significa que 1, 2 son linealmente dependientes (̅ 1, ̅ 2) – lineal. dependiente ̅ 1 y ̅ 2 son colineales.
Caso 2: 0 ≠ 0
̅= (− 1 ) ̅1 + (−2 ) ̅2 0 0
Se demostró que existe.
Que haya 2 vistas:
̅= 1 ̅1 +2 ̅2
Diferencia:
0 ̅ = ̅− ̅= 1 ̅ 1 + 2 ̅ 2 − 1 ̅ 1 − 2 ̅ 2 = (1 − 1 )̅ 1 + (2 − 2 )̅ 2 => linealmente dependiente, y esto contradice la definición de a base.
3. Demuestre la propiedad de linealidad del producto escalar.
Junto con la multiplicación por un número, la operación de multiplicación escalar es asociativa: (λ̅ )̅ =
λ(̅ ̅ ).
La multiplicación escalar y la suma de vectores están relacionadas por la propiedad distributiva: (̅ +̅ )с̅
= ̅ с̅+ ̅ с̅.
Q.E.D.
4. Deducir una fórmula para calcular el producto escalar de vectores especificados en base ortonormal.
Deducir una fórmula para calcular el producto escalar de vectores especificados en base ortonormal.
Sean los vectores ̅ y ̅ from3 especificados por sus coordenadas en la base ortonormal, ̅ ,̅ ̅ :̅ = ( ; ; ),̅ = ( ; ; ). Esto significa que hay expansiones̅ =̅ +̅ +̅ ,
̅ =̅ +̅ +̅ . Utilizándolos y las propiedades del producto escalar, calculamos
̅̅ = (̅+ ̅+̅ )(̅+ ̅+̅ )
= ̅ ̅+ ̅ ̅+ ̅̅ + ̅ ̅+ ̅ ̅+ ̅̅ +̅ ̅+̅ ̅ +̅ ̅ =2 ̅+2 ̅+̅ 2 = + + .
La respuesta final se obtuvo teniendo en cuenta que la ortonormalidad de la base,̅ ,̅
̅ significa las igualdades ̅̅ = ̅ ̅ = ̅ ̅ = 0, 2 ̅= 2 ̅= 2 = 1 . De este modo,
̅ ̅ = + +
5. Deducir una fórmula para calcular el producto vectorial de vectores especificados en base ortonormal derecha.
Deducir una fórmula para calcular el producto vectorial de vectores especificados en forma ortonormal.
Considere dos vectores ̅ | |||||||||||||||||||||||||||||
y, dado por sus coordenadas en la base ortonormal derecha |
|||||||||||||||||||||||||||||
̅ = { | ). Luego se producen las expansiones de estos vectores: ̅ =̅ +̅ |
||||||||||||||||||||||||||||
, ̅, ̅: | |||||||||||||||||||||||||||||
= ̅ +̅ + | |||||||||||||||||||||||||||||
Basado en estos | presentaciones | algebraico | multiplicación de vectores, | obtenemos |
|||||||||||||||||||||||||
= ̅× ̅+ ̅× ̅+ ̅× + | ̅× ̅+ ̅× ̅+ ̅× + |
||||||||||||||||||||||||||||
̅ ̅ | |||||||||||||||||||||||||||||
× ̅+ × ̅+ | × = ( | )̅+ ( | )̅+ ( | ||||||||||||||||||||||||||
Para simplificar la fórmula resultante, tenga en cuenta que es similar a la fórmula para descomponer el determinante de tercer orden en la primera fila, solo que en lugar de coeficientes numéricos hay vectores. Por tanto, podemos escribir esta fórmula como un determinante, que se calcula según las reglas habituales. Dos líneas de este determinante estarán formadas por números y una por vectores. Entonces, la fórmula para calcular el producto vectorial en la base ortonormal derecha,̅ ,̅ ̅ se puede escribir como:
6. Demuestre la propiedad de linealidad de un producto mixto.
Usando las propiedades de un producto mixto, se puede demostrar la linealidad de un vector.
productos por el primer factor:
(̅ + ̅ , ̅)= (̅,)̅+ (̅ ,)̅
Para hacer esto, encontramos el producto escalar del vector en el lado izquierdo de la igualdad y el vector unitario de la base estándar. Considerando la linealidad del producto mixto con respecto al segundo factor,
obtenemos
aquellos. La abscisa del vector del lado izquierdo de la igualdad que se está demostrando es igual a la abscisa del vector del lado derecho. De manera similar demostramos que las ordenadas y las aplicadas de los vectores en ambos lados de la igualdad son respectivamente iguales. En consecuencia, se trata de vectores iguales, ya que sus coordenadas relativas a la base estándar coinciden.
7. Derive una fórmula para calcular el producto mixto de tres vectores en base ortonormal derecha.
Derivación de una fórmula para calcular el producto mixto de tres vectores en base ortonormal derecha.
Sean los vectores a, b, c dados por sus coordenadas en base ortonormal derecha: ̅ = ( ; |
||||||||||||||||||||||||||||
), = ( ; ; ), ̅с = ( ; ; ). Para encontrar su producto mixto, | ||||||||||||||||||||||||||||
Usemos las fórmulas para calcular los productos escalar y vectorial: | ||||||||||||||||||||||||||||
̅̅= ̅(× ̅)= ̅ (| | ||||||||||||||||||||||||||||
8. Derive una fórmula para la distancia de un punto a un plano dada por la ecuación general.
Deducir una fórmula para la distancia de un punto a un plano dada por una ecuación general.
Consideremos en el espacio un plano π y un punto arbitrario 0. Vamos a escoger
para el plano, un vector unitario normal n con origen en algún punto 1 π, y sea ρ(0,
desde | ̅ | = 1.
Si el plano π se especifica en un sistema de coordenadas rectangular por su ecuación general | |||||||||||
Ax + By + Cz + D = 0, entonces su vector normal es el vector de coordenadas (A; B; C). | |||||||||||
Sean (0, 0, 0) y (1, 1, 1) las coordenadas de los puntos0. | y 1. Entonces se cumple la igualdad | ||||||||||
A 1 +B1 +C1 +D = 0, ya que el punto M1 pertenece al plano y se pueden encontrar las coordenadas | |||||||||||
̅̅̅̅̅̅̅̅ | ̅̅̅̅̅̅̅̅ | ̅̅̅̅̅̅̅̅ | |||||||||
Vector 1 0: | 1 0 = (0 - 1; 0 - 1; 0 - 1) . Escribiendo el producto escalar ̅ 1 0 |
||||||||||
forma coordinada y transformando (5.8), obtenemos | |||||||||||
| (0 −1 ) + (0 −1 ) + (0 −1 )| | | 0 +0 +0 − (1 +1 +1 )| | ||||||||||
2 + 2+ 2 | 2 + 2+ 2 | ||||||||||
= |0 +0 +0 + | √2 +2 +2
ya que 1 + 1 + 1 = − . Entonces, para calcular la distancia de un punto a un plano, es necesario sustituir las coordenadas del punto en la ecuación general del plano y luego dividir el valor absoluto del resultado por un factor de normalización igual a la longitud del correspondiente vector normal.
9. Derive una fórmula para la distancia desde un punto a una línea en el espacio.
Derivación de la fórmula para la distancia de un punto a una recta en el espacio.
La distancia desde el punto 1 (1, 1, 1) a la recta L, dada por las ecuaciones canónicas L:− 0 = − 0 = − 0, se puede calcular utilizando el producto vectorial. En realidad,
las ecuaciones canónicas de la recta nos dan el punto 0 (0, 0, 0) en la recta
y el vector director ̅ = (l; m; n) de esta recta. Construyamos un paralelogramo sobre los vectores ̅ y ̅̅̅̅̅̅̅̅.
Entonces la distancia desde el punto 1 a la recta L será igual a la altura h del paralelogramo (figura 6.6).
Esto significa que la distancia requerida se puede calcular usando la fórmula
̅̅̅̅̅̅̅̅ | |||
(1 ,) = | | 0 1 × | |
||
10. Derive una fórmula para la distancia entre líneas que se cruzan.
Derivación de la fórmula para la distancia entre líneas que se cruzan.
La distancia entre líneas que se cruzan se puede encontrar usando mixto
trabajar. Sean rectas 1 | y 2 | ecuaciones canónicas. Ya que |
|
̅̅̅̅̅̅̅̅ |
están cruzados, sus vectores de dirección 1 , 2 y el vector 1 2 que conectan los puntos en las líneas no son coplanares. Por tanto, sobre ellos se puede construir un paralelepípedo (Fig. 6.7).
Entonces la distancia entre las rectas es igual a la altura h de este paralelepípedo. A su vez, la altura de un paralelepípedo se puede calcular como la relación entre el volumen del paralelepípedo y el área de su base. El volumen del paralelepípedo es igual al módulo del producto mixto de los tres vectores indicados, y el área del paralelogramo en la base del paralelepípedo es igual al módulo del producto vectorial de los vectores directores de la recta. líneas. Como resultado, obtenemos la fórmula para la distancia.
(1, 2) entre líneas: | ̅ ̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅ |
||||||
(1 ,2 ) = | | 1 2 | 1 2| |
|||||
|
Un vector es un segmento dirigido de una línea recta en el espacio euclidiano, un extremo del cual (punto A) se llama comienzo del vector y el otro extremo (punto B), final del vector (Fig. 1). Los vectores se designan: Si el principio y el final del vector coinciden, entonces el vector se llama vector cero y es designado 0 . Ejemplo. Deje que el comienzo del vector en el espacio bidimensional tenga coordenadas. A(12.6), y el final del vector son las coordenadas B(12.6). Entonces el vector es el vector cero. Longitud de la sección AB llamado módulo (longitud, la norma) vector y se denota por | a|. Un vector de longitud igual a uno se llama vector unitario. Además del módulo, el vector se caracteriza por la dirección: el vector tiene una dirección desde A A B. Un vector se llama vector, opuesto vector. Los dos vectores se llaman colineal, si se encuentran en la misma recta o en rectas paralelas. En la imagen Fig. Los 3 vectores rojos son colineales, porque se encuentran en la misma línea recta y los vectores azules son colineales, porque se encuentran en líneas paralelas. Dos vectores colineales se llaman igualmente dirigido, si sus extremos se encuentran en el mismo lado de la línea recta que conecta sus comienzos. Dos vectores colineales se llaman dirigido de manera opuesta, si sus extremos se encuentran en lados opuestos de la línea recta que conecta sus comienzos. Si dos vectores colineales se encuentran en la misma línea recta, entonces se les llama dirigidos de manera idéntica si uno de los rayos formados por un vector contiene completamente el rayo formado por el otro vector. En caso contrario, se dice que los vectores tienen direcciones opuestas. En la Figura 3, los vectores azules tienen direcciones iguales y los vectores rojos tienen direcciones opuestas. Los dos vectores se llaman igual si tienen módulos iguales y las mismas direcciones. En la Figura 2, los vectores son iguales porque sus módulos son iguales y tienen la misma dirección. Los vectores se llaman coplanar, si se encuentran en el mismo plano o en planos paralelos. EN norte En un espacio vectorial dimensional, considere el conjunto de todos los vectores cuyo punto de partida coincide con el origen de coordenadas. Entonces el vector se puede escribir de la siguiente forma:
Dónde x 1 , x 2 , ..., x n coordenadas del punto final del vector X. Un vector escrito en la forma (1) se llama vector fila, y el vector escrito en la forma
llamado vector de columna. Número norte llamado dimensión (en orden) vectorial. Si 1. Disposiciones generales 1.1. Para mantener la reputación empresarial y garantizar el cumplimiento de la legislación federal, el Instituto Estatal Federal de Investigación Tecnológica "Informika" (en adelante, la Compañía) considera que la tarea más importante es garantizar la legitimidad del procesamiento y la seguridad de la información personal. datos de sujetos en los procesos de negocio de la Compañía. 1.2. Para resolver este problema, la Compañía ha introducido, opera y se somete a revisión (seguimiento) periódica de un sistema de protección de datos personales. 1.3. El tratamiento de datos personales en la Empresa se basa en los siguientes principios: La licitud de los fines y métodos de procesamiento de datos personales y su integridad; Cumplimiento de las finalidades del tratamiento de datos personales con los fines predeterminados y establecidos en la recogida de datos personales, así como con las facultades de la Empresa; Correspondencia del volumen y naturaleza de los datos personales procesados, métodos de procesamiento de datos personales con los fines del procesamiento de datos personales; La fiabilidad de los datos personales, su relevancia y suficiencia para los fines del procesamiento, la inadmisibilidad del procesamiento de datos personales que sea excesivo en relación con los fines de recopilación de datos personales; La legitimidad de las medidas organizativas y técnicas para garantizar la seguridad de los datos personales; Mejora continua del nivel de conocimientos de los empleados de la Compañía en el campo de garantizar la seguridad de los datos personales durante su procesamiento; Esforzarse por la mejora continua del sistema de protección de datos personales. 2. Finalidades del tratamiento de datos personales 2.1. De acuerdo con los principios del procesamiento de datos personales, la Compañía ha determinado la composición y los fines del procesamiento. Finalidades del tratamiento de datos personales: Celebración, apoyo, modificación, terminación de contratos de trabajo, que son la base para el surgimiento o terminación de las relaciones laborales entre la Compañía y sus empleados; Proporcionar un portal y servicios de cuentas personales para estudiantes, padres y profesores; Almacenamiento de resultados de aprendizaje; Cumplimiento de obligaciones previstas por la legislación federal y otros actos legales reglamentarios; 3. Reglas para el procesamiento de datos personales 3.1. La Compañía procesa únicamente aquellos datos personales que se presentan en la Lista aprobada de datos personales procesados en la Institución Autónoma del Estado Federal Instituto Estatal de Investigación Tecnológica "Informika" 3.2. La Compañía no permite el procesamiento de las siguientes categorías de datos personales: Carrera; Puntos de vista políticos; Creencias filosóficas; Sobre el estado de salud; Estado de vida íntima; Nacionalidad; Creencias religiosas. 3.3. La Compañía no procesa datos personales biométricos (información que caracteriza las características fisiológicas y biológicas de una persona, a partir de las cuales se puede establecer su identidad). 3.4. La Compañía no realiza transferencias transfronterizas de datos personales (transferencia de datos personales al territorio de un estado extranjero a una autoridad de un estado extranjero, a una persona física extranjera o a una entidad jurídica extranjera). 3.5. La Compañía prohíbe tomar decisiones sobre los interesados basadas únicamente en el procesamiento automatizado de sus datos personales. 3.6. La Empresa no procesa datos sobre los antecedentes penales de los sujetos. 3.7. La empresa no publica los datos personales del interesado en fuentes disponibles públicamente sin su consentimiento previo. 4. Requisitos implementados para garantizar la seguridad de los datos personales. 4.1. Para garantizar la seguridad de los datos personales durante su procesamiento, la Compañía implementa los requisitos de los siguientes documentos reglamentarios de la Federación de Rusia en el campo del procesamiento y garantía de la seguridad de los datos personales: Ley Federal de 27 de julio de 2006 No. 152-FZ “Sobre Datos Personales”; Decreto del Gobierno de la Federación de Rusia del 1 de noviembre de 2012 N 1119 “Sobre la aprobación de los requisitos para la protección de datos personales durante su procesamiento en los sistemas de información de datos personales”; Decreto del Gobierno de la Federación de Rusia de 15 de septiembre de 2008 No. 687 “Sobre la aprobación del Reglamento sobre las particularidades del procesamiento de datos personales realizado sin el uso de herramientas de automatización”; Orden de la FSTEC de Rusia de 18 de febrero de 2013 N 21 “Sobre la aprobación de la composición y contenido de las medidas organizativas y técnicas para garantizar la seguridad de los datos personales durante su procesamiento en los sistemas de información de datos personales”; Modelo básico de amenazas a la seguridad de los datos personales durante su procesamiento en los sistemas de información de datos personales (aprobado por el Director Adjunto del FSTEC de Rusia el 15 de febrero de 2008); Metodología para determinar las amenazas actuales a la seguridad de los datos personales durante su procesamiento en los sistemas de información de datos personales (aprobada por el Director Adjunto del FSTEC de Rusia el 14 de febrero de 2008). 4.2. La empresa evalúa el daño que se puede causar a los interesados e identifica amenazas a la seguridad de los datos personales. De acuerdo con las amenazas actuales identificadas, la Compañía aplica las medidas organizativas y técnicas necesarias y suficientes, incluido el uso de herramientas de seguridad de la información, detección de accesos no autorizados, restauración de datos personales, establecimiento de reglas para el acceso a datos personales, así como monitoreo y Evaluación de la eficacia de las medidas aplicadas. 4.3. La Compañía ha designado personas responsables de organizar el procesamiento y garantizar la seguridad de los datos personales. 4.4. La dirección de la Compañía es consciente de la necesidad y está interesada en garantizar un nivel adecuado de seguridad para los datos personales procesados como parte del negocio principal de la Compañía, tanto en términos de los requisitos de los documentos reglamentarios de la Federación de Rusia como justificados desde el punto de vista. de evaluar los riesgos empresariales. El vector es uno de los conceptos geométricos básicos. Un vector se caracteriza por un número (longitud) y una dirección. Se puede imaginar visualmente como un segmento dirigido, aunque cuando se habla de un vector, es más correcto referirse a toda una clase de segmentos dirigidos, todos paralelos entre sí, con la misma longitud y la misma dirección (Fig. 1). ). Ejemplos de cantidades físicas que son de naturaleza vectorial son la velocidad (de un cuerpo en movimiento traslacional), la aceleración, la fuerza, etc. El concepto de vector apareció en las obras del matemático alemán del siglo XIX. G. Grassmann y el matemático irlandés W. Hamilton; luego fue aceptado fácilmente por muchos matemáticos y físicos. En las matemáticas modernas y sus aplicaciones, este concepto juega un papel vital. Los vectores se utilizan en la mecánica clásica de Galileo-Newton (en su presentación moderna), en la teoría de la relatividad, la física cuántica, en la economía matemática y en muchas otras ramas de las ciencias naturales, sin mencionar el uso de vectores en diversos campos de las matemáticas. Cada uno de los segmentos dirigidos que forman el vector (Fig. 1) puede denominarse representante de este vector. Un vector cuyo representante es un segmento dirigido que va de un punto a otro se denota por . En la Fig. 1 tenemos, es decir y es el mismo vector (cuyos representantes son ambos segmentos dirigidos resaltados en la Fig. 1). A veces, un vector se indica con una letra minúscula con una flecha: , . Un vector representado por un “segmento” dirigido cuyo principio y final coinciden se llama cero; se denota por , es decir . Dos vectores paralelos que tienen la misma longitud pero direcciones opuestas se llaman opuestos. Si un vector se denota por , entonces su vector opuesto se denota por . Nombramos las operaciones básicas asociadas con los vectores. I. Retrasar un vector desde un punto. Sea un vector y sea un punto. Entre los segmentos dirigidos que son representantes del vector, hay un segmento dirigido que comienza en el punto. El final de este segmento dirigido se llama punto y resulta de trazar el vector desde el punto (Fig. 2). Esta operación tiene las siguientes propiedades: I1. Para cualquier punto y cualquier vector existe, y sólo uno, un punto para el cual .
Suma de vectores. Sean y dos vectores. Tomemos un punto arbitrario y tracemos el vector desde el punto, es decir busquemos un punto tal que (Fig. 3). Luego trazamos el vector desde el punto, es decir, encontramos un punto tal que . Un vector se llama suma de vectores y y se denota por . Se puede demostrar que la suma no depende de la elección del punto, es decir si reemplazas con otro punto, obtienes un vector igual a (Fig. 3). De la definición de suma de vectores se deduce que para tres puntos cualesquiera la igualdad I2: (“regla de los tres puntos”). Si los vectores distintos de cero no son paralelos, entonces es conveniente encontrar su suma utilizando la regla del paralelogramo (Fig. 4).
II. Las principales propiedades de la suma de vectores se expresan mediante las siguientes 4 igualdades (válidas para cualquier vector, ,): II2. Tenga en cuenta también que la suma de varios vectores se encuentra encontrando secuencialmente la suma de dos de ellos. Por ejemplo: Además, no importa en qué orden sumamos los vectores dados, el resultado (como se desprende de las propiedades mencionadas en los párrafos II1 y II2) siempre será el mismo. Por ejemplo: Además, geométricamente, la suma de varios vectores se puede obtener de la siguiente manera: es necesario colocar segmentos dirigidos que sean representantes de estos vectores uno tras otro (es decir, de modo que el comienzo del segundo segmento dirigido coincida con el final del primero , el comienzo del tercero con el final del segundo, y etc.); luego vector
III. Multiplicar un vector por un número. Sea un vector distinto de cero y un número distinto de cero. Through denota un vector definido por las dos condiciones siguientes: a) la longitud del vector es igual a ; b) el vector es paralelo al vector y su dirección coincide con la dirección del vector en y opuesta a él en (Fig. 6). Si al menos una de las igualdades es verdadera, entonces el producto se considera igual a . Por tanto, el producto está definido para cualquier vector y cualquier número.
Las siguientes 4 igualdades (válidas para cualquier vector y cualquier número) expresan las propiedades básicas de la operación de multiplicar un vector por un número: De estas propiedades se derivan una serie de hechos adicionales relacionados con las operaciones consideradas con vectores. Observemos algunos de ellos que se utilizan a menudo para resolver problemas. a) Si es un punto del segmento tal que b) Si es el punto de intersección de las medianas del triángulo, entonces c) Sea un punto sobre una recta y sea un vector distinto de cero paralelo a esta recta. Un punto pertenece a una recta si y sólo si (dónde está un determinado número). d) Sea un punto en el plano y , sean vectores distintos de cero y no paralelos paralelos a este plano. Un punto pertenece al plano si y sólo si el vector se expresa en términos de y , es decir . Finalmente, observemos también la propiedad de dimensión, que expresa el hecho de que el espacio es tridimensional. IV. En el espacio existen tres vectores , , , tales que ninguno de ellos puede expresarse en términos de los otros dos; cualquier cuarto vector se expresa en términos de estos tres vectores: Las propiedades de las operaciones vectoriales enumeradas anteriormente son similares en muchos aspectos a las propiedades de la suma y multiplicación de números. Al mismo tiempo, un vector es un objeto geométrico y conceptos geométricos como longitud y ángulo se utilizan en la definición de operaciones vectoriales; Esto explica la utilidad de los vectores para la geometría (y sus aplicaciones a la física y otros campos del conocimiento). Sin embargo, para resolver problemas geométricos utilizando vectores, primero debes aprender a “traducir” la condición de un problema geométrico a un “lenguaje” vectorial. Después de dicha "traducción", se realizan cálculos algebraicos con vectores y luego la solución vectorial resultante se "traduce" nuevamente a un "lenguaje" geométrico. Esta es la solución vectorial a problemas geométricos. Cuando se presenta un curso de geometría en la escuela, un vector se da como un concepto definible (ver Definición) y, por lo tanto, la axiomática adoptada en el libro de texto escolar (ver Axiomática y método axiomático) de la geometría no dice nada sobre las propiedades de los vectores, es decir. todas estas propiedades deben demostrarse como teoremas. Sin embargo, existe otra forma de presentar la geometría, en la que los conceptos iniciales (indefinidos) se consideran un vector y un punto, y se anotan las propiedades I1, I2, II1-II4, III1-III4, IV, V1-V4. anteriores se toman como axiomas. Esta forma de construir la geometría fue propuesta en 1917 por el matemático alemán G. Weyl. Aquí las líneas rectas y los planos son los conceptos definidos. La ventaja de tal construcción es su brevedad y su conexión orgánica con la comprensión moderna de la geometría tanto en las matemáticas mismas como en otros campos del conocimiento. En particular, los axiomas II1-II4, III1-III4 introducen el llamado espacio vectorial utilizado en las matemáticas, la física, la economía matemática, etc. ¿Te gustó el artículo? ¡Compartir con tus amigos!
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Arriba
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entonces el vector se llama vector cero(desde el punto de partida del vector 
). Dos vectores X Y y son iguales si y sólo si sus elementos correspondientes son iguales.
.
.
tendrá como representante un segmento dirigido de “cierre” que va desde el inicio del primero hasta el final del último (Fig. 5). (Tenga en cuenta que si dicha deposición secuencial da como resultado una “línea discontinua de vector cerrado”, entonces 
.)
, entonces para cualquier punto la igualdad es verdadera, en particular, si es la mitad del segmento, entonces 
.
; además, para cualquier punto la igualdad es cierta 
(los teoremas inversos también son válidos).
. se define por la igualdad: se indica el producto escalar del vector (y luego no se determina el ángulo entre ellos).
