Cómo resolver ejemplos con diferentes signos. Comprender la suma de números enteros

>>Matemáticas: Sumar números con diferentes signos

33. Suma de números con diferentes signos.

Si la temperatura del aire era igual a 9 °C y luego cambiaba a - 6 °C (es decir, disminuía en 6 °C), entonces llegaba a ser igual a 9 + (- 6) grados (Fig. 83).

Para sumar los números 9 y - 6 usando , debe mover el punto A (9) hacia la izquierda 6 segmentos unitarios (Fig. 84). Obtenemos el punto B (3).

Esto significa 9+(- 6) = 3. El número 3 tiene el mismo signo que el término 9, y su módulo igual a la diferencia entre los módulos de los términos 9 y -6.

De hecho, |3| =3 y |9| - |- 6| = = 9 - 6 = 3.

Si la misma temperatura del aire de 9 °C cambió en -12 °C (es decir, disminuyó en 12 °C), entonces llegó a ser igual a 9 + (-12) grados (Fig. 85). Sumando los números 9 y -12 usando la línea de coordenadas (Fig.86), obtenemos 9 + (-12) = -3. El número -3 tiene el mismo signo que el término -12, y su módulo es igual a la diferencia entre los módulos de los términos -12 y 9.

De hecho, | - 3| = 3 y | -12| - | -9| =12 - 9 = 3.

Para sumar dos números con signos diferentes, necesitas:

1) restar el más pequeño del módulo más grande de los términos;

2) poner delante del número resultante el signo del término cuyo módulo es mayor.

Por lo general, primero se determina y escribe el signo de la suma, y ​​luego se encuentra la diferencia en los módulos.

Por ejemplo:

1) 6,1+(- 4,2)= +(6,1 - 4,2)= 1,9,
o más corto 6,1+(- 4,2) = 6,1 - 4,2 = 1,9;

Al sumar números positivos y negativos puedes usar microcalculadora. Para ingresar un número negativo en una microcalculadora, debe ingresar el módulo de este número y luego presionar la tecla "cambiar signo" |/-/|. Por ejemplo, para ingresar el número -56.81, debes presionar las teclas secuencialmente: | 5 |, | 6 |, | ¦ |, | 8 |, | 1 |, |/-/|. Las operaciones con números de cualquier signo se realizan en una microcalculadora de la misma forma que con números positivos.

Por ejemplo, la suma -6,1 + 3,8 se calcula usando programa

? Los números a y b tienen signos diferentes. ¿Qué signo tendrá la suma de estos números si el módulo mayor es negativo?

si el módulo menor es negativo?

si el módulo mayor es un número positivo?

si el módulo menor es un número positivo?

Formule una regla para sumar números con diferentes signos. ¿Cómo ingresar un número negativo en una microcalculadora?

A 1045. El número 6 se cambió a -10. ¿De qué lado del origen se encuentra el número resultante? ¿A qué distancia del origen se encuentra? ¿A qué es igual? suma 6 y -10?

1046. El número 10 fue cambiado a -6. ¿De qué lado del origen se encuentra el número resultante? ¿A qué distancia del origen se encuentra? ¿Cuál es la suma de 10 y -6?

1047. El número -10 fue cambiado a 3. ¿De qué lado del origen se ubica el número resultante? ¿A qué distancia del origen se encuentra? ¿Cuál es la suma de -10 y 3?

1048. El número -10 fue cambiado a 15. ¿De qué lado del origen se ubica el número resultante? ¿A qué distancia del origen se encuentra? ¿Cuál es la suma de -10 y 15?

1049. En la primera mitad del día la temperatura cambió - 4 °C, y en la segunda mitad - + 12 °C. ¿Cuántos grados cambió la temperatura durante el día?

1050. Realizar suma:

1051. Añadir:

a) a la suma de -6 y -12 el número 20;
b) al número 2,6 la suma es -1,8 y 5,2;
c) a la suma -10 y -1,3 la suma de 5 y 8,7;
d) a la suma de 11 y -6,5 la suma de -3,2 y -6.

1052. ¿Qué número es 8; 7.1; -7,1; -7; -0.5 es la raíz ecuaciones- 6 + x = -13,1?

1053. Adivina la raíz de la ecuación y comprueba:

a) x + (-3) = -11; c) metro + (-12) = 2;
b) - 5 + y=15; d) 3 + norte = -10.

1054. Encuentra el significado de la expresión:

1055. Sigue los pasos usando una microcalculadora:

a) - 3,2579 + (-12,308); d) -3,8564+ (-0,8397) +7,84;
b) 7,8547+ (-9,239); e) -0,083 + (-6,378) + 3,9834;
c) -0,00154 + 0,0837; e) -0,0085+ 0,00354+ (- 0,00921).

PAG 1056. Encuentra el valor de la suma:

1057. Encuentra el significado de la expresión:

1058. ¿Cuántos números enteros se encuentran entre los números?

a) 0 y 24; b) -12 y -3; c) -20 y 7?

1059. Imagina el número -10 como la suma de dos términos negativos de modo que:

a) ambos términos eran números enteros;
b) ambos términos eran fracciones decimales;
c) uno de los términos era un ordinario ordinario fracción.

1060. ¿Cuál es la distancia (en segmentos unitarios) entre los puntos de la línea de coordenadas con coordenadas?

a) 0 y a; b) -a y a; c) -ay 0; d) a y -Za?

METRO 1061. Los radios de los paralelos geográficos de la superficie terrestre en los que se encuentran las ciudades de Atenas y Moscú son respectivamente iguales a 5040 km y 3580 km (Fig. 87). ¿Cuánto más corto es el paralelo de Moscú que el de Atenas?

1062. Escribe una ecuación para resolver el problema: “Un campo de 2,4 hectáreas se dividió en dos secciones. Encontrar cuadrado cada sitio, si se sabe que uno de los sitios:

a) 0,8 hectáreas más que otro;
b) 0,2 hectáreas menos que otra;
c) 3 veces más que otro;
d) 1,5 veces menos que otro;
e) constituye otro;
e) es 0,2 del otro;
g) constituye el 60% del otro;
h) es el 140% del otro”.

1063. Resuelve el problema:

1) El primer día los viajeros recorrieron 240 km, el segundo día 140 km, el tercer día viajaron 3 veces más que el segundo y el cuarto día descansaron. ¿Cuántos kilómetros recorrieron el quinto día, si durante 5 días recorrieron un promedio de 230 km por día?

2) El ingreso mensual del padre es de 280 rublos. La beca de mi hija es 4 veces menor. ¿Cuánto gana una madre al mes si hay 4 personas en la familia, el hijo menor es un escolar y cada persona recibe una media de 135 rublos?

1064. Sigue estos pasos:

1) (2,35 + 4,65) 5,3:(40-2,9);

2) (7,63-5,13) 0,4:(3,17 + 6,83).

1066. Presenta cada uno de los números como suma de dos términos iguales:

1067. Encuentra el valor de a + b si:

a) a= -1,6, b = 3,2; b) a=-2,6, b = 1,9; V)

1068. Había ocho apartamentos en un piso de un edificio residencial. 2 apartamentos tenían una superficie habitable de 22,8 m2, 3 apartamentos - 16,2 m2, 2 apartamentos - 34 m2. ¿Qué superficie habitable tenía el octavo apartamento si en este piso en promedio cada apartamento tenía 24,7 m2 de espacio habitable?

1069. El tren de mercancías constaba de 42 vagones. Había 1,2 veces más coches cubiertos que plataformas y el número de tanques era igual al número de plataformas. ¿Cuántos vagones de cada tipo había en el tren?

1070. Encuentra el significado de la expresión.

N.Ya.Vilenkin, A.S. Chesnokov, S.I. Shvartsburd, V.I. Zhokhov, Matemáticas para sexto grado, Libro de texto para la escuela secundaria

Planificación de matemáticas, libros de texto y libros en línea, cursos y tareas de matemáticas para descargar de sexto grado

desarrollar conocimiento sobre la regla para sumar números con diferentes signos, la capacidad de aplicarla en los casos más simples;

desarrollo de habilidades para comparar, identificar patrones, generalizar;

Fomentar una actitud responsable ante la labor educativa.

Equipo: proyector multimedia, pantalla.

Tipo de lección: Lección de aprendizaje de material nuevo.

DURANTE LAS CLASES

1. Momento organizativo.

Párate derecho

Se sentaron en silencio.

Ya ha sonado la campana,

Comencemos nuestra lección.

¡Tipo! Hoy los invitados vinieron a nuestra lección. Volvamos hacia ellos y sonriamos el uno al otro. Entonces, comenzamos nuestra lección.

Diapositiva 2- Epígrafe de la lección: “El que no se da cuenta de nada, no estudia nada.

El que no estudia nada siempre se queja y se aburre”.

Roman Sef (escritor infantil)

ensalada 3 - Sugiero jugar el juego "Al contrario". Reglas del juego: necesitas dividir las palabras en dos grupos: ganar, mentir, calidez, dio, verdad, bien, pérdida, tomó, mal, frío, positivo, negativo.

Hay muchas contradicciones en la vida. Con su ayuda, definimos la realidad circundante. Para nuestra lección necesito el último: positivo - negativo.

¿De qué estamos hablando en matemáticas cuando usamos estas palabras? (Acerca de los números).

El gran Pitágoras dijo: "Los números gobiernan el mundo". Propongo hablar sobre los números más misteriosos de la ciencia: números con diferentes signos. - Los números negativos aparecieron en la ciencia como lo opuesto a los números positivos. Su camino hacia la ciencia fue difícil porque incluso muchos científicos no apoyaban la idea de su existencia.

¿Qué conceptos y cantidades miden las personas con números positivos y negativos? (cargas de partículas elementales, temperatura, pérdidas, altura y profundidad, etc.)

Diapositiva 4- Las palabras con significados opuestos son antónimos (tabla).

2. Establecer el tema de la lección.

Diapositiva 5 (trabajar con una mesa)– ¿Qué números se estudiaron en lecciones anteriores?
– ¿Qué tareas relacionadas con números positivos y negativos puedes realizar?
– Atención a la pantalla. (Diapositiva 5)
– ¿Qué números se presentan en la tabla?
– Nombrar los módulos de números escritos en horizontal.
– Indique el número mayor, indique el número con mayor módulo.
– Responde las mismas preguntas para los números escritos verticalmente.
– ¿Coinciden siempre el número mayor y el número de mayor valor absoluto?
– Encuentra la suma de números positivos, la suma de números negativos.
– Formule la regla para sumar números positivos y la regla para sumar números negativos.
– ¿Qué números quedan por sumar?
– ¿Sabes cómo doblarlos?
– ¿Conoces la regla para sumar números con diferentes signos?
– Formular el tema de la lección.
– ¿Qué objetivo te fijarás? .¿Piensas en lo que haremos hoy? (Respuestas de los niños). Hoy seguimos familiarizándonos con números positivos y negativos. El tema de nuestra lección es "Suma de números con diferentes signos". Nuestro objetivo es aprender a sumar números con diferentes signos sin errores. Anota la fecha y el tema de la lección en tu cuaderno..

3.Trabajar en el tema de la lección..

Diapositiva 6.– Utilizando estos conceptos, encuentre los resultados de sumar números con diferentes signos en la pantalla.
– ¿Qué números son el resultado de sumar números positivos y números negativos?
– ¿Qué números son el resultado de sumar números de diferente signo?
– ¿Qué determina el signo de la suma de números de diferente signo? (Diapositiva 5)
– Del término con mayor módulo.
- Es como un tira y afloja. El más fuerte gana.

Diapositiva 7- Vamos a jugar. Imagina que estás en un tira y afloja. . Maestro. Los rivales suelen encontrarse en competiciones. Y hoy visitaremos varios torneos contigo. Lo primero que nos espera es la final de la competición de tira y afloja. Conoce a Ivan Minusov en el número -7 y a Petr Plyusov en el número +5. ¿Quién crees que ganará? ¿Por qué? Entonces, Ivan Minusov ganó, realmente resultó ser más fuerte que su oponente y pudo arrastrarlo a su lado negativo exactamente dos pasos.

Diapositiva 8.- . Ahora pasemos a otras competiciones. La final de la competición de tiro está ante ti. Los mejores en esta forma fueron Minus Troikin con tres balones y Plus Chetverikov, que tenía cuatro balones de reserva. Y aquí chicos, ¿quién creen que será el ganador?

Diapositiva 9- Las competiciones demostraron que gana el más fuerte. Lo mismo ocurre al sumar números con diferentes signos: -7 + 5 = -2 y -3 + 4 = +1. Chicos, ¿cómo se suman los números con diferentes signos? Los estudiantes ofrecen sus propias opciones.

El profesor formula la regla y da ejemplos.

10 + 12 = +(12 – 10) = +2

4 + 3,6 = -(4 – 3,6) = -0,4

Durante la demostración, los estudiantes pueden comentar sobre la solución que aparece en la diapositiva.

Diapositiva 10- Maestro, juguemos a otro juego “Battleship”. Un barco enemigo se acerca a nuestra costa, hay que derribarlo y hundirlo. Para ello tenemos un arma. Pero para dar en el blanco es necesario hacer cálculos precisos. Cuáles verás ahora. ¿Listo? ¡Entonces adelante! No se distraiga, los ejemplos cambian exactamente después de 3 segundos. ¿Están todos listos?

Los estudiantes se turnan para acercarse a la pizarra y calcular los ejemplos que aparecen en la diapositiva. – Nombra las etapas para completar la tarea.

Diapositiva 11- Trabajar según el libro de texto: p. 180 p. 33, leer la regla para sumar números con diferentes signos. Comentarios sobre la regla.
– ¿Cuál es la diferencia entre la regla propuesta en el libro de texto y el algoritmo que compilaste? Considere los ejemplos del libro de texto con comentarios.

Diapositiva 12- Maestro - Ahora chicos, realicemos. experimento.¡Pero no químico, sino matemático! Tomemos los números 6 y 8, los signos más y menos y mezclemos todo bien. Veamos cuatro ejemplos experimentales. Hazlos en tu cuaderno. (dos estudiantes resuelven en las alas del tablero, luego se verifican las respuestas). ¿Qué conclusiones se pueden sacar de este experimento?(El papel de los signos). Realicemos 2 experimentos más. , pero con tus números (1 persona a la vez va al tablero). Pensemos en números unos para otros y verifiquemos los resultados del experimento (verificación mutua).

Diapositiva 13 .- La regla se muestra en la pantalla en forma poética. .

4. Reforzar el tema de la lección.

Diapositiva 14 – Maestro - "¡Se necesitan todo tipo de señales, todo tipo de señales son importantes!" Ahora chicos, los dividiremos en dos equipos. Los niños estarán en el equipo de Santa Claus y las niñas en el equipo de Sunny. Tu tarea, sin calcular los ejemplos, es determinar cuáles de ellos tendrán respuestas negativas y cuáles tendrán respuestas positivas y anotar las letras de estos ejemplos en un cuaderno. Los niños son respectivamente negativos y las niñas positivas (se emiten tarjetas de la aplicación). Se está realizando una autoprueba.

¡Bien hecho! Tu sentido de las señales es excelente. Esto te ayudará a completar la siguiente tarea.

Diapositiva 15 - Educación Física. -10, 0,15,18,-5,14,0,-8,-5, etc. (números negativos - agacharse, números positivos - levantarse, saltar)

Diapositiva 16-Resuelve 9 ejemplos tú mismo (tarea en tarjetas en la aplicación). 1 persona en el tablero. Haz una autoprueba. Las respuestas se muestran en la pantalla y los estudiantes corrigen los errores en sus cuadernos. Levanten la mano si lo han hecho bien. (Las calificaciones se otorgan solo por resultados buenos y excelentes)

Diapositiva 17-Las reglas nos ayudan a resolver ejemplos correctamente. Repitámoslos. En la pantalla hay un algoritmo para sumar números con diferentes signos.

5.Organización del trabajo independiente.

Diapositiva 18 -Ftrabajo en línea a través del juego "Adivina la palabra"(tarea en tarjetas en el apéndice).

Diapositiva 19 - La puntuación del juego debe ser "A".

Diapositiva 20 -A Ahora, atención. Tarea. La tarea no debería causarte ninguna dificultad.

Diapositiva 21 - Leyes de la suma en los fenómenos físicos. Piense en ejemplos de suma de números con diferentes signos y pregúntelos entre sí. ¿Qué novedades has aprendido? ¿Hemos logrado nuestro objetivo?

Diapositiva 22 - Ese es el final de la lección, resumámoslo ahora. Reflexión. El profesor comenta y califica la lección.

Diapositiva 23 -¡Gracias por su atención!

Deseo que tengan más cosas positivas y menos negativas en sus vidas. Quiero decirles, gracias por su trabajo activo. Creo que podrás aplicar fácilmente los conocimientos adquiridos en lecciones posteriores. La lección ha terminado. Muchas gracias a todos. ¡Adiós!

Casi todo el curso de matemáticas se basa en operaciones con números positivos y negativos. Después de todo, tan pronto como comenzamos a estudiar la línea de coordenadas, los números con signos más y menos comienzan a aparecer en todas partes, en cada tema nuevo. No hay nada más fácil que sumar números positivos ordinarios; no es difícil restar uno del otro; Incluso la aritmética con dos números negativos rara vez supone un problema.

Sin embargo, muchas personas se confunden al sumar y restar números con diferentes signos. Recordemos las reglas por las cuales ocurren estas acciones.

Sumar números con diferentes signos

Si para resolver un problema necesitamos sumar un número negativo “-b” a algún número “a”, entonces debemos actuar de la siguiente manera.

• Tomemos los módulos de ambos números - |a| y |b| - y compare estos valores absolutos entre sí.
• Observemos qué módulo es mayor y cuál es menor, y restemos el valor menor del valor mayor.
• Pongamos delante del número resultante el signo del número cuyo módulo es mayor.

Esta será la respuesta. Podemos decirlo de manera más simple: si en la expresión a + (-b) el módulo del número “b” es mayor que el módulo de “a”, entonces restamos “a” de “b” y ponemos un “menos ”frente al resultado. Si el módulo "a" es mayor, entonces "b" se resta de "a" y la solución se obtiene con un signo "más".

También sucede que los módulos resultan iguales. Si es así, podemos detenernos en este punto: estamos hablando de números opuestos y su suma siempre será igual a cero.

Restar números con diferentes signos

Nos ocupamos de la suma, ahora veamos la regla de la resta. También es bastante simple y, además, repite completamente una regla similar para restar dos números negativos.

Para restar de un cierto número "a" - arbitrario, es decir, con cualquier signo - un número negativo "c", es necesario agregar a nuestro número arbitrario "a" el número opuesto a "c". Por ejemplo:

• Si "a" es un número positivo y "c" es negativo, y necesitas restar "c" de "a", entonces lo escribimos así: a – (-c) = a + c.
• Si "a" es un número negativo y "c" es positivo, y es necesario restar "c" de "a", entonces lo escribimos de la siguiente manera: (- a)– c = - a+ (-c).

Así, al restar números de diferente signo, acabamos volviendo a las reglas de la suma, y ​​al sumar números de diferente signo, volvemos a las reglas de la resta. Memorizar estas reglas le permitirá resolver problemas rápida y fácilmente.

En este artículo nos ocuparemos de sumando números con diferentes signos. Aquí daremos una regla para sumar números positivos y negativos, y consideraremos ejemplos de la aplicación de esta regla al sumar números con diferentes signos.

Navegación de páginas.

Regla para sumar números con diferentes signos.

Ejemplos de suma de números con diferentes signos.

Consideremos ejemplos de sumar números con diferentes signos según la regla comentada en el párrafo anterior. Comencemos con un ejemplo simple.

Ejemplo.

Suma los números −5 y 2.

Solución.

Necesitamos sumar números con diferentes signos. Sigamos todos los pasos prescritos por la regla para sumar un número positivo y uno negativo.

Primero, encontramos los módulos de los términos; son iguales a 5 y 2, respectivamente.

El módulo del número −5 es mayor que el módulo del número 2, así que recuerda el signo menos.

Queda por poner el signo menos recordado delante del número resultante, obtenemos −3. Esto completa la suma de números con diferentes signos.

Respuesta:

(−5)+2=−3 .

Para sumar números racionales con diferentes signos que no sean enteros, se deben representar como fracciones ordinarias (también puedes trabajar con decimales, si te resulta conveniente). Veamos este punto al resolver el siguiente ejemplo.

Ejemplo.

Suma un número positivo y un número negativo −1,25.

Solución.

Representemos números en forma de fracciones ordinarias; para ello realizaremos la transición de un número mixto a una fracción impropia: y convertiremos la fracción decimal a una fracción ordinaria: .

Ahora puedes usar la regla para sumar números con diferentes signos.

Los módulos de los números que se están sumando son 17/8 y 5/4. Para facilitar acciones posteriores, llevamos las fracciones a un denominador común, como resultado tenemos 17/8 y 10/8.

Ahora necesitamos comparar las fracciones comunes 17/8 y 10/8. Desde 17>10, entonces. Así, el término con signo más tiene un módulo mayor, por tanto, recuerda el signo más.

Ahora restamos el menor del módulo mayor, es decir, restamos fracciones con los mismos denominadores: .

Todo lo que queda es poner el signo más recordado delante del número resultante, obtenemos , pero este es el número 7/8.

En esta lección aprenderemos suma y resta de numeros enteros, así como reglas para su suma y resta.

Recuerde que los números enteros son todos números positivos y negativos, así como el número 0. Por ejemplo, los siguientes números son números enteros:

−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3

Los números positivos son fáciles y. Desafortunadamente, no se puede decir lo mismo de los números negativos, que confunden a muchos principiantes con los signos negativos delante de cada número. Como muestra la práctica, los errores cometidos debido a números negativos son los que más frustran a los estudiantes.

Ejemplos de suma y resta de números enteros.

Lo primero que debes aprender es a sumar y restar números enteros usando una línea de coordenadas. No es necesario trazar una línea de coordenadas. Basta imaginarlo en tus pensamientos y ver dónde se encuentran los números negativos y dónde los positivos.

Consideremos la expresión más simple: 1 + 3. El valor de esta expresión es 4:

Este ejemplo se puede entender usando una línea de coordenadas. Para hacer esto, desde el punto donde se encuentra el número 1, debes moverte tres pasos hacia la derecha. Como resultado, nos encontraremos en el punto donde se encuentra el número 4. En la figura puedes ver cómo sucede esto:

El signo más en la expresión 1 + 3 nos dice que debemos movernos hacia la derecha en la dirección de números crecientes.

Ejemplo 2. Encontremos el valor de la expresión 1 − 3.

El valor de esta expresión es −2

Este ejemplo se puede entender nuevamente usando una línea de coordenadas. Para hacer esto, desde el punto donde se encuentra el número 1, debes moverte hacia la izquierda tres pasos. Como resultado, nos encontraremos en el punto donde se encuentra el número negativo −2. En la imagen puedes ver cómo sucede esto:

El signo menos en la expresión 1 − 3 nos dice que debemos movernos hacia la izquierda en la dirección de números decrecientes.

En general, debe recordarse que si se realiza la suma, debe moverse hacia la derecha en la dirección del aumento. Si se realiza la resta, entonces debe moverse hacia la izquierda en la dirección de disminución.

Ejemplo 3. Encuentra el valor de la expresión −2 + 4

El valor de esta expresión es 2.

Este ejemplo se puede entender nuevamente usando una línea de coordenadas. Para hacer esto, desde el punto donde se encuentra el número negativo −2, debes moverte cuatro pasos hacia la derecha. Como resultado, nos encontraremos en el punto donde se ubica el número positivo 2.

Se puede ver que nos hemos movido cuatro pasos desde el punto donde se encuentra el número negativo −2 hacia el lado derecho y terminamos en el punto donde se encuentra el número positivo 2.

El signo más en la expresión −2 + 4 nos dice que debemos movernos hacia la derecha en la dirección de números crecientes.

Ejemplo 4. Encuentra el valor de la expresión −1 − 3

El valor de esta expresión es −4

Este ejemplo se puede resolver nuevamente usando una línea de coordenadas. Para hacer esto, desde el punto donde se encuentra el número negativo −1, debes moverte tres pasos hacia la izquierda. Como resultado, nos encontraremos en el punto donde se ubica el número negativo −4

Se puede ver que nos movimos desde el punto donde se encuentra el número negativo −1 hacia el lado izquierdo tres pasos y terminamos en el punto donde se encuentra el número negativo −4.

El signo menos en la expresión −1 − 3 nos dice que debemos movernos hacia la izquierda en la dirección de números decrecientes.

Ejemplo 5. Encuentra el valor de la expresión −2 + 2

El valor de esta expresión es 0.

Este ejemplo se puede resolver usando una línea de coordenadas. Para hacer esto, desde el punto donde se encuentra el número negativo −2, debes moverte dos pasos hacia la derecha. Como resultado, nos encontraremos en el punto donde se ubica el número 0.

Se puede ver que nos hemos movido dos pasos desde el punto donde se encuentra el número negativo −2 hacia el lado derecho y terminamos en el punto donde se encuentra el número 0.

El signo más en la expresión −2 + 2 nos dice que debemos movernos hacia la derecha en la dirección de números crecientes.

Reglas para sumar y restar números enteros.

Para sumar o restar números enteros no es necesario en absoluto imaginar una línea de coordenadas cada vez y mucho menos dibujarla. Es más conveniente utilizar reglas ya preparadas.

Al aplicar las reglas, debe prestar atención al signo de la operación y a los signos de los números que deben sumarse o restarse. Esto determinará qué regla aplicar.

Ejemplo 1. Encuentra el valor de la expresión −2 + 5

Aquí un número positivo se suma a un número negativo. Es decir, se suman números con diferentes signos. −2 es un número negativo y 5 es un número positivo. Para tales casos, se aplica la siguiente regla:

Para sumar números con diferentes signos, debes restar el módulo más pequeño del módulo más grande, y antes de la respuesta resultante poner el signo del número cuyo módulo es mayor.

Entonces, veamos qué módulo es más grande:

El módulo del número 5 es mayor que el módulo del número −2. La regla requiere restar el módulo más pequeño del módulo más grande. Por tanto, debemos restar 2 a 5, y antes de la respuesta resultante poner el signo del número cuyo módulo es mayor.

El número 5 tiene un módulo mayor, por lo que el signo de este número estará en la respuesta. Es decir, la respuesta será positiva:

−2 + 5 = 5 − 2 = 3

Generalmente escrito más corto: −2 + 5 = 3

Ejemplo 2. Encuentra el valor de la expresión 3 + (−2)

Aquí, como en el ejemplo anterior, se suman números con diferentes signos. 3 es un número positivo y −2 es un número negativo. Tenga en cuenta que −2 está entre paréntesis para aclarar la expresión. Esta expresión es mucho más fácil de entender que la expresión 3+−2.

Entonces, apliquemos la regla para sumar números con diferentes signos. Como en el ejemplo anterior, restamos el módulo menor al módulo mayor y antes de la respuesta ponemos el signo del número cuyo módulo es mayor:

3 + (−2) = |3| − |−2| = 3 − 2 = 1

El módulo del número 3 es mayor que el módulo del número −2, por lo que restamos 2 de 3 y precedimos la respuesta resultante con el signo del número cuyo módulo es mayor. El número 3 tiene un módulo mayor, por lo que el signo de este número se incluye en la respuesta. Es decir, la respuesta es positiva.

Generalmente escrito más corto 3 + (−2) = 1

Ejemplo 3. Encuentra el valor de la expresión 3 − 7

En esta expresión, un número mayor se resta de un número menor. En tal caso se aplica la siguiente regla:

Para restar un número mayor de un número menor, debes restar el número menor del número mayor y poner un menos delante de la respuesta resultante.

3 − 7 = 7 − 3 = −4

Hay un ligero inconveniente en esta expresión. Recordemos que el signo igual (=) se coloca entre cantidades y expresiones cuando son iguales entre sí.

El valor de la expresión 3 − 7, como aprendimos, es igual a −4. Esto significa que cualquier transformación que realicemos en esta expresión debe ser igual a −4

Pero vemos que en la segunda etapa hay una expresión 7 − 3, que no es igual a −4.

Para corregir esta situación, debe poner la expresión 7 − 3 entre paréntesis y poner un signo menos delante de este paréntesis:

3 − 7 = − (7 − 3) = − (4) = −4

En este caso se observará igualdad en cada etapa:

Una vez calculada la expresión, se pueden eliminar los paréntesis, que es lo que hicimos.

Entonces, para ser más precisos, la solución debería verse así:

3 − 7 = − (7 − 3) = − (4) = − 4

Esta regla se puede escribir usando variables. Se verá así:

una - segundo = - (segundo - una)

Una gran cantidad de paréntesis y signos de operación pueden complicar la solución de un problema aparentemente simple, por lo que es más recomendable aprender a escribir dichos ejemplos brevemente, por ejemplo 3 − 7 = − 4.

De hecho, sumar y restar números enteros se reduce a nada más que una suma. Esto significa que si necesita restar números, esta operación se puede reemplazar por una suma.

Entonces, familiaricémonos con la nueva regla:

Restar un número de otro significa sumar al minuendo un número opuesto al que se está restando.

Por ejemplo, considere la expresión más simple 5 − 3. En las etapas iniciales del estudio de matemáticas, pusimos un signo igual y escribimos la respuesta:

Pero ahora estamos avanzando en nuestro estudio, por lo que debemos adaptarnos a las nuevas reglas. La nueva regla dice que restar un número de otro significa sumar al minuendo el mismo número que el sustraendo.

Intentemos entender esta regla usando el ejemplo de la expresión 5 − 3. El minuendo en esta expresión es 5 y el sustraendo es 3. La regla dice que para restar 3 de 5, debes sumar a 5 un número opuesto a 3. El opuesto del número 3 es −3 . Escribamos una nueva expresión:

Y ya sabemos cómo encontrar significados a tales expresiones. Esta es la suma de números con diferentes signos, que vimos anteriormente. Para sumar números con diferentes signos, restamos el módulo menor del módulo mayor, y antes de la respuesta resultante ponemos el signo del número cuyo módulo es mayor:

5 + (−3) = |5| − |−3| = 5 − 3 = 2

El módulo del número 5 es mayor que el módulo del número −3. Por lo tanto, restamos 3 de 5 y obtuvimos 2. El número 5 tiene un módulo mayor, así que ponemos el signo de este número en la respuesta. Es decir, la respuesta es positiva.

Al principio, no todo el mundo puede sustituir rápidamente la resta por la suma. Esto se debe a que los números positivos se escriben sin el signo más.

Por ejemplo, en la expresión 3 − 1, el signo menos que indica la resta es un signo de operación y no se refiere a uno. Uno en este caso es un número positivo y tiene su propio signo más, pero no lo vemos, ya que un signo más no se escribe antes de los números positivos.

Por tanto, para mayor claridad, esta expresión se puede escribir de la siguiente manera:

(+3) − (+1)

Por conveniencia, los números con sus propios signos se colocan entre paréntesis. En este caso, sustituir la resta por la suma es mucho más fácil.

En la expresión (+3) − (+1), el número que se resta es (+1) y el número opuesto es (−1).

Reemplacemos la resta con la suma y en lugar del sustraendo (+1) escribimos el número opuesto (−1)

(+3) − (+1) = (+3) + (−1)

No será difícil realizar más cálculos.

(+3) − (+1) = (+3) + (−1) = |3| − |−1| = 3 − 1 = 2

A primera vista, podría parecer que estos movimientos adicionales no tienen sentido si puedes usar el viejo método de poner un signo igual e inmediatamente escribir la respuesta 2. De hecho, esta regla nos ayudará más de una vez.

Resolvamos el ejemplo anterior 3 − 7 usando la regla de la resta. Primero, llevemos la expresión a una forma clara, asignando a cada número sus propios signos.

Tres tiene signo más porque es un número positivo. El signo menos que indica resta no se aplica al siete. Siete tiene signo más porque es un número positivo:

Reemplacemos la resta con la suma:

(+3) − (+7) = (+3) + (−7)

No es difícil realizar más cálculos:

(+3) − (−7) = (+3) + (-7) = −(|−7| − |+3|) = −(7 − 3) = −(4) = −4

Ejemplo 7. Encuentra el valor de la expresión −4 − 5

Nuevamente tenemos una operación de resta. Esta operación debe ser reemplazada por la suma. Al minuendo (−4) le sumamos el número opuesto al sustraendo (+5). El número opuesto al sustraendo (+5) es el número (−5).

(−4) − (+5) = (−4) + (−5)

Hemos llegado a una situación en la que necesitamos sumar números negativos. Para tales casos, se aplica la siguiente regla:

Para sumar números negativos, debes sumar sus módulos y poner un menos delante de la respuesta resultante.

Entonces, sumamos los módulos de números, como la regla nos exige que hagamos, y ponemos un menos delante de la respuesta resultante:

(−4) − (+5) = (−4) + (−5) = |−4| + |−5| = 4 + 5 = −9

Una entrada con módulos debe estar entre paréntesis y se debe colocar un signo menos antes de estos paréntesis. De esta forma proporcionaremos un menos que debería aparecer antes de la respuesta:

(−4) − (+5) = (−4) + (−5) = −(|−4| + |−5|) = −(4 + 5) = −(9) = −9

La solución para este ejemplo se puede escribir brevemente:

−4 − 5 = −(4 + 5) = −9

o incluso más corto:

−4 − 5 = −9

Ejemplo 8. Encuentra el valor de la expresión −3 − 5 − 7 − 9

Llevemos la expresión a una forma clara. Aquí, todos los números excepto −3 son positivos, por lo que tendrán signos más:

(−3) − (+5) − (+7) − (+9)

Reemplacemos las restas con sumas. Todos los menos, excepto el menos delante de tres, cambiarán a más, y todos los números positivos cambiarán a lo contrario:

(−3) − (+5) − (+7) − (+9) = (−3) + (−5) + (−7) + (−9)

Ahora apliquemos la regla para sumar números negativos. Para sumar números negativos, debes sumar sus módulos y poner un menos delante de la respuesta resultante:

(−3) − (+5) − (+7) − (+9) = (−3) + (−5) + (−7) + (−9) =

= −(|−3| + |−5| + |−7| + |−9|) = −(3 + 5 + 7 + 9) = −(24) = −24

La solución a este ejemplo se puede escribir brevemente:

−3 − 5 − 7 − 9 = −(3 + 5 + 7 + 9) = −24

o incluso más corto:

−3 − 5 − 7 − 9 = −24

Ejemplo 9. Encuentra el valor de la expresión −10 + 6 − 15 + 11 − 7

Llevemos la expresión a una forma clara:

(−10) + (+6) − (+15) + (+11) − (+7)

Aquí hay dos operaciones: suma y resta. Dejamos la suma sin cambios y reemplazamos la resta con la suma:

(−10) + (+6) − (+15) + (+11) − (+7) = (−10) + (+6) + (−15) + (+11) + (−7)

Observando, realizaremos cada acción por turno, en base a las reglas aprendidas previamente. Las entradas con módulos se pueden omitir:

Primera acción:

(−10) + (+6) = − (10 − 6) = − (4) = − 4

Segunda acción:

(−4) + (−15) = − (4 + 15) = − (19) = − 19

Tercera acción:

(−19) + (+11) = − (19 − 11) = − (8) = −8

Cuarta acción:

(−8) + (−7) = − (8 + 7) = − (15) = − 15

Así, el valor de la expresión −10 + 6 − 15 + 11 − 7 es −15

Nota. No es en absoluto necesario llevar la expresión a una forma comprensible encerrando números entre paréntesis. Cuando se produce la habituación a los números negativos, este paso se puede omitir porque lleva mucho tiempo y puede resultar confuso.

Entonces, para sumar y restar números enteros, debes recordar las siguientes reglas:

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