Cómo construir una gráfica de la función y = f(kx), si se conoce la gráfica de la función - Hipermercado del conocimiento. Lección "Cómo trazar una gráfica de la función y = f(kx) si se conoce la gráfica de la función y = f(x)"

El material presentado en la lección en video es una continuación del tema de la construcción de gráficas de funciones utilizando varias transformaciones. Veremos cómo se traza la gráfica de una función. y=F(kx), si se conoce la gráfica de la función y=F(X) . En este caso k- cualquier número real distinto de cero.

Consideremos primero el caso cuando k- numero positivo. Por ejemplo, construyamos una gráfica de la función. y=F(3 X) , si la gráfica de una función y=F(X) tenemos. La figura muestra un gráfico en el eje de coordenadas. y=F(X), en el que hay puntos con coordenadas A y B. Elección de valores arbitrarios X y sustituyéndolos en la función y=F(3 X), encuentre los valores de función correspondientes en. Así, obtenemos los puntos gráficos de la función. y=F(3 X) A 1 y B 1, cuyas ordenadas son las mismas que las de los puntos A y B. Es decir, podemos decir que de la gráfica de la función y=F(X) por compresión con un coeficiente k al eje de ordenadas se puede obtener una gráfica de la función y=F(kx) . Es importante señalar que los puntos de intersección con el eje de ordenadas durante la compresión permanecen en el mismo lugar.

En caso k- número negativo, gráfica de una función y=F(kx) convertido a partir de la gráfica de una función y=F(X) estirando desde el eje y con un coeficiente 1/ k.

1) primero, se traza una parte de la onda del gráfico de función y =pecadoX(ver imagen);

2) porque k= 2, el gráfico de la función está comprimido y=pecado al eje de ordenadas, la relación de compresión es 2. Encuentre el punto de intersección con el eje X. Porque gráfica de una función y =pecadoX interseca el eje x en el punto π, entonces la gráfica de la función y =pecado 2X intersecta el eje x en el punto π/k = π/2. Todos los demás puntos en la gráfica de la función se encuentran de manera similar. y =pecado 2x y todo el gráfico se construye a partir de estos puntos.

Consideremos el segundo ejemplo: trazar una función y =porque(x/2).

1) construye parte del gráfico de ondas de la función y = cos X(ver imagen);

2) porque k=1/2, estira la gráfica de la función y =pecadoX desde el eje de ordenadas con un factor de ½.

Encuentra el punto de intersección de la gráfica con el eje. X. Porque gráfica de una función y =porqueX interseca el eje x en el punto π/2, entonces la gráfica de la función y =porque(x/2) corta al eje x en el punto π. De la misma manera encontramos todos los demás puntos de la gráfica de funciones. y =porque(x/2), construyamos el gráfico completo en base a estos puntos.

A continuación, considere la opción de construir una gráfica de la función. y= F(kx), Dónde k- el número es negativo. Por ejemplo, cuando k= -1 función y= F(kx) = F(- X). La figura muestra un gráfico. y=F(X), en el que hay puntos con coordenadas A y B. Eligiendo valores arbitrarios de x y sustituyéndolos en la función y= F(- X), encontrar los valores de función correspondientes en. Consigamos los puntos gráficos de la función. y= F(- X) A 1 y B 1, que serán simétricos a los puntos A y B con respecto al eje de ordenadas. Es decir, cuando se usa simetría con respecto al eje de ordenadas de la gráfica de la función y=F(kx) obtenemos la gráfica de la función y=F(- X).

Pasemos a trazar la función. y= F(kx) en k<0 на примере функции у = 4 sin (- x/2).

1) tracemos parte de la onda del gráfico y =pecadoX;

2) porque k= 4, estiremos la media onda del gráfico con respecto al eje de abscisas, donde el factor de estiramiento es 4;

3) realizar una transformación simétrica con respecto al eje de abscisas;

4) estirar desde el eje de ordenadas (el coeficiente de estiramiento es 2);

5) completar la construcción de todo el gráfico.

En este video tutorial analizamos en detalle cómo se puede construir una gráfica de una función paso a paso. y=F(kx) en diferentes valores k.

DECODIFICACIÓN DE TEXTO:

Hoy nos familiarizaremos con una transformación que te ayudará a aprender a graficar la función y = f (kx)

(la y es igual a la eff del argumento que representa el producto de ka y x), si se conoce la gráfica de la función y = f(x) (la y es igual a la ef de x), donde ka es cualquier número real (excepto cero)”.

1) Considere el caso en el que k es un número positivo usando un ejemplo específico, cuando k = 3. Es decir, necesita trazar la función

y = f (3x) (la y es igual a la eff de tres x), si se conoce la gráfica de la función y = f (x). Sea un punto A en la gráfica de la función y = f (x) con coordenadas (6; 5) y B con coordenadas (-3; 2). Esto significa que f(6) = 5 y f(- 3) = 2 (la ef de seis es cinco y la ef de menos tres es dos). Sigamos el movimiento de estos puntos al construir una gráfica de la función y = f (3x).

Tomemos un valor arbitrario x = 2, calculemos y sustituyendo el valor de x en la gráfica de la función y = f (3x), obtenemos que y = 5. (en la pantalla: y = f (3x) = f (3∙2)= f ( 6) = 5.) ​​​​Es decir, en la gráfica de la función y = f (3x) hay un punto con coordenadas A 1 (2; 5). Si x = - 1, entonces sustituyendo el valor de x en la gráfica de la función y = f (3x), obtenemos el valor y = 2.

(En la pantalla: y = f (3x) = f (- 1∙ 3) = f (- 3) = 2.)

Es decir, en la gráfica de la función y = f (3x) hay un punto con coordenadas B 1 (- 1; 2). Entonces, en la gráfica de la función y = f (3x) hay puntos con la misma ordenada que en la gráfica de la función y = f (x), mientras que la abscisa del punto es dos veces menor en valor absoluto.

Lo mismo ocurrirá con otros puntos de la gráfica de la función y = f (x), cuando pasemos a la gráfica de la función y = f (3x).

Normalmente, esta transformación se denomina compresión en el eje y (eje y) con un factor de 3.

En consecuencia, la gráfica de la función y = f (kx) se obtiene a partir de la gráfica de la función y = f (x) comprimiéndola al eje y con un coeficiente k. Tenga en cuenta que con tal transformación, el punto de intersección de la gráfica de la función y = f (x) con la ordenada permanece en su lugar.

Si k es menor que uno, entonces no estamos hablando de compresión con un coeficiente de k, sino de estiramiento desde el eje y con un coeficiente (es decir, si k = , entonces estamos hablando de estiramiento con un coeficiente de 4 ).

EJEMPLO 1. Construya una gráfica de la función y = sen 2x (la y es igual al seno de dos x).

Solución. Primero, construyamos una media onda del gráfico y = sen x en el intervalo de cero a pi. Como el coeficiente es igual a dos, lo que significa que k es un número positivo mayor que uno, comprimiremos la gráfica de la función y = sen x al eje de ordenadas con un coeficiente de 2. Encuentra el punto de intersección con el eje OX . Si la gráfica de la función y = sin x interseca el eje OX en el punto π, entonces la gráfica de la función y = sin 2x se cruzará en el punto (π: k =π: 2 =) (pi dividido por pi es igual pi dividido por dos es igual a pi entre dos). De manera similar, encontraremos todos los demás puntos de la gráfica de la función y = sin2 x. Así, un punto de la gráfica de la función y = sen x con coordenadas (;1) corresponderá a un punto de la gráfica de la función y = sen 2x con coordenadas (;1). Así, obtenemos una media onda de la gráfica de la función y = sen 2x. Usando la periodicidad de la función, construiremos la gráfica completa.

EJEMPLO 2. Construya una gráfica de la función y = cos (la y es igual al coseno del cociente de x y dos).

Solución. Primero, construyamos una media onda de la gráfica y = cos x. Dado que k es un número positivo menor que e unidad, estiraremos la gráfica de la función y = cos x desde la ordenada con un factor de 2.

Encontremos el punto de intersección con el eje OX. Si la gráfica de la función y = cos x cruza el eje OX en un punto, entonces la gráfica de la función y = cos se cruzará en el punto π. (: k =π: = π). De manera similar, encontraremos todos los demás puntos en la gráfica de la función y = cos. Así, obtenemos una media onda de la gráfica deseada de la función. Usando la periodicidad de la función, construiremos la gráfica completa.

Consideremos el caso en el que k es igual a menos uno. Es decir, es necesario construir una gráfica de la función y = f (-x) (y es igual a eff de menos x), si se conoce la gráfica de la función y = f (x). Sea un punto A en la gráfica con coordenadas (4; 5) y un punto B (-5; 1). Esto significa que f(4) = 5 y f(-5) = 1.

Dado que cuando sustituimos y = f (-x) en lugar de x = - 4 en la fórmula obtenemos y = f (4) = 5, entonces en la gráfica de la función y = f (-x) hay un punto con coordenadas A 1

(- 4; 5) (menos cuatro, cinco). De manera similar, la gráfica de la función y = f (-x) pertenece al punto B 1 (5; 1). Es decir, la gráfica de la función y = f (x) pertenece a los puntos A (4; 5) y B. (-5; 1), y la gráfica la función y = f (-x) pertenece a los puntos A 1 (- 4; 5) y B 1 (5; 1). Estos pares de puntos son simétricos con respecto al eje de ordenadas.

En consecuencia, la gráfica de la función y = f (-x) se puede obtener a partir de la gráfica de la función y = f (x) usando una transformación de simetría alrededor del eje de ordenadas.

3) Y finalmente, considere el caso en el que k es un número negativo. Considerando que la igualdad f (kx) = f (- |k|x) (eff del producto de ka por x es igual a ef del producto de menos el módulo de ka y x) es justa, entonces estamos hablando de construir una gráfica de la función y = f (- |k |x), que se puede construir paso a paso:

1) construir una gráfica de la función y = f (x);

2) someter el gráfico construido a compresión o estiramiento hacia el eje de ordenadas con un coeficiente |k| (módulo ka);

3) realizar una transformación de simetría alrededor del eje y

(Y) obtenido en el segundo párrafo del gráfico.

EJEMPLO 3. Construya una gráfica de la función y = 4 sen (-) (la y es igual a cuatro multiplicado por el seno del cociente menos x por dos).

Solución. Antes que nada, recuerda que sin(- t) = -sint (el seno de menos te es igual a menos seno te), lo que significa y = 4 sin (-) = - 4 sin (el y es igual a menos cuatro veces el seno del parcial x por dos ). Lo construiremos por etapas:

1) Construyamos una media onda de la gráfica de la función у= sinх.

2) Estiremos la gráfica construida desde el eje x con un factor de 4 y obtengamos una media onda de la gráfica de la función.

y = 4senx (E es igual a cuatro veces el seno x).

3) Aplique una transformación de simetría relativa al eje x(x) a la media onda construida de la gráfica de la función y= 4sinх y obtenga una media onda de la gráfica de la función y= - 4sinx.

4) Para una media onda de la gráfica de la función y = - 4senх, la estiraremos desde el eje de ordenadas con un factor de 2; obtenemos una media onda de la gráfica de la función - 4 sin.

5) Usando la media onda resultante, construiremos el gráfico completo.

>> Cómo construir una gráfica de la función y = f(kx), si se conoce la gráfica de la función

§13. Cómo graficar la función y = f(kx), si se conoce la gráfica de la función

En esta sección nos familiarizaremos con otra transformación que permite, conociendo cronograma función y = f(x), construya rápidamente una gráfica de la función y = f(Ax), donde k es cualquier número real (excepto cero). Consideremos varios casos.

Tarea 1. Conociendo la gráfica de la función y = f(x), construye una gráfica de la función y - f(kx), donde k es un número positivo.
Para que le resulte más fácil comprender la esencia del asunto, considere un ejemplo específico cuando k = 2. ¿Cómo construir una gráfica de la función y = f(2x) si se conoce la gráfica de la función y = f(x)?

Sea la gráfica de la función y = f(x) que tenga los puntos (4; 7) y (-2; 3). Esto significa que f(4) = 7 y f(-2) = 3. ¿Hacia dónde se mueven los puntos cuando graficamos la función y = f(2x)? Mire (Fig. 50): si x = 2, entonces y = f(2x) = f(2 2) = f(4) = 7. Esto significa que en la gráfica de la función y = f(2x) hay un punto (2; 7). Además, si x = -1, entonces y = f(2x) = D-1-2) = f(-2) = 3. Esto significa que en la gráfica de la función y = f(2x) hay un punto (-1; 3). Entonces, en la gráfica de la función y = f(x) hay puntos (4; 7) y (-2; 3), y en la gráfica de la función y = f(2x) hay puntos (2; 7 ) y (- 1; 3), es decir puntos con la misma ordenada.

pero dos veces más pequeño (en valor absoluto) que la abscisa. Lo mismo ocurre con otros puntos de la gráfica de la función y = f(x), cuando pasamos a la gráfica de la función y = f(2x) (Fig. 51). Esta transformación generalmente se llama compresión al eje y con 1 coeficiente 2.

En general, la gráfica de la función y = f(kx) se obtiene a partir de la gráfica de la función y-f(x) por compresión al eje y con un coeficiente k. Tenga en cuenta que con esta transformación el punto de intersección de la gráfica. de la función y = f(x) con el eje y (si x = 0, entonces kx = 0).

Sin embargo, si a< 1, то предпочитают говорить не о сжатии с коэффициентом к, а о растяжении от оси у с коэффициентом

Ejemplo 1. Construya gráficos de funciones:

Solución: a) Construyamos una gráfica de media onda de la función y = sen x y la estiremos desde el eje y con un factor de 2; obtenemos una media onda de la gráfica deseada de la función (Fig. 52). Luego construiremos el gráfico completo (Fig. 53).

b) Construyamos una gráfica de media onda de la función y = cos x y la comprimimos al eje y con un factor de 2; obtenemos una media onda de la gráfica deseada de la función y=cos 2x (Fig. 54). Luego construiremos el gráfico completo (Fig. 55).

Tarea 2. Conociendo la gráfica de la función y = f(x), construye una gráfica de la función y = f(kx), donde k = -1. En otras palabras, estamos hablando de construir una gráfica de la función y = f(-x).

Supongamos que en la gráfica de la función y = f(x) hay puntos (3; 5) y (-6; 1). Esto significa que f(3) = 5 y f(-6) = 1. En consecuencia, en la gráfica de la función y = f(-x) hay un punto (-3; 5), ya que al sustituir en fórmula y = f(-x) valores x = -3 obtenemos y = f(3) = 5. De manera similar, estamos convencidos de que la gráfica de la función y = f(-x) pertenece al punto (6; 1 ).

Entonces, el punto (3; 5), perteneciente a la gráfica de la función y = f(x), corresponde al punto (-3; 5), perteneciente a la gráfica de la función y = f(-x); el punto (-6; 1), perteneciente a la gráfica de la función y = f(x), corresponde al punto (6; 1), perteneciente a la gráfica de la función y = f(-x). Estos pares de puntos son simétricos con respecto al eje y (Fig. 56).

Resumiendo estos argumentos, llegamos a la siguiente conclusión: la gráfica de la función y = f(-x) se puede obtener a partir de la gráfica de la función "y = f(x) usando una transformación de simetría alrededor del eje y.

Comentario. Si hablamos de trazar la función y = f(-x), normalmente primero comprobamos si la función y = f(x) es par o impar. Si y = f(x) es una función par, es decir f(-x)= f(x), entonces la gráfica de la función y = f(-x) coincide con la gráfica de la función y = f(x). Si y = f(x) es una función impar, es decir f(-x) = -f(x), entonces, en lugar de la gráfica de la función y = f(-x), puedes construir una gráfica de la función y = -f(x).

Tarea 3. Conociendo la gráfica de la función y = f(x), construye una gráfica de la función y = f(kx), donde k es un número negativo.
Dado que en este caso la igualdad f(kx) = f(-\k\x) es verdadera, entonces estamos hablando de construir una gráfica de la función y = f(-\k\x). Esto se puede hacer en tres pasos:

1) construir una gráfica de la función y = f (x);
2) realizar su compresión (o estiramiento) hacia el eje y con el coeficiente | a |;
3) someter el gráfico comprimido (o estirado) a una transformación de simetría alrededor del eje y.

Ejemplo 2. Construya una gráfica de la función y = -3 cos (~2x).

Solución. Tenga en cuenta en primer lugar que cos (-2x) = cos2x.
1) Construyamos una gráfica de la función y = cosx, o más precisamente, una media onda de la gráfica (Fig. 57a. Todas las construcciones preliminares están indicadas con líneas de puntos).
2) Estiremos la gráfica construida desde el eje x con un factor de 3; obtenemos una media onda de la gráfica de la función y=3cos x.
3) Sometamos la media onda construida de la gráfica de la función y = 3 cos x a una transformación de simetría con respecto al eje x; obtenemos una media onda de la gráfica de la función y = -Зсоs x.
4) Para la media onda de la gráfica de la función y = -3cos x, comprimámosla al eje y con un factor de 2; obtenemos una media onda de la gráfica de la función y = -Зсоs2х (línea continua en la Fig. 57a).
5) Usando la media onda resultante, construiremos el gráfico completo (Fig. 576).

A.G. Álgebra de Mordkovich décimo grado

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2. Si 0< k < 1, то точка лежит враз дальше от осиOY по сравнению с точкой
(Figura 3.8). Por tanto, la gráfica de la función se comprime o estira.

Y Y

y

y

0xX 0xX

Arroz. 3.7 figura. 3.8

Regla 2. Sea k > 1. Entonces la gráfica de la función f(kx) se obtiene a partir de la gráfica de la función f(x) comprimiéndola a lo largo del eje OX k veces (en otras palabras: comprimiéndola al eje OY por k veces).

sea ​​0< k < 1. Тогда график f(kx) получается из графика f(x) путем его растяжения вдоль оси OX в раз.

Ejemplos. Construir gráficas de funciones: 1)
Y
;

2)
Y
.

Y Y

p/2 (2) (1) (3)

2 -1 0 ½ 1 2 x 0p/2p 2px

Arroz. 3.9 figura. 3.10

Comentario. Tenga en cuenta: período , situada sobre el eje OY, permanece en su lugar. En efecto, a cada punto N(0, y) de la gráfica f(x) le corresponde un punto
gráficosf(kx).

Gráfica de una función
obtenido estirando la gráfica de la función
desde el eje OY 2 veces. Al mismo tiempo, señale nuevamente permanece sin cambios (curva (3) en la Fig. 3.9).

Graficar una función y=f(-x).

Las funciones f(x) y f(-x) toman valores iguales para valores opuestos del argumento x. En consecuencia, los puntos N(x;y) y M(-x;y) de sus gráficas serán simétricos con respecto al eje OY.

Regla 3. Para construir una gráfica de f(-x), es necesario reflejar la gráfica de la función f(x) en relación con el eje OY.

Ejemplos. Funciones gráficas
Y
.

Las soluciones se muestran en la Fig. 3.11 y 3.12.

Y
Y

Arroz. 3.11 figura. 3.12

Graficar una función y=f(-kx), donde k > 0.

Regla 4. Construimos una gráfica de la función y=f(kx) de acuerdo con la regla 2. La gráfica de la función f(kx) se refleja desde el eje OY de acuerdo con la regla.

chatarra 3. Como resultado, obtenemos una gráfica de la función f(-kx).

Ejemplos. Funciones gráficas

.

Las soluciones se muestran en la Fig. 3.13 y 3.14.

pag

1/2 0 1/2 x -p/2 0 p/2 x

Arroz. 3.13 figura. 3.14

Graficar una función
, donde A > 0. Si A > 1, entonces para cada valor
la ordenada de una función dada es A veces mayor que la ordenada de la función principal f(x). En este caso, la gráfica f(x) se estira A veces a lo largo del eje OY (en otras palabras: desde el eje OX).

Si 0< A < 1, то происходит сжатие графика f(x) в veces a lo largo del eje OY (o desde el eje OX).

Regla 5. Sea A > 1. Entonces la gráfica de la función
se obtiene del gráfico f(x) estirándolo A veces a lo largo del eje OY (o desde el eje OX).

sea ​​0< A < 1. Тогда график функции
se obtiene del gráfico f(x) comprimiéndolo en veces a lo largo del eje OY (o al eje OX).

Ejemplos. Construir gráficas de funciones 1)
,
y 2)
,

.

Y
Y

2

1

1
0p/2pp/3px

Arroz. 3.15 figura. 3.16

Graficar una función
.

Para cada
los puntos N(x,y) de la función f(x) y M(x, -y) de la función -f(x) son simétricos respecto al eje OX, por lo que obtenemos la regla.

Regla 6. Para graficar una función
necesito un horario
espejo con respecto al eje OX.

Ejemplos. Funciones gráficas
Y
(Figuras 3.17 y 3.18).

Y Y

1

0 1 x 0 π /2 π 3π/2 2π x

Arroz. 3.17 figura. 3.18

Graficar una función
, donde A>0.

Regla 7. Construyendo una gráfica de una función.
, donde A>0, de acuerdo con la regla 5. La gráfica resultante se refleja desde el eje OX de acuerdo con la regla 6.

Graficar una función
.

Si B>0, entonces para cada
la ordenada de la función dada es B unidades mayor que la ordenada de f(x). Si B<0, то для каждого
la ordenada de la primera función se reduce por unidades en comparación con la ordenadaf(x). Por tanto, obtenemos la regla.

Regla 8. Para trazar una función
de acuerdo con la gráfica y=f(x), esta gráfica debe moverse a lo largo del eje OY B unidades hacia arriba, si B>0, o para unidades abajo ifB<0.

Ejemplos. Construir gráficas de funciones: 1) y

2)
(Figuras 3.19 y 3.20).

Y

2

2

0 x 0 π/2 π 3π/2 2π x

Arroz. 3.19 figura. 3.20

Esquema para construir una gráfica de una función. .

En primer lugar, escribimos la ecuación de la función en la forma
y denotar
. Luego construimos la gráfica de la función según el siguiente esquema.

Construimos una gráfica de la función principal f(x).

De acuerdo con la regla 1, construimos una gráfica f(x-a).

Al comprimir o estirar la gráfica f(x-a) teniendo en cuenta el signo de k, de acuerdo con las reglas 2 a 4, construimos una gráfica de la función f.

Tenga en cuenta: la gráfica f(x-a) está comprimida o estirada con respecto a la línea recta x=a (¿por qué?)

Tenga en cuenta: en cada paso de construcción, la gráfica anterior actúa como la gráfica de la función principal.

Ejemplo. Grafica la función
. Herek=-2, entonces
. Dada una paridad impar
, tenemos
.

(Figura 3.21).

π/2

π/2

1 0 1/2 3/2 x 0 1 3/2 2 x

-π/2 -π/2

Arroz. 3.21 figura. 3.22

Y Y

π/2

0 1 3/2 2 x -π/2 0 π/2 x

Arroz. 3.23 figura. 3.24

Tarea 2.

Trazar gráficas de funciones que contienen el signo del módulo.

La solución a este problema también consta de varias etapas. En este caso, es necesario recordar la definición del módulo:

Graficar una función
.

Por esos valores
, para cual
, voluntad
. Por lo tanto, aquí están las gráficas de funciones.
y f(x) son iguales. Por lo mismo
, para lo cual f(x)<0, будет
. Pero la gráfica -f(x) se obtiene a partir de la gráfica f(x) por reflexión especular desde el eje OX. Obtenemos la regla para construir una gráfica de una función.
.

Regla 9. Construimos una gráfica de la función y=f(x). Después de esto, la parte de la gráfica f(x), donde
, déjalo sin cambios y deja esa parte donde f(x)<0, зеркально отражаем от оси OX.

Comentario. Tenga en cuenta que el horario
siempre se encuentra por encima del eje OX o lo toca.

Ejemplos. Funciones gráficas

(Figuras 3.24, 3.25, 3.26).

AA

2

Arroz. 3.25 figura. 3.26

Graficar una función
.

Porque
, Eso
, es decir, se da una función par cuya gráfica es simétrica con respecto al eje OY.

Regla 10. Trazamos la función y=f(x) en
. Reflejamos el gráfico construido desde el eje OY. Entonces la combinación de las dos curvas obtenidas dará la gráfica de la función
.

Ejemplos. Funciones gráficas

(Figuras 3.27, 3.28, 3.29)

Y Y Y

-π/2 0 π/2 x -2 0 2 x -1 1 x

Arroz. 3.27 figura. 3.28 figura. 3.29

Graficar una función
.

Construyendo una gráfica de una función.
según la regla 10.

Construyendo una gráfica de una función.
según la regla 9.

Ejemplos. Funciones gráficas
Y
.

La parte negativa del gráfico se refleja desde el eje OX. Cronograma
mostrado en la Fig. 3.30.

Y Y

2 0 2 x -1 0 1 x

Arroz. 3.30 figura. 3.31

2. Construye una gráfica de la función.
(Figura 3.29).

Reflejamos la parte negativa del gráfico desde el eje OX. Cronograma
mostrado en la Fig. 3.31.

Al trazar una gráfica de una función que contiene signos de módulo, es muy importante conocer los intervalos de signo constante de la función. Por tanto, la solución a cada problema debe comenzar por determinar estos intervalos.

Ejemplo. Grafica la función
.

Dominio . Las expresiones x+1 y x-1 cambian de signo en los puntos x=-1 y x=1. Por tanto, dividimos el dominio de definición en cuatro intervalos:

Teniendo en cuenta los signos x+1 y x-1, tenemos

;

;

.

Por tanto, la función se puede escribir sin signos de módulo de la siguiente manera:

Funciones
corresponden a hipérbolas, y la función y=2 corresponde a una línea recta. Se pueden realizar más construcciones por puntos (Fig. 3.32).

Y

4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4x

Comentario. Tenga en cuenta que cuando x=0 la función no está definida. Se dice que la función sufre una discontinuidad en este punto. En la Fig. 3.32 esto está marcado con flechas.

Tarea 3. Trazar una gráfica de una función definida por varias expresiones analíticas.

En el ejemplo anterior, la función
lo presentamos en varias expresiones analíticas. Si, en el medio
cambia según la ley de la hipérbola
; en el intermedio
, excepto x=0, esta es una función lineal; en el intermedio
tenemos una hipérbole otra vez
. En el futuro se encontrarán frecuentemente funciones similares. Veamos un ejemplo sencillo.

El recorrido del tren desde la estación A hasta la estación B consta de tres tramos. En el primer tramo coge velocidad, es decir, en el intervalo.
su velocidad
, Dónde
. En el segundo tramo se mueve a velocidad constante, es decir v=c, si
. Finalmente, al frenar, su velocidad será
. Así, entre
la velocidad del movimiento cambia según la ley

Transferencia paralela.

TRADUCCIÓN A LO LARGO DEL EJE Y

f(x) => f(x) - segundo
Suponga que desea construir una gráfica de la función y = f(x) - b. Es fácil ver que las ordenadas de esta gráfica para todos los valores de x en |b| unidades menores que las ordenadas correspondientes de la gráfica de funciones y = f(x) para b>0 y |b| unidades más - en b 0 o arriba en b Para trazar la gráfica de la función y + b = f(x), debes construir una gráfica de la función y = f(x) y mover el eje x a |b| unidades hacia arriba en b>0 o por |b| unidades abajo en b

TRANSFERENCIA A LO LARGO DEL EJE ABSCISO

f(x) => f(x + a)
Sea necesario construir una gráfica de la función y = f(x + a). Considere la función y = f(x), que en algún momento x = x1 toma el valor y1 = f(x1). Evidentemente, la función y = f(x + a) tomará el mismo valor en el punto x2, cuya coordenada se determina a partir de la igualdad x2 + a = x1, es decir x2 = x1 - a, y la igualdad considerada es válida para la totalidad de todos los valores del dominio de definición de la función. En consecuencia, la gráfica de la función y = f(x + a) se puede obtener moviendo en paralelo la gráfica de la función y = f(x) a lo largo del eje x hacia la izquierda |a| unidades para a > 0 o hacia la derecha por |a| unidades para a Para construir una gráfica de la función y = f(x + a), debes construir una gráfica de la función y = f(x) y mover el eje de ordenadas a |a| unidades a la derecha cuando a>0 o por |a| unidades a la izquierda en un

Ejemplos:

1.y=f(x+a)

2.y=f(x)+b

Reflexión.

CONSTRUCCIÓN DE UNA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN DE LA FORMA Y = F(-X)

f(x) => f(-x)
Es obvio que las funciones y = f(-x) e y = f(x) toman valores iguales en puntos cuyas abscisas son iguales en valor absoluto pero de signo opuesto. En otras palabras, las ordenadas de la gráfica de la función y = f(-x) en la región de valores positivos (negativos) de x serán iguales a las ordenadas de la gráfica de la función y = f(x) para los correspondientes valores negativos (positivos) de x en valor absoluto. Así, obtenemos la siguiente regla.
Para trazar la función y = f(-x), debes trazar la función y = f(x) y reflejarla en relación con la ordenada. La gráfica resultante es la gráfica de la función y = f(-x)

CONSTRUCCIÓN DE UNA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN DE LA FORMA Y = - F(X)

f(x) => - f(x)
Las ordenadas de la gráfica de la función y = - f(x) para todos los valores del argumento son iguales en valor absoluto, pero de signo opuesto a las ordenadas de la gráfica de la función y = f(x) para la mismos valores del argumento. Así, obtenemos la siguiente regla.
Para trazar una gráfica de la función y = - f(x), debes trazar una gráfica de la función y = f(x) y reflejarla en relación con el eje x.

Ejemplos:

1.y=-f(x)

2.y=f(-x)

3.y=-f(-x)

Deformación.

DEFORMACIÓN DEL GRÁFICO A LO LARGO DEL EJE Y

f(x) => kf(x)
Considere una función de la forma y = k f(x), donde k > 0. Es fácil ver que con valores iguales del argumento, las ordenadas de la gráfica de esta función serán k veces mayores que las ordenadas de la gráfica de la función y = f(x) para k > 1 o 1/k veces menor que las ordenadas de la gráfica de la función y = f(x) para k Construir una gráfica de la función y = k f(x ), debes construir una gráfica de la función y = f(x) y aumentar sus ordenadas en k veces para k > 1 (estirar la gráfica a lo largo del eje de ordenadas ) o reducir sus ordenadas en 1/k veces en k
k > 1- extendiéndose desde el eje Buey
0 - compresión al eje OX

DEFORMACIÓN DEL GRÁFICO A LO LARGO DEL EJE ABSCISO

f(x) => f(k x)
Sea necesario construir una gráfica de la función y = f(kx), donde k>0. Considere la función y = f(x), que en un punto arbitrario x = x1 toma el valor y1 = f(x1). Es obvio que la función y = f(kx) toma el mismo valor en el punto x = x2, cuya coordenada está determinada por la igualdad x1 = kx2, y esta igualdad es válida para la totalidad de todos los valores de x del dominio de definición de la función. En consecuencia, la gráfica de la función y = f(kx) resulta comprimida (para k 1) a lo largo del eje de abscisas con respecto a la gráfica de la función y = f(x). Por tanto, obtenemos la regla.
Para construir una gráfica de la función y = f(kx), debes construir una gráfica de la función y = f(x) y reducir sus abscisas en k veces para k>1 (comprimir la gráfica a lo largo del eje de abscisas) o aumentar sus abscisas por 1/k veces para k
k > 1- compresión al eje Oy
0 - extendiéndose desde el eje OY