Método de iteración para sistemas de ecuaciones no lineales. Métodos numéricos: resolución de ecuaciones no lineales.

El estudio de diversos fenómenos o procesos mediante métodos matemáticos se realiza mediante un modelo matemático. . Un modelo matemático es una descripción formalizada del objeto en estudio a través de sistemas de ecuaciones lineales, no lineales o diferenciales, sistemas de desigualdades, una integral definida, un polinomio con coeficientes desconocidos, etc. El modelo matemático debe cubrir las características más importantes del objeto. objeto de estudio y reflejan las conexiones entre ellos.

Una vez compilado el modelo matemático, se procede a la formulación del problema computacional. . Al mismo tiempo, se establece qué características del modelo matemático son los datos iniciales (de entrada). , cual - parámetros del modelo , y cuál - datos de salida. El problema resultante se analiza desde el punto de vista de la existencia y unicidad de una solución.

En la siguiente etapa, se selecciona un método para resolver el problema. En muchos casos específicos, no es posible encontrar una solución al problema de forma explícita, ya que no se expresa a través de funciones elementales. Estos problemas sólo pueden resolverse de forma aproximada. Los métodos computacionales (numéricos) significan procedimientos aproximados que permiten obtener una solución en forma de valores numéricos específicos. Los métodos computacionales generalmente se implementan en una computadora. Para resolver el mismo problema, se pueden utilizar varios métodos computacionales, por lo que es necesario poder evaluar la calidad de varios métodos y la efectividad de su uso para un problema determinado.

Luego, para implementar el método computacional seleccionado, se compila un algoritmo y un programa de computadora. . Es importante que un ingeniero moderno pueda transformar un problema en una forma conveniente para implementarlo en una computadora y construir un algoritmo para resolverlo.

Actualmente, se utilizan ampliamente como paquetes que implementan los métodos más generales para resolver una amplia gama de problemas (por ejemplo, Mathcad,
MatLAB), así como paquetes que implementan métodos para resolver problemas especiales.

Los resultados del cálculo se analizan e interpretan. Si es necesario, se ajustan los parámetros del método y, en ocasiones, el modelo matemático, y comienza un nuevo ciclo de resolución del problema.

1.1. Formulación del problema

Deje que se proporcione alguna función y necesite encontrar todos o algunos valores para los cuales.

El valor al que se llama raíz(o decisión) ecuaciones. A menudo se supone que una función es derivable dos veces continuamente en una vecindad de la raíz.

La raíz de la ecuación se llama simple, si la primera derivada de la función en un punto no es igual a cero, es decir . Si , entonces se llama a la raíz raíz múltiple.

Geométricamente, la raíz de la ecuación es el punto de intersección de la gráfica de la función con el eje de abscisas. En la Fig. La figura 1 muestra una gráfica de una función que tiene cuatro raíces: dos simples y dos múltiples.

La mayoría de los métodos para resolver ecuaciones se centran en encontrar raíces simples.

1.2. Principales etapas para encontrar una solución.

En el proceso de encontrar aproximadamente las raíces de una ecuación se suelen distinguir dos etapas: localización(o separación) de la raíz Y clarificación de raíces.

La localización de raíces implica definir un segmento que contiene una y sólo una raíz. No existe un algoritmo universal de localización de raíces. A veces es conveniente localizar la raíz construyendo una gráfica o tabla de valores de funciones. La presencia de una raíz en un segmento se indica por la diferencia en los signos de la función en los extremos del segmento. La base para esto es el siguiente teorema.

Teorema . Si una función es continua en un segmento y toma valores de diferentes signos en sus extremos de modo que , entonces el segmento contiene al menos una raíz de la ecuación.

Sin embargo, una raíz de multiplicidad par no puede localizarse de esta manera, ya que en la vecindad de dicha raíz la función tiene un signo constante. En la etapa de refinamiento de la raíz, el valor aproximado de la raíz se calcula con una precisión determinada. El valor aproximado de la raíz se refina utilizando varios métodos iterativos. La esencia de estos métodos es calcular secuencialmente valores que son aproximaciones a la raíz.

1.3. Método de media división

El método de la mitad es la forma más sencilla y fiable de resolver una ecuación no lineal. Del análisis preliminar se sabe que la raíz de la ecuación está en el segmento , es decir, de modo que . Sea la función continua en un segmento y tome valores de diferentes signos en los extremos del segmento, es decir .

Divide el segmento por la mitad. Entendamos un punto. Calculemos el valor de la función en este punto: . Si , entonces es la raíz deseada y el problema está resuelto. Si , entonces - un número de cierto signo: cualquiera de los dos. Entonces ya sea en los extremos del segmento o en los extremos del segmento los valores de la función tienen signos diferentes. Denotemos tal segmento. Obviamente, la longitud del segmento es dos veces menor que la longitud del segmento. Hagamos lo mismo con el segmento. Como resultado, obtenemos una raíz o un nuevo segmento, etc. (Fig. 2).

La mitad del décimo segmento. Obviamente, la longitud del segmento será igual a , y desde , entonces

Criterio de terminación. De la relación (1) se deduce que para una precisión de aproximación dada el cálculo finaliza cuando se satisface la desigualdad o desigualdad. Por tanto, el número de iteraciones se puede determinar de antemano. El valor se toma como el valor aproximado de la raíz.

Ejemplo. Encontrémoslo aproximadamente con precisión. Este problema equivale a resolver una ecuación o encontrar el cero de una función. Tomemos el segmento como segmento inicial. En los extremos de este segmento, la función toma valores con diferentes signos: . Encontremos el número de divisiones del segmento necesarias para lograr la precisión requerida. Tenemos:

Por lo tanto, a más tardar en la 6ª división encontraremos con la precisión requerida, . Los resultados del cálculo se presentan en la Tabla 1.

tabla 1

1.4. Método de iteración simple

Reemplacemos la ecuación por su ecuación equivalente.

Elijamos la aproximación inicial de alguna manera. Calculemos el valor de la función en y encontremos el valor refinado. Sustituyamos ahora en la ecuación (1) y obtenemos una nueva aproximación, etc. Continuando este proceso indefinidamente, obtenemos una secuencia de aproximaciones a la raíz:

La fórmula (3) es fórmula de cálculo método de iteración simple.

Si la secuencia converge en , es decir, existe

y la función es continua, entonces, pasando al límite en (3) y teniendo en cuenta (4), obtenemos: .

Así pues, es la raíz de la ecuación (2).

Convergencia del método. La convergencia del método de iteración simple se establece mediante el siguiente teorema.

Teorema. Sea la función definida y diferenciable en el intervalo, y todos sus valores son . Entonces, si se cumple la condición:

1) el proceso de iteración converge independientemente del valor inicial;

2) el valor límite es la única raíz de la ecuación en el intervalo.

Prueba. Desde y , podemos escribir

Según el teorema del valor medio (establece que si la derivada de una función es continua en un cierto intervalo, entonces la tangente del ángulo de inclinación de la cuerda trazada entre los puntos y , (es decir, es igual a la derivada de la función en algún punto intermedio entre y ) el cociente en la última expresión será igual a , donde es algún punto intermedio en el intervalo de búsqueda de raíces.

Si introducimos una notación para todo el intervalo de búsqueda, entonces la igualdad anterior se puede reescribir como:

Asimismo. Entonces la desigualdad será cierta para: etc. Continuando con estos cálculos, el resultado es , donde es un número natural. Por lo tanto, para que el método converja, se debe satisfacer la siguiente desigualdad: .

De ello se deduce que debe ser menor que uno. A su vez, para todos los demás valores menores que , podemos escribir: . Determinamos el número a partir de la relación. Entonces la siguiente desigualdad es verdadera (ver la derivación a continuación): . Si establecemos la condición de que el valor verdadero de la raíz debe diferir del valor aproximado en la cantidad , es decir , entonces las aproximaciones deben calcularse hasta que se satisfaga la desigualdad

o y entonces.

Derivación de la desigualdad. Consideremos dos aproximaciones sucesivas: y . De aquí.

Usando el teorema del valor medio, obtenemos:

entonces, según la condición, podemos escribir:

Por otro lado, dejemos. Es obvio que . De aquí, teniendo en cuenta que, obtenemos

Entonces o.

Usando la fórmula anterior, puedes obtener:

Pasemos al límite en la igualdad (3), debido a la continuidad de la función que obtenemos, es decir, la raíz de la ecuación (2). No hay otras raíces, ya que si, entonces, entonces, dónde. La igualdad a cero se logrará si . Es decir, sólo hay una raíz.

El teorema está demostrado.

Reduciendo la ecuación a la forma
para garantizar el cumplimiento de la desigualdad

En el caso general, es posible obtener una forma iterativa adecuada realizando una transformación equivalente de la ecuación original, por ejemplo multiplicándola por el coeficiente: . Luego sumando a ambos lados de la ecuación y denotando, podemos exigir el cumplimiento de una condición suficiente. A partir de aquí se determina el valor requerido. Dado que la condición debe cumplirse en todo el segmento, para la selección se debe utilizar el valor más grande de este segmento, es decir

Esta relación determina el rango de valores de los coeficientes, cambiando el valor dentro de los límites.

Generalmente aceptado.

En la Fig. 3-6 muestran cuatro casos de posiciones relativas de líneas y los procesos iterativos correspondientes. Arroz. 3 y 4 corresponden al caso y el proceso iterativo converge. En este caso, si (Fig. 3), la convergencia es unilateral, y si (Fig. 4), la convergencia es bilateral, oscilatoria. Arroz. 5 y 6 corresponden al caso: el proceso de iteración diverge. En este caso, puede haber divergencia unilateral (Fig. 5) y bilateral (Fig. 6).

Error de método. La estimación del error ha sido probada (5).

Criterio de terminación. De la estimación (5) se deduce que los cálculos deben continuar hasta que se satisfaga la desigualdad. Si , entonces la estimación se simplifica: .

Ejemplo 1. Usamos el método de iteración simple para resolver la ecuación con una precisión de . Transformemos la ecuación a la forma:

, es decir. .

Es fácil verificar que la raíz de la ecuación está en el segmento. Habiendo calculado los valores en los extremos del segmento, obtenemos: , a, es decir la función en los extremos del segmento tiene signos diferentes,

por lo tanto hay una raíz dentro del segmento. La ubicación de la raíz se ilustra claramente en la Fig. 7.

Calculemos la primera y segunda derivada de la función:

Dado que en el segmento , la derivada aumenta monótonamente en este segmento y toma su valor máximo en el extremo derecho del segmento, es decir, en el punto . Por tanto, es justa la siguiente valoración:

Por tanto, la condición se cumple y se puede utilizar el criterio para finalizar los cálculos. En mesa 2 muestra las aproximaciones obtenidas mediante la fórmula de cálculo. El valor elegido como aproximación inicial es .

Tabla 2

El criterio de terminación se cumple cuando, . La convergencia es bidireccional; la naturaleza cualitativa de dicha convergencia se muestra en la Fig. 4. Valor aproximado de la raíz con la precisión requerida.

Ejemplo 2. Resuelva la ecuación en un segmento usando el método de iteración simple con una precisión de 0,025. Para resolver, la ecuación original se reduce a la forma. Para seleccionar un valor utilizamos la fórmula anterior. Entonces la fórmula de cálculo se ve así. Como aproximación inicial, puede elegir el límite superior de un segmento determinado.

Desde entonces.

1.5. Método de Newton (método tangente)

El método de Newton es el método más eficaz para resolver ecuaciones no lineales. Deje que la raíz , es decir . Suponemos que la función es continua en el intervalo y dos veces continuamente diferenciable en el intervalo. Pongamos . Dibujemos una tangente a la gráfica de la función en un punto (Fig. 8).

La ecuación tangente se verá así: .

La primera intersección la obtenemos tomando la abscisa del punto de intersección de esta tangente con el eje, es decir poniendo: .

Haremos lo mismo con el punto, luego con el punto, etc., como resultado obtenemos una secuencia de aproximaciones, y

La fórmula (6) es fórmula de cálculo del método de Newton.

El método de Newton puede considerarse como un caso especial del método de iteración simple, para el cual.

Convergencia del método. La convergencia del método de Newton se establece mediante el siguiente teorema.

Teorema. Sea una raíz simple de la ecuación y en alguna vecindad de esta raíz la función es dos veces continuamente diferenciable. Entonces hay una vecindad de la raíz tan pequeña que, con una elección arbitraria de la aproximación inicial de esta vecindad, la secuencia de iteración definida por la fórmula (6) no va más allá de esta vecindad y la estimación es válida:

La convergencia del método de Newton depende de qué tan cerca de la raíz se elija la estimación inicial.

Elección de la aproximación inicial. Sea un segmento que contenga la raíz. Si, como aproximación inicial, elegimos el final del segmento para el cual , entonces las iteraciones (6) convergen, y de forma monótona. Arroz. 8 corresponde al caso en el que se eligió el extremo derecho del segmento como aproximación inicial: (Aquí).

Error de método. La estimación (7) es inconveniente para el uso práctico. En la práctica, se utilizan las siguientes estimaciones de error:

Criterios finales . La estimación (8) nos permite formular el siguiente criterio para el final de las iteraciones del método de Newton. Para una precisión determinada, los cálculos deben realizarse hasta que se cumpla la desigualdad.

Ejemplo. Calcule la raíz negativa de la ecuación usando el método de Newton con una precisión de 0,0001. Al separar la raíz, puede asegurarse de que la raíz esté localizada en el intervalo. En este intervalo y . Desde y, entonces podemos tomar.

. Es por eso . Entonces, como resultado obtenemos lo siguiente, y en , por lo tanto .

Desde entonces

La solución está redactada en formato Word.

Reglas para ingresar una función

Una de las formas más efectivas de resolver ecuaciones numéricamente es método de iteración. La esencia de este método es la siguiente. Sea la ecuación f(x)=0.
Reemplacémoslo con la ecuación equivalente.
Elijamos la aproximación inicial de la raíz x 0 y la sustituyamos en el lado derecho de la ecuación (1). Entonces obtenemos algún número

x 1 =φ(x 0). (2)

x n =φ(x n-1) (n=1,2..). (3)

O ξ=φ(ξ).
Por tanto, el límite ξ es la raíz de la ecuación (1) y se puede calcular utilizando la fórmula (3) con cualquier grado de precisión.

Arroz. 1a figura. 1b

Arroz. 2.

|φ′(x)|>1 - proceso divergente

En la Fig. 1a, 1b, en las proximidades de la raíz |φ′(x)|<1 и процесс итерации сходится. Однако, если рассмотреть случай |φ′(x)|>1, entonces el proceso de iteración puede ser divergente (ver Fig. 2).

Condiciones suficientes para la convergencia del método de iteración.

φ′(x norte)(x norte -x norte-1)

donde x norte ∈
Entonces obtenemos

|x n+1 -x n |≤φ′(x n)|x n -x n-1 |≤q|x n -x n-1 |

|x 2 -x 1 |≤q|x 1 -x 0 |
|x 3 -x 2 |≤q|x 2 -x 1 |≤q²|x 1 -x 0 |
|x n+1 -x n ≤q n |x 1 -x 0 | (4)

ξ-x n = φ′(c 1)(ξ-x n-1)+φ′(c)(x n -x n-1)
o
|ξ-x n |≤q|ξ-x n |+q|x n -x n-1 |

, (5)

. (6)

|x norte -x norte -1 |<ε

Convergencia del método de iteración. lineal con coeficiente de convergencia α=q. De hecho, tenemos
ξ-x n =φ(ξ)-φ n-1 = φ′(c)·(ξ-x n-1), por lo tanto |ξ-x n |≤q·|ξ-x n-1 |.

Comentario. Sea en alguna vecindad de la raíz ξ∈(a,b) de la ecuación x= φ(x) la derivada φ’(x) conserva un signo constante y la desigualdad |φ’(x)|≤q<1. Тогда, если φ’(x) положительна, то последовательные приближения x n = φ(x n -1) сходятся к корню монотонно.
Si φ’(x) es negativo, entonces las aproximaciones sucesivas oscilan alrededor de la raíz.
Consideremos una forma de representar la ecuación f(x)=0 en la forma x= φ(x).
La función φ(x) debe especificarse de manera que |φ’(x)| era pequeño en la vecindad de la raíz.
Sean m 1 y M 1: los valores más pequeño y más grande de la derivada f’(x)
0Reemplacemos la ecuación f(x)=0 con su ecuación equivalente
x = x - λf(x).
Pongamos φ(x) = x- λf(x). Seleccionemos el parámetro λ de tal manera que en la vecindad de la raíz ξ la desigualdad

0≤|φ′(x)|=|1-λ·f′(x)|≤q≤1

0≤|1-λM 1 |≤|1-λm 1 |≤q

x norte = x norte -1 – f(x norte)/f’(x).

Método de iteración en Excel

El proceso de encontrar los ceros de una función usando el método de iteración. consta de los siguientes pasos:

1. Obtenga una plantilla utilizando este servicio.
2. Especifique los intervalos en las celdas B2, B3.
3. Copie las líneas de iteración con la precisión requerida (columna D).

Ejemplo. Encuentra la raíz de la ecuación e -x -x=0, x=∈, ε=0.001 (8)
Solución.
Representemos la ecuación (8) en la forma x=x-λ(e -x -x)
Encontremos el valor máximo de la derivada de la función f(x)= e - x -x.
máx f′(x)=max(-(e -x +1)) ≈ -1,37. Significado . Así, resolvemos la siguiente ecuación
x=x+0.73(e - x -x)
Los valores de aproximaciones sucesivas se dan en la tabla.

Resolver ecuaciones no lineales

Supongamos que necesitamos resolver la ecuación.

Dónde
– función continua no lineal.

Los métodos para resolver ecuaciones se dividen en directos e iterativos. Los métodos directos son métodos que le permiten calcular una solución usando una fórmula (por ejemplo, encontrar las raíces de una ecuación cuadrática). Los métodos iterativos son métodos en los que se especifica alguna aproximación inicial y se construye una secuencia convergente de aproximaciones a la solución exacta, calculándose cada aproximación posterior utilizando las anteriores.

La solución completa al problema se puede dividir en 3 etapas:

Establecer el número, naturaleza y ubicación de las raíces de la ecuación (1).

Encuentre valores aproximados de las raíces, es decir indicar los intervalos en los que crecerán las raíces (separar las raíces).

Encuentre el valor de las raíces con la precisión requerida (especifique las raíces).

Existen varios métodos gráficos y analíticos para resolver los dos primeros problemas.

El método más obvio para separar las raíces de la ecuación (1) es determinar las coordenadas de los puntos de intersección de la gráfica de la función.
con el eje de abscisas. abscisas graficar puntos de intersección
con eje
son las raíces de la ecuación (1)

Los intervalos de aislamiento para las raíces de la ecuación (1) se pueden obtener analíticamente, basándose en teoremas sobre las propiedades de funciones continuas en un intervalo.

Si, por ejemplo, la función
continuo en el segmento
Y
, entonces según el teorema de Bolzano-Cauchy, en el segmento
hay al menos una raíz de la ecuación (1) (un número impar de raíces).

Si la función
satisface las condiciones del teorema de Bolzano-Cauchy y es monótono en este intervalo, luego en
sólo hay una raíz de la ecuación (1). Por lo tanto, la ecuación (1) tiene.
una única raíz si se cumplen las siguientes condiciones:

Si una función es continuamente diferenciable en un intervalo dado, entonces podemos usar un corolario del teorema de Rolle, según el cual siempre hay al menos un punto estacionario entre un par de raíces. El algoritmo para resolver el problema en este caso será el siguiente:

Una herramienta útil para separar raíces es también el uso del teorema de Sturm.

La solución del tercer problema se lleva a cabo mediante varios métodos iterativos (numéricos): el método de la dicotomía, el método de iteración simple, el método de Newton, el método de las cuerdas, etc.

Ejemplo Resolvamos la ecuación.
método iteración simple. vamos a establecer
. Construyamos una gráfica de la función.

La gráfica muestra que la raíz de nuestra ecuación pertenece al segmento
, es decir.
es el segmento de aislamiento de la raíz de nuestra ecuación. Comprobemos esto analíticamente, es decir. cumplimiento de condiciones (2):

Recordemos que la ecuación original (1) en el método de iteración simple se transforma a la forma
y las iteraciones se realizan según la fórmula:

(3)

Realizar cálculos utilizando la fórmula (3) se denomina iteración. Las iteraciones se detienen cuando se cumple la condición.
, Dónde - error absoluto al encontrar la raíz, o
, Dónde -error relativo.

El método de iteración simple converge si se cumple la condición.
Para
. Seleccionar una función
en la fórmula (3) para iteraciones, puede influir en la convergencia del método. En el caso más simple
con un signo más o menos.

En la práctica, a menudo se expresa
directamente de la ecuación (1). Si no se cumple la condición de convergencia, transfórmela a la forma (3) y selecciónela. Representemos nuestra ecuación en la forma
(expresa x de la ecuación). Comprobemos la condición de convergencia del método:

Para
. Tenga en cuenta que la condición de convergencia no se cumple
, entonces tomamos un segmento de aislamiento de raíz
. De paso, observamos que al presentar nuestra ecuación en la forma
, no se cumple la condición de convergencia del método:
en el segmento
. El gráfico muestra que
aumenta más rápido que la función
(|tg| ángulo de inclinación de la tangente a
en el segmento
)

Vamos a escoger
. Organizamos iteraciones según la fórmula:

Organizamos programáticamente el proceso de iteración con una precisión determinada:

> fv:=proc(f1,x0,eps)

> k:=0:

x:=x1+1:

mientras que abs(x1-x)> eps lo hace

x1:=f1(x):

imprimir(evalf(x1,8)):

imprimir(abs(x1-x)):

:printf("Número de iteraciones.=%d ",k):

fin:

En la iteración 19 obtuvimos la raíz de nuestra ecuación.

con error absoluto

Resolvamos nuestra ecuación. El método de Newton. Las iteraciones en el método de Newton se realizan según la fórmula:

El método de Newton puede considerarse como un método de iteración simple con una función, entonces la condición para la convergencia del método de Newton se escribirá como:

.

En nuestra notación
y la condición de convergencia se cumple en el intervalo
, como se puede observar en el gráfico:

Recuerde que el método de Newton converge a una velocidad cuadrática y la aproximación inicial debe elegirse lo suficientemente cerca de la raíz. Hagamos los cálculos:
, aproximación inicial, . Organizamos iteraciones según la fórmula:

Organizamos programáticamente el proceso de iteración con una precisión determinada. En la iteración 4 obtenemos la raíz de la ecuación.

Con
Analizamos métodos para resolver ecuaciones no lineales usando ecuaciones cúbicas como ejemplo, naturalmente, estos métodos resuelven varios tipos de ecuaciones no lineales; Por ejemplo, resolviendo la ecuación

El método de Newton con
, encuentre la raíz de la ecuación en [-1.5;-1]:

Ejercicio: Resuelve ecuaciones no lineales con precisión

0.

dividir un segmento por la mitad (dicotomía)

iteración sencilla.

Newton (tangentes)

secantes - acordes.

Las opciones de tareas se calculan de la siguiente manera: el número en la lista se divide por 5 (
), la parte entera corresponde al número de la ecuación, el resto al número del método.

Ejercicio:

1) Usando el método de iteración, resuelve el sistema.

2) Usando el método de Newton, resuelve el sistema.

ecuaciones no lineales con una precisión de 0,001.

Tarea No. 1 Utilizando el método de iteración, resuelva un sistema de ecuaciones no lineales con una precisión de 0,001.

Parte teórica.

método de iteración es un método para resolver numéricamente problemas matemáticos. Su esencia es encontrar un algoritmo de búsqueda basado en una aproximación conocida (valor aproximado) del valor deseado para la siguiente aproximación más precisa. Se utiliza en el caso de que la secuencia de aproximaciones según el algoritmo especificado converja.

Este método también se denomina método de aproximaciones sucesivas, método de sustituciones repetidas, método de iteraciones simples, etc.

El método de Newton, El algoritmo de Newton (también conocido como método tangente) es un método numérico iterativo para encontrar la raíz (cero) de una función determinada. El método fue propuesto por primera vez por el físico, matemático y astrónomo inglés Isaac Newton (1643-1727). La búsqueda de una solución se realiza mediante la construcción de aproximaciones sucesivas y se basa en los principios de iteración simple. El método tiene convergencia cuadrática. Una mejora del método es el método de cuerdas y tangentes. El método de Newton también se puede utilizar para resolver problemas de optimización en los que es necesario determinar el cero de la primera derivada o gradiente en el caso de un espacio multidimensional. Razón fundamental

Para resolver la ecuación numéricamente usando el método de iteración simple, se debe reducir a la siguiente forma: , donde está el mapeo de contracción.

Para la mejor convergencia del método, la condición debe cumplirse en el punto de la siguiente aproximación. La solución a esta ecuación se busca en la forma, entonces:

Suponiendo que el punto de aproximación está "lo suficientemente cerca" de la raíz y que la función dada es continua, la fórmula final es:

Teniendo esto en cuenta, la función queda definida por la expresión:

Esta función en la vecindad de la raíz realiza un mapeo compresivo y el algoritmo para encontrar una solución numérica a la ecuación se reduce a un procedimiento de cálculo iterativo:

.

Opciones de tarea

№1. 1)
2)

№2. 1)
2)

№3. 1)
2)

№4. 1)
2)

№5. 1)
2)

№6. 1)
2)

№7. 1)
2)

№8. 1)
2)

№9. 1)
2)

№10.1)
2)

№11.1)
2)

№12.1)
2)

№13.1)
2)

№14.1)
2)

№15.1)
2)

№16.1)
2)

№17.1)
2)

№18.1)
2)

№19.1)
2)

№20.1)
2)

№21. 1)
2)

№22. 1)
2)

№23. 1)
2)

№24. 1)
2)

№25. 1)
2)

№26. 1)
2)

№27. 1)
2)

№28. 1)
2)

№29. 1)
2)

№30. 1)
2)

Tarea de muestra

№1. 1)
2)

Un ejemplo de resolución de un sistema de ecuaciones no lineales utilizando el método de iteración.

Reescribamos este sistema en la forma:

Separamos las raíces gráficamente (Fig. 1). En la gráfica vemos que el sistema tiene una solución, contenida en la región D: 0<X<0,3;-2,2<y<-1,8.

Asegurémonos de que el método de iteración sea aplicable para refinar la solución del sistema, para lo cual lo escribimos de la siguiente forma:

Desde entonces tenemos en la región D

+ = ;

+ =

Por tanto, se cumplen las condiciones de convergencia.

Cuadro No. 2

PAG
	0,15	-2	-0,45	-0,4350	-0,4161	-0,1384
	0,1616	-2,035	-0,4384	-0,4245	-0,4477	-0,1492
	0,1508	-2.0245	-0,4492	-0,4342	-0,4382	-0,1461
	0.1539	-2,0342.	-0,4461	-0.4313	-0,4470	-0,1490
	0.1510	-2,0313	-0,4490	-0,4341	-0,4444	-0.1481
	0,1519	-2,0341	-0,4481	-0,4333	-0,4469	-0,1490
	0,1510	-2.0333	-0.449	-0,4341	-0.4462	-0,1487
	0.1513	-2.0341	-0,4487	-0,4340	-0,4469	-0.1490
	0.1510	-2,0340

Tomamos como aproximaciones iniciales x o=0,15, y 0 =-2.

(Cuadro N° 2). Entonces se escribirá la respuesta:

Un ejemplo de resolución de un sistema de ecuaciones no lineales utilizando el método de Newton.

Separamos las raíces gráficamente (Fig. 2). Para construir gráficas de funciones, creemos una tabla de valores de funciones. e incluido en la primera y segunda ecuaciones (Tabla I).

Los valores de x se pueden tomar con base en las siguientes condiciones: de la primera ecuación 1≤1,2x+0,4≤1, es decir. 1,16≤х≤0,5; de la segunda ecuación, es decir . De este modo, .

El sistema tiene dos soluciones. Aclaremos uno de ellos, perteneciente a la región D: 0,4<X<0,5;

0,76<y<0,73. За начальное приближение примем Имеем:

Cuadro No. 3

Refinamos las raíces usando el método de Newton:

Dónde ; ;

;
;

Todos los cálculos se realizan de acuerdo con la tabla 3.

Preguntas de control

1) Presentar en la gráfica posibles casos de resolución de un sistema de dos ecuaciones no lineales.

2) Formule el enunciado del problema de resolver un sistema de n-ecuaciones lineales.

3) Dar fórmulas de iteración del método de iteración simple en el caso de un sistema de dos ecuaciones no lineales.

4) Formule un teorema sobre la convergencia local del método de Newton.

5) Enumere las dificultades que surgen al utilizar el método de Newton en la práctica.

6) Explique cómo se puede modificar el método de Newton.

7) Dibujar en forma de diagramas de bloques un algoritmo para resolver sistemas de dos ecuaciones no lineales utilizando iteración simple y métodos de Newton.

Trabajo de laboratorio No. 3.

El método de iteración simple, también llamado método de aproximación sucesiva, es un algoritmo matemático para encontrar el valor de una cantidad desconocida refinándola gradualmente. La esencia de este método es que, como su nombre indica, expresando gradualmente los siguientes a partir de la aproximación inicial, se obtienen resultados cada vez más refinados. Este método se utiliza para encontrar el valor de una variable en una función determinada, así como para resolver sistemas de ecuaciones, tanto lineales como no lineales.

Consideremos cómo se implementa este método al resolver SLAE. El método de iteración simple tiene el siguiente algoritmo:

1. Comprobar el cumplimiento de la condición de convergencia en la matriz original. Teorema de convergencia: si la matriz original del sistema tiene dominancia diagonal (es decir, en cada fila, los elementos de la diagonal principal deben ser mayores en valor absoluto que la suma de los elementos de las diagonales secundarias en valor absoluto), entonces la matriz simple El método de iteración es convergente.

2. La matriz del sistema original no siempre tiene predominio diagonal. En tales casos, el sistema se puede convertir. Las ecuaciones que satisfacen la condición de convergencia se dejan intactas y se hacen combinaciones lineales con aquellas que no la cumplen, es decir multiplicar, restar, sumar ecuaciones entre sí hasta obtener el resultado deseado.

Si en el sistema resultante hay coeficientes inconvenientes en la diagonal principal, entonces a ambos lados de dicha ecuación se agregan términos de la forma con i * x i, cuyos signos deben coincidir con los signos de los elementos diagonales.

3. Transformación del sistema resultante a forma normal:

x - =β - +α*x -

Esto se puede hacer de muchas maneras, por ejemplo, así: de la primera ecuación, exprese x 1 en términos de otras incógnitas, de la segunda - x 2, de la tercera - x 3, etc. En este caso utilizamos las fórmulas:

α ij = -(a ij / a ii)

yo = b yo /a ii
Nuevamente debes asegurarte de que el sistema resultante de forma normal cumpla con la condición de convergencia:

∑ (j=1) |α ij |≤ 1, mientras que i= 1,2,...n

4. Empezamos a aplicar, de hecho, el propio método de aproximaciones sucesivas.

x (0) es la aproximación inicial, expresaremos x (1) a través de ella, luego expresaremos x (2) a través de x (1). La fórmula general en forma matricial se ve así:

x (n) = β - +α*x (n-1)

Calculamos hasta lograr la precisión requerida:

máx |x i (k)-x i (k+1) ≤ ε

Entonces, pongamos en práctica el método de iteración simple. Ejemplo:
Resolver SLAE:

4,5x1-1,7x2+3,5x3=2
3,1x1+2,3x2-1,1x3=1
1.8x1+2.5x2+4.7x3=4 con precisión ε=10 -3

Veamos si en módulo predominan los elementos diagonales.

Vemos que sólo la tercera ecuación satisface la condición de convergencia. Transformemos el primero y el segundo, y agreguemos el segundo a la primera ecuación:

7,6x1+0,6x2+2,4x3=3

Del tercero restamos el primero:

2,7x1+4,2x2+1,2x3=2

Convertimos el sistema original en uno equivalente:

7,6x1+0,6x2+2,4x3=3
-2,7x1+4,2x2+1,2x3=2
1,8x1+2,5x2+4,7x3=4

Ahora llevemos el sistema a su forma normal:

x1=0,3947-0,0789x2-0,3158x3
x2=0,4762+0,6429x1-0,2857x3
x3= 0,8511-0,383x1-0,5319x2

Comprobamos la convergencia del proceso iterativo:

0.0789+0.3158=0,3947 ≤ 1
0.6429+0.2857=0.9286 ≤ 1
0,383+ 0,5319= 0,9149 ≤ 1, es decir se cumple la condición.

0,3947
Suposición inicial x(0) = 0,4762
0,8511

Sustituimos estos valores en la ecuación en forma normal y obtenemos los siguientes valores:

0,08835
x(1) = 0,486793
0,446639

Sustituyendo nuevos valores obtenemos:

0,215243
x(2) = 0,405396
0,558336

Continuamos los cálculos hasta que nos acercamos a valores que satisfacen la condición dada.

x (7) = 0,441091

Comprobemos la exactitud de los resultados obtenidos:

4,5*0,1880 -1.7*0,441+3.5*0,544=2,0003
3,1*0,1880+2,3*0,441-1,1x*0,544=0,9987
1.8*0,1880+2.5*0,441+4.7*0,544=3,9977

Los resultados obtenidos al sustituir los valores encontrados en las ecuaciones originales satisfacen completamente las condiciones de la ecuación.

Como podemos ver, el método de iteración simple da resultados bastante precisos, pero para resolver esta ecuación tuvimos que dedicar mucho tiempo y hacer cálculos engorrosos.