Las secuencias numéricas monótonas lo son. I

Propósito: Dar el concepto, definición de secuencia, finita, infinita, varias formas de definir secuencias, sus diferencias, enseñar cómo usarlas al resolver ejemplos.

Equipamiento: Mesas.

Progreso de la lección

I. Momento organizacional.

II. control frontal tarea:

1) problema de estudiante en la pizarra No. 2.636 (de la parte II de la “Colección de tareas para el examen escrito en el noveno grado)

2) estudiante. construir un gráfico

3) frontalmente con toda la clase N° 2.334 (a).

III. Explicación de material nuevo.

Una conferencia escolar es una forma de organizar el proceso educativo que orienta a los estudiantes al estudiar un tema en particular hacia lo principal e implica una amplia demostración de la actitud personal del profesor y de los estudiantes hacia el material educativo. Porque La lección-conferencia prevé una presentación en bloque grande del material por parte del maestro, luego la comunicación verbal entre el maestro y los estudiantes es lo principal en su tecnología. La palabra del profesor tiene un impacto emocional, estético y crea una determinada actitud hacia el tema. Con la ayuda de una conferencia, se guían varios tipos de actividades de los estudiantes en el aula y, a través de conocimientos, destrezas y habilidades, se forma la cognición como base de la actividad educativa.

I. Escriba números de dos dígitos terminados en 3 en orden ascendente.

13; 23; 33;………….93.

a todos número de serie Del 1 al 9, coincide con un número específico de dos dígitos:

1->13; 2->23;………9->93.

Se ha establecido una correspondencia entre el conjunto de los nueve primeros números naturales y el conjunto de los números de dos cifras terminados en 3. Esta correspondencia es una función.

El dominio de definición es (1; 2; 3;……..9)

Muchos valores (13; 23; 33;…….93).

Si la correspondencia se denota por f, entonces

Esta secuencia se puede especificar utilizando el par.

(1;3) (2;5) (3;7) (4;9)

segundo) 1; 0; 1; 0; 1; 0

Cuadro No. 1

A)

b)

II.

O.o.f. (1; 2; 3; 4;…..)

M.z.f. g(1) = ;

g(3) =;

...

g(60) =

Una función definida sobre el conjunto de los números naturales se llama secuencia infinita.

c) 2; 4; 6; 8; 10;……..

1 -> 2; 2 -> 4; ……. norte -> 2norte

f(1); f(2); f(3)… …..f(n)

- miembros de la secuencia.

Nota: es necesario distinguir entre el concepto de conjunto y el concepto de secuencia.

a) (10; 20; 30; 40)

{40; 30; 20; 10}

El mismo conjunto.

b) sin embargo, las secuencias 10; 20; 30; 40

(1; 10) (2;20) (3;30) (4;40)

(1; 40) (2;30) (3;20) (4;10).

Varios:

III. Considere la secuencia:

2) 10; 9; 8; 7; 6. -> final, decreciente.

A)

Una secuencia se llama creciente si cada miembro, a partir del segundo, es mayor que el anterior.

b)

Se da la definición de una secuencia decreciente.

Las secuencias crecientes o decrecientes se llaman monótonas.

1; 0; 1; 0; 1; 0. - fluctuante;

5; 5; 5; 5; ….. - constante.

IV. Las secuencias se pueden representar geométricamente. Porque la secuencia es una función cuyo dominio de definición es el conjunto N, entonces la gráfica, aparentemente, es el conjunto de puntos del plano (x; y).

Ejemplo: -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3.

(1; -3) (2;-2) (3; -1) (4; 0) (5;1) (6;2) (7;3)

Tracemos esta secuencia

Figura 1.

Ejemplo: demostrar que una secuencia dada en esta forma

99; 74; 49; 24; -1;……………

está disminuyendo.

V. Métodos para especificar secuencias.

Porque Una secuencia es una función definida en el conjunto N, entonces hay cinco formas de definir secuencias:

I. tabular

II. Método de descripción

III. Analítico

IV. Gráfico

V. Recurrente

I. Tabular: muy inconveniente. Elaboramos una tabla y la usamos para determinar ¿qué miembro? ¿Qué lugar ocupa?...

II. Método de descripción.

Ejemplo: La secuencia es tal que cada miembro se escribe usando el número 4 y el número de dígitos es igual al número de la secuencia.

III. Método analítico(usando fórmula).

Una fórmula que expresa cada miembro de una secuencia en términos de su número n se llama fórmula para los n miembros de la secuencia.

Por ejemplo:

y los estudiantes forman estas sucesiones, y viceversa: elige una fórmula para los términos de las sucesiones:

a) 1; ;
b) ...
;…………..
V)
GRAMO)

e) 1;-2;3;-4;5;-6;…………. IV. Método gráfico

- Tampoco es muy conveniente, normalmente no lo usan.

Teorema de Weierstrass sobre el límite de una secuencia monótona Cualquier secuencia acotada monótona(xn) tiene límite final , igual al límite superior exacto, sup(xn) para un límite inferior exacto y no decreciente, inf(xn)
para una secuencia no creciente. Cualquier secuencia monótona ilimitada tiene límite infinito

, igual a más infinito para una secuencia no decreciente y menos infinito para una secuencia no creciente.

1) Prueba no decreciente .

(1.1) .

secuencia limitada
.
Dado que la secuencia está acotada, tiene un límite superior ajustado

• Esto significa que:
  (1.2) ;
• 
  (1.3) .

.
para todos n,
Aquí también usamos (1.3). Combinando con (1.2), encontramos:
en .
,
Desde entonces
Aquí también usamos (1.3). Combinando con (1.2), encontramos:
o

2) La primera parte del teorema ha sido demostrada. Sea ahora la secuencia:
(2.1) secuencia acotada no creciente

Dado que la secuencia está acotada, tiene un límite inferior ajustado
.
Esto significa lo siguiente:

• para todo n se cumplen las siguientes desigualdades:
  (2.2) ;
• para cualquiera numero positivo, hay un número, dependiendo de ε, para el cual
  (2.3) .

.
Aquí también utilizamos (2.3). Teniendo en cuenta (2.2), encontramos:
Aquí también usamos (1.3). Combinando con (1.2), encontramos:
en .
,
Desde entonces
Aquí también usamos (1.3). Combinando con (1.2), encontramos:
Esto significa que el número es el límite de la secuencia.
La segunda parte del teorema está demostrada.

Ahora consideremos secuencias ilimitadas.
3) Sea la secuencia secuencia ilimitada no decreciente.

Dado que la secuencia no es decreciente, las siguientes desigualdades son válidas para todo n:
(3.1) .

Dado que la secuencia no es decreciente y no está acotada, es ilimitada con lado derecho. Entonces, para cualquier número M existe un número, dependiendo de M, para el cual
(3.2) .

Como la secuencia no es decreciente, entonces cuando tenemos:
.
Aquí también utilizamos (3.2).

.
Esto significa que el límite de la secuencia es más infinito:
.
La tercera parte del teorema está demostrada.

4) Finalmente, considere el caso cuando secuencia ilimitada no creciente.

Similar a la anterior, dado que la secuencia no es creciente, entonces
(4.1) secuencia acotada no creciente

Dado que la secuencia no es creciente y no está acotada, no está acotada en el lado izquierdo. Entonces, para cualquier número M existe un número, dependiendo de M, para el cual
(4.2) .

Como la secuencia no es creciente, entonces cuando tenemos:
.

Entonces, para cualquier número M existe un número natural que depende de M, de modo que para todos los números se cumplen las siguientes desigualdades:
.
Esto significa que el límite de la secuencia es menos infinito:
.
El teorema ha sido demostrado.

Ejemplo de solución de problema

Usando el teorema de Weierstrass, demuestre convergencia de secuencia:
, , . . . , , . . .
Luego encuentre su límite.

Representemos la secuencia en forma de fórmulas recurrentes:
,
.

Demostremos que la secuencia dada está acotada arriba por el valor
(P1) .
Realizamos la prueba mediante el método. inducción matemática.
.
Dejar . Entonces
.
La desigualdad (A1) está probada.

Demostremos que la secuencia aumenta monótonamente.
;
(P2) .
Como , entonces el denominador de la fracción y el primer factor del numerador son positivos. Debido a la limitación de los términos de la secuencia por la desigualdad (A1), el segundo factor también es positivo. Es por eso
.
Es decir, la secuencia es estrictamente creciente.

Dado que la secuencia es creciente y está acotada arriba, es una secuencia acotada. Por tanto, según el teorema de Weierstrass, tiene un límite.

Encontremos este límite. Denotémoslo por a:
.
Usemos el hecho de que
.
Apliquemos esto a (A2), usando las propiedades aritméticas de los límites de sucesiones convergentes:
.
La condición la cumple la raíz.

si todos número natural n está asignado a algunos numero real x n , entonces dicen que está dado secuencia numérica

incógnita 1 , incógnita 2 , … xn , …

Número incógnita 1 se llama miembro de la secuencia. con el numero 1 o primer término de la secuencia, número incógnita 2 - miembro de la secuencia con el numero 2 o el segundo miembro de la secuencia, etc. El número x n se llama miembro de la secuencia con número norte.

Hay dos formas de especificar secuencias numéricas: con y con fórmula recurrente.

Secuencia usando fórmulas miembro general secuencias– esta es una tarea de secuencia

incógnita 1 , incógnita 2 , … xn , …

utilizando una fórmula que expresa la dependencia del término x n de su número n.

Ejemplo 1. secuencia numérica

1, 4, 9, … norte 2 , …

dado usando la fórmula del término común

xn = norte 2 , norte = 1, 2, 3, …

Especificar una secuencia usando una fórmula que expresa un miembro de secuencia x n a través de los miembros de secuencia con números anteriores se llama especificar una secuencia usando fórmula recurrente.

incógnita 1 , incógnita 2 , … xn , …

llamado en secuencia creciente, más miembro anterior.

En otras palabras, para todos norte

incógnita norte + 1 >incógnita norte

Ejemplo 3. Secuencia de números naturales

1, 2, 3, … norte, …

es secuencia ascendente.

Definición 2. Secuencia numérica

incógnita 1 , incógnita 2 , … xn , …

llamado secuencia descendente si cada miembro de esta secuencia menos miembro anterior.

En otras palabras, para todos norte= 1, 2, 3, … se satisface la desigualdad

incógnita norte + 1 < incógnita norte

Ejemplo 4. Subsecuencia

dado por la fórmula

es secuencia descendente.

Ejemplo 5. secuencia numérica

1, - 1, 1, - 1, …

dado por la fórmula

xn = (- 1) norte , norte = 1, 2, 3, …

no es ni creciente ni decreciente secuencia.

Definición 3. Las secuencias numéricas crecientes y decrecientes se llaman secuencias monótonas.

Secuencias acotadas e ilimitadas

Definición 4. Secuencia numérica

incógnita 1 , incógnita 2 , … xn , …

llamado limitado desde arriba, si hay un número M tal que cada miembro de esta secuencia menos números m.

En otras palabras, para todos norte= 1, 2, 3, … se satisface la desigualdad

Definición 5. Secuencia numérica

incógnita 1 , incógnita 2 , … xn , …

llamado delimitado abajo, si hay un número m tal que cada miembro de esta secuencia más números m.

En otras palabras, para todos norte= 1, 2, 3, … se satisface la desigualdad

Definición 6. Secuencia numérica

incógnita 1 , incógnita 2 , … xn , …

se llama limitado si limitado tanto arriba como abajo.

En otras palabras, hay números M y m tales que para todos norte= 1, 2, 3, … se satisface la desigualdad

metro< x n < M

Definición 7. Secuencias numéricas, cual no están limitados, llamado secuencias ilimitadas.

Ejemplo 6. secuencia numérica

1, 4, 9, … norte 2 , …

dado por la fórmula

xn = norte 2 , norte = 1, 2, 3, … ,

delimitado por debajo, por ejemplo, el número 0. Sin embargo, esta secuencia ilimitado desde arriba.

Ejemplo 7. Subsecuencia

dado por la fórmula

es secuencia limitada, porque para todos norte= 1, 2, 3, … se satisface la desigualdad

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La monotonía de la secuencia.

secuencia monótona- secuencia que satisface una de las siguientes condiciones:

Entre las secuencias monótonas destacan las siguientes: estrictamente monótono secuencias que satisfacen una de las siguientes condiciones:

En ocasiones se utiliza una variante de terminología en la que el término "secuencia creciente" se considera sinónimo del término "secuencia no decreciente", y el término "secuencia decreciente" se considera sinónimo del término "secuencia no creciente" ". En tal caso, las secuencias crecientes y decrecientes de la definición anterior se denominan "estrictamente crecientes" y "estrictamente decrecientes", respectivamente.

Algunas generalizaciones

Puede resultar que las condiciones anteriores no se cumplan para todos los números, sino solo para los números de un rango determinado.

(aquí está permitido invertir el borde derecho norte+ al infinito). En este caso la secuencia se llama monótono en el intervalo I , y el rango en sí I llamado un intervalo de monotonía secuencias.

Ejemplos

Ver también

Fundación Wikimedia.

2010.

Vea qué es "Monotonicidad de una secuencia" en otros diccionarios: Rama de las matemáticas que se ocupa del estudio de las propiedades. varias funciones . La teoría de funciones se divide en dos áreas: la teoría de funciones de variable real y la teoría de funciones de variable compleja, cuya diferencia es tan grande que... ...

Enciclopedia de Collier La prueba de secuencias pseudoaleatorias es un conjunto de métodos para determinar el grado de proximidad de una secuencia pseudoaleatoria determinada a una aleatoria. Esta medida suele ser la presencia de distribución uniforme

, grande... ... Wikipedia Este término tiene otros significados, consulte Medida. La medida de un conjunto es una cantidad no negativa, interpretada intuitivamente como el tamaño (volumen) del conjunto. En realidad, esta es una medida función numérica

Escritor famoso. Género. en Orel en 1871; su padre era agrimensor. Estudió en el gimnasio Oryol y en las universidades de San Petersburgo y Moscú, según informa Facultad de Derecho. El estudiante estaba en gran necesidad. Fue entonces cuando escribió su primer cuento “sobre... ... Gran enciclopedia biográfica

Métodos numéricos para resolver métodos que reemplazan la solución. problema de valor límite resolver un problema discreto (ver Problema de valor límite lineal; métodos numéricos de solución y Ecuación no lineal; métodos numéricos de solución). En muchos casos, especialmente cuando se considera... ... Enciclopedia Matemática

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Uno de los principales conceptos matemáticos, cuyo significado ha estado sujeto a una serie de generalizaciones con el desarrollo de las matemáticas. I. Incluso en los "Elementos" de Euclides (siglo III a. C.), las propiedades de V., ahora llamado, estaban claramente formuladas para distinguirlos de... ... Gran enciclopedia soviética

Definición 1. La secuencia se llama decreciente (no creciente ), si para todos
la desigualdad se mantiene
.

Definición 2. Consistencia
llamado creciente (no decreciente ), si para todos
la desigualdad se mantiene
.

Definición 3. Las secuencias decrecientes, no crecientes, crecientes y no decrecientes se llaman monótono secuencias, las secuencias decrecientes y crecientes también se llaman estrictamente monótono secuencias.

Obviamente, una secuencia no decreciente está acotada desde abajo y una secuencia no creciente está acotada desde arriba. Por tanto, cualquier secuencia monótona está obviamente limitada en un lado.

Ejemplo 1. Consistencia
aumenta, no disminuye,
disminuye
no aumenta
– secuencia no monótona.

Para secuencias monótonas, lo siguiente juega un papel importante:

Teorema 1. Si una secuencia no decreciente (no creciente) está acotada arriba (abajo), entonces converge.

Prueba. deja la secuencia
no disminuye y está limitado desde arriba, es decir
y muchos
limitado desde arriba. Por el teorema 1 § 2 hay
. Probemos que
.

tomemos
arbitrariamente. Porque A– límite superior exacto, hay un número norte tal que
. Dado que la secuencia no es decreciente, entonces para todos
tenemos, es decir
, Es por eso
para todos
, y esto significa que
.

Para una secuencia no creciente acotada por debajo, la prueba es similar a ( Los estudiantes pueden probar esta afirmación en casa por su cuenta.). El teorema ha sido demostrado.

Comentario. El teorema 1 se puede formular de otra manera.

Teorema 2. Para que una secuencia monótona converja es necesario y suficiente que esté acotada.

La suficiencia se establece en el teorema 1, la necesidad, en el teorema 2 § 5.

La condición de monotonicidad no es necesaria para la convergencia de una secuencia, ya que una secuencia convergente no es necesariamente monótona. Por ejemplo, la secuencia
no es monótono, sino que converge a cero.

Consecuencia. Si la secuencia
aumenta (disminuye) y está limitado desde arriba (desde abajo), entonces
(
).

De hecho, por el teorema 1
(
).

Definición 4. Si
en
, entonces la secuencia se llama sistema de contratación de segmentos anidados .

Teorema 3 (principio de segmentos anidados). Cada sistema de contratación de segmentos anidados tiene un punto único. Con, pertenecientes a todos los segmentos de este sistema.

Prueba. Demostremos que el punto Con existe. Porque
, Eso
y por lo tanto la secuencia
no disminuye, pero la secuencia
no aumenta. Al mismo tiempo
Y
limitado porque. Entonces, según el teorema 1, existen
Y
, pero desde
, Eso
=
. Punto encontrado Con pertenece a todos los segmentos del sistema, ya que por el corolario del Teorema 1
,
, es decir.
para todos los valores norte.

Demostremos ahora que el punto Con- el único. Supongamos que existen dos de esos puntos: Con Y d y deja con certeza
. Entonces el segmento
pertenece a todos los segmentos
, es decir.
para todos norte, lo cual es imposible, ya que
y, por tanto, a partir de un número determinado,
. El teorema ha sido demostrado.

Nótese que lo esencial aquí es que se consideren intervalos cerrados, es decir segmentos. Si consideramos un sistema de intervalos de contracción, entonces el principio es, en términos generales, incorrecto. Por ejemplo, intervalos
, obviamente contraerse hasta un punto
, sin embargo punto
no pertenece a ningún intervalo de este sistema.

Consideremos ahora ejemplos de secuencias monótonas convergentes.

1) Número mi.

Consideremos ahora la secuencia
. ¿Cómo se comporta ella? Base

grados
, Es por eso
? Allende,
, A
, Es por eso
? ¿O no hay límite?

Para responder a estas preguntas, considere la secuencia auxiliar.
. Demostremos que disminuye y está acotado por debajo. Al mismo tiempo, necesitaremos

Lema. Si
, entonces para todos los valores naturales norte tenemos

(Desigualdad de Bernoulli).

Prueba. Utilicemos el método de inducción matemática.

Si
, Eso
, es decir. la desigualdad es cierta.

Supongamos que es cierto para
y demostrar su validez para
+1.

Bien
. Multipliquemos esta desigualdad por
:

De este modo, . Esto significa que, según el principio de inducción matemática, la desigualdad de Bernoulli es cierta para todos los valores naturales. norte. El lema está probado.

Demostremos que la secuencia
disminuye. Tenemos

‌‌‌׀La desigualdad de Bernoulli׀
, y esto significa que la secuencia
disminuye.

La limitación desde abajo se deriva de la desigualdad.
‌‌‌׀La desigualdad de Bernoulli׀
por todos los valores naturales norte.

Por el teorema 1 hay
, que se denota con la letra mi. Es por eso
.

Número mi irracional y trascendental, mi= 2,718281828… . Es, como se sabe, la base de los logaritmos naturales.

Notas. 1) La desigualdad de Bernoulli se puede utilizar para demostrar que
en
. De hecho, si
, Eso
. Entonces, según la desigualdad de Bernoulli, con
. Por lo tanto, en
tenemos
, eso es
en
.

2) En el ejemplo discutido anteriormente, la base del grado tiende a 1 y el exponente norte- A , es decir, hay incertidumbre de la forma . Una incertidumbre de este tipo, como hemos demostrado, se revela por el notable límite
.

2)
(*)

Demostremos que esta secuencia converge. Para ello, demostramos que está acotado desde abajo y no aumenta. En este caso utilizamos la desigualdad.
para todos
, que es consecuencia de la desigualdad
.

Tenemos
ver la desigualdad es mayor
, es decir. la secuencia está limitada debajo por el número
.

Próximo,
desde

, es decir. la secuencia no aumenta.

Por el teorema 1 hay
, que denotamos incógnita. Pasando en igualdad (*) al límite en
, obtenemos

, es decir.
, dónde
(tomamos el signo más, ya que todos los términos de la secuencia son positivos).

La secuencia (*) se utiliza en el cálculo.
aproximadamente. Para tome cualquier número positivo. Por ejemplo, busquemos
. Dejar
. Entonces
,. De este modo,
.

3)
.

Tenemos
. Porque
en
, hay un número norte, de tal manera que para todos
la desigualdad se mantiene
. Entonces la secuencia
, a partir de algún número norte, disminuye y está acotado por debajo, ya que
para todos los valores norte. Esto significa que según el teorema 1 hay
. Porque
, tenemos
.

Entonces,
.

4)
, bien - norte raíces.

Utilizando el método de inducción matemática demostraremos que
para todos los valores norte. Tenemos
. Dejar
. Entonces, de aquí obtenemos un enunciado basado en el principio de inducción matemática. Usando este hecho, encontramos, es decir subsecuencia
aumenta y está limitado desde arriba. Por lo tanto existe porque
.

De este modo,
.