Qué sistema tiene un número infinito de soluciones. Sistemas de ecuaciones lineales.

Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas. llamado sistema de la forma

Dónde un ij Y b yo (i=1,…,metro; b=1,…,norte) son algunos números conocidos, y x 1 ,…,x n- desconocido. En la designación de coeficientes. un ij primer índice i denota el número de ecuación, y el segundo j– el número de la incógnita en la que se encuentra este coeficiente.

Escribiremos los coeficientes de las incógnitas en forma de matriz. , que llamaremos matriz del sistema.

Los números en el lado derecho de las ecuaciones son b 1 ,…,b m son llamados miembros libres.

Totalidad norte números c 1 ,…,c norte llamado decisión de un sistema dado, si cada ecuación del sistema se convierte en una igualdad después de sustituir números en ella c 1 ,…,c norte en lugar de las incógnitas correspondientes x 1 ,…,x n.

Nuestra tarea será encontrar soluciones al sistema. En este caso pueden surgir tres situaciones:

Un sistema de ecuaciones lineales que tiene al menos una solución se llama articulación. De lo contrario, es decir Si el sistema no tiene soluciones, entonces se llama. no conjunto.

Consideremos formas de encontrar soluciones al sistema.

MÉTODO MATRIZ PARA LA RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Las matrices permiten escribir brevemente un sistema de ecuaciones lineales. Sea un sistema de 3 ecuaciones con tres incógnitas:

Considere la matriz del sistema. y columnas de matrices de términos desconocidos y libres

busquemos el trabajo

aquellos. como resultado del producto, obtenemos los lados izquierdos de las ecuaciones de este sistema. Entonces, usando la definición de igualdad matricial, este sistema se puede escribir en la forma

o más corto A∙X=B.

Aqui estan las matrices A Y B son conocidos, y la matriz X desconocido. Es necesario encontrarlo, porque... sus elementos son la solución a este sistema. Esta ecuación se llama ecuación matricial.

Sea el determinante de la matriz diferente de cero | A| ≠ 0. Entonces la ecuación matricial se resuelve de la siguiente manera. Multiplica ambos lados de la ecuación de la izquierda por la matriz. A-1, inversa de la matriz A: . Porque el A -1 A = E Y mi∙X=X, entonces obtenemos una solución a la ecuación matricial en la forma X = A-1B .

Tenga en cuenta que dado que la matriz inversa sólo se puede encontrar para matrices cuadradas, el método matricial sólo puede resolver aquellos sistemas en los que el número de ecuaciones coincide con el número de incógnitas. Sin embargo, el registro matricial del sistema también es posible en el caso de que el número de ecuaciones no sea igual al número de incógnitas, entonces la matriz A no será cuadrado y por lo tanto es imposible encontrar una solución al sistema en la forma X = A-1B.

Ejemplos. Resolver sistemas de ecuaciones.

LA REGLA DE CRAMER

Considere un sistema de 3 ecuaciones lineales con tres incógnitas:

Determinante de tercer orden correspondiente a la matriz del sistema, es decir compuesto de coeficientes para incógnitas,

llamado determinante del sistema.

Compongamos tres determinantes más de la siguiente manera: reemplace secuencialmente 1, 2 y 3 columnas en el determinante D con una columna de términos libres

Entonces podemos probar el siguiente resultado.

Teorema (regla de Cramer). Si el determinante del sistema Δ ≠ 0, entonces el sistema considerado tiene una y solo una solución, y

Prueba. Entonces, consideremos un sistema de 3 ecuaciones con tres incógnitas. Multipliquemos la 1ª ecuación del sistema por el complemento algebraico un 11 elemento un 11, 2da ecuación – en un 21 y tercero – en un 31:

Sumemos estas ecuaciones:

Veamos cada uno de los corchetes y el lado derecho de esta ecuación. Por el teorema de la expansión del determinante en elementos de la 1ª columna

De manera similar, se puede demostrar que y .

Finalmente, es fácil notar que

Así, obtenemos la igualdad: .

Por eso, .

Las igualdades y se derivan de manera similar, de lo que se sigue el enunciado del teorema.

Así, observamos que si el determinante del sistema Δ ≠ 0, entonces el sistema tiene solución única y viceversa. Si el determinante del sistema es igual a cero, entonces el sistema tiene un número infinito de soluciones o no tiene soluciones, es decir incompatible.

Ejemplos. Resolver sistema de ecuaciones.

MÉTODO GAUSS

Los métodos discutidos anteriormente se pueden utilizar para resolver solo aquellos sistemas en los que el número de ecuaciones coincide con el número de incógnitas y el determinante del sistema debe ser diferente de cero. El método de Gauss es más universal y adecuado para sistemas con cualquier número de ecuaciones. Consiste en la eliminación constante de incógnitas de las ecuaciones del sistema.

Consideremos nuevamente un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas:

.

Dejaremos la primera ecuación sin cambios, y de la 2ª y 3ª excluiremos los términos que contengan x1. Para hacer esto, divida la segunda ecuación por A 21 y multiplicar por – A 11, y luego sumarlo a la primera ecuación. De manera similar, dividimos la tercera ecuación por A 31 y multiplicar por – A 11, y luego sumarlo con el primero. Como resultado, el sistema original tomará la forma:

Ahora de la última ecuación eliminamos el término que contiene x2. Para hacer esto, divide la tercera ecuación por, multiplica por y suma con la segunda. Entonces tendremos un sistema de ecuaciones:

A partir de aquí, a partir de la última ecuación es fácil encontrar x3, entonces de la segunda ecuación x2 y finalmente, de 1º - x1.

Cuando se utiliza el método gaussiano, las ecuaciones se pueden intercambiar si es necesario.

A menudo, en lugar de escribir un nuevo sistema de ecuaciones, se limitan a escribir la matriz extendida del sistema:

y luego llevarlo a una forma triangular o diagonal usando transformaciones elementales.

A transformaciones elementales Las matrices incluyen las siguientes transformaciones:

1. reorganizar filas o columnas;
2. multiplicar una cadena por un número distinto de cero;
3. agregando otras líneas a una línea.

Ejemplos: Resolver sistemas de ecuaciones utilizando el método de Gauss.

Por tanto, el sistema tiene un número infinito de soluciones.

Sin embargo, en la práctica hay dos casos más generalizados:

– El sistema es inconsistente (no tiene soluciones);
– El sistema es consistente y tiene infinitas soluciones.

Nota : El término “consistencia” implica que el sistema tiene al menos alguna solución. En una serie de problemas, primero es necesario examinar la compatibilidad del sistema; cómo hacerlo; consulte el artículo sobre; rango de matrices.

Para estos sistemas, se utiliza el más universal de todos los métodos de solución: método gaussiano. De hecho, el método "escolar" también conducirá a la respuesta, pero en matemáticas superiores se acostumbra utilizar el método gaussiano de eliminación secuencial de incógnitas. Aquellos que no estén familiarizados con el algoritmo del método gaussiano, estudien primero la lección. Método gaussiano para tontos.

Las transformaciones matriciales elementales en sí son exactamente iguales., la diferencia estará en el final de la solución. Primero, veamos un par de ejemplos en los que el sistema no tiene soluciones (inconsistente).

Ejemplo 1

¿Qué le llama inmediatamente la atención sobre este sistema? El número de ecuaciones es menor que el número de variables. Si el número de ecuaciones es menor que el número de variables, entonces podemos decir inmediatamente que el sistema es inconsistente o tiene infinitas soluciones. Y ya sólo queda descubrirlo.

El comienzo de la solución es completamente normal: escribimos la matriz extendida del sistema y, utilizando transformaciones elementales, la llevamos a una forma escalonada:

(1) En el paso superior izquierdo necesitamos obtener +1 o –1. No existen tales números en la primera columna, por lo que reorganizar las filas no dará nada. La unidad tendrá que organizarse y esto se puede hacer de varias maneras. Hice esto: A la primera línea le sumamos la tercera línea, multiplicada por -1.

(2) Ahora obtenemos dos ceros en la primera columna. A la segunda línea le sumamos la primera línea multiplicada por 3. A la tercera línea le sumamos la primera línea multiplicada por 5.

(3) Una vez completada la transformación, ¿siempre es recomendable ver si es posible simplificar las cadenas resultantes? Poder. Dividimos la segunda línea entre 2 y al mismo tiempo obtenemos el –1 requerido en el segundo paso. Divide la tercera línea por –3.

(4) Agregue la segunda línea a la tercera línea.

Probablemente todos notaron la mala línea que resultó de transformaciones elementales: . Está claro que esto no puede ser así. De hecho, reescribamos la matriz resultante. Volvamos al sistema de ecuaciones lineales:

Si, como resultado de transformaciones elementales, se obtiene una cadena de la forma donde es un número distinto de cero, entonces el sistema es inconsistente (no tiene soluciones).

¿Cómo anotar el final de una tarea? Dibujemos con tiza blanca: “como resultado de transformaciones elementales se obtiene una cadena de la forma , donde ” y damos la respuesta: el sistema no tiene soluciones (inconsistente).

Si, de acuerdo con la condición, es necesario INVESTIGAR la compatibilidad del sistema, entonces es necesario formalizar la solución en un estilo más sólido utilizando el concepto rango matricial y el teorema de Kronecker-Capelli.

Tenga en cuenta que aquí no hay ninguna inversión del algoritmo gaussiano: no hay soluciones y simplemente no hay nada que encontrar.

Ejemplo 2

Resolver un sistema de ecuaciones lineales.

Este es un ejemplo para que lo resuelvas por tu cuenta. Solución completa y respuesta al final de la lección. Les recuerdo nuevamente que su solución puede diferir de la mía; el algoritmo gaussiano no tiene una "rigidez" fuerte.

Otra característica técnica de la solución: se pueden detener las transformaciones elementales. En seguida, tan pronto como una línea como , donde . Consideremos un ejemplo condicional: supongamos que después de la primera transformación se obtiene la matriz . La matriz aún no se ha reducido a la forma escalonada, pero no hay necesidad de más transformaciones elementales, ya que apareció una línea de la forma, donde . Se debe dar inmediatamente la respuesta de que el sistema es incompatible.

Cuando un sistema de ecuaciones lineales no tiene soluciones, esto es casi un regalo, debido a que se obtiene una solución corta, a veces literalmente en 2-3 pasos.

Pero todo en este mundo está equilibrado, y un problema en el que el sistema tiene infinitas soluciones es simplemente más largo.

Ejemplo 3

Resolver un sistema de ecuaciones lineales.

Hay 4 ecuaciones y 4 incógnitas, por lo que el sistema puede tener una única solución, no tener soluciones o tener infinitas soluciones. Sea como fuere, el método gaussiano nos conducirá en cualquier caso a la respuesta. Ésta es su versatilidad.

El comienzo vuelve a ser estándar. Escribamos la matriz extendida del sistema y, usando transformaciones elementales, la llevemos a una forma escalonada:

Eso es todo y tenías miedo.

(1) Tenga en cuenta que todos los números de la primera columna son divisibles por 2, por lo que 2 está bien en el paso superior izquierdo. A la segunda línea le sumamos la primera línea, multiplicada por –4. A la tercera línea le sumamos la primera línea, multiplicada por –2. A la cuarta línea le sumamos la primera línea, multiplicada por –1.

¡Atención! Muchos pueden sentirse tentados por la cuarta línea. sustraer primera linea. Esto se puede hacer, pero no es necesario; la experiencia demuestra que la probabilidad de error en los cálculos aumenta varias veces. Simplemente agregue: A la cuarta línea agregue la primera línea multiplicada por –1 – ¡exactamente!

(2) Las últimas tres líneas son proporcionales, dos de ellas se pueden eliminar.

Aquí nuevamente necesitamos mostrar mayor atención, pero ¿son las líneas realmente proporcionales? Para estar seguro (especialmente para una tetera), sería una buena idea multiplicar la segunda línea por –1 y dividir la cuarta línea por 2, lo que dará como resultado tres líneas idénticas. Y solo después de eso, elimina dos de ellos.

Como resultado de transformaciones elementales, la matriz extendida del sistema se reduce a una forma escalonada:

Al escribir una tarea en un cuaderno, es recomendable tomar las mismas notas con lápiz para mayor claridad.

Reescribamos el sistema de ecuaciones correspondiente:

Aquí no huele a una solución única "ordinaria" para el sistema. Tampoco hay una mala línea. Esto significa que este es el tercer caso restante: el sistema tiene infinitas soluciones. A veces, según la condición, es necesario investigar la compatibilidad del sistema (es decir, demostrar que existe una solución), puedes leer sobre esto en el último párrafo del artículo. ¿Cómo encontrar el rango de una matriz? Pero por ahora repasemos lo básico:

Un conjunto infinito de soluciones de un sistema se escribe brevemente en la forma del llamado solución general del sistema .

Encontramos la solución general del sistema usando el inverso del método gaussiano.

Primero necesitamos definir qué variables tenemos. básico y que variables gratis. No tienes que preocuparte por los términos del álgebra lineal, solo recuerda que existen tales variables básicas Y variables libres.

Las variables básicas siempre "se asientan" estrictamente en los pasos de la matriz..
En este ejemplo, las variables básicas son y

Las variables libres lo son todo. restante variables que no recibieron un paso. En nuestro caso, hay dos: – variables libres.

Ahora necesitas Todo variables básicas expresar solo a través variables libres.

Lo contrario del algoritmo gaussiano tradicionalmente funciona de abajo hacia arriba.
De la segunda ecuación del sistema expresamos la variable básica:

Ahora mira la primera ecuación: . Primero sustituimos la expresión encontrada:

Queda por expresar la variable básica en términos de variables libres:

Al final conseguimos lo que necesitábamos. Todo las variables básicas ( y ) se expresan solo a través variables libres:

De hecho, la solución general está lista:

¿Cómo escribir correctamente la solución general?
Las variables libres se escriben en la solución general "por sí mismas" y estrictamente en sus lugares. En este caso, las variables libres deben escribirse en la segunda y cuarta posición:
.

Las expresiones resultantes para las variables básicas. y obviamente debe escribirse en la primera y tercera posición:

Dar variables gratis valores arbitrarios, puedes encontrar infinitos soluciones privadas. Los valores más populares son ceros, ya que la solución particular es la más fácil de obtener. Sustituyamos en la solución general:

– solución privada.

Otro bonito par son los unos, sustituyémoslos en la solución general:

– otra solución privada.

Es fácil ver que el sistema de ecuaciones tiene infinitas soluciones(ya que podemos dar variables libres cualquier valores)

Cada la solución particular debe satisfacer a cada ecuación del sistema. Ésta es la base para una comprobación “rápida” de la corrección de la solución. Tomemos, por ejemplo, una solución particular y sustitúyala en el lado izquierdo de cada ecuación del sistema original:

Todo debe unirse. Y con cualquier solución particular que reciba, todo también debería estar de acuerdo.

Pero, estrictamente hablando, comprobar una determinada solución a veces es engañoso, es decir, alguna solución particular puede satisfacer cada ecuación del sistema, pero la solución general en sí en realidad se encuentra incorrectamente.

Por tanto, la verificación de la solución general es más exhaustiva y fiable. Cómo comprobar la solución general resultante. ?

No es difícil, pero sí bastante tedioso. Necesitamos tomar expresiones. básico variables, en este caso y , y sustitúyalos en el lado izquierdo de cada ecuación del sistema.

Al lado izquierdo de la primera ecuación del sistema:

Al lado izquierdo de la segunda ecuación del sistema:


Se obtiene el lado derecho de la ecuación original.

Ejemplo 4

Resuelva el sistema usando el método gaussiano. Encuentra la solución general y dos particulares. Verifique la solución general.

Este es un ejemplo para que lo resuelvas por tu cuenta. Aquí, por cierto, nuevamente el número de ecuaciones es menor que el número de incógnitas, lo que significa que queda inmediatamente claro que el sistema será inconsistente o tendrá un número infinito de soluciones. ¿Qué es importante en el proceso de decisión en sí? Atención, y atención de nuevo.. Solución completa y respuesta al final de la lección.

Y un par de ejemplos más para reforzar el material.

Ejemplo 5

Resolver un sistema de ecuaciones lineales. Si el sistema tiene infinitas soluciones, encuentre dos soluciones particulares y verifique la solución general.

Solución: Escribamos la matriz extendida del sistema y, usando transformaciones elementales, la llevemos a una forma paso a paso:

(1) Agregue la primera línea a la segunda línea. A la tercera línea le sumamos la primera línea multiplicada por 2. A la cuarta línea le sumamos la primera línea multiplicada por 3.
(2) A la tercera línea le sumamos la segunda línea, multiplicada por –5. A la cuarta línea le sumamos la segunda línea, multiplicada por –7.
(3) La tercera y cuarta línea son iguales, eliminamos una de ellas.

Esta es una belleza:

Las variables básicas se encuentran en los escalones, por lo tanto, variables básicas.
Sólo hay una variable libre que no consiguió paso:

Contrarrestar:
Expresemos las variables básicas mediante una variable libre:
De la tercera ecuación:

Consideremos la segunda ecuación y sustituyamos en ella la expresión encontrada:

Consideremos la primera ecuación y sustituyamos las expresiones encontradas y en ella:

Sí, una calculadora que calcula fracciones ordinarias sigue siendo conveniente.

Entonces la solución general es:

Una vez más, ¿cómo resultó? La variable libre ocupa por sí sola el cuarto lugar que le corresponde. Las expresiones resultantes para las variables básicas también ocuparon sus lugares ordinales.

Comprobemos inmediatamente la solución general. El trabajo es para negros, pero ya lo hice, así que cógelo =)

Sustituimos tres héroes , , en el lado izquierdo de cada ecuación del sistema:

Se obtienen los lados derechos correspondientes de las ecuaciones, por lo que la solución general se encuentra correctamente.

Ahora de la solución general encontrada. obtenemos dos soluciones particulares. La única variable libre aquí es el chef. No hay necesidad de devanarse los sesos.

Déjalo ser entonces – solución privada.
Déjalo ser entonces – otra solución privada.

Respuesta: Decisión común: , soluciones privadas: , .

No debería haberme acordado de los negros... ...porque me vinieron a la cabeza todo tipo de motivos sádicos y recordé el famoso photoshop en el que miembros del Ku Klux Klan con túnicas blancas corren por el campo detrás de un jugador de fútbol negro. Me siento y sonrío en silencio. Ya sabes lo que distrae...

Muchas matemáticas son dañinas, así que un ejemplo final similar para resolverlas usted mismo.

Ejemplo 6

Encuentre la solución general del sistema de ecuaciones lineales.

Ya verifiqué la solución general, se puede confiar en la respuesta. Su solución puede diferir de mi solución, lo principal es que las soluciones generales coinciden.

Probablemente, muchas personas notaron un momento desagradable en las soluciones: muy a menudo, durante el curso inverso del método gaussiano, teníamos que jugar con fracciones ordinarias. En la práctica, este es el caso; los casos en los que no hay fracciones son mucho menos comunes. Esté preparado mentalmente y, lo más importante, técnicamente.

Me detendré en algunas características de la solución que no se encontraron en los ejemplos resueltos.

La solución general del sistema a veces puede incluir una constante (o constantes), por ejemplo: . Aquí una de las variables básicas es igual a un número constante: . No hay nada exótico en esto, sucede. Obviamente, en este caso, cualquier solución particular contendrá un cinco en la primera posición.

Rara vez, pero hay sistemas en los que el número de ecuaciones es mayor que el número de variables. El método gaussiano funciona en las condiciones más severas; se debe reducir tranquilamente la matriz extendida del sistema a una forma gradual utilizando un algoritmo estándar. Un sistema así puede ser inconsistente, puede tener infinitas soluciones y, aunque parezca extraño, puede tener una única solución.

Estudiar la coherencia de un sistema de ecuaciones agebraicas lineales (SLAE) significa descubrir si este sistema tiene soluciones o no. Bueno, si hay soluciones, entonces indica cuántas hay.

Necesitaremos información del tema "Sistema de ecuaciones algebraicas lineales. Términos básicos. Forma de notación matricial". En particular, se necesitan conceptos como matriz de sistema y matriz de sistema extendida, ya que en ellos se basa la formulación del teorema de Kronecker-Capelli. Como es habitual, denotaremos la matriz del sistema con la letra $A$ y la matriz extendida del sistema con la letra $\widetilde(A)$.

Teorema de Kronecker-Capelli

Un sistema de ecuaciones algebraicas lineales es consistente si y solo si el rango de la matriz del sistema es igual al rango de la matriz extendida del sistema, es decir $\rang A=\rang\widetilde(A)$.

Permítanme recordarles que un sistema se llama conjunto si tiene al menos una solución. El teorema de Kronecker-Capelli dice esto: si $\rang A=\rang\widetilde(A)$, entonces hay una solución; si $\rang A\neq\rang\widetilde(A)$, entonces este SLAE no tiene soluciones (inconsistente). La respuesta a la pregunta sobre el número de estas soluciones viene dada por un corolario del teorema de Kronecker-Capelli. En la formulación del corolario se utiliza la letra $n$, que es igual al número de variables del SLAE dado.

Corolario del teorema de Kronecker-Capelli

1. Si $\rang A\neq\rang\widetilde(A)$, entonces el SLAE es inconsistente (no tiene soluciones).
2. Si $\rang A=\rang\widetilde(A)< n$, то СЛАУ является неопределённой (имеет бесконечное количество решений).
3. Si $\rang A=\rang\widetilde(A) = n$, entonces el SLAE es definido (tiene exactamente una solución).

Tenga en cuenta que el teorema formulado y su corolario no indican cómo encontrar una solución al SLAE. Con su ayuda, solo se puede saber si estas soluciones existen o no y, si existen, cuántas.

Ejemplo No. 1

Explora SLAE $ \left \(\begin(aligned) & -3x_1+9x_2-7x_3=17;\\ & -x_1+2x_2-4x_3=9;\\ & 4x_1-2x_2+19x_3=-42. \end(aligned) )\right.$ para compatibilidad. Si el SLAE es compatible, indique el número de soluciones.

Para conocer la existencia de soluciones para un SLAE determinado utilizamos el teorema de Kronecker-Capelli. Necesitaremos la matriz del sistema $A$ y la matriz extendida del sistema $\widetilde(A)$, las escribiremos:

$$ A=\left(\begin(array) (ccc) -3 & 9 & -7 \\ -1 & 2 & -4 \\ 4 & -2 & 19 \end(array) \right);\; \widetilde(A)=\left(\begin(array) (ccc|c) -3 y 9 y -7 y 17 \\ -1 y 2 y -4 y 9\\ 4 y -2 y 19 y -42 \end(matriz) \right). $$

Necesitamos encontrar $\rang A$ y $\rang\widetilde(A)$. Hay muchas formas de hacer esto, algunas de las cuales se enumeran en la sección Matrix Rank. Normalmente, se utilizan dos métodos para estudiar dichos sistemas: "Cálculo del rango de una matriz por definición" o "Cálculo del rango de una matriz mediante el método de transformaciones elementales".

Método número 1. La informática se clasifica por definición.

Según la definición, rango es el orden más alto de los menores de una matriz, entre los cuales hay al menos uno distinto de cero. Por lo general, el estudio comienza con menores de primer orden, pero aquí es más conveniente comenzar inmediatamente a calcular el menor de tercer orden de la matriz $A$. Los elementos menores de tercer orden se ubican en la intersección de tres filas y tres columnas de la matriz en cuestión. Dado que la matriz $A$ contiene solo 3 filas y 3 columnas, el menor de tercer orden de la matriz $A$ es el determinante de la matriz $A$, es decir $\Delta A$. Para calcular el determinante aplicamos la fórmula No. 2 del tema “Fórmulas para calcular determinantes de segundo y tercer orden”:

$$ \Delta A=\izquierda| \begin(array) (ccc) -3 & 9 & -7 \\ -1 & 2 & -4 \\ 4 & -2 & 19 \end(array) \right|=-21. $$

Entonces, hay un menor de tercer orden de la matriz $A$, que no es igual a cero. Es imposible crear un menor de cuarto orden, ya que requiere 4 filas y 4 columnas, y la matriz $A$ tiene solo 3 filas y 3 columnas. Entonces, el orden más alto de los menores de la matriz $A$, entre los cuales hay al menos uno que no es igual a cero, es 3. Por lo tanto, $\rang A=3$.

También necesitamos encontrar $\rang\widetilde(A)$. Veamos la estructura de la matriz $\widetilde(A)$. Hasta la línea de la matriz $\widetilde(A)$ hay elementos de la matriz $A$, y encontramos que $\Delta A\neq 0$. En consecuencia, la matriz $\widetilde(A)$ tiene un menor de tercer orden, que no es igual a cero. No podemos construir menores de cuarto orden de la matriz $\widetilde(A)$, por lo que concluimos: $\rang\widetilde(A)=3$.

Dado que $\rang A=\rang\widetilde(A)$, entonces, según el teorema de Kronecker-Capelli, el sistema es consistente, es decir tiene una solución (al menos una). Para indicar el número de soluciones, tenemos en cuenta que nuestro SLAE contiene 3 incógnitas: $x_1$, $x_2$ y $x_3$. Dado que el número de incógnitas es $n=3$, concluimos: $\rang A=\rang\widetilde(A)=n$, por lo tanto, según el corolario del teorema de Kronecker-Capelli, el sistema es definido, es decir tiene una solución única.

El problema esta resuelto. ¿Qué desventajas y ventajas tiene este método? Primero, hablemos de las ventajas. En primer lugar, sólo necesitábamos encontrar un determinante. Después de esto, inmediatamente llegamos a una conclusión sobre la cantidad de soluciones. Normalmente, los cálculos estándar dan sistemas de ecuaciones que contienen tres incógnitas y tienen una solución única. Para tales sistemas, este método es muy conveniente, porque sabemos de antemano que existe una solución (de lo contrario, el ejemplo no estaría en el cálculo estándar). Aquellos. Lo único que tenemos que hacer es mostrar la existencia de una solución de la forma más rápida. En segundo lugar, el valor calculado del determinante de la matriz del sistema (es decir, $\Delta A$) será útil más adelante: cuando comencemos a resolver un sistema dado usando el método de Cramer o usando la matriz inversa.

Sin embargo, el método para calcular el rango es, por definición, indeseable si la matriz del sistema $A$ es rectangular. En este caso, es mejor utilizar el segundo método, que se analizará a continuación. Además, si $\Delta A=0$, entonces no podemos decir nada sobre el número de soluciones de un SLAE no homogéneo dado. Quizás el SLAE tenga infinidad de soluciones, o quizás ninguna. Si $\Delta A=0$, entonces se requiere investigación adicional, lo que a menudo es engorroso.

Para resumir lo dicho, observo que el primer método es bueno para aquellos SLAE cuya matriz del sistema es cuadrada. Además, el SLAE en sí contiene tres o cuatro incógnitas y se toma de cálculos o pruebas estándar.

Método número 2. Cálculo de rango por el método de transformaciones elementales.

Este método se describe en detalle en el tema correspondiente. Comenzaremos a calcular el rango de la matriz $\widetilde(A)$. ¿Por qué matrices $\widetilde(A)$ y no $A$? El hecho es que la matriz $A$ es parte de la matriz $\widetilde(A)$, por lo tanto, al calcular el rango de la matriz $\widetilde(A)$ encontraremos simultáneamente el rango de la matriz $A$ .

\begin(alineado) &\widetilde(A) =\left(\begin(array) (ccc|c) -3 & 9 &-7 & 17 \\ -1 & 2 & -4 & 9\\ 4 & - 2 & 19 & -42 \end(array) \right) \rightarrow \left|\text(intercambia la primera y segunda línea)\right| \rightarrow \\ &\rightarrow \left(\begin(array) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ -3 & 9 &-7 & 17\\ 4 & -2 & 19 & - 42 \end(array) \right) \begin(array) (l) \phantom(0) \\ r_2-3r_1\\ r_3+4r_1 \end(array) \rightarrow \left(\begin(array) (ccc| c) -1 y 2 y -4 y 9 \\ 0 y 3 y 5 y -10\\ 0 y 6 y 3 y -6 \end(array) \right) \begin(array) (l) \phantom(0 ) \\ \phantom(0)\\ r_3-2r_2 \end(array)\rightarrow\\ &\rightarrow \left(\begin(array) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 &5 & -10\\ 0 & 0 & -7 & 14 \end(array) \right) \end(alineado)

Hemos reducido la matriz $\widetilde(A)$ a forma escalonada. La matriz escalonada resultante tiene tres filas distintas de cero, por lo que su rango es 3. En consecuencia, el rango de la matriz $\widetilde(A)$ es igual a 3, es decir $\rang\widetilde(A)=3$. Al hacer transformaciones con los elementos de la matriz $\widetilde(A)$, transformamos simultáneamente los elementos de la matriz $A$ ubicados hasta la recta. La matriz $A$ también se reduce a forma escalonada: $\left(\begin(array) (ccc) -1 & 2 & -4 \\ 0 & 3 &5 \\ 0 & 0 & -7 \end(array) \derecha )$. Conclusión: el rango de la matriz $A$ también es 3, es decir $\sonó A=3$.

Dado que $\rang A=\rang\widetilde(A)$, entonces, según el teorema de Kronecker-Capelli, el sistema es consistente, es decir tiene una solución. Para indicar el número de soluciones, tenemos en cuenta que nuestro SLAE contiene 3 incógnitas: $x_1$, $x_2$ y $x_3$. Dado que el número de incógnitas es $n=3$, concluimos: $\rang A=\rang\widetilde(A)=n$, por lo tanto, según el corolario del teorema de Kronecker-Capelli, el sistema está definido, es decir tiene una solución única.

¿Cuáles son las ventajas del segundo método? La principal ventaja es su versatilidad. No nos importa si la matriz del sistema es cuadrada o no. Además, llevamos a cabo transformaciones directas del método gaussiano. Ya solo quedan un par de pasos y podríamos obtener una solución a este SLAE. Sinceramente, me gusta más el segundo método que el primero, pero la elección es cuestión de gustos.

Respuesta: El SLAE dado es consistente y definido.

Ejemplo No. 2

Explorar SLAE $ \left\( \begin(aligned) & x_1-x_2+2x_3=-1;\\ & -x_1+2x_2-3x_3=3;\\ & 2x_1-x_2+3x_3=2;\\ & 3x_1- 2x_2+5x_3=1;\\ & 2x_1-3x_2+5x_3=-4 \end(aligned) \right.$ para compatibilidad.

Encontraremos los rangos de la matriz del sistema y de la matriz del sistema extendido utilizando el método de transformaciones elementales. Matriz del sistema extendido: $\widetilde(A)=\left(\begin(array) (ccc|c) 1 & -1 & 2 & -1\\ -1 & 2 & -3 & 3 \\ 2 & -1 & 3 & 2 \\ 3 & -2 & 5 & 1 \\ 2 & -3 & 5 & -4 \end(array) \right)$. Encontremos los rangos requeridos transformando la matriz extendida del sistema:

$$ \left(\begin(array) (ccc|c) 1 & -1 & 2 & -1\\ -1 & 2 & -3 & 3 \\ 2 & -3 & 5 & -4 \\ 3 & -2 y 5 y 1 \\ 2 y -1 y 3 y 2 \end(array) \right) \begin(array) (l) \phantom(0)\\r_2+r_1\\r_3-2r_1\\ r_4 -3r_1\\r_5-2r_1\end(array)\rightarrow \left(\begin(array) (ccc|c) 1 & -1 & 2 & -1\\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & -1 y 1 y -2 \\ 0 y 1 y -1 y 4 \\ 0 y 1 y -1 y 4 \end(array) \right) \begin(array) (l) \phantom(0)\\ \phantom(0)\\r_3-r_2\\ r_4-r_2\\r_5+r_2\end(array)\rightarrow\\ $$ $$ \rightarrow\left(\begin(array) (ccc|c) 1 & -1 y 2 y -1\\ 0 y 1 y -1 y 2 \\ 0 y 0 y 0 y 2 \\ 0 y 0 y 0 y 2 \\ 0 y 0 y 0 y 0 \end(matriz) \ derecha) \begin(array) (l) \phantom(0)\\\phantom(0)\\\phantom(0)\\ r_4-r_3\\\phantom(0)\end(array)\rightarrow \left (\begin(matriz) (ccc|c) 1 & -1 & 2 & -1\\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 y 0 y 0 y 0 \end(array) \right) $$

La matriz extendida del sistema se reduce a una forma escalonada. El rango de una matriz escalonada es igual al número de sus filas distintas de cero, por lo que $\rang\widetilde(A)=3$. La matriz $A$ (hasta la línea) también se reduce a forma escalonada, y su rango es 2, $\rang(A)=2$.

Dado que $\rang A\neq\rang\widetilde(A)$, entonces, según el teorema de Kronecker-Capelli, el sistema es inconsistente (es decir, no tiene soluciones).

Respuesta: El sistema es inconsistente.

Ejemplo No. 3

Explora SLAE $ \left\( \begin(aligned) & 2x_1+7x_3-5x_4+11x_5=42;\\ & x_1-2x_2+3x_3+2x_5=17;\\ & -3x_1+9x_2-11x_3-7x_5=-64 ;\\ & -5x_1+17x_2-16x_3-5x_4-4x_5=-90;\\ & 7x_1-17x_2+23x_3+15x_5=132 \end(aligned) \right.$ para compatibilidad.

Llevamos la matriz extendida del sistema a una forma escalonada:

$$ \left(\begin(array)(ccccc|c) 2 y 0 y 7 y -5 y 11 y 42\\ 1 y -2 y 3 y 0 y 2 y 17 \\ -3 y 9 y -11 & 0 & -7 & -64 \\ -5 & 17 & -16 & -5 & -4 & -90 \\ 7 & -17 & 23 & 0 & 15 & 132 \end(array) \right) \overset (r_1\leftrightarrow(r_3))(\rightarrow) $$ $$ \rightarrow\left(\begin(array)(ccccc|c) 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17\\ 2 & 0 & 7 & -5 & 11 & 42\\ -3 & 9 & -11 & 0 & -7 & -64\\ -5 & 17 & -16 & -5 & -4 & -90\\ 7 & -17 & 23 & 0 & 15 & 132 \end(array) \right) \begin(array) (l) \phantom(0)\\ r_2-2r_1 \\r_3+3r_1 \\ r_4+5r_1 \\ r_5-7r_1 \end( matriz) \rightarrow \left(\begin(array)(ccccc|c) 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17\\ 0 & 4 & 1 & -5 & 7 & 8\\ 0 & 3 & - 2 y 0 y -1 y -13\\ 0 y 7 y -1 y -5 y 6 y -5 \\ 0 y -3 y 2 y 0 y 1 y 13 \end(array) \right) \begin( matriz) (l) \phantom(0)\\ \phantom(0)\\4r_3+3r_2 \\ 4r_4-7r_2 \\ 4r_5+3r_2 \end(array) \rightarrow $$ $$ \rightarrow\left(\begin (matriz)(ccccc|c) 1 y -2 y 3 y 0 y 2 y 17\\ 0 y 4 y 1 y -5 y 7 y 8\\ 0 y 0 y -11 y 15 y -25 y -76 \\ 0 & 0 & -11 & 15 & -25 & -76 \\ 0 & 0 & 11 & -15 & 25 & 76 \end(array) \right) \begin(array) (l) \phantom(0 )\\ \phantom(0)\\\phantom(0) \\ r_4-r_3 \\ r_5+r_2 \end(array) \rightarrow \left(\begin(array)(ccccc|c) 1 & -2 & 3 y 0 y 2 y 17\\ 0 y 4 y 1 y -5 y 7 y 8\\ 0 y 0 y -11 y 15 y -25 y -76\\ 0 y 0 y 0 y 0 y 0 y 0 \\ 0 y 0 y 0 y 0 y 0 y 0 \end(array) \right) $$

Hemos llevado la matriz extendida del sistema y la matriz del sistema mismo a una forma escalonada. El rango de la matriz extendida del sistema es igual a tres, el rango de la matriz del sistema también es igual a tres. Dado que el sistema contiene $n=5$ incógnitas, es decir $\rang\widetilde(A)=\rang(A)\lt(n)$, entonces según el corolario del teorema de Kronecker-Capelli, este sistema es indeterminado, es decir tiene un número infinito de soluciones.

Respuesta: El sistema es incierto.

En la segunda parte analizaremos ejemplos que suelen incluirse en cálculos o pruebas estándar de matemáticas superiores: investigación de coherencia y solución de SLAE en función de los valores de los parámetros incluidos en el mismo.

Secciones: Matemáticas

Si un problema tiene menos de tres variables, no es un problema; si es más de ocho, no tiene solución. Enón.

Los problemas con los parámetros se encuentran en todas las versiones del Examen Estatal Unificado, ya que su solución revela más claramente cuán profundo e informal es el conocimiento del graduado. Las dificultades que encuentran los estudiantes al realizar estas tareas se deben no sólo a su relativa complejidad, sino también al hecho de que en los libros de texto no se les presta suficiente atención. En las versiones de KIM en matemáticas, existen dos tipos de tareas con parámetros. La primera: “para cada valor del parámetro, resuelve la ecuación, desigualdad o sistema”. El segundo: “encontrar todos los valores del parámetro, para cada uno de los cuales las soluciones a la desigualdad, ecuación o sistema satisfacen las condiciones dadas”. En consecuencia, las respuestas a problemas de estos dos tipos difieren en esencia. En el primer caso, la respuesta enumera todos los valores posibles del parámetro y para cada uno de estos valores se escriben las soluciones de la ecuación. El segundo enumera todos los valores de los parámetros en los que se cumplen las condiciones del problema. Escribir la respuesta es una etapa esencial de la solución; es muy importante no olvidar reflejar todas las etapas de la solución en la respuesta. Los estudiantes deben prestar atención a esto.
El apéndice de la lección contiene material adicional sobre el tema "Resolver sistemas de ecuaciones lineales con parámetros", que ayudará a preparar a los estudiantes para la certificación final.

Objetivos de la lección:

• sistematización del conocimiento de los estudiantes;
• desarrollar la capacidad de utilizar representaciones gráficas al resolver sistemas de ecuaciones;
• desarrollar la capacidad de resolver sistemas de ecuaciones lineales que contengan parámetros;
• implementación del control operativo y autocontrol de los estudiantes;
• desarrollo de la actividad investigadora y cognitiva de los escolares, capacidad de evaluar los resultados obtenidos.

La lección dura dos horas.

durante las clases

1. Organizar el tiempo

Comunicar el tema, las metas y los objetivos de la lección.

1. Actualizar los conocimientos básicos de los estudiantes.

Revisando la tarea. Como tarea, se pidió a los estudiantes que resolvieran cada uno de tres sistemas de ecuaciones lineales.

a) b) V)

gráfica y analíticamente; sacar una conclusión sobre el número de soluciones obtenidas para cada caso

Las conclusiones extraídas por los estudiantes son escuchadas y analizadas. Los resultados del trabajo bajo la dirección del profesor se resumen en cuadernos.

En general, un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas se puede representar como: .

Resolver gráficamente un sistema de ecuaciones dado significa encontrar las coordenadas de los puntos de intersección de las gráficas de estas ecuaciones o demostrar que no las hay. La gráfica de cada ecuación de este sistema en un plano es una determinada línea recta.

Hay tres casos posibles de disposición mutua de dos rectas en un plano:

<Рисунок1>;

<Рисунок2>;

<Рисунок3>.

Para cada caso es útil hacer un dibujo.

1. Aprendiendo nuevo material

Hoy en la lección aprenderemos a resolver sistemas de ecuaciones lineales que contienen parámetros. Llamaremos parámetro a una variable independiente, cuyo valor en el problema se considera un número real fijo o arbitrario dado, o un número que pertenece a un conjunto predeterminado. Resolver un sistema de ecuaciones con un parámetro significa establecer una correspondencia que permita que cualquier valor del parámetro encuentre el conjunto correspondiente de soluciones al sistema.

La solución a un problema con un parámetro depende de la pregunta que en él se plantea. Si simplemente necesita resolver un sistema de ecuaciones para diferentes valores de un parámetro o estudiarlo, entonces debe dar una respuesta fundamentada para cualquier valor del parámetro o para el valor de un parámetro que pertenece a un conjunto previamente especificado en el problema. Si es necesario encontrar valores de parámetros que satisfagan ciertas condiciones, entonces no se requiere un estudio completo y la solución del sistema se limita a encontrar estos valores de parámetros específicos.

Ejemplo 1. Para cada valor de parámetro, resolvemos el sistema de ecuaciones.

Solución.

1. El sistema tiene una solución única si

En este caso tenemos

1. Si a = 0, entonces el sistema toma la forma

El sistema es inconsistente, es decir no tiene soluciones.

1. Si entonces el sistema se escribe en la forma

Obviamente, en este caso el sistema tiene infinitas soluciones de la forma x = t; donde t es cualquier número real.

Respuesta:

Ejemplo 2.

• tiene una solución única;
• tiene muchas soluciones;
• no tiene soluciones?

Solución.

Respuesta:

Ejemplo 3. Encontremos la suma de los parámetros a y b para los cuales el sistema

Tiene innumerables soluciones.

Solución. El sistema tiene infinitas soluciones si

Es decir, si a = 12, b = 36; a + b = 12 + 36 = 48.

Respuesta: 48.

1. Reforzar lo aprendido mientras se resuelven problemas.

1. N° 15.24(a) . Para cada valor de parámetro, resuelve el sistema de ecuaciones.

1. No. 15.25(a) Para cada valor de parámetro, resuelva el sistema de ecuaciones

1. ¿A qué valores del parámetro a el sistema de ecuaciones

a) no tiene soluciones; b) tiene infinitas soluciones.

Respuesta: para a = 2 no hay soluciones, para a = -2 hay un número infinito de soluciones

1. Trabajo práctico en grupos.

La clase se divide en grupos de 4-5 personas. Cada grupo incluye estudiantes con diferentes niveles de preparación matemática. Cada grupo recibe una tarjeta de tarea. Puede invitar a todos los grupos a resolver un sistema de ecuaciones y formalizar la solución. El grupo que fue el primero en completar correctamente la tarea presenta su solución; el resto entrega la solución al profesor.

Tarjeta. Resolver sistema de ecuaciones lineales.

para todos los valores del parámetro a.

Respuesta: cuando el sistema tiene una solución única ; cuando no hay soluciones; para a = -1 hay infinitas soluciones de la forma (t; 1- t) donde t R

Si la clase es fuerte, a los grupos se les pueden ofrecer diferentes sistemas de ecuaciones, cuya lista está en Apéndice 1. Luego cada grupo presenta su solución a la clase.

Informe del grupo que fue el primero en completar correctamente la tarea

Los participantes expresan y explican su solución y responden las preguntas planteadas por representantes de otros grupos.

1. Trabajo independiente

Opción 1

opcion 2

1. Resumen de la lección

La resolución de sistemas de ecuaciones lineales con parámetros se puede comparar con un estudio que involucra tres condiciones básicas. El profesor invita a los alumnos a formularlos.

A la hora de decidir recuerda:

1. Para que un sistema tenga solución única es necesario que las rectas correspondientes a la ecuación del sistema se crucen, es decir se debe cumplir la condición;
2. Para no tener soluciones, las líneas deben ser paralelas, es decir. la condición se cumplió
3. y, finalmente, para que un sistema tenga infinitas soluciones, las rectas deben coincidir, es decir se cumplió la condición.

El profesor evalúa el trabajo de la clase en su conjunto y asigna notas de la lección a cada estudiante individualmente. Después de comprobar su trabajo independiente, cada alumno recibirá una nota por la lección.

1. Tarea

¿A qué valores del parámetro b funciona el sistema de ecuaciones?

• tiene infinitas soluciones;
• no tiene soluciones?

Las gráficas de las funciones y = 4x + by y = kx + 6 son simétricas con respecto a la ordenada.

• Encuentra b y k,
• Encuentre las coordenadas del punto de intersección de estas gráficas.

Resuelve el sistema de ecuaciones para todos los valores de my n.

Resuelve un sistema de ecuaciones lineales para todos los valores del parámetro a (cualquier valor de tu elección).

Literatura

1. Álgebra y los inicios del análisis matemático: libro de texto. para el grado 11 educación general Instituciones: básica y perfil. niveles / S. M. Nikolsky, M. K. Potapov, N. N. Reshetnikov, A. V. Shevkin - M.: Educación, 2008.
2. Matemáticas: noveno grado: preparación para la certificación final estatal / M. N. Korchagina, V. V. Korchagin - M.: Eksmo, 2008.
3. Nos estamos preparando para la universidad. Matemáticas. Parte 2. Un libro de texto para prepararse para el Examen Estatal Unificado, participar en pruebas centralizadas y aprobar las pruebas de ingreso a la Universidad Técnica Estatal de Kuban / Kuban. estado tecnología. Universidad; instituto de moderno tecnología. y economía; Compilado por: S. N. Gorshkova, L. M. Danovich, N. A. Naumova, A.V. Martynenko, I.A. Palshchikova. – Krasnodar, 2006.
4. Colección de problemas de matemáticas para los cursos preparatorios de TUSUR: Libro de texto / Z. M. Goldshtein, G. A. Kornievskaya, G. A. Korotchenko, S. N. Kudinova. – Tomsk: Tomsk. Estado Universidad de Sistemas de Control y Radioelectrónica, 1998.
5. Matemáticas: curso intensivo de preparación para exámenes / O. Yu Cherkasov, A. G. Yakushev. – M.: Rolf, Iris-press, 1998.