Hoy en la lección aprenderemos a encontrar. condicional o, como también se les llama, extremos relativos funciones de varias variables y, en primer lugar, hablaremos, por supuesto, de extremos condicionales funciones de dos Y tres variables, que se encuentran en la gran mayoría de los problemas temáticos.
¿Qué necesitas saber y poder hacer en este momento? A pesar de que este artículo está “en las afueras” del tema, no se requiere mucho para dominar con éxito el material. En este punto usted debe ser consciente de los conceptos básicos superficies del espacio, ser capaz de encontrar Derivadas parciales (al menos a un nivel medio) y, como dicta la lógica despiadada, comprender extremos incondicionales. Pero incluso si tienes un bajo nivel de preparación, no te apresures a irte: todos los conocimientos/habilidades que te faltan realmente se pueden “adquirir en el camino”, y sin horas de tormento.
Primero analicemos el concepto en sí y al mismo tiempo hagamos una rápida repetición de los más comunes. superficies. Entonces, ¿qué es un extremo condicional? ...La lógica aquí no es menos despiadada =) El extremo condicional de una función es un extremo en el sentido habitual de la palabra, que se logra cuando se cumplen una determinada condición (o condiciones).
Imaginemos un "oblicuo" arbitrario. avión V sistema cartesiano. Ninguno extremo aquí no hay rastro de ello. Pero esto es por el momento. Consideremos cilindro elíptico, para simplificar: un "tubo" redondo sin fin paralelo al eje. Evidentemente, este “tubo” “cortará” nuestro avión. elipse, como resultado de lo cual habrá un máximo en su punto superior y un mínimo en su punto inferior. En otras palabras, la función que define el plano alcanza extremos dado que que fue atravesado por un cilindro circular dado. ¡Exactamente “provisto”! Es casi seguro que otro cilindro elíptico que cruce este plano producirá valores mínimos y máximos diferentes.
Si no está muy claro, entonces la situación se puede simular de manera realista. (aunque en orden inverso): toma un hacha, sal y corta... no, Greenpeace no te perdonará más tarde - es mejor cortar el tubo de desagüe con una amoladora =). El mínimo condicional y el máximo condicional dependerán de a qué altura y bajo qué (no horizontal) el corte se realiza en ángulo.
Ha llegado el momento de vestir los cálculos con ropajes matemáticos. Consideremos paraboloide elíptico, que tiene mínimo absoluto en el punto . Ahora busquemos el extremo. dado que. Este avión paralelo al eje, lo que significa que "corta" el paraboloide parábola. La cima de esta parábola será el mínimo condicional. Además, el plano no pasa por el origen de coordenadas, por lo que el punto seguirá siendo irrelevante. ¿No proporcionaste una imagen? ¡Sigamos los enlaces inmediatamente! Se necesitarán muchas, muchas más veces.
Pregunta: ¿cómo encontrar este extremo condicional? La forma más sencilla de resolver es utilizar la ecuación (que se llama - condición o ecuación de conexión) expresar, por ejemplo: – y sustituirlo en la función: 
El resultado es una función de una variable que define una parábola, cuyo vértice se "calcula" con los ojos cerrados. Encontremos puntos críticos:
- punto crítico.
La siguiente cosa más fácil de usar es segunda condición suficiente para el extremo:
En particular: esto significa que la función alcanza un mínimo en el punto . Se puede calcular directamente: , pero tomaremos una ruta más académica. Encontremos la coordenada del “juego”:
,
anote el punto mínimo condicional, asegúrese de que realmente se encuentre en el plano (satisface la ecuación de acoplamiento):
y calcular el mínimo condicional de la función:
dado que (¡¡¡se requiere "aditivo"!!!).
El método considerado se puede utilizar en la práctica sin lugar a dudas, sin embargo, tiene una serie de desventajas. En primer lugar, la geometría del problema no siempre es clara y, en segundo lugar, a menudo no es rentable expresar "x" o "y" a partir de la ecuación de conexión. (si hay alguna forma de expresar algo). Y ahora consideraremos un método universal para encontrar extremos condicionales, llamado Método del multiplicador de Lagrange:
Ejemplo 1
Encuentre los extremos condicionales de la función con la ecuación de conexión especificada a los argumentos.
¿Reconoces las superficies? ;-) ...Me alegra ver vuestras caras felices =)
Por cierto, a partir de la formulación de este problema queda claro por qué la condición se llama ecuación de conexión– argumentos de función conectado una condición adicional, es decir, los puntos extremos encontrados deben pertenecer necesariamente a un cilindro circular.
Solución: en el primer paso es necesario presentar la ecuación de conexión en el formulario y componer función de Lagrange:
, donde está el llamado multiplicador de Lagrange.
En nuestro caso y:
El algoritmo para encontrar extremos condicionales es muy similar al esquema para encontrar "ordinario" extremos. Encontremos Derivadas parciales Funciones de Lagrange, mientras que la “lambda” debe tratarse como una constante:
Compongamos y resolvamos el siguiente sistema: 
La maraña se desenreda de serie:
de la primera ecuación expresamos 
;
de la segunda ecuación expresamos 
.
Sustituyamos las conexiones en la ecuación y realicemos simplificaciones: 
Como resultado, obtenemos dos puntos estacionarios. Si entonces: 
si, entonces: 
Es fácil ver que las coordenadas de ambos puntos satisfacen la ecuación 
. Las personas escrupulosas también pueden realizar un control completo: para ello es necesario sustituir 
en la primera y segunda ecuaciones del sistema, y luego haga lo mismo con el conjunto 
. Todo debe “unirse”.
Comprobemos el cumplimiento de la condición extrema suficiente para los puntos estacionarios encontrados. Discutiré tres enfoques para resolver este problema:
1) El primer método es una justificación geométrica.
Calculemos los valores de la función en puntos estacionarios:
A continuación, anotamos una frase con aproximadamente el siguiente contenido: una sección de un plano por un cilindro circular es una elipse, en cuyo vértice superior se alcanza el máximo, y en el inferior, el mínimo. Por tanto, un valor mayor es un máximo condicional y un valor menor es un mínimo condicional.
Si es posible, es mejor utilizar este método; es simple y esta decisión la cuentan los maestros. (una gran ventaja es que demostró comprender el significado geométrico del problema). Sin embargo, como ya se señaló, no siempre está claro qué se cruza con qué y dónde, y luego la verificación analítica viene al rescate:
2) El segundo método se basa en el uso de signos diferenciales de segundo orden. Si resulta que en un punto estacionario, entonces la función alcanza un máximo allí, pero si lo hace, entonces alcanza un mínimo.
Encontremos derivadas parciales de segundo orden:
y crea este diferencial:
Cuando, esto significa que la función alcanza su máximo en el punto;
en , lo que significa que la función alcanza un mínimo en el punto 
.
El método considerado es muy bueno, pero tiene la desventaja de que en algunos casos es casi imposible determinar el signo del 2º diferencial. (normalmente esto sucede si y/o son de diferentes signos). Y entonces viene al rescate la “artillería pesada”:
3) Diferenciamos la ecuación de conexión por “X” e “Y”: 
y componer lo siguiente simétrico matriz:
Si está en un punto estacionario, entonces la función llega allí ( ¡atención!) mínimo, si – entonces máximo.
Escribamos la matriz para el valor y el punto correspondiente: 
vamos a calcularlo determinante:
, por tanto, la función tiene un máximo en el punto .
Lo mismo ocurre con el valor y el punto: 
Por tanto, la función tiene un mínimo en el punto .
Respuesta: dado que :
Después de un análisis exhaustivo del material, simplemente no puedo evitar ofrecerles un par de tareas típicas de autoevaluación:
Ejemplo 2
Encuentra el extremo condicional de la función si sus argumentos están relacionados por la ecuación
Ejemplo 3
Encuentra los extremos de la función dada la condición.
Y nuevamente, recomiendo encarecidamente comprender la esencia geométrica de las tareas, especialmente en el último ejemplo, donde la verificación analítica de una condición suficiente no es un regalo. Recuerda que línea de segundo orden establece la ecuación, y qué superficie esta línea genera en el espacio. Analice a lo largo de qué curva el cilindro cruzará el plano y en qué parte de esta curva habrá un mínimo y dónde habrá un máximo.
Soluciones y respuestas al final de la lección.
El problema que estamos considerando se utiliza ampliamente en varios campos, en particular (no iremos muy lejos) en geometría. Resolvamos el problema favorito de todos sobre la botella de medio litro. (ver Ejemplo 7 del artículoDesafíos extremos ) segunda manera:
Ejemplo 4
¿Cuáles deben ser las dimensiones de una lata cilíndrica para que se utilice la menor cantidad de material para fabricar la lata, si el volumen de la lata es igual a
Solución: considere un radio de base variable, una altura variable y componga una función del área de la superficie total de la lata: 
(área de dos cubiertas + superficie lateral)
Método del multiplicador de Lagrange.
El método del multiplicador de Lagrange es uno de los métodos que permite resolver problemas de programación no lineal.
La programación no lineal es una rama de la programación matemática que estudia métodos para resolver problemas extremos con una función objetivo no lineal y una región de soluciones factibles definidas por restricciones no lineales. En economía, esto corresponde al hecho de que los resultados (eficiencia) aumentan o disminuyen desproporcionadamente a los cambios en la escala de uso de los recursos (o, lo que es lo mismo, la escala de producción): por ejemplo, debido a la división de los costos de producción en empresas en variables y semifijas; debido a la saturación de la demanda de bienes, cuando cada unidad posterior es más difícil de vender que la anterior, etc.
El problema de programación no lineal se plantea como el problema de encontrar el óptimo de una determinada función objetivo.
F(x 1 ,…x n), F (X) → máx.
cuando se cumplen las condiciones
g j (x 1 ,…x n)≥0, gramo (X) ≤ b , X ≥ 0
Dónde X-vector de las variables requeridas;
F (X) -función objetiva;
gramo (X) - función de restricción (continuamente diferenciable);
b - vector de constantes de restricción.
La solución a un problema de programación no lineal (máximo o mínimo global) puede pertenecer a la frontera o al interior del conjunto admisible.
A diferencia de un problema de programación lineal, en un problema de programación no lineal el óptimo no necesariamente se encuentra en el límite de la región definida por las restricciones. En otras palabras, la tarea es seleccionar valores de variables no negativos, sujetos a un sistema de restricciones en forma de desigualdades, bajo los cuales se logra el máximo (o mínimo) de una función determinada. En este caso, no se especifican ni las formas de la función objetivo ni las desigualdades. Pueden darse diferentes casos: la función objetivo es no lineal, pero las restricciones son lineales; la función objetivo es lineal y las restricciones (al menos una de ellas) son no lineales; Tanto la función objetivo como las restricciones son no lineales.
El problema de la programación no lineal se encuentra en las ciencias naturales, la ingeniería, la economía, las matemáticas, las relaciones comerciales y el gobierno.
La programación no lineal, por ejemplo, está relacionada con un problema económico básico. Así, en el problema de asignación de recursos limitados, ya sea la eficiencia o, si se estudia al consumidor, se maximiza el consumo en presencia de restricciones que expresan las condiciones de escasez de recursos. En una formulación tan general, la formulación matemática del problema puede resultar imposible, pero en aplicaciones específicas la forma cuantitativa de todas las funciones puede determinarse directamente. Por ejemplo, una empresa industrial produce productos plásticos. La eficiencia de la producción aquí se mide por las ganancias y las limitaciones se interpretan como mano de obra disponible, espacio de producción, productividad del equipo, etc.
El método de rentabilidad también encaja en el esquema de programación no lineal. Este método fue desarrollado para su uso en la toma de decisiones en el gobierno. Una función común de la eficiencia es el bienestar. Aquí surgen dos problemas de programación no lineal: el primero es maximizar el efecto a costos limitados, el segundo es minimizar los costos, siempre que el efecto esté por encima de un cierto nivel mínimo. Este problema suele modelarse bien mediante programación no lineal.
Los resultados de resolver un problema de programación no lineal son útiles para tomar decisiones gubernamentales. Por supuesto, se recomienda la solución resultante, por lo que es necesario examinar las suposiciones y la precisión del problema de programación no lineal antes de tomar una decisión final.
Los problemas no lineales son complejos; a menudo se simplifican conduciendo a problemas lineales. Para hacer esto, se supone convencionalmente que en un área particular la función objetivo aumenta o disminuye en proporción al cambio en las variables independientes. Este enfoque se denomina método de aproximaciones lineales por partes; sin embargo, es aplicable sólo a ciertos tipos de problemas no lineales;
Los problemas no lineales bajo ciertas condiciones se resuelven utilizando la función de Lagrange: al encontrar su punto de silla, se encuentra la solución al problema. Entre los algoritmos computacionales para la investigación científica, los métodos de gradiente ocupan un lugar importante. No existe un método universal para problemas no lineales y, aparentemente, puede que no lo haya, ya que son extremadamente diversos. Los problemas multiextremos son especialmente difíciles de resolver.
Uno de los métodos que permite reducir un problema de programación no lineal a resolver un sistema de ecuaciones es el método de Lagrange de multiplicadores indefinidos.
Utilizando el método del multiplicador de Lagrange se establecen esencialmente las condiciones necesarias para permitir la identificación de puntos óptimos en problemas de optimización con restricciones de igualdad. En este caso, el problema restringido se transforma en un problema de optimización incondicional equivalente, que involucra algunos parámetros desconocidos llamados multiplicadores de Lagrange.
El método del multiplicador de Lagrange consiste en reducir los problemas en un extremo condicional a problemas en el extremo incondicional de una función auxiliar, la llamada. Funciones de Lagrange.
Para el problema del extremo de una función. F(x 1, x 2,..., x n) bajo las condiciones (ecuaciones de restricción) φ i(x 1 , x 2 , ..., x n) = 0, i= 1, 2,..., metro, la función de Lagrange tiene la forma
L(x 1, x 2… x n,λ 1, λ 2,…λm)=f(x 1, x 2… x n)+∑ i -1 m λ i φ i (x 1, x 2… x n)
Multiplicadores λ 1 , λ 2 , ..., λmetro llamado Multiplicadores de Lagrange.
Si los valores x 1 , x 2 , ..., x norte , λ 1 , λ 2 , ..., λm la esencia de las soluciones a las ecuaciones que determinan los puntos estacionarios de la función de Lagrange, es decir, para funciones diferenciables son soluciones al sistema de ecuaciones
entonces, bajo supuestos bastante generales, x 1 , x 2 , ..., x n proporcionan un extremo de la función f.
Considere el problema de minimizar una función de n variables sujetas a una restricción en forma de igualdad:
Minimizar f(x 1, x 2… x n) (1)
bajo restricciones h 1 (x 1, x 2… x n)=0 (2)
De acuerdo con el método del multiplicador de Lagrange, este problema se transforma en el siguiente problema de optimización sin restricciones:
minimizar L(x,λ)=f(x)-λ*h(x) (3)
donde la función L(x;λ) se llama función de Lagrange,
λ es una constante desconocida, que se llama multiplicador de Lagrange. No existen requisitos para el signo de λ.
Sea, para un valor dado λ=λ 0, que el mínimo incondicional de la función L(x,λ) con respecto a x se alcance en el punto x=x 0 y x 0 satisface la ecuación h 1 (x 0)=0 . Entonces, como es fácil ver, x 0 minimiza (1) teniendo en cuenta (2), ya que para todos los valores de x que satisfacen (2), h 1 (x)=0 y L(x,λ)=min f(x).
Por supuesto, es necesario seleccionar el valor λ=λ 0 para que la coordenada del punto mínimo incondicional x 0 satisfaga la igualdad (2). Esto se puede hacer si, considerando λ como una variable, encuentra el mínimo incondicional de la función (3) en la forma de una función λ y luego elige el valor de λ en el que se cumple la igualdad (2). Ilustremos esto con un ejemplo específico.
Minimizar f(x)=x 1 2 +x 2 2 =0
bajo la restricción h 1 (x)=2x 1 +x 2 -2=0=0
El correspondiente problema de optimización sin restricciones se escribe de la siguiente manera:
minimizar L(x,λ)=x 1 2 +x 2 2 -λ(2x 1 +x 2 -2)
Solución. Igualando las dos componentes del gradiente L a cero, obtenemos
→ x 1 0 =λ
→ x 2 0 =λ/2
Para comprobar si el punto estacionario x° corresponde al mínimo, calculamos los elementos de la matriz de Hesse de la función L(x;u), considerada en función de x,
lo cual resulta ser positivo definido.
Esto significa que L(x,u) es una función convexa de x. En consecuencia, las coordenadas x 1 0 =λ, x 2 0 =λ/2 determinan el punto mínimo global. El valor óptimo de λ se encuentra sustituyendo los valores x 1 0 y x 2 0 en la ecuación 2x 1 + x 2 =2, de donde 2λ+λ/2=2 o λ 0 =4/5. Por lo tanto, el mínimo condicional se logra en x 1 0 =4/5 y x 2 0 =2/5 y es igual a min f(x) = 4/5.
Al resolver el problema del ejemplo, consideramos L(x;λ) como una función de dos variables x 1 y x 2 y, además, asumimos que el valor del parámetro λ se eligió de modo que se cumpliera la restricción. Si la solución del sistema
J=1,2,3,…,norte
λ no se puede obtener en forma de funciones explícitas, entonces los valores de x y λ se encuentran resolviendo el siguiente sistema que consta de n+1 ecuaciones con n+1 incógnitas:
J=1,2,3,…,n., h 1 (x)=0
Para encontrar todas las soluciones posibles a un sistema determinado, puede utilizar métodos de búsqueda numérica (por ejemplo, el método de Newton). Para cada una de las soluciones (), debemos calcular los elementos de la matriz de Hesse de la función L, considerada en función de x, y averiguar si esta matriz es definida positiva (mínimo local) o definida negativa (máximo local). ).
El método del multiplicador de Lagrange se puede extender al caso en que el problema tiene varias restricciones en forma de igualdades. Considere un problema general que requiere
Minimizar f(x)
bajo restricciones h k =0, k=1, 2, ..., K.
La función de Lagrange toma la siguiente forma:
Aquí λ 1 , λ 2 , ..., λk-Multiplicadores de Lagrange, es decir Parámetros desconocidos cuyos valores es necesario determinar. Igualando las derivadas parciales de L con respecto a x a cero, obtenemos el siguiente sistema de n ecuaciones con n incógnitas:
Si resulta difícil encontrar una solución al sistema anterior en forma de funciones del vector λ, entonces puede expandir el sistema incluyendo restricciones en forma de igualdades.
La solución del sistema extendido, que consta de n + K ecuaciones con n + K incógnitas, determina el punto estacionario de la función L. Luego se implementa un procedimiento para verificar el mínimo o máximo, que se lleva a cabo sobre la base del cálculo. los elementos de la matriz hessiana de la función L, considerados como función de x, de forma similar a como se hizo en el caso de un problema con una restricción. Para algunos problemas, un sistema extendido de n+K ecuaciones con n+K incógnitas puede no tener soluciones, y el método del multiplicador de Lagrange resulta inaplicable. Cabe señalar, sin embargo, que este tipo de tareas son bastante raras en la práctica.
Consideremos un caso especial del problema general de programación no lineal, suponiendo que el sistema de restricciones contiene solo ecuaciones, no existen condiciones para la no negatividad de las variables y y son funciones continuas junto con sus derivadas parciales. Por tanto, resolviendo el sistema de ecuaciones (7), obtenemos todos los puntos en los que la función (6) puede tener valores extremos.
Algoritmo para el método multiplicador de Lagrange
1. Componga la función de Lagrange.
2. Encuentra las derivadas parciales de la función de Lagrange con respecto a las variables x J ,λ i e igualalas a cero.
3. Resolvemos el sistema de ecuaciones (7), encontramos los puntos en los que la función objetivo del problema puede tener un extremo.
4. Entre los puntos sospechosos de un extremo, encontramos aquellos en los que se alcanza el extremo y calculamos los valores de la función (6) en estos puntos.
Ejemplo.
Datos iniciales: Según el plan de producción, la empresa necesita producir 180 productos. Estos productos se pueden fabricar de dos formas tecnológicas. Al producir x 1 productos utilizando el primer método, los costos son 4x 1 +x 1 2 rublos, y al producir x 2 productos utilizando el segundo método, son 8x 2 +x 2 2 rublos. Determine cuántos productos se deben producir usando cada método para que el costo de producción sea mínimo.
La función objetivo para el problema planteado tiene la forma
® mín. bajo las condiciones x 1 + x 2 =180, x 2 ≥0.
1. Componga la función de Lagrange
.
2.
Calculamos las derivadas parciales con respecto a x 1, x 2, λ y las igualamos a cero: 
3.
Resolviendo el sistema de ecuaciones resultante, encontramos x 1 =91,x 2 =89
4. Habiendo realizado un reemplazo en la función objetivo x 2 =180-x 1, obtenemos una función de una variable, a saber, f 1 =4x 1 +x 1 2 +8(180-x 1)+(180-x 1 ) 2
Calculamos o 4x 1 -364=0 ,
de donde tenemos x 1 * =91, x 2 * =89.
Respuesta: El número de productos fabricados con el primer método es x 1 =91, con el segundo método x 2 =89, mientras que el valor de la función objetivo es igual a 17 278 rublos.
Descripción del método
Dónde . Razón fundamental
La siguiente justificación del método del multiplicador de Lagrange no es una prueba rigurosa del mismo. Contiene consideraciones heurísticas que ayudan a comprender el significado geométrico del método.
Caso bidimensional
Líneas de nivel y curva.
Sea necesario encontrar el extremo de alguna función de dos variables bajo la condición especificada por la ecuación 
. Supondremos que todas las funciones son continuamente diferenciables y que esta ecuación define una curva suave S en la superficie . Entonces el problema se reduce a encontrar el extremo de la función. F en la curva S. También asumiremos que S no pasa por puntos donde el gradiente F se vuelve 0.
Dibujemos líneas de nivel de función en el plano. F(es decir, curvas). De consideraciones geométricas está claro que el extremo de la función F en la curva S sólo puede haber puntos en los que las tangentes a S y la línea de nivel correspondiente coinciden. De hecho, si la curva S cruza la línea de nivel F en un punto transversalmente (es decir, en algún ángulo distinto de cero), luego moviéndose a lo largo de la curva S desde un punto podemos llegar a las líneas de nivel correspondientes a un valor mayor F, y menos. Por tanto, tal punto no puede ser un punto extremo.
Por tanto, una condición necesaria para un extremo en nuestro caso será la coincidencia de las tangentes. Para escribirlo en forma analítica, fíjate que equivale al paralelismo de los gradientes de las funciones. F y ψ en un punto dado, ya que el vector gradiente es perpendicular a la tangente a la línea de nivel. Esta condición se expresa de la siguiente forma:
donde λ es un número distinto de cero que es un multiplicador de Lagrange.
Consideremos ahora función de Lagrange, dependiendo de y λ:
Una condición necesaria para su extremo es que el gradiente sea igual a cero. De acuerdo con las reglas de diferenciación, está escrito en la forma
Hemos obtenido un sistema cuyas dos primeras ecuaciones son equivalentes a la condición necesaria para un extremo local (1), y la tercera es equivalente a la ecuación . Puedes encontrarlo en él. Además, dado que de lo contrario el gradiente de la función F desaparece en el punto 
, lo que contradice nuestras suposiciones. Cabe señalar que los puntos encontrados de esta manera pueden no ser los puntos deseados del extremo condicional; la condición considerada es necesaria, pero no suficiente. Encontrar un extremo condicional usando una función auxiliar l y forma la base del método multiplicador de Lagrange, aplicado aquí para el caso más simple de dos variables. Resulta que el razonamiento anterior se puede generalizar al caso de un número arbitrario de variables y ecuaciones que especifican las condiciones.
Con base en el método del multiplicador de Lagrange, es posible demostrar algunas condiciones suficientes para un extremo condicional, que requieren el análisis de las segundas derivadas de la función de Lagrange.
Solicitud
- El método del multiplicador de Lagrange se utiliza para resolver problemas de programación no lineal que surgen en muchos campos (por ejemplo, en economía).
- El método principal para resolver el problema de optimizar la calidad de la codificación de datos de audio y video a una tasa de bits promedio determinada (optimización de la distorsión - inglés. Optimización de distorsión de velocidad).
ver también
Enlaces
- Zorich V. A. Análisis matemático. Parte 1. - ed. 2do, rev. y adicional - M.: FAZIS, 1997.
Fundación Wikimedia.
2010.
Vea qué son los “multiplicadores de Lagrange” en otros diccionarios: Multiplicadores de Lagrange - factores adicionales que transforman la función objetivo de un problema extremo de programación convexa (en particular, programación lineal) al resolverlo utilizando uno de los métodos clásicos utilizando el método de resolución de multiplicadores... ...
Diccionario económico y matemático. Multiplicadores de Lagrange - Factores adicionales que transforman la función objetivo de un problema de programación convexa extrema (en particular, programación lineal) al resolverlo utilizando uno de los métodos clásicos, el método de resolución de multiplicadores (método de Lagrange).... ...
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Enciclopedia física Mecánica de ecuaciones diferenciales ordinarias de 2º orden, que describen los movimientos mecánicos. sistemas bajo la influencia de fuerzas que se les aplican. lu establecido por J. Lag gama en dos formas: L. u. 1er tipo, o ecuaciones en coordenadas cartesianas con... ...
1) en hidromecánica, la ecuación del movimiento de un fluido (gas) en variables de Lagrange, que son las coordenadas del medio. Francés recibido científico J. Lagrange (aprox. 1780). De L. u. la ley del movimiento del medio está determinada en forma de dependencias... ... Mecánica. 1) Ecuaciones de Lagrange de 1er tipo, ecuaciones diferenciales de movimiento mecánico. sistemas, que se dan en proyecciones sobre ejes de coordenadas rectangulares y contienen los llamados. Multiplicadores de Lagrange. Obtenido por J. Lagrange en 1788. Para un sistema holonómico, ... ...
Método del multiplicador de Lagrange, un método para encontrar el extremo condicional de la función f(x), donde, en relación con m restricciones, i varía de uno a m. Contenido 1 Descripción del método ... Wikipedia
Función utilizada para resolver problemas en el extremo condicional de funciones de muchas variables y funcionales. Con la ayuda de L. f. Se anotan las condiciones necesarias para la optimización en problemas en un extremo condicional. En este caso, no es necesario expresar sólo variables... Mecánica de ecuaciones diferenciales ordinarias de 2º orden, que describen los movimientos mecánicos. sistemas bajo la influencia de fuerzas que se les aplican. lu establecido por J. Lag gama en dos formas: L. u. 1er tipo, o ecuaciones en coordenadas cartesianas con... ...
Método para resolver problemas en el extremo condicional; L.M.M. consiste en reducir estos problemas a problemas en el extremo incondicional de una función auxiliar, la llamada. Funciones de Lagrange. Para el problema del extremo de la función f (x1, x2,..., xn) para... ...
Variables con las que se construye la función de Lagrange al estudiar problemas en un extremo condicional. ... El uso de métodos lineales y la función de Lagrange nos permite obtener las condiciones de optimización necesarias en problemas que involucran un extremo condicional de forma uniforme... Mecánica de ecuaciones diferenciales ordinarias de 2º orden, que describen los movimientos mecánicos. sistemas bajo la influencia de fuerzas que se les aplican. lu establecido por J. Lag gama en dos formas: L. u. 1er tipo, o ecuaciones en coordenadas cartesianas con... ...
1) en hidromecánica, las ecuaciones de movimiento de un medio fluido, escritas en variables de Lagrange, que son las coordenadas de las partículas del medio. De L. u. la ley del movimiento de las partículas del medio se determina en forma de dependencias de las coordenadas con el tiempo, y a partir de ellas... ... Gran enciclopedia soviética
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método de Lagrange─ es un método para resolver un problema de optimización restringida en el que las restricciones, escritas como funciones implícitas, se combinan con una función objetivo en forma de una nueva ecuación llamada lagrangiano.
Consideremos un caso especial del problema general de programación no lineal:
Dado un sistema de ecuaciones no lineales (1):
(1) gi(x1,x2,…,xn)=bi (i=1..m),
Encuentre el valor más pequeño (o más grande) de la función (2)
(2) f (x1,x2,…,xn),
si no existen condiciones para que las variables sean no negativas y f(x1,x2,…,xn) y gi(x1,x2,…,xn) son funciones continuas junto con sus derivadas parciales.
Para encontrar una solución a este problema, se puede aplicar el siguiente método: 1. Ingresar un conjunto de variables λ1, λ2,…, λm, llamadas multiplicadores de Lagrange, componer la función de Lagrange (3)
(3) F(х1,х2,…,хn, λ1,λ2,…,λm) = f(х1,х2,…,хn)+ λi.
2. Encuentra las derivadas parciales de la función de Lagrange con respecto a las variables xi y λi e igualalas a cero.
3. Resolviendo el sistema de ecuaciones, encuentre los puntos en los que la función objetivo del problema puede tener un extremo.
4. Entre los puntos que no son extremos, busque aquellos en los que se alcanza el extremo y calcule los valores de la función en estos puntos. .
4. Compara los valores obtenidos de la función f y elige el mejor.
Según el plan de producción, la empresa necesita producir 180 productos. Estos productos se pueden fabricar de dos formas tecnológicas. Cuando se producen x1 productos con el método I, los costos son 4*x1+x1^2 rublos, y cuando se producen x2 productos con el método II, son 8*x2+x2^2 rublos. Determine cuántos productos se deben producir usando cada método para que el costo total de producción sea mínimo.
Solución: La formulación matemática del problema consiste en determinar el valor más pequeño de una función de dos variables:
f = 4*x1+x1^2 +8*x2 +x2^2, siempre que x1 +x2 = 180.
Compongamos la función de Lagrange:
F(x1,x2,λ) = 4*x1+x1^2+8*x2+x2^2+λ*(180-x1-x2).
Calculemos sus derivadas parciales con respecto a x1, x2, λ y equiparémoslas a 0:
Movamos λ a los lados derechos de las dos primeras ecuaciones e igualamos sus lados izquierdos, obtenemos 4 + 2*x1 = 8 + 2*x2, o x1 − x2 = 2.
Resolviendo la última ecuación junto con la ecuación x1 + x2 = 180, encontramos x1 = 91, x2 = 89, es decir, hemos obtenido una solución que satisface las condiciones:
Encontremos el valor de la función objetivo f para estos valores de las variables:
F(x1, x2) = 17278
Este punto resulta sospechoso por ser un punto extremo. Usando segundas derivadas parciales, podemos demostrar que en el punto (91.89) la función f tiene un mínimo.
MÉTODO DE LAGRANGE
Un método para reducir una forma cuadrática a una suma de cuadrados, indicado en 1759 por J. Lagrange. que se dé
de variables x 0 , X 1 ,..., xp.
con coeficientes del campo k características Se requiere llevar esta forma a la canónica. mente
utilizando una transformación lineal no degenerada de variables. L. m. consta de lo siguiente. Podemos suponer que no todos los coeficientes de la forma (1) son iguales a cero.
Por tanto, son posibles dos casos. 1) Para algunos gramo,
diagonal entonces donde la forma f 1 (x) no contiene una variable xg. 
2) Si todo
Pero
Eso donde la forma f 2 (x) no contiene dos variables x g Y xh.
Las formas bajo los signos cuadrados en (4) son linealmente independientes. Al aplicar transformaciones de la forma (3) y (4), la forma (1) después de un número finito de pasos se reduce a la suma de cuadrados de formas lineales linealmente independientes. Usando derivadas parciales, las fórmulas (3) y (4) se pueden escribir en la forma Iluminado. : G a n t m a k h e r F. r., Teoría de matrices, 2ª ed., M., 1966; K u r o sh A. G., Curso de Álgebra Superior, 11ª ed., M., 1975; Alexandrov P. S., Conferencias sobre geometría analítica..., M., 1968.
I. V. Proskuryakov. Enciclopedia matemática. - M.: Enciclopedia soviética
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I. M. Vinogradov.- El método de Lagrange es un método para resolver una serie de clases de problemas de programación matemática encontrando el punto silla (x*, λ*) de la función de Lagrange, lo que se logra igualando a cero las derivadas parciales de esta función con respecto a ... ... - factores adicionales que transforman la función objetivo de un problema extremo de programación convexa (en particular, programación lineal) al resolverlo utilizando uno de los métodos clásicos utilizando el método de resolución de multiplicadores... ...
I. M. Vinogradov.- Un método para resolver varias clases de problemas de programación matemática encontrando el punto silla (x*, ?*) de la función de Lagrange, lo que se logra igualando las derivadas parciales de esta función con respecto a xi y?i a cero. . Ver lagrangiano. )
