Espero que ya hayas leído sobre el círculo numérico y sepas por qué se llama círculo numérico, dónde está el origen de las coordenadas y de qué lado es la dirección positiva. Si no, ¡corre! A menos, por supuesto, que vayas a encontrar puntos en el círculo numérico.
Denotamos los números \(2π\), \(π\), \(\frac(π)(2)\), \(-\frac(π)(2)\), \(\frac(3π) (2 )\)
Como sabes por el artículo anterior, el radio del círculo numérico es \(1\). Esto significa que la circunferencia es igual a \(2π\) (calculada usando la fórmula \(l=2πR\)). Teniendo esto en cuenta, marcamos \(2π\) en el círculo numérico. Para marcar este número, necesitamos ir desde \(0\) a lo largo del círculo numérico, la distancia es igual a \(2π\) en la dirección positiva, y como la longitud del círculo es \(2π\), Resulta que haremos una revolución completa. Es decir, el número \(2π\) y \(0\) corresponden al mismo punto. No te preocupes, varios valores para un punto son normales para un círculo numérico.
Ahora denotemos el número \(π\) en el círculo numérico. \(π\) es la mitad de \(2π\). Por lo tanto, para marcar este número y el punto correspondiente, debes recorrer medio círculo desde \(0\) en la dirección positiva.
Marquemos el punto \(\frac(π)(2)\) . \(\frac(π)(2)\) es la mitad de \(π\), por lo tanto, para marcar este número, debes recorrer desde \(0\) en dirección positiva una distancia igual a la mitad de \( π\), es decir un cuarto de círculo.
Denotemos los puntos en el círculo \(-\)\(\frac(π)(2)\) . Nos movemos la misma distancia que la última vez, pero en dirección negativa.
Pongamos \(-π\). Para ello, caminemos una distancia igual a medio círculo en dirección negativa.
Ahora veamos un ejemplo más complicado. Marquemos el número \(\frac(3π)(2)\) en el círculo. Para hacer esto, traducimos la fracción \(\frac(3)(2)\) a \(\frac(3)(2)\) \(=1\)\(\frac(1)(2)\ ), es decir, e. \(\frac(3π)(2)\) \(=π+\)\(\frac(π)(2)\) . Esto significa que debes recorrer desde \(0\) en dirección positiva una distancia de medio círculo y otro cuarto.
Ejercicio 1. Marca los puntos \(-2π\),\(-\)\(\frac(3π)(2)\) en el círculo numérico.
Denotamos los números \(\frac(π)(4)\), \(\frac(π)(3)\), \(\frac(π)(6)\) ,\(\frac(7π) (6 )\), \(-\frac(4π)(3)\), \(\frac(7π)(4)\)
Arriba encontramos los valores en los puntos de intersección del círculo numérico con los ejes \(x\) y \(y\). Ahora determinemos la posición de los puntos intermedios. Primero, tracemos los puntos \(\frac(π)(4)\) , \(\frac(π)(3)\) y \(\frac(π)(6)\) .
\(\frac(π)(4)\) es la mitad de \(\frac(π)(2)\) (es decir, \(\frac(π)(4)\) \(=\)\ ( \frac(π)(2)\) \(:2)\) , entonces la distancia \(\frac(π)(4)\) es medio cuarto de círculo.
\(\frac(π)(4)\) es un tercio de \(π\) (en otras palabras,\(\frac(π)(3)\) \(=π:3\)), por lo que la distancia \ (\frac(π)(3)\) es un tercio del semicírculo.
\(\frac(π)(6)\) es la mitad de \(\frac(π)(3)\) (después de todo, \(\frac(π)(6)\) \(=\)\( \frac (π)(3)\) \(:2\)) entonces la distancia \(\frac(π)(6)\) es la mitad de la distancia \(\frac(π)(3)\) .
Así es como se ubican entre sí:
Comentario: Ubicación de puntos con valor \(0\), \(\frac(π)(2)\) ,\(π\), \(\frac(3π)(2)\) , \(\frac(π) ( 4)\) , \(\frac(π)(3)\) , \(\frac(π)(6)\) es mejor simplemente recordar. Sin ellos, el círculo numérico, como una computadora sin monitor, parece algo útil, pero extremadamente incómodo de usar.
Denotemos ahora el punto de la circunferencia \(\frac(7π)(6)\) , para ello realizamos las siguientes transformaciones: \(\frac(7π)(6)\) \(=\)\(\ frac(6π + π )(6)\) \(=\)\(\frac(6π)(6)\) \(+\)\(\frac(π)(6)\) \(=π+ \)\(\ frac(π)(6)\) . De esto podemos ver que desde cero en la dirección positiva necesitamos viajar una distancia \(π\), y luego otra \(\frac(π)(6)\) .
Marca el punto \(-\)\(\frac(4π)(3)\) en el círculo. Transformar: \(-\)\(\frac(4π)(3)\) \(=-\)\(\frac(3π)(3)\) \(-\)\(\frac(π)( 3)\) \(=-π-\)\(\frac(π)(3)\) . Esto significa que desde \(0\) necesitamos ir en dirección negativa la distancia \(π\) y también \(\frac(π)(3)\) .
Trazamos el punto \(\frac(7π)(4)\) , para ello transformamos \(\frac(7π)(4)\) \(=\)\(\frac(8π-π)(4 )\) \ (=\)\(\frac(8π)(4)\) \(-\)\(\frac(π)(4)\) \(=2π-\)\(\frac(π )(4)\). Esto significa que para colocar un punto con el valor \(\frac(7π)(4)\), necesitas ir desde el punto con el valor \(2π\) al lado negativo a una distancia \(\ frac(π)(4)\) .
Tarea 2. Marca los puntos \(-\)\(\frac(π)(6)\) ,\(-\)\(\frac(π)(4)\) ,\(-\)\(\frac) en el círculo numérico (π)(3)\) ,\(\frac(5π)(4)\) ,\(-\)\(\frac(7π)(6)\) ,\(\frac(11π) (6) \) , \(\frac(2π)(3)\) ,\(-\)\(\frac(3π)(4)\) .
Denotamos los números \(10π\), \(-3π\), \(\frac(7π)(2)\) ,\(\frac(16π)(3)\), \(-\frac(21π )( 2)\), \(-\frac(29π)(6)\)
Escribamos \(10π\) en la forma \(5 \cdot 2π\). Recordamos que \(2π\) es una distancia igual a la longitud de un círculo, por lo que para marcar el punto \(10π\), es necesario ir desde cero hasta una distancia igual a \(5\) círculos. No es difícil adivinar que nos encontraremos nuevamente en el punto \(0\), basta con hacer cinco revoluciones.
De este ejemplo podemos concluir:
Los números con una diferencia de \(2πn\), donde \(n∈Z\) (es decir, \(n\) es cualquier número entero) corresponden al mismo punto.
Es decir, para poner un número con un valor mayor que \(2π\) (o menor que \(-2π\)), es necesario extraer de él un número par \(π\) (\(2π\), \(8π\), \(-10π\)…) y descartar. Así, eliminaremos las “revoluciones vacías” de los números que no afectan la posición del punto.
Otra conclusión:
El punto al que corresponde \(0\) también corresponde a todas las cantidades pares \(π\) (\(±2π\),\(±4π\),\(±6π\)…).
Ahora apliquemos \(-3π\) al círculo. \(-3π=-π-2π\), lo que significa que \(-3π\) y \(–π\) están en el mismo lugar del círculo (ya que se diferencian por una “vuelta vacía” en \(-2π \)).
Por cierto, todos los \(π\) impares también estarán allí.
El punto al que corresponde \(π\) también corresponde a todas las cantidades impares \(π\) (\(±π\),\(±3π\),\(±5π\)…).
Ahora denotemos el número \(\frac(7π)(2)\) . Como siempre, transformamos: \(\frac(7π)(2)\) \(=\)\(\frac(6π)(2)\) \(+\)\(\frac(π)(2) \ ) \(=3π+\)\(\frac(π)(2)\) \(=2π+π+\)\(\frac(π)(2)\) . Descartamos dos pi, y resulta que para designar el número \(\frac(7π)(2)\) es necesario ir desde cero en dirección positiva a una distancia igual a \(π+\)\(\ frac(π)(2)\ ) (es decir, medio círculo y otro cuarto).
Coordenadas X Los puntos que se encuentran en el círculo son iguales a cos(θ), y las coordenadas. y corresponden a sin(θ), donde θ es la magnitud del ángulo.
- Si le resulta difícil recordar esta regla, recuerde que en el par (cos; sin) “el seno viene al final”.
- Esta regla se puede derivar considerando los triángulos rectángulos y la definición de estas funciones trigonométricas (el seno de un ángulo es igual a la razón entre la longitud del lado opuesto y el coseno del lado adyacente a la hipotenusa).
Escribe las coordenadas de cuatro puntos del círculo. Un “círculo unitario” es un círculo cuyo radio es igual a uno. Utilice esto para determinar las coordenadas. X Y y en cuatro puntos de intersección de los ejes de coordenadas con el círculo. Arriba, para mayor claridad, designamos estos puntos como “este”, “norte”, “oeste” y “sur”, aunque no tienen nombres establecidos.
- "Este" corresponde al punto con coordenadas (1; 0) .
- "Norte" corresponde al punto con coordenadas (0; 1) .
- "Oeste" corresponde al punto con coordenadas (-1; 0) .
- "Sur" corresponde al punto con coordenadas (0; -1) .
- Esto es similar a un gráfico normal, por lo que no es necesario memorizar estos valores, solo recuerda el principio básico.
Recuerda las coordenadas de los puntos del primer cuadrante. El primer cuadrante se ubica en la parte superior derecha del círculo, donde se encuentran las coordenadas X Y y tomar valores positivos. Estas son las únicas coordenadas que debes recordar:
- el punto π/6 tiene coordenadas () ;
- el punto π/4 tiene coordenadas () ;
- el punto π/3 tiene coordenadas () ;
- Tenga en cuenta que el numerador sólo toma tres valores. Si te mueves en una dirección positiva (de izquierda a derecha a lo largo del eje X y de abajo hacia arriba a lo largo del eje y), el numerador toma los valores 1 → √2 → √3.
Dibuja líneas rectas y determina las coordenadas de los puntos de su intersección con el círculo. Si dibuja líneas rectas horizontales y verticales desde los puntos de un cuadrante, los segundos puntos de intersección de estas líneas con el círculo tendrán las coordenadas X Y y con los mismos valores absolutos, pero diferentes signos. En otras palabras, puedes dibujar líneas horizontales y verticales desde los puntos del primer cuadrante y etiquetar los puntos de intersección con el círculo con las mismas coordenadas, pero al mismo tiempo dejar espacio a la izquierda para el signo correcto ("+" o "-").
- Por ejemplo, puedes dibujar una línea horizontal entre los puntos π/3 y 2π/3. Dado que el primer punto tiene coordenadas ( 1 2 , 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(2)),(\frac (\sqrt (3))(2)))), las coordenadas del segundo punto serán (? 12 , ? 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(2)),?(\frac (\sqrt (3))(2)))), donde en lugar del signo "+" o "-" hay un signo de interrogación.
- Utilice el método más sencillo: preste atención a los denominadores de las coordenadas del punto en radianes. Todos los puntos con un denominador de 3 tienen los mismos valores de coordenadas absolutas. Lo mismo se aplica a los puntos con denominadores 4 y 6.
Para determinar el signo de las coordenadas, utilice las reglas de simetría. Hay varias formas de determinar dónde colocar el signo "-":
- Recuerde las reglas básicas para los gráficos regulares. Eje X negativo a la izquierda y positivo a la derecha. Eje y negativo abajo y positivo arriba;
- Comience con el primer cuadrante y dibuje líneas hacia otros puntos. Si la recta cruza el eje y, coordinar X cambiará de signo. Si la recta cruza el eje X, el signo de la coordenada cambiará y;
- recuerda que en el primer cuadrante todas las funciones son positivas, en el segundo cuadrante solo el seno es positivo, en el tercer cuadrante solo la tangente es positiva, y en el cuarto cuadrante solo el coseno es positivo;
- Cualquiera que sea el método que utilice, debe obtener (+,+) en el primer cuadrante, (-,+) en el segundo, (-,-) en el tercero y (+,-) en el cuarto.
Comprueba si cometiste un error. A continuación se muestra una lista completa de coordenadas de puntos "especiales" (excepto los cuatro puntos en los ejes de coordenadas), si se mueve a lo largo del círculo unitario en sentido antihorario. Recuerda que para determinar todos estos valores basta con recordar las coordenadas de los puntos únicamente en el primer cuadrante:
- primer cuadrante: ( 3 2 , 1 2 (\displaystyle (\frac (\sqrt (3))(2)),(\frac (1)(2)))); (2 2 , 2 2 (\displaystyle (\frac (\sqrt (2))(2)),(\frac (\sqrt (2))(2)))); (1 2 , 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(2)),(\frac (\sqrt (3))(2))));
- segundo cuadrante: ( − 1 2 , 3 2 (\displaystyle -(\frac (1)(2)),(\frac (\sqrt (3))(2)))); (− 2 2 , 2 2 (\displaystyle -(\frac (\sqrt (2))(2)),(\frac (\sqrt (2))(2)))); (− 3 2 , 1 2 (\displaystyle -(\frac (\sqrt (3))(2)),(\frac (1)(2))));
- tercer cuadrante: ( − 3 2 , − 1 2 (\displaystyle -(\frac (\sqrt (3))(2)),-(\frac (1)(2)))); (− 2 2 , − 2 2 (\displaystyle -(\frac (\sqrt (2))(2)),-(\frac (\sqrt (2))(2)))); (− 1 2 , − 3 2 (\displaystyle -(\frac (1)(2)),-(\frac (\sqrt (3))(2))));
- cuarto cuadrante: ( 1 2 , − 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(2)),-(\frac (\sqrt (3))(2)))); (2 2 , − 2 2 (\displaystyle (\frac (\sqrt (2))(2)),-(\frac (\sqrt (2))(2)))); (3 2 , − 1 2 (\displaystyle (\frac (\sqrt (3))(2)),-(\frac (1)(2)))).
Si colocas el círculo del número unitario en el plano de coordenadas, entonces podrás encontrar las coordenadas de sus puntos. El círculo numérico se coloca de modo que su centro coincida con el origen del plano, es decir, el punto O (0; 0).
Generalmente en el círculo del número unitario se marcan los puntos correspondientes al origen del círculo.
- cuartos - 0 o 2π, π/2, π, (2π)/3,
- cuartos medios - π/4, (3π)/4, (5π)/4, (7π)/4,
- tercios de cuartos - π/6, π/3, (2π)/3, (5π)/6, (7π)/6, (4π)/3, (5π)/3, (11π)/6.
En el plano de coordenadas, con la ubicación anterior del círculo unitario, puede encontrar las coordenadas correspondientes a estos puntos del círculo.
Las coordenadas de los extremos de los cuartos son muy fáciles de encontrar. En el punto 0 del círculo, la coordenada x es 1 y la coordenada y es 0. Podemos denotarlo como A (0) = A (1; 0).
El final del primer trimestre se ubicará en el eje y positivo. Por tanto, B (π/2) = B (0; 1).
El final del segundo trimestre está en el semieje negativo: C (π) = C (-1; 0).
Final del tercer cuarto: D ((2π)/3) = D (0; -1).
¿Pero cómo encontrar las coordenadas de los puntos medios de los cuartos? Para hacer esto, construye un triángulo rectángulo. Su hipotenusa es un segmento desde el centro del círculo (u origen) hasta el punto medio del cuarto de círculo. Este es el radio del círculo. Como el círculo es unitario, la hipotenusa es igual a 1. Luego, dibuja una perpendicular desde un punto del círculo hasta cualquier eje. Que esté hacia el eje x. El resultado es un triángulo rectángulo, cuyas longitudes de los catetos son las coordenadas xey del punto del círculo.
Un cuarto de círculo mide 90º. Y medio cuarto son 45º. Como la hipotenusa se dibuja hasta el punto medio del cuadrante, el ángulo entre la hipotenusa y el cateto que se extiende desde el origen es de 45º. Pero la suma de los ángulos de cualquier triángulo es 180º. En consecuencia, el ángulo entre la hipotenusa y el otro cateto también permanece en 45º. Esto da como resultado un triángulo rectángulo isósceles.
Del teorema de Pitágoras obtenemos la ecuación x 2 + y 2 = 1 2. Como x = y y 1 2 = 1, la ecuación se simplifica a x 2 + x 2 = 1. Al resolverla, obtenemos x = √½ = 1/√2 = √2/2.
Así, las coordenadas del punto M 1 (π/4) = M 1 (√2/2; √2/2).
En las coordenadas de los puntos de los puntos medios de los demás cuartos solo cambiarán los signos, y los módulos de los valores seguirán siendo los mismos, ya que el triángulo rectángulo solo se volteará. Obtenemos:
M 2 ((3π)/4) = M 2 (-√2/2; √2/2)
M3 ((5π)/4) = M3 (-√2/2; -√2/2)
M 4 ((7π)/4) = M 4 (√2/2; -√2/2)
Al determinar las coordenadas de las terceras partes de los cuartos de un círculo, también se construye un triángulo rectángulo. Si tomamos el punto π/6 y trazamos una perpendicular al eje x, entonces el ángulo entre la hipotenusa y el cateto que se encuentra sobre el eje x será de 30º. Se sabe que un cateto opuesto a un ángulo de 30º es igual a la mitad de la hipotenusa. Esto significa que hemos encontrado la coordenada y, es igual a ½.
Conociendo las longitudes de la hipotenusa y de uno de los catetos, utilizando el teorema de Pitágoras encontramos el otro cateto:
x2 + (½)2 = 1 2
x2 = 1 - ¼ = ¾
x = √3/2
Así T 1 (π/6) = T 1 (√3/2; ½).
Para el punto del segundo tercio del primer cuarto (π/3), es mejor trazar una perpendicular al eje y. Entonces el ángulo en el origen también será de 30º. Aquí la coordenada x será igual a ½ e y, respectivamente, √3/2: T 2 (π/3) = T 2 (½; √3/2).
Para otros puntos de los terceros cuartos, los signos y el orden de los valores de las coordenadas cambiarán. Todos los puntos que estén más cerca del eje x tendrán un valor de coordenada de módulo x igual a √3/2. Aquellos puntos que estén más cerca del eje y tendrán un valor de módulo y igual a √3/2.
T 3 ((2π)/3) = T 3 (-½; √3/2)
T 4 ((5π)/6) = T 4 (-√3/2; ½)
T5 ((7π)/6) = T5 (-√3/2; -½)
T 6 ((4π)/3) = T 6 (-½; -√3/2)
T 7 ((5π)/3) = T 7 (½; -√3/2)
T8 ((11π)/6) = T8 (√3/2; -½)
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En el círculo trigonométrico, además de los ángulos en grados, observamos .
Más información sobre radianes:
Un radian se define como el valor angular de un arco cuya longitud es igual a su radio. En consecuencia, dado que la circunferencia es igual a 
, entonces es obvio que los radianes caben en el círculo, es decir
1 rad ≈ 57.295779513° ≈ 57°17′44.806″ ≈ 206265″.
Todo el mundo sabe que un radian es
Así, por ejemplo, y . Así es como nosotros Aprendí a convertir radianes en ángulos..
Ahora es al revés convertimos grados a radianes.
Digamos que necesitamos convertir a radianes. Nos ayudará. Procedemos de la siguiente manera:
Ya que, radianes, completemos la tabla:
Estamos entrenando para encontrar los valores del seno y el coseno en un círculo.
Aclaremos lo siguiente.
Bueno, está bien, si nos piden que calculemos, digamos, (por lo general no hay confusión aquí), todos comienzan a mirar el círculo primero.
Y si te piden que calcules, por ejemplo,... Muchas personas de repente empiezan a no entender dónde buscar este cero... A menudo lo buscan en el origen. ¿Por qué?
1) ¡Pongámonos de acuerdo de una vez por todas! Lo que viene después de o es el argumento = ángulo, y nuestros rincones están ubicados en el círculo, ¡no los busques en los ejes!(Es solo que los puntos individuales caen tanto en el círculo como en el eje...) ¡Y buscamos los valores de los senos y cosenos en los ejes!
2) ¡Y una cosa más! Si nos apartamos del punto de “inicio” en sentido anti-horario(la dirección principal para atravesar el círculo trigonométrico), luego posponemos los valores positivos de los ángulos, los valores de los ángulos aumentan al moverse en esta dirección.
Si nos apartamos del punto de “inicio” en el sentido de las agujas del reloj, luego trazamos valores de ángulos negativos.
Ejemplo 1.
Encuentra el valor.
Solución:
Lo encontramos en un círculo. Proyectamos el punto sobre el eje sinusoidal (es decir, trazamos una perpendicular desde el punto al eje sinusoidal (oy)).
Llegamos a 0. Entonces, .
Ejemplo 2.
Encuentra el valor.
Solución:
Lo encontramos en el círculo (vamos en sentido antihorario una y otra vez). Proyectamos el punto sobre el eje seno (y ya se encuentra en el eje de los senos).
Llegamos a -1 a lo largo del eje sinusoidal.
Fíjate que detrás del punto hay puntos “ocultos” como (podríamos ir al punto marcado como , en el sentido de las agujas del reloj, lo que significa que aparece un signo menos), e infinitos otros.
Podemos dar la siguiente analogía:
Imaginemos un círculo trigonométrico como la pista de atletismo de un estadio.
Puede encontrarse en el punto "Bandera", comenzando desde el principio en el sentido contrario a las agujas del reloj, habiendo corrido, digamos, 300 m o habiendo corrido, digamos, 100 m en el sentido de las agujas del reloj (asumimos que la longitud de la pista es de 400 m).
También puedes terminar en el punto de la bandera (después de la salida) corriendo, digamos, 700 m, 1100 m, 1500 m, etc. en el sentido contrario a las agujas del reloj. Puedes terminar en el punto de la bandera corriendo 500 m o 900 m, etc. en el sentido de las agujas del reloj desde el principio.
Convierte mentalmente la cinta del estadio en una recta numérica. Imagínese dónde estarán, por ejemplo, en esta línea los valores 300, 700, 1100, 1500, etc. Veremos puntos en la recta numérica que están equidistantes entre sí. Volvamos a formar un círculo. Los puntos "se mantienen unidos" en uno.
Lo mismo ocurre con el círculo trigonométrico. Detrás de cada punto se esconden infinitos otros.
Digamos ángulos , , , etc. están representados por un punto. Y los valores de seno y coseno en ellos, por supuesto, coinciden. (¿Notaste que sumamos/restamos o? Este es el período para la función seno y coseno).
Ejemplo 3.
Encuentra el valor.
Solución:
Convirtamos a grados por simplicidad.
(más adelante, cuando te acostumbres al círculo trigonométrico, no necesitarás convertir radianes a grados):
Nos moveremos en el sentido de las agujas del reloj desde el punto Recorreremos medio círculo () y otro
Entendemos que el valor del seno coincide con el valor del seno y es igual a
Tenga en cuenta que si tomamos, por ejemplo, o, etc., obtendríamos el mismo valor del seno.
Ejemplo 4.
Encuentra el valor.
Solución:
Sin embargo, no convertiremos radianes a grados, como en el ejemplo anterior.
Es decir, debemos recorrer medio círculo en sentido antihorario y otro cuarto de medio círculo y proyectar el punto resultante sobre el eje del coseno (eje horizontal).
Ejemplo 5.
Encuentra el valor.
Solución:
¿Cómo trazar en un círculo trigonométrico?
Si pasamos o, al menos, todavía nos encontraremos en el punto que designamos como “inicio”. Por lo tanto, puedes ir inmediatamente a un punto del círculo.
Ejemplo 6.
Encuentra el valor.
Solución:
Acabaremos en el punto (todavía nos llevará al punto cero). Proyectamos el punto del círculo sobre el eje coseno (ver círculo trigonométrico), nos encontramos en . Eso es .
El círculo trigonométrico está en tus manos.
Ya entiendes que lo principal es recordar los valores de las funciones trigonométricas del primer trimestre. En el resto de barrios todo es similar, sólo hay que seguir las indicaciones. Y espero que no olvides la "cadena de escalera" de valores de funciones trigonométricas. 
Como encontrar valores tangentes y cotangentesángulos principales.
Después de lo cual, habiéndose familiarizado con los valores básicos de tangente y cotangente, puedes pasar
En una plantilla de círculo en blanco. ¡Tren!
