Una parte integral del Examen Estatal Unificado son las ecuaciones trigonométricas.

Desafortunadamente, no existe un método general unificado que pueda seguirse para resolver cualquier ecuación que involucre funciones trigonométricas. El éxito aquí sólo puede garantizarse mediante un buen conocimiento de las fórmulas y la capacidad de ver ciertas combinaciones útiles, que sólo pueden desarrollarse mediante la práctica.

El objetivo general suele ser transformar la expresión trigonométrica involucrada en la ecuación para que las raíces puedan encontrarse a partir de las llamadas ecuaciones más simples:

Para hacer esto, necesitas poder usar fórmulas trigonométricas. Es útil conocerlos y llamarlos por “nombres”:

1. Fórmulas para argumento doble, argumento triple:

сos 2x = cos 2 x – sen 2 x = 1 – 2 sen 2 x = 2 cos 2 x – 1;

sen 2x = 2 sen x cos x;

tg 2x = 2 tg x/1 – tg x;

ctg 2x = (ctg 2 x – 1)/2 ctg x;

pecado 3x = 3 pecado x – 4 pecado 3 x;

porque 3x = 4 porque 3 x – 3 porque x;

tg 3x = (2 tg x – tg 3 x)/(1 – 3 tg 2 x);

ctg 3x = (ctg 3 x – 3ctg x)/(3ctg 2 x – 1);

2. Fórmulas de medio argumento o reducción de grado:

sen 2 x/2 = (1 – cos x)/2; porque 2 x/2 = (1 + porque x)/2;

tg 2 x = (1 – cos x)/(1 + cos x);

cuna 2 x = (1 + cos x)/(1 – cos x);

3. Introducción de un argumento auxiliar:

Consideremos el ejemplo de la ecuación a sin x + b cos x = c, es decir, determinando el ángulo x a partir de las condiciones sin y = b/v(a 2 + b 2), cos y = a/v(a 2 + b 2), podemos reducir la ecuación considerada a la más simple sin (x + y) = c/v(a 2 + b 2) cuyas soluciones se pueden escribir sin dificultad; determinando así las soluciones de la ecuación original.

4. Fórmulas de suma y resta:

pecado (a + b) = pecado a cos b + cos a pecado b;

pecado (a – b) = pecado a cos b – cos a pecado b;

cos (a + b) = cos a cos b – sen a sin b;

cos (a – b) = cos a cos b + sen a sen b;

tg (a + b) = (tg a + tg b)/(1 – tg a tg b);

tg (a – b) = (tg a – tg b)/(1 + tg a tg b);

5. Sustitución trigonométrica universal:

sen a = 2 tan (a/2)/(1 + ( tg 2 (a/2));

porque a = (1 – tan 2 (a/2))/(1 + ( tg 2 (a/2));

tg a = 2 tg a/2/(1 – tg 2 (a/2));

6. Algunas proporciones importantes:

sen x + sen 2x + sen 3x +…+ sen mx = (cos (x/2) -cos (2m + 1)x)/(2 sen (x/2));

cos x + cos 2x + cos 3x +…+ cos mx = (sin (2m+ 1)x/2 – sin (x/2))/(2 sin (x/2));

7. Fórmulas para convertir la suma de funciones trigonométricas en un producto:

sen a + sen b = 2 sen(a + b)/2 cos (a – b)/2;

porque a – porque b = -2 sin(a + b)/2 sin (b – a)/2;

tan a + tan b = sin (a + b)/(cos a cos b);

tan a – tan b = sin (a – b)/(cos a cos b).

Y también fórmulas de reducción.

Durante el proceso de solución, se debe controlar especialmente la equivalencia de las ecuaciones para evitar la pérdida de raíces (por ejemplo, al reducir los lados izquierdo y derecho de la ecuación por un factor común), o la adquisición de raíces adicionales (por ejemplo, por ejemplo, al elevar al cuadrado ambos lados de la ecuación). Además, es necesario controlar si las raíces receptoras pertenecen a la ODZ de la ecuación considerada.

En todos los casos necesarios (es decir, cuando se permitieron transformaciones desiguales), es necesario verificar. Al resolver ecuaciones, es necesario enseñar a los estudiantes a reducirlas a ciertos tipos, generalmente comenzando con ecuaciones sencillas.

Conozcamos los métodos para resolver ecuaciones:

1. Reducción a la forma ax 2 + bx + c = 0

2. Homogeneidad de ecuaciones.

3. Factorización.

4. Reducción a la forma a 2 + b 2 + c 2 = 0

5. Reemplazo de variables.

6. Reducir la ecuación a una ecuación con una variable.

7. Evaluación de las partes izquierda y derecha.

8. Método de la mirada.

9. Introducción de un ángulo auxiliar.

10. Método “Divide y vencerás”.

Veamos ejemplos:

1. Resuelve la ecuación: sen x + cos 2 x = 1/4.

Solución: Resolver reduciendo a una ecuación cuadrática. Expresemos cos 2 x mediante sen 2 x

pecado x + 1 – pecado 2 x = 1/4

4 pecado 2 x – 4 pecado x – 3 = 0

sen x = -1/2, sen x = 3/2 (no cumple la condición x€[-1;1]),

aquellos. x = (-1) k+1 arcosen 1/2 + k, k€z,

Respuesta: (-1) k+1 /6 + k, k€z.

2. Resuelve la ecuación: 2 tg x cos x +1 = 2 cos x + tan x,

resolver por el método de factorización

2 tg x cos x – 2 cos x + 1 – tg x = 0, donde x /2 + k, k€z,

2 porque x (tg x – 1) – (tg x – 1) = 0

(2 porque x – 1) (tg x – 1) = 0

2 porque x – 1 = 0 o tg x – 1 = 0

porque x = 1/2, tgx = 1,

es decir, x = ± /3 + 2k, k€z, x = /4 + m, m€z.

Respuesta: ± /3 + 2k, k€z, /4 + m, m€z.

3. Resuelve la ecuación: sen 2 x – 3 sen x cos x + 2 cos 2 x = 0.

Solución: sen 2 x – 3 sen x cos x + 2 cos 2 x = 0 ecuación homogénea de 2º grado. Como cos x = 0 no es una raíz de esta ecuación, dividimos los lados izquierdo y derecho por cos 2 x. Como resultado, llegamos a una ecuación cuadrática para tan x

tg 2 x – 3 tg x + 2 = 0,

tg x = 1 y tg x = 2,

de donde x = /4 + m, m€z,

x = arctan 2 + k, k€z.

Respuesta: /4 + m, m€z, arctan 2 + k, k€z.

4. Resuelve la ecuación: cos (10x + 12) + 42 sin (5x + 6) = 4.

Solución: Método para introducir una nueva variable

Sea 5x + 6 = y, luego cos 2y + 4 2 sen y = 4

1 – 2 sen 2 y + 4 2 sen y – 4 = 0

sen y = t, donde t€[-1;1]

2t 2 – 4 2t + 3 = 0

t= 2/2 y t = 3 2/2 (no cumple la condición t€[-1;1])

pecado (5x + 6) = 2/2,

5x + 6 = (-1) k /4 + k, k€z,

x = (-1) k /20 – 6/5 + k/5, k€z.

Respuesta: (-1) k?/20 – 6/5 + ?k/5, k€z.

5. Resuelve la ecuación: (sen x – cos y) 2 + 40x 2 = 0

Solución: Usamos a 2 + b 2 + c 2 = 0, verdadero si a = 0, b = 0, c = 0. La igualdad es posible si sen x – cos y = 0, y 40x = 0 desde aquí:

x = 0, y sen 0 – cos y = 0, por lo tanto, x = 0, y cos y = 0, por lo tanto: x = 0, e y = /2 + k, k€z, también es posible escribir ( 0; / 2 + k) k€z.

Respuesta: (0; /2 + k) k€z.

6. Resuelve la ecuación: sen 2 x + cos 4 x – 2 sen x + 1 = 0

Solución: reordenar la ecuación y aplicar el método de divide y vencerás

(sen 2 x – 2 pecado x +1) + cos 4 x = 0;

(sen x – 1) 2 + cos 4 x = 0; esto es posible si

(sen x – 1) 2 = 0, y cos 4 x = 0, por lo tanto:

sen x – 1 = 0, y cos x = 0,

sen x = 1, y cos x = 0, por lo tanto

x = /2 + k, k€z

Respuesta: /2 + k, k€z.

7. Resuelve la ecuación: sen 5x + sen x = 2 + cos 2 x.

Solución: Aplicamos el método de estimación de los lados izquierdo y derecho y la acotación de las funciones cos y sen.

– 1 sen 5x 1 y -1 sen x 1

0 + 2 2 + porque 2 x 1 + 2

2 2 + porque 2 x 3

sen 5x + sen x 2, y 2 + cos 2 x 2

2 sen 5x + sen x 2, es decir

pecado 5x + pecado x 2,

tenemos el lado izquierdo es 2 y el lado derecho es 2,

La igualdad es posible si ambos son iguales a 2.

cos 2 x = 0, y sen 5x + sen x = 2, por lo tanto

x = /2 + k, k€z (asegúrese de comprobarlo).

Respuesta: /2 + k, k€z.

8. Resuelve la ecuación: cos x + cos 2x + cos 3x + cos 4x = 0.

Solución: Resuelve usando el método de factorización. Agrupamos los términos ubicados en el lado izquierdo en pares.

(En este caso, cualquier método de agrupación conduce al objetivo). Usamos la fórmula cos a+cos b=2 cos (a + b)/2 cos (a – b)/2.

2 porque 3/2х porque x/2 + 2 porque 7/2х porque x/2 = 0,

porque x/2 (cos 3/2x + porque 7/2x) = 0,

2 porque 5/2x porque x/2 porque x = 0,

Surgen tres casos:

Respuesta: + 2k, /5 + 2/5k, /2 + k, k€z.

Notemos que el segundo caso incluye al primero. (Si en el segundo caso tomamos k = 4 + 5, obtenemos + 2n). Por tanto, es imposible decir cuál es más correcto, pero en cualquier caso la respuesta parecerá “más culta y bella”: x 1 = /5 + 2/5k, x 2 = /2 + k, k€z. (Nuevamente, una situación típica que conduce a varias formas de registrar la respuesta). La primera respuesta también es correcta.

La ecuación considerada ilustra un esquema de solución muy típico: factorizar la ecuación mediante agrupación por pares y utilizar las fórmulas:

sen a + sen b = 2 sen (a + b)/2 cos (a – b)/2;

sen a – sen b = 2 cos (a + b)/2 sen (a – b)/2;

porque a + porque b = 2 porque (a + b)/2 porque (a – b)/2;

cos a – cos b = -2 sin (a + b)/2 sin (b – a)/2.

El problema de seleccionar raíces y descartar raíces innecesarias al resolver ecuaciones trigonométricas es muy específico y suele resultar más complejo que en el caso de las ecuaciones algebraicas. Presentemos soluciones a ecuaciones que ilustran casos típicos de aparición de raíces adicionales (extrañas) y métodos para "combatirlas".

Pueden aparecer raíces adicionales debido a que durante el proceso de solución se amplió el dominio de definición de las ecuaciones. Pongamos ejemplos.

9. Resuelve la ecuación: (sin 4x – sin 2x – cos 3x + 2sin x -1)/(2sin 2x – 3) = 0.

Solución: Igualemos el numerador a cero (en este caso, el dominio de definición de la ecuación se expande: se suman los valores de x, convirtiendo el denominador en cero) e intentemos factorizarlo. Tenemos:

2 porque 3x sen x – cos 3x + 2sen x – 1 = 0,

(cos 3x + 1) (2 pecado x – 1) = 0.

Obtenemos dos ecuaciones:

porque 3x + 1 = 0, x = /3 + 2/3k.

A ver cuál k nos conviene. En primer lugar, notamos que el lado izquierdo de nuestra ecuación es una función periódica con período 2. Por lo tanto, basta con encontrar una solución a la ecuación que satisfaga la condición 0 x< 2 (один раз “обойти” круг), затем к найденным значениям прибавить 2k.

Desigualdad 0 x< 2 удовлетворяют три числа: /3, 5/3.

El primero no es adecuado, ya que sen 2/3 = 3/2, el denominador va a cero.

La respuesta para el primer caso: x 1 = + 2k, x 2 = 5/3 + 2k (puedes x 2 = – /3 + 2k), k€z.

Encontremos una solución a esta ecuación que satisfaga la condición 0 x< 2. Их два: /6, 5/6. Подходит второе значение.

Respuesta: + 2k, 5/3 + 2k, 5/6 + 2k, k€z.

10. Encuentra las raíces de las ecuaciones: v(cos 2x + sen 3x) = v2 cos x.

La solución a esta ecuación se divide en dos etapas:

1) resolver una ecuación obtenida a partir de una ecuación dada elevando al cuadrado ambas partes;

2) selección de aquellas raíces que satisfacen la condición cos x 0. En este caso (como en el caso de las ecuaciones algebraicas) no hay necesidad de preocuparse por la condición cos 2x + sin 3x 0. Todos los valores de k que satisfacen la ecuación al cuadrado satisfacen esta condición.

El primer paso nos lleva a la ecuación sen 3x = 1, de la cual x 1 = /6 + 2/3k.

Ahora necesitamos determinar en qué ocurrirá k cos (/6 + 2/3k) 0. Para hacer esto, basta con considerar los valores 0, 1, 2 para k, es decir. como de costumbre, “da la vuelta al círculo una vez”, ya que además los valores del coseno diferirán de los ya considerados en un múltiplo de 2.

Respuesta: /6 + 2k, 3/2/3 + 2k, 5/6 + 2k, k€z.

11. Resuelve la ecuación: sen 8 x – cos 5 x = 1.

La solución a esta ecuación se basa en la siguiente simple consideración: si 0< a < 1 то a t убывает с ростом t.

Esto significa sen 8 x sen 2 x, – cos 5 x cos 2 x;

Sumando estas desigualdades término por término, tenemos:

sen 8 x – cos 5 x sen 2 x + cos 2 x = 1.

Por lo tanto, el lado izquierdo de esta ecuación es igual a uno si y sólo si se satisfacen dos igualdades:

sen 8 x = sen 2 x, cos 5 x = cos 2 x,

aquellos. sen x puede tomar valores -1, 0

Respuesta: /2 + k, + 2k, k€z.

Para completar el cuadro, consideremos otro ejemplo.

12. Resuelve la ecuación: 4 cos 2 x – 4 cos 2 3x cos x + cos 2 3x = 0.

Solución: Consideraremos el lado izquierdo de esta ecuación como un trinomio cuadrático con respecto a cos x.

Sea D el discriminante de este trinomio:

1/4 D = 4 (cos 4 3x – cos 2 3x).

De la desigualdad D 0 se sigue cos 2 3x 0 o cos 2 3x 1.

Esto significa que surgen dos posibilidades: cos 3x = 0 y cos 3x = ± 1.

Si cos 3x = 0, entonces de la ecuación se deduce que cos x = 0, de donde x = /2 + k.

Estos valores de x satisfacen la ecuación.

Si cos 3x = 1, entonces de la ecuación cos x = 1/2 encontramos x = ± /3 + 2k. Estos valores también satisfacen la ecuación.

Respuesta: /2 + k, /3 + 2k, k€z.

13. Resuelve la ecuación: sen 4 x + cos 4 x = 7/2 sen x cos x.

Solución: Transforma la expresión sin 4 x + cos 4 x, resaltando el cuadrado perfecto: sin 4 x + cos 4 x = sin 4 x + 2 sin 2 x cos 2 x + cos 4 x – 2 sin 2 x cos 2 x = ( sen 2 x + cos 2 x) 2 – 2 sen 2 x cos 2 x, de donde sen 4 x + cos 4 x = 1 – 1/2 sen 2 2x. Usando la fórmula resultante, escribimos la ecuación en la forma

1-1/2 sen 2 2x = 7/4 sen 2x.

que denota pecado 2х = t, -1 t 1,

obtenemos la ecuación cuadrática 2t 2 + 7t – 4 = 0,

resolviendo lo cual, encontramos t 1 = 1/2, t 2 = – 4

ecuación sen 2x = 1/2

2x = (- 1) k /6 + k, k€z, x = (- 1) k //12 + k /2, k€z.

Una de las áreas de las matemáticas con las que más luchan los estudiantes es la trigonometría. No es de extrañar: para dominar libremente esta área del conocimiento, es necesario el pensamiento espacial, la capacidad de encontrar senos, cosenos, tangentes, cotangentes mediante fórmulas, simplificar expresiones y poder utilizar el número pi en cálculos. Además, es necesario poder utilizar la trigonometría al demostrar teoremas, y esto requiere una memoria matemática desarrollada o la capacidad de derivar cadenas lógicas complejas.

Orígenes de la trigonometría

Para familiarizarse con esta ciencia, debe comenzar con la definición de seno, coseno y tangente de un ángulo, pero primero debe comprender qué hace la trigonometría en general.

Históricamente, el principal objeto de estudio en esta rama de la ciencia matemática fueron los triángulos rectángulos. La presencia de un ángulo de 90 grados permite realizar diversas operaciones que permiten determinar los valores de todos los parámetros de la figura en cuestión utilizando dos lados y un ángulo o dos ángulos y un lado. En el pasado, la gente notó este patrón y comenzó a usarlo activamente en la construcción de edificios, navegación, astronomía e incluso en el arte.

Primera etapa

Inicialmente, la gente hablaba de la relación entre ángulos y lados utilizando exclusivamente el ejemplo de los triángulos rectángulos. Luego se descubrieron fórmulas especiales que permitieron ampliar los límites de uso en la vida cotidiana de esta rama de las matemáticas.

El estudio de la trigonometría en la escuela hoy comienza con los triángulos rectángulos, después de lo cual los estudiantes utilizan los conocimientos adquiridos en física y la resolución de ecuaciones trigonométricas abstractas, que comienzan en la escuela secundaria.

trigonometría esférica

Más tarde, cuando la ciencia alcanzó el siguiente nivel de desarrollo, en la geometría esférica comenzaron a usarse fórmulas con seno, coseno, tangente y cotangente, donde se aplican diferentes reglas y la suma de los ángulos en un triángulo es siempre superior a 180 grados. Este apartado no se estudia en la escuela, pero es necesario conocer su existencia al menos porque la superficie de la Tierra, y la superficie de cualquier otro planeta, es convexa, lo que significa que cualquier marca en la superficie tendrá "forma de arco" en tres -espacio dimensional.

Toma el globo y el hilo. Conecte el hilo a dos puntos cualesquiera del globo para que quede tenso. Tenga en cuenta que ha adquirido la forma de un arco. La geometría esférica se ocupa de estas formas y se utiliza en geodesia, astronomía y otros campos teóricos y aplicados.

Triángulo rectángulo

Habiendo aprendido un poco sobre las formas de usar la trigonometría, volvamos a la trigonometría básica para comprender mejor qué son el seno, el coseno y la tangente, qué cálculos se pueden realizar con su ayuda y qué fórmulas usar.

El primer paso es comprender los conceptos relacionados con un triángulo rectángulo. Primero, la hipotenusa es el lado opuesto al ángulo de 90 grados. Es el más largo. Recordamos que según el teorema de Pitágoras, su valor numérico es igual a la raíz de la suma de los cuadrados de los otros dos catetos.

Por ejemplo, si los dos lados miden 3 y 4 centímetros respectivamente, la longitud de la hipotenusa será de 5 centímetros. Por cierto, los antiguos egipcios lo sabían hace unos cuatro mil quinientos años.

Los dos lados restantes, que forman un ángulo recto, se llaman catetos. Además, debemos recordar que la suma de los ángulos de un triángulo en un sistema de coordenadas rectangular es igual a 180 grados.

Definición

Finalmente, con una comprensión firme de la base geométrica, se puede recurrir a la definición de seno, coseno y tangente de un ángulo.

El seno de un ángulo es la relación entre el cateto opuesto (es decir, el lado opuesto al ángulo deseado) y la hipotenusa. El coseno de un ángulo es la razón entre el lado adyacente y la hipotenusa.

¡Recuerda que ni el seno ni el coseno pueden ser mayores que uno! ¿Por qué? Debido a que la hipotenusa es por defecto la más larga, no importa qué tan largo sea el cateto, será más corta que la hipotenusa, lo que significa que su proporción siempre será menor que uno. Así, si en tu respuesta a un problema obtienes un seno o coseno con un valor mayor a 1, busca un error en los cálculos o razonamientos. Esta respuesta es claramente incorrecta.

Finalmente, la tangente de un ángulo es la relación entre el lado opuesto y el lado adyacente. Dividir el seno por el coseno dará el mismo resultado. Mira: según la fórmula, dividimos la longitud del lado por la hipotenusa, luego dividimos por la longitud del segundo lado y multiplicamos por la hipotenusa. Por tanto, obtenemos la misma relación que en la definición de tangente.

La cotangente, por tanto, es la relación entre el lado adyacente a la esquina y el lado opuesto. Obtenemos el mismo resultado dividiendo uno por la tangente.

Entonces, hemos visto las definiciones de qué son seno, coseno, tangente y cotangente y podemos pasar a las fórmulas.

Las fórmulas más simples.

En trigonometría no puedes prescindir de fórmulas: ¿cómo encontrar el seno, el coseno, la tangente y la cotangente sin ellas? Pero esto es exactamente lo que se requiere al resolver problemas.

La primera fórmula que debes saber al empezar a estudiar trigonometría dice que la suma de los cuadrados del seno y el coseno de un ángulo es igual a uno. Esta fórmula es una consecuencia directa del teorema de Pitágoras, pero ahorra tiempo si necesitas saber el tamaño del ángulo en lugar del lado.

Muchos alumnos no recuerdan la segunda fórmula, que también es muy popular a la hora de resolver problemas escolares: la suma de uno y el cuadrado de la tangente de un ángulo es igual a uno dividido por el cuadrado del coseno del ángulo. Mire más de cerca: esta es la misma afirmación que en la primera fórmula, solo que ambos lados de la identidad fueron divididos por el cuadrado del coseno. Resulta que una simple operación matemática hace que la fórmula trigonométrica sea completamente irreconocible. Recuerde: sabiendo qué son el seno, el coseno, la tangente y la cotangente, las reglas de transformación y varias fórmulas básicas, podrá derivar en cualquier momento las fórmulas más complejas necesarias en una hoja de papel.

Fórmulas para ángulos dobles y suma de argumentos.

Dos fórmulas más que debes aprender están relacionadas con los valores del seno y el coseno para la suma y diferencia de ángulos. Se presentan en la siguiente figura. Tenga en cuenta que en el primer caso, el seno y el coseno se multiplican ambas veces, y en el segundo, se suma el producto por pares del seno y el coseno.

También hay fórmulas asociadas con argumentos de doble ángulo. Se derivan completamente de los anteriores; como práctica, intente obtenerlos usted mismo tomando el ángulo alfa igual al ángulo beta.

Finalmente, tenga en cuenta que las fórmulas de ángulos dobles se pueden reorganizar para reducir la potencia del seno, coseno y tangente alfa.

Teoremas

Los dos teoremas principales de la trigonometría básica son el teorema del seno y el teorema del coseno. Con la ayuda de estos teoremas, podrás entender fácilmente cómo encontrar el seno, el coseno y la tangente, y por tanto el área de la figura, y el tamaño de cada lado, etc.

El teorema del seno establece que dividir la longitud de cada lado de un triángulo por el ángulo opuesto da como resultado el mismo número. Además, este número será igual a dos radios del círculo circunscrito, es decir, del círculo que contiene todos los puntos de un triángulo dado.

El teorema del coseno generaliza el teorema de Pitágoras, proyectándolo sobre cualquier triángulo. Resulta que de la suma de los cuadrados de los dos lados, reste su producto multiplicado por el doble coseno del ángulo adyacente; el valor resultante será igual al cuadrado del tercer lado. Por tanto, el teorema de Pitágoras resulta ser un caso especial del teorema del coseno.

Errores por descuido

Incluso sabiendo qué es el seno, el coseno y la tangente, es fácil equivocarse por despiste o por un error en los cálculos más simples. Para evitar este tipo de errores, echemos un vistazo a los más populares.

En primer lugar, no debes convertir fracciones a decimales hasta que obtengas el resultado final; puedes dejar la respuesta como una fracción a menos que se indique lo contrario en las condiciones. Tal transformación no puede considerarse un error, pero conviene recordar que en cada etapa del problema pueden aparecer nuevas raíces que, según la idea del autor, conviene reducir. En este caso, perderá el tiempo en operaciones matemáticas innecesarias. Esto es especialmente cierto para valores como la raíz de tres o la raíz de dos, porque se encuentran en los problemas en cada paso. Lo mismo ocurre con el redondeo de números "feos".

Además, tenga en cuenta que el teorema del coseno se aplica a cualquier triángulo, ¡pero no al teorema de Pitágoras! Si por error te olvidas de restar el doble del producto de los lados multiplicado por el coseno del ángulo entre ellos, no sólo obtendrás un resultado completamente erróneo, sino que además demostrarás una total falta de comprensión del tema. Esto es peor que un error por descuido.

En tercer lugar, no confunda los valores de los ángulos de 30 y 60 grados con senos, cosenos, tangentes y cotangentes. Recuerda estos valores, porque el seno de 30 grados es igual al coseno de 60, y viceversa. Es fácil confundirlos, por lo que inevitablemente obtendrá un resultado erróneo.

Solicitud

Muchos estudiantes no tienen prisa por empezar a estudiar trigonometría porque no comprenden su significado práctico. ¿Qué es el seno, el coseno y la tangente para un ingeniero o astrónomo? Se trata de conceptos con los que puedes calcular la distancia a estrellas lejanas, predecir la caída de un meteorito o enviar una sonda de investigación a otro planeta. Sin ellos, es imposible construir un edificio, diseñar un automóvil, calcular la carga sobre una superficie o la trayectoria de un objeto. ¡Y estos son sólo los ejemplos más obvios! Después de todo, la trigonometría de una forma u otra se utiliza en todas partes, desde la música hasta la medicina.

Finalmente

Entonces eres seno, coseno, tangente. Puedes utilizarlos en cálculos y resolver con éxito problemas escolares.

El objetivo de la trigonometría se reduce al hecho de que utilizando los parámetros conocidos de un triángulo es necesario calcular las incógnitas. Hay seis parámetros en total: la longitud de tres lados y el tamaño de tres ángulos. La única diferencia entre las tareas radica en el hecho de que se proporcionan datos de entrada diferentes.

Ahora sabes cómo encontrar el seno, el coseno y la tangente basándose en las longitudes conocidas de los catetos o la hipotenusa. Dado que estos términos no significan más que una razón, y una razón es una fracción, el objetivo principal de un problema de trigonometría es encontrar las raíces de una ecuación o sistema de ecuaciones ordinario. Y aquí las matemáticas escolares habituales te ayudarán.

Comenzaremos nuestro estudio de trigonometría con el triángulo rectángulo. Definamos qué son el seno y el coseno, así como la tangente y cotangente de un ángulo agudo. Estos son los conceptos básicos de la trigonometría.

Recordemos que ángulo recto es un ángulo igual a 90 grados. Es decir, medio ángulo girado.

Esquina filosa- menos de 90 grados.

Ángulo obtuso- mayor a 90 grados. En relación con tal ángulo, "obtuso" no es un insulto, sino un término matemático :-)

Dibujemos un triángulo rectángulo. Un ángulo recto generalmente se denota por . Tenga en cuenta que el lado opuesto a la esquina está indicado con la misma letra, solo que en tamaño pequeño. Por tanto, el lado opuesto al ángulo A se designa.

El ángulo se denota con la letra griega correspondiente.

Hipotenusa de un triángulo rectángulo es el lado opuesto al ángulo recto.

Piernas- lados opuestos a ángulos agudos.

El cateto opuesto al ángulo se llama opuesto(relativo al ángulo). El otro cateto, que se encuentra en uno de los lados del ángulo, se llama adyacente.

Seno El ángulo agudo en un triángulo rectángulo es la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa:

Cosenoángulo agudo en un triángulo rectángulo: la relación entre el cateto adyacente y la hipotenusa:

Tangenteángulo agudo en un triángulo rectángulo: la relación entre el lado opuesto y el adyacente:

Otra definición (equivalente): la tangente de un ángulo agudo es la relación entre el seno del ángulo y su coseno:

Cotangenteángulo agudo en un triángulo rectángulo: la relación entre el lado adyacente y el opuesto (o, lo que es lo mismo, la relación entre el coseno y el seno):

Tenga en cuenta las relaciones básicas para seno, coseno, tangente y cotangente a continuación. Nos serán útiles a la hora de resolver problemas.

Probemos algunos de ellos.

Bien, hemos dado definiciones y escrito fórmulas. Pero ¿por qué todavía necesitamos seno, coseno, tangente y cotangente?

Lo sabemos la suma de los ángulos de cualquier triángulo es igual a.

Conocemos la relación entre fiestas triángulo rectángulo. Este es el teorema de Pitágoras: .

Resulta que conociendo dos ángulos de un triángulo, puedes encontrar el tercero. Conociendo los dos lados de un triángulo rectángulo, puedes encontrar el tercero. Esto significa que los ángulos tienen su propia proporción y los lados tienen la suya propia. Pero, ¿qué debes hacer si en un triángulo rectángulo conoces un ángulo (excepto el ángulo recto) y un lado, pero necesitas encontrar los otros lados?

Esto es lo que la gente del pasado encontraba al hacer mapas de la zona y del cielo estrellado. Después de todo, no siempre es posible medir directamente todos los lados de un triángulo.

Seno, coseno y tangente: también se les llama funciones de ángulos trigonométricos- dar relaciones entre fiestas Y esquinas triángulo. Conociendo el ángulo, puedes encontrar todas sus funciones trigonométricas utilizando tablas especiales. Y conociendo los senos, cosenos y tangentes de los ángulos de un triángulo y de uno de sus lados, podrás encontrar el resto.

También dibujaremos una tabla de los valores de seno, coseno, tangente y cotangente para los ángulos "buenos" desde hasta.

Tenga en cuenta los dos guiones rojos en la tabla. Para valores de ángulo apropiados, la tangente y la cotangente no existen.

Veamos varios problemas de trigonometría del banco de tareas FIPI.

1. En un triángulo, el ángulo es , . Encontrar .

El problema se resuelve en cuatro segundos.

Porque el , .

2. En un triángulo, el ángulo es , , . Encontrar .

Encontrémoslo usando el teorema de Pitágoras.

El problema esta resuelto.

A menudo, en los problemas hay triángulos con ángulos y o con ángulos y. ¡Recuerda de memoria las proporciones básicas para ellos!

Para un triángulo con ángulos y el cateto opuesto al ángulo en es igual a la mitad de la hipotenusa.

Un triángulo con ángulos y es isósceles. En él, la hipotenusa es veces más grande que el cateto.

Analizamos problemas para resolver triángulos rectángulos, es decir, encontrar lados o ángulos desconocidos. ¡Pero eso no es todo! Hay muchos problemas en el Examen Estatal Unificado de Matemáticas que involucran el seno, el coseno, la tangente o la cotangente de un ángulo externo de un triángulo. Más sobre esto en el próximo artículo.

Tabla de valores de funciones trigonométricas.

Nota. Esta tabla de valores de funciones trigonométricas utiliza el signo √ para representar la raíz cuadrada. Para indicar una fracción, utilice el símbolo “/”.

ver también materiales útiles:

Para determinar el valor de una función trigonométrica, encuéntralo en la intersección de la línea que indica la función trigonométrica. Por ejemplo, seno 30 grados: buscamos la columna con el encabezado sin (seno) y encontramos la intersección de esta columna de la tabla con la fila "30 grados", en su intersección leemos el resultado: la mitad. De manera similar encontramos coseno 60 grados, seno 60 grados (una vez más, en la intersección de la columna sin y la línea de 60 grados encontramos el valor sin 60 = √3/2), etc. Los valores de los senos, cosenos y tangentes de otros ángulos “populares” se encuentran de la misma forma.

Seno pi, coseno pi, tangente pi y otros ángulos en radianes

La siguiente tabla de cosenos, senos y tangentes también es adecuada para encontrar el valor de funciones trigonométricas cuyo argumento es dado en radianes. Para hacer esto, use la segunda columna de valores de ángulos. Gracias a esto, puedes convertir el valor de los ángulos populares de grados a radianes. Por ejemplo, busquemos el ángulo de 60 grados en la primera línea y leamos su valor en radianes debajo. 60 grados es igual a π/3 radianes.

El número pi expresa inequívocamente la dependencia de la circunferencia de la medida en grados del ángulo. Por tanto, pi radianes equivalen a 180 grados.

Cualquier número expresado en términos de pi (radianes) se puede convertir fácilmente a grados reemplazando pi (π) por 180..

Ejemplos:
1. Seno pi.
pecado π = pecado 180 = 0
por tanto, el seno de pi es igual al seno de 180 grados y es igual a cero.

2. coseno pi.
porque π = porque 180 = -1
por tanto, el coseno de pi es igual al coseno de 180 grados y es igual a menos uno.

3. pi tangente
tg π = tg 180 = 0
por tanto, la tangente pi es igual a la tangente de 180 grados y es igual a cero.

Tabla de valores de seno, coseno y tangente para ángulos de 0 a 360 grados (valores comunes)

Si en la tabla de valores de funciones trigonométricas se indica un guión en lugar del valor de la función (tangente (tg) 90 grados, cotangente (ctg) 180 grados), entonces para un valor dado de la medida en grados del ángulo la función no tiene un valor específico. Si no hay un guión, la celda está vacía, lo que significa que aún no hemos ingresado el valor requerido. Nos interesa saber qué consultas nos solicitan los usuarios y complementar la tabla con nuevos valores, a pesar de que los datos actuales sobre los valores de cosenos, senos y tangentes de los valores de ángulos más comunes son suficientes para resolver la mayoría. problemas.

Tabla de valores de funciones trigonométricas sen, cos, tg para los ángulos más populares
0, 15, 30, 45, 60, 90... 360 grados
(valores numéricos “según tablas Bradis”)

Seno El ángulo agudo α de un triángulo rectángulo es la razón. opuesto cateto a la hipotenusa.
Se denota de la siguiente manera: sen α.

Coseno El ángulo agudo α de un triángulo rectángulo es la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa.
Se designa de la siguiente manera: cos α.

Tangente El ángulo agudo α es la relación entre el lado opuesto y el lado adyacente.
Se designa de la siguiente manera: tg α.

Cotangente El ángulo agudo α es la relación entre el lado adyacente y el lado opuesto.
Se designa de la siguiente manera: ctg α.

El seno, coseno, tangente y cotangente de un ángulo dependen únicamente del tamaño del ángulo.

Normas:

Identidades trigonométricas básicas en un triángulo rectángulo:

(α - ángulo agudo opuesto a la pierna b y adyacente a la pierna a . Lado Con – hipotenusa. β – segundo ángulo agudo).

A medida que aumenta el ángulo agudopecado α yaumento de tg α, ycos α disminuye.

Para cualquier ángulo agudo α:

sen (90° – α) = cos α

cos (90° – α) = sen α

Ejemplo-explicación:

Sea un triángulo rectángulo ABC.
AB = 6,
antes de Cristo = 3,
ángulo A = 30º.

Averigüemos el seno del ángulo A y el coseno del ángulo B.

Solución .

1) Primero encontramos el valor del ángulo B. Aquí todo es simple: como en un triángulo rectángulo la suma de los ángulos agudos es 90º, entonces el ángulo B = 60º:

B = 90º – 30º = 60º.

2) Calculemos el seno A. Sabemos que el seno es igual a la razón del cateto opuesto a la hipotenusa. Para el ángulo A, el lado opuesto es el lado BC. Entonces:

antes de Cristo 3 1
pecado A = -- = - = -
AB 6 2

3) Ahora calculemos cos B. Sabemos que el coseno es igual a la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa. Para el ángulo B, el cateto adyacente es el mismo lado BC. Esto significa que nuevamente necesitamos dividir BC por AB, es decir, realizar las mismas acciones que cuando calculamos el seno del ángulo A:

antes de Cristo 3 1
porque B = -- = - = -
AB 6 2

El resultado es:
pecado A = cos B = 1/2.

sen 30º = cos 60º = 1/2.

De esto se deduce que en un triángulo rectángulo, el seno de un ángulo agudo es igual al coseno del otro ángulo agudo, y viceversa. Esto es exactamente lo que significan nuestras dos fórmulas:
sen (90° – α) = cos α
cos (90° – α) = sen α

Asegurémonos de esto nuevamente:

1) Sea α = 60º. Sustituyendo el valor de α en la fórmula del seno, obtenemos:
sen (90º – 60º) = cos 60º.
sen 30º = cos 60º.

2) Sea α = 30º. Sustituyendo el valor de α en la fórmula del coseno, obtenemos:
cos (90° – 30º) = sen 30º.
cos 60° = sen 30°.

(Para obtener más información sobre trigonometría, consulte la sección de Álgebra)