Con este programa matemático podrás resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables utilizando el método de sustitución y el método de la suma.

El programa no solo da la respuesta al problema, sino que también proporciona una solución detallada con explicaciones de los pasos de la solución de dos maneras: el método de sustitución y el método de suma.

Este programa puede ser útil para estudiantes de secundaria en escuelas de educación general cuando se preparan para pruebas y exámenes, cuando prueban conocimientos antes del Examen Estatal Unificado y para que los padres controlen la solución de muchos problemas en matemáticas y álgebra. ¿O tal vez le resulte demasiado caro contratar un tutor o comprar libros de texto nuevos? ¿O simplemente quieres terminar tu tarea de matemáticas o álgebra lo más rápido posible? En este caso, también puede utilizar nuestros programas con soluciones detalladas.

De esta forma, podrás realizar tu propia formación y/o la formación de tus hermanos o hermanas menores, mientras aumenta el nivel de formación en el campo de la resolución de problemas.

Reglas para ingresar ecuaciones

Cualquier letra latina puede actuar como variable.
Por ejemplo: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), etc.

Al ingresar ecuaciones puedes usar paréntesis. En este caso, primero se simplifican las ecuaciones. Las ecuaciones después de las simplificaciones deben ser lineales, es decir de la forma ax+by+c=0 con la precisión del orden de los elementos.
Por ejemplo: 6x+1 = 5(x+y)+2

En las ecuaciones, puedes usar no solo números enteros, sino también fracciones en forma de decimales y fracciones ordinarias.

Reglas para ingresar fracciones decimales.
Las partes enteras y fraccionarias en fracciones decimales se pueden separar mediante un punto o una coma.
Por ejemplo: 2,1n + 3,5m = 55

Reglas para ingresar fracciones ordinarias.
Sólo un número entero puede actuar como numerador, denominador y parte entera de una fracción.
El denominador no puede ser negativo.
Al ingresar una fracción numérica, el numerador se separa del denominador mediante un signo de división: /
La parte entera está separada de la fracción por el signo comercial: &

Ejemplos.
-1&2/3y + 5/3x = 55
2,1p + 55 = -2/7(3,5p - 2&1/8q)

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Nuestros juegos, rompecabezas, emuladores:

Un poco de teoría.

Resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Método de sustitución

La secuencia de acciones al resolver un sistema de ecuaciones lineales utilizando el método de sustitución:
1) expresar una variable de alguna ecuación del sistema en términos de otra;
2) sustituir la expresión resultante en otra ecuación del sistema en lugar de esta variable;

$$ \left\( \begin(array)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end(array) \right. $$

Expresemos y en términos de x de la primera ecuación: y = 7-3x. Sustituyendo la expresión 7-3x en la segunda ecuación en lugar de y, obtenemos el sistema:
$$ \left\( \begin(array)(l) y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end(array) \right. $$

Es fácil demostrar que el primer y segundo sistema tienen las mismas soluciones. En el segundo sistema, la segunda ecuación contiene sólo una variable. Resolvamos esta ecuación:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Flecha derecha -5x+14-6x=3 \Flecha derecha -11x=-11 \Flecha derecha x=1 $$

Sustituyendo el número 1 en lugar de x en la igualdad y=7-3x, encontramos el valor correspondiente de y:
$$ y=7-3 \cdot 1 \Rightarrow y=4 $$

Par (1;4) - solución del sistema

Los sistemas de ecuaciones de dos variables que tienen las mismas soluciones se llaman equivalente. También se consideran equivalentes los sistemas que no tienen soluciones.

Resolver sistemas de ecuaciones lineales por suma.

Consideremos otra forma de resolver sistemas de ecuaciones lineales: el método de la suma. Al resolver sistemas de esta manera, así como al resolver por sustitución, pasamos de este sistema a otro sistema equivalente, en el que una de las ecuaciones contiene solo una variable.

La secuencia de acciones al resolver un sistema de ecuaciones lineales utilizando el método de la suma:
1) multiplicar las ecuaciones del sistema término por término, seleccionando factores de modo que los coeficientes de una de las variables se conviertan en números opuestos;
2) sumar los lados izquierdo y derecho de las ecuaciones del sistema término por término;
3) resolver la ecuación resultante con una variable;
4) encuentre el valor correspondiente de la segunda variable.

Ejemplo. Resolvamos el sistema de ecuaciones:
$$ \left\( \begin(array)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$

En las ecuaciones de este sistema, los coeficientes de y son números opuestos. Sumando los lados izquierdo y derecho de las ecuaciones término por término, obtenemos una ecuación con una variable 3x=33. Reemplacemos una de las ecuaciones del sistema, por ejemplo la primera, por la ecuación 3x=33. Consigamos el sistema
$$ \left\( \begin(array)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$

De la ecuación 3x=33 encontramos que x=11. Sustituyendo este valor de x en la ecuación \(x-3y=38\) obtenemos una ecuación con la variable y: \(11-3y=38\). Resolvamos esta ecuación:
\(-3y=27 \Flecha derecha y=-9 \)

Así, encontramos una solución al sistema de ecuaciones mediante la suma: \(x=11; y=-9\) o \((11;-9)\)

Aprovechando que en las ecuaciones del sistema los coeficientes de y son números opuestos, reducimos su solución a la solución de un sistema equivalente (sumando ambos lados de cada una de las ecuaciones del sistema original), en el cual se de las ecuaciones contiene sólo una variable.

En esta lección continuaremos estudiando el método de resolución de sistemas de ecuaciones, es decir, el método de suma algebraica. Primero, veamos la aplicación de este método usando el ejemplo de ecuaciones lineales y su esencia. Recordemos también cómo igualar coeficientes en ecuaciones. Y resolveremos una serie de problemas utilizando este método.

Tema: Sistemas de ecuaciones.

Lección: Método de suma algebraica

1. Método de suma algebraica utilizando sistemas lineales como ejemplo.

Consideremos método de suma algebraica usando el ejemplo de sistemas lineales.

Ejemplo 1. Resuelve el sistema.

Si sumamos estas dos ecuaciones, entonces y se cancela, dejando una ecuación para x.

Si restamos la segunda de la primera ecuación, las x se cancelan entre sí y obtenemos una ecuación para y. Este es el significado del método de suma algebraica.

Resolvimos el sistema y recordamos el método de suma algebraica. Repitamos su esencia: podemos sumar y restar ecuaciones, pero debemos asegurarnos de obtener una ecuación con una sola incógnita.

2. Método de suma algebraica con ecualización preliminar de coeficientes.

Ejemplo 2. Resuelve el sistema.

El término está presente en ambas ecuaciones, por lo que es conveniente el método de la suma algebraica. Restemos la segunda de la primera ecuación.

Respuesta: (2; -1).

Así, después de analizar el sistema de ecuaciones, se puede ver que es conveniente utilizar el método de la suma algebraica y aplicarlo.

Consideremos otro sistema lineal.

3. Solución de sistemas no lineales.

Ejemplo 3. Resuelve el sistema.

Queremos deshacernos de y, pero los coeficientes de y son diferentes en las dos ecuaciones. Vamos a igualarlos; para hacer esto, multiplicamos la primera ecuación por 3, la segunda por 4.

Ejemplo 4. Resolver el sistema.

Igualemos los coeficientes para x.

Puedes hacerlo de otra manera: igualar los coeficientes de y.

Resolvimos el sistema aplicando el método de suma algebraica dos veces.

El método de la suma algebraica también es aplicable para resolver sistemas no lineales.

Ejemplo 5. Resuelve el sistema.

Sumemos estas ecuaciones y eliminaremos y.

El mismo sistema se puede resolver aplicando dos veces el método de la suma algebraica. Sumemos y restemos de una ecuación a otra.

Ejemplo 6. Resuelve el sistema.

Respuesta:

Ejemplo 7. Resuelve el sistema.

Usando el método de la suma algebraica eliminaremos el término xy. Multipliquemos la primera ecuación por .

La primera ecuación permanece sin cambios, en lugar de la segunda escribimos la suma algebraica.

Respuesta:

Ejemplo 8. Resuelve el sistema.

Multiplica la segunda ecuación por 2 para despejar un cuadrado perfecto.

Nuestra tarea se redujo a resolver cuatro sistemas simples.

4. Conclusión

Examinamos el método de suma algebraica usando el ejemplo de resolución de sistemas lineales y no lineales. En la próxima lección veremos el método para introducir nuevas variables.

1. Mordkovich A.G. et al. Álgebra de noveno grado: libro de texto. Para educación general Instituciones.- 4ª ed. - M.: Mnemosyne, 2002.-192 p.: enfermo.

2. Mordkovich A.G. et al. Álgebra de noveno grado: Libro de problemas para estudiantes de instituciones de educación general / A.G. Mordkovich, T.N Mishustina et al. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 p.: enfermo.

3. Makarychev Yu. 9º grado: educativo. para estudiantes de educación general. instituciones / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, I. E. Feoktistov. — 7ª ed., rev. y adicional - M.: Mnemosyne, 2008.

4. Alimov Sh., Kolyagin Yu., Sidorov V. Álgebra. Noveno grado. 16ª edición. - M., 2011. - 287 p.

5. Mordkovich A. G. Álgebra. Noveno grado. En 2 partes, Parte 1. Libro de texto para estudiantes de instituciones de educación general / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. — 12ª ed., borrada. - M.: 2010. - 224 p.: enfermo.

6. Álgebra. Noveno grado. En 2 partes, Parte 2. Libro de problemas para estudiantes de instituciones de educación general / A. G. Mordkovich, L. A. Aleksandrova, T. N. Mishustina y otros; Ed. A. G. Mordkovich. — 12ª ed., rev. - M.: 2010.-223 p.: enfermo.

1. Sección universitaria. ru en matemáticas.

2. Proyecto de Internet “Tareas”.

3. Portal educativo “RESOLVERÉ el Examen del Estado Unificado”.

1. Mordkovich A.G. et al. Álgebra de noveno grado: Libro de problemas para estudiantes de instituciones de educación general / A.G. Mordkovich, T.N Mishustina et al. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 p.: enfermo. N° 125 - 127.

Necesita descargar un plan de lección sobre el tema. » Método de suma algebraica?

Con este vídeo comienzo una serie de lecciones dedicadas a sistemas de ecuaciones. Hoy hablaremos de resolver sistemas de ecuaciones lineales. método de suma- Este es uno de los métodos más sencillos, pero al mismo tiempo uno de los más eficaces.

El método de suma consta de tres sencillos pasos:

1. Mire el sistema y elija una variable que tenga los mismos (u opuestos) coeficientes en cada ecuación;
2. Realizar restas algebraicas (para números opuestos, suma) de ecuaciones entre sí y luego traer términos similares;
3. Resuelve la nueva ecuación obtenida después del segundo paso.

Si todo se hace correctamente, en la salida obtendremos una única ecuación. con una variable— No será difícil solucionarlo. Entonces todo lo que queda es sustituir la raíz encontrada en el sistema original y obtener la respuesta final.

Sin embargo, en la práctica no todo es tan sencillo. Hay varias razones para esto:

• Resolver ecuaciones usando el método de la suma implica que todas las líneas deben contener variables con coeficientes iguales/opuestos. ¿Qué hacer si no se cumple este requisito?
• No siempre, después de sumar/restar ecuaciones de la forma indicada, obtenemos una construcción hermosa que pueda resolverse fácilmente. ¿Es posible simplificar de alguna manera los cálculos y acelerarlos?

Para obtener la respuesta a estas preguntas y, al mismo tiempo, comprender algunas sutilezas adicionales en las que muchos estudiantes fallan, mire mi lección en video:

Con esta lección comenzamos una serie de conferencias dedicadas a sistemas de ecuaciones. Y partiremos de los más simples, es decir, aquellos que contienen dos ecuaciones y dos variables. Cada uno de ellos será lineal.

Sistemas es material de séptimo grado, pero esta lección también será útil para estudiantes de secundaria que quieran repasar sus conocimientos sobre este tema.

En general, existen dos métodos para resolver este tipo de sistemas:

1. Método de suma;
2. Un método para expresar una variable en términos de otra.

Hoy nos ocuparemos del primer método: utilizaremos el método de resta y suma. Pero para hacer esto, debes comprender el siguiente hecho: una vez que tengas dos o más ecuaciones, puedes tomar dos de ellas y sumarlas entre sí. Se añaden miembro por miembro, es decir. Se suman “X” a las “X” y se dan similares, “Y” con “Y” se vuelven a similar, y lo que está a la derecha del signo igual también se suma entre sí, y allí también se dan similares .

El resultado de tales maquinaciones será una nueva ecuación que, si tiene raíces, seguramente estará entre las raíces de la ecuación original. Por lo tanto, nuestra tarea es hacer la resta o suma de tal manera que $x$ o $y$ desaparezcan.

Cómo lograrlo y qué herramienta utilizar para ello; hablaremos de esto ahora.

Resolver problemas sencillos usando la suma

Entonces, aprendemos a usar el método de la suma usando el ejemplo de dos expresiones simples.

Tarea número 1

\[\left\( \begin(align)& 5x-4y=22 \\& 7x+4y=2 \\\end(align) \right.\]

Tenga en cuenta que $y$ tiene un coeficiente de $-4$ en la primera ecuación y $+4$ en la segunda. Son mutuamente opuestos, por lo que es lógico suponer que si los sumamos, en la suma resultante los "juegos" se destruirán mutuamente. Súmalo y obtén:

Resolvamos la construcción más simple:

Genial, encontramos la "x". ¿Qué debemos hacer con él ahora? Tenemos derecho a sustituirlo en cualquiera de las ecuaciones. Sustituyamos en el primero:

\[-4y=12\izquierda| :\izquierda(-4 \derecha) \derecha.\]

Respuesta: $\izquierda(2;-3 \derecha)$.

Problema número 2

\[\left\( \begin(align)& -6x+y=21 \\& 6x-11y=-51 \\\end(align) \right.\]

La situación aquí es completamente similar, sólo que con las "X". Sumemos:

Tenemos la ecuación lineal más simple, resolvámosla:

Ahora encontremos $x$:

Respuesta: $\izquierda(-3;3 \derecha)$.

Puntos importantes

Entonces, acabamos de resolver dos sistemas simples de ecuaciones lineales usando el método de la suma. Puntos clave nuevamente:

1. Si hay coeficientes opuestos para una de las variables, entonces es necesario sumar todas las variables de la ecuación. En este caso, uno de ellos será destruido.
2. Sustituimos la variable encontrada en cualquiera de las ecuaciones del sistema para encontrar la segunda.
3. El registro de respuesta final se puede presentar de diferentes formas. Por ejemplo, así - $x=...,y=...$, o en forma de coordenadas de puntos - $\left(...;... \right)$. Es preferible la segunda opción. Lo principal que hay que recordar es que la primera coordenada es $x$ y la segunda es $y$.
4. La regla de escribir la respuesta en forma de coordenadas de puntos no siempre es aplicable. Por ejemplo, no se puede utilizar cuando las variables no son $x$ e $y$, sino, por ejemplo, $a$ y $b$.

En los siguientes problemas consideraremos la técnica de la resta cuando los coeficientes no son opuestos.

Resolver problemas fáciles usando el método de resta.

Tarea número 1

\[\left\( \begin(align)& 10x-3y=5 \\& -6x-3y=-27 \\\end(align) \right.\]

Tenga en cuenta que aquí no hay coeficientes opuestos, pero sí idénticos. Por tanto, restamos la segunda de la primera ecuación:

Ahora sustituimos el valor $x$ en cualquiera de las ecuaciones del sistema. Vamos primero:

Respuesta: $\izquierda(2;5\derecha)$.

Problema número 2

\[\left\( \begin(align)& 5x+4y=-22 \\& 5x-2y=-4 \\\end(align) \right.\]

Nuevamente vemos el mismo coeficiente de $5$ para $x$ en la primera y segunda ecuación. Por lo tanto, es lógico suponer que es necesario restar la segunda de la primera ecuación:

Hemos calculado una variable. Ahora encontremos el segundo, por ejemplo, sustituyendo el valor $y$ en la segunda construcción:

Respuesta: $\izquierda(-3;-2 \derecha)$.

Matices de la solución.

Entonces ¿Qué vemos? En esencia, el esquema no difiere de la solución de los sistemas anteriores. La única diferencia es que no sumamos ecuaciones, sino que las restamos. Estamos haciendo resta algebraica.

En otras palabras, tan pronto como veas un sistema que consta de dos ecuaciones con dos incógnitas, lo primero que debes mirar son los coeficientes. Si son iguales en cualquier parte, se restan las ecuaciones, y si son opuestas, se utiliza el método de la suma. Esto siempre se hace para que una de ellas desaparezca, y en la ecuación final, que queda después de la resta, solo queda una variable.

Por supuesto, eso no es todo. Ahora consideraremos sistemas en los que las ecuaciones son generalmente inconsistentes. Aquellos. No hay en ellos variables iguales ni opuestas. En este caso, para resolver dichos sistemas se utiliza una técnica adicional, a saber, multiplicar cada una de las ecuaciones por un coeficiente especial. Cómo encontrarlo y cómo resolver dichos sistemas en general, hablaremos de esto ahora.

Resolver problemas multiplicando por un coeficiente

Ejemplo 1

\[\left\( \begin(align)& 5x-9y=38 \\& 3x+2y=8 \\\end(align) \right.\]

Vemos que ni para $x$ ni para $y$ los coeficientes no sólo son mutuamente opuestos, sino que tampoco están correlacionados de ninguna manera con la otra ecuación. Estos coeficientes no desaparecerán de ninguna manera, incluso si sumamos o restamos las ecuaciones entre sí. Por tanto, es necesario aplicar la multiplicación. Intentemos deshacernos de la variable $y$. Para ello multiplicamos la primera ecuación por el coeficiente $y$ de la segunda ecuación, y la segunda ecuación por el coeficiente $y$ de la primera ecuación, sin tocar el signo. Multiplicamos y obtenemos un nuevo sistema:

\[\left\( \begin(align)& 10x-18y=76 \\& 27x+18y=72 \\\end(align) \right.\]

Veámoslo: en $y$ los coeficientes son opuestos. En tal situación, es necesario utilizar el método de la suma. Agreguemos:

Ahora necesitamos encontrar $y$. Para hacer esto, sustituya $x$ en la primera expresión:

\[-9y=18\izquierda| :\izquierda(-9 \derecha) \derecha.\]

Respuesta: $\izquierda(4;-2 \derecha)$.

Ejemplo No. 2

\[\left\( \begin(align)& 11x+4y=-18 \\& 13x-6y=-32 \\\end(align) \right.\]

Nuevamente, los coeficientes de ninguna de las variables son consistentes. Multipliquemos por los coeficientes de $y$:

\[\left\( \begin(align)& 11x+4y=-18\left| 6 \right. \\& 13x-6y=-32\left| 4 \right. \\\end(align) \right .\]

\[\left\( \begin(align)& 66x+24y=-108 \\& 52x-24y=-128 \\\end(align) \right.\]

Nuestro nuevo sistema es equivalente al anterior, pero los coeficientes de $y$ son mutuamente opuestos, y por lo tanto es fácil aplicar el método de la suma aquí:

Ahora encontremos $y$ sustituyendo $x$ en la primera ecuación:

Respuesta: $\izquierda(-2;1 \derecha)$.

Matices de la solución.

La regla clave aquí es la siguiente: siempre multiplicamos solo por números positivos; esto le evitará errores estúpidos y ofensivos asociados con el cambio de signos. En general, el esquema de solución es bastante sencillo:

1. Observamos el sistema y analizamos cada ecuación.
2. Si vemos que ni $y$ ni $x$ los coeficientes son consistentes, es decir no son iguales ni opuestos, luego hacemos lo siguiente: seleccionamos la variable de la que necesitamos deshacernos y luego miramos los coeficientes de estas ecuaciones. Si multiplicamos la primera ecuación por el coeficiente de la segunda, y la segunda, respectivamente, la multiplicamos por el coeficiente de la primera, al final obtendremos un sistema que es completamente equivalente al anterior, y los coeficientes de $ y$ será consistente. Todas nuestras acciones o transformaciones tienen como objetivo únicamente conseguir una variable en una ecuación.
3. Encontramos una variable.
4. Sustituimos la variable encontrada en una de las dos ecuaciones del sistema y encontramos la segunda.
5. Escribimos la respuesta en forma de coordenadas de puntos si tenemos las variables $x$ e $y$.

Pero incluso un algoritmo tan simple tiene sus propias sutilezas, por ejemplo, los coeficientes $x$ o $y$ pueden ser fracciones y otros números "feos". Ahora consideraremos estos casos por separado, porque en ellos puede actuar de manera algo diferente que según el algoritmo estándar.

Resolver problemas con fracciones

Ejemplo 1

\[\left\( \begin(align)& 4m-3n=32 \\& 0.8m+2.5n=-6 \\\end(align) \right.\]

Primero, observa que la segunda ecuación contiene fracciones. Pero tenga en cuenta que puede dividir $4$ por $0,8$. Recibiremos $5$. Multipliquemos la segunda ecuación por $5$:

\[\left\( \begin(align)& 4m-3n=32 \\& 4m+12.5m=-30 \\\end(align) \right.\]

Restamos las ecuaciones entre sí:

Encontramos $n$, ahora contemos $m$:

Respuesta: $n=-4;m=5$

Ejemplo No. 2

\[\left\( \begin(align)& 2.5p+1.5k=-13\left| 4 \right. \\& 2p-5k=2\left| 5 \right. \\\end(align )\ bien.\]

Aquí, como en el sistema anterior, hay coeficientes fraccionarios, pero para ninguna de las variables los coeficientes encajan entre sí un número entero de veces. Por tanto, utilizamos el algoritmo estándar. Deshazte de $p$:

\[\left\( \begin(align)& 5p+3k=-26 \\& 5p-12.5k=5 \\\end(align) \right.\]

Usamos el método de resta:

Encontremos $p$ sustituyendo $k$ en la segunda construcción:

Respuesta: $p=-4;k=-2$.

Matices de la solución.

Eso es todo optimización. En la primera ecuación, no multiplicamos por nada en absoluto, sino que multiplicamos la segunda ecuación por $5$. Como resultado, obtuvimos una ecuación consistente e incluso idéntica para la primera variable. En el segundo sistema seguimos un algoritmo estándar.

Pero, ¿cómo encuentras los números por los cuales multiplicar las ecuaciones? Después de todo, si multiplicamos por fracciones, obtenemos nuevas fracciones. Por lo tanto, las fracciones deben multiplicarse por un número que daría un nuevo número entero, y luego las variables deben multiplicarse por coeficientes, siguiendo el algoritmo estándar.

Para concluir, me gustaría llamar su atención sobre el formato de registro de la respuesta. Como ya dije, como aquí no tenemos $x$ e $y$, sino otros valores, usamos una notación no estándar de la forma:

Resolver sistemas complejos de ecuaciones.

Como nota final del vídeo tutorial de hoy, veamos un par de sistemas realmente complejos. Su complejidad consistirá en que tendrán variables tanto a izquierda como a derecha. Por tanto, para solucionarlos tendremos que aplicar preprocesamiento.

Sistema nº 1

\[\left\( \begin(align)& 3\left(2x-y \right)+5=-2\left(x+3y ​​\right)+4 \\& 6\left(y+1 \right )-1=5\left(2x-1 \right)+8 \\\end(align) \right.\]

Cada ecuación conlleva una cierta complejidad. Por lo tanto, tratemos cada expresión como si fuera una construcción lineal regular.

En total obtenemos el sistema final, que es equivalente al original:

\[\left\( \begin(align)& 8x+3y=-1 \\& -10x+6y=-2 \\\end(align) \right.\]

Veamos los coeficientes de $y$: $3$ cabe en $6$ dos veces, así que multipliquemos la primera ecuación por $2$:

\[\left\( \begin(align)& 16x+6y=-2 \\& -10+6y=-2 \\\end(align) \right.\]

Los coeficientes de $y$ ahora son iguales, por lo que restamos el segundo de la primera ecuación: $$

Ahora encontremos $y$:

Respuesta: $\left(0;-\frac(1)(3) \right)$

Sistema nº 2

\[\left\( \begin(align)& 4\left(a-3b \right)-2a=3\left(b+4 \right)-11 \\& -3\left(b-2a \right) )-12=2\left(a-5 \right)+b \\\end(align) \right.\]

Transformemos la primera expresión:

Ocupémonos del segundo:

\[-3\left(b-2a \right)-12=2\left(a-5 \right)+b\]

\[-3b+6a-12=2a-10+b\]

\[-3b+6a-2a-b=-10+12\]

En total, nuestro sistema inicial tomará la siguiente forma:

\[\left\( \begin(align)& 2a-15b=1 \\& 4a-4b=2 \\\end(align) \right.\]

Al observar los coeficientes de $a$, vemos que la primera ecuación debe multiplicarse por $2$:

\[\left\( \begin(align)& 4a-30b=2 \\& 4a-4b=2 \\\end(align) \right.\]

Resta la segunda de la primera construcción:

Ahora encontremos $a$:

Respuesta: $\left(a=\frac(1)(2);b=0 \right)$.

Eso es todo. Espero que este video tutorial te ayude a comprender este difícil tema, es decir, la resolución de sistemas de ecuaciones lineales simples. Habrá muchas más lecciones sobre este tema en el futuro: veremos ejemplos más complejos, donde habrá más variables y las ecuaciones en sí serán no lineales. ¡Hasta luego!

Los sistemas de ecuaciones se utilizan ampliamente en el sector económico para la modelización matemática de diversos procesos. Por ejemplo, a la hora de resolver problemas de gestión y planificación de la producción, rutas logísticas (problema de transporte) o colocación de equipos.

Los sistemas de ecuaciones se utilizan no sólo en matemáticas, sino también en física, química y biología, para resolver problemas de búsqueda del tamaño de una población.

Un sistema de ecuaciones lineales son dos o más ecuaciones con varias variables para las cuales es necesario encontrar una solución común. Tal secuencia de números para la cual todas las ecuaciones se convierten en verdaderas igualdades o prueban que la secuencia no existe.

Ecuación lineal

Las ecuaciones de la forma ax+by=c se llaman lineales. Las designaciones x, y son las incógnitas cuyo valor se debe encontrar, b, a son los coeficientes de las variables, c es el término libre de la ecuación.
Resolver una ecuación graficandola se verá como una línea recta, cuyos puntos son soluciones del polinomio.

Tipos de sistemas de ecuaciones lineales.

Se considera que los ejemplos más simples son sistemas de ecuaciones lineales con dos variables X e Y.

F1(x, y) = 0 y F2(x, y) = 0, donde F1,2 son funciones y (x, y) son variables de función.

Resolver sistema de ecuaciones. - esto significa encontrar valores (x, y) en los que el sistema se convierte en una verdadera igualdad o establecer que no existen valores adecuados de xey.

Un par de valores (x, y), escritos como las coordenadas de un punto, se denomina solución de un sistema de ecuaciones lineales.

Si los sistemas tienen una solución común o no existe ninguna solución, se llaman equivalentes.

Los sistemas homogéneos de ecuaciones lineales son sistemas cuyo lado derecho es igual a cero. Si la parte derecha después del signo igual tiene un valor o se expresa mediante una función, dicho sistema es heterogéneo.

El número de variables puede ser mucho mayor que dos, entonces deberíamos hablar de un ejemplo de un sistema de ecuaciones lineales con tres o más variables.

Ante los sistemas, los escolares suponen que el número de ecuaciones debe coincidir necesariamente con el número de incógnitas, pero no es así. El número de ecuaciones en el sistema no depende de las variables; puede haber tantas como se desee.

Métodos simples y complejos para resolver sistemas de ecuaciones.

No existe un método analítico general para resolver tales sistemas; todos los métodos se basan en soluciones numéricas. El curso de matemáticas de la escuela describe en detalle métodos como la permutación, la suma algebraica, la sustitución, así como los métodos gráficos y matriciales y la solución mediante el método gaussiano.

La tarea principal al enseñar métodos de solución es enseñar cómo analizar correctamente el sistema y encontrar el algoritmo de solución óptimo para cada ejemplo. Lo principal no es memorizar un sistema de reglas y acciones para cada método, sino comprender los principios del uso de un método en particular.

Resolver ejemplos de sistemas de ecuaciones lineales en el plan de estudios de educación general de séptimo grado es bastante simple y se explica con gran detalle. En cualquier libro de texto de matemáticas, esta sección recibe suficiente atención. La resolución de ejemplos de sistemas de ecuaciones lineales mediante el método de Gauss y Cramer se estudia con más detalle en los primeros años de educación superior.

Resolver sistemas mediante el método de sustitución.

Las acciones del método de sustitución tienen como objetivo expresar el valor de una variable en términos de la segunda. La expresión se sustituye en la ecuación restante y luego se reduce a una forma con una variable. La acción se repite dependiendo del número de incógnitas en el sistema.

Demos una solución a un ejemplo de un sistema de ecuaciones lineales de clase 7 usando el método de sustitución:

Como puede verse en el ejemplo, la variable x se expresó mediante F(X) = 7 + Y. La expresión resultante, sustituida en la segunda ecuación del sistema en lugar de X, ayudó a obtener una variable Y en la segunda ecuación. . Resolver este ejemplo es fácil y le permite obtener el valor de Y. El último paso es verificar los valores obtenidos.

No siempre es posible resolver un ejemplo de un sistema de ecuaciones lineales mediante sustitución. Las ecuaciones pueden ser complejas y expresar la variable en términos de la segunda incógnita será demasiado engorroso para realizar más cálculos. Cuando hay más de 3 incógnitas en el sistema, resolver por sustitución tampoco es apropiado.

Solución de un ejemplo de un sistema de ecuaciones lineales no homogéneas:

Solución usando suma algebraica

Cuando se buscan soluciones a sistemas utilizando el método de la suma, las ecuaciones se suman término por término y se multiplican por varios números. El objetivo final de las operaciones matemáticas es una ecuación en una variable.

La aplicación de este método requiere práctica y observación. Resolver un sistema de ecuaciones lineales mediante el método de la suma cuando hay 3 o más variables no es fácil. La suma algebraica es conveniente cuando las ecuaciones contienen fracciones y decimales.

Algoritmo de solución:

1. Multiplica ambos lados de la ecuación por un número determinado. Como resultado de la operación aritmética, uno de los coeficientes de la variable debería ser igual a 1.
2. Suma la expresión resultante término por término y encuentra una de las incógnitas.
3. Sustituye el valor resultante en la segunda ecuación del sistema para encontrar la variable restante.

Método de solución introduciendo una nueva variable.

Se puede introducir una nueva variable si el sistema requiere encontrar una solución para no más de dos ecuaciones; el número de incógnitas tampoco debe ser superior a dos.

El método se utiliza para simplificar una de las ecuaciones introduciendo una nueva variable. La nueva ecuación se resuelve para la incógnita introducida y el valor resultante se utiliza para determinar la variable original.

El ejemplo muestra que al introducir una nueva variable t, fue posible reducir la primera ecuación del sistema a un trinomio cuadrático estándar. Puedes resolver un polinomio encontrando el discriminante.

Es necesario encontrar el valor del discriminante utilizando la conocida fórmula: D = b2 - 4*a*c, donde D es el discriminante deseado, b, a, c son los factores del polinomio. En el ejemplo dado, a=1, b=16, c=39, por lo tanto D=100. Si el discriminante es mayor que cero, entonces hay dos soluciones: t = -b±√D / 2*a, si el discriminante es menor que cero, entonces hay una solución: x = -b / 2*a.

La solución de los sistemas resultantes se encuentra mediante el método de la suma.

Método visual para resolver sistemas.

Adecuado para sistemas de 3 ecuaciones. El método consiste en construir gráficas de cada ecuación incluida en el sistema sobre el eje de coordenadas. Las coordenadas de los puntos de intersección de las curvas serán la solución general del sistema.

El método gráfico tiene varios matices. Veamos varios ejemplos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales de forma visual.

Como se puede ver en el ejemplo, para cada línea se construyeron dos puntos, los valores de la variable x se eligieron arbitrariamente: 0 y 3. Con base en los valores de x, se encontraron los valores de y: 3 y 0. Los puntos con coordenadas (0, 3) y (3, 0) se marcaron en el gráfico y se conectaron mediante una línea.

Los pasos deben repetirse para la segunda ecuación. El punto de intersección de las rectas es la solución del sistema.

El siguiente ejemplo requiere encontrar una solución gráfica a un sistema de ecuaciones lineales: 0,5x-y+2=0 y 0,5x-y-1=0.

Como se puede ver en el ejemplo, el sistema no tiene solución, porque las gráficas son paralelas y no se cruzan en toda su longitud.

Los sistemas de los ejemplos 2 y 3 son similares, pero cuando se construyen resulta obvio que sus soluciones son diferentes. Cabe recordar que no siempre es posible decir si un sistema tiene solución o no; siempre es necesario construir una gráfica.

La matriz y sus variedades.

Las matrices se utilizan para escribir de forma concisa un sistema de ecuaciones lineales. Una matriz es un tipo especial de tabla llena de números. n*m tiene n - filas ym - columnas.

Una matriz es cuadrada cuando el número de columnas y filas es igual. Una matriz-vector es una matriz de una columna con un número infinito de filas. Una matriz con unos a lo largo de una de las diagonales y otros elementos cero se llama identidad.

Una matriz inversa es una matriz que, cuando se multiplica, la original se convierte en una matriz unitaria; dicha matriz existe sólo para la matriz cuadrada original;

Reglas para convertir un sistema de ecuaciones en una matriz.

En relación con los sistemas de ecuaciones, los coeficientes y los términos libres de las ecuaciones se escriben como números matriciales; una ecuación es una fila de la matriz.

Se dice que una fila de una matriz es distinta de cero si al menos un elemento de la fila no es cero. Por lo tanto, si en alguna de las ecuaciones el número de variables difiere, entonces es necesario ingresar cero en lugar de la incógnita que falta.

Las columnas de la matriz deben corresponder estrictamente a las variables. Esto significa que los coeficientes de la variable x se pueden escribir solo en una columna, por ejemplo en la primera, el coeficiente de la desconocida y solo en la segunda.

Al multiplicar una matriz, todos los elementos de la matriz se multiplican secuencialmente por un número.

Opciones para encontrar la matriz inversa.

La fórmula para encontrar la matriz inversa es bastante simple: K -1 = 1 / |K|, donde K -1 es la matriz inversa y |K| es el determinante de la matriz. |K| no debe ser igual a cero, entonces el sistema tiene solución.

El determinante se calcula fácilmente para una matriz de dos por dos; sólo necesitas multiplicar los elementos de la diagonal entre sí. Para la opción “tres por tres”, existe una fórmula |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 segundo 2 do 1 . Puede usar la fórmula o recordar que debe tomar un elemento de cada fila y de cada columna para que los números de columnas y filas de elementos no se repitan en el trabajo.

Resolver ejemplos de sistemas de ecuaciones lineales usando el método matricial.

El método matricial para encontrar una solución le permite reducir las entradas engorrosas al resolver sistemas con una gran cantidad de variables y ecuaciones.

En el ejemplo, a nm son los coeficientes de las ecuaciones, la matriz es un vector x n son variables y b n son términos libres.

Resolver sistemas mediante el método gaussiano.

En matemáticas superiores, el método gaussiano se estudia junto con el método de Cramer, y el proceso de encontrar soluciones a sistemas se denomina método de solución de Gauss-Cramer. Estos métodos se utilizan para encontrar variables de sistemas con una gran cantidad de ecuaciones lineales.

El método de Gauss es muy similar a las soluciones por sustitución y suma algebraica, pero es más sistemático. En el curso escolar se utiliza la solución por el método gaussiano para sistemas de 3 y 4 ecuaciones. El objetivo del método es reducir el sistema a la forma de un trapezoide invertido. Mediante transformaciones y sustituciones algebraicas se encuentra el valor de una variable en una de las ecuaciones del sistema. La segunda ecuación es una expresión con 2 incógnitas, mientras que 3 y 4 son, respectivamente, con 3 y 4 variables.

Después de llevar el sistema a la forma descrita, la solución adicional se reduce a la sustitución secuencial de variables conocidas en las ecuaciones del sistema.

En los libros de texto escolares para el séptimo grado, un ejemplo de una solución mediante el método de Gauss se describe a continuación:

Como se puede ver en el ejemplo, en el paso (3) se obtuvieron dos ecuaciones: 3x 3 -2x 4 =11 y 3x 3 +2x 4 =7. Resolver cualquiera de las ecuaciones te permitirá encontrar una de las variables x n.

El teorema 5, que se menciona en el texto, establece que si una de las ecuaciones del sistema se reemplaza por una equivalente, entonces el sistema resultante también será equivalente al original.

El método gaussiano es difícil de entender para los estudiantes de secundaria, pero es una de las formas más interesantes de desarrollar el ingenio de los niños matriculados en programas de aprendizaje avanzado en clases de matemáticas y física.

Para facilitar el registro, los cálculos generalmente se realizan de la siguiente manera:

Los coeficientes de las ecuaciones y términos libres se escriben en forma de matriz, donde cada fila de la matriz corresponde a una de las ecuaciones del sistema. separa el lado izquierdo de la ecuación del derecho. Los números romanos indican el número de ecuaciones del sistema.

Primero se escribe la matriz a trabajar, luego todas las acciones realizadas con una de las filas. La matriz resultante se escribe después del signo de "flecha" y se continúan las operaciones algebraicas necesarias hasta lograr el resultado.

El resultado debe ser una matriz en la que una de las diagonales sea igual a 1 y todos los demás coeficientes sean iguales a cero, es decir, la matriz se reduce a una forma unitaria. No debemos olvidarnos de realizar cálculos con números a ambos lados de la ecuación.

Este método de grabación es menos engorroso y permite no distraerse enumerando numerosas incógnitas.

El uso gratuito de cualquier método de solución requerirá cuidado y cierta experiencia. No todos los métodos son de naturaleza aplicada. Algunos métodos para encontrar soluciones son más preferibles en un área particular de la actividad humana, mientras que otros existen con fines educativos.

OGBOU "Centro de educación para niños con necesidades educativas especiales en Smolensk"

Centro de Educación a Distancia

Lección de álgebra en séptimo grado.

Tema de la lección: Método de suma algebraica.

1. 1. Tipo de lección: Lección de presentación inicial de nuevos conocimientos.

Objetivo de la lección: controlar el nivel de adquisición de conocimientos y habilidades en la resolución de sistemas de ecuaciones utilizando el método de sustitución; desarrollar habilidades y destrezas para resolver sistemas de ecuaciones mediante la suma.

Objetivos de la lección:

Asunto: aprender a resolver sistemas de ecuaciones con dos variables mediante el método de la suma.

Metasujeto: UUD cognitivo: analizar (resaltar lo principal), definir conceptos, generalizar, sacar conclusiones. UUD regulatorio: determinar el objetivo, problema en las actividades educativas. UUD comunicativa: expresa tu opinión, razonando la misma. UUD personales: f formar una motivación positiva para el aprendizaje, crear una actitud emocional positiva del estudiante hacia la lección y la materia.

Forma de trabajo: individual

Pasos de la lección:

1) Etapa organizativa.

organizar el trabajo del estudiante sobre el tema mediante la creación de una actitud hacia la integridad del pensamiento y la comprensión de este tema.

2. Cuestionar al estudiante sobre el material asignado para la tarea, actualizando conocimientos.

Propósito: evaluar los conocimientos adquiridos por el estudiante durante la tarea, identificar errores y trabajar en ellos. Revisa el material de la lección anterior.

3. Estudiar material nuevo.

1). desarrollar la capacidad de resolver sistemas de ecuaciones lineales mediante el método de la suma;

2). desarrollar y mejorar el conocimiento existente en nuevas situaciones;

3). cultivar habilidades de control y autocontrol, desarrollar la independencia.

http://zhakulina20090612.blogspot.ru/2011/06/blog-post_25.html

Objetivo: preservar la visión, aliviar la fatiga ocular mientras se trabaja en clase.

5. Consolidación del material estudiado.

Finalidad: poner a prueba los conocimientos, destrezas y habilidades adquiridos en la lección.

6. Resumen de la lección, información sobre los deberes, reflexión.

Progreso de la lección (trabajando en un documento electrónico de Google):

1. Hoy quería empezar la lección con el acertijo filosófico de Walter.

¿Cuál es el más rápido, pero también el más lento, el más grande, pero también el más pequeño, el más largo y el más corto, el más caro, pero también el más barato para nosotros?

Tiempo

Recordemos los conceptos básicos sobre el tema:

Ante nosotros hay un sistema de dos ecuaciones.

Recordemos cómo resolvimos sistemas de ecuaciones en la última lección.

Método de sustitución

Una vez más, presta atención al sistema resuelto y dime ¿por qué no podemos resolver cada ecuación del sistema sin recurrir al método de sustitución?

Porque estas son ecuaciones de un sistema con dos variables. Podemos resolver ecuaciones con una sola variable.

Sólo obteniendo una ecuación con una variable pudimos resolver el sistema de ecuaciones.

3. Procedemos a resolver el siguiente sistema:

Elijamos una ecuación en la que conviene expresar una variable a través de otra.

No existe tal ecuación.

Aquellos. En esta situación, el método previamente estudiado no nos conviene. ¿Cuál es la salida a esta situación?

Encuentra un nuevo método.

Intentemos formular el propósito de la lección.

Aprende a resolver sistemas usando un nuevo método.

¿Qué debemos hacer para aprender a resolver sistemas usando un nuevo método?

conocer las reglas (algoritmo) para resolver un sistema de ecuaciones, completar tareas prácticas

Comencemos a desarrollar un nuevo método.

Preste atención a la conclusión que llegamos después de resolver el primer sistema. Fue posible resolver el sistema solo después de obtener una ecuación lineal con una variable.

Mira el sistema de ecuaciones y piensa en cómo obtener una ecuación con una variable a partir de dos ecuaciones dadas.

Suma las ecuaciones.

¿Qué significa sumar ecuaciones?

Componga por separado la suma de los lados izquierdos, la suma de los lados derechos de las ecuaciones e iguale las sumas resultantes.

Intentemos. Trabajamos juntos conmigo.

13x+14x+17y-17y=43+11

Hemos obtenido una ecuación lineal con una variable.

¿Has resuelto el sistema de ecuaciones?

La solución del sistema es un par de números.

¿Cómo encontrar y?

Sustituye el valor encontrado de x en la ecuación del sistema.

¿Importa en qué ecuación sustituimos el valor de x?

Esto significa que el valor encontrado de x se puede sustituir en...

cualquier ecuación del sistema.

Nos familiarizamos con un nuevo método: el método de suma algebraica.

Mientras resolvíamos el sistema, discutimos el algoritmo para resolver el sistema usando este método.

Hemos revisado el algoritmo. Ahora apliquémoslo a la resolución de problemas.

La capacidad de resolver sistemas de ecuaciones puede resultar útil en la práctica.

Consideremos el problema:

La finca tiene gallinas y ovejas. ¿Cuántos de ambos hay si juntos tienen 19 cabezas y 46 patas?

Sabiendo que hay 19 gallinas y ovejas en total, creemos la primera ecuación: x + y = 19

4x - el número de patas de oveja

2у - número de patas en pollos

Sabiendo que solo hay 46 catetos, creemos la segunda ecuación: 4x + 2y = 46

Creemos un sistema de ecuaciones:

Resolvamos el sistema de ecuaciones usando el algoritmo de solución usando el método de la suma.

¡Problema! ¡Los coeficientes delante de xey no son iguales ni opuestos! ¿Qué hacer?

¡Veamos otro ejemplo!

Agreguemos un paso más a nuestro algoritmo y pongámoslo en primer lugar: si los coeficientes delante de las variables no son iguales ni opuestos, entonces necesitamos igualar los módulos para alguna variable. Y luego actuaremos según el algoritmo.

4. Entrenamiento físico electrónico para los ojos: http://zhakulina20090612.blogspot.ru/2011/06/blog-post_25.html

5. Completamos el problema mediante el método de la suma algebraica, habiendo consolidado el nuevo material y averiguando cuántas gallinas y ovejas había en la granja.

Tareas adicionales:

6.

Reflexión.

Doy una nota por mi trabajo en clase -...

6. Recursos de Internet utilizados:

Servicios de Google para la educación.

La profesora de matemáticas Sokolova N.N.