Cómo saber el radio de una bola conociendo su volumen. Desarrollo de un programa sencillo para calcular el área de un círculo y el volumen de una esfera como aplicación para Windows

Escribe un programa para calcular el área de un círculo. S y volumen de la pelota V basado en un radio dado R. Implemente el programa como una aplicación de Windows.

Formulación matemática del problema.

Antes de comenzar a desarrollar una aplicación, es necesario realizar una formulación matemática del problema, es decir, determinar las fórmulas mediante las cuales se realizará el cálculo, así como los datos de entrada y los resultados de salida.

El área de un círculo se calcula mediante la fórmula:

S = π · R²

El valor de entrada aquí es el radio del círculo R, el resultado es el área del círculo - S.
El volumen de la pelota se calcula mediante la fórmula:

V = 4/3πR³

El valor de entrada aquí es, nuevamente, el radio del círculo R, el resultado es el volumen de la bola (aunque, como sabes, la “bola” no tiene volumen).
Ambas fórmulas contienen la constante π , igual a 3,14159.
Así, trazaremos una secuencia de etapas para la resolución del problema (Figura 1).

Arroz. 1. Etapas de resolución del problema.

Ejecución

1. Crear una aplicación del tipo Aplicación de formulario VCL.

Lanzar un sistema de desarrollo de aplicaciones visuales. Embracadero RAD Studio Delphi 2010 y crear una aplicación de Windows. Se describe un ejemplo detallado de creación de una aplicación utilizando la plantilla de aplicación de Windows Form.

La vista inicial del formulario de solicitud antes de comenzar el diseño se muestra en la Figura 2.

Arroz. 2. Vista de la ventana del programa.

2. Pestaña Estándar de la Paleta de herramientas.

Esta aplicación requiere el uso de varios componentes, que se enumeran a continuación:

• tipo de componente Etiqueta T, que representa una línea de texto que se muestra en el formulario;
• tipo de componente Botón T, que representa un botón en el formulario;
• tipo de componente TEdi t, que es la cadena de entrada de texto.

Todos estos componentes están ubicados en la Paleta de herramientas en la pestaña Estándar (ver Fig. 3).

Arroz. 3. Pestaña Estándar en la paleta de componentes

3. Componente TLabel

3.1. Colocar un componente TLabel en un formulario

Para hacer esto, debe hacer clic en el componente TLabel (Fig. 4) y luego hacer clic en la esquina superior izquierda del formulario, como se muestra en la Fig. 5.

Arroz. 4. Componente TLabel en la paleta de herramientas.

Arroz. 5. Componente de tipo TLabel en el formulario principal del programa.

3.2. Configurar texto en TLabel

Para realizar cualquier acción con un componente TLabel, primero debe seleccionarlo con el mouse o seleccionándolo en el panel Inspector de objetos. Después de esto, establezca la propiedad Caption del componente TLabel en el valor " R="(Figura 6).

Arroz. 6. Propiedad del título

Como resultado, el texto "Label1" en el formulario cambiará al texto "R = ".
El Inspector de objetos le permite ver muchas otras propiedades de este componente. En nuestro caso, nos interesará la propiedad Nombre, que contiene el valor del nombre de la variable (objeto). Por defecto, este valor es "Etiqueta1". Esto significa que al escribir código de programa, se puede acceder a las propiedades de este componente con el prefijo "Etiqueta". Por ejemplo, para cambiar la propiedad Título en un programa, debe escribir la siguiente línea:

De la misma manera, colocamos componentes en el formulario con los nombres Label2 y Label3 justo debajo del componente anterior. Establezca los valores de la propiedad Caption en “S =” y “V =”, respectivamente.

El formulario de solicitud debería verse así (Fig. 7).

Arroz. 7. Formulario de solicitud después de colocar los componentes Etiqueta1, Etiqueta2, Etiqueta3

La transferencia y procesamiento de todos los demás componentes de la Paleta de herramientas se realiza de la misma manera.

4. Componente TEdit

Agregue un componente TEdit desde la Paleta de herramientas desde la pestaña Estándar, que representa la línea de entrada. Utilizando este componente obtendremos los valores del radio del círculo ingresados ​​por el usuario desde el teclado. Después de agregar un componente al formulario, Delphi crea un componente variable llamado Edit1 (propiedad Nombre).

Borre la propiedad Texto del componente.

5. Componente del botón T

Agregue un componente TButton de la paleta de herramientas, que es un botón normal, después de hacer clic en él se calculará el área del círculo y el volumen de la bola. En la aplicación, Delphi agregará automáticamente un componente variable llamado Botón1.

Establezca la propiedad Título del componente en el valor "Calcular".

El formulario de solicitud en modo diseño se verá como se muestra en la Fig. 8.

Arroz. 8. Formulario de solicitud después de agregar los componentes TEdit y TButton

6. Programar un evento de clic en el botón “Calcular”

El siguiente paso en la aplicación que se está desarrollando es programar el evento en Delphi, que ocurre cuando se hace clic en el Botón1.

Delphi 2010 crea automáticamente un fragmento de código de programa en el que debe ingresar su propio código de procesamiento de eventos. El código generado por el sistema es el siguiente:

La primera tarea es determinar las entradas, salidas o variables intermedias que se utilizarán en el programa.

Según las condiciones del problema, en nuestro programa describiremos tres variables con la designación adecuada:

• R – radio del círculo;
• S – área de un círculo;
• V – volumen de la pelota.

Todas las variables deben ser de tipo real.
El programa también utiliza una constante: el número Pi. Denotémoslo con el nombre de Pi. Cabe señalar que Delphi tiene una función incorporada llamada Pi, pero no la usaremos en nuestra aplicación. Así, la descripción de variables y constantes antes de la palabra comenzar será la siguiente:

Entre las declaraciones de inicio y fin ingresamos las siguientes líneas del código principal del programa:

Expliquemos algunas funciones (métodos) utilizadas en el código del programa. La función StrToFloat convierte el valor de cadena Edit1.Text en un número real. Por ejemplo, después de ejecutar el siguiente código

el valor de x será -3,675.

En los párrafos 2 y 3, los cálculos habituales del área de un círculo y el volumen de una bola se realizan mediante operaciones aritméticas en lenguaje Pascal.

En el párrafo 4 se muestran los resultados. Dado que el programa está implementado como una aplicación de Windows, para mostrar el resultado basta con completar el valor de la propiedad Caption en los componentes Label2 (área) y Label3 (volumen).

La función FloatToStrF realiza la conversión inversa a la función StrToFloat, es decir, convierte un número real en una cadena. Por ejemplo, para convertir el número 2,87 en una cadena con una precisión de 4 decimales, debes escribir:

donde v es una variable de tipo real; str – variable de tipo cadena; ffFijo – formato de conversión. La constante 8 significa que se utiliza un ancho de salida total de 8 caracteres. La constante 4 significa precisión decimal.

La lista general del procedimiento para procesar el evento OnClick del componente Button1 se ve así:

Label3.Caption:="V=" +FloatToStrF(V,ffFixed,8,3);

7. Configurar el nombre de la aplicación Para cambiar el nombre de la aplicación en lugar del incomprensible "Form1", debe establecer la propiedad Título del formulario principal en "«.

Cálculo del área de un círculo y el volumen de una pelota.

8. Resultado de la ejecución de la aplicación.

Después de iniciar la aplicación (programa) para su ejecución, se muestra una ventana que le solicita que ingrese el radio del círculo R. Introduzca el valor 2,5. La ventana con el resultado de la ejecución del programa se muestra en la Figura 9.

Arroz. 9. Resultado de la ejecución de la aplicación.

Resultados

• Para solucionar este problema se utilizaron los siguientes tipos de componentes:
• TLabel es un componente de tipo "etiqueta" que representa una cadena de texto normal para mostrar en el formulario;
• TButton: un componente que representa un botón normal en un formulario;

TEdit es un componente que implementa una línea de entrada diseñada para recibir información ingresada por el usuario desde el teclado.

Para diseñar la interfaz del programa, utilizamos la Paleta de herramientas y el Inspector de objetos.

• También consideramos dos funciones adicionales que convierten una cadena en un número y viceversa, a saber:
• la función StrToFloat, que convierte una cadena que representa un número en un número real (por ejemplo, '3.678' => 3.678), teniendo en cuenta la configuración regional de Windows;

Función FloatToStrF, que convierte un número real en una cadena según un formato determinado (por ejemplo 2,88 => '2,880') teniendo en cuenta la configuración regional de Windows.

El radio de una bola (denotado como r o R) es el segmento que conecta el centro de la bola con cualquier punto de su superficie. Al igual que con un círculo, el radio de una pelota es una cantidad importante necesaria para encontrar el diámetro, la circunferencia, el área de superficie y/o el volumen de la pelota. Pero el radio de la bola también se puede encontrar a partir de un valor dado de diámetro, circunferencia y otra cantidad. Utilice una fórmula en la que pueda sustituir estos valores.

Pasos

Fórmulas para calcular el radio. Calcula el radio a partir del diámetro. El radio es igual a la mitad del diámetro, así que usa la fórmula. Esta es la misma fórmula que se utiliza para calcular el radio y el diámetro de un círculo.

• Por ejemplo, dada una pelota con un diámetro de 16 cm, el radio de esta pelota: r = 16/2 =. 8cm. Si el diámetro es de 42 cm, entonces el radio es 21cm (42/2=21).

1. Calcula el radio a partir de la circunferencia. Usa la fórmula: r = C/2π. Dado que la circunferencia de un círculo es C = πD = 2πr, divida la fórmula para calcular la circunferencia por 2π y obtenga la fórmula para encontrar el radio.

   • Por ejemplo, dada una pelota con una circunferencia de 20 cm, el radio de esta pelota es: r = 20/2π = 3,183cm.
   • Se utiliza la misma fórmula para calcular el radio y la circunferencia de un círculo.

2. Calcula el radio a partir del volumen de la esfera. Usa la fórmula: r = ((V/π)(3/4)) 1/3. El volumen de la pelota se calcula mediante la fórmula V = (4/3)πr 3. Aislando r en un lado de la ecuación, se obtiene la fórmula ((V/π)(3/4)) 3 = r, es decir, para calcular el radio, se divide el volumen de la bola por π, se multiplica el resultado por 3/4, y eleva el resultado resultante a una potencia de 1/3 (o saca la raíz cúbica).

   • Por ejemplo, dada una pelota con un volumen de 100 cm 3 . El radio de esta bola se calcula de la siguiente manera:
     • ((V/π)(3/4)) 1/3 = r
     • ((100/π)(3/4)) 1/3 = r
     • ((31,83)(3/4)) 1/3 = r
     • (23.87) 1/3 = r
     • 2,88 centímetros=r

3. Calcula el radio a partir del área de la superficie. Usa la fórmula: gramo = √(A/(4 π)). El área de superficie de la pelota se calcula mediante la fórmula A = 4πr 2. Aislar r en un lado de la ecuación te da la fórmula √(A/(4π)) = r, que consiste en calcular el radio tomando la raíz cuadrada del área de la superficie dividida por 4π. En lugar de sacar la raíz, la expresión (A/(4π)) se puede elevar a la potencia de 1/2.

   • Por ejemplo, dada una esfera con una superficie de 1200 cm 3 . El radio de esta bola se calcula de la siguiente manera:
     • √(A/(4π)) = r
     • √(1200/(4π)) = r
     • √(300/(π)) = r
     • √(95,49) = r
     • 9,77 centímetros=r

   Determinación de cantidades básicas.

   1. Recuerda las cantidades básicas que son relevantes para calcular el radio de una bola. El radio de una pelota es el segmento que conecta el centro de la pelota con cualquier punto de su superficie. El radio de una bola se puede calcular a partir de valores dados de diámetro, circunferencia, volumen o superficie.

      Usa los valores de estas cantidades para encontrar el radio. El radio se puede calcular a partir de valores dados de diámetro, circunferencia, volumen y área de superficie. Además, los valores indicados se pueden encontrar a partir de un valor de radio determinado. Para calcular el radio, simplemente convierta las fórmulas para encontrar los valores que se muestran. A continuación se muestran las fórmulas (que incluyen el radio) para calcular el diámetro, la circunferencia, el volumen y el área de superficie.

   Encontrar el radio a partir de la distancia entre dos puntos.

   1. Encuentra las coordenadas (x,y,z) del centro de la pelota. El radio de una pelota es igual a la distancia entre su centro y cualquier punto que se encuentre en la superficie de la pelota. Si se conocen las coordenadas del centro de la bola y de cualquier punto que se encuentre en su superficie, puedes encontrar el radio de la bola usando una fórmula especial calculando la distancia entre dos puntos. Primero encuentra las coordenadas del centro de la pelota. Ten en cuenta que como la pelota es una figura tridimensional, el punto tendrá tres coordenadas (x, y, z), en lugar de dos (x, y).

      • Veamos un ejemplo. Dada una pelota con coordenadas centrales (4,-1,12) . Usa estas coordenadas para encontrar el radio de la pelota.

   2. Encuentra las coordenadas de un punto que se encuentra en la superficie de la pelota. Ahora necesitamos encontrar las coordenadas (x,y,z) cualquier punto que se encuentra sobre la superficie de la pelota. Dado que todos los puntos que se encuentran en la superficie de la pelota están ubicados a la misma distancia del centro de la pelota, puedes elegir cualquier punto para calcular el radio de la pelota.

      • En nuestro ejemplo, supongamos que algún punto que se encuentra en la superficie de la pelota tiene coordenadas (3,3,0) . Calculando la distancia entre este punto y el centro de la pelota, encontrarás el radio.

   3. Calcule el radio usando la fórmula d = √((x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2). Habiendo descubierto las coordenadas del centro de la pelota y un punto que se encuentra en su superficie, puedes encontrar la distancia entre ellos, que es igual al radio de la pelota. La distancia entre dos puntos se calcula mediante la fórmula d = √((x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2), donde d es la distancia entre los puntos , (x 1, y 1 ,z 1) – coordenadas del centro de la pelota, (x 2 , y 2 , z 2) – coordenadas de un punto que se encuentra en la superficie de la pelota.

      • En el ejemplo considerado, en lugar de (x 1,y 1,z 1) sustituya (4,-1,12), y en lugar de (x 2,y 2,z 2) sustituya (3,3,0):
        • d = √((x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2)
        • d = √((3 - 4) 2 + (3 - -1) 2 + (0 - 12) 2)
        • re = √((-1) 2 + (4) 2 + (-12) 2)
        • re = √(1 + 16 + 144)
        • re = √(161)
        • re = 12,69. Este es el radio deseado de la bola.

   4. Tenga en cuenta que en casos generales r = √((x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2). Todos los puntos que se encuentran en la superficie de la pelota están ubicados a la misma distancia del centro de la pelota. Si en la fórmula para encontrar la distancia entre dos puntos “d” se reemplaza por “r”, se obtiene una fórmula para calcular el radio de la bola a partir de las coordenadas conocidas (x 1,y 1,z 1) del centro de la pelota y las coordenadas (x 2,y 2,z 2 ) de cualquier punto que se encuentre en la superficie de la pelota.

      • Eleva al cuadrado ambos lados de esta ecuación y obtienes r 2 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2. Tenga en cuenta que esta ecuación corresponde a la ecuación de una esfera r 2 = x 2 + y 2 + z 2 con su centro en las coordenadas (0,0,0).
   • No te olvides del orden de realización de las operaciones matemáticas. Si no recuerda este orden y su calculadora puede funcionar con paréntesis, utilícelos.
   • Este artículo habla sobre cómo calcular el radio de una bola. Pero si tienes problemas para aprender geometría, lo mejor es empezar calculando las cantidades asociadas a una bola utilizando un valor de radio conocido.
   • π (Pi) es una letra del alfabeto griego que denota una constante igual a la relación entre el diámetro de un círculo y la longitud de su circunferencia. Pi es un número irracional que no se escribe como una proporción de números reales. Hay muchas aproximaciones, por ejemplo, la relación 333/106 le permitirá encontrar Pi con una precisión de cuatro decimales. Como regla general, utilizan el valor aproximado de Pi, que es 3,14.

Teorema del volumen de una bola El volumen de una bola de radio R es igual a 4/3 πR 3 R x B O C M A Prueba Considere una bola de radio R con centro en el punto O y elija el eje Ox arbitrariamente. Una sección de una bola por un plano perpendicular al eje Ox y que pasa por el punto M de este eje es un círculo con centro en el punto M. Denotaremos el radio de este círculo por R y su área por S(x) , donde x es la abscisa del punto M. Expresemos S( x) a través de x y R. Del triángulo rectángulo OMC encontramos R = OC²-OM² = R²-x² Dado que S (x) = n r², entonces S ( x) = n (R²-x²). Tenga en cuenta que esta fórmula es cierta para cualquier posición del punto M en el diámetro AB, es decir, para todo x que cumpla la condición –R x R. Aplicando la fórmula básica para calcular los volúmenes de cuerpos con a = –R, b = R, tenemos obtener: R R R R R R V = p (R²-x²) dx = p R² dxp - x²dx = p R²x - px³/3 = 4/3 pR³. -R -R -R -R -R El teorema está demostrado x

Volúmenes de un segmento esférico, capa esférica y sector esférico A) Un segmento esférico es una parte de una bola separada de ella por algún plano. En la Figura 1, el plano de corte α, que pasa por el punto B, divide la bola en 2 segmentos esféricos. El círculo obtenido en la sección se llama base de cada uno de estos segmentos, y las longitudes de los segmentos AB y BC de diámetro AC perpendiculares al plano de corte se llaman alturas de los segmentos. x AB=h α O A C Segmento de bola Fig. 1

Si el radio de la bola es igual a R y la altura del segmento es igual a h (en la Fig. 1 h = AB), entonces el volumen V del segmento esférico se calcula mediante la fórmula: V = рh² (R -1/3h). · B) La capa esférica es la parte de la bola encerrada entre 2 planos de corte paralelos (Fig. 2). Los círculos obtenidos en la sección de la bola por estos planos se denominan bases de la capa esférica, y la distancia entre los planos es la altura de la capa esférica. El volumen de la capa esférica se puede calcular como la diferencia de los volúmenes de dos segmentos esféricos. A B C x Fig. 2 Capa de bolas

C) Un sector esférico es un cuerpo que se obtiene al girar un sector circular con un ángulo inferior a 90 grados alrededor de una línea recta que contiene uno de los radios que limitan el sector circular (Fig. 3). El sector esférico consta de un segmento esférico y un cono. Si el radio de la bola es igual a R y la altura del segmento esférico es igual a h, entonces el volumen V del sector esférico se calcula mediante la fórmula: V = 2/3 pR² h h O R r Fig. 3 Bola sector

Área de una esfera A diferencia de la superficie lateral de un cilindro o cono, una esfera no se puede girar sobre un plano y, por lo tanto, el método para determinar y calcular el área de la superficie mediante un desarrollo no es adecuado para ella. Para determinar el área de una esfera utilizamos el concepto de poliedro circunscrito. Sea un poliedro descrito alrededor de una esfera que tenga n caras. Incrementaremos n sin límite de tal forma que el tamaño mayor de cada cara de los poliedros descritos tienda a cero. Para el área de una esfera, tomamos el límite de la secuencia de áreas de superficie de poliedros descrita alrededor de la esfera ya que el tamaño más grande de cada cara tiende a cero => ">

donde V es el requerido volumen de la pelota, π – 3,14, R – radio.

Así, con un radio de 10 centímetros volumen de la pelota igual a:

En geometría pelota se define como un cuerpo determinado, que es una colección de todos los puntos en el espacio que se encuentran desde el centro a una distancia no mayor que una determinada, llamada radio de la bola. La superficie de la pelota se llama esfera, y la pelota en sí se forma girando un semicírculo alrededor de su diámetro, permaneciendo inmóvil.

Este cuerpo geométrico lo encuentran a menudo los ingenieros de diseño y los arquitectos, que a menudo tienen que calcular el volumen de una esfera. Por ejemplo, en el diseño de la suspensión delantera de la gran mayoría de los coches modernos se utilizan las llamadas rótulas, en las que, como se puede adivinar fácilmente por el nombre, las bolas son uno de los elementos principales. Con su ayuda, se conectan los cubos de las ruedas direccionales y las palancas. Sobre qué tan correcto será calculado su volumen depende en gran medida no sólo de la durabilidad de estas unidades y del correcto funcionamiento de estas unidades, sino también de la seguridad del tráfico.

En tecnología, se utilizan ampliamente piezas como los rodamientos de bolas, con la ayuda de los cuales se fijan los ejes en las partes fijas de varios componentes y conjuntos y se garantiza su rotación. Cabe señalar que al calcularlos, los diseñadores necesitan encontrar el volumen de la esfera(o más bien, bolas colocadas en una jaula) con un alto grado de precisión. En cuanto a la fabricación de bolas metálicas, se producen a partir de alambre metálico mediante un proceso complejo que incluye las etapas de conformado, endurecimiento, desbaste, acabado y limpieza. Por cierto, las bolas que están incluidas en el diseño de todos los bolígrafos se fabrican exactamente con la misma tecnología.

Muy a menudo, las bolas también se utilizan en arquitectura, donde suelen ser elementos decorativos de edificios y otras estructuras. En la mayoría de los casos, están hechos de granito, lo que suele requerir mucho trabajo manual. Por supuesto, no es necesario mantener una precisión tan alta en la fabricación de estas bolas como las que se utilizan en diversas unidades y mecanismos.

Un juego tan interesante y popular como el billar es impensable sin bolas. Para su elaboración se utilizan diversos materiales (hueso, piedra, metal, plástico) y diversos procesos tecnológicos. Uno de los principales requisitos de las bolas de billar es su alta resistencia y su capacidad para soportar cargas mecánicas elevadas (principalmente golpes). Además, su superficie debe ser una esfera exacta para garantizar un rodamiento suave y uniforme sobre la superficie de las mesas de billar.

Finalmente, ni un solo árbol de Año Nuevo o de Navidad puede prescindir de cuerpos geométricos como las bolas. Estas decoraciones se fabrican en la mayoría de los casos de vidrio mediante el método de soplado, y en su producción se presta la mayor atención no a la precisión dimensional, sino a la estética de los productos. El proceso tecnológico está casi completamente automatizado y las bolas navideñas se envasan únicamente manualmente.