De hecho, para encontrar el área de una figura no necesitas tanto conocimiento de la integral indefinida y definida. La tarea "calcular el área usando una integral definida" siempre implica construir un dibujo, mucho más tema de actualidad serán tus conocimientos y habilidades en el dibujo. En este sentido, resulta útil refrescar la memoria de las gráficas de los principales funciones elementales y, como mínimo, poder construir una línea recta y una hipérbola.

Un trapecio curvo se llama figura plana, limitado por el eje, las rectas y la gráfica de una función continua en el segmento, que no cambia de signo en este intervalo. Dejar esta figura situado no menos eje x:

Entonces el área de un trapecio curvilíneo es numéricamente igual a una integral definida. Cualquier integral definida (que exista) tiene un muy buen significado geométrico.

Desde el punto de vista de la geometría integral definida- esta es una ZONA.

Eso es, una determinada integral (si existe) corresponde geométricamente al área de una determinada figura. Por ejemplo, considere la integral definida. La función integrando especifica una curva en el plano ubicado sobre el eje (quien lo desee puede hacer un dibujo), y la integral definida en sí es numéricamente igual al área correspondiente trapecio curvo.

Ejemplo 1

Esta es una declaración de asignación típica. Primero y el momento más importante soluciones - dibujo dibujo. Además, el dibujo debe construirse. BIEN.

Al construir un dibujo, recomiendo el siguiente orden: en primer lugar es mejor construir todas las líneas rectas (si existen) y solo Entonces- parábolas, hipérbolas, gráficas de otras funciones. Es más rentable construir gráficas de funciones. punto por punto.

En este problema, la solución podría verse así.
Dibujemos el dibujo (tenga en cuenta que la ecuación define el eje):

En el segmento se ubica la gráfica de la función. por encima del eje, Es por eso:

Respuesta:

Una vez completada la tarea, siempre es útil mirar el dibujo y averiguar si la respuesta es real. EN en este caso"a ojo" contamos el número de celdas en el dibujo; bueno, habrá alrededor de 9, parece ser cierto. Está completamente claro que si obtuviéramos, digamos, la respuesta: 20 unidades cuadradas, entonces es obvio que se cometió un error en alguna parte: 20 celdas claramente no encajan en la figura en cuestión, como máximo una docena. Si la respuesta es negativa, entonces la tarea también se resolvió incorrectamente.

Ejemplo 3

Calcula el área de la figura, limitado por líneas, Y ejes de coordenadas.

Solución: Hagamos un dibujo:

Si trapecio curvo situado debajo del eje(o al menos no más alto eje dado), entonces su área se puede encontrar usando la fórmula:

En este caso:

¡Atención! No deben confundirse los dos tipos de tareas.:

1) Si te piden que resuelvas simplemente una integral definida sin ninguna significado geométrico, entonces puede ser negativo.

2) Si te piden encontrar el área de una figura usando una integral definida, ¡entonces el área siempre es positiva! Es por eso que el menos aparece en la fórmula que acabamos de comentar.

En la práctica, la mayoría de las veces la figura se ubica tanto en el semiplano superior como en el inferior y, por lo tanto, desde el más simple problemas escolares Pasemos a ejemplos más significativos.

Ejemplo 4

Encuentra el área de una figura plana delimitada por las rectas , .

Solución: Primero debes completar el dibujo. En términos generales, al construir un dibujo en problemas de área, lo que más nos interesa son los puntos de intersección de las líneas. Encontremos los puntos de intersección de la parábola y la recta. Esto se puede hacer de dos formas. El primer método es analítico. Resolvemos la ecuación:

Esto significa que el límite inferior de integración es limite superior integración

Si es posible, es mejor no utilizar este método..

Es mucho más rentable y rápido construir líneas punto por punto, y los límites de la integración se aclaran "por sí solos". Sin embargo, método analítico A veces todavía es necesario encontrar límites si, por ejemplo, el gráfico es bastante grande o la construcción detallada no reveló los límites de integración (pueden ser fraccionarios o irracionales). Y también consideraremos un ejemplo de este tipo.

Volvamos a nuestra tarea: es más racional construir primero una línea recta y solo luego una parábola. Hagamos el dibujo:

Y ahora la fórmula de trabajo.: Si hay alguna función continua en el segmento Mayor qué o igual a alguno función continua, luego el área de la figura, limitado por horarios Las funciones dadas y las líneas rectas , , se pueden encontrar usando la fórmula:

Aquí ya no es necesario pensar en dónde se encuentra la figura: encima o debajo del eje y, en términos generales, importa qué gráfico es MÁS ALTO(en relación con otro gráfico), y cual esta ABAJO.

En el ejemplo considerado, es obvio que en el segmento la parábola está ubicada por encima de la línea recta y, por lo tanto, es necesario restar de

La solución completa podría verse así:

La figura deseada está limitada por una parábola arriba y una línea recta abajo.
En el segmento, según fórmula correspondiente:

Respuesta:

Ejemplo 4

Calcula el área de la figura delimitada por las rectas , , , .

Solución: Primero, hagamos un dibujo:

La figura cuyo área necesitamos encontrar está sombreada en azul.(Mire atentamente el estado: ¡cómo es limitada la figura!). Pero en la práctica, debido a la falta de atención, a menudo surge el "fallo técnico" de que es necesario encontrar el área de una figura que está sombreada. verde!

Este ejemplo también es útil porque calcula el área de una figura usando dos integrales definidas.

En realidad:

1) En el segmento sobre el eje hay una gráfica de una línea recta;

2) En el segmento sobre el eje hay una gráfica de una hipérbola.

Es bastante obvio que las áreas pueden (y deben) agregarse, por lo tanto:

Pasemos a las aplicaciones. cálculo integral. En esta lección analizaremos la tarea típica y más común. calcular el área de una figura plana usando una integral definida. Finalmente, todos aquellos que buscan significado en Matemáticas avanzadas- que lo encuentren. Nunca sabes. En la vida real, tendrás que aproximar una parcela de dacha usando funciones elementales y encontrar su área usando una integral definida.

Para dominar con éxito el material, debe:

1) entender integral indefinida al menos a un nivel medio. Por lo tanto, los tontos deberían leer primero la lección. No.

2) Ser capaz de aplicar la fórmula de Newton-Leibniz y calcular la integral definida. Puede establecer cálidas relaciones amistosas con ciertos integrales en la página. Integral definida. Ejemplos de soluciones. La tarea "calcular el área usando una integral definida" siempre implica construir un dibujo, por lo que tus conocimientos y habilidades de dibujo también serán un tema relevante. Como mínimo, debes poder construir una línea recta, una parábola y una hipérbola.

Empecemos con un trapezoide curvo. Un trapecio curvo es una figura plana delimitada por la gráfica de alguna función. y = F(X), eje BUEY y lineas X = a; X = b.

El área de un trapecio curvilíneo es numéricamente igual a una integral definida

Cualquier integral definida (que exista) tiene un muy buen significado geométrico. En la lección Integral definida. Ejemplos de soluciones dijimos que una integral definida es un número. Y ahora es el momento de decir uno más. hecho útil. Desde el punto de vista de la geometría, la integral definida es AREA. Eso es, la integral definida (si existe) corresponde geométricamente al área de una determinada figura. Considere la integral definida

integrando

define una curva en el plano (se puede dibujar si se desea), y la integral definida en sí es numéricamente igual al área del trapezoide curvilíneo correspondiente.

Ejemplo 1

, , , .

Esta es una declaración de asignación típica. El punto más importante en la decisión es la construcción del dibujo.. Además, el dibujo debe construirse. BIEN.

Al construir un dibujo, recomiendo el siguiente orden: en primer lugar es mejor construir todas las líneas rectas (si existen) y solo Entonces– parábolas, hipérbolas, gráficas de otras funciones. Con tecnología construcción punto por punto puede encontrarse en material de referencia Gráficas y propiedades de funciones elementales.. Allí también podrá encontrar material muy útil para nuestra lección: cómo construir rápidamente una parábola.

En este problema, la solución podría verse así.

Hagamos el dibujo (tenga en cuenta que la ecuación y= 0 especifica el eje BUEY):

No sombrearemos un trapezoide curvo, aquí es obvio qué área; estamos hablando acerca de. La solución continúa así:

En el segmento [-2; 1] gráfico de funciones y = X 2 + 2 ubicados por encima del ejeBUEY, Es por eso:

Respuesta: .

¿Quién tiene dificultades para calcular la integral definida y aplicar la fórmula de Newton-Leibniz?

,

referirse a la conferencia Integral definida. Ejemplos de soluciones. Una vez completada la tarea, siempre es útil mirar el dibujo y averiguar si la respuesta es real. En este caso, contamos el número de celdas en el dibujo "a ojo"; bueno, habrá alrededor de 9, parece ser cierto. Está absolutamente claro que si obtuvimos, digamos, la respuesta: 20 unidades cuadradas, entonces es obvio que se cometió un error en alguna parte: 20 celdas obviamente no caben en la figura en cuestión, como máximo una docena. Si la respuesta es negativa, entonces la tarea también se resolvió incorrectamente.

Ejemplo 2

Calcular el área de una figura delimitada por líneas. xy = 4, X = 2, X= 4 y eje BUEY.

Este es un ejemplo para decisión independiente. Solución completa y la respuesta al final de la lección.

Qué hacer si se encuentra el trapezoide curvo. debajo del ejeBUEY?

Ejemplo 3

Calcular el área de una figura delimitada por líneas. y = ex, X= 1 y ejes de coordenadas.

Solución: Hagamos un dibujo:

Si un trapezoide curvo completamente ubicado debajo del eje BUEY , entonces su área se puede encontrar usando la fórmula:

En este caso:

.

¡Atención! No deben confundirse los dos tipos de tareas:

1) Si te piden que resuelvas simplemente una integral definida sin ningún significado geométrico, entonces puede ser negativa.

2) Si te piden encontrar el área de una figura usando una integral definida, ¡entonces el área siempre es positiva! Es por eso que el menos aparece en la fórmula que acabamos de comentar.

En la práctica, la mayoría de las veces la figura se ubica tanto en el semiplano superior como en el inferior y, por lo tanto, de los problemas escolares más simples pasamos a ejemplos más significativos.

Ejemplo 4

Encuentra el área de una figura plana delimitada por líneas. y = 2X – X 2 , y = -X.

Solución: Primero necesitas hacer un dibujo. Al construir un dibujo en problemas de área, lo que más nos interesa son los puntos de intersección de líneas. Encontremos los puntos de intersección de la parábola. y = 2X – X 2 y recto y = -X. Esto se puede hacer de dos formas. El primer método es analítico. Resolvemos la ecuación:

Esto significa que el límite inferior de integración a= 0, límite superior de integración b= 3. A menudo es más rentable y más rápido construir líneas punto por punto, y los límites de la integración se aclaran “por sí solos”. Sin embargo, a veces todavía es necesario utilizar el método analítico de encontrar límites si, por ejemplo, el gráfico es lo suficientemente grande o la construcción detallada no reveló los límites de integración (pueden ser fraccionarios o irracionales). Volvamos a nuestra tarea: es más racional construir primero una línea recta y solo luego una parábola. Hagamos el dibujo:

Repitamos que cuando se construye puntualmente, los límites de integración suelen determinarse "automáticamente".

Y ahora la fórmula de trabajo:

Si en el segmento [ a; b] alguna función continua F(X) Mayor qué o igual a alguna función continua gramo(X), entonces el área de la figura correspondiente se puede encontrar usando la fórmula:

Aquí ya no es necesario pensar en dónde se encuentra la figura: encima o debajo del eje, sino importa qué gráfico es MÁS ALTO(en relación con otro gráfico), y cual esta ABAJO.

En el ejemplo considerado, es obvio que en el segmento la parábola está ubicada por encima de la línea recta y, por lo tanto, desde 2 X – X Hay que restar 2 – X.

La solución completa podría verse así:

La figura deseada está limitada por una parábola. y = 2X – X 2 arriba y recto y = -X abajo.

En el segmento 2 X – X 2 ≥ -X. Según la fórmula correspondiente:

Respuesta: .

De hecho, fórmula escolar para el área de un trapezoide curvo en el semiplano inferior (ver ejemplo No. 3) – caso especial fórmulas

.

porque el eje BUEY dado por la ecuación y= 0, y la gráfica de la función gramo(X) ubicado debajo del eje BUEY, Eso

.

Y ahora un par de ejemplos para su propia solución.

Ejemplo 5

Ejemplo 6

Encuentra el área de una figura delimitada por líneas.

Al resolver problemas que implican calcular el área usando una integral definida, a veces ocurre un incidente divertido. El dibujo se hizo correctamente, los cálculos fueron correctos, pero por descuido... Se encontró el área de la figura equivocada.

Ejemplo 7

Primero hagamos un dibujo:

La figura cuyo área necesitamos encontrar está sombreada en azul.(Mire atentamente el estado: ¡cómo es limitada la figura!). Pero en la práctica, debido a la falta de atención, las personas a menudo deciden que necesitan encontrar el área de la figura sombreada en verde.

Este ejemplo también es útil porque calcula el área de una figura usando dos integrales definidas. En realidad:

1) En el segmento [-1; 1] encima del eje BUEY la gráfica se ubica recta y = X+1;

2) En un segmento por encima del eje. BUEY se ubica la gráfica de una hipérbola y = (2/X).

Es bastante obvio que las áreas pueden (y deben) agregarse, por lo tanto:

Respuesta:

Ejemplo 8

Calcular el área de una figura delimitada por líneas.

Presentemos las ecuaciones en forma “escolar”.

y haz un dibujo punto por punto:

Del dibujo se desprende claramente que nuestro límite superior es "bueno": b = 1.

¿Pero cuál es el límite inferior? Está claro que esto no es un número entero, pero ¿qué es?

Tal vez, a=(-1/3)? Pero, ¿dónde está la garantía de que el dibujo se realizó con perfecta precisión? Bien puede resultar que a=(-1/4). ¿Qué pasa si construimos el gráfico incorrectamente?

En tales casos hay que gastar Tiempo extra y aclarar analíticamente los límites de la integración.

Encontremos los puntos de intersección de las gráficas.

Para ello resolvemos la ecuación:

.

Por eso, a=(-1/3).

La solución adicional es trivial. Lo principal es no confundirse con sustituciones y signos. Los cálculos aquí no son los más simples. en el segmento

, ,

según la fórmula correspondiente:

Respuesta:

Para concluir la lección, veamos dos tareas más difíciles.

Ejemplo 9

Calcular el área de una figura delimitada por líneas.

Solución: representemos esta figura en el dibujo.

Para realizar un dibujo punto por punto necesitas saber apariencia sinusoides. En general, es útil conocer las gráficas de todas las funciones elementales, así como algunos valores de los senos. Se pueden encontrar en la tabla de valores. funciones trigonométricas . En algunos casos (por ejemplo, en este caso), es posible construir un dibujo esquemático en el que, en principio, se deben representar correctamente los gráficos y los límites de integración.

Aquí no hay problemas con los límites de integración; se derivan directamente de la condición:

– “x” cambia de cero a “pi”. Tomemos una decisión adicional:

En un segmento, la gráfica de una función. y= pecado 3 X ubicado encima del eje BUEY, Es por eso:

(1) Puedes ver cómo se integran los senos y cosenos en potencias impares en la lección Integrales de funciones trigonométricas.. Pellizcamos un seno.

(2) Usamos la identidad trigonométrica principal en la forma

(3) Cambiemos la variable t= porque X, entonces: se ubica arriba del eje, por lo tanto:

.

.

Nota: observe cómo se toma la integral de la tangente en el cubo; aquí se utiliza un corolario de la principal; identidad trigonométrica

.

A)

Solución.

El primer y más importante punto de la decisión es la construcción del dibujo..

Hagamos el dibujo:

La ecuacion y=0 establece el eje “x”;

- x=-2 Y x=1 - recto, paralelo al eje UNED;

- y=x 2 +2 - una parábola, cuyas ramas se dirigen hacia arriba, con el vértice en el punto (0;2).

Comentario. Para construir una parábola, basta con encontrar los puntos de su intersección con los ejes de coordenadas, es decir poniendo x=0 encontrar la intersección con el eje UNED y decidir en consecuencia ecuación cuadrática, encuentre la intersección con el eje Oh .

El vértice de una parábola se puede encontrar mediante las fórmulas:

También puedes construir líneas punto por punto.

En el intervalo [-2;1] la gráfica de la función y=x 2 +2 situado por encima del eje Buey , Es por eso:

Respuesta: S =9 unidades cuadradas

Una vez completada la tarea, siempre es útil mirar el dibujo y averiguar si la respuesta es real. En este caso, "a ojo" contamos el número de celdas en el dibujo; bueno, habrá alrededor de 9, parece ser cierto. Está absolutamente claro que si obtuvimos, digamos, la respuesta: 20 unidades cuadradas, entonces es obvio que se cometió un error en alguna parte: 20 celdas obviamente no caben en la figura en cuestión, como máximo una docena. Si la respuesta es negativa, entonces la tarea también se resolvió incorrectamente.

Qué hacer si se encuentra el trapezoide curvo. debajo del eje ¿Oh?

b) Calcular el área de una figura delimitada por líneas. y=-e x , x=1 y ejes de coordenadas.

Solución.

Hagamos un dibujo.

Si un trapezoide curvo completamente ubicado debajo del eje Oh , entonces su área se puede encontrar usando la fórmula:

Respuesta: S=(e-1) unidades cuadradas" 1.72 unidades cuadradas

¡Atención! No deben confundirse los dos tipos de tareas.:

1) Si te piden que resuelvas simplemente una integral definida sin ningún significado geométrico, entonces puede ser negativa.

2) Si te piden encontrar el área de una figura usando una integral definida, ¡entonces el área siempre es positiva! Es por eso que el menos aparece en la fórmula que acabamos de comentar.

En la práctica, la mayoría de las veces la figura se ubica tanto en el semiplano superior como en el inferior.

Con) Encuentra el área de una figura plana delimitada por líneas. y=2x-x 2, y=-x.

Solución.

Primero necesitas completar el dibujo. En términos generales, al construir un dibujo en problemas de área, lo que más nos interesa son los puntos de intersección de las líneas. Encontremos los puntos de intersección de la parábola. y recto Esto se puede hacer de dos formas. El primer método es analítico.

Resolvemos la ecuación:

Esto significa que el límite inferior de integración a=0 , límite superior de integración segundo=3 .

Se pueden construir líneas punto por punto y los límites de la integración se vuelven claros "por sí mismos". Sin embargo, a veces todavía es necesario utilizar el método analítico de encontrar límites si, por ejemplo, el gráfico es lo suficientemente grande o la construcción detallada no reveló los límites de integración (pueden ser fraccionarios o irracionales).

La figura deseada está limitada por una parábola arriba y una línea recta abajo.

en el segmento , según la fórmula correspondiente:

Respuesta: S =4.5 unidades cuadradas

Integral definida. Cómo calcular el área de una figura

Pasemos a considerar las aplicaciones del cálculo integral. En esta lección analizaremos la tarea típica y más común. – cómo utilizar una integral definida para calcular el área de una figura plana. Finalmente, aquellos que buscan significado en las matemáticas superiores, que lo encuentren. Nunca sabes. En la vida real, tendrás que aproximar una parcela de dacha usando funciones elementales y encontrar su área usando una integral definida.

Para dominar con éxito el material, debe:

1) Comprender la integral indefinida al menos a un nivel intermedio. Por lo tanto, los tontos deberían leer primero la lección. No.

2) Ser capaz de aplicar la fórmula de Newton-Leibniz y calcular la integral definida. Puede establecer cálidas relaciones amistosas con ciertos integrales en la página. Integral definida. Ejemplos de soluciones.

De hecho, para encontrar el área de una figura no necesitas tanto conocimiento de la integral indefinida y definida. La tarea "calcular el área usando una integral definida" siempre implica construir un dibujo, por lo que tus conocimientos y habilidades de dibujo serán un tema mucho más apremiante. En este sentido, es útil para refrescar la memoria de las gráficas de funciones elementales básicas y, como mínimo, poder construir una recta, una parábola y una hipérbola. Esto se puede hacer (para muchos, es necesario) usando material metodológico y artículos sobre transformaciones geométricas de gráficas.

En realidad, todo el mundo está familiarizado con la tarea de encontrar el área usando una integral definida desde la escuela, y no iremos mucho más allá de currículum escolar. Puede que este artículo no existiera en absoluto, pero lo cierto es que el problema se produce en 99 de cada 100 casos, cuando un estudiante sufre por una escuela odiada y domina con entusiasmo un curso de matemáticas superiores.

Materiales de este taller presentado de forma sencilla, detallada y con un mínimo de teoría.

Empecemos con un trapezoide curvo.

trapezoide curvilíneo es una figura plana delimitada por un eje, rectas y la gráfica de una función continua en un intervalo que no cambia de signo en este intervalo. Localicemos esta figura no menos eje x:

Entonces el área de un trapecio curvilíneo es numéricamente igual a una integral definida. Cualquier integral definida (que exista) tiene un muy buen significado geométrico. En la lección Integral definida. Ejemplos de soluciones Dije que una integral definida es un número. Y ahora ha llegado el momento de exponer otro hecho útil. Desde el punto de vista de la geometría, la integral definida es AREA.

Eso es, la integral definida (si existe) corresponde geométricamente al área de una determinada figura. Por ejemplo, considere la integral definida. El integrando define una curva en el plano ubicado sobre el eje (quien lo desee puede hacer un dibujo), y la integral definida en sí es numéricamente igual al área del trapezoide curvilíneo correspondiente.

Ejemplo 1

Esta es una declaración de asignación típica. El primer y más importante punto de la decisión es la construcción de un dibujo.. Además, el dibujo debe construirse. BIEN.

Al construir un dibujo, recomiendo el siguiente orden: en primer lugar es mejor construir todas las líneas rectas (si existen) y solo Entonces– parábolas, hipérbolas, gráficas de otras funciones. Es más rentable construir gráficas de funciones. punto por punto, la técnica de construcción punto por punto se puede encontrar en el material de referencia Gráficas y propiedades de funciones elementales.. Allí también podrá encontrar material muy útil para nuestra lección: cómo construir rápidamente una parábola.

En este problema, la solución podría verse así.
Dibujemos el dibujo (tenga en cuenta que la ecuación define el eje):

No sombrearé el trapezoide curvo; aquí es obvio de qué área estamos hablando. La solución continúa así:

En el segmento se ubica la gráfica de la función. por encima del eje, Es por eso:

Respuesta:

¿Quién tiene dificultades para calcular la integral definida y aplicar la fórmula de Newton-Leibniz? , consulte la conferencia Integral definida. Ejemplos de soluciones.

Una vez completada la tarea, siempre es útil mirar el dibujo y averiguar si la respuesta es real. En este caso, contamos el número de celdas en el dibujo "a ojo"; bueno, habrá alrededor de 9, parece ser cierto. Está absolutamente claro que si obtuvimos, digamos, la respuesta: 20 unidades cuadradas, entonces es obvio que se cometió un error en alguna parte: 20 celdas obviamente no caben en la figura en cuestión, como máximo una docena. Si la respuesta es negativa, entonces la tarea también se resolvió incorrectamente.

Ejemplo 2

Calcular el área de una figura delimitada por rectas, y eje

Este es un ejemplo para que lo resuelvas por tu cuenta. Solución completa y respuesta al final de la lección.

Qué hacer si se encuentra el trapezoide curvo. debajo del eje?

Ejemplo 3

Calcula el área de la figura delimitada por líneas y ejes de coordenadas.

Solución: Hagamos un dibujo:

Si se ubica un trapezoide curvo debajo del eje(o al menos no más alto eje dado), entonces su área se puede encontrar usando la fórmula:
En este caso:

¡Atención! No deben confundirse los dos tipos de tareas.:

1) Si te piden que resuelvas simplemente una integral definida sin ningún significado geométrico, entonces puede ser negativa.

2) Si te piden encontrar el área de una figura usando una integral definida, ¡entonces el área siempre es positiva! Es por eso que el menos aparece en la fórmula que acabamos de comentar.

En la práctica, la mayoría de las veces la figura se ubica tanto en el semiplano superior como en el inferior y, por lo tanto, de los problemas escolares más simples pasamos a ejemplos más significativos.

Ejemplo 4

Encuentra el área de una figura plana delimitada por las rectas , .

Solución: Primero debes completar el dibujo. En términos generales, al construir un dibujo en problemas de área, lo que más nos interesa son los puntos de intersección de las líneas. Encontremos los puntos de intersección de la parábola y la recta. Esto se puede hacer de dos formas. El primer método es analítico. Resolvemos la ecuación:

Esto significa que el límite inferior de integración es, el límite superior de integración es.
Si es posible, es mejor no utilizar este método..

Es mucho más rentable y rápido construir líneas punto por punto, y los límites de la integración se aclaran "por sí solos". La técnica de construcción punto por punto para varios gráficos se analiza en detalle en la ayuda. Gráficas y propiedades de funciones elementales.. Sin embargo, a veces todavía es necesario utilizar el método analítico de encontrar límites si, por ejemplo, el gráfico es lo suficientemente grande o la construcción detallada no reveló los límites de integración (pueden ser fraccionarios o irracionales). Y también consideraremos un ejemplo de este tipo.

Volvamos a nuestra tarea: es más racional construir primero una línea recta y solo luego una parábola. Hagamos el dibujo:

Repito que cuando se construye puntualmente, los límites de integración suelen descubrirse "automáticamente".

Y ahora la fórmula de trabajo.: Si hay alguna función continua en el segmento Mayor qué o igual a alguna función continua , entonces el área de la figura delimitada por las gráficas de estas funciones y las rectas , , se puede encontrar usando la fórmula:

Aquí ya no es necesario pensar en dónde se encuentra la figura: encima o debajo del eje y, en términos generales, importa qué gráfico es MÁS ALTO(en relación con otro gráfico), y cual esta ABAJO.

En el ejemplo considerado, es obvio que en el segmento la parábola está ubicada por encima de la línea recta y, por lo tanto, es necesario restar de

La solución completa podría verse así:

La figura deseada está limitada por una parábola arriba y una línea recta abajo.
Sobre el segmento, según la fórmula correspondiente:

Respuesta:

De hecho, la fórmula escolar para el área de un trapecio curvilíneo en el semiplano inferior (ver ejemplo simple No. 3) es un caso especial de la fórmula . Dado que el eje está especificado por la ecuación y la gráfica de la función se encuentra no más alto ejes, entonces

Y ahora un par de ejemplos para su propia solución.

Ejemplo 5

Ejemplo 6

Encuentra el área de la figura delimitada por las líneas , .

Al resolver problemas que implican calcular el área usando una integral definida, a veces ocurre un incidente divertido. El dibujo se hizo correctamente, los cálculos fueron correctos, pero por descuido... se encontró el área de la figura incorrecta, así es exactamente como su humilde servidor la cagó varias veces. Aquí caso real de vida:

Ejemplo 7

Calcula el área de la figura delimitada por las rectas , , , .

Solución: Primero, hagamos un dibujo:

...Eh, el dibujo salió una mierda, pero todo parece legible.

La figura cuyo área necesitamos encontrar está sombreada en azul.(Mire atentamente el estado: ¡cómo es limitada la figura!). Pero en la práctica, debido a la falta de atención, a menudo ocurre un "fallo técnico" que indica que es necesario encontrar el área de una figura sombreada en verde.

Este ejemplo también es útil porque calcula el área de una figura usando dos integrales definidas. En realidad:

1) En el segmento sobre el eje hay una gráfica de una línea recta;

2) En el segmento sobre el eje hay una gráfica de una hipérbola.

Es bastante obvio que las áreas pueden (y deben) agregarse, por lo tanto:

Respuesta:

Pasemos a otra tarea significativa.

Ejemplo 8

Calcula el área de una figura delimitada por líneas,
Presentemos las ecuaciones en forma “escolar” y hagamos un dibujo punto por punto:

Del dibujo queda claro que nuestro límite superior es "bueno": .
¿Pero cuál es el límite inferior? Está claro que esto no es un número entero, pero ¿qué es? Tal vez ? Pero ¿dónde está la garantía de que el dibujo está hecho con perfecta precisión? Bien puede resultar que... O la raíz. ¿Qué pasa si construimos el gráfico incorrectamente?

En tales casos, hay que dedicar más tiempo y aclarar analíticamente los límites de la integración.

Encontremos los puntos de intersección de una recta y una parábola.
Para ello resolvemos la ecuación:


,

En realidad, .

La solución adicional es trivial, lo principal es no confundirse con sustituciones y signos, los cálculos aquí no son los más simples;

en el segmento , según la fórmula correspondiente:

Respuesta:

Bueno, para concluir la lección, veamos dos tareas más difíciles.

Ejemplo 9

Calcula el área de la figura delimitada por las rectas , ,

Solución: Representemos esta figura en el dibujo.

Maldita sea, olvidé firmar el horario y, lo siento, no quería rehacer la foto. No es día de sorteo, en fin, hoy es el día =)

Para la construcción punto por punto, es necesario conocer la apariencia de una sinusoide (y en general es útil saber gráficas de todas las funciones elementales), así como algunos valores de seno, se pueden encontrar en tabla trigonométrica. En algunos casos (como en este caso), es posible construir un dibujo esquemático en el que, en principio, se deben representar correctamente las gráficas y los límites de integración.

Aquí no hay problemas con los límites de integración; se derivan directamente de la condición: "x" cambia de cero a "pi". Tomemos una decisión adicional:

En el segmento, la gráfica de la función se ubica encima del eje, por lo tanto:

En este artículo aprenderás cómo encontrar el área de una figura delimitada por líneas usando cálculos integrales. Por primera vez nos encontramos con la formulación de un problema de este tipo en la escuela secundaria, cuando acabamos de completar el estudio de integrales definidas y es hora de comenzar. interpretación geométrica conocimientos adquiridos en la práctica.

Entonces, ¿qué se requiere para resolver con éxito el problema de encontrar el área de una figura usando integrales?

• Capacidad para realizar dibujos competentes;
• Capacidad para resolver una integral definida usando formula famosa Newton-Leibniz;
• La capacidad de "ver" una opción de solución más rentable, es decir, ¿Entiendes cómo será más conveniente realizar la integración en un caso u otro? ¿A lo largo del eje x (OX) o del eje y (OY)?
• Bueno, ¿dónde estaríamos sin los cálculos correctos?) Esto incluye comprender cómo resolver ese otro tipo de integrales y cálculos numéricos correctos.

Algoritmo para resolver el problema de calcular el área de una figura delimitada por líneas:

1. Estamos construyendo un dibujo. Es recomendable hacerlo en una hoja de papel a cuadros, con a gran escala. Firmamos el nombre de esta función con un lápiz encima de cada gráfica. La firma de los gráficos se realiza únicamente para facilitar la realización de cálculos adicionales. Habiendo recibido un gráfico de la cifra deseada, en la mayoría de los casos quedará inmediatamente claro qué límites de integración se utilizarán. Así solucionamos el problema. método gráfico. Sin embargo, sucede que los valores de los límites son fraccionarios o irracionales. Por lo tanto, puedes realizar cálculos adicionales, ve al paso dos.

2. Si los límites de integración no se especifican explícitamente, entonces encontramos los puntos de intersección de las gráficas entre sí y vemos si nuestros solución gráfica con analítica.

3. A continuación, debes analizar el dibujo. Dependiendo de cómo estén dispuestas las gráficas de funciones, existen diferentes aproximaciones para encontrar el área de una figura. Consideremos diferentes ejemplos sobre cómo encontrar el área de una figura usando integrales.

3.1. La versión más clásica y sencilla del problema es cuando necesitas encontrar el área de un trapecio curvo. ¿Qué es un trapezoide curvo? Esta es una figura plana limitada por el eje x. (y = 0), derecho x = a, x = b y cualquier curva continua en el intervalo desde a antes b. Además, esta cifra no es negativa y no se encuentra debajo del eje x. En este caso, el área del trapecio curvilíneo es numéricamente igual a una determinada integral, calculada mediante la fórmula de Newton-Leibniz:

Ejemplo 1 y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

¿Qué líneas está delimitada por la figura? tenemos una parábola y = x2 – 3x + 3, que se encuentra encima del eje OH, no es negativo, porque todos los puntos de esta parábola tienen valores positivos. A continuación, dadas las líneas rectas. x = 1 Y x = 3, que corren paralelas al eje UNED, son las líneas límite de la figura a la izquierda y a la derecha. Bien y = 0, también es el eje x, que limita la figura desde abajo. La figura resultante está sombreada, como puede verse en la figura de la izquierda. En este caso, puede empezar a resolver el problema inmediatamente. Tenemos ante nosotros un ejemplo simple de un trapezoide curvo, que luego resolvemos usando la fórmula de Newton-Leibniz.

3.2. En el párrafo 3.1 anterior, examinamos el caso en el que un trapecio curvo se encuentra encima del eje x. Consideremos ahora el caso en el que las condiciones del problema son las mismas, excepto que la función se encuentra debajo del eje x. A fórmula estándar Se añade el signo negativo de Newton-Leibniz. como decidir tarea similar Veámoslo más a fondo.

Ejemplo 2 . Calcular el área de una figura delimitada por líneas. y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.

EN en este ejemplo tenemos una parábola y = x2 + 6x + 2, que se origina en el eje OH, derecho x = -4, x = -1, y = 0. Aquí y = 0 limita la figura deseada desde arriba. Directo x = -4 Y x = -1 estos son los límites dentro de los cuales se calculará la integral definida. El principio para resolver el problema de encontrar el área de una figura coincide casi por completo con el ejemplo número 1. La única diferencia es que función dada no positivo, y aún continuo en el intervalo [-4; -1] . ¿Qué quieres decir con no positivo? Como puede verse en la figura, la figura que se encuentra dentro de las x dadas tiene coordenadas exclusivamente "negativas", que es lo que necesitamos ver y recordar al resolver el problema. Buscamos el área de la figura usando la fórmula de Newton-Leibniz, solo que con un signo menos al principio.

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