Resolvamos el siguiente problema (problema de Banach). Una persona lleva dos cajas de cerillas (60 cerillas cada una) en su bolsillo, y cada vez que necesita una cerilla, toma la caja al azar y saca una cerilla. ¿Cuál es la probabilidad de que cuando la primera casilla esté vacía, todavía queden 20 cerillas en la segunda? La selección de casillas puede considerarse como una prueba independiente en la que la primera casilla se selecciona con probabilidad. Experimentos totales realizados norte= 60+40=100, y en estos cien experimentos hay que elegir la primera casilla 60 veces. La probabilidad de esto es:

.

Del expediente se desprende claramente que para grandes norte Es difícil utilizar la fórmula de Bernoulli debido a los cálculos engorrosos. Existen fórmulas aproximadas especiales que te permiten encontrar probabilidades.
, Si norte excelente. Una de esas fórmulas viene dada por el siguiente teorema.

Teorema 2.1. ( local de laplace ). Si en el esquema de Bernoulli
, entonces la probabilidad de que el evento A vendrá exactamente k veces, satisface para grandes norte relación

Dónde
.

Por conveniencia, introducimos la función.
es la función local de Laplace, con cuya ayuda se puede escribir el teorema de Laplace de la siguiente manera:

Hay tablas de funciones especiales.
, según el cual para cualquier valor:
puede encontrar el valor de función correspondiente. Estas tablas se obtuvieron expandiendo la función
en una fila.

Geométricamente, este resultado significa que para grandes norte el polígono de distribución encaja bien en la gráfica de la función de la derecha en la fórmula (Fig. 2.3) y en lugar del valor de probabilidad real
posible para todos k tomar el valor de una función en un punto k.

Arroz. 2.3. Función local de Laplace

Volvamos ahora al problema. Usando la fórmula (2.1) encontramos:

,

donde esta el valor
determinado a partir de la tabla.

2.2.2. Teorema integral de Laplace

Teorema 2.2(Integral de Laplace) . La probabilidad de que en el circuito norte pruebas independientes el evento ocurrirá desde k 1 antes k 2 veces, aproximadamente iguales

PAG norte (k 1
k 2 )
,

– Función integral de Laplace, para la que se han elaborado tablas. Función F(x) extraño: Ф(-х)=-Ф(х) Y F(X 4)=0,5.

Consideremos otra afirmación más sin pruebas.

Desviación de frecuencia relativa de probabilidad pag V norte pruebas independientes son iguales

(

.

Comentario. El fundamento de estos hechos se analizará con más detalle en la Sección 7 (Secciones 7.2, 7.3). Los teoremas de Laplace a veces se denominan teoremas de Moivre-Laplace.

Ejemplo 2.3.

La probabilidad de que ocurra un evento en cada uno de los 900 ensayos independientes es 0,5. 1) encuentre la probabilidad de que el evento ocurra de 400 a 500 veces, 2) encuentre la probabilidad de que la frecuencia relativa de ocurrencia del evento se desvíe de su probabilidad en valor absoluto en no más de 0,02.

Solución

1) R 900 (400<k<500)=
=

2)

=

2.3. la fórmula de poisson

Si fijamos el número de experimentos norte y la probabilidad de que ocurra un evento en un experimento R cambia, entonces el polígono de distribución tendrá una apariencia diferente dependiendo del valor R(Figura 2.4). Con valores pag, cerca de 1/2, el polígono es casi simétrico y encaja bien en la gráfica simétrica de la función de Laplace. Por tanto, la fórmula aproximada de Laplace proporciona una buena precisión.

Para los pequeños R(en la práctica menos ) la aproximación es pobre debido a la asimetría del polígono de distribución. Por tanto, surge la tarea de encontrar una fórmula aproximada para calcular las probabilidades.
en caso de grandes norte y pequeña R. La respuesta a esta pregunta viene dada por la fórmula de Poisson.

Entonces, consideremos un esquema de prueba independiente en el que norte es grande (cuanto más mejor), y R poco (cuanto menos mejor). denotemos norteR=λ . Entonces, según la fórmula de Bernoulli, tenemos

.

La última igualdad es verdadera debido a que
(segundo límite destacable). Al obtener la fórmula para la ocurrencia más probable de un evento k 0 se consideró el odds ratio. De esto se desprende que

Así, cuando k muchos más pequeños norte tenemos una relación de recurrencia

.

Para k=0 tomemos en cuenta el resultado obtenido anteriormente:
, Entonces

………………

Entonces, si n es grande en un diseño de prueba independiente, y R poco, entonces sucede la fórmula de poisson

R norte (A)
, donde λ = norter.

La ley de Poisson también se llama ley de eventos raros.

Ejemplo 2.4.

La probabilidad de producir una pieza defectuosa es 0,02. Las piezas se embalan en cajas de 100 piezas. ¿Cuál es la probabilidad de que a) no hay piezas defectuosas en la caja, b) ¿hay más de dos piezas defectuosas en la caja?

Solución

a) Porque norte grande y R poco, tenemos ; R 100 (0)
;

b)R 100 (k>2)= 1-R 1-

Por lo tanto, en un diseño de prueba independiente para calcular la probabilidad R norte (k) Se debe utilizar la fórmula de Bernoulli si norte pequeño, pero si norte es grande, entonces dependiendo del tamaño R Se utiliza una de las fórmulas aproximadas de Laplace o la fórmula de Poisson.

Propiedades del estado líquido. Capa superficial. Tensión superficial. Mojada. La fórmula de Laplace. Fenómenos capilares.

Los líquidos son sustancias que se encuentran en estado condensado, que es intermedio entre el estado sólido cristalino y el estado gaseoso.

La región de existencia de los líquidos está limitada en el lado de alta temperatura por su transición al estado gaseoso y en el lado de baja temperatura por su transición al estado sólido.

En los líquidos, la distancia entre las moléculas es mucho menor que en los gases (la densidad de los líquidos es ~ 6000 veces mayor que la densidad del vapor saturado lejos de la temperatura crítica) (Fig. 1).

Figura 1. Vapor de agua (1) y agua (2). Las moléculas de agua se agrandan aproximadamente 5 10 7 veces.

En consecuencia, las fuerzas de interacción intermolecular en los líquidos, a diferencia de los gases, son el principal factor que determina las propiedades de los líquidos. Por tanto, los líquidos, al igual que los sólidos, conservan su volumen y tienen una superficie libre. Al igual que los sólidos, los líquidos se caracterizan por una compresibilidad muy baja y resisten el estiramiento.

Sin embargo, las fuerzas de enlace entre las moléculas de un líquido no son tan fuertes como para impedir que las capas de líquido se deslicen entre sí. Por tanto, los líquidos, al igual que los gases, tienen fluidez. En el campo de gravedad, los líquidos toman la forma del recipiente en el que se vierten.

Las propiedades de las sustancias están determinadas por el movimiento y la interacción de las partículas que las componen.

En los gases, las colisiones involucran principalmente a dos moléculas. En consecuencia, la teoría de los gases se reduce a la solución del problema de los dos cuerpos, que puede resolverse exactamente. En los sólidos, las moléculas experimentan movimientos vibratorios en los nodos de la red cristalina en un campo periódico creado por otras moléculas. Este problema del comportamiento de las partículas en un campo periódico también puede resolverse exactamente.

En los líquidos, cada molécula está rodeada por varias otras. Un problema de este tipo (el problema de muchos cuerpos), en general, independientemente de la naturaleza de las moléculas y de la naturaleza de su disposición, aún no se ha resuelto con precisión.

Los experimentos sobre difracción de rayos X, neutrones y electrones ayudaron a determinar la estructura de los líquidos. A diferencia de los cristales, en los que se observa un orden de largo alcance (disposición regular de partículas en grandes volúmenes), en líquidos a distancias del orden de 3 a 4 diámetros moleculares, el orden en la disposición de las moléculas se altera. En consecuencia, en los líquidos existe el llamado orden de corto alcance en la disposición de las moléculas (Fig.2):

Figura 2. Un ejemplo de orden de corto alcance de moléculas líquidas y orden de largo alcance de moléculas de una sustancia cristalina: 1 – agua; 2 – hielo

En los líquidos, las moléculas sufren pequeñas vibraciones dentro de límites limitados por las distancias intermoleculares. Sin embargo, de vez en cuando, como resultado de las fluctuaciones, una molécula puede recibir energía de las moléculas vecinas suficiente para saltar a una nueva posición de equilibrio. La molécula permanecerá en la nueva posición de equilibrio durante algún tiempo hasta que, nuevamente, como resultado de las fluctuaciones, reciba la energía necesaria para el salto. La molécula salta una distancia comparable al tamaño de la molécula. Las vibraciones que dan paso a saltos representan el movimiento térmico de las moléculas líquidas.

El tiempo promedio que una molécula está en estado de equilibrio se llama tiempo de relajación.. A medida que aumenta la temperatura, aumenta la energía de las moléculas, por lo tanto, aumenta la probabilidad de fluctuaciones, mientras que el tiempo de relajación disminuye:

(1)

Dónde τ - tiempo de relajacion, B– coeficiente que significa el período de vibración de la molécula, W. – energía de activación moléculas, es decir energía necesaria para realizar un salto molecular.

La fricción interna en líquidos, como en gases, ocurre cuando las capas de líquido se mueven debido a la transferencia de impulso en la dirección normal a la dirección del movimiento de las capas de líquido. La transferencia de impulso de una capa a otra también ocurre durante los saltos moleculares. Sin embargo, principalmente el impulso se transfiere debido a la interacción (atracción) de moléculas de capas vecinas.

De acuerdo con el mecanismo del movimiento térmico de las moléculas líquidas, la dependencia del coeficiente de viscosidad de la temperatura tiene la forma:

(2)

Dónde A– coeficiente que depende de la distancia de salto de la molécula, la frecuencia de sus vibraciones y la temperatura, W. – energía de activación.

Ecuación (2) – Fórmula de Frenkel-Andrade. La dependencia de la temperatura del coeficiente de viscosidad está determinada principalmente por el factor exponencial.

El valor recíproco de la viscosidad se llama fluidez.. A medida que disminuye la temperatura, la viscosidad de algunos líquidos aumenta tanto que prácticamente dejan de fluir, formando cuerpos amorfos (vidrio, plásticos, resinas, etc.).

Cada molécula de líquido interactúa con moléculas vecinas que se encuentran dentro del rango de sus fuerzas moleculares. Los resultados de esta interacción no son los mismos para las moléculas dentro del líquido y en la superficie del líquido. Una molécula ubicada dentro de un líquido interactúa con las moléculas vecinas que la rodean y la fuerza resultante que actúa sobre ella es cero (Fig. 3).

Fig. 3. Fuerzas que actúan sobre las moléculas líquidas.

Las moléculas de la capa superficial se encuentran en diferentes condiciones. La densidad del vapor sobre el líquido es mucho menor que la densidad del líquido. Por lo tanto, sobre cada molécula de la capa superficial actúa una fuerza resultante dirigida normalmente hacia el líquido (Fig. 3). La capa superficial ejerce presión sobre el resto del líquido como una película elástica. Las moléculas que se encuentran en esta capa también se atraen entre sí (Fig. 4).

Fig.4. Interacción de moléculas de la capa superficial.

Esta interacción crea fuerzas dirigidas tangencialmente a la superficie del líquido y que tienden a reducir la superficie del líquido.

Si se dibuja una línea arbitraria en la superficie de un líquido, entonces las fuerzas de tensión superficial actuarán a lo largo de la normal a la línea y tangente a la superficie. La magnitud de estas fuerzas es proporcional al número de moléculas ubicadas a lo largo de esta línea, por lo tanto proporcional a la longitud de la línea:

(3)

Dónde σ – coeficiente de proporcionalidad, que se llama coeficiente de tensión superficial:

(4)

El coeficiente de tensión superficial es numéricamente igual a la fuerza de tensión superficial que actúa por unidad de longitud del contorno que delimita la superficie del líquido..

El coeficiente de tensión superficial se mide en N/m. Magnitud σ Depende del tipo de líquido, la temperatura y la presencia de impurezas. Las sustancias que reducen la tensión superficial se llaman superficialmente activo(alcohol, jabón, detergente en polvo, etc.).

Para aumentar la superficie de un líquido se debe trabajar contra las fuerzas de tensión superficial. Determinemos la cantidad de este trabajo. Deje que haya un marco con una película líquida (por ejemplo, jabón) y una barra transversal móvil (Fig. 5).

Fig.5. El lado móvil de la estructura de alambre está en equilibrio bajo la acción de la fuerza externa F ext y las fuerzas de tensión superficial resultantes F n

Estiremos la película con una fuerza F extenida por dx. Obviamente:

Dónde F norte = σL–fuerza de tensión superficial. Entonces:

Dónde dS = Ldx– incremento de la superficie de la película. De la última ecuación:

(5)

Según (5), el coeficiente de tensión superficial es numéricamente igual al trabajo requerido para aumentar el área superficial en una unidad a temperatura constante. De (5) queda claro que σ se puede medir en J/m 2.

Si un líquido limita con otro líquido o sólido, debido a que las densidades de las sustancias en contacto son comparables, no se puede ignorar la interacción de las moléculas del líquido con las moléculas de las sustancias que lo limitan.

Si, al entrar en contacto un líquido y un sólido, la interacción entre sus moléculas es más fuerte que la interacción entre las moléculas del propio líquido, entonces el líquido tiende a aumentar la superficie de contacto y se extiende sobre la superficie del sólido. En este caso, el líquido moja el sólido. Si la interacción entre las moléculas del líquido es más fuerte que la interacción entre las moléculas del líquido y el sólido, entonces el líquido reduce la superficie de contacto. En este caso, el líquido no moja los sólidos. Por ejemplo: el agua moja el vidrio, pero no la parafina; el mercurio moja las superficies metálicas, pero no el vidrio.

Fig.6. Diferentes formas de una gota sobre la superficie de un sólido para los casos de líquidos no mojantes (a) y mojantes (b)

Considere una gota de líquido sobre la superficie de un sólido (Fig.7):

Fig.7. Esquemas para calcular el equilibrio de una gota sobre la superficie de un cuerpo sólido para los casos de líquidos no humectantes (a) y humectantes (b): 1 - gas, 2 - líquido, 3 - sólido

La forma de una gota está determinada por la interacción de tres medios: gas - 1, líquido - 2 y sólido - 3. Todos estos medios tienen un límite común: un círculo que encierra la gota. Longitud por elemento dl de este contorno actuarán fuerzas de tensión superficial: F 12 = σ 12 dl– entre gas y líquido, F 13 = σ 13 dl- entre gas y sólido, F 23 = σ 23 dl– entre líquido y sólido. Si dl=1m, entonces F 12 = σ 12 , F 13 = σ 13 , F 23 = σ 23. Consideremos el caso cuando:

Esto significa que<θ = π (Figura 7, a). El círculo que limita el lugar de contacto del líquido con el cuerpo sólido se contraerá hasta formar un punto y la gota tomará forma elipsoidal o esférica. Este es un caso de no mojarse por completo. También se observa una completa no humectación en el caso de: σ 23 > σ 12 + σ 13 .

Otro caso límite ocurrirá si:

Esto significa que<θ = 0 (Fig. 7b), se observa una humectación completa. También se observará una humectación completa en el caso de que: σ 13 > σ 12 + σ 23. En este caso, no habrá equilibrio, en ningún valor de ángulo. θ , y el líquido se esparcirá por la superficie del sólido hasta la capa monomolecular.

Si la gota está en equilibrio, entonces la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre el elemento de la longitud del contorno es cero. La condición de equilibrio en este caso:

El ángulo entre las tangentes a la superficie de un sólido y a la superficie de un líquido, que se mide dentro del líquido.,llamado ángulo de contacto.

Su valor se determina a partir de (6):

(7)

Si σ 13 > σ 23, entonces porque θ > 0, ángulo θ agudo: se produce una humectación parcial si σ 13 < σ 23, entonces porque θ < 0 – угол θ romo: se produce una no humectación parcial. Por tanto, el ángulo de contacto es un valor que caracteriza el grado de humectación o no humectación del líquido.

La curvatura de la superficie del líquido da como resultado una presión adicional que actúa sobre el líquido debajo de esta superficie. Determinemos la cantidad de presión adicional bajo la superficie curva del líquido. Seleccionemos un elemento de área ∆ en una superficie arbitraria del líquido. S(Figura 8):

Fig.8. Para calcular la cantidad de presión adicional

oh′ oh– normal a la superficie en un punto oh. Determinemos las fuerzas de tensión superficial que actúan sobre los elementos del contorno. AB Y CD. Fuerzas de tensión superficial F Y F′, que actúan sobre AB Y CD, perpendicular AB Y CD y dirigido tangencialmente a la superficie ∆ S. Determinemos la magnitud de la fuerza. F:

Rompamos la fuerza F en dos componentes F 1 y f ′. Fuerza F 1 paralelo oh′ oh y dirigido al líquido. Esta fuerza aumenta la presión sobre las áreas internas del líquido (el segundo componente estira la superficie y no afecta la cantidad de presión).

Dibujemos un plano perpendicular a ∆ S a través de puntos METRO, oh Y norte. Entonces R 1 – radio de curvatura de la superficie en la dirección de este plano. Dibujemos un plano perpendicular a ∆ S y el primer avión. Entonces R 2 – radio de curvatura de la superficie en la dirección de este plano. En general R 1 ≠ R 2. Definamos el componente F 1 . En la imagen puedes ver:

Tengamos en cuenta que:

(8)

Fortaleza F′ descompongamos en los mismos dos componentes y definamos de manera similar el componente F 2 (no se muestra en la figura):

(9)

Razonando de manera similar, determinaremos las componentes de las fuerzas que actúan sobre los elementos. C.A. Y BD, considerando que en cambio R 1 será R 2:

(10)

Encontremos la suma de las cuatro fuerzas que actúan sobre el contorno. ABDC y ejerciendo presión adicional sobre las zonas internas del líquido:

Determinemos la cantidad de presión adicional:

Por eso:

(11)

La ecuación (11) se llama la fórmula de laplace. La presión adicional que la superficie curva de un líquido ejerce sobre las regiones internas del líquido se llama Presión de Laplace.

La presión de Laplace obviamente se dirige hacia el centro de curvatura de la superficie. Por lo tanto, en el caso de una superficie convexa, se dirige hacia el líquido y se suma a la presión normal del líquido. En el caso de una superficie cóncava, el líquido estará bajo menos presión que el líquido debajo de una superficie plana, porque La presión de Laplace se dirige fuera del líquido.

Si la superficie es esférica, entonces: R 1 = R 2 = R:

Si la superficie es cilíndrica, entonces: R 1 = R, R 2 = ∞:

Si la superficie es plana entonces: R 1 = ∞, R 2 = ∞:

Si hay dos superficies, por ejemplo, una pompa de jabón, entonces la presión de Laplace se duplica.

Asociados con los fenómenos de humectación y no humectación están los llamados fenómenos capilares. Si se introduce un capilar (un tubo de pequeño diámetro) en un líquido, entonces la superficie del líquido en el capilar adquiere una forma cóncava, casi esférica en el caso de humedecimiento y convexa en el caso de no humedecimiento. Estas superficies se llaman meniscos.

Los capilares son aquellos tubos en los que el radio del menisco es aproximadamente igual al radio del tubo.

Arroz. 9. Capilar en líquidos humectantes (a) y no humectantes (b)

Figura 10. Subida de líquido en un capilar en caso de humectación.

En el caso de un menisco cóncavo, la presión adicional se dirige hacia el centro de curvatura fuera del líquido. Por lo tanto, la presión debajo del menisco es menor que la presión debajo de la superficie plana del líquido en el recipiente por la cantidad de presión de Laplace:

R– radio del menisco, r– radio del tubo capilar.

En consecuencia, la presión de Laplace hará que el líquido en el capilar se eleve a tal altura h(Fig.9) hasta que la presión hidrostática de la columna de líquido equilibre la presión de Laplace:

De la última ecuación:

(12)

La ecuación (12) se llama La fórmula de Jurin.. Si el líquido no moja las paredes capilares, el menisco es convexo, porque θ < 0, то жидкость в этом случае опускается ниже уровня жидкости в сосуде на такую же глубину h según la fórmula (12) (Fig. 9).

Considere una superficie convexa (figura 5.18), cuya curvatura en el punto ACERCA DE porque cada una de dos secciones normales mutuamente perpendiculares es diferente. Déjame ser el normal externo

a la superficie en un punto ACERCA DE; Minnesota Y R g R 2- secciones principales. Seleccionemos mentalmente un elemento de superficie. COMO U y calcular las fuerzas de tensión superficial que actúan sobre los segmentos. AB Y CD, aire acondicionado Y B.D. creyendo que AB = CD Y AC ~ HAB. Para cada unidad de longitud del contorno ABDC fuerza de tensión superficial A fluido circundante, que tiende a estirar el elemento superficial AS n en todas direcciones. Todas las fuerzas que actúan del lado AB, reemplazar con una fuerza resultante A.F. aplicado a la mitad del segmento AB= A/ en paralelo perpendicular PAG, solo en ellos en su lugar receta¿El radio de curvatura será £? 2 tramos perpendiculares R g R. g. Radio R 2 mostrado en la Fig. 5.18 segmento P-fi." De ahí la resultante AF-* de todas las fuerzas normales que actúan en los cuatro lados.

elemento de superficie A5 P, AF~ = NS. +AF, + afs fAF. =v af, si (rAS n | - -|- -V

La fuerza AF^ presiona el elemento de superficie A5 P contra las capas situadas debajo de él. De ahí la presión promedio p cf, debido a la curvatura de la superficie,

Para presionar ra en un punto, dirijamos AS a cero. Moviéndose al límite de la relación entre AF^ y área asn, sobre el que actúa esta fuerza, obtenemos AF^dF.

COMO n -*o COMO norte dS norte \ R, R 2

Pero por definición

pag. = alrededor de 14-+ 4-\ (5 - 8)

pn = un yo ■

Dónde Rlt R 2- los principales radios de curvatura en un punto determinado de la superficie.

En geometría diferencial la expresión e = -~ ^--\-

J--) se llama curvatura promedio de la superficie en el punto r.

Tiene el mismo significado para todos los pares de secciones normales perpendiculares entre sí.

Expresión (5.8) que establece la dependencia de la caída de presión hidrostática. ra en la interfaz entre dos fases (líquido - líquido, líquido - ■ gas o vapor) debido a la tensión superficial interfacial A y promedio!! la curvatura de la superficie 8 en el punto considerado se llama la fórmula de laplace en honor al físico francés Laplace.

Magnitud ra se suma a la presión capilar p correspondiente a una superficie plana. Si la superficie es cóncava, entonces se coloca un signo menos en la fórmula (5.8). En el caso general de una superficie arbitraria, los radios de curvatura receta Y R 2 pueden diferir entre sí tanto en magnitud como en signo. Así, por ejemplo, en la superficie que se muestra en la Fig. 5.19, radios de curvatura receta Y R 2 en dos secciones normales mutuamente perpendiculares son diferentes en magnitud y signo. Este caso puede resultar en valores positivos o negativos. ra dependiendo del valor absoluto receta Y R2. Generalmente se acepta que si el centro de curvatura de una sección normal se encuentra debajo de la superficie, entonces el radio de curvatura correspondiente es positivo, si está por encima de la superficie, es negativo. Superficies cuya curvatura media

en todos los puntos es igual a cero e == ~(~--1" - 0, llamado superficies mínimas. Si en un punto de dicha superficie /? 1 >0, luego automáticamente /? 2<С0.

Para una esfera, cualquier sección normal es un círculo de radio. R, por lo tanto en la fórmula (5.8) /? x = R2 = R y presión capilar adicional

R. = ~.(5-9)

Para una pompa de jabón debido a la existencia de sus superficies exterior e interior.

P*=-~-(5-yu)

Si para un cilindro circular se considera que una de las secciones normales es la sección que discurre a lo largo de la generatriz, entonces receta= co. La segunda sección perpendicular a ella da un círculo de radio.

R (R2 = R). Por lo tanto, de acuerdo con la fórmula (5.8), la presión capilar adicional debajo de la superficie cilíndrica

R. = -)|- (5-I)

De las expresiones (5.9) - (5.11) está claro que cuando cambia la forma de la superficie, solo cambia el coeficiente delante de la relación. Arkansas. Si la superficie del líquido es plana, entonces R x ~ R 2 = co y por lo tanto pagz = 0. En este caso, la presión total

Р = Pi ± ð а = Pi ± 0 = pt.

La presión capilar adicional, determinada por la fórmula de Laplace, siempre está dirigida hacia el centro de curvatura. Por lo tanto, para una superficie convexa se dirige hacia el interior del líquido, para una superficie cóncava se dirige hacia afuera. En el primer caso, se suma a la presión capilar. ph en el segundo, se le resta. Matemáticamente, esto se tiene en cuenta por el hecho de que para una superficie convexa el radio de curvatura se considera positivo, para una superficie cóncava se considera negativo.

La dependencia cualitativa de la presión capilar adicional de la curvatura de la superficie se puede observar en el siguiente experimento (Fig. 5.20). termina y yo soy b La camiseta de vidrio se sumerge en una solución de agua y jabón. Como resultado, ambos extremos de la T quedan cubiertos con una película de jabón. Sacar el tee de la solución, a través del proceso. CON soplar dos pompas de jabón. Como regla general, por diversas razones, las burbujas tienen diferentes tamaños. Si cierras el agujero C, la burbuja más grande se inflará gradualmente y la más pequeña se contraerá. Esto nos convence de que la presión capilar causada por la curvatura de la superficie aumenta al disminuir el radio de curvatura.

Para tener una idea del valor de la presión adicional cap:pilar, calculémoslo para una gota con un diámetro de 1 micrón (las nubes a menudo consisten en aproximadamente gotas de este tipo):

2a 2.72.75-Yu- 3 „ mgt

pag-=-==-= 0,1455MPa.

5.8. Mojada

La tensión superficial la posee no sólo la superficie libre de un líquido, sino también la interfaz entre dos líquidos, un líquido y un sólido, y también la superficie libre de un sólido. En todos los casos, la energía superficial se define como la diferencia entre la energía de las moléculas en la interfaz y la energía en la mayor parte de la fase correspondiente. En este caso, el valor de la energía superficial en la interfaz depende de las propiedades de ambas fases. Así, por ejemplo, en la frontera agua-aire a = 72,75-10 ~ 3 N/m (a 20 °C y presión atmosférica normal), en la frontera agua-éter un = 12-10 3 N/m, y en el límite agua-mercurio un = 427-10~ 3 N/m.

Las moléculas (átomos, iones) ubicadas en la superficie de un cuerpo sólido experimentan atracción desde un lado. Por tanto, los sólidos, al igual que los líquidos, tienen tensión superficial.

La experiencia demuestra que una gota de líquido situada sobre la superficie de un sustrato sólido adopta una forma u otra dependiendo de la naturaleza del sólido, del líquido y del entorno en el que se encuentran. Para reducir la energía potencial en el campo gravitacional, un líquido siempre tiende a adoptar una forma en la que su centro de masa ocupa la posición más baja. Esta tendencia conduce a la dispersión del líquido sobre la superficie de un sólido. Por otro lado, las fuerzas de tensión superficial tienden a darle al líquido una forma que corresponde a un mínimo de energía superficial. La competencia entre estas fuerzas conduce a la creación de una forma u otra.

Aumento espontáneo del área del límite de fase sólido-líquido o líquida A- líquido EN bajo la influencia de fuerzas de cohesión molecular se llama extensión.

Descubramos las razones que llevan a la propagación de una gota sobre la superficie. Por molécula CON(Figura 5.21, A), ubicado en el punto de contacto de una gota de líquido con un sustrato sólido, con uno

En ambos lados hay fuerzas de atracción de moléculas líquidas, cuya resultante es fj_ dirigido a lo largo de la bisectriz del ángulo de contacto por el otro: moléculas de un cuerpo sólido, cuya resultante F 2 perpendicular a su superficie. Resultante R de estas dos fuerzas está inclinada hacia la izquierda de la vertical, como se muestra en la figura. En este caso, la tendencia del líquido a posicionar su superficie perpendicular a R provocará que se extienda (moje).

El proceso de dispersión del líquido se detiene cuando el ángulo Ф (se llama regional) entre la tangente a la superficie del líquido en el punto CON y la superficie de un cuerpo sólido alcanza un cierto valor límite rt k, característico de cada par líquido-sólido. Si el ángulo de contacto es agudo

(0 ^ ■& ^ -), luego el líquido moja la superficie del sólido

cuerpo y cuanto más pequeño sea, mejor. En $k= 0, se produce una humectación completa, en la que el líquido se esparce por la superficie hasta que se forma una película monomolecular. La humectación generalmente se observa en la interfaz de tres fases, una de las cuales es un sólido (fase 3), y los otros dos - líquidos inmiscibles o líquido y gas (fases / y 2) (ver figura 5.21, c).

si fuerza FX más que F.2, es decir, desde el lado líquido la fuerza de atracción sobre la molécula seleccionada es mayor que desde el lado sólido, entonces el ángulo de contacto $ será grande y la imagen se verá como se muestra en la Fig. 5.21, b. En este caso, el ángulo Ф es obtuso (i/2< § ^ я) и жидкость частично (при неравенстве) или полностью (при равенстве) не смачивает твердую подложку. По отношению к стеклу такой несмачивающей жидкостью яв­ляется, например, ртуть, гдесозд = - 1. Однако та же самая ртуть хорошо смачивает другую твердую подложку, например цинк.

Estas consideraciones pueden expresarse cuantitativamente en

basado en las siguientes ideas. Denotemos por o"i_ 2, °1-з, 0-2 -3 respectivamente, tensión superficial en el límite líquido - gas, sólido - gas y líquido - ■ superficie sólida. Las direcciones de acción de estas fuerzas en la sección se representarán mediante flechas (figura 5.22). Las siguientes fuerzas de tensión superficial actúan sobre una gota de líquido ubicada sobre un sustrato sólido: en el límite / - 3 -ffi-з, tendiendo a estirar la gota, y en el borde 2 - 3 -Og-z. tendiendo a tirar de él hacia el centro. Tensión superficial 04-2 en el límite. 1-2 dirigido tangencialmente a la superficie de la gota en un punto CON. Si el ángulo de contacto Ф es agudo, entonces la proyección de la fuerza cri_ 2 sobre el plano del sustrato sólido (ov 2 cos Ф) coincidirá en la dirección con о 2.-з (figura 5.22; A). En este caso, las acciones de ambas fuerzas.

se sumará. Si el ángulo ft es obtuso, como se muestra en la Fig. 5.21, b, entonces cos ft es negativo y la proyección cri._ 2 cosft coincidirá en dirección con O1-.3. Cuando una gota está en equilibrio sobre un sustrato sólido, se debe observar la siguiente igualdad:

= 02-3 + SG1-2 soeF. (5.12)

Esta ecuación se derivó en 1805 Sr. Jung y lleva su nombre. Actitud

B =---^- = cos pies

llamado criterio de humectación.

Por tanto, el ángulo de contacto ft depende únicamente de las tensiones superficiales en los límites de los medios correspondientes, determinadas por su naturaleza, y no depende de la forma del recipiente ni de la magnitud de la gravedad. cuando la igualdad (5.12) Si no se cumple, pueden ocurrir los siguientes casos. Si 01-3 mayor que el lado derecho de la ecuación (5.12), entonces la gota se extenderá y el ángulo ft-■ disminuirá. Puede suceder que cos ft aumente tanto que el lado derecho de la ecuación (5,12) se vuelve igual a o"b_ 3, entonces el equilibrio de la gota ocurrirá en un estado extendido. Si ov_ 3 es tan grande que incluso en cos ft = 1 lado izquierdo de la igualdad (5.12) más bien (01 _z > 0 2 -z + o"yo_ 2)> entonces la gota se estirará hasta formar una película líquida. Si el lado derecho de la igualdad (5.12) más que o"yo 3, entonces la gota se contrae hacia el centro, el ángulo ft aumenta y el cos ft disminuye en consecuencia hasta que se produce el equilibrio. Cuando cos ft se vuelve negativo, la gota tomará la forma que se muestra en la figura. 5.22, b. Si resulta que 0 2 - 3 tan grande que incluso a cos ft = -1 (ft = i) lado derecho de la igualdad (5.12) habra mas o"yo-z (01 -z <02 h- 01-2)1 luego, en ausencia de gravedad, la gota se contraerá formando una bola. Este caso se puede observar en pequeñas gotas de mercurio sobre la superficie del vidrio.

El criterio de humectación se puede expresar en términos del trabajo de adhesión y cohesión. Adhesión Aa es la aparición de una conexión entre las capas superficiales de dos cuerpos (fases) diferentes (sólidos o líquidos) puestos en contacto. Un caso especial de adhesión, cuando los cuerpos en contacto son idénticos, se llama cohesión(denotado A c). La adhesión se caracteriza por el trabajo específico dedicado a separar los cuerpos. Este trabajo se calcula por unidad de área de contacto entre las superficies y depende de cómo se separan: por cortante a lo largo de la interfaz o por separación en dirección perpendicular a la superficie. Para dos cuerpos diferentes (fases) A Y EN se puede expresar mediante la ecuación

una una= cien +y en-Uno en,

Dónde A A, y en, y A - en- coeficientes de tensión superficial de las fases A y B en el límite con el aire y entre ellas.

En el caso de la cohesión, para cada una de las fases A y B tenemos:

АШ = 2а A, A<*> = 2a c.

Para la caída que estamos considerando.

LS| =2a]_ 2 ; una una= ffi^ 3 -f ai_ 2 - sb-z-

Por tanto, el criterio de humectación puede expresarse mediante la igualdad.

EN - Con

Así, a medida que aumenta la diferencia 2A un-L con la humectación mejora.

Tenga en cuenta que los coeficientes cti-z yОон 3 generalmente se identifican con la tensión superficial de un sólido en los límites con el gas y el líquido, mientras que en un estado de equilibrio termodinámico la superficie de un sólido generalmente está cubierta con una capa de adsorción en equilibrio de la sustancia que forma la gota. Por lo tanto, al resolver con precisión el problema de los ángulos de contacto de equilibrio, los valores de cri_ 3 y (Tg-z., en general, no deben atribuirse al cuerpo sólido en sí, sino a la capa de adsorción que lo recubre, las propiedades termodinámicas de los cuales están determinados por el campo de fuerza del sustrato sólido.

Los fenómenos de humectación son especialmente pronunciados en gravedad cero. El estudio del líquido en estado de ingravidez espacial fue realizado por primera vez por el piloto-cosmonauta soviético P.R. Popovich en la nave espacial Vostok-4. En el camarote del barco había un matraz esférico de vidrio medio lleno de agua. Dado que el agua moja completamente el vidrio limpio (O = 0), en condiciones de ingravidez se extiende por toda la superficie y cierra el aire dentro del matraz. Así desapareció la interfaz entre el vidrio y el aire, lo que resultó ser energéticamente beneficioso. Sin embargo, el ángulo de contacto i) entre la superficie del líquido y las paredes del matraz y en estado de ingravidez seguía siendo el mismo que en la Tierra.

Los fenómenos de mojar y no mojar se utilizan ampliamente en la tecnología y en la vida cotidiana. Por ejemplo, para que una tela sea repelente al agua, se trata con una sustancia hidrofobizante (que perjudica la humectación del agua) (jabón, ácido oleico, etc.). Estas sustancias forman una película delgada alrededor de las fibras, aumentando la tensión superficial en la interfaz agua-tela, pero cambiándola sólo ligeramente en la interfaz tela-aire. En este caso, el ángulo de contacto O aumenta al entrar en contacto con el agua. En este caso, si los poros son pequeños, el agua no penetra en ellos, sino que es retenida por la película de la superficie convexa y se acumula en gotas que se desprenden fácilmente del material.

El líquido de lijado no sale por aberturas muy pequeñas. Por ejemplo, si los hilos con los que está tejido el tamiz están cubiertos con parafina, entonces se puede transportar agua, a menos que, por supuesto, la capa de líquido sea pequeña. Gracias a esta propiedad, los insectos aves acuáticas que corren rápidamente por el agua no se mojan las patas. Es necesaria una buena humectación al pintar, pegar, soldar, dispersar sólidos en un medio líquido, etc.

AGENCIA FEDERAL DE EDUCACIÓN

INSTITUCIÓN EDUCATIVA ESTATAL DE EDUCACIÓN PROFESIONAL SUPERIOR

Trabajo del curso

Curso "Hidromecánica subterránea"

Tema: “Derivación de la ecuación de Laplace. Problemas planos de la teoría de la filtración"

Introducción

1. Ecuaciones diferenciales de movimiento de fluido compresible e incompresible en un medio poroso. Derivación de la ecuación de Laplace.

2.1 Afluencia a un pozo perfecto

2.1.1 Flujo de filtración desde el pozo de inyección al pozo de producción

2.1.2 Entrada a un grupo de pozos con circuito de suministro remoto

2.1.3 Flujo de entrada a un pozo en una formación con un circuito de alimentación en línea recta

2.1.4 Entrada a un pozo ubicado cerca de un límite recto impermeable

2.1.5 Entrada a un pozo en una formación con un circuito de suministro arbitrario

2.1.6 Entrada a cadenas sin fin y baterías de pozo anular

2.1.6.1 Entrada a los pozos de la batería anular

2.1.6.2 Entrada a una batería directa de pozos

2.1.7 Método de resistencia a la filtración equivalente

Literatura

Introducción

La hidromecánica subterránea es la ciencia del movimiento de líquidos, gases y sus mezclas en rocas porosas y fracturadas: la base teórica para el desarrollo de yacimientos de petróleo y gas, una de las disciplinas centrales en el plan de estudios de las facultades de campo y geología de las universidades petroleras. .

La hidráulica subterránea se basa en la idea de que el petróleo, el gas y el agua contenidos en un medio poroso forman un único sistema hidráulico.

La base teórica del PGD es la teoría de la filtración, una ciencia que describe el movimiento de un fluido dado desde el punto de vista de la mecánica continua, es decir. hipótesis de continuidad (continuidad) del flujo.

Una característica de la teoría de la filtración de petróleo y gas en formaciones naturales es la consideración simultánea de procesos en áreas cuyas dimensiones características difieren en órdenes de magnitud: tamaño de poro (hasta decenas de micrómetros), diámetro del pozo (hasta decenas de centímetros), espesores de formación (hasta decenas de metros), distancias entre pozos (cientos de metros), longitud de los depósitos (hasta cientos de kilómetros).

En este trabajo de curso se deriva la ecuación básica de Laplace y se consideran problemas planos de la teoría de la filtración, así como su solución.

1. Ecuaciones diferenciales de movimiento de fluido compresible e incompresible en un medio poroso. Derivación de la ecuación de Laplace

Al derivar la ecuación diferencial de movimiento de un fluido compresible, las ecuaciones iniciales son las siguientes:

ley de filtración de líquidos; Como ley de filtración, aceptamos la ley de filtración lineal, expresada por las fórmulas (3.1)

ecuación de continuidad (3.2)

ecuación de estado. Para un fluido compresible en gotas, la ecuación de estado se puede representar como (3.3)

Sustituyendo en la ecuación de continuidad (3.2) en lugar de las proyecciones de velocidad de filtración vx, vy y vz sus valores de la ley lineal expresada por la fórmula (3.1), obtenemos:

ecuación de estado (3.3) tenemos:

Sustituyendo estos valores de derivada parcial

Presentamos el operador de Laplace

La ecuación (3.7) se puede escribir más brevemente como

Teniendo en cuenta que

La ecuación (3.7) se puede representar aproximadamente como:

La ecuación (3.7) o una ecuación de reemplazo aproximada (3.10) es la ecuación diferencial deseada para el movimiento inestable de un fluido compresible en un medio poroso. Las ecuaciones mencionadas tienen la forma de una “ecuación de calor”, cuya integración bajo diversas condiciones iniciales y de contorno se considera en todos los cursos de física matemática.

La solución a varios problemas sobre el movimiento inestable de un fluido compresible homogéneo en un medio poroso, basada en la integración de la ecuación (3.7) en diversas condiciones iniciales y de contorno, se da en los libros de V. N. Shchelkachev, I. A. Charny y M. Masket. . Con movimiento constante de un fluido compresible.

La ecuación (3.11) se llama ecuación de Laplace.

Durante la filtración estacionaria e inestable de un fluido incompresible, la densidad del fluido es constante, por lo tanto, el valor en el lado derecho de la ecuación (3.4) es igual a cero. Reducir el lado izquierdo de esta ecuación por una constante

Por tanto, la filtración estacionaria e inestable de un fluido incompresible se describe mediante la ecuación de Laplace (3.12).

2. Problemas planos de la teoría de la filtración.

Al desarrollar yacimientos de petróleo y gas (OGF), surgen dos tipos de problemas:

1. Se fija el caudal de los pozos y es necesario determinar la presión de fondo de pozo requerida para este caudal y, además, la presión en cualquier punto de la formación. En este caso, el caudal está determinado por el valor de la depresión máxima de los yacimientos existentes, en los que aún no se ha producido su destrucción, o por las características de resistencia del equipo del pozo, o por su significado físico. Esto último significa, por ejemplo, la imposibilidad de establecer una presión de fondo de pozo nula o negativa.

2. Se establece la presión de fondo de pozo y es necesario determinar el caudal. El último tipo de condición ocurre con mayor frecuencia en la práctica de desarrollo de GPS. La cantidad de presión de fondo de pozo está determinada por las condiciones de operación. Por ejemplo, la presión debe ser mayor que la presión de saturación para evitar la desgasificación del petróleo en el yacimiento o la precipitación de condensado durante el desarrollo de campos de condensado de gas, lo que reduce las propiedades productivas de los pozos. Finalmente, si se puede sacar arena de la formación hasta el fondo del pozo, entonces la tasa de filtración en la pared del pozo debe ser menor que un cierto valor límite.

Se observó que cuando se opera un grupo de pozos en las mismas condiciones, es decir con la misma presión de fondo de pozo, la tasa de producción de todo el campo crece más lentamente que el aumento en el número de pozos nuevos con las mismas condiciones de fondo de pozo (Fig. 4.1). Un aumento en el caudal requiere una disminución en la presión de fondo de pozo.

Para resolver los problemas, resolveremos el problema de la interferencia plana (superposición) de los pozos. Supongamos que la formación es ilimitada, horizontal, de espesor constante y de base y techo impenetrables. La formación está atravesada por muchos pozos perfectos y llena de líquido o gas homogéneo. El movimiento del fluido es constante, obedece la ley de Darcy y es plano. El movimiento plano significa que el flujo ocurre en planos paralelos entre sí y el patrón de movimiento en todos los planos es idéntico. En este sentido, se analiza el flujo en uno de estos planos: en el plano principal del flujo.

Construiremos la solución de problemas sobre el principio de superposición (superposición) de flujos. El método de superposición basado en este principio es el siguiente.

Cuando en una formación actúan juntos varios drenajes (pozos productores) o fuentes (pozos de inyección), la función potencial determinada por cada drenaje (fuente) se calcula utilizando la fórmula para un solo drenaje (fuente). La función potencial debida a todos los sumideros (fuentes) se calcula sumando algebraicamente estos valores independientes de la función potencial. La tasa de filtración total se define como la suma vectorial de las tasas de filtración causadas por la operación de cada pozo (Fig. 4.2b).

Sean n drenajes con un caudal másico positivo G y fuentes con un caudal másico negativo en un yacimiento ilimitado (figura 4.2a). El flujo en las proximidades de cada pozo en este caso es plano-radial y el potencial.

Teorema local de Moivre-Laplace. 0 Y 1, entonces la probabilidad P t n de que, ese evento A ocurrirá m veces en n ensayos independientes para un número suficientemente grande n es aproximadamente igual a

- función gaussiana Y

Cuanto más grande y más precisa sea la fórmula aproximada (2.7), llamada Fórmula local de Moivre-Laplace. Valores de probabilidad aproximados tpu dados por la fórmula local (2.7), en la práctica se utilizan como exactos para prudente alrededor de dos o más docenas, es decir dado que prudente > 20.

Para simplificar los cálculos asociados con la aplicación de la fórmula (2.7), se ha compilado una tabla de los valores de la función /(x) (Tabla I, que figura en los apéndices). Al utilizar esta tabla, es necesario tener en cuenta las propiedades obvias de la función /(x) (2.8).

• 1. Función/(X) incluso, es decir. /(-x) = /(x).
• 2. Función/(X) - monótonamente decreciente para valores positivos X, y en x -> co /(x) -» 0.
• (En la práctica podemos suponer que ya para x > 4 /(x) « 0.)

[> Ejemplo 2.5. En alguna zona, de cada 100 familias, 80 tienen refrigeradores. Encuentre la probabilidad de que de 400 familias, 300 tengan refrigeradores.

Solución. La probabilidad de que una familia tenga refrigerador es pag = 80/100 = 0,8. Porque PAG= 100 es lo suficientemente grande (condición prudente= = 100 0,8(1-0,8) = 64 > 20 satisfecho), luego aplicamos la fórmula local de Moivre-Laplace.

Primero, determinamos por la fórmula (2.9)

Luego según la fórmula (2.7)

(el valor /(2,50) se encontró en la Tabla I de los apéndices). El bajísimo valor de probabilidad /300.400 no debería generar dudas, ya que además del evento

“exactamente 300 familias de 400 tienen frigorífico”, otros 400 eventos son posibles: “0 de 400”, “1 de 400”,..., “400 de 400” con sus propias probabilidades. Todos juntos, estos eventos forman un grupo completo, lo que significa que la suma de sus probabilidades es igual a uno. ?

Supongamos que en las condiciones del ejemplo 2.5 es necesario encontrar la probabilidad de que de 300 a 360 familias (inclusive) tengan refrigeradores. En este caso, según el teorema de la suma, la probabilidad del evento deseado

En principio, cada término se puede calcular utilizando la fórmula local de Moivre-Laplace, pero la gran cantidad de términos hace que el cálculo sea muy engorroso. En tales casos, se utiliza el siguiente teorema.

Teorema integral de Moivre - Laplace. Si la probabilidad p de que ocurra el evento A en cada ensayo es constante y diferente de 0 Y 1, entonces la probabilidad es, que el número m de ocurrencia del evento A en n ensayos independientes se encuentra en el rango de a a b (inclusivo), para un número suficientemente grande n es aproximadamente igual a

- función(o integral de probabilidad) Laplace",

(La demostración del teorema se da en la Sección 6.5.)

La fórmula (2.10) se llama la fórmula integral de Moivre-Laplace. Cuanto más PAG, más precisa será esta fórmula. Cuando se cumple la condición prue > > 20 fórmula integral (2.10), al igual que la local, suele dar un error en el cálculo de probabilidades que es satisfactorio para la práctica.

La función Ф(дг) está tabulada (véase el Cuadro II de los apéndices). Para utilizar esta tabla necesitas conocer las propiedades de la función Ф(х).

1. Función f(x) extraño, aquellos. Ф(-х) = -Ф(х).

? ¿Hacemos un cambio de variable? = -GRAMO. Entonces (k =

= -(12. Los límites de integración para la variable 2 serán 0 y X. Obtenemos

ya que el valor de la integral definida no depende de la designación de la variable de integración. ?

2. Función Ф(х)aumentando monótonamente, y en x ->+entonces f(.g) -> 1 (prácticamente podemos suponer que ya en x > 4 Ф(х)~ 1).

Dado que la derivada de la integral con respecto al límite superior de la variable es igual al integrando en el valor del límite superior, g.s.

, y siempre es positivo, entonces Ф(х) aumenta monótonamente

en toda la recta numérica.

Hagamos un cambio de variable, entonces los límites de integración no cambian y

(ya que la integral de una función par

Teniendo en cuenta que (Integral de Euler - Poison), obtenemos

?

O Ejemplo 2.6. Con base en los datos del ejemplo 2.5, calcule la probabilidad de que de 300 a 360 (inclusive) familias de 400 tengan refrigeradores.

Solución. Aplicamos el teorema integral de Moivre - Laplace (pr.= 64 > 20). Primero, determinamos usando las fórmulas (2.12)

Ahora, usando la fórmula (2.10), teniendo en cuenta las propiedades de Ф(.т), obtenemos

(¿según el Cuadro II de los apéndices?

Consideremos un corolario del teorema integral de Moivre-Laplace. Consecuencia. Si la probabilidad p de que ocurra el evento A en cada ensayo es constante y diferente de 0 y I, entonces con un número suficientemente grande n de ensayos independientes, la probabilidad es que:

A) el número m de ocurrencias del evento A difiere del producto pr en no más de mi > 0 (en valor absoluto), aquellos.

b) la frecuencia del evento t/p A está dentro de los límites de a a p ( lo encenderé- enfáticamente, es decir.

V) la frecuencia del evento A difiere de su probabilidad p en no más de A > 0 (en valor absoluto), es decir.

A) Desigualdad |/?7-7?/?| es equivalente a la doble desigualdad pr-e Por lo tanto, según la fórmula integral (2.10)

• b) Desigualdad y es equivalente a la desigualdad y cuando a = pa Y b= /?r. Reemplazo de las cantidades en las fórmulas (2.10), (2.12) A Y b Utilizando las expresiones obtenidas, obtenemos las fórmulas a demostrar (2.14) y (2.15).
• c) Desigualdad mjn-р es equivalente a la desigualdad t-pr Sustituyendo en la fórmula (2.13) gramo = Ap, obtenemos la fórmula (2.16) a demostrar. ?

[> Ejemplo 2.7. Con base en los datos del ejemplo 2.5, calcule la probabilidad de que de 280 a 360 familias de 400 tengan refrigeradores.

Solución. Calcule la probabilidad P 400 (280 t pr = 320. Luego, según la fórmula (2.13)

[> Ejemplo 2.8. Según las estadísticas, en promedio el 87% de los recién nacidos viven hasta los 50 años.

• 1. Encuentre la probabilidad de que de 1000 recién nacidos, la proporción (frecuencia) de los que sobrevivan hasta los 50 años: a) esté en el rango de 0,9 a 0,95; b) diferirá de la probabilidad de este evento en no más de 0,04 (pero en valor absoluto).
• 2. ¿Para qué número de recién nacidos con una confiabilidad de 0,95 la proporción de los que sobreviven hasta los 50 años estará dentro del rango de 0,86 a 0,88?

Solución. 1, a) Probabilidad R que un recién nacido vivirá hasta los 50 años es 0,87. Porque PAG= 1000 es grande (condición prd=1000 0,87 0,13 = = 113,1 > 20 satisfecho), entonces utilizamos un corolario del teorema integral de Moivre-Laplace. Primero, determinamos por las fórmulas. (2.15)

Ahora según la fórmula (2.14)

1, b) Según la fórmula (2.16)

Desde la desigualdad equivale a desigualdad

el resultado obtenido significa que es casi seguro que entre 0,83 y 0,91 de cada 1.000 recién nacidos vivirán hasta los 50 años. ?

2. Por condición o

Según la fórmula (2.16) en A = 0,01

Según la tabla II apéndices F(G) = 0,95 en G = 1,96, por lo tanto,

dónde

aquellos. condición (*) puede garantizarse con un aumento significativo en el número de recién nacidos considerados para PAG = 4345. ?

• La demostración del teorema se da en la sección 6.5. El significado probabilístico de las cantidades pr, prs( se establece en el párrafo 4.1 (ver nota en la pág. 130).
• El significado probabilístico del valor RF/n se establece en el párrafo 4.1.