En un centro comercial, dos máquinas idénticas venden café. Las máquinas reciben servicio por las tardes después del cierre del centro. Se sabe que la probabilidad del evento “Por la tarde la primera máquina se quedará sin café” es de 0,25. La probabilidad del evento “Por la tarde la segunda máquina se quedará sin café” es la misma. La probabilidad de que ambas máquinas se queden sin café al anochecer es de 0,15. Encuentre la probabilidad de que al anochecer quede café en ambas máquinas.
Solución.
Considere los eventos
A = el café se acabará en la primera máquina,
B = el café se acabará en la segunda máquina.
A·B = el café se acabará en ambas máquinas,
A + B = el café se acabará en al menos una máquina.
Por condición P(A) = P(B) = 0,25; P(A·B) = 0,15.
Los eventos A y B son conjuntos, la probabilidad de la suma de dos eventos conjuntos es igual a la suma de las probabilidades de estos eventos, reducida por la probabilidad de su producto:
P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A B) = 0,25 + 0,25 − 0,15 = 0,35.
Por tanto, la probabilidad del suceso contrario, que el café quede en ambas máquinas, es 1 − 0,35 = 0,65.
Respuesta: 0,65.
Demos otra solución.
La probabilidad de que el café quede en la primera máquina es 1 − 0,25 = 0,75. La probabilidad de que el café quede en la segunda máquina es 1 − 0,25 = 0,75. La probabilidad de que el café quede en la primera o segunda máquina es 1 − 0,15 = 0,85. Como P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A B), tenemos: 0,85 = 0,75 + 0,75 − incógnita, ¿de dónde viene la probabilidad requerida? incógnita = 0,65.
Nota.
Tenga en cuenta que los eventos A y B no son independientes. En efecto, la probabilidad de producir eventos independientes sería igual al producto de las probabilidades de estos eventos: P(A·B) = 0,25·0,25 = 0,0625, sin embargo, según la condición, esta probabilidad es igual a 0,15.
Elena Alexandrovna Popova 10.10.2018 09:57
Yo, profesor asociado, candidato de ciencias pedagógicas, considero COMPLETAMENTE ESTÚPIDO Y RIDÍCULO INCLUIR TAREAS EN EVENTOS DEPENDIENTES PARA ESCOLARES. Los profesores NO CONOCEN esta sección: me invitaron a dar conferencias por televisión en cursos de formación de profesores. Esta sección no está ni puede estar en el programa. NO HAY NECESIDAD de inventar métodos sin justificación. Las TAREAS de este tipo pueden simplemente eliminarse. Limítese a la DEFINICIÓN CLÁSICA DE PROBABILIDADES. E incluso entonces, primero estudie los libros de texto escolares y vea lo que los autores escribieron al respecto. Mire el quinto grado de Zubareva. Ni siquiera conoce los símbolos y da la probabilidad en porcentaje. Después de aprender de estos libros de texto, los estudiantes todavía creen que la probabilidad es un porcentaje. Hay muchos problemas interesantes sobre la determinación clásica de probabilidades. Esto es lo que los escolares deben preguntarse. No hay límite para la indignación de los profesores universitarios por SU estupidez al introducir tales tareas.
Los acontecimientos que suceden en la realidad o en nuestra imaginación se pueden dividir en 3 grupos. Estos son ciertos eventos que definitivamente sucederán, eventos imposibles y eventos aleatorios. La teoría de la probabilidad estudia eventos aleatorios, es decir. acontecimientos que pueden suceder o no. Este artículo presentará brevemente la teoría de fórmulas de probabilidad y ejemplos de resolución de problemas en teoría de probabilidad, que estarán en la tarea 4 del Examen Estatal Unificado de Matemáticas (nivel de perfil).
¿Por qué necesitamos la teoría de la probabilidad?
Históricamente, la necesidad de estudiar estos problemas surgió en el siglo XVII en relación con el desarrollo y profesionalización del juego y la aparición de los casinos. Este fue un fenómeno real que requirió su propio estudio e investigación.
Los juegos de cartas, los dados y la ruleta crearon situaciones en las que podía ocurrir cualquiera de un número finito de eventos igualmente posibles. Era necesario dar estimaciones numéricas de la posibilidad de que se produjera un acontecimiento determinado.
En el siglo XX quedó claro que esta ciencia aparentemente frívola desempeña un papel importante en la comprensión de los procesos fundamentales que ocurren en el microcosmos. Se creó la teoría moderna de la probabilidad.
Conceptos básicos de la teoría de la probabilidad.
El objeto de estudio de la teoría de la probabilidad son los eventos y sus probabilidades. Si un evento es complejo, entonces se puede dividir en componentes simples, cuyas probabilidades son fáciles de encontrar.
La suma de los eventos A y B se llama evento C, que consiste en el hecho de que el evento A, o el evento B, o los eventos A y B ocurrieron simultáneamente.
El producto de los eventos A y B es un evento C, lo que significa que ocurrieron tanto el evento A como el evento B.
Los eventos A y B se llaman incompatibles si no pueden ocurrir simultáneamente.
Un evento A se dice imposible si no puede suceder. Tal evento está indicado por el símbolo.
Un evento A se llama cierto si es seguro que sucederá. Tal evento está indicado por el símbolo.
Sea cada evento A asociado con un número P(A). Este número P(A) se llama probabilidad del evento A si se cumplen las siguientes condiciones con esta correspondencia.
Un caso especial importante es la situación en la que hay resultados elementales igualmente probables, y cualquiera de estos resultados forma los eventos A. En este caso, la probabilidad se puede ingresar mediante la fórmula. La probabilidad introducida de esta manera se llama probabilidad clásica. Se puede demostrar que en este caso se satisfacen las propiedades 1-4.
Los problemas de teoría de la probabilidad que aparecen en el Examen Estatal Unificado de Matemáticas están relacionados principalmente con la probabilidad clásica. Estas tareas pueden ser muy sencillas. Los problemas de la teoría de la probabilidad en versiones demostrativas son especialmente simples. Es fácil calcular el número de resultados favorables; el número de todos los resultados está escrito directamente en la condición.
Obtenemos la respuesta usando la fórmula.
Un ejemplo de un problema del Examen Estatal Unificado de Matemáticas sobre la determinación de la probabilidad
Hay 20 pasteles sobre la mesa: 5 con repollo, 7 con manzanas y 8 con arroz. Marina quiere quedarse con el pastel. ¿Cuál es la probabilidad de que se lleve el pastel de arroz?
Solución.
Hay 20 resultados elementales igualmente probables, es decir, Marina puede tomar cualquiera de los 20 pasteles. Pero necesitamos estimar la probabilidad de que Marina se lleve el pastel de arroz, es decir, donde A es la elección del pastel de arroz. Esto significa que solo tenemos 8 resultados favorables (eligiendo pasteles de arroz). Entonces la probabilidad estará determinada por la fórmula:
Eventos independientes, opuestos y arbitrarios
Sin embargo, comenzaron a encontrarse tareas más complejas en el banco de tareas abierto. Por lo tanto, llamemos la atención del lector sobre otras cuestiones estudiadas en la teoría de la probabilidad.
Se dice que los eventos A y B son independientes si la probabilidad de cada uno no depende de si ocurre o no el otro evento.
El evento B es que el evento A no sucedió, es decir el evento B es opuesto al evento A. La probabilidad del evento opuesto es igual a uno menos la probabilidad del evento directo, es decir .
Teoremas y fórmulas de probabilidad de suma y multiplicación.
Para eventos arbitrarios A y B, la probabilidad de la suma de estos eventos es igual a la suma de sus probabilidades sin la probabilidad de su evento conjunto, es decir .
Para eventos independientes A y B, la probabilidad de que ocurran estos eventos es igual al producto de sus probabilidades, es decir en este caso .
Las dos últimas afirmaciones se denominan teoremas de suma y multiplicación de probabilidades.
Contar el número de resultados no siempre es tan sencillo. En algunos casos es necesario utilizar fórmulas combinatorias. Lo más importante es contar el número de eventos que cumplen determinadas condiciones. En ocasiones, este tipo de cálculos pueden convertirse en tareas independientes.
¿De cuántas maneras se pueden sentar 6 estudiantes en 6 asientos vacíos? El primer alumno ocupará cualquiera de las 6 plazas. Cada una de estas opciones corresponde a 5 formas para que el segundo alumno ocupe una plaza. Quedan 4 plazas libres para el tercer alumno, 3 para el cuarto, 2 para el quinto y el sexto ocupará la única plaza restante. Para encontrar el número de todas las opciones, debe encontrar el producto, que se indica con el símbolo 6. y dice "seis factorial".
En el caso general, la respuesta a esta pregunta viene dada por la fórmula para el número de permutaciones de n elementos.
Consideremos ahora otro caso con nuestros estudiantes. ¿De cuántas maneras se pueden sentar 2 estudiantes en 6 asientos vacíos? El primer alumno ocupará cualquiera de las 6 plazas. Cada una de estas opciones corresponde a 5 formas para que el segundo alumno ocupe una plaza. Para encontrar el número de todas las opciones, necesita encontrar el producto.
En general, la respuesta a esta pregunta viene dada por la fórmula para el número de ubicaciones de n elementos sobre k elementos
En nuestro caso.
Y el último caso de esta serie. ¿De cuántas maneras puedes elegir 3 estudiantes de 6? El primer alumno se puede seleccionar de 6 formas, el segundo de 5 formas y el tercero de cuatro. Pero entre estas opciones, los mismos tres alumnos aparecen 6 veces. Para encontrar el número de todas las opciones, debe calcular el valor: . En general, la respuesta a esta pregunta viene dada por la fórmula para el número de combinaciones de elementos por elemento:
En nuestro caso.
Ejemplos de resolución de problemas del Examen Estatal Unificado de Matemáticas para determinar la probabilidad
Tarea 1. De la colección editada por. Yáshchenko.
Hay 30 pasteles en el plato: 3 de carne, 18 de repollo y 9 de cerezas. Sasha elige un pastel al azar. Calcula la probabilidad de que termine con una cereza.
.
Respuesta: 0,3.
Tarea 2. De la colección editada por. Yáshchenko.
De cada lote de 1.000 bombillas, en promedio, 20 están defectuosas. Encuentre la probabilidad de que funcione una bombilla tomada al azar de un lote.
Solución: La cantidad de bombillas que funcionan es 1000-20=980. Entonces la probabilidad de que una bombilla tomada al azar de un lote funcione:
Respuesta: 0,98.
La probabilidad de que el estudiante U. resuelva correctamente más de 9 problemas durante un examen de matemáticas es de 0,67. La probabilidad de que U resuelva correctamente más de 8 problemas es 0,73. Calcula la probabilidad de que U resuelva correctamente exactamente 9 problemas.
Si imaginamos una recta numérica y marcamos en ella los puntos 8 y 9, veremos que la condición “U. resolverá exactamente 9 problemas correctamente” está incluido en la condición “U. resolverá más de 8 problemas correctamente”, pero no aplica a la condición “U. resolverá más de 9 problemas correctamente”.
Sin embargo, la condición “U. resolverá más de 9 problemas correctamente” está contenido en la condición “U. Resolverá más de 8 problemas correctamente”. Así, si designamos eventos: “U. resolverá exactamente 9 problemas correctamente" - hasta A, "U. resolverá más de 8 problemas correctamente" - hasta B, "U. resolverá correctamente más de 9 problemas” hasta C. Esa solución se verá así:
Respuesta: 0,06.
En un examen de geometría, un estudiante responde una pregunta de una lista de preguntas del examen. La probabilidad de que se trate de una pregunta de trigonometría es 0,2. La probabilidad de que se trate de una pregunta sobre ángulos externos es 0,15. No hay preguntas que se relacionen simultáneamente con estos dos temas. Encuentre la probabilidad de que un estudiante reciba una pregunta sobre uno de estos dos temas en el examen.
Pensemos en qué eventos tenemos. Se nos presentan dos eventos incompatibles. Es decir, la pregunta se relacionará con el tema "Trigonometría" o con el tema "Ángulos externos". Según el teorema de probabilidad, la probabilidad de eventos incompatibles es igual a la suma de las probabilidades de cada evento, debemos encontrar la suma de las probabilidades de estos eventos, es decir:
Respuesta: 0,35.
La habitación está iluminada por un farol de tres lámparas. La probabilidad de que una lámpara se queme en un año es 0,29. Calcula la probabilidad de que al menos una lámpara no se queme durante el año.
Consideremos posibles eventos. Tenemos tres bombillas, cada una de las cuales puede quemarse o no independientemente de cualquier otra bombilla. Estos son eventos independientes.
Luego le indicaremos las opciones para este tipo de eventos. Utilicemos las siguientes notaciones: - la bombilla está encendida, - la bombilla está fundida. E inmediatamente a continuación calculamos la probabilidad del evento. Por ejemplo, la probabilidad de un evento en el que ocurrieron tres eventos independientes “la bombilla está fundida”, “la bombilla está encendida”, “la bombilla está encendida”: , donde la probabilidad del evento “la bombilla está encendida” está encendida” se calcula como la probabilidad del evento opuesto al evento “la bombilla no está encendida”, a saber: .
Presentados hasta la fecha en el banco abierto de problemas de matemáticas del Examen Estatal Unificado (mathege.ru), cuya solución se basa en una sola fórmula, que es la definición clásica de probabilidad.
La forma más sencilla de entender la fórmula es con ejemplos.
Ejemplo 1. Hay 9 bolas rojas y 3 bolas azules en la canasta. Las bolas se diferencian sólo en el color. Sacamos uno de ellos al azar (sin mirar). ¿Cuál es la probabilidad de que la bola elegida de esta manera sea azul?
Comentario. En los problemas de teoría de la probabilidad, sucede algo (en este caso, nuestra acción de sacar la pelota) que puede tener un resultado diferente: un desenlace. Cabe señalar que el resultado se puede considerar de diferentes maneras. “Sacamos una especie de pelota” también es un resultado. “Sacamos la bola azul”: el resultado. "Sacamos exactamente esta bola de todas las bolas posibles": esta visión menos generalizada del resultado se denomina resultado elemental. Son los resultados elementales los que se entienden en la fórmula para calcular la probabilidad.
Solución. Ahora calculemos la probabilidad de elegir la bola azul.
Evento A: “la bola seleccionada resultó ser azul”
Número total de todos los resultados posibles: 9+3=12 (el número de todas las bolas que podríamos sacar)
Número de resultados favorables para el evento A: 3 (el número de resultados en los que ocurrió el evento A, es decir, el número de bolas azules)
P(A)=3/12=1/4=0,25
Respuesta: 0,25
Para el mismo problema, calculemos la probabilidad de elegir una bola roja.
El número total de resultados posibles seguirá siendo el mismo, 12. Número de resultados favorables: 9. Probabilidad buscada: 9/12=3/4=0,75
La probabilidad de cualquier evento siempre está entre 0 y 1.
A veces, en el habla cotidiana (¡pero no en la teoría de la probabilidad!), la probabilidad de los eventos se estima como un porcentaje. La transición entre puntuaciones de matemáticas y conversación se logra multiplicando (o dividiendo) por 100%.
Entonces,
Además, la probabilidad es cero para eventos que no pueden suceder: increíble. Por ejemplo, en nuestro ejemplo esta sería la probabilidad de sacar una bola verde de la canasta. (El número de resultados favorables es 0, P(A)=0/12=0, si se calcula mediante la fórmula)
La probabilidad 1 tiene eventos que es absolutamente seguro que sucederán, sin opciones. Por ejemplo, la probabilidad de que "la bola seleccionada sea roja o azul" es para nuestra tarea. (Número de resultados favorables: 12, P(A)=12/12=1)
Analizamos un ejemplo clásico que ilustra la definición de probabilidad. Todos los problemas similares del Examen Estatal Unificado de teoría de la probabilidad se resuelven utilizando esta fórmula.
En lugar de bolas rojas y azules puede haber manzanas y peras, niños y niñas, billetes aprendidos y no aprendidos, billetes que contienen o no una pregunta sobre un tema determinado (prototipos), bolsas o bombas de jardín defectuosas y de alta calidad ( prototipos), - el principio sigue siendo el mismo.
Se diferencian ligeramente en la formulación del problema de la teoría de la probabilidad del Examen Estatal Unificado, donde es necesario calcular la probabilidad de que ocurra algún evento en un día determinado. ( , ) Como en problemas anteriores, es necesario determinar cuál es el resultado elemental y luego aplicar la misma fórmula.
Ejemplo 2. La conferencia dura tres días. En el primer y segundo día hay 15 oradores cada uno, en el tercer día, 20. ¿Cuál es la probabilidad de que el informe del profesor M. caiga en el tercer día si el orden de los informes se determina por sorteo?
¿Cuál es el resultado elemental aquí? – Asignar al informe del profesor uno de todos los números de serie posibles del discurso. En el sorteo participan 15+15+20=50 personas. Así, el informe del profesor M. podrá recibir uno de los 50 números. Esto significa que sólo hay 50 resultados elementales.
¿Cuáles son los resultados favorables? - Aquellas en las que resulta que el profesor hablará al tercer día. Es decir, los últimos 20 números.
Según la fórmula, probabilidad P(A)= 20/50=2/5=4/10=0.4
Respuesta: 0,4
El sorteo aquí representa el establecimiento de una correspondencia aleatoria entre personas y lugares ordenados. En el ejemplo 2, la coincidencia se consideró desde el punto de vista de cuál de los asientos podría ocupar una persona en particular. Puedes abordar la misma situación desde el otro lado: cuál de las personas con qué probabilidad podría llegar a un lugar específico (prototipos, , , ):
Ejemplo 3. En el sorteo participan 5 alemanes, 8 franceses y 3 estonios. ¿Cuál es la probabilidad de que el primero (/segundo/séptimo/último – no importa) sea un francés?
El número de resultados elementales es el número de todas las personas posibles que podrían llegar a un lugar determinado mediante sorteo. 5+8+3=16 personas.
Resultados favorables - francés. 8 personas.
Probabilidad requerida: 8/16=1/2=0,5
Respuesta: 0,5
El prototipo es ligeramente diferente. Todavía hay problemas con las monedas () y los dados (), que son algo más creativos. La solución a estos problemas se puede encontrar en las páginas de prototipos.
A continuación se muestran algunos ejemplos de cómo lanzar una moneda o un dado.
Ejemplo 4. Cuando lanzamos una moneda, ¿cuál es la probabilidad de que salga cara?
Hay 2 resultados: cara o cruz. (se cree que la moneda nunca cae de canto) Un resultado favorable es cruz, 1.
Probabilidad 1/2=0,5
Respuesta: 0,5.
Ejemplo 5.¿Qué pasa si lanzamos una moneda dos veces? ¿Cuál es la probabilidad de obtener cara en ambas ocasiones?
Lo principal es determinar qué resultados elementales consideraremos al lanzar dos monedas. Después de lanzar dos monedas, puede ocurrir uno de los siguientes resultados:
1) PP – ambas veces salió cara
2) PO – cara por primera vez, cara por segunda vez
3) OP – cara la primera vez, cruz la segunda vez
4) OO – salieron caras en ambas ocasiones
No hay otras opciones. Esto significa que hay 4 resultados elementales. Sólo el primero, 1, es favorable.
Probabilidad: 1/4=0,25
Respuesta: 0,25
¿Cuál es la probabilidad de que dos lanzamientos de moneda resulten cruz?
El número de resultados elementales es el mismo, 4. Los resultados favorables son el segundo y el tercero, 2.
Probabilidad de obtener una cola: 2/4=0,5
En tales problemas, puede resultar útil otra fórmula.
Si con un lanzamiento de moneda tenemos 2 opciones de resultado posibles, entonces para dos lanzamientos los resultados serán 2 2 = 2 2 = 4 (como en el ejemplo 5), para tres lanzamientos 2 2 2 = 2 3 = 8, para cuatro : 2·2·2·2=2 4 =16, ... para N tiradas los resultados posibles serán 2·2·...·2=2 N .
Entonces, puedes encontrar la probabilidad de obtener 5 caras en 5 lanzamientos de moneda.
Número total de resultados elementales: 2 5 =32.
Resultados favorables: 1. (RRRRRR – cara las 5 veces)
Probabilidad: 1/32=0,03125
Lo mismo ocurre con los dados. Con un lanzamiento, hay 6 resultados posibles. Entonces, para dos lanzamientos: 6 6 = 36, para tres 6 6 6 = 216, etc.
Ejemplo 6. Tiramos los dados. ¿Cuál es la probabilidad de que salga un número par?
Resultados totales: 6, según el número de bandos.
Favorable: 3 resultados. (2, 4, 6)
Probabilidad: 3/6=0,5
Ejemplo 7. Lanzamos dos dados. ¿Cuál es la probabilidad de que el total sea 10? (redondear a la centésima más cercana)
Para un dado hay 6 resultados posibles. Esto significa que para dos, según la regla anterior, 6·6=36.
¿Qué resultados serán favorables para que el total obtenga 10?
10 se debe descomponer en la suma de dos números del 1 al 6. Esto se puede hacer de dos maneras: 10=6+4 y 10=5+5. Esto significa que son posibles las siguientes opciones para los cubos:
(6 en el primero y 4 en el segundo)
(4 en el primero y 6 en el segundo)
(5 en el primero y 5 en el segundo)
En total, 3 opciones. Probabilidad requerida: 3/36=1/12=0,08
Respuesta: 0,08
Se analizarán otros tipos de problemas de B6 en un artículo futuro sobre Cómo resolverlos.
¡Atención a los solicitantes! Aquí se analizan varias tareas de USE. El resto, más interesantes, están en nuestro vídeo gratuito. ¡Mira y haz!
Comenzaremos con problemas simples y conceptos básicos de la teoría de la probabilidad.
Aleatorio Se llama a un evento que no se puede predecir con precisión de antemano. Puede suceder o no.
Ganaste la lotería, un evento aleatorio. Invitaste a tus amigos a celebrar tu victoria y, en el camino hacia ti, se quedaron atrapados en el ascensor, lo que también es un evento aleatorio. Es cierto que el maestro resultó estar cerca y liberó a toda la compañía en diez minutos, y esto también puede considerarse un feliz accidente...
Nuestra vida está llena de eventos aleatorios. De cada uno de ellos podemos decir que sucederá con algunos probabilidad. Lo más probable es que esté familiarizado intuitivamente con este concepto. Ahora daremos la definición matemática de probabilidad.
Comencemos con el ejemplo más simple. Lanzas una moneda. ¿Cara o cruz?
Una acción de este tipo, que puede conducir a uno de varios resultados, se denomina en teoría de la probabilidad prueba.
Cara y cruz: dos posibles resultado pruebas.
Las cabezas se caerán en un caso de dos posibles. Dicen que probabilidad que la moneda caiga en cara es .
Echemos un dado. El dado tiene seis caras, por lo que también hay seis resultados posibles.
Por ejemplo, deseabas que aparecieran tres puntos. Este es un resultado de seis posibles. En teoría de la probabilidad se llamará resultado favorable.
La probabilidad de obtener un tres es igual (un resultado favorable de seis posibles).
La probabilidad de cuatro también es
Pero la probabilidad de que aparezca un siete es cero. Después de todo, no hay ninguna arista con siete puntas en el cubo.
La probabilidad de un evento es igual a la relación entre el número de resultados favorables y el número total de resultados.
Evidentemente, la probabilidad no puede ser mayor que uno.
Aquí hay otro ejemplo. Hay manzanas en una bolsa, algunas son rojas y el resto son verdes. Las manzanas no difieren en forma ni tamaño. Metes la mano en la bolsa y sacas una manzana al azar. La probabilidad de sacar una manzana roja es igual a y la probabilidad de sacar una manzana verde es igual a .
La probabilidad de obtener una manzana roja o verde es igual.
Analicemos problemas de teoría de la probabilidad incluidos en las colecciones de preparación para el Examen Estatal Unificado.
. La compañía de taxis dispone actualmente de coches gratuitos: rojo, amarillo y verde. Uno de los coches que estaba más cerca del cliente acudió a la llamada. Calcula la probabilidad de que llegue un taxi amarillo.
Hay un total de coches, es decir, uno de cada quince llegará al cliente. Hay nueve amarillos, lo que significa que la probabilidad de que llegue un auto amarillo es igual a , es decir.
. (Versión demo) En la colección de entradas sobre biología de todas las entradas, en dos de ellas hay una pregunta sobre los hongos. Durante el examen, el estudiante recibe un boleto seleccionado al azar. Encuentre la probabilidad de que este boleto no contenga una pregunta sobre hongos.
Evidentemente, la probabilidad de sacar un billete sin preguntar por las setas es igual a , es decir, .
. El comité de padres compró rompecabezas para regalar a los niños al final del año escolar, incluidas pinturas de artistas famosos e imágenes de animales. Los regalos se distribuyen al azar. Calcula la probabilidad de que Vovochka obtenga un rompecabezas con un animal.
El problema se resuelve de forma similar.
Respuesta: .
. En el campeonato de gimnasia participan atletas de Rusia, Estados Unidos y el resto de China. El orden en que actúan las gimnastas se determina por sorteo. Encuentre la probabilidad de que el último atleta en competir sea de China.
Imaginemos que todos los atletas se acercaron simultáneamente al sombrero y sacaron de él trozos de papel con números. Algunos de ellos obtendrán el número veinte. La probabilidad de que un atleta chino lo consiga es igual (ya que los atletas son de China). Respuesta: .
. Se le pidió al estudiante que nombrara el número del hasta. ¿Cuál es la probabilidad de que nombre un número que sea múltiplo de cinco?
Cada quinto un número de este conjunto es divisible por . Esto significa que la probabilidad es igual a .
Se lanza un dado. Calcula la probabilidad de obtener un número impar de puntos.
Números impares; - incluso. La probabilidad de un número impar de puntos es .
Respuesta: .
. La moneda se lanza tres veces. ¿Cuál es la probabilidad de que salgan dos caras y una cruz?
Tenga en cuenta que el problema se puede formular de otra manera: se lanzaron tres monedas al mismo tiempo. Esto no afectará la decisión.
¿Cuántos resultados posibles crees que hay?
Lanzamos una moneda. Esta acción tiene dos resultados posibles: cara y cruz.
Dos monedas, ya cuatro resultados:
¿Tres monedas? Así es, resultados, desde .
Dos caras y una cruz aparecen tres de ocho veces.
Respuesta: .
. En un experimento aleatorio se lanzan dos dados. Calcula la probabilidad de que el total sean puntos. Redondea el resultado a la centésima más cercana.
Lanzamos el primer dado: seis resultados. Y para cada uno de ellos son posibles seis más, cuando lanzamos el segundo dado.
Encontramos que esta acción (lanzar dos dados) tiene un total de resultados posibles, ya que .
Y ahora - resultados favorables:
La probabilidad de obtener ocho puntos es .
>. El tirador da en el blanco con probabilidad. Calcula la probabilidad de que dé en el blanco cuatro veces seguidas.
Si la probabilidad de acertar es igual, entonces la probabilidad de fallar es . Razonamos de la misma forma que en el problema anterior. La probabilidad de dos aciertos seguidos es igual. Y la probabilidad de cuatro aciertos seguidos es igual.
Probabilidad: lógica de fuerza bruta.
He aquí un problema del trabajo de diagnóstico que a muchas personas les resultó difícil.
Petya tenía en el bolsillo monedas que valían rublos y monedas que valían rublos. Petya, sin mirar, se pasó algunas monedas a otro bolsillo. Encuentre la probabilidad de que las monedas de cinco rublos estén ahora en bolsillos diferentes.
Sabemos que la probabilidad de un evento es igual a la razón entre el número de resultados favorables y el número total de resultados. Pero ¿cómo calcular todos estos resultados?
Por supuesto, puede designar monedas de cinco rublos con números y monedas de diez rublos con números, y luego contar de cuántas maneras puede seleccionar tres elementos del conjunto.
Sin embargo, existe una solución más sencilla:
Codificamos las monedas con números: , (estas son monedas de cinco rublos), (estas son monedas de diez rublos). La condición del problema ahora se puede formular de la siguiente manera:
Hay seis fichas con números del hasta . ¿De cuántas maneras se pueden distribuir equitativamente en dos bolsillos, para que las fichas con números no acaben juntas?
Anotemos lo que tenemos en nuestro primer bolsillo.
Para ello, componeremos todas las combinaciones posibles del conjunto. Un conjunto de tres fichas será un número de tres dígitos. Evidentemente, en nuestras condiciones, son el mismo conjunto de chips. Para no perdernos nada ni repetirnos, ordenamos los números de tres dígitos correspondientes en orden ascendente:
¡Todo! Revisamos todas las combinaciones posibles comenzando con . Sigamos:
Total de resultados posibles.
Tenemos una condición: las fichas con números no deben estar juntas. Esto significa, por ejemplo, que la combinación no nos conviene; significa que ambas fichas no terminaron en el primer bolsillo, sino en el segundo. Los resultados que son favorables para nosotros son aquellos en los que sólo hay, o sólo. Aquí están:
134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256 – resultados favorables totales.
Entonces la probabilidad requerida es igual a .
¿Qué tareas le esperan en el Examen Estatal Unificado de Matemáticas?
Analicemos uno de los problemas complejos de la teoría de la probabilidad.
Para ingresar al instituto con la especialidad "Lingüística", el solicitante Z. debe obtener al menos 70 puntos en el Examen Estatal Unificado en cada una de las tres materias: matemáticas, lengua rusa y lengua extranjera. Para inscribirse en la especialidad "Comercio", debe obtener al menos 70 puntos en cada una de las tres materias: matemáticas, lengua rusa y estudios sociales.
La probabilidad de que el solicitante Z. reciba al menos 70 puntos en matemáticas es de 0,6, en ruso - 0,8, en lengua extranjera - 0,7 y en estudios sociales - 0,5.
Encuentre la probabilidad de que Z. pueda matricularse en al menos una de las dos especialidades mencionadas.
Tenga en cuenta que el problema no pregunta si un solicitante llamado Z. estudiará lingüística y comercio a la vez y recibirá dos diplomas. Aquí necesitamos encontrar la probabilidad de que Z. pueda inscribirse en al menos una de estas dos especialidades, es decir, obtendrá la cantidad requerida de puntos.
Para acceder al menos a una de las dos especialidades, Z. debe obtener al menos 70 puntos en matemáticas. Y en ruso. Y también - estudios sociales o extranjeros.
La probabilidad de que obtenga 70 puntos en matemáticas es 0,6.
La probabilidad de obtener puntos en matemáticas y ruso es 0,6 0,8.
Ocupémonos de los estudios sociales y extranjeros. Las opciones que nos convienen son cuando el solicitante haya obtenido puntos en estudios sociales, estudios extranjeros o ambos. La opción no es adecuada cuando no obtuvo ningún punto ni en idioma ni en “sociedad”. Esto significa que la probabilidad de aprobar estudios sociales o lengua extranjera con al menos 70 puntos es igual a
1 – 0,5 0,3.
Como resultado, la probabilidad de aprobar matemáticas, ruso y estudios sociales o extranjero es igual
0,6 0,8 (1 - 0,5 0,3) = 0,408. Ésta es la respuesta.
La probabilidad de un evento $A$ es la relación entre el número de resultados favorables para $A$ y el número de todos los resultados igualmente posibles.
$P(A)=(m)/(n)$, donde $n$ es el número total de resultados posibles y $m$ es el número de resultados favorables al evento $A$.
La probabilidad de un evento es un número del segmento $$
La compañía de taxis tiene autos de $50$ en stock. $35$ de ellos son negros, el resto son amarillos.
Encuentre la probabilidad de que un auto amarillo responda a una llamada aleatoria.
Encontremos la cantidad de autos amarillos:
Hay coches de $50$ en total, es decir, uno de cada cincuenta responderá a una llamada. Los autos amarillos cuestan $15$, por lo tanto, la probabilidad de que llegue un auto amarillo es $(15)/(50)=(3)/(10)=0.3$
Respuesta: $0.3$
Eventos opuestos
Dos sucesos se llaman opuestos si en una determinada prueba son incompatibles y necesariamente ocurre uno de ellos. Las probabilidades de eventos opuestos suman 1. Un evento opuesto al evento $A$ se escribe $((A))↖(-)$.
$P(A)+P((A))↖(-)=1$
Eventos independientes
Dos eventos $A$ y $B$ se llaman independientes si la probabilidad de ocurrencia de cada uno de ellos no depende de si el otro evento ocurrió o no. De lo contrario, los eventos se denominan dependientes.
La probabilidad del producto de dos eventos independientes $A$ y $B$ es igual al producto de estas probabilidades:
Ivan Ivanovich compró dos billetes de lotería diferentes. La probabilidad de ganar el primer billete de lotería es de 0,15 dólares. La probabilidad de que gane el segundo billete de lotería es de $0,12$. Ivan Ivanovich participa en ambos sorteos. Suponiendo que los sorteos se realizan de forma independiente, encuentre la probabilidad de que Ivan Ivanovich gane en ambos sorteos.
Probabilidad $P(A)$: ganará el primer boleto.
Probabilidad $P(B)$ - ganará el segundo boleto.
Los eventos $A$ y $B$ son eventos independientes. Es decir, para encontrar la probabilidad de que ocurran ambos eventos, necesitas encontrar el producto de las probabilidades.
La probabilidad del producto de dos eventos independientes $A$ y $B$ es igual al producto de estas probabilidades:
$Р=0,15·0,12=0,018$
Respuesta: $0.018$
Eventos incompatibles
Dos eventos $A$ y $B$ se llaman incompatibles si no hay resultados que favorezcan tanto el evento $A$ como el evento $B$. (Eventos que no pueden suceder al mismo tiempo)
La probabilidad de la suma de dos eventos incompatibles $A$ y $B$ es igual a la suma de las probabilidades de estos eventos:
$P(A+B)=P(A)+P(B)$
En un examen de álgebra, un estudiante recibe una pregunta de todas las preguntas del examen. La probabilidad de que esta sea una pregunta sobre ecuaciones cuadráticas es $0,3$. La probabilidad de que se trate de una pregunta de ecuaciones irracionales es de $0,18$. No hay preguntas que se relacionen simultáneamente con estos dos temas. Encuentre la probabilidad de que un estudiante reciba una pregunta sobre uno de estos dos temas en el examen.
Estos eventos se denominan incompatibles, ya que el estudiante recibirá una pregunta O BIEN sobre el tema "Ecuaciones cuadráticas" O sobre el tema "Ecuaciones irracionales". Los temas no se pueden encontrar al mismo tiempo. La probabilidad de la suma de dos eventos incompatibles $A$ y $B$ es igual a la suma de las probabilidades de estos eventos:
$P(A+B)=P(A)+P(B)$
$P = 0,3+0,18=0,48$
Respuesta: $0,48$
Eventos conjuntos
Dos hechos se llaman conjuntos si la ocurrencia de uno de ellos no excluye la ocurrencia del otro en el mismo juicio. De lo contrario, los eventos se denominan incompatibles.
La probabilidad de la suma de dos eventos conjuntos $A$ y $B$ es igual a la suma de las probabilidades de estos eventos menos la probabilidad de su producto:
$P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A B)$
En la sala de cine, dos máquinas idénticas venden café. La probabilidad de que la máquina se quede sin café al final del día es de $0,6$. La probabilidad de que ambas máquinas se queden sin café es de $0,32$. Calcula la probabilidad de que al final del día al menos una de las máquinas se quede sin café.
Denotemos los eventos:
$A$ = el café se acabará en la primera máquina,
$B$ = el café se acabará en la segunda máquina.
$A·B =$ el café se acabará en ambas máquinas,
$A + B =$ el café se acabará en al menos una máquina.
Según la condición, $P(A) = P(B) = 0,6; P(A·B) = $0,32.
Los eventos $A$ y $B$ son conjuntos, la probabilidad de la suma de dos eventos conjuntos es igual a la suma de las probabilidades de estos eventos, reducida por la probabilidad de su producto:
$P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A B) = 0,6 + 0,6 − 0,32 = 0,88$
