Cómo comparar infinitos decimales. Lección "Comparación de decimales"

El propósito de la lección:

• crear condiciones para derivar la regla para comparar fracciones decimales y la capacidad de aplicarla;
• repetir la escritura de fracciones comunes como decimales y redondear decimales;
• Desarrollar el pensamiento lógico, la capacidad de generalizar, la capacidad de investigación y el habla.

durante las clases

Chicos, recordemos lo que hicimos con ustedes en lecciones anteriores.

Respuesta: estudió fracciones decimales, escribió fracciones ordinarias como decimales y viceversa, redondeó decimales.

¿Qué te gustaría hacer hoy?

(Los estudiantes responden.)

Pero en unos minutos descubrirás qué haremos en clase. Abran sus cuadernos y anoten la fecha. Un estudiante se acercará al pizarrón y trabajará desde la parte posterior del pizarrón. Te ofreceré tareas que completarás oralmente. Escribe tus respuestas en tu cuaderno en una línea separada por punto y coma. Un estudiante en la pizarra escribe en una columna.

Leo las tareas que están escritas de antemano en la pizarra:

Vamos a revisar. ¿Quién tiene otras respuestas? Recuerda las reglas.

Consiguió: 1,075; 2,175; 3,275; 4,375; 5,475; 6,575; 7,675.

Establece un patrón y continúa la serie resultante con otros 2 números. Vamos a revisar.

Tome la transcripción y debajo de cada número (la persona que responde en la pizarra pone una letra al lado del número) escriba la letra correspondiente. Lea la palabra.

Explicación:

Entonces, ¿qué haremos en clase?

Respuesta: comparación.

¡En comparación! Bien, por ejemplo, ahora empezaré a comparar mis manos, 2 libros de texto, 3 reglas. ¿Qué quieres comparar?

Respuesta: fracciones decimales.

¿Qué tema de la lección escribiremos?

Escribo el tema de la lección en la pizarra y los alumnos lo escriben en sus cuadernos: “Comparando decimales”.

Ejercicio: comparar los números (escritos en la pizarra)

Primero abrimos el lado izquierdo. Las partes enteras son diferentes. Sacamos una conclusión sobre la comparación de fracciones decimales con diferentes partes enteras. Abre el lado derecho. Las partes enteras son números iguales. ¿Cómo comparar?

Oferta: Escribe decimales como fracciones y compara.

Escribe una comparación de fracciones ordinarias. Si conviertes cada fracción decimal en una fracción común y comparas 2 fracciones, te llevará mucho tiempo. ¿Quizás podamos idear una regla de comparación? (Los estudiantes sugieren). Escribí la regla para comparar fracciones decimales, que sugiere el autor. Comparemos.

Hay 2 reglas impresas en una hoja de papel:

1. Si las partes enteras de las fracciones decimales son diferentes, entonces la fracción con la parte entera más grande es mayor.
2. Si las partes enteras de las fracciones decimales son iguales, entonces la fracción más grande es aquella cuyo primero de los decimales que no coinciden es mayor.

Tú y yo hemos hecho un descubrimiento. Y este descubrimiento es la regla para comparar fracciones decimales. Coincidió con la regla propuesta por el autor del libro de texto.

Noté que las reglas dicen cuál de las 2 fracciones es mayor. ¿Puedes decirme cuál de las 2 fracciones decimales es más pequeña?

Completar en el cuaderno N° 785(1, 2) de la página 172. La tarea se escribe en la pizarra. Los alumnos comentan y el profesor hace señas.

Ejercicio: comparar

3.4208 y 3.4028

Entonces, ¿qué aprendimos a hacer hoy? Comprobémonos a nosotros mismos. Trabaja sobre trozos de papel con papel carbón.

Los estudiantes comparan fracciones decimales usando >,<, =. Когда ученики выполнят задание, то листок сверху оставляют себе, а листок снизу сдают учителю.

Trabajo independiente.

(Marque las respuestas en la parte posterior de la pizarra).

Comparar

148,05 y 14,805

6.44806 y 6.44863

35.601 y 35.6010

El primero en hacerlo recibe la tarea (realizada desde la parte posterior del tablero) No. 786(1, 2):

Encuentra el patrón y escribe el siguiente número en la secuencia. ¿En qué secuencias están los números ordenados en orden ascendente y en cuáles en orden descendente?

Respuesta:

1. 0,1; 0,02; 0,003; 0,0004; 0,00005; (0.000006) – decreciente
2. 0,1; 0,11; 0,111; 0,1111; 0,11111; (0,111111) – aumenta.

Después de que el último estudiante envíe el trabajo, revíselo.

Los estudiantes comparan sus respuestas.

Aquellos que hicieron todo correctamente se calificarán con “5”, aquellos que cometieron 1-2 errores – “4”, 3 errores – “3”. Descubra en qué comparaciones se cometieron errores, en qué regla.

Anota tu tarea: No. 813, No. 814 (cláusula 4, p. 171). Comentario. Si tiene tiempo, complete el No. 786(1, 3), el No. 793(a).

Resumen de la lección.

1. ¿Qué aprendieron a hacer ustedes en clase?
2. ¿Te gustó o no?
3. ¿Cuáles fueron las dificultades?

Coge las hojas y rellénalas indicando el grado de asimilación del material:

• completamente dominado, puedo actuar;
• Lo domino por completo, pero me resulta difícil utilizarlo;
• parcialmente dominado;
• no aprendido.

Gracias por la leccion.

Este tema considerará tanto el esquema general para comparar fracciones decimales como un análisis detallado del principio de comparar fracciones finitas e infinitas. Reforzaremos la parte teórica resolviendo problemas típicos. También veremos ejemplos de comparación de fracciones decimales con números naturales o mixtos y fracciones ordinarias.

Hagamos una aclaración: en teoría, a continuación se considerará la comparación solo de fracciones decimales positivas.

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Principio general para comparar fracciones decimales.

Para cada decimal finito y decimal periódico infinito, existen ciertas fracciones ordinarias que les corresponden. En consecuencia, se puede hacer una comparación de fracciones periódicas finitas e infinitas como una comparación de las fracciones ordinarias correspondientes. En realidad, esta afirmación es el principio general para comparar fracciones periódicas decimales.

Sobre la base del principio general, se formulan reglas para comparar fracciones decimales, siguiendo las cuales es posible no convertir las fracciones decimales comparadas en fracciones ordinarias.

Lo mismo puede decirse de los casos en los que se compara una fracción periódica decimal con números naturales o números mixtos, fracciones ordinarias: los números dados deben reemplazarse con sus fracciones ordinarias correspondientes.

Si hablamos de comparar fracciones infinitas no periódicas, entonces generalmente se reduce a comparar fracciones decimales finitas. Para su consideración, se toma tal número de signos de las infinitas fracciones decimales no periódicas comparadas, que permitirá obtener el resultado de la comparación.

Decimales iguales y desiguales

decimales iguales- Se trata de dos fracciones decimales finitas cuyas fracciones ordinarias correspondientes son iguales. De lo contrario, los decimales son desigual.

Con base en esta definición, es fácil justificar la siguiente afirmación: si firmas o, por el contrario, descartas varios dígitos 0 al final de una fracción decimal determinada, obtendrás una fracción decimal igual a ella. Por ejemplo: 0, 5 = 0, 50 = 0, 500 =…. O: 130, 000 = 130, 00 = 130, 0 = 130. Básicamente, sumar o quitar un cero al final de una fracción de la derecha significa multiplicar o dividir por 10 el numerador y el denominador de la fracción ordinaria correspondiente. Sumemos a lo dicho la propiedad básica de las fracciones (multiplicando o dividiendo el numerador y denominador de una fracción por el mismo número natural obtenemos una fracción igual a la original) y tenemos una prueba de lo anterior.

Por ejemplo, la fracción decimal 0,7 corresponde a la fracción común 7 10. Sumando cero a la derecha obtenemos la fracción decimal 0, 70, que corresponde a la fracción común 70 100, 7 70 100: 10 . Es decir: 0,7 = 0,70. Y viceversa: descartando el cero a la derecha en la fracción decimal 0, 70, obtenemos la fracción 0, 7; así, de la fracción decimal 70 100 pasamos a la fracción 7 10, pero 7 10 = 70: 10 100 : 10 Entonces: 0, 70 = 0, 7 .

Consideremos ahora el contenido del concepto de fracciones decimales periódicas infinitas iguales y desiguales.

Definición 2

Fracciones periódicas infinitas iguales son infinitas fracciones periódicas cuyas fracciones ordinarias correspondientes son iguales. Si las fracciones ordinarias que les corresponden no son iguales, entonces las fracciones periódicas dadas para comparar también lo son desigual.

Esta definición nos permite sacar las siguientes conclusiones:

Si las notaciones de las fracciones decimales periódicas dadas coinciden, entonces dichas fracciones son iguales. Por ejemplo, las fracciones decimales periódicas 0,21 (5423) y 0,21 (5423) son iguales;

Si en determinadas fracciones periódicas decimales los períodos comienzan desde la misma posición, la primera fracción tiene un período 0 y la segunda tiene un período 9; el valor del dígito que precede al período 0 es uno mayor que el valor del dígito que precede al período 9, entonces dichas infinitas fracciones decimales periódicas son iguales. Por ejemplo, las fracciones periódicas 91, 3 (0) y 91, 2 (9), así como las fracciones: 135, (0) y 134, (9) son iguales;

Otras dos fracciones periódicas cualesquiera no son iguales. Por ejemplo: 8, 0 (3) y 6, (32); 0, (42) y 0, (131), etc.

Queda por considerar fracciones decimales no periódicas infinitas iguales y desiguales. Estas fracciones son números irracionales y no se pueden convertir en fracciones ordinarias. En consecuencia, la comparación de infinitas fracciones decimales no periódicas no se reduce a la comparación de fracciones ordinarias.

Definición 3

Iguales infinitos decimales no periódicos- Se trata de fracciones decimales no periódicas, cuyas entradas coinciden completamente.

La pregunta lógica sería: ¿cómo comparar registros si es imposible ver el registro “terminado” de dichas fracciones? Al comparar infinitas fracciones decimales no periódicas, es necesario considerar solo un cierto número finito de signos de las fracciones especificadas para la comparación, para que esto le permita sacar una conclusión. Aquellos. Básicamente, comparar infinitos decimales no periódicos es comparar decimales finitos.

Este enfoque permite afirmar la igualdad de infinitas fracciones no periódicas sólo hasta el dígito en cuestión. Por ejemplo, las fracciones 6, 73451... y 6, 73451... son iguales a la centena de milésimas más cercana, porque las fracciones decimales finales 6, 73451 y 6, 7345 son iguales. Las fracciones 20, 47... y 20, 47... son iguales a las centésimas más cercanas, porque las fracciones 20, 47 y 20, 47 y así sucesivamente son iguales.

La desigualdad de infinitas fracciones no periódicas se establece de manera bastante específica con diferencias obvias en la notación. Por ejemplo, las fracciones 6, 4135... y 6, 4176... o 4, 9824... y 7, 1132... y así sucesivamente son desiguales.

Reglas para comparar fracciones decimales. Ejemplos de resolución

Si se establece que dos fracciones decimales son desiguales, suele ser necesario determinar también cuál es mayor y cuál es menor. Consideremos las reglas para comparar fracciones decimales, que permiten resolver el problema anterior.

Muy a menudo basta con comparar partes enteras de las fracciones decimales dadas para comparar.

Definición 4

La fracción decimal cuya parte entera sea mayor es la mayor. La fracción menor es aquella cuya parte entera es menor.

Esta regla se aplica tanto a fracciones decimales finitas como infinitas.

Ejemplo 1

Es necesario comparar las fracciones decimales: 7, 54 y 3, 97823....

Solución

Es bastante obvio que las fracciones decimales dadas no son iguales. Sus partes enteras son iguales respectivamente: 7 y 3. Porque 7 > 3, luego 7, 54 > 3, 97823….

Respuesta: 7 , 54 > 3 , 97823 … .

En el caso de que las partes enteras de las fracciones dadas para comparar sean iguales, la solución del problema se reduce a comparar las partes fraccionarias. La comparación de partes fraccionarias se realiza poco a poco, desde las décimas hasta las inferiores.

Consideremos primero el caso en el que necesitamos comparar fracciones decimales finitas.

Ejemplo 2

Es necesario comparar las fracciones decimales finales 0,65 y 0,6411.

Solución

Obviamente, las partes enteras de las fracciones dadas son iguales (0 = 0). Comparemos partes fraccionarias: en el lugar de las décimas los valores son iguales (6 = 6), pero en el lugar de las centésimas el valor de la fracción 0.65 es mayor que el valor del lugar de las centésimas en la fracción 0.6411 (5 > 4) . Por tanto, 0,65 > 0,6411.

Respuesta: 0 , 65 > 0 , 6411 .

En algunos problemas que comparan fracciones decimales finitas con diferentes números de decimales, es necesario sumar el número requerido de ceros a la derecha de la fracción con menos decimales. Es conveniente igualar de esta forma el número de decimales en fracciones dadas incluso antes de iniciar la comparación.

Ejemplo 3

Es necesario comparar las fracciones decimales finales 67, 0205 y 67, 020542.

Solución

Estas fracciones obviamente no son iguales, porque sus registros son diferentes. Además, sus partes enteras son iguales: 67 = 67. Antes de comenzar la comparación bit a bit de las partes fraccionarias de fracciones dadas, igualemos el número de decimales sumando ceros a la derecha en fracciones con menos decimales. Luego obtenemos las fracciones para comparar: 67, 020500 y 67, 020542. Realizamos una comparación bit a bit y vemos que en lugar de cien milésimas el valor en la fracción 67.020542 es mayor que el valor correspondiente en la fracción 67.020500 (4 > 0). Así, 67, 020500< 67 , 020542 , а значит 67 , 0205 < 67 , 020542 .

Respuesta: 67 , 0205 < 67 , 020542 .

Si es necesario comparar una fracción decimal finita con una infinita, entonces la fracción finita se reemplaza por una infinita, igual a ella con un período de 0. Luego se realiza una comparación bit a bit.

Ejemplo 4

Es necesario comparar la fracción decimal finita 6, 24 con la fracción decimal infinita no periódica 6, 240012...

Solución

Vemos que las partes enteras de las fracciones dadas son iguales (6 = 6). En los lugares de décimas y centésimas, los valores de ambas fracciones también son iguales. Para poder sacar una conclusión continuamos la comparación reemplazando la fracción decimal finita por una fracción infinita igual con periodo 0 y obtenemos: 6, 240000.... Habiendo llegado al quinto decimal, encontramos la diferencia: 0< 1 , а значит: 6 , 240000 … < 6 , 240012 … . Тогда: 6 , 24 < 6 , 240012 … .

Respuesta: 6, 24< 6 , 240012 … .

Al comparar infinitas fracciones decimales, también se utiliza una comparación lugar por lugar, que finaliza cuando los valores en algún lugar de las fracciones dadas resultan ser diferentes.

Ejemplo 5

Es necesario comparar las infinitas fracciones decimales 7, 41 (15) y 7, 42172....

Solución

En las fracciones dadas hay partes enteras iguales, los valores de las décimas también son iguales, pero en el lugar de las centésimas vemos una diferencia: 1< 2 . Тогда: 7 , 41 (15) < 7 , 42172 … .

Respuesta: 7 , 41 (15) < 7 , 42172 … .

Ejemplo 6

Es necesario comparar las infinitas fracciones periódicas 4, (13) y 4, (131).

Solución:

Las igualdades son claras y verdaderas: 4, (13) = 4, 131313... y 4, (133) = 4, 131131.... Comparamos las partes enteras y las partes fraccionarias bit a bit, y en el cuarto decimal registramos la discrepancia: 3 > 1. Entonces: 4, 131313... > 4, 131131..., y 4, (13) > 4, (131).

Respuesta: 4 , (13) > 4 , (131) .

Para obtener el resultado de comparar una fracción decimal con un número natural, debes comparar la parte entera de una fracción dada con un número natural dado. Hay que tener en cuenta que las fracciones periódicas con períodos 0 o 9 deben representarse primero en forma de fracciones decimales finitas iguales a ellas.

Definición 5

Si la parte entera de una fracción decimal dada es menor que un número natural dado, entonces la fracción entera es menor con respecto al número natural dado. Si la parte entera de una fracción dada es mayor o igual que un número natural dado, entonces la fracción es mayor que el número natural dado.

Ejemplo 7

Es necesario comparar el número natural 8 y la fracción decimal 9, 3142....

Solución:

El número natural dado es menor que la parte entera de la fracción decimal dada (8< 9) , а значит это число меньше заданной десятичной дроби.

Respuesta: 8 < 9 , 3142 … .

Ejemplo 8

Es necesario comparar el número natural 5 y la fracción decimal 5, 6.

Solución

La parte entera de una fracción dada es igual a un número natural dado, entonces, según la regla anterior, 5< 5 , 6 .

Respuesta: 5 < 5 , 6 .

Ejemplo 9

Es necesario comparar el número natural 4 y la fracción decimal periódica 3, (9).

Solución

El período de una fracción decimal dada es 9, lo que significa que antes de la comparación es necesario reemplazar la fracción decimal dada con un número finito o natural igual a ella. En este caso: 3, (9) = 4. Por tanto, los datos originales son iguales.

Respuesta: 4 = 3, (9).

Para comparar una fracción decimal con una fracción o número mixto, debes:

Escribe una fracción o un número mixto como decimal y luego compara decimales o
- escribir una fracción decimal como una fracción común (con la excepción de una fracción infinita no periódica) y luego realizar una comparación con una fracción común o un número mixto dado.

Ejemplo 10

Es necesario comparar la fracción decimal 0,34 y la fracción común 1 3.

Solución

Resolvamos el problema de dos maneras.

1. Escribamos la fracción ordinaria dada 1 3 en forma de fracción decimal periódica igual: 0, 33333.... Entonces se hace necesario comparar las fracciones decimales 0, 34 y 0, 33333.... Obtenemos: 0, 34 > 0, 33333..., lo que significa 0, 34 > 1 3.
2. Escribamos la fracción decimal dada 0, 34 como una fracción ordinaria igual a ella. Es decir: 0, 34 = 34,100 = 17,50. Comparemos fracciones ordinarias con diferentes denominadores y obtengamos: 17 50 > 1 3. Por tanto, 0, 34 > 1 3.

Respuesta: 0 , 34 > 1 3 .

Ejemplo 11

Es necesario comparar la fracción decimal infinita no periódica 4, 5693... y un número mixto. 4 3 8 .

Solución

Una fracción decimal infinita no periódica no se puede representar como un número mixto, pero sí es posible convertir un número mixto en una fracción impropia, y a su vez escribirla como una fracción decimal igual. Entonces: 4 3 8 = 35 8 y

Aquellos.: 4 3 8 = 35 8 = 4,375. Comparemos las fracciones decimales: 4, 5693... y 4, 375 (4, 5693... > 4, 375) y obtenemos: 4, 5693... > 4 3 8.

Respuesta: 4 , 5693 … > 4 3 8 .

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Una fracción es una o más partes iguales de un todo. Una fracción se escribe usando dos números naturales separados por una línea. Por ejemplo, 1/2, 14/4, ¾, 5/9, etc.

El número escrito encima de la línea se llama numerador de la fracción y el número escrito debajo de la línea se llama denominador de la fracción.

Para números fraccionarios cuyo denominador sea 10, 100, 1000, etc. Acordamos escribir el número sin denominador. Para ello primero escribe la parte entera del número, pon una coma y escribe la parte fraccionaria de este número, es decir, el numerador de la parte fraccionaria.

Por ejemplo, en lugar de 6 * (7/10) escriben 6,7.

Esta notación suele denominarse fracción decimal.

Cómo comparar dos decimales

Averigüemos cómo comparar dos fracciones decimales. Para hacer esto, verifiquemos primero un hecho auxiliar.

Por ejemplo, la longitud de un determinado segmento es de 7 centímetros o 70 mm. También 7 cm = 7/10 dm o en notación decimal 0,7 dm.

Por otro lado, 1 mm = 1/100 dm, luego 70 mm = 70/100 dm o en notación decimal 0,70 dm.

Así, obtenemos que 0,7 = 0,70.

De esto concluimos que si sumamos o descartamos un cero al final de una fracción decimal, obtenemos una fracción igual a la dada. En otras palabras, el valor de la fracción no cambiará.

Fracciones con denominadores iguales

Digamos que necesitamos comparar dos fracciones decimales 4,345 y 4,36.

Primero necesitas igualar el número de decimales sumando o descartando ceros a la derecha. Los resultados serán 4.345 y 4.360.

Ahora necesitas escribirlas como fracciones impropias:

• 4,345 = 4345 / 1000 ;
• 4,360 = 4360 / 1000 .

Las fracciones resultantes tienen los mismos denominadores. Según la regla de comparación de fracciones, sabemos que en este caso la fracción con mayor numerador es mayor. Esto significa que la fracción 4,36 es mayor que la fracción 4,345.

Por lo tanto, para comparar dos fracciones decimales, primero debe igualar el número de decimales en ellas agregando ceros a uno de ellos a la derecha y luego, descartando la coma, comparar los números naturales resultantes.

Las fracciones decimales se pueden representar como puntos en una recta numérica. Y por eso, a veces, en el caso de que un número sea mayor que otro, dicen que este número está ubicado a la derecha del otro, o si es menor, entonces a la izquierda.

Si dos fracciones decimales son iguales, entonces están representadas por el mismo punto en la recta numérica.

En este artículo veremos el tema " comparando decimales" Primero, analicemos el principio general de comparar fracciones decimales. Después de esto, descubriremos qué fracciones decimales son iguales y cuáles no iguales. A continuación, aprenderemos a determinar qué fracción decimal es mayor y cuál es menor. Para ello, estudiaremos las reglas para comparar fracciones finitas, infinitas periódicas e infinitas no periódicas. Proporcionaremos toda la teoría con ejemplos con soluciones detalladas. En conclusión, veamos la comparación de fracciones decimales con números naturales, fracciones ordinarias y números mixtos.

Digamos de inmediato que aquí solo hablaremos de comparar fracciones decimales positivas (ver números positivos y negativos). Los casos restantes se analizan en los artículos Comparación de números racionales y comparación de números reales.

Navegación de páginas.

Principio general para comparar fracciones decimales.

A partir de este principio de comparación, se derivan reglas para comparar fracciones decimales que permiten prescindir de convertir las fracciones decimales comparadas en fracciones ordinarias. Discutiremos estas reglas, así como ejemplos de su aplicación, en los siguientes párrafos.

Se utiliza un principio similar para comparar fracciones decimales finitas o fracciones decimales periódicas infinitas con números naturales, fracciones ordinarias y números mixtos: los números comparados se reemplazan por sus correspondientes fracciones ordinarias, después de lo cual se comparan las fracciones ordinarias.

Sobre comparaciones de infinitos decimales no periódicos, entonces generalmente todo se reduce a comparar fracciones decimales finitas. Para ello, considere el número de signos de las infinitas fracciones decimales no periódicas comparadas que le permita obtener el resultado de la comparación.

Decimales iguales y desiguales

Primero presentamos definiciones de fracciones decimales iguales y desiguales.

Definición.

Las dos fracciones decimales finales se llaman igual, si sus correspondientes fracciones ordinarias son iguales, en caso contrario estas fracciones decimales se llaman desigual.

Con base en esta definición, es fácil justificar la siguiente afirmación: si sumas o descartas varios dígitos 0 al final de una fracción decimal determinada, obtendrás una fracción decimal igual a ella. Por ejemplo, 0,3=0,30=0,300=… y 140,000=140,00=140,0=140.

En efecto, sumar o descartar un cero al final de una fracción decimal de la derecha corresponde a multiplicar o dividir por 10 el numerador y denominador de la fracción ordinaria correspondiente. Y conocemos la propiedad básica de una fracción, que establece que multiplicar o dividir el numerador y el denominador de una fracción por el mismo número natural da una fracción igual a la original. Esto demuestra que sumar o descartar ceros a la derecha en la parte fraccionaria de un decimal da una fracción igual a la original.

Por ejemplo, la fracción decimal 0,5 corresponde a la fracción común 5/10, luego de sumar un cero a la derecha corresponde la fracción decimal 0,50, que corresponde a la fracción común 50/100, y. Por tanto, 0,5=0,50. Por el contrario, si en la fracción decimal 0,50 descartamos el 0 a la derecha, entonces obtenemos la fracción 0,5, por lo que de la fracción ordinaria 50/100 llegamos a la fracción 5/10, pero . Por tanto, 0,50=0,5.

Movámonos a determinación de fracciones decimales periódicas infinitas iguales y desiguales.

Definición.

Dos fracciones periódicas infinitas igual, si las fracciones ordinarias correspondientes son iguales; si las fracciones ordinarias correspondientes a ellas no son iguales, entonces las fracciones periódicas comparadas también lo son no es igual.

De esta definición se desprenden tres conclusiones:

• Si las notaciones de fracciones decimales periódicas coinciden completamente, entonces dichas fracciones decimales periódicas infinitas son iguales. Por ejemplo, los decimales periódicos 0,34(2987) y 0,34(2987) son iguales.
• Si los períodos de las fracciones periódicas decimales comparadas comienzan desde la misma posición, la primera fracción tiene un período de 0, la segunda tiene un período de 9 y el valor del dígito que precede al período 0 es uno mayor que el valor del dígito. período anterior al 9, entonces dichas fracciones decimales periódicas infinitas son iguales. Por ejemplo, las fracciones periódicas 8,3(0) y 8,2(9) son iguales, y las fracciones 141,(0) y 140,(9) también son iguales.
• Otras dos fracciones periódicas cualesquiera no son iguales. Aquí hay ejemplos de fracciones decimales periódicas infinitas desiguales: 9,0(4) y 7,(21), 0,(12) y 0,(121), 10,(0) y 9,8(9).

Queda por tratar fracciones decimales no periódicas infinitas iguales y desiguales. Como se sabe, estas fracciones decimales no se pueden convertir en fracciones ordinarias (tales fracciones decimales representan números irracionales), por lo que la comparación de infinitas fracciones decimales no periódicas no se puede reducir a la comparación de fracciones ordinarias.

Definición.

Dos decimales infinitos no periódicos igual, si sus registros coinciden completamente.

Pero hay una advertencia: es imposible ver el registro "terminado" de infinitas fracciones decimales no periódicas, por lo tanto, es imposible estar seguro de la completa coincidencia de sus registros. ¿Cómo ser?

Al comparar infinitas fracciones decimales no periódicas, solo se considera un número finito de signos de las fracciones que se comparan, lo que permite sacar las conclusiones necesarias. Así, la comparación de fracciones decimales infinitas no periódicas se reduce a la comparación de fracciones decimales finitas.

Con este enfoque, podemos hablar de igualdad de infinitas fracciones decimales no periódicas solo hasta el dígito en cuestión. Pongamos ejemplos. Los infinitos decimales no periódicos 5,45839... y 5,45839... son iguales a la centena de milésimas más cercana, ya que los decimales finitos 5,45839 y 5,45839 son iguales; las fracciones decimales no periódicas 19,54... y 19,54810375... son iguales a la centésima más cercana, ya que son iguales a las fracciones 19,54 y 19,54.

Con este enfoque, la desigualdad de infinitas fracciones decimales no periódicas se establece con bastante precisión. Por ejemplo, los decimales infinitos no periódicos 5,6789... y 5,67732... no son iguales, ya que las diferencias en sus notaciones son obvias (los decimales finitos 5,6789 y 5,6773 no son iguales). Los infinitos decimales 6,49354... y 7,53789... tampoco son iguales.

Reglas para comparar fracciones decimales, ejemplos, soluciones.

Después de establecer el hecho de que dos fracciones decimales son desiguales, a menudo es necesario averiguar cuál de estas fracciones es mayor y cuál es menor que la otra. Ahora veremos las reglas para comparar fracciones decimales, lo que nos permitirá responder la pregunta planteada.

En muchos casos, basta con comparar partes enteras de las fracciones decimales que se comparan. Lo siguiente es cierto regla para comparar decimales: cuanto mayor es la fracción decimal cuya parte entera es mayor, y menor es la fracción decimal cuya parte entera es menor.

Esta regla se aplica tanto a fracciones decimales finitas como infinitas. Veamos las soluciones a los ejemplos.

Ejemplo.

Compara los decimales 9,43 y 7,983023….

Solución.

Evidentemente estos decimales no son iguales. La parte entera de la fracción decimal finita 9,43 es igual a 9, y la parte entera de la fracción infinita no periódica 7,983023... es igual a 7. Desde 9>7 (ver comparación de números naturales), entonces 9,43>7,983023.

Respuesta:

9,43>7,983023 .

Ejemplo.

¿Qué fracción decimal 49,43(14) y 1045,45029... es más pequeña?

Solución.

La parte entera de la fracción periódica 49,43(14) es menor que la parte entera de la fracción decimal infinita no periódica 1045,45029..., por tanto, 49,43(14)<1 045,45029… .

Respuesta:

49,43(14) .

Si las partes enteras de las fracciones decimales que se comparan son iguales, entonces para saber cuál de ellas es mayor y cuál es menor, debes comparar las partes fraccionarias. La comparación de partes fraccionarias de fracciones decimales se realiza bit a bit.- de la categoría de décimas a las inferiores.

Primero, veamos un ejemplo de comparación de dos fracciones decimales finitas.

Ejemplo.

Compara los decimales finales 0,87 y 0,8521.

Solución.

Las partes enteras de estas fracciones decimales son iguales (0=0), así que pasamos a comparar las partes fraccionarias. Los valores de las décimas son iguales (8=8), y el valor de las centésimas de una fracción es 0,87 mayor que el valor de las centésimas de una fracción 0,8521 (7>5). Por tanto, 0,87>0,8521.

Respuesta:

0,87>0,8521 .

A veces, para comparar fracciones decimales finales con diferentes números de lugares decimales, a las fracciones con menos lugares decimales se les debe agregar varios ceros a la derecha. Es muy conveniente igualar el número de decimales antes de comenzar a comparar las fracciones decimales finales añadiendo un determinado número de ceros a la derecha de uno de ellos.

Ejemplo.

Compara los decimales finales 18.00405 y 18.0040532.

Solución.

Evidentemente, estas fracciones son desiguales, ya que sus notaciones son diferentes, pero al mismo tiempo tienen partes enteras iguales (18 = 18).

Antes de comparar bit a bit las partes fraccionarias de estas fracciones, igualamos el número de decimales. Para hacer esto, sumamos dos dígitos 0 al final de la fracción 18.00405 y obtenemos una fracción decimal igual 18.0040500.

Los valores de las cifras decimales de las fracciones 18.0040500 y 18.0040532 son iguales hasta las cienmilésimas, y el valor de la millonésima de la fracción 18.0040500 es menor que el valor de la cifra correspondiente de la fracción 18.0040532 (0<3 ), поэтому, 18,0040500<18,0040532 , следовательно, 18,00405<18,0040532 .

Respuesta:

18,00405<18,0040532 .

Al comparar una fracción decimal finita con una infinita, la fracción finita se reemplaza por una fracción periódica infinita igual con un período de 0, después de lo cual se realiza una comparación por dígito.

Ejemplo.

Compara el decimal finito 5.27 con el decimal infinito no periódico 5.270013... .

Solución.

Las partes enteras de estas fracciones decimales son iguales. Los valores de las décimas y centésimas de estas fracciones son iguales y, para realizar una comparación adicional, reemplazamos la fracción decimal finita con una fracción periódica infinita igual con período 0 de la forma 5.270000.... Hasta el quinto decimal, los valores de los decimales 5.270000... y 5.270013... son iguales, y en el quinto decimal tenemos 0<1 . Таким образом, 5,270000…<5,270013… , откуда следует, что 5,27<5,270013… .

Respuesta:

5,27<5,270013… .

La comparación de infinitas fracciones decimales también se realiza por lugares., y finaliza tan pronto como los valores de algunos dígitos resultan ser diferentes.

Ejemplo.

Compara los infinitos decimales 6.23(18) y 6.25181815….

Solución.

Las partes enteras de estas fracciones son iguales y los valores posicionales de las décimas también son iguales. Y el valor de la cifra de las centésimas de una fracción periódica 6,23(18) es menor que la cifra de las centésimas de una fracción decimal no periódica infinita 6,25181815..., por lo tanto, 6,23(18)<6,25181815… .

Respuesta:

6,23(18)<6,25181815… .

Ejemplo.

¿Cuál de los infinitos decimales periódicos 3,(73) y 3,(737) es mayor?

Solución.

Está claro que 3,(73)=3.73737373... y 3,(737)=3.737737737... . En el cuarto decimal termina la comparación bit a bit, ya que ahí tenemos 3<7 . Таким образом, 3,73737373…<3,737737737… , то есть, десятичная дробь 3,(737) больше, чем дробь 3,(73) .

Respuesta:

3,(737) .

Compara decimales con números naturales, fracciones y números mixtos.

El resultado de comparar una fracción decimal con un número natural se puede obtener comparando la parte entera de una fracción dada con un número natural dado. En este caso, las fracciones periódicas con períodos de 0 o 9 deben reemplazarse primero con fracciones decimales finitas iguales a ellas.

Lo siguiente es cierto regla para comparar fracciones decimales y números naturales: si la parte entera de una fracción decimal es menor que un número natural dado, entonces la fracción entera es menor que este número natural; si la parte entera de una fracción es mayor o igual que un número natural dado, entonces la fracción es mayor que el número natural dado.

Veamos ejemplos de la aplicación de esta regla de comparación.

Ejemplo.

Compara el número natural 7 con la fracción decimal 8,8329….

Solución.

Dado que un número natural dado es menor que la parte entera de una fracción decimal dada, entonces este número es menor que una fracción decimal dada.

Respuesta:

7<8,8329… .

Ejemplo.

Compara el número natural 7 y la fracción decimal 7,1.

En esta lección aprenderemos a comparar fracciones entre sí. Esta es una habilidad muy útil y necesaria para resolver toda una clase de problemas más complejos.

Primero, déjame recordarte la definición de igualdad de fracciones:

Se dice que las fracciones a /b y c /d son iguales si ad = bc.

1. 5/8 = 15/24, ya que 5 24 = 8 15 = 120;
2. 3/2 = 27/18, ya que 3 18 = 2 27 = 54.

En todos los demás casos, las fracciones son desiguales y una de las siguientes afirmaciones es cierta para ellas:

1. La fracción a/b es mayor que la fracción c/d;
2. La fracción a/b es menor que la fracción c/d.

Se dice que la fracción a /b es mayor que la fracción c /d si a /b − c /d > 0.

Se dice que una fracción x /y es menor que una fracción s /t si x /y − s /t< 0.

Designación:

Por tanto, comparar fracciones se reduce a restarlas. Pregunta: cómo no confundirse con las notaciones “más que” (>) y “menos que” (<)? Для ответа просто приглядитесь к тому, как выглядят эти знаки:

1. La parte ensanchada de la grajilla siempre apunta hacia el número mayor;
2. La nariz afilada de una grajilla siempre apunta a un número más bajo.

A menudo, en problemas en los que es necesario comparar números, se coloca un signo “∨” entre ellos. Se trata de una grajilla con el hocico gacha, lo que parece insinuar que aún no se ha determinado el mayor de los números.

Tarea. Compara números:

Siguiendo la definición, resta las fracciones entre sí:

En cada comparación, se nos pidió que redujéramos fracciones a un denominador común. Específicamente, usando el método entrecruzado y encontrando el mínimo común múltiplo. Deliberadamente no me centré en estos puntos, pero si algo no está claro, eche un vistazo a la lección "Suma y resta de fracciones": es muy fácil.

Comparación de decimales

En el caso de las fracciones decimales todo es mucho más sencillo. No es necesario restar nada aquí, simplemente compara los dígitos. Es una buena idea recordar cuál es la parte significativa de un número. Para aquellos que lo hayan olvidado, les sugiero que repitan la lección "Multiplicación y división de decimales"; esto también les llevará solo un par de minutos.

Un decimal positivo X es mayor que un decimal positivo Y si contiene un decimal tal que:

1. El dígito en este lugar en la fracción X es mayor que el dígito correspondiente en la fracción Y;
2. Todos los dígitos superiores a este para las fracciones X e Y son iguales.

1. 12.25 > 12.16. Los dos primeros dígitos son iguales (12 = 12) y el tercero es mayor (2 > 1);
2. 0,00697 < 0,01. Первые два разряда опять совпадают (00 = 00), а третий - меньше (0 < 1).

Es decir, repasamos las cifras decimales una a una y buscamos la diferencia. En este caso, un número mayor corresponde a una fracción mayor.

Sin embargo, esta definición requiere una aclaración. Por ejemplo, ¿cómo escribir y comparar decimales? Recuerde: a cualquier número escrito en forma decimal se le pueden agregar cualquier número de ceros a la izquierda. Aquí hay un par de ejemplos más:

1. 0,12 < 951, т.к. 0,12 = 000,12 - приписали два нуля слева. Очевидно, 0 < 9 (речь идет о старшем разряде).
2. 2300,5 > 0,0025, porque 0,0025 = 0000,0025: se agregaron tres ceros a la izquierda. Ahora puedes ver que la diferencia comienza en el primer dígito: 2 > 0.

Por supuesto, en los ejemplos dados con ceros hubo una exageración obvia, pero el punto es exactamente este: complete los bits que faltan a la izquierda y luego compare.

Tarea. Compara fracciones:

1. 0,029 ∨ 0,007;
2. 14,045 ∨ 15,5;
3. 0,00003 ∨ 0,0000099;
4. 1700,1 ∨ 0,99501.

Por definición tenemos:

1. 0,029 > 0,007. Los dos primeros dígitos coinciden (00 = 00), luego comienza la diferencia (2 > 0);
2. 14,045 < 15,5. Различие - во втором разряде: 4 < 5;
3. 0,00003 > 0,0000099. Aquí debes contar cuidadosamente los ceros. Los primeros 5 dígitos en ambas fracciones son cero, pero en la primera fracción hay 3 y en la segunda, 0. Obviamente, 3 > 0;
4. 1700,1 > 0,99501. Reescribamos la segunda fracción como 0000.99501, agregando 3 ceros a la izquierda. Ahora todo es obvio: 1 > 0: la diferencia se detecta en el primer dígito.

Desafortunadamente, el esquema dado para comparar fracciones decimales no es universal. Este método sólo puede comparar numeros positivos. En el caso general, el algoritmo operativo es el siguiente:

1. Una fracción positiva siempre es mayor que una fracción negativa;
2. Se comparan dos fracciones positivas utilizando el algoritmo anterior;
3. Se comparan dos fracciones negativas de la misma forma, pero al final se invierte el signo de desigualdad.

¿Bien no está mal? Ahora veamos ejemplos específicos y todo quedará claro.

Tarea. Compara fracciones:

1. 0,0027 ∨ 0,0072;
2. −0,192 ∨ −0,39;
3. 0,15 ∨ −11,3;
4. 19,032 ∨ 0,0919295;
5. −750 ∨ −1,45.

1. 0,0027 < 0,0072. Здесь все стандартно: две положительные дроби, различие начинается на 4 разряде (2 < 7);
2. −0,192 > −0,39. Las fracciones son negativas, el segundo dígito es diferente. 1< 3, но в силу отрицательности знак неравенства меняется на противоположный;
3. 0,15 > −11,3. Un número positivo siempre es mayor que un número negativo;
4. 19,032 > 0,091. Basta reescribir la segunda fracción en la forma 00.091 para ver que la diferencia surge ya en el 1er dígito;
5. −750 < −1,45. Если сравнить числа 750 и 1,45 (без минусов), легко видеть, что 750 >001.45. La diferencia está en la primera categoría.