DESIGUALDADES LOGARÍTMICAS EN EL USO
Sechin Mijaíl Alexandrovich
Pequeña Academia de Ciencias para estudiantes de la República de Kazajstán "Iskatel"
MBOU "Escuela secundaria nº 1 soviética", 11º grado, ciudad. Distrito soviético Sovetsky
Gunko Lyudmila Dmitrievna, profesora de la institución educativa presupuestaria municipal “Escuela secundaria número 1 de Sovetskaya”
Distrito soviético
Objeto del trabajo: estudio del mecanismo de resolución de desigualdades logarítmicas C3 utilizando métodos no estándar, identificando datos interesantes sobre el logaritmo.
Tema de investigación:
3) Aprenda a resolver desigualdades logarítmicas específicas C3 utilizando métodos no estándar.
Resultados:
Contenido
Introducción…………………………………………………………………………………….4
Capítulo 1. Historia del problema……………………………………………………...5
Capítulo 2. Colección de desigualdades logarítmicas ………………………… 7
2.1. Transiciones equivalentes y el método generalizado de intervalos……………… 7
2.2. Método de racionalización……………………………………………………………… 15
2.3. Sustitución no estándar………………………………………… ............ ..... 22
2.4. Tareas con trampas……………………………………………………27
Conclusión……………………………………………………………………………… 30
Literatura……………………………………………………………………. 31
Introducción
Estoy en el grado 11 y planeo ingresar a una universidad donde la materia principal sean las matemáticas. Por eso trabajo mucho con los problemas de la parte C. En la tarea C3, necesito resolver una desigualdad o sistema de desigualdades no estándar, generalmente relacionado con logaritmos. Mientras me preparaba para el examen, me enfrenté al problema de la escasez de métodos y técnicas para resolver las desigualdades logarítmicas del examen que se ofrecen en C3. Los métodos que se estudian en el plan de estudios escolar sobre este tema no proporcionan una base para resolver las tareas C3. La profesora de matemáticas me sugirió que trabajara en las tareas C3 de forma independiente y bajo su dirección. Además, me interesaba la pregunta: ¿nos encontramos con logaritmos en nuestras vidas?
Teniendo esto en cuenta, se eligió el tema:
“Desigualdades logarítmicas en el Examen Estatal Unificado”
Objeto del trabajo: estudio del mecanismo de resolución de problemas C3 utilizando métodos no estándar, identificando datos interesantes sobre el logaritmo.
Tema de investigación:
1) Encuentre la información necesaria sobre métodos no estándar para resolver desigualdades logarítmicas.
2) Encuentra información adicional sobre logaritmos.
3) Aprenda a resolver problemas C3 específicos utilizando métodos no estándar.
Resultados:
La importancia práctica reside en la ampliación del aparato para resolver problemas C3. Este material se puede utilizar en algunas lecciones, clubes y clases optativas de matemáticas.
El producto del proyecto será la colección “Desigualdades logarítmicas C3 con soluciones”.
Capítulo 1. Antecedentes
A lo largo del siglo XVI, el número de cálculos aproximados aumentó rápidamente, principalmente en astronomía. Mejorar los instrumentos, estudiar los movimientos planetarios y otros trabajos requirió cálculos colosales, a veces de varios años. La astronomía corría verdadero peligro de ahogarse en cálculos incumplidos. Surgieron dificultades en otras áreas, por ejemplo en el negocio de seguros, se necesitaban tablas de interés compuesto para diferentes tipos de interés. La principal dificultad era la multiplicación y división de números de varios dígitos, especialmente cantidades trigonométricas.
El descubrimiento de los logaritmos se basó en las propiedades de las progresiones que eran bien conocidas a finales del siglo XVI. Arquímedes habló de la conexión entre los términos de la progresión geométrica q, q2, q3,... y la progresión aritmética de sus exponentes 1, 2, 3,... en el Salmo. Otro requisito previo fue la extensión del concepto de grado a exponentes negativos y fraccionarios. Muchos autores han señalado que la multiplicación, la división, la exponenciación y la extracción de raíces en progresión geométrica se corresponden en aritmética -en el mismo orden- con la suma, la resta, la multiplicación y la división.
Aquí surgió la idea del logaritmo como exponente.
En la historia del desarrollo de la doctrina de los logaritmos, han pasado varias etapas.
Etapa 1
Los logaritmos fueron inventados a más tardar en 1594 de forma independiente por el barón escocés Napier (1550-1617) y diez años más tarde por el mecánico suizo Bürgi (1552-1632). Ambos querían proporcionar un medio nuevo y conveniente de cálculos aritméticos, aunque abordaron este problema de diferentes maneras. Napier expresó cinemáticamente la función logarítmica y así entró en un nuevo campo de la teoría de funciones. Bürgi se mantuvo sobre la base de considerar progresiones discretas. Sin embargo, la definición del logaritmo para ambos no es similar a la moderna. El término "logaritmo" (logaritmo) pertenece a Napier. Surgió de una combinación de palabras griegas: logos - "relación" y ariqmo - "número", que significa "número de relaciones". Inicialmente, Napier utilizó un término diferente: numeri artificiales - "números artificiales", a diferencia de numeri naturalts - "números naturales".
En 1615, en una conversación con Henry Briggs (1561-1631), profesor de matemáticas en el Gresh College de Londres, Napier sugirió tomar cero como logaritmo de uno y 100 como logaritmo de diez, o lo que equivale a lo mismo. cosa, solo 1. Así es como se imprimieron los logaritmos decimales y las primeras tablas logarítmicas. Más tarde, las tablas de Briggs fueron complementadas por el librero holandés y entusiasta de las matemáticas Adrian Flaccus (1600-1667). Napier y Briggs, aunque llegaron a los logaritmos antes que los demás, publicaron sus tablas más tarde que los demás, en 1620. Los signos log y log fueron introducidos en 1624 por I. Kepler. El término "logaritmo natural" fue introducido por Mengoli en 1659 y seguido por N. Mercator en 1668, y el maestro londinense John Speidel publicó tablas de logaritmos naturales de números del 1 al 1000 con el nombre "Nuevos logaritmos".
Las primeras tablas logarítmicas se publicaron en ruso en 1703. Pero en todas las tablas logarítmicas hubo errores de cálculo. Las primeras tablas sin errores se publicaron en 1857 en Berlín, elaboradas por el matemático alemán K. Bremiker (1804-1877).
Etapa 2
Un mayor desarrollo de la teoría de los logaritmos está asociado con una aplicación más amplia de la geometría analítica y el cálculo infinitesimal. En ese momento, se había establecido la conexión entre la cuadratura de una hipérbola equilátera y el logaritmo natural. La teoría de los logaritmos de este período está asociada con los nombres de varios matemáticos.
El matemático, astrónomo e ingeniero alemán Nikolaus Mercator en un ensayo
"Logaritmotecnia" (1668) da una serie que da la expansión de ln(x+1) en
potencias de x:
Esta expresión corresponde exactamente a su línea de pensamiento, aunque, por supuesto, no utilizó los signos d, ..., sino un simbolismo más engorroso. Con el descubrimiento de las series logarítmicas, la técnica para calcular los logaritmos cambió: comenzaron a determinarse mediante series infinitas. En sus conferencias "Matemáticas elementales desde un punto de vista superior", impartidas en 1907-1908, F. Klein propuso utilizar la fórmula como punto de partida para construir la teoría de los logaritmos.
Etapa 3
Definición de función logarítmica como función inversa
exponencial, logaritmo como exponente de una base dada
no fue formulado de inmediato. Ensayo de Leonhard Euler (1707-1783)
"Introducción al análisis de los infinitesimales" (1748) sirvió para profundizar
Desarrollo de la teoría de funciones logarítmicas. De este modo,
Han pasado 134 años desde que se introdujeron los logaritmos por primera vez
(contando desde 1614), antes de que los matemáticos llegaran a la definición
el concepto de logaritmo, que ahora es la base del curso escolar.
Capítulo 2. Colección de desigualdades logarítmicas.
2.1. Transiciones equivalentes y método generalizado de intervalos.
Transiciones equivalentes
, si a > 1
, si 0 <
а <
1
Método de intervalo generalizado
Este método es el más universal para resolver desigualdades de casi cualquier tipo. El diagrama de solución se ve así:
1. Lleva la desigualdad a una forma en la que la función del lado izquierdo sea 
, y a la derecha 0.
2. Encuentra el dominio de la función. .
3. Encuentra los ceros de la función. , es decir, resolver la ecuación 
(y resolver una ecuación suele ser más fácil que resolver una desigualdad).
4. Dibuja el dominio de definición y los ceros de la función en la recta numérica.
5. Determinar los signos de la función. sobre los intervalos obtenidos.
6. Seleccione intervalos donde la función toma los valores requeridos y escriba la respuesta.
Ejemplo 1.
Solución:
Apliquemos el método del intervalo.
dónde
Para estos valores, todas las expresiones bajo los signos logarítmicos son positivas.
Respuesta:
Ejemplo 2.
Solución:
1er forma . ADL está determinada por la desigualdad incógnita> 3. Tomar logaritmos para tales incógnita en base 10, obtenemos
La última desigualdad podría resolverse aplicando reglas de expansión, es decir, comparando factores con cero. Sin embargo, en en este caso fácil de determinar intervalos de signo constante de una función
por lo tanto, se puede aplicar el método del intervalo.
Función F(incógnita) = 2incógnita(incógnita- 3.5)lgǀ incógnita- 3ǀ es continuo en incógnita> 3 y desaparece en puntos incógnita 1 = 0, incógnita 2 = 3,5, incógnita 3 = 2, incógnita 4 = 4. Así, determinamos los intervalos de signo constante de la función. F(incógnita):
Respuesta:
2do método . Apliquemos directamente las ideas del método del intervalo a la desigualdad original.
Para ello recordemos que las expresiones a b- a c y ( a - 1)(b- 1) tener un signo. Entonces nuestra desigualdad en incógnita> 3 equivale a desigualdad
o
La última desigualdad se resuelve mediante el método del intervalo.
Respuesta:
Ejemplo 3.
Solución:
Apliquemos el método del intervalo.
Respuesta:
Ejemplo 4.
Solución:
Desde 2 incógnita 2 - 3incógnita+ 3 > 0 para todos los reales incógnita, Eso
Para resolver la segunda desigualdad utilizamos el método del intervalo.
En la primera desigualdad hacemos el reemplazo.
entonces llegamos a la desigualdad 2y 2 - y - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те y, que satisfacen la desigualdad -0,5< y < 1.
De donde, desde
obtenemos la desigualdad
que se lleva a cabo cuando incógnita, para lo cual 2 incógnita 2 - 3incógnita - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов
Ahora bien, teniendo en cuenta la solución a la segunda desigualdad del sistema, finalmente obtenemos
Respuesta:
Ejemplo 5.
Solución:
La desigualdad equivale a un conjunto de sistemas.
o
Usemos el método del intervalo o
Respuesta:
Ejemplo 6.
Solución:
Desigualdad es igual a sistema
Dejar
Entonces y > 0,
y la primera desigualdad
el sistema toma la forma
o, desplegándose
trinomio cuadrático factorizado,
Aplicando el método del intervalo a la última desigualdad,
vemos que sus soluciones satisfacen la condición y> 0 será todo y > 4.
Así, la desigualdad original es equivalente al sistema:
Entonces, las soluciones a la desigualdad son todas
2.2. Método de racionalización.
Anteriormente, la desigualdad no se resolvía mediante el método de racionalización; Este es "un nuevo método moderno y eficaz para resolver desigualdades exponenciales y logarítmicas" (cita del libro de S.I. Kolesnikova)
E incluso si el maestro lo conocía, existía el temor: ¿lo conoce el experto en el examen y por qué no lo dan en la escuela? Hubo situaciones en las que el maestro le dijo al alumno: "¿De dónde lo sacaste? Siéntate - 2".
Ahora el método se promueve en todas partes. Y para los expertos existen pautas asociadas con este método, y en las "Ediciones más completas de opciones estándar..." en la Solución C3 se utiliza este método.
¡MARAVILLOSO MÉTODO!
"Mesa mágica"
En otras fuentes
Si a >1 y b >1, luego log a b >0 y (a -1)(b -1)>0;
Si a >1 y 0 si 0<a<1 и b
>1, luego registra a b<0 и (a
-1)(b
-1)<0;
si 0<a<1 и 00 y (a -1)(b -1)>0. El razonamiento realizado es simple, pero simplifica significativamente la solución de desigualdades logarítmicas. Ejemplo 4.
iniciar sesión x (x 2-3)<0
Solución:
Ejemplo 5.
iniciar sesión 2 x (2x 2 -4x +6)≤log 2 x (x 2 +x ) Solución: Ejemplo 6.
Para resolver esta desigualdad, en lugar del denominador escribimos (x-1-1)(x-1), y en lugar del numerador, escribimos el producto (x-1)(x-3-9 + x). Ejemplo 7.
Ejemplo 8.
2.3. Sustitución no estándar. Ejemplo 1.
Ejemplo 2.
Ejemplo 3.
Ejemplo 4.
Ejemplo 5.
Ejemplo 6.
Ejemplo 7.
registro 4 (3 x -1) registro 0,25 Hagamos el reemplazo y=3 x -1; entonces esta desigualdad tomará la forma Registro 4 registro 0,25 Porque iniciar sesión 0,25 Hagamos el reemplazo t =log 4 y y obtengamos la desigualdad t 2 -2t +≥0, cuya solución son los intervalos - Así, para encontrar los valores de y tenemos un conjunto de dos desigualdades simples Por tanto, la desigualdad original es equivalente al conjunto de dos desigualdades exponenciales, La solución a la primera desigualdad de este conjunto es el intervalo 0<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+ Ejemplo 8.
Solución:
Desigualdad es igual a sistema La solución a la segunda desigualdad que define la ODZ será el conjunto de aquellos incógnita,
para cual incógnita > 0.
Para resolver la primera desigualdad hacemos la sustitución. Entonces obtenemos la desigualdad o El conjunto de soluciones a la última desigualdad se encuentra mediante el método. intervalos: -1< t < 2. Откуда, возвращаясь к переменной incógnita, obtenemos o muchos de esos incógnita, que satisfacen la última desigualdad pertenece a ODZ ( incógnita> 0), por lo tanto, es una solución del sistema, y de ahí la desigualdad original. Respuesta: 2.4. Tareas con trampas. Ejemplo 1.
Solución. La ODZ de la desigualdad es toda x que satisface la condición 0 Ejemplo 2.
iniciar sesión 2 (2 x +1-x 2)>log 2 (2 x-1 +1-x)+1.
Respuesta. (0; 0,5)U.
Respuesta :
(3;6)
.
= -registro 4 = -(log 4 y -log 4 16)=2-log 4 y , luego reescribimos la última desigualdad como 2log 4 y -log 4 2 y ≤.
La solución de este conjunto son los intervalos 0.<у≤2 и 8≤у<+.
es decir, agregados 
. Por tanto, la desigualdad original se satisface para todos los valores de x de los intervalos 0<х≤1 и 2≤х<+.
.
. Por lo tanto, todas las x son del intervalo 0
Conclusión
No fue fácil encontrar métodos específicos para resolver problemas C3 a partir de una gran cantidad de fuentes educativas diferentes. En el transcurso del trabajo realizado, pude estudiar métodos no estándar para resolver desigualdades logarítmicas complejas. Estos son: transiciones equivalentes y el método generalizado de intervalos, el método de racionalización. , sustitución no estándar , Tareas con trampas en ODZ. Estos métodos no están incluidos en el plan de estudios escolar.
Utilizando diferentes métodos, resolví 27 desigualdades propuestas en el Examen Estatal Unificado en la parte C, es decir, C3. Estas desigualdades con soluciones por métodos formaron la base de la colección “Desigualdades logarítmicas C3 con soluciones”, que se convirtió en un proyecto producto de mi actividad. Se confirmó la hipótesis que planteé al inicio del proyecto: los problemas C3 se pueden resolver eficazmente si se conocen estos métodos.
Además, descubrí datos interesantes sobre los logaritmos. Fue interesante para mí hacer esto. Los productos de mi proyecto serán útiles tanto para estudiantes como para profesores.
Conclusiones:
De esta manera se logró el objetivo del proyecto y se resolvió el problema. Y recibí la experiencia más completa y variada de las actividades del proyecto en todas las etapas del trabajo. Mientras trabajaba en el proyecto, mi principal impacto en el desarrollo fue la competencia mental, las actividades relacionadas con las operaciones mentales lógicas, el desarrollo de la competencia creativa, la iniciativa personal, la responsabilidad, la perseverancia y la actividad.
Una garantía de éxito a la hora de crear un proyecto de investigación para Obtuve: experiencia escolar significativa, la capacidad de obtener información de diversas fuentes, verificar su confiabilidad y clasificarla por importancia.
Además del conocimiento directo de la materia en matemáticas, amplié mis habilidades prácticas en el campo de la informática, adquirí nuevos conocimientos y experiencia en el campo de la psicología, establecí contactos con compañeros de clase y aprendí a cooperar con adultos. Durante las actividades del proyecto se desarrollaron habilidades educativas generales organizativas, intelectuales y comunicativas.
Literatura
1. Koryanov A. G., Prokofiev A. A. Sistemas de desigualdades con una variable (tareas estándar C3).
2. Malkova A. G. Preparación para el Examen Estatal Unificado de Matemáticas.
3. Samarova S. S. Resolver desigualdades logarítmicas.
4. Matemáticas. Colección de trabajos formativos editados por A.L. Semenov e I.V. Yáshchenko. -M.: MTsNMO, 2009. - 72 p.-
Una desigualdad se llama logarítmica si contiene una función logarítmica.
Los métodos para resolver desigualdades logarítmicas no son diferentes, excepto por dos cosas.
En primer lugar, al pasar de la desigualdad logarítmica a la desigualdad de funciones sublogarítmicas, se debe seguir el signo de la desigualdad resultante. Obedece la siguiente regla.
Si la base de la función logarítmica es mayor que $1$, entonces al pasar de la desigualdad logarítmica a la desigualdad de funciones sublogarítmicas, el signo de la desigualdad se conserva, pero si es menor que $1$, entonces cambia al opuesto .
En segundo lugar, la solución a cualquier desigualdad es un intervalo y, por lo tanto, al final de resolver la desigualdad de funciones sublogarítmicas es necesario crear un sistema de dos desigualdades: la primera desigualdad de este sistema será la desigualdad de funciones sublogarítmicas, y el segundo será el intervalo del dominio de definición de las funciones logarítmicas incluidas en la desigualdad logarítmica.
Práctica.
Resolvamos las desigualdades:
1. $\log_(2)((x+3)) \geq 3.$
$D(y): \x+3>0.$
$x \en (-3;+\infty)$
La base del logaritmo es $2>1$, por lo que el signo no cambia. Usando la definición de logaritmo, obtenemos:
$x+3 \geq 2^(3),$
$x \en )
