El caso cuando el número de ecuaciones metro más variables norte, al eliminar secuencialmente las incógnitas de las ecuaciones, se llega al caso metro= norte o metro norte. El primer caso fue discutido anteriormente.
En el segundo caso, cuando el número de ecuaciones es menor que el número de incógnitas metro norte y las ecuaciones son independientes, destacan metro variables principales Y ( norte- metro)variables no centrales . Las variables principales son aquellas que cumplen la condición: el determinante, formado por los coeficientes de estas variables, no es igual a cero. Los principales pueden ser diferentes grupos de variables. Número total de dichos grupos norte igual al número de combinaciones de norte elementos por metro:
Si un sistema tiene al menos un grupo de variables básicas, entonces este sistema es incierto , es decir, tiene muchas soluciones.
Si el sistema no tiene un solo grupo de variables básicas, entonces el sistema es no conjunto , es decir, no tiene una solución única.
En el caso de que un sistema tenga muchas soluciones, entre ellas se distingue una solución básica.
Solución básica
es una solución en la que las variables menores son iguales a cero. El sistema no tiene más que 
soluciones básicas.
Las soluciones del sistema se dividen en aceptable Y inaceptable .
Aceptable Se trata de soluciones en las que los valores de todas las variables no son negativos.
Si al menos un valor de la variable es negativo, entonces la solución se llama inaceptable .
Ejemplo 4.5
Encontrar soluciones básicas al sistema de ecuaciones.
Encontremos el número de soluciones básicas.
.
Entonces, entre las muchas soluciones del sistema no hay más de tres básicas. Destaquemos dos variables principales entre las tres. Supongamos que es X 1 y X 2. Comprobemos el determinante a partir de los coeficientes de ellos.
.
Como este determinante no es igual a cero, entonces las variables X 1 ,X 2 son los principales.
Ahora supongamos que X 3 = 0. Luego obtenemos un sistema de la forma
Resolvámoslo usando las fórmulas de Cramer:
,
.
Entonces, la primera solución básica tiene la forma
X 1 =1,X 2 =0,X 3 =0 .
Comprobemos ahora si las variables pertenecen a las principales. X 1 y X 3 .
.
lo entendemos X 1 y X 3 - segundo grupo de variables principales. Pongamos X 2 =0 y resuelve el sistema
,
.
La segunda solución básica tiene la forma
X 1 =1,X 2 =0,X 3 =0.
Ahora comprobemos si las variables pertenecen a las principales. X 2 y X 3 .
es decir variables X 2 y X 3 menores. Entonces, este sistema tiene dos soluciones básicas en total. Ambas soluciones son aceptables.
La condición de compatibilidad para un sistema de m ecuaciones lineales con n variables se da utilizando el concepto de rango matricial.
rango de matriz – este es un número igual al orden más alto de un menor distinto de cero.
Para la matriz A
menor k -ésimo orden sirve como un determinante compuesto por elementos de cualquier k líneas y k columnas.
Por ejemplo,
Ejemplo 2
Encuentra el rango de una matriz.
Calculemos el determinante de la matriz.
Para hacer esto multiplicamos la primera línea por (-4) y la sumamos con la segunda línea, luego multiplicamos la primera línea por (-7) y la sumamos con la tercera línea, como resultado obtenemos el determinante
Porque las filas del determinante resultante son proporcionales, entonces 
.
De esto podemos ver que el menor de tercer orden es igual a 0 y el menor de segundo orden no es igual a 0.
Por tanto, el rango de la matriz es r=2.
Matriz extendida el sistema tiene la forma
Teorema de Kronecker-Capelli
Para que un sistema lineal sea consistente es necesario y suficiente que el rango de la matriz extendida sea igual al rango de la matriz principal. 
.
Si 
,
entonces el sistema es inconsistente.
Para un sistema simultáneo de ecuaciones lineales, son posibles tres casos:
1)Si 
, entonces el sistema LU tiene (m-r) ecuaciones linealmente dependientes, pueden excluirse del sistema;
2) si 
, entonces el sistema LU tiene una solución única;
3) si 
, entonces el sistema LU tiene muchas soluciones
A 21 x 1 + a 22 x 2 +...+ un 2p x p= b 2 ,
........................................
A s 1 x 1 + un s 2 x 2 +...+ como p x p= bs.
Realizaremos transformaciones elementales sobre él. Para ello, escribimos una matriz de coeficientes para las incógnitas del sistema (1) con la adición de una columna de términos libres, es decir matriz extendida Ā para el sistema (1):
Supongamos que con la ayuda de tales transformaciones fue posible reducir la matriz. Ā a la forma:
b 22 x 2 +...+b 2 r x r +...+b 2 n x n =c 2,......................................
b rr x r +...+b rn x n =c r ,
que se obtiene del sistema (1) utilizando un cierto número de transformaciones elementales y, por tanto, es equivalente al sistema (1). Si en el sistema (4) r=n, luego de la última ecuación, que tiene la forma b nn x n = c n(Dónde bnn≠ 0), encontramos el único valor xn, de la penúltima ecuación – el valor xn-1(porque el xn ya conocido), etc., finalmente, de la primera ecuación - el valor X 1 . Entonces, en caso) r=n el sistema tiene una solución única. Si r
X 1 = un 1, r+1x r+1 +...+a 1 norte X norte+b 1,
|
|
............................................
X r=un r, r+1x r+1 +...+a rn X norte+b r.
que es esencialmente decisión general sistemas (1).
Las incógnitas x r+1, ..., x n se llaman libres. A partir del sistema (5) será posible encontrar los valores x1,..., x r.
Reducción de matriz Ā a la forma (3) es posible sólo en el caso de que el sistema original de ecuaciones (1) sea consistente. Si el sistema (1) es inconsistente, entonces tal reducción es imposible. Esta circunstancia se expresa en el hecho de que en el proceso de transformaciones matriciales Ā en él aparece una línea en la que todos los elementos son iguales a cero, excepto el último. Esta recta corresponde a una ecuación de la forma:
0*x 1 +0*x 2 +...+0*x norte=b,
que no se satisface con ningún valor de las incógnitas, ya que b≠0. En este caso el sistema es inconsistente.
En el proceso de llevar el sistema (1) a una forma gradual, se pueden obtener ecuaciones de la forma 0=0. Se pueden descartar, ya que esto conduce a un sistema de ecuaciones equivalente al anterior.
Al resolver un sistema de ecuaciones lineales mediante el método gaussiano, es más conveniente reducir no el sistema de ecuaciones en sí, sino la matriz extendida de este sistema a una forma escalonada, realizando todas las transformaciones en sus filas. Las matrices secuenciales obtenidas durante las transformaciones suelen estar conectadas por un signo de equivalencia.
Resolvamos el siguiente sistema de ecuaciones con 4 incógnitas:
2x 1 +5x 2 +4x 3 +x 4 =20,
x 1 +3x 2 +2x 3 +x 4 =11,
2x 1 +10x 2 +9x 3 +7x 4 =40,
3x 1 +8x 2 +9x 3 +2x 4 =37.
Escribamos la matriz extendida de coeficientes para incógnitas con la adición de una columna de términos libres.
Analicemos las filas de la matriz extendida:
A los elementos de la 2ª línea le sumamos los elementos de la 1ª, divididos por (-2);
De la tercera línea, reste la primera línea;
A la 4ª línea le sumamos la 1ª, multiplicada por (-3/2).
Como herramienta computacional utilizaremos las herramientas del programa. Excel-97.
1. Encienda su computadora.
2. Espere hasta que se inicie el sistema operativo. ventanas, entonces abrir una ventana de Microsoft Excel.
3. Completa las celdas tablas con valores de la matriz extendida (Fig. 11.1)
Arroz. 11.1 figura. 11.2
4. Para realizar el algoritmo verbal seleccionado, realice las siguientes acciones.
· Activar celular A5 y desde el teclado ingrese una fórmula de la forma =A2+A1/(-2), después de lo cual autocompletar ingrese los resultados numéricos en las celdas B5¸E5;
· En la celda A6 colocaremos el resultado de restar la 1ª línea de la 3ª, y nuevamente, usando autocompletar, complete las celdas B6¸E6;
· en la celda A7 escribimos una fórmula de la forma =A4+A1*(-3/2) y autocompletar Ingresemos los resultados numéricos en las celdas B7¸E7.
5. Analicemos nuevamente las filas resultantes de transformaciones elementales de la matriz para llevarla a una forma triangular.
·A la 6ta línea suma la 5ta, multiplicada por el número (-10);
· resta el quinto de la séptima línea.
Implementamos el algoritmo grabado en las celdas A8, A9, después de lo cual escondámonos 6 y 7 – líneas (ver Fig. 11.3).
Arroz. 11.3 Fig. 11.4
6. Y lo último que debes hacer para llevar la matriz a forma triangular es sumar la octava a la novena fila, multiplicada por (-3/5), después de lo cual esconder Novena línea (Fig. 11.4).
Como puede ver, los elementos de la matriz resultante están en las filas 1, 5, 8 y 10, y el rango de la matriz resultante es r = 4, por lo tanto, este sistema de ecuaciones tiene una solución única. Escribamos el sistema resultante:
2x 1 +5x 2 +4x 3 + x 4 =20,
0,5x2 + 0,5x4 =1,
5x 3 +x 4 =10,
De la última ecuación encontramos fácilmente x 4 =0; de la tercera ecuación encontramos x 3 =2; del 2º – x 2 =2 y del 1º – x 1 =1, respectivamente.
Asignaciones para trabajo independiente.
Utilice el método de Gauss para resolver los sistemas de ecuaciones:
Trabajo de laboratorio nº 15. Hallar las raíces de la ecuación f(x)=0
Los antiguos griegos conocían los métodos para resolver ecuaciones lineales y cuadráticas. La solución de las ecuaciones de tercer y cuarto grado se obtuvo gracias a los esfuerzos de los matemáticos italianos S. Ferro, N. Tartaglia, G. Cartano, L. Ferrari durante el Renacimiento. Luego llegó el momento de buscar fórmulas para encontrar las raíces de ecuaciones de quinto grado y superiores. Los intentos persistentes pero infructuosos continuaron durante unos 300 años y terminaron en los años 20 del siglo XXI gracias al trabajo del matemático noruego N. Abel. Demostró que la ecuación general de las potencias quinta y superiores no tiene solución en radicales. Solución de la ecuación general de enésimo grado.
a 0 x n +a 1 x n -1 +…+a n -1 x+a n =0, a 0 ¹0 (1)
cuando n³5 no se puede expresar mediante coeficientes utilizando las operaciones de suma, resta, multiplicación, división, exponenciación y extracción de raíces.
Para ecuaciones no algebraicas como
x–cos(x)=0 (2)
la tarea se vuelve aún más difícil. En este caso, rara vez es posible encontrar expresiones explícitas para las raíces.
En condiciones en las que las fórmulas “no funcionan”, cuando sólo se puede contar con ellas en los casos más simples, los algoritmos computacionales universales adquieren especial importancia. Existen varios algoritmos conocidos que permiten resolver el problema en cuestión.
El uso de ecuaciones está muy extendido en nuestra vida. Se utilizan en muchos cálculos, construcción de estructuras e incluso deportes. El hombre utilizó ecuaciones en la antigüedad y desde entonces su uso no ha hecho más que aumentar. Las ecuaciones con cuatro incógnitas pueden tener muchas soluciones posibles. En matemáticas es frecuente encontrar ecuaciones de este tipo. Para resolver correctamente tales ecuaciones, es necesario utilizar todas las características de las ecuaciones para simplificar y acortar su solución.
Veamos la solución al siguiente ejemplo:
Sumando la primera y segunda ecuaciones por partes, puedes obtener una ecuación muy simple:
\ o \
Realicemos acciones similares con las ecuaciones 2 y 3:
\ o \
Resolvemos las ecuaciones resultantes \ y \
Obtenemos \ y \
Sustituimos los números resultantes en las ecuaciones 1 y 3:
\ o \
\ o \
Reemplazar estos números con la segunda y cuarta ecuaciones dará exactamente las mismas ecuaciones.
Pero eso no es todo, ya que quedan 2 ecuaciones con 2 incógnitas por resolver. Puedes ver la solución a este tipo de ecuación en los artículos aquí.
¿Dónde puedo resolver una ecuación con cuatro incógnitas online?
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