Universidad Técnica Estatal de Nizhny Novgorod
a ellos. A.E.Alekseeva
Resumen sobre la teoría disciplinaria de la probabilidad.
Realizado por: Ruchina N.A gr 10MEnz
Comprobado por: Gladkov V.V.
Nizhni Nóvgorod, 2011
Teoría de probabilidad……………………………………
Tema de la teoría de la probabilidad…………………………
Conceptos básicos de la teoría de la probabilidad………………
Eventos aleatorios, probabilidades de eventos………………………………………………………………
Teoremas de límite……………………………………
Procesos aleatorios…………………………………………………………
Referencia histórica……………………………………
Libros usados…………………………………………
Teoría de probabilidad
Teoría de probabilidad - ciencia matemática que permite calcular las probabilidades de algunas eventos aleatorios Encuentre las probabilidades de otros eventos aleatorios relacionados de alguna manera con el primero.
Una afirmación de que un evento ocurre con probabilidad. , igual a, por ejemplo, 0,75, no representa en sí mismo un valor final, ya que nos esforzamos por obtener conocimientos fiables. El valor cognitivo final son aquellos resultados de la teoría de la probabilidad que nos permiten afirmar que la probabilidad de que ocurra cualquier evento A muy cerca de la unidad o (lo que es lo mismo) la probabilidad de que el evento no ocurra A muy pequeña. De acuerdo con el principio de “despreciar probabilidades suficientemente pequeñas”, tal evento se considera, con razón, prácticamente seguro. Las conclusiones de este tipo que tienen interés científico y práctico generalmente se basan en el supuesto de que la ocurrencia o no de un evento A Depende de una gran cantidad de factores aleatorios, poco relacionados entre sí. . Por tanto, también podemos decir que la teoría de la probabilidad es una ciencia matemática que dilucida los patrones que surgen durante la interacción de una gran cantidad de factores aleatorios.
Tema de la teoría de la probabilidad.
Tema de la teoría de la probabilidad. Describir la relación natural entre ciertas condiciones. S y evento A, cuya ocurrencia o no ocurrencia en determinadas condiciones puede determinarse con precisión, las ciencias naturales suelen utilizar uno de los dos esquemas siguientes:
a) siempre que se cumplan las condiciones S llega un evento A. Por ejemplo, todas las leyes de la mecánica clásica tienen esta forma, que establece que para una determinada condiciones iniciales y las fuerzas que actúan sobre un cuerpo o sistema de cuerpos, el movimiento se producirá de una manera única y definida.
b) En condiciones S evento A tiene una cierta probabilidad PAG(COMO), igual a r. Por ejemplo, las leyes de la radiación radiactiva establecen que para cada sustancia radiactiva existe una cierta probabilidad de que cantidad dada de una sustancia se descompondrá en un período de tiempo determinado norteátomos.
Llamémoslo la frecuencia del evento. A en esta serie de norte pruebas (es decir, de norte implementación repetida de condiciones S) actitud h = m/n números metro aquellas pruebas en las que A vinieron, a su número total norte. Disponibilidad del evento A bajo condiciones S una cierta probabilidad igual a R, se manifiesta en el hecho de que en casi todas las series suficientemente largas de pruebas la frecuencia del evento A aproximadamente igual a r.
Los patrones estadísticos, es decir, los patrones descritos mediante un esquema del tipo (b), se descubrieron por primera vez en juegos de azar como los dados. Los patrones estadísticos de nacimientos y muertes también se conocen desde hace mucho tiempo (por ejemplo, la probabilidad de que un recién nacido sea niño es 0,515). Finales del siglo XIX y primera mitad del siglo XX. marcado por el descubrimiento de un gran número de leyes estadísticas en física, química, biología, etc.
La posibilidad de aplicar los métodos de la teoría de la probabilidad al estudio de patrones estadísticos relacionados con campos de la ciencia muy distantes entre sí se basa en que las probabilidades de los eventos siempre satisfacen ciertas relaciones simples. El estudio de las propiedades de las probabilidades de eventos sobre la base de estas relaciones simples es el tema de la teoría de la probabilidad.
Conceptos básicos de la teoría de la probabilidad.
Conceptos básicos de la teoría de la probabilidad. Los conceptos básicos de la teoría de la probabilidad, como disciplina matemática, se definen de forma más sencilla en el marco de la llamada teoría de la probabilidad elemental. Cada prueba T, considerado en la teoría de la probabilidad elemental es tal que termina en uno y sólo uno de los eventos mi 1 , mi 2 ,...,MI S (de una forma u otra, según el caso). Estos eventos se denominan resultados del ensayo. Con cada resultado mi k numero positivo asociado R A - la probabilidad de este resultado. Números pag k debe sumar uno. Luego se consideran los eventos. A, consistente en que “ocurre o mi i , o mi j ,..., o mi k" Resultados mi i , mi j ,...,MI k se llaman favorables A, y por definición asumen la probabilidad R(A) eventos A, igual a la cantidad probabilidades de resultados favorables:
PAG(A) =pag i +pag s +… +pag k . (1)
Caso especial pag 1 =pag 2 =...pag s = 1/S conduce a la fórmula
R(A) =r/s.(2)
La fórmula (2) expresa la llamada definición clásica de probabilidad, según la cual la probabilidad de un evento A igual a la razón del número r resultados favorables A, al numero s todos los resultados “igualmente posibles”. La definición clásica de probabilidad sólo reduce el concepto de “probabilidad” al concepto de “igual posibilidad”, que permanece sin una definición clara.
Ejemplo. Al lanzar dos dados, cada uno de los 36 resultados posibles se puede indicar mediante ( i,j), Dónde i- el número de puntos obtenidos en el primer dado, j- En el segundo. Se supone que los resultados son igualmente probables. Evento A -“la suma de puntos es 4”, tres resultados son favorables (1; 3), (2; 2), (3; 1). Por eso, R(A) = 3/36= 1/12.
A partir de cualquier evento dado, se pueden determinar dos nuevos eventos: su unión (suma) y su combinación (producto).
Evento EN llamado agrupación de eventos A 1 , A 2 ,..., A r ,-, si tiene la forma: “viene o A 1 , o A 2 ,..., o A r ».
El evento C se llama combinación de eventos. A 1 , A. 2 ,..., A r , si tiene la forma: “viene y A 1 , Y A 2 ,..., Y A r » . La combinación de eventos se denota con el signo y la combinación con el signo . Así, escriben:
B = Un 1 A 2 … A r , C = A 1 A 2 … A r .
Eventos A Y EN se llaman incompatibles si su implementación simultánea es imposible, es decir, si no hay uno solo favorable entre los resultados de la prueba y A Y EN.
Las operaciones introducidas de combinar y combinar eventos están asociadas con dos teoremas principales de la teoría de la probabilidad: los teoremas de la suma y la multiplicación de probabilidades.
Teorema de la suma de probabilidades: Si los eventos A 1 ,A 2 ,...,A r son tales que cada dos de ellos son incompatibles, entonces la probabilidad de su unión es igual a la suma de sus probabilidades.
Entonces, en el ejemplo anterior de lanzar dos dados, el evento EN -“la suma de puntos no supera 4”, hay unión de tres eventos incompatibles A 2 ,A 3 ,A 4, consistente en que la suma de puntos es igual a 2, 3, 4, respectivamente. La probabilidad de que ocurran estos eventos es 1/36; 2/36; 3/36. Según el teorema de la suma, la probabilidad R(EN) igual a
1/36 + 2/36 + 3/36 = 6/36 = 1/6.
Eventos A 1 ,A 2 ,...,A r se llaman independientes si la probabilidad condicional de cada uno de ellos, siempre que haya ocurrido alguno de los demás, es igual a su probabilidad “incondicional”.
Teorema de la multiplicación de probabilidades: Probabilidad de combinar eventos. A 1 ,A 2 ,...,A r es igual a la probabilidad del evento A 1 , multiplicado por la probabilidad del evento A 2 tomado bajo la condición de que A 1 ocurrió,..., multiplicado por la probabilidad del evento A siempre que A 1 ,A 2 ,...,A r-1 ha llegado. Para eventos independientes, el teorema de la multiplicación lleva a la fórmula:
PAG(A 1 A 2 …A r) =PAG(A 1 )PAG(A 2 )· … · PAG(A r), (3)
es decir, la probabilidad de combinar eventos independientes es igual al producto de las probabilidades de estos eventos. La fórmula (3) sigue siendo válida si en ambas partes algunos de los eventos se reemplazan por sus opuestos.
Ejemplo. Se realizan 4 disparos al objetivo con una probabilidad de acertar de 0,2 por disparo. Se supone que los impactos en el objetivo de diferentes disparos son eventos independientes. ¿Cuál es la probabilidad de dar en el blanco exactamente tres veces?
El resultado de cada prueba se puede indicar mediante una secuencia de cuatro letras [por ejemplo, (y, n, n, y) significa que el primer y cuarto tiro acertaron (éxito), y el segundo y tercer tiro no acertaron (fracaso)]. Habrá un total de 2·2·2·2 = 16 resultados. De acuerdo con el supuesto de independencia de los resultados de los disparos individuales, se debe utilizar la fórmula (3) y una nota para determinar las probabilidades de estos resultados. Por lo tanto, la probabilidad del resultado (y, n. n, n) debe establecerse igual a 0,2·0,8·0,8·0,8 = 0,1024; aquí 0,8 = 1-0,2 es la probabilidad de fallar con un solo disparo. El evento “el objetivo es alcanzado tres veces” se ve favorecido por los resultados (y, y, y, n), (y, y, n, y), (y, n, y, y). (n, y, y, y), la probabilidad de cada uno es la misma:
0,2 0,2 0,2 0,8 =...... =0,8 0,2 0,2 0,2 = 0,0064;
por lo tanto, la probabilidad requerida es igual a
4·0,0064 = 0,0256.
Resumiendo el razonamiento del ejemplo analizado, podemos derivar una de las fórmulas básicas de la teoría de la probabilidad: si los eventos A 1 , A 2 ,..., A norte independientes y cada uno tiene una probabilidad R, entonces la probabilidad de que ocurra es exactamente metro de los cuales es igual
PAG norte (metro)=C norte metro pag metro (1-pag) Nuevo Méjico ; (4)
Aquí C norte metro denota el número de combinaciones de norte elementos por metro. En general norte Los cálculos que utilizan la fórmula (4) se vuelven difíciles.
Entre las fórmulas básicas de la teoría de la probabilidad elemental se encuentra también la llamada fórmula de probabilidad total: si eventos A 1 , A 2 ,..., A r son incompatibles por pares y su unión es un evento confiable, entonces para cualquier evento EN su probabilidad es igual a su suma.
El teorema de la multiplicación de probabilidades es particularmente útil cuando se consideran pruebas compuestas. Dicen que es una prueba t compuesto de pruebas t 1 , t 2 ,...,T n-1 , t norte, Si cada resultado de la prueba t hay una combinación de algunos resultados A i , B j ,..., X k ,Y yo pruebas relevantes t 1 , t 2 ,...,T n-1 , t norte. Por una razón u otra, las probabilidades a menudo se conocen
PAG(A i), PAG(B j /A i), …,PAG(Y yo /A i B j …X k). (5)
A partir de las probabilidades (5) usando el teorema de la multiplicación, se pueden determinar las probabilidades R(mi) para todos los resultados mi prueba compuesta, y al mismo tiempo la probabilidad de todos los eventos asociados con esta prueba. Desde un punto de vista práctico, dos tipos de pruebas compuestas parecen ser las más importantes:
a) los componentes de la prueba son independientes, es decir, las probabilidades (5) son iguales a las probabilidades incondicionales PAG(A i), PAG(B j),..., PAG(Y yo);
b) las probabilidades de los resultados de cualquier prueba están influenciadas únicamente por los resultados de la prueba inmediatamente anterior, es decir, las probabilidades (5) son iguales, respectivamente: PAG(A i), PAG(B j /A i),..., PAG(Y i /X k). En este caso hablamos de pruebas conectadas en una cadena de Markov. Las probabilidades de todos los eventos asociados con una prueba compuesta están completamente determinadas aquí por las probabilidades iniciales. R(A i) y probabilidades de transición PAG(B j /A i),..., PAG(Y yo /X k).
Fórmulas básicas en teoría de la probabilidad.
Fórmulas de la teoría de la probabilidad.
1. Fórmulas básicas de combinatoria.
a) reordenamientos.
\b) colocación
c) combinaciones 
.
2. Definición clásica de probabilidad.
¿Dónde está el número de resultados favorables al evento? Es el número de todos los resultados elementales igualmente posibles.
3. Probabilidad de la suma de eventos
Teorema para sumar las probabilidades de eventos incompatibles:
Teorema para sumar las probabilidades de eventos conjuntos:
4. Probabilidad de que ocurran eventos
Teorema para multiplicar las probabilidades de eventos independientes:
Teorema para multiplicar las probabilidades de eventos dependientes:
,
La probabilidad condicional eventos siempre que el evento haya ocurrido,
La probabilidad condicional de un evento dado que el evento ocurrió.
La combinatoria es una rama de las matemáticas que estudia cuestiones sobre cuántas combinaciones diferentes, sujetas a ciertas condiciones, se pueden hacer a partir de objetos determinados. Los conceptos básicos de la combinatoria son muy importantes para estimar las probabilidades de eventos aleatorios, porque Son ellos los que nos permiten calcular el número fundamentalmente posible de opciones diferentes para el desarrollo de eventos.
Fórmula básica de combinatoria.
Sean k grupos de elementos y el i-ésimo grupo consta de ni elementos. Seleccionemos un elemento de cada grupo. Entonces numero total Las N formas en que se puede hacer tal elección están determinadas por la relación N=n1*n2*n3*...*nk.
Ejemplo 1. Expliquemos esta regla con un ejemplo sencillo. Sean dos grupos de elementos, y el primer grupo consta de n1 elementos y el segundo, de n2 elementos. ¿Cuántos pares diferentes de elementos se pueden formar a partir de estos dos grupos, de modo que el par contenga un elemento de cada grupo? Digamos que tomamos el primer elemento del primer grupo y, sin cambiarlo, pasamos por todos los pares posibles, cambiando solo los elementos del segundo grupo. Hay n2 pares de este tipo para este elemento. Luego tomamos el segundo elemento del primer grupo y también le hacemos todos los pares posibles. También habrá n2 pares de este tipo. Como solo hay n1 elementos en el primer grupo, el total de opciones posibles será n1*n2.
Ejemplo 2. ¿Cuántos números pares de tres dígitos se pueden formar a partir de los dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, si los dígitos se pueden repetir?
Solución: n1=6 (porque puedes tomar cualquier número de 1, 2, 3, 4, 5, 6 como primer dígito), n2=7 (porque puedes tomar cualquier número de 0 como segundo dígito, 1, 2 , 3, 4, 5, 6), n3=4 (ya que cualquier número entre 0, 2, 4, 6 puede tomarse como tercer dígito).
Entonces, N=n1*n2*n3=6*7*4=168.
En el caso de que todos los grupos estén formados por el mismo numero elementos, es decir n1=n2=...nk=n podemos suponer que cada selección se realiza del mismo grupo y que el elemento después de la selección se devuelve al grupo. Entonces el número de todos los métodos de selección es igual a nk. Este método de selección se llama muestreo con retorno.
Ejemplo. ¿Cuántos números de cuatro cifras se pueden formar con los dígitos 1, 5, 6, 7, 8?
Solución. Para cada dígito de un número de cuatro dígitos hay cinco posibilidades, lo que significa N=5*5*5*5=54=625.
Considere un conjunto que consta de n elementos. A este conjunto lo llamaremos población general.
Definición 1. Una disposición de n elementos por m es cualquier conjunto ordenado de m varios elementos, seleccionado de población en n elementos.
Ejemplo. Diferentes disposiciones de tres elementos (1, 2, 3) por dos serán los conjuntos (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 3), (3 , 2 ). Las ubicaciones pueden diferir entre sí tanto en elementos como en su orden.
El número de ubicaciones se denota por A, m de n y se calcula mediante la fórmula:
Nota: n!=1*2*3*...*n (léase: "en factorial"), además, se supone que 0!=1.
Ejemplo 5. ¿Cuántos números de dos cifras hay en los que la cifra de las decenas y la de las unidades son distintas e impares?
Solución: porque Si hay cinco dígitos impares, es decir, 1, 3, 5, 7, 9, entonces esta tarea se reduce a seleccionar y colocar dos de los cinco dígitos diferentes en dos posiciones diferentes, es decir. los números indicados serán:
Definición 2. Una combinación de n elementos de m es cualquier conjunto desordenado de m elementos diferentes seleccionados de una población de n elementos.
Ejemplo 6. Para un conjunto (1, 2, 3), las combinaciones son (1, 2), (1, 3), (2, 3).
El número de combinaciones se denota por Cnm y se calcula mediante la fórmula: 
Definición 3. Una permutación de n elementos es cualquier conjunto ordenado de estos elementos.
Ejemplo 7a. Todas las permutaciones posibles de un conjunto formado por tres elementos (1, 2, 3) son: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 3, 1), (2, 1, 3) , (3, 2, 1), (3, 1, 2).
El número de permutaciones diferentes de n elementos se denota por Pn y se calcula mediante la fórmula Pn=n!.
Ejemplo 8. ¿De cuántas maneras se pueden ordenar siete libros de diferentes autores en una fila en un estante?
Solución: este problema trata sobre el número de permutaciones de siete diferentes libros. Hay P7=7!=1*2*3*4*5*6*7=5040 formas de organizar libros.
Discusión. Vemos que el número de combinaciones posibles se puede calcular según diferentes reglas (permutaciones, combinaciones, ubicaciones) y el resultado será diferente, porque El principio de cálculo y las fórmulas mismas son diferentes. Si observa detenidamente las definiciones, notará que el resultado depende de varios factores simultáneamente.
En primer lugar, de cuántos elementos podemos combinar sus conjuntos (qué tan grande es la totalidad de elementos).
En segundo lugar, el resultado depende del tamaño de los conjuntos de elementos que necesitamos.
Finalmente, es importante saber si el orden de los elementos del conjunto es significativo para nosotros. Expliquemos el último factor usando el siguiente ejemplo.
Ejemplo. Hay 20 personas presentes en la reunión de padres. ¿Cuántas opciones diferentes hay para la composición del comité de padres si debe incluir 5 personas?
Solución: En este ejemplo, no nos interesa el orden de los nombres en la lista del comité. Si, como resultado, las mismas personas resultan ser parte de él, entonces, en significado, para nosotros esta es la misma opción. Por tanto, podemos utilizar una fórmula para contar el número de combinaciones de 20 elementos de 5.
Las cosas serán diferentes si cada miembro del comité es inicialmente responsable de un área de trabajo específica. Entonces, con la misma composición de lista del comité, ¡posiblemente haya 5 dentro de él! permutaciones que importan. El número de opciones diferentes (tanto en composición como en área de responsabilidad) está determinado en este caso por el número de ubicaciones de 20 elementos de 5.
Definición geométrica de probabilidad.
Imaginemos una prueba aleatoria como arrojar un punto al azar a alguna región geométrica G (en una línea recta, un plano o un espacio). Los resultados elementales son puntos individuales de G, cualquier evento es un subconjunto de esta área, el espacio de resultados elementales de G. Podemos suponer que todos los puntos de G son "iguales" y entonces la probabilidad de que un punto caiga en un determinado subconjunto es proporcional a su medida (longitud, área, volumen) y no depende de su ubicación y forma.
La probabilidad geométrica del evento A está determinada por la relación: , donde m(G), m(A) son medidas geométricas (longitudes, áreas o volúmenes) de todo el espacio de resultados elementales y el evento A.
Ejemplo. Se lanza al azar un círculo de radio r () sobre un plano graficado por franjas paralelas de ancho 2d, cuya distancia entre las líneas axiales es igual a 2D. Calcula la probabilidad de que el círculo se cruce con una determinada franja.
Solución. Como resultado elemental de esta prueba, consideraremos la distancia x desde el centro del círculo hasta la línea central de la franja más cercana al círculo. Entonces todo el espacio de resultados elementales es un segmento. La intersección de un círculo con una franja se producirá si su centro cae dentro de la franja, es decir, o está ubicado desde el borde de la franja a una distancia menor que el radio, es decir,
Para la probabilidad deseada obtenemos: .
Clasificación de eventos en posibles, probables y aleatorios. Conceptos de sucesos elementales simples y complejos. Operaciones sobre eventos. Definición clásica de la probabilidad de un evento aleatorio y sus propiedades. Elementos de combinatoria en teoría de probabilidad. Probabilidad geométrica. Axiomas de la teoría de la probabilidad.
1. Clasificación de eventos
Uno de los conceptos básicos de la teoría de la probabilidad es el concepto de evento. Un evento es cualquier hecho que puede ocurrir como resultado de una experiencia o prueba. Por experiencia o prueba nos referimos a la implementación de un determinado conjunto de condiciones.
Ejemplos de eventos:
– dar en el blanco cuando se dispara con un arma (experiencia - disparar; evento - dar en el blanco);
– pérdida de dos emblemas al lanzar una moneda tres veces (experiencia - lanzar una moneda tres veces; evento - pérdida de dos emblemas);
– la aparición de un error de medición dentro de límites especificados al medir el alcance hasta un objetivo (experiencia - medición del alcance; evento - error de medición).
Se pueden dar innumerables ejemplos similares. Los eventos están designados en letras mayúsculas alfabeto latino etc.
Se hace una distinción entre eventos conjuntos y no conjuntos. Los eventos se llaman conjuntos si la ocurrencia de uno de ellos no excluye la ocurrencia del otro. De lo contrario, los eventos se denominan incompatibles. Por ejemplo, se lanzan dos dados. Evento: obtener tres puntos con el primer dado, evento: obtener tres puntos con el segundo dado y... eventos conjuntos. Deje que la tienda reciba un lote de zapatos del mismo estilo y talla, pero color diferente. Evento: una caja tomada al azar contendrá zapatos negros, evento: la caja contendrá zapatos marrones y... eventos incompatibles.
Un evento se considera confiable si es seguro que ocurrirá en las condiciones de una experiencia determinada.
Un evento se llama imposible si no puede ocurrir bajo las condiciones de una experiencia dada. Por ejemplo, el caso de que se tome una pieza estándar de un lote de piezas estándar es confiable, pero una pieza no estándar es imposible.
Un evento se llama posible o aleatorio si, como resultado de la experiencia, puede aparecer, pero no aparecer. Un ejemplo de evento aleatorio podría ser la identificación de defectos en un producto durante la inspección de un lote de productos terminados, una discrepancia entre el tamaño del producto procesado y el especificado o la falla de uno de los enlaces en el sistema de control automatizado.
Los eventos se consideran igualmente posibles si, según las condiciones de la prueba, ninguno de estos eventos es objetivamente más posible que los demás. Por ejemplo, supongamos que varias plantas de fabricación suministran bombillas a una tienda (en cantidades iguales). Los eventos que implican la compra de una bombilla de cualquiera de estas fábricas son igualmente posibles.
El concepto importante es el grupo completo de eventos. Varios eventos en este formulario de experimento. grupo completo, si es seguro que al menos uno de ellos aparecerá como resultado del experimento. Por ejemplo, una urna contiene diez bolas, seis de ellas son rojas, cuatro son blancas y cinco bolas tienen números. - la aparición de una bola roja durante un sorteo, - la aparición de una bola blanca, - la aparición de una bola con un número. Los eventos forman un grupo completo de eventos conjuntos.
Introduzcamos el concepto de evento opuesto o adicional. Un evento opuesto es un evento que necesariamente debe ocurrir si algún evento no ocurre. Los acontecimientos opuestos son incompatibles y los únicos posibles. Forman un grupo completo de eventos. Por ejemplo, si un lote de productos manufacturados consta de productos buenos y defectuosos, cuando se retira un producto, puede resultar bueno (un evento) o defectuoso (un evento).
2. Operaciones sobre eventos
Al desarrollar un aparato y una metodología para estudiar eventos aleatorios en la teoría de la probabilidad, el concepto de suma y producto de eventos es muy importante.
El curso de matemáticas prepara muchas sorpresas para los escolares, una de las cuales es un problema de teoría de la probabilidad. Los estudiantes tienen problemas para resolver este tipo de tareas en casi el cien por ciento de los casos. Para entender y entender este problema, necesita conocer las reglas básicas, axiomas y definiciones. Para comprender el texto del libro, es necesario conocer todas las abreviaturas. Ofrecemos aprender todo esto.
La ciencia y su aplicación.
ya que ofrecemos curso intensivo"teoría de la probabilidad para tontos", primero debe presentar los conceptos básicos y abreviaturas de letras. Para empezar, definamos el concepto mismo de "teoría de la probabilidad". ¿Qué tipo de ciencia es esta y por qué es necesaria? La teoría de la probabilidad es una de las ramas de las matemáticas que estudia fenómenos aleatorios y magnitud. También considera los patrones, propiedades y operaciones realizadas con estas variables aleatorias. ¿Para qué sirve? La ciencia se ha generalizado en el estudio. fenomenos naturales. Cualquier natural y procesos fisicos No podemos prescindir de la presencia del azar. Incluso si los resultados se registraran con la mayor precisión posible durante el experimento, si se repite la misma prueba, lo más probable es que el resultado no sea el mismo.
Definitivamente veremos ejemplos de tareas, puede comprobarlo usted mismo. El resultado depende de muchos varios factores, que son casi imposibles de tener en cuenta o registrar, pero que, sin embargo, tienen un gran impacto en el resultado del experimento. Ejemplos vívidos Pueden servir las tareas de determinar la trayectoria de los planetas o determinar el pronóstico del tiempo, la probabilidad de encontrarse con una persona conocida en el camino al trabajo y determinar la altura del salto de un atleta. La teoría de la probabilidad también proporciona una gran ayuda a los corredores de bolsa. Un problema de teoría de la probabilidad, cuya solución antes presentaba muchos problemas, se convertirá para usted en una nimiedad después de tres o cuatro ejemplos que se presentan a continuación.
Eventos
Como se dijo anteriormente, la ciencia estudia los eventos. La teoría de la probabilidad, veremos ejemplos de resolución de problemas un poco más adelante, estudia solo un tipo: aleatorio. Sin embargo, debes saber que los eventos pueden ser de tres tipos:
- Imposible.
- Confiable.
- Aleatorio.
Proponemos comentar un poco cada uno de ellos. Un evento imposible nunca sucederá, bajo ninguna circunstancia. Los ejemplos incluyen: congelar agua a temperaturas superiores a cero, sacar un cubo de una bolsa de bolas.
Un evento confiable siempre ocurre con una garantía del 100% si se cumplen todas las condiciones. Por ejemplo: recibiste salarios por el trabajo realizado, recibió un diploma superior educación vocacional, si estudiaste concienzudamente, aprobaste exámenes y defendiste tu diploma, etc.
Todo es un poco más complicado: durante el experimento puede suceder o no, por ejemplo, sacar un as de una baraja de cartas después de hacer no más de tres intentos. Puede obtener el resultado en el primer intento o ninguno. Es la probabilidad de que ocurra un evento lo que estudia la ciencia.
Probabilidad
Esto es en en un sentido general Evaluación de la posibilidad de un resultado exitoso de la experiencia en la que ocurre el evento. La probabilidad se estima en nivel de calidad, especialmente si cuantificación imposible o difícil. Un problema en teoría de la probabilidad con una solución, o más precisamente con una estimación, implica encontrar esa parte muy posible de un resultado exitoso. La probabilidad en matemáticas son las características numéricas de un evento. Toma valores de cero a uno, denotados por la letra P. Si P es igual a cero, entonces el evento no puede suceder; si es uno, entonces el evento ocurrirá con un cien por ciento de probabilidad; Cuanto más se acerque P a uno, mayor será la probabilidad de un resultado exitoso, y viceversa, si es cercano a cero, entonces el evento ocurrirá con baja probabilidad.
Abreviaturas
El problema de probabilidad al que pronto se enfrentará puede contener las siguientes abreviaturas:
- P y P(X);
- A, B, C, etc.;
También son posibles algunos otros: se harán explicaciones adicionales según sea necesario. Sugerimos, en primer lugar, aclarar las abreviaturas presentadas anteriormente. El primero de nuestra lista es factorial. Para que quede claro, damos ejemplos: 5!=1*2*3*4*5 o 3!=1*2*3. A continuación, en llaves escribir conjuntos dados, por ejemplo: (1;2;3;4;..;n) o (10;140;400;562). La siguiente notación es el conjunto. números naturales, que se encuentra con bastante frecuencia en tareas de teoría de la probabilidad. Como se mencionó anteriormente, P es una probabilidad y P(X) es la probabilidad de que ocurra el evento X. Los eventos se indican con letras mayúsculas del alfabeto latino, por ejemplo: A - gotcha bola blanca, B - azul, C - rojo o, respectivamente, . La letra minúscula n es el número de todos los resultados posibles y m es el número de resultados exitosos. De aquí obtenemos la regla para encontrar probabilidad clásica V tareas elementales: P=m/n. La teoría de la probabilidad "para tontos" probablemente se limite a este conocimiento. Ahora, para consolidar, pasemos a la solución.
Problema 1. Combinatoria
El grupo de estudiantes está formado por treinta personas, entre las que es necesario elegir un jefe, su adjunto y un dirigente sindical. Es necesario encontrar varias formas de hacerlo. esta acción. Una tarea similar puede aparecer en el Examen Estatal Unificado. La teoría de la probabilidad, cuya solución de problemas estamos considerando ahora, puede incluir problemas del curso de combinatoria, búsqueda de probabilidad clásica, geométrica y problemas de fórmulas básicas. EN en este ejemplo Estamos resolviendo un problema de un curso de combinatoria. Pasemos a la solución. Esta tarea es la más sencilla:
- n1=30 - posibles prefectos del grupo de estudiantes;
- n2=29 - aquellos que pueden ocupar el cargo de diputado;
- n3=28 personas postulan para el cargo de sindicalista.
Lo único que tenemos que hacer es encontrar el número posible de opciones, es decir, multiplicar todos los indicadores. Como resultado, obtenemos: 30*29*28=24360.
Esta será la respuesta a la pregunta planteada.
Problema 2. Reordenamiento
Hay 6 participantes que hablan en la conferencia, el orden se determina mediante sorteo. Necesitamos encontrar la cantidad. opciones posibles sorteo. En este ejemplo, estamos considerando una permutación de seis elementos, es decir, ¡necesitamos encontrar 6!
En el párrafo de abreviaturas ya mencionamos qué es y cómo se calcula. En total, resulta que hay 720 opciones de dibujo. A primera vista, una tarea difícil tiene una solución muy breve y sencilla. Estas son las tareas que considera la teoría de la probabilidad. Cómo resolver más problemas nivel alto, lo veremos en los siguientes ejemplos.
Problema 3
Un grupo de veinticinco estudiantes deberá dividirse en tres subgrupos de seis, nueve y diez personas. Tenemos: n=25, k=3, n1=6, n2=9, n3=10. Queda por sustituir los valores en la fórmula requerida, obtenemos: N25(6,9,10). Después de cálculos simples obtenemos la respuesta: 16.360.143.800 si la tarea no dice lo que se necesita obtener. solución numérica, entonces podemos darlo en forma de factoriales.
Problema 4
Tres personas adivinaron los números del uno al diez. Calcula la probabilidad de que los números de alguien coincidan. Primero debemos averiguar el número de todos los resultados; en nuestro caso es mil, es decir, diez elevado a la tercera potencia. Ahora encontremos la cantidad de opciones cuando todos hayan adivinado. diferentes numeros, para ello multiplicamos diez, nueve y ocho. ¿De dónde vinieron estos números? El primero adivina un número, tiene diez opciones, el segundo ya tiene nueve y el tercero necesita elegir entre las ocho restantes, por lo que obtenemos 720 opciones posibles. Como ya calculamos anteriormente, hay 1000 opciones en total, y sin repeticiones hay 720, por lo tanto, nos interesan las 280 restantes. Ahora necesitamos una fórmula para encontrar la probabilidad clásica: P = . Recibimos la respuesta: 0,28.
Sección 12. Teoría de la probabilidad.
1. Introducción
2. Los conceptos más simples de la teoría de la probabilidad.
3. Álgebra de eventos
4. Probabilidad de un evento aleatorio
6. Probabilidades clásicas. Fórmulas combinatorias.
7. Probabilidad condicional. Independencia de eventos.
8. Fórmula probabilidad total y fórmulas de Bayes
9. Esquema de prueba repetido. La fórmula de Bernoulli y sus asintóticas.
10. Variables aleatorias (VR)
11. Fila Distribuciones DSV
12. función integral distribución
13. Función de distribución NSV
14. Densidad de probabilidad de NSV
15. Características numéricas variables aleatorias
16. Ejemplos de distribuciones SV importantes
16.1. Distribución binomial DSV.
16.2. distribución de veneno
16.3. Distribución uniforme NS V.
16.4. Distribución normal.
17. Teoremas límite de la teoría de la probabilidad.
Introducción
La teoría de la probabilidad, como muchas otras disciplinas matemáticas, se desarrolló a partir de las necesidades de la práctica. Al mismo tiempo, al estudiar un proceso real, era necesario crear un modelo matemático abstracto del proceso real. Generalmente el principal, el más significativo. fuerzas motrices proceso real, descartando de consideración los secundarios, que se denominan aleatorios. Por supuesto, lo que se considera principal y lo secundario es una tarea aparte. La solución a esta pregunta determina el nivel de abstracción, simplicidad o complejidad. modelo matemático y el nivel de adecuación del modelo al proceso real. En esencia, cualquier modelo abstracto es el resultado de dos aspiraciones opuestas: sencillez y adecuación a la realidad.
Por ejemplo, en teoría de tiro, se han desarrollado fórmulas bastante simples y convenientes para determinar la trayectoria de vuelo de un proyectil desde un arma ubicada en un punto (Fig. 1).
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En determinadas condiciones, la teoría mencionada es suficiente, por ejemplo durante la preparación masiva de artillería.
Sin embargo, está claro que si se disparan varios tiros con un arma en las mismas condiciones, las trayectorias, aunque cercanas, seguirán siendo diferentes. Y si el tamaño del objetivo es pequeño en comparación con el área de dispersión, entonces surgen preguntas específicas relacionadas específicamente con la influencia de factores que no se tienen en cuenta en el modelo propuesto. En este caso, tener en cuenta factores adicionales conducirá a demasiado modelo complejo, que es casi imposible de usar. Además, existen muchos de estos factores aleatorios y su naturaleza suele ser desconocida.
En el ejemplo anterior, preguntas específicas que van más allá modelo determinista, son, por ejemplo, los siguientes: ¿cuántos tiros se deben realizar para garantizar dar en el blanco con cierta confianza (por ejemplo, en )? ¿Cómo se debe realizar la reducción a cero para utilizar la menor cantidad de proyectiles para alcanzar el objetivo? etcétera.
Como veremos más adelante, las palabras “aleatorio” y “probabilidad” se volverán estrictas. términos matemáticos. Sin embargo, son muy comunes en la vida cotidiana. discurso coloquial. Se cree que el adjetivo "aleatorio" es lo opuesto a "natural". Sin embargo, esto no es así, porque la naturaleza está diseñada de tal manera que procesos aleatorios descubrir patrones, pero bajo ciertas condiciones.
La condición principal se llama carácter de masas.
Por ejemplo, si lanzas una moneda al aire, no puedes predecir lo que saldrá, un escudo o un número, sólo puedes adivinar. Sin embargo, si lanzas esta moneda Número grande veces que la proporción de abandonos del escudo de armas no diferirá mucho de un cierto número cercano a 0,5 (en lo que sigue llamaremos a este número probabilidad). Además, con un aumento en el número de lanzamientos, la desviación de este número disminuirá. Esta propiedad se llama sostenibilidad indicadores promedio (en en este caso- acciones de escudos de armas). Hay que decir que en los primeros pasos de la teoría de la probabilidad, cuando era necesario verificar en la práctica la presencia de la propiedad de estabilidad, ni siquiera los grandes científicos consideraron difícil realizar su propia verificación. Así, el famoso experimento de Buffon, que lanzó una moneda 4040 veces y el escudo salió 2048 veces, por tanto, la fracción (o Frecuencia relativa) del escudo de armas es 0,508, lo que intuitivamente se acerca al número esperado de 0,5.
Por lo tanto, la definición se suele dar el tema de la teoría de la probabilidad como una rama de las matemáticas que estudia los patrones de procesos aleatorios masivos.
Hay que decir que, a pesar de que los mayores logros de la teoría de la probabilidad se remontan a principios del siglo pasado, especialmente gracias a construcción axiomática teorías en las obras de A.N. Kolmogorov (1903-1987), el interés por el estudio de los accidentes apareció hace mucho tiempo.
Los intereses iniciales estaban en intentar aplicar un enfoque numérico al juego. Los primeros son suficientes resultados interesantes Las teorías de la probabilidad suelen estar asociadas con las obras de L. Pacioli (1494), D. Cardano (1526) y N. Tartaglia (1556).
Posteriormente B. Pascal (1623-1662), P. Fermat (1601-1665), H. Huygens (1629-1695) sentaron las bases teoría clásica probabilidades. A principios del siglo XVIII, J. Bernoulli (1654-1705) formó el concepto de probabilidad de un evento aleatorio como la relación entre el número de oportunidades favorables y el número de todas las posibles. E. Borel (1871-1956), A. Lomnitsky (1881-1941), R. Mises (1883-1953) construyeron sus teorías sobre el uso del concepto de medida de un conjunto.
El punto de vista de la teoría de conjuntos se presentó en su forma más completa en 1933. UN. Kolmogorov en su monografía “Conceptos básicos de la teoría de la probabilidad”. Es a partir de este momento que la teoría de la probabilidad se convierte en una ciencia matemática estricta.
Los matemáticos rusos P.L. hicieron una gran contribución al desarrollo de la teoría de la probabilidad. Chebyshev (1821-1894), A.A. Markov (1856-1922), S.N. Bernstein (1880-1968) y otros.
La teoría de la probabilidad se está desarrollando rápidamente en la actualidad.
Los conceptos más simples de la teoría de la probabilidad.
Como cualquier disciplina matemática, la teoría de la probabilidad comienza con la introducción de los conceptos más simples que no están definidos, solo explicados.
Uno de los principales conceptos primarios es experiencia. La experiencia se entiende como un determinado conjunto de condiciones que pueden reproducirse un número ilimitado de veces. A cada implementación de este complejo lo llamaremos experiencia o prueba. Los resultados del experimento pueden ser diferentes, y aquí es donde aparece el elemento del azar. Los diversos resultados o consecuencias de una experiencia se denominan eventos(más precisamente, eventos aleatorios). Así, durante la implementación del experimento, puede ocurrir tal o cual evento. En otras palabras, un evento aleatorio es el resultado de un experimento que puede ocurrir (aparecer) o no ocurrir durante la implementación del experimento.
La experiencia se indicará con la letra y los eventos aleatorios generalmente se indicarán con letras mayúsculas.
A menudo, en un experimento es posible identificar de antemano sus resultados, que pueden considerarse los más simples y que no se pueden descomponer en otros más simples. Tales eventos se llaman eventos elementales(o casos).
Ejemplo 1. Deja que la moneda se lance. Los resultados del experimento son: la pérdida del escudo de armas (denotamos este evento con la letra); pérdida de números (indicada por ). Entonces podemos escribir: experiencia = (lanzamiento de moneda), resultados: Está claro que los eventos elementales en esta experiencia. En otras palabras, enumerar todos eventos elementales la experiencia lo describe completamente. En este sentido, diremos que la experiencia es el espacio de eventos elementales, y en nuestro caso, la experiencia se puede escribir brevemente en la forma: = (lanzamiento de moneda) = (G; C).
Ejemplo 2. =(se lanza la moneda dos veces)= 
He aquí una descripción verbal de la experiencia y una lista de todos los acontecimientos elementales: significa que primero, en el primer lanzamiento de una moneda, cayó un escudo de armas, en el segundo, también cayó el escudo de armas; significa que el escudo apareció en el primer lanzamiento de la moneda, el número en el segundo, etc.
Ejemplo 3. En el sistema de coordenadas, los puntos se agrupan en un cuadrado. En este ejemplo, los eventos elementales son puntos con coordenadas que satisfacen las desigualdades dadas. Brevemente está escrito de la siguiente manera:
Dos puntos entre llaves significa que consta de puntos, pero no ninguno, sino solo aquellos que satisfacen la condición (o condiciones) especificada después de los dos puntos (en nuestro ejemplo, estas son desigualdades).
Ejemplo 4. Se lanza la moneda hasta que aparezca el primer escudo. En otras palabras, el lanzamiento de la moneda continúa hasta que sale cara. En este ejemplo, se pueden enumerar eventos elementales, aunque número infinito:
Tenga en cuenta que en los ejemplos 3 y 4, el espacio de eventos elementales tiene un número infinito de resultados. En el ejemplo 4 se pueden enumerar, es decir recalcular. A este conjunto se le llama contable. En el Ejemplo 3 el espacio es incontable.
Introduzcamos dos acontecimientos más que están presentes en cualquier experiencia y que son de gran importancia teórica.
Llamemos al evento imposible, a menos que, como resultado de la experiencia, necesariamente no ocurra. Lo denotaremos con el signo del conjunto vacío. Por el contrario, un evento que seguramente ocurrirá como resultado de la experiencia se llama confiable. Un evento confiable se designa de la misma manera que el propio espacio de eventos elementales: con la letra .
Por ejemplo, al lanzar dado un evento (obtener menos de 9 puntos) es confiable, y un evento (obtener exactamente 9 puntos) es imposible.
Entonces, se puede dar el espacio de eventos elementales. descripción verbal, enumerando todos sus eventos elementales, especificando las reglas o condiciones mediante las cuales se obtienen todos sus eventos elementales.
álgebra de eventos
Hasta ahora hemos hablado sólo de acontecimientos elementales como resultados directos de la experiencia. Sin embargo, en el marco de la experiencia, podemos hablar de otros eventos aleatorios, además de los elementales.
Ejemplo 5. Al lanzar un dado, además de los eventos elementales de que uno, dos,..., seis caigan respectivamente, podemos hablar de otros eventos: (caer de un número par), (caer de un número impar) , (eliminando un número que es múltiplo de tres), (eliminando un número menor que 4 ), y así sucesivamente. En este ejemplo, los eventos especificados, excepto tarea verbal, se puede especificar enumerando eventos elementales:
La formación de nuevos eventos a partir de eventos elementales, así como de otros, se lleva a cabo mediante operaciones (o acciones) sobre eventos.
Definición. El producto de dos eventos es un evento que consiste en que como resultado de un experimento sucederá Y evento , Y evento, es decir, ambos eventos ocurrirán juntos (simultáneamente).
A menudo se omite el signo de producto (punto):
Definición. La suma de dos eventos es un evento que consiste en que como resultado del experimento sucederá. o evento , o evento , o ambos juntos (al mismo tiempo).
En ambas definiciones enfatizamos deliberadamente las conjunciones Y Y o- para atraer la atención del lector sobre su discurso al resolver problemas. Si pronunciamos la conjunción “y”, entonces estamos hablando acerca de sobre la ocurrencia de eventos; Si se pronuncia la conjunción “o”, entonces se deben sumar los eventos. Al mismo tiempo, observamos que la conjunción "o" en el habla cotidiana se usa a menudo en el sentido de excluir uno de dos: "sólo o sólo". En la teoría de la probabilidad, no se supone tal excepción: y , y , y significan la ocurrencia de un evento
Si se obtienen enumerando eventos elementales, los eventos complejos se pueden obtener fácilmente utilizando las operaciones especificadas. Para obtenerlo, necesita encontrar todos los eventos elementales que pertenecen a ambos eventos; si no hay ninguno, entonces la Suma de Eventos también es fácil de componer: necesita tomar cualquiera de los dos eventos y agregarle aquellos eventos elementales; el otro evento que no están incluidos en el primero.
En el ejemplo 5 obtenemos, en particular
Las operaciones introducidas se llaman binarias, porque definido para dos eventos. La siguiente operación unaria (definida para un solo evento) es de gran importancia: el evento se llama opuesto evento si consiste en el hecho de que en una experiencia dada el evento no ocurrió. De la definición queda claro que cada evento y su opuesto tienen las siguientes propiedades: La operación ingresada se llama suma eventos a.
De ello se deduce que si se da mediante una lista de eventos elementales, entonces, conociendo la especificación del evento, es fácil obtener que esté compuesto por todos los eventos elementales del espacio que no pertenecen, por ejemplo, al evento.
Si no hay paréntesis, se establece la siguiente prioridad al realizar operaciones: suma, multiplicación, suma.
Entonces, con la ayuda de las operaciones introducidas, el espacio de eventos elementales se repone con otros eventos aleatorios que forman el llamado álgebra de eventos.
Ejemplo 6. El tirador disparó tres tiros al objetivo. Considere los eventos = (el tirador dio en el blanco cuando i-ésimo tiro), yo = 1,2,3.
Compongamos algunos eventos a partir de estos eventos (no nos olvidemos de los opuestos). No proporcionamos comentarios extensos; Creemos que el lector los realizará de forma independiente.
Evento B = (los tres disparos dan en el blanco). Más detalles: B = ( Y primero, Y segundo, Y el tercer disparo dio en el blanco). Unión usada Y, por tanto, los eventos se multiplican:
Asimismo:
C = (ninguno de los disparos dio en el blanco) 
E = (un disparo alcanzó el objetivo)
D = (objetivo alcanzado en el segundo disparo) = ;
F = (objetivo alcanzado por dos disparos)
N = (al menos un golpe dará en el blanco)
Como es sabido, en matemáticas gran importancia Tiene una interpretación geométrica de objetos, conceptos y fórmulas analíticos.
En teoría de la probabilidad, es conveniente representar visualmente (interpretación geométrica) la experiencia, los eventos aleatorios y las operaciones sobre ellos en la forma de los llamados Diagramas de Euler-Venn. La esencia es que cada experiencia se identifica (interpreta) con arrojar puntos a un cuadrado determinado. Los puntos se lanzan al azar, de modo que todos los puntos tienen las mismas posibilidades de caer en cualquier lugar de ese cuadrado. La plaza define el marco de la experiencia en cuestión. Cada evento dentro de la experiencia se identifica con un área determinada de la plaza. En otras palabras, la ocurrencia de un evento significa golpear punto aleatorio dentro del área indicada por la letra Entonces las operaciones sobre eventos se interpretan fácilmente geométricamente (Fig. 2)
| |
A: A + B: cualquiera
eclosión
En la Fig. 2 a) para mayor claridad, el evento A se resalta con sombreado vertical, el evento B con sombreado horizontal. Entonces, la operación de multiplicación corresponde a un doble sombreado: el evento corresponde a la parte del cuadrado que está cubierta por un doble sombreado. Además, si entonces se denominan eventos incompatibles. En consecuencia, la operación de suma corresponde a cualquier sombreado: el evento significa una parte del cuadrado sombreada por cualquier sombreado: vertical, horizontal y doble. En la Fig. 2 b) se muestra el evento; corresponde a la parte sombreada del cuadrado - todo lo que no está incluido en el área las operaciones introducidas tienen las siguientes propiedades básicas, algunas de las cuales son válidas para operaciones del mismo nombre. en números, pero también los hay específicos.
10 . conmutatividad de la multiplicación;
20 . conmutatividad de la suma;
treinta . asociatividad de la multiplicación;
4 0 . asociatividad de suma,
50 . distributividad de la multiplicación relativa a la suma,
6 0 . distributividad de la suma relativa a la multiplicación;
9 0 . 
Las leyes de la dualidad de Morgan.
10 0 . 
1 .A .A+ .A· =A, 1 .A+ . 1 .A· = , 1 .A+ =
Ejemplo 7. Ivan y Peter acordaron reunirse en un intervalo de tiempo de T hora, por ejemplo, (0,T). Al mismo tiempo, acordaron que cada uno de ellos, al llegar a la reunión, esperaría al otro no más de una hora.
Pongamos este ejemplo. interpretación geométrica. Denotamos: la hora de la llegada de Iván a la reunión; Hora de llegada de Peter a la reunión. Según lo acordado: 0 . Luego en el sistema de coordenadas obtenemos: = Es fácil notar que en nuestro ejemplo el espacio de eventos elementales es un cuadrado. 1
0 x corresponde a aquella parte del cuadrado que se ubica encima de esta recta. De manera similar, a la segunda desigualdad y≤x+ y; y no funciona si todos los elementos no funcionan, es decir 
.Así, la segunda ley de la dualidad de De Morgan: se cumple cuando coneccion paralela elementos.
El ejemplo anterior muestra por qué la teoría de la probabilidad se utiliza ampliamente en física, en particular, para calcular la confiabilidad de dispositivos técnicos reales.
INTRODUCCIÓN
Muchas cosas nos resultan incomprensibles no porque nuestros conceptos sean débiles;
sino porque estas cosas no están incluidas en el alcance de nuestros conceptos.
Kozma Prutkov
El objetivo principal de estudiar matemáticas en secundaria especializada. Instituciones educacionales es brindar a los estudiantes un conjunto de conocimientos y habilidades matemáticas necesarios para estudiar otras disciplinas del programa que utilizan las matemáticas en un grado u otro, para la capacidad de realizar cálculos prácticos, para la formación y desarrollo del pensamiento lógico.
En este trabajo se analizan todos los conceptos básicos de la sección de matemáticas “Fundamentos de la teoría de la probabilidad y la estadística matemática”, previstos por el programa y los Estándares Educativos Estatales de Educación Secundaria Profesional (Ministerio de Educación de la Federación de Rusia. M., 2002 ), se introducen constantemente, se formulan los teoremas principales, la mayoría de los cuales no están demostrados. Se consideran los principales problemas y métodos para resolverlos y las tecnologías para aplicar estos métodos a la resolución de problemas prácticos. La presentación va acompañada de comentarios detallados y numerosos ejemplos.
Las instrucciones metodológicas se pueden utilizar para la familiarización inicial con el material que se está estudiando, al tomar notas sobre conferencias, para prepararse para ejercicios practicos, para consolidar los conocimientos, habilidades y habilidades adquiridos. Además, el manual también será útil para los estudiantes de pregrado como herramienta de referencia, permitiéndoles recordar rápidamente lo estudiado previamente.
Al final del trabajo hay ejemplos y tareas que los estudiantes pueden realizar en modo de autocontrol.
Las pautas están destinadas a estudiantes a tiempo parcial y completo.
CONCEPTOS BÁSICOS
La teoría de la probabilidad estudia los patrones objetivos de eventos aleatorios masivos. Es la base teórica de la estadística matemática, que se ocupa del desarrollo de métodos para recopilar, describir y procesar resultados de observación. A través de observaciones (pruebas, experimentos), es decir. experiencia en En un amplio sentido Es decir, se produce el conocimiento de los fenómenos del mundo real.
En su actividades practicas A menudo nos encontramos con fenómenos cuyo resultado no se puede predecir y cuyo resultado depende del azar.
Un fenómeno aleatorio se puede caracterizar por la relación entre el número de sus ocurrencias y el número de ensayos en cada uno de los cuales, en las mismas condiciones de todos los ensayos, podría ocurrir o no ocurrir.
La teoría de la probabilidad es una rama de las matemáticas en la que se estudian fenómenos (eventos) aleatorios y se identifican patrones cuando se repiten en masa.
La estadística matemática es una rama de las matemáticas cuya materia es el estudio de los métodos de recopilación, sistematización, procesamiento y utilización de datos estadísticos para obtener conclusiones con base científica y tomar decisiones.
En este caso, se entiende por datos estadísticos un conjunto de números que representan las características cuantitativas de las características de los objetos en estudio que nos interesan. Los datos estadísticos se obtienen como resultado de experimentos y observaciones especialmente diseñados.
Los datos estadísticos por su naturaleza dependen de muchos factores aleatorios, por lo tanto estadística matemática Está estrechamente relacionado con la teoría de la probabilidad, que es su base teórica.
I. PROBABILIDAD. TEOREMAS DE SUMA Y MULTIPLICACIÓN DE PROBABILIDADES
1.1. Conceptos básicos de combinatoria.
En la rama de las matemáticas, que se denomina combinatoria, se resuelven algunos problemas relacionados con la consideración de conjuntos y la composición de diversas combinaciones de elementos de estos conjuntos. Por ejemplo, si tomamos 10 números diferentes 0, 1, 2, 3,:, 9 y hacemos combinaciones de ellos, obtendremos diferentes numeros, por ejemplo 143, 431, 5671, 1207, 43, etc.
Vemos que algunas de estas combinaciones difieren solo en el orden de los dígitos (por ejemplo, 143 y 431), otras, en los dígitos incluidos en ellas (por ejemplo, 5671 y 1207), y otras también difieren en el número de dígitos. (por ejemplo, 143 y 43).
Por tanto, las combinaciones resultantes satisfacen varias condiciones.
Dependiendo de las reglas de composición, se pueden distinguir tres tipos de combinaciones: permutaciones, colocaciones, combinaciones.
Primero familiaricémonos con el concepto. factorial.
El producto de todos los números naturales del 1 al n inclusive se llama n-factorial y escribe.
Calcular: a) ; b) ; V).
Solución. A) .
b) Desde 
, entonces podemos sacarlo de paréntesis
Entonces obtenemos
V) 
.
Reordenamientos.
Una combinación de n elementos que difieren entre sí sólo en el orden de los elementos se llama permutación.
Las permutaciones se indican con el símbolo p norte , donde n es el número de elementos incluidos en cada permutación. ( R- primera letra de una palabra francesa permutación- reordenamiento).
El número de permutaciones se puede calcular mediante la fórmula.
o usando factorial:
recordemos eso 0!=1 y 1!=1.
Ejemplo 2. ¿De cuántas maneras se pueden colocar seis libros diferentes en un estante?
Solución. El número requerido de formas es igual al número de permutaciones de 6 elementos, es decir
Colocaciones.
Publicaciones de metro elementos en norte en cada uno, se denominan compuestos que se diferencian entre sí por los elementos mismos (al menos uno) o por el orden de su disposición.
Las ubicaciones se indican con el símbolo, donde metro- el número de todos los elementos disponibles, norte- el número de elementos en cada combinación. ( A- primera letra Palabra francesa acuerdo, que significa “colocar, poner en orden”).
Al mismo tiempo, se cree que Nuevo Méjico.
El número de ubicaciones se puede calcular mediante la fórmula
,
aquellos. numero de todos posibles colocaciones de metro elementos por norte es igual al producto norte enteros consecutivos, de los cuales el mayor es metro.
Escribamos esta fórmula en forma factorial:
Ejemplo 3. ¿Cuántas opciones para distribuir tres vales a sanatorios de varios perfiles se pueden compilar para cinco solicitantes?
Solución. El número requerido de opciones es igual al número de ubicaciones de 5 elementos de 3 elementos, es decir
.
Combinaciones.
Las combinaciones son todas las combinaciones posibles de metro elementos por norte, que se diferencian entre sí en al menos un elemento (aquí metro Y norte- números naturales y m).
Número de combinaciones de metro elementos por norte se denotan por ( CON-la primera letra de una palabra francesa combinación- combinación).
EN caso general número de metro elementos por norte igual al número de colocaciones de metro elementos por norte, dividido por el número de permutaciones de norte elementos:
Usando fórmulas factoriales para los números de colocaciones y permutaciones, obtenemos:
Ejemplo 4. En un equipo de 25 personas, es necesario asignar cuatro para trabajar en un área determinada. ¿De cuántas maneras se puede hacer esto?
Solución. Dado que el orden de las cuatro personas elegidas no importa, hay formas de hacerlo.
Encontramos usando la primera fórmula.
.
Además, a la hora de resolver problemas se utilizan las siguientes fórmulas, que expresan las propiedades básicas de las combinaciones:
(por definición asumen y);
.
1.2. Resolver problemas combinatorios
Tarea 1. Hay 16 materias cursadas en la facultad. Necesitas incluir 3 materias en tu agenda para el lunes. ¿De cuántas maneras se puede hacer esto?
Solución. Hay tantas formas de programar tres elementos de 16 como puede organizar la ubicación de 16 elementos de 3 en 3.
Tarea 2. De 15 objetos, debes seleccionar 10 objetos. ¿De cuántas maneras se puede hacer esto?
Tarea 3. En la competición participaron cuatro equipos. ¿Cuántas opciones de distribución de asientos entre ellos son posibles?
.
Problema 4. ¿De cuántas maneras se puede formar una patrulla de tres soldados y un oficial si hay 80 soldados y 3 oficiales?
Solución. Puedes elegir un soldado de patrulla.
maneras, y oficiales en maneras. Dado que cualquier oficial puede ir con cada equipo de soldados, hay muchas maneras.
Tarea 5. Encuentra , si se sabe que .
Desde entonces obtenemos
,
,
Por definición de combinación se deduce que , . Eso. .
1.3. El concepto de evento aleatorio. Tipos de eventos. probabilidad de evento
Cualquier acción, fenómeno, observación con varios resultados diferentes, realizada cuando este complejo condiciones, llamaremos prueba.
El resultado de esta acción u observación se llama evento .
si el evento condiciones dadas puede suceder o no, se llama aleatorio . Cuando un evento es seguro que sucederá, se llama confiable , y en el caso en que obviamente no pueda suceder, - imposible.
Los eventos se llaman incompatible , si sólo es posible que aparezca uno de ellos cada vez.
Los eventos se llaman articulación , si, en determinadas condiciones, la ocurrencia de uno de estos eventos no excluye la ocurrencia de otro durante la misma prueba.
Los eventos se llaman opuesto , si bajo las condiciones de la prueba, siendo sus únicos resultados, son incompatibles.
Los eventos generalmente se indican con letras mayúsculas del alfabeto latino: A B C D, : .
Un sistema completo de eventos A 1 , A 2 , A 3 , : , An es un conjunto de eventos incompatibles, cuya ocurrencia de al menos uno de los cuales es obligatoria durante una prueba determinada.
Si un sistema completo consta de dos eventos incompatibles, entonces dichos eventos se denominan opuestos y se designan como A y .
Ejemplo. La caja contiene 30 bolas numeradas. Determine cuáles de los siguientes eventos son imposibles, confiables o contrarios:
sacó una bola numerada (A);
tengo una pelota con un número par (EN);
tengo una bola con un número impar (CON);
tengo una pelota sin número (D).
¿Cuáles de ellos forman un grupo completo?
Solución . A- evento confiable; D- evento imposible;
Y en CON- eventos opuestos.
El grupo completo de eventos consta de A Y D, V Y CON.
La probabilidad de un evento se considera como una medida. posibilidad objetiva ocurrencia de un evento aleatorio.
1.4. Definición clásica de probabilidad
Un número que expresa la medida de la posibilidad objetiva de que ocurra un evento se llama probabilidad este evento y está indicado por el símbolo REAL ACADEMIA DE BELLAS ARTES).
Definición. probabilidad del evento A se llama relación entre el número de resultados m favorables al ataque de este evento A, al número norte todos los resultados (inconsistentes, sólo posibles e igualmente posibles), es decir .
Por lo tanto, para encontrar la probabilidad de un evento, es necesario, después de considerar varios resultados de la prueba, calcular todos los posibles resultados inconsistentes. norte, Elija el número de resultados m que nos interesan y calcule la relación. metro A norte.
De esta definición se derivan las siguientes propiedades:
La probabilidad de cualquier prueba es un número no negativo que no excede uno.
De hecho, el número m de eventos requeridos está dentro de . Dividiendo ambas partes en norte, obtenemos
2. La probabilidad de un evento confiable es igual a uno, porque .
3. La probabilidad de un evento imposible es cero, ya que .
Problema 1. En una lotería de 1000 billetes, hay 200 ganadores. Se saca un boleto al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que este boleto sea ganador?
Solución. El número total de resultados diferentes es norte=1000. El número de resultados favorables para ganar es m=200. Según la fórmula, obtenemos
.
Problema 2. En un lote de 18 piezas hay 4 defectuosas. Se seleccionan 5 piezas al azar. Encuentre la probabilidad de que dos de estas 5 piezas estén defectuosas.
Solución. Número de todos los resultados independientes igualmente posibles norte igual al número de combinaciones de 18 por 5, es decir
Contemos el número m que favorece el evento A. Entre 5 piezas tomadas al azar, debe haber 3 buenas y 2 defectuosas. El número de formas de seleccionar dos piezas defectuosas entre 4 defectuosas existentes es igual al número de combinaciones de 4 por 2:
El número de formas de seleccionar tres piezas de calidad entre 14 piezas de calidad disponibles es igual a
.
Cualquier grupo de piezas buenas se puede combinar con cualquier grupo de piezas defectuosas, por lo que el número total de combinaciones metro asciende a
La probabilidad requerida del evento A es igual a la relación entre el número de resultados m favorables a este evento y el número n de todos los resultados independientes igualmente posibles:
.
Cantidad Número finito Eventos es un evento que consiste en la ocurrencia de al menos uno de ellos.
La suma de dos eventos se denota con el símbolo A+B, y la suma norte eventos con el símbolo A 1 +A 2 + : +A n.
Teorema de la suma de probabilidades.
La probabilidad de la suma de dos eventos incompatibles es igual a la suma de las probabilidades de estos eventos.
Corolario 1. Si el evento A 1, A 2, :,An forman un sistema completo, entonces la suma de las probabilidades de estos eventos es igual a uno.
Corolario 2. La suma de las probabilidades de eventos opuestos y es igual a uno.
.
Problema 1. Hay 100 billetes de lotería. Se sabe que con 5 billetes se ganan 20.000 rublos, con 10 billetes se ganan 15.000 rublos, con 15 billetes se ganan 10.000 rublos y con 25 billetes se ganan 2.000 rublos. y nada para el resto. Encuentre la probabilidad de que el boleto comprado reciba una ganancia de al menos 10,000 rublos.
Solución. Sean A, B y C eventos que consisten en que el billete comprado recibe una ganancia igual a 20.000, 15.000 y 10.000 rublos, respectivamente. Dado que los eventos A, B y C son incompatibles, entonces
Tarea 2. En extramuros escuela técnica recibe exámenes de matemáticas de ciudades A, B Y CON. Probabilidad de admisión trabajo de prueba de la ciudad A igual a 0,6, de la ciudad EN- 0.1. Encuentre la probabilidad de que la próxima prueba provenga de la ciudad. CON.
El surgimiento de la teoría de la probabilidad se remonta a mediados del siglo XVII siglo, cuando los matemáticos se interesaron por los problemas planteados por los jugadores y hasta entonces no estudiados en matemáticas. En el proceso de resolución de estos problemas, conceptos como probabilidad y valor esperado. Al mismo tiempo, los científicos de esa época, Huygens (1629-1695), Pascal (1623-1662), Fermat (1601-1665) y Bernoulli (1654-1705), estaban convencidos de que podían surgir patrones claros sobre la base de movimientos aleatorios masivos. eventos. Y sólo el estado de las ciencias naturales llevó al hecho de que juego Durante mucho tiempo siguieron siendo casi el único material concreto a partir del cual se crearon los conceptos y métodos de la teoría de la probabilidad. Esta circunstancia también dejó su huella en el aparato matemático formal mediante el cual se resolvían los problemas que surgían en la teoría de la probabilidad: se redujo exclusivamente a métodos aritméticos elementales y combinatorios.
Las serias exigencias de las ciencias naturales y la práctica social (la teoría de los errores de observación, los problemas de la teoría de los disparos, los problemas de la estadística, principalmente la estadística demográfica) llevaron a la necesidad mayor desarrollo teoría de la probabilidad y el uso de un aparato analítico más desarrollado. Papel particularmente significativo en el desarrollo. métodos analíticos Las teorías de la probabilidad fueron desarrolladas por Moivre (1667-1754), Laplace (1749-1827), Gauss (1777-1855), Poisson (1781-1840). Desde el lado analítico formal, la obra del creador de la geometría no euclidiana, Lobachevsky (1792-1856), dedicada a la teoría de los errores en las mediciones de una esfera y realizada con el objetivo de establecer un sistema geométrico que domine el universo. , es adyacente a esta misma dirección.
La teoría de la probabilidad, como otras ramas de las matemáticas, se desarrolló a partir de las necesidades de la práctica: en forma abstracta refleja los patrones inherentes a eventos aleatorios de naturaleza masiva. Estos patrones juegan exclusivamente papel importante en física y otras áreas de las ciencias naturales, una variedad de disciplinas técnicas, economía, sociología, biología. En relación con el desarrollo generalizado de empresas que producen productos en masa, los resultados de la teoría de la probabilidad comenzaron a utilizarse no solo para rechazar productos ya fabricados, sino también para organizar el proceso de producción en sí (control estadístico en la producción).
Conceptos básicos de la teoría de la probabilidad.
La teoría de la probabilidad explica y explora los diversos patrones que gobiernan los eventos aleatorios y las variables aleatorias. Evento Es cualquier hecho que puede afirmarse como resultado de la observación o la experiencia. La observación o experiencia es la realización de ciertas condiciones bajo las cuales puede ocurrir un evento.
La experiencia significa que el conjunto de circunstancias mencionado fue creado conscientemente. Durante la observación, el complejo observador de estas condiciones no la crea ni influye en ella. Es creado por las fuerzas de la naturaleza o por otras personas.
Lo que necesitas saber para determinar las probabilidades de eventos.
Todos los eventos que las personas observan o crean por sí mismas se dividen en:
- eventos confiables;
- eventos imposibles;
- eventos aleatorios.
Eventos confiables Siempre ocurre cuando se crea un cierto conjunto de circunstancias. Por ejemplo, si trabajamos, recibimos una recompensa por ello; si aprobamos los exámenes y aprobamos la competencia, podemos contar con seguridad con que nos incluirán en el número de estudiantes. Se pueden observar eventos confiables en física y química. En economía, los eventos confiables están asociados con la estructura social y la legislación existentes. Por ejemplo, si depositamos dinero en un banco y expresamos el deseo de recibirlo dentro de un cierto período de tiempo, entonces recibiremos el dinero. Se puede contar con esto como un evento confiable.
Eventos imposibles Definitivamente no ocurre si se ha creado un cierto conjunto de condiciones. Por ejemplo, el agua no se congela si la temperatura es de más de 15 grados centígrados y la producción no se realiza sin electricidad.
Eventos aleatorios Cuando se cumple un cierto conjunto de condiciones, pueden ocurrir o no. Por ejemplo, si lanzamos una moneda una vez, el escudo de armas puede caerse o no, un billete de lotería puede ganarse o no, un producto manufacturado puede ser defectuoso o no. La aparición de un producto defectuoso es un hecho aleatorio, más raro que la producción de productos adecuados.
La frecuencia esperada de ocurrencia de eventos aleatorios está estrechamente relacionada con el concepto de probabilidad. Los patrones de ocurrencia y no ocurrencia de eventos aleatorios se estudian mediante la teoría de la probabilidad.
si el complejo condiciones necesarias se implementa solo una vez, entonces no recibimos suficiente información sobre el evento aleatorio, ya que puede ocurrir o no. Si un conjunto de condiciones se implementa muchas veces, aparecen patrones conocidos. Por ejemplo, nunca es posible saber qué máquina de café en una tienda necesitará el próximo cliente, pero si se conocen las marcas de máquinas de café que tienen mayor demanda desde hace mucho tiempo, entonces en base a estos datos es posible saber organizar la producción o el suministro para satisfacer la demanda.
El conocimiento de los patrones que gobiernan los eventos aleatorios masivos nos permite predecir cuándo ocurrirán estos eventos. Por ejemplo, como se señaló anteriormente, es imposible predecir de antemano el resultado de lanzar una moneda al aire, pero si la moneda se lanza muchas veces, entonces es posible predecir que el escudo de armas se caerá. El error puede ser pequeño.
Los métodos de la teoría de la probabilidad se utilizan ampliamente en varias industrias Ciencias Naturales, física teórica, geodesia, astronomía, teoría control automatizado, teoría de la observación de errores y muchas otras teorías y ciencias practicas. La teoría de la probabilidad se utiliza ampliamente en la planificación y organización de la producción, el análisis de la calidad del producto, procesos tecnológicos, seguros, estadísticas de población, biología, balística y otras industrias.
Los eventos aleatorios generalmente se denotan en letras mayúsculas Alfabeto latino A, B, C, etc.
Los eventos aleatorios pueden ser:
- incompatible;
- articulación.
Los eventos A, B, C... se llaman incompatible , si como resultado de una prueba puede ocurrir uno de estos eventos, pero no pueden ocurrir dos o más eventos.
Si la ocurrencia de un evento aleatorio no excluye la ocurrencia de otro evento, entonces dichos eventos se llaman articulación . Por ejemplo, si se retira otra pieza de una cinta transportadora y el evento A significa "la pieza cumple con el estándar" y el evento B significa "la pieza no cumple con el estándar", entonces A y B son eventos incompatibles. Si el evento C significa “se toma una parte del grado II”, entonces este evento es conjunto con el evento A, pero incompatible con el evento B.
Si en cada observación (prueba) ocurre uno y sólo uno de los eventos aleatorios incompatibles, entonces estos eventos constituyen conjunto completo (sistema) de eventos .
Un evento confiable es la ocurrencia de al menos un evento de un conjunto completo de eventos.
Si los eventos que forman el conjunto completo de eventos inconsistente por pares , entonces, como resultado de la observación, solo puede ocurrir uno de estos eventos. Por ejemplo, un estudiante debe resolver dos problemas de prueba. Definitivamente sucederá uno y sólo uno de los siguientes eventos:
- el primer problema se resolverá y el segundo no se resolverá;
- el segundo problema se solucionará y el primero no se solucionará;
- ambos problemas serán resueltos;
- Ninguno de los problemas se resolverá.
Estos eventos forman un conjunto completo de eventos incompatibles .
Si el conjunto completo de eventos consta de sólo dos eventos incompatibles, entonces se llaman mutuamente opuestos o alternativa eventos.
El evento opuesto al evento se denota por . Por ejemplo, en el caso de un lanzamiento de moneda, puede aparecer la denominación () o el escudo de armas ().
Los eventos se llaman igualmente posible , si ninguno de ellos tiene ventajas objetivas. Tales acontecimientos constituyen también el conjunto completo de acontecimientos. Esto significa que como resultado de la observación o prueba, definitivamente debe ocurrir al menos uno de los siguientes. posibles eventos.
Por ejemplo, un grupo completo de eventos está formado por la pérdida de la denominación y el emblema durante un lanzamiento de moneda, la presencia de 0, 1, 2, 3 y más de 3 errores en una página de texto impresa.
Definiciones y propiedades de la probabilidad.
Definición clásica de probabilidad. Una oportunidad o un caso favorable es un caso en el que, durante la implementación de un cierto conjunto de circunstancias, un evento A suceder. La definición clásica de probabilidad implica calcular directamente el número de casos u oportunidades favorables.
Clásica y probabilidad estadística. Fórmulas de probabilidad: clásicas y estadísticas.
probabilidad del evento A Llame a la relación entre el número de oportunidades favorables para este evento y el número de todos los eventos incompatibles igualmente posibles. norte que puede ocurrir como resultado de un solo ensayo u observación. Fórmula de probabilidad eventos A:
Si está completamente claro de qué probabilidad de un evento estamos hablando, entonces la probabilidad se indica con una letra minúscula. pag, sin especificar la designación del evento.
Para calcular la probabilidad por definición clásica, es necesario encontrar el número de todos los eventos incompatibles igualmente posibles y determinar cuántos de ellos son favorables a la definición del evento. A.
Ejemplo 1. Calcula la probabilidad de obtener el número 5 al lanzar un dado.
Solución. Se sabe que las seis caras tienen las mismas posibilidades de acabar en lo más alto. El número 5 está marcado en un solo lado. El número de todos los eventos incompatibles igualmente posibles es 6, de los cuales sólo una posibilidad favorable es el número 5 ( METRO= 1). Esto significa que la probabilidad deseada de sacar el número 5
Ejemplo 2. Una caja contiene 3 bolas rojas y 12 blancas del mismo tamaño. Se tomó una pelota sin mirar. Calcula la probabilidad de que se tome la bola roja.
Solución. Probabilidad requerida
Encuentre las probabilidades usted mismo y luego vea la solución.
Ejemplo 3. Se tiran los dados. Evento B- sacar un número par. Calcule la probabilidad de este evento.
Ejemplo 5. En una urna hay 5 bolas blancas y 7 negras. Se extrae 1 bola al azar. Evento A- Se saca una bola blanca. Evento B- Se saca una bola negra. Calcule las probabilidades de estos eventos.
La probabilidad clásica también se llama probabilidad previa, ya que se calcula antes del inicio de la prueba u observación. De la naturaleza a priori de la probabilidad clásica se deduce que principal inconveniente: sólo en casos raros, antes del inicio de la observación, es posible calcular todos los eventos incompatibles igualmente posibles, incluidos los eventos favorables. Estas oportunidades suelen surgir en situaciones similares a los juegos.
Combinaciones. Si la secuencia de eventos no es importante, el número de eventos posibles se calcula como el número de combinaciones:
Ejemplo 6. Hay 30 estudiantes en el grupo. Tres estudiantes deben dirigirse al departamento de informática para recoger y traer una computadora y un proyector. Calcule la probabilidad de que tres estudiantes específicos hagan esto.
Solución. Calculamos el número de eventos posibles usando la fórmula (2):
La probabilidad de que tres estudiantes específicos vayan al departamento:
Ejemplo 7. Vendido 10 teléfonos móviles. 3 de ellos tienen defectos. El comprador eligió 2 teléfonos. Calcule la probabilidad de que ambos teléfonos seleccionados tengan defectos.
Solución. El número de todos los eventos igualmente posibles se encuentra usando la fórmula (2):
Usando la misma fórmula encontramos el número de oportunidades favorables para un evento:
La probabilidad deseada de que ambos teléfonos seleccionados tengan defectos.
