Cómo simplificar un radical complejo. Derivación de la fórmula para las raíces de una ecuación cuadrática.

A primera vista, puede parecer que el procedimiento para factorizar una raíz cuadrada es complejo e inaccesible. Pero eso no es cierto. En este artículo, le mostraremos cómo aproximar raíces cuadradas y factores, y cómo resolver raíces cuadradas con facilidad utilizando dos métodos probados.

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Factorizar una raíz

Primero, definamos el propósito del procedimiento de factorización de raíz cuadrada. Objetivo- simplificar la raíz cuadrada y escribirla en una forma conveniente para los cálculos.

Definición 1

Factorizar una raíz cuadrada es encontrar dos o más números que, al multiplicarlos entre sí, den un número igual al original. Por ejemplo: 4x4 = 16.

Si puedes encontrar los factores, puedes simplificar fácilmente la expresión de la raíz cuadrada o eliminarla por completo:

Ejemplo 1

Divide el número radical por 2 si es par.

El número radical siempre debe dividirse entre números primos, ya que cualquier valor de número primo se puede factorizar en factores primos. Si tienes un número impar, intenta dividirlo entre 3. ¿No es divisible entre 3? Continúe dividiendo entre 5, 7, 9, etc.

Escribe la expresión como la raíz del producto de dos números.

Por ejemplo, puedes simplificar 98 de esta manera: = 98 ÷ 2 = 49. Se deduce que 2 × 49 = 98, por lo que podemos reescribir el problema de la siguiente manera: 98 = (2 × 49).

Continúe descomponiendo los números hasta que el producto de dos números idénticos y otros números quede debajo de la raíz.

Tomemos nuestro ejemplo (2 × 49):

Como 2 ya está simplificado al máximo, es necesario simplificar 49. Buscamos un número primo que se pueda dividir por 49. Evidentemente, ni 3 ni 5 son adecuados. Eso deja 7: 49 ÷ 7 = 7, entonces 7 × 7 = 49.

Escribimos el ejemplo de la siguiente forma: (2 × 49) = (2 × 7 × 7).

Simplifica la expresión de raíz cuadrada.

Como entre paréntesis tenemos el producto de 2 y dos números idénticos (7), podemos quitar el número 7 del signo raíz.

Ejemplo 2

(2 × 7 × 7) = (2) × (7 × 7) = (2) × 7 = 7 (2) .

En el momento en que haya dos números idénticos debajo de la raíz, deja de factorizar los números. Eso sí, si has aprovechado al máximo todas las posibilidades.

Recuerda: hay raíces que se pueden simplificar muchas veces.

En este caso, se multiplican los números que sacamos de debajo de la raíz y los números que están delante de ella.

Ejemplo 3

180 = (2 × 90) 180 = (2 × 2 × 45) 180 = 2 45

pero 45 se puede factorizar y simplificar nuevamente la raíz.

180 = 2 (3 × 15) 180 = 2 (3 × 3 × 5) 180 = 2 × 3 5 180 = 6 5

Cuando es imposible obtener dos números idénticos bajo el signo de la raíz, esto significa que dicha raíz no se puede simplificar.

Si, después de descomponer la expresión radical en el producto de números primos, no pudo obtener dos números idénticos, entonces dicha raíz no se puede simplificar.

Ejemplo 4

70 = 35 × 2, entonces 70 = (35 × 2)

35 = 7 × 5, entonces (35 × 2) = (7 × 5 × 2)

Como puedes ver, los tres factores son números primos que no se pueden factorizar. No hay números idénticos entre ellos, por lo que no es posible eliminar un número entero de debajo de la raíz. Simplificar 70 está prohibido.

Plaza llena

Memoriza algunos cuadrados de números primos.

El cuadrado de un número se obtiene multiplicándolo por sí mismo, es decir al elevar al cuadrado. Si recuerda diez cuadrados de números primos, esto simplificará enormemente su vida al simplificar aún más las raíces.

Ejemplo 5

1 2 = 1 2 2 = 4 3 2 = 9 4 2 = 16 5 2 = 25 6 2 = 36 7 2 = 49 8 2 = 64 9 2 = 81 10 2 = 100

Si hay un cuadrado completo debajo del signo de la raíz cuadrada, entonces vale la pena quitar el signo de la raíz y anotar la raíz cuadrada de este cuadrado completo.

¿Difícil? No:

Ejemplo 6

1 = 1 4 = 2 9 = 3 16 = 4 25 = 5 36 = 6 49 = 7 64 = 8 81 = 9 100 = 10

Intenta descomponer el número bajo el signo de la raíz en el producto de un cuadrado perfecto y otro número.

Si ve que la expresión radical se descompone en el producto de un cuadrado perfecto y algún número, al recordar algunos ejemplos, ahorrará mucho tiempo y nervios:

Ejemplo 7

50 = (25 × 2) = 5 2. Si el número radical termina en 25, 50 o 75, siempre puedes factorizarlo en el producto de 25 por algún número.

1700 = (100 × 17) = 10 17. Si el número radical termina en 00, siempre puedes factorizarlo en el producto de 100 por algún número.

72 = (9 × 8) = 3 8. Si la suma de los dígitos de un número radical es 9, siempre puedes factorizarlo en el producto de 9 por algún número.

Intente descomponer el número radical en el producto de varios cuadrados completos: sáquelos de debajo del signo de la raíz y multiplíquelos.

Ejemplo 8

72 = (9 × 8) 72 = (9 × 4 × 2) 72 = 9 × 4 × 2 72 = 3 × 2 × 2 72 = 6 2

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Fórmulas raíz. Propiedades de las raíces cuadradas.

¡Atención!
Hay adicionales
materiales en la Sección Especial 555.
Para los que son muy "no muy..."
Y para los que “mucho…”)

En la lección anterior descubrimos qué es una raíz cuadrada. Es hora de descubrir cuáles existen. fórmulas para raíces¿cuáles son? propiedades de las raíces, y qué se puede hacer con todo esto.

Fórmulas de raíces, propiedades de raíces y reglas para trabajar con raíces.- esto es esencialmente lo mismo. Sorprendentemente existen pocas fórmulas para raíces cuadradas. ¡Lo cual ciertamente me hace feliz! O mejor dicho, puedes escribir muchas fórmulas diferentes, pero para un trabajo práctico y seguro con raíces, solo tres son suficientes. Todo lo demás surge de estos tres. Aunque mucha gente se confunde en las tres fórmulas raíz, sí…

Empecemos por el más sencillo. Aqui esta ella:

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Podrás practicar la resolución de ejemplos y descubrir tu nivel. Pruebas con verificación instantánea. Aprendamos, ¡con interés!)

Puede familiarizarse con funciones y derivadas.

Una expresión radical es una expresión algebraica que está bajo el signo de una raíz (cuadrada, cúbica o de orden superior). A veces, los significados de diferentes expresiones pueden ser los mismos, por ejemplo, 1/(√2 - 1) = √2 + 1. La simplificación de la expresión radical tiene como objetivo llevarla a alguna forma canónica de notación. Si dos expresiones que están escritas en forma canónica siguen siendo diferentes, sus valores no son iguales. En matemáticas, se cree que la forma canónica de escribir expresiones radicales (así como expresiones con raíces) corresponde a las siguientes reglas:

• Si es posible, elimine la fracción debajo del signo raíz.
• Deshazte de expresiones con exponentes fraccionarios
• Si es posible, elimina las raíces del denominador.
• Deshazte de la operación de multiplicación raíz por raíz
• Debajo del signo de la raíz, debe dejar solo aquellos términos de los cuales es imposible extraer una raíz entera.

Estas reglas se pueden aplicar a tareas de prueba. Por ejemplo, si resolviste un problema, pero el resultado no coincide con ninguna de las respuestas dadas, escribe el resultado en forma canónica. Tenga en cuenta que las respuestas a las tareas del examen se dan en forma canónica, por lo que si escribe el resultado en la misma forma, podrá determinar fácilmente la respuesta correcta. Si un problema requiere “simplificar la respuesta” o “simplificar expresiones radicales”, es necesario escribir el resultado en forma canónica. Además, la forma canónica facilita la resolución de ecuaciones, aunque algunas ecuaciones son más fáciles de resolver si te olvidas de la notación canónica por un tiempo.

Pasos

Deshacerse de cuadrados y cubos llenos

Deshacerse de una expresión con exponente fraccionario

Convierte la expresión con un exponente fraccionario en una expresión radical. O, si es necesario, convierta la expresión radical en una expresión fraccionaria, pero nunca mezcle dichas expresiones en una ecuación, por ejemplo, así: √5 + 5^(3/2). Digamos que decides trabajar con las raíces; Denotaremos la raíz cuadrada de n como √n y la raíz cúbica de n como el cubo√n.

Deshacerse de fracciones bajo el signo raíz.

Según la forma canónica de notación, la raíz de una fracción debe representarse como una división de las raíces de números enteros.

Mira la expresión radical. Si es una fracción, pasa al siguiente paso.

Reemplaza la raíz de la fracción con la razón de las dos raíces según la siguiente identidad:√(a/b) = √a/√b.

• No utilice esta identidad si el denominador es negativo o incluye una variable que pueda ser negativa. En este caso, primero simplifica la fracción.

1. Simplifica los cuadrados perfectos (si los tienes). Por ejemplo, √(5/4) = √5/√4 = (√5)/2.

Eliminando la operación de multiplicar raíces.

Deshacerse de factores que son cuadrados perfectos

Factoriza el número radical. Los factores son algunos números que, al multiplicarse, producen el número original. Por ejemplo, 5 y 4 son dos factores del número 20. Si no se puede extraer una raíz entera de un número radical, factoriza el número en sus posibles factores y encuentra un cuadrado perfecto entre ellos.

• Por ejemplo, escribe todos los factores de 45: 1, 3, 5, 9, 15, 45. 9 es un factor de 45 (9 x 5 = 45) y un cuadrado perfecto (9 = 3^2).

1. Tome el multiplicador, que es un cuadrado perfecto, más allá del signo de la raíz. 9 es un cuadrado perfecto porque 3 x 3 = 9. Elimina el 9 debajo del signo raíz y escribe un 3 antes del signo raíz; debajo del signo raíz habrá 5. Si pones el número 3 debajo del signo raíz, se multiplicará por sí mismo y por el número 5, es decir, 3 x 3 x 5 = 9 x 5 = 45. Así, 3 √ 5 es una forma simplificada de notación √45.

   • √45 = √(9 * 5) = √9 * √5 = 3√5.

2. Encuentra el cuadrado perfecto en la expresión radical con la variable. Recuerde: √(a^2) = |a|. Esta expresión se puede simplificar a "a", pero sólo si la variable toma valores positivos. √(a^3) se puede descomponer en √a * √(a^2), porque cuando se multiplican variables idénticas, sus exponentes suman (a * a^2 = a^3).

   • Así, en la expresión a^3, el cuadrado perfecto es a^2.

3. Saca la variable que es un cuadrado perfecto fuera del signo de la raíz. Deshazte de la a^2 debajo del signo raíz y escribe una "a" antes del signo raíz. Por lo tanto, √(a^3) = a√a.

   Da términos similares y simplifica cualquier expresión racional.

Deshacerse de las raíces en el denominador (racionalización del denominador)

1. Según la forma canónica, el denominador debe, si es posible, incluir sólo números enteros (o un polinomio si hay una variable presente).

   • Si el denominador es un monomio radical, como [numerador]/√5, multiplica el numerador y el denominador por esa raíz: ([numerador] * √5)/(√5 * √5) = ([numerador] * √5 )/5.
     • Para una raíz cúbica o una raíz de una potencia superior, multiplica el numerador y el denominador por la raíz con la expresión radical a la potencia apropiada para racionalizar el denominador. Si, por ejemplo, el denominador es el cubo de √5, multiplica el numerador y el denominador por el cubo de √(5^2).
   • Si el denominador es una suma o diferencia de raíces cuadradas, como √2 + √6, multiplica el numerador y el denominador por el conjugado, es decir, la expresión con signo opuesto entre sus términos. Por ejemplo: [numerador]/(√2 + √6) = ([numerador] * (√2 - √6))/((√2 + √6) * (√2 - √6)). Luego usa la fórmula de diferencia de cuadrados ((a + b)(a - b) = a^2 - b^2) para racionalizar el denominador: (√2 + √6)(√2 - √6) = (√2 )^2 - (√6)^2 = 2 - 6 = -4.
     • La fórmula de diferencia de cuadrados también se puede aplicar a una expresión de la forma 5 + √3 porque cualquier número entero es la raíz cuadrada de otro número entero. Por ejemplo: 1/(5 + √3) = (5 - √3)/((5 + √3)(5 - √3)) = (5 - √3)/(5^2 - (√3) ^ 2) = (5 - √3)/(25 - 3) = (5 - √3)/22
     • Este método se puede aplicar a la suma de raíces cuadradas como √5 - √6 + √7. Si agrupas esta expresión en la forma (√5 - √6) + √7 y la multiplicas por (√5 - √6) - √7, no te desharás de las raíces, pero obtendrás una expresión de la forma a + b * √30, donde "a" y "b" son monomios sin raíz. Luego, la expresión resultante se puede multiplicar por su conjugado: (a + b * √30)(a - b * √30) para eliminar las raíces. Es decir, si una expresión conjugada se puede usar una vez para eliminar un cierto número de raíces, entonces se puede usar tantas veces como sea necesario para eliminar todas las raíces.
     • Este método también se aplica a raíces de grados superiores, como la expresión "raíz cuarta de 3 más raíz séptima de 9". En este caso, multiplica el numerador y el denominador por la expresión conjugada del denominador. Pero aquí la expresión conjugada será ligeramente diferente en comparación con las descritas anteriormente. Puedes leer sobre este caso en los libros de texto de álgebra.
2. Los métodos descritos no se pueden aplicar a algunos problemas simples. Para algunos problemas complejos, estos métodos deben aplicarse más de una vez. Simplifique las expresiones resultantes paso a paso y luego verifique si la respuesta final está escrita en forma canónica, cuyos criterios se dan al principio de este artículo. Si la respuesta se presenta en forma canónica, el problema está resuelto; de lo contrario, utilice nuevamente uno de los métodos descritos.
3. Como regla general, la forma canónica de notación también se aplica a los números complejos (i = √(-1)). Incluso si un número complejo se escribe como i en lugar de como raíz, es mejor eliminar la i en el denominador.
4. Algunos de los métodos descritos aquí implican trabajar con raíces cuadradas. Los principios generales son los mismos para las raíces cúbicas o las raíces superiores, pero algunos métodos (en particular, el método de racionalización del denominador) pueden resultar bastante difíciles de aplicar. Además, pregúntale a tu profesor sobre la notación correcta de las raíces (cubo√4 o cubo√(2^2)).
5. En algunas secciones de este artículo se utiliza incorrectamente el concepto de "forma canónica"; de lo que realmente deberíamos estar hablando es de una "forma estándar" de notación. La diferencia es que la forma canónica requiere escribir 1 + √2 o √2 +1; la forma estándar implica que ambas expresiones (1 + √2 y √2 +1) son indudablemente iguales, incluso si se escriben de manera diferente. Aquí, "seguramente" significa aritmética (la suma es conmutativa) en lugar de propiedades algebraicas (√2 ​​​​es una raíz no negativa de x^2-2).
6. Si los métodos descritos parecen ambiguos o se contradicen entre sí, realice operaciones matemáticas consistentes e inequívocas y escriba la respuesta según lo requiera el maestro o según lo prescrito en el libro de texto.

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El objetivo de simplificar la raíz cuadrada es reescribirla en una forma que sea más fácil de usar en los cálculos. Factorizar un número es encontrar dos o más números que, al multiplicarlos, darán el número original, por ejemplo, 3 x 3 = 9. Al encontrar los factores, puedes simplificar la raíz cuadrada o eliminarla por completo. Por ejemplo, √9 = √(3x3) = 3.

Si el número radical es par, divídelo por 2. Si el número radical es impar, intenta dividirlo entre 3 (si el número no es divisible entre 3, divídelo entre 5, 7, y así sucesivamente hasta la lista de números primos). Divide el número radical exclusivamente en números primos, ya que cualquier número se puede factorizar en factores primos. Por ejemplo, no necesitas dividir el radical entre 4 porque 4 es divisible entre 2 y ya dividiste el radical entre 2.

Reescribe el problema como raíz del producto de dos números. Por ejemplo, simplifiquemos √98: 98 ÷ 2 = 49, entonces 98 = 2 x 49. Reescribe el problema así: √98 = √(2 x 49).