Encontrar las raíces de un trinomio cuadrado. Ubicación de las raíces del trinomio cuadrático.

Trinomio cuadrado se llama trinomio de la forma a*x 2 +b*x+c, donde a,b,c son algunos números reales arbitrarios y x es una variable. Además, el número a no debe ser igual a cero.

Los números a,b,c se llaman coeficientes. El número a se llama coeficiente principal, el número b es el coeficiente de x y el número c se llama término libre.

Raíz de un trinomio cuadrado a*x 2 +b*x+c es cualquier valor de la variable x tal que el trinomio cuadrado a*x 2 +b*x+c desaparece.

Para encontrar las raíces de un trinomio cuadrático, es necesario resolver una ecuación cuadrática de la forma a*x 2 +b*x+c=0.

Cómo encontrar las raíces de un trinomio cuadrático

Para solucionar esto, puedes utilizar uno de los métodos conocidos.

• 1 vía.

Encontrar las raíces de un trinomio cuadrado usando la fórmula.

1. Encuentre el valor del discriminante usando la fórmula D =b 2 -4*a*c.

2. Dependiendo del valor del discriminante, calcule las raíces mediante las fórmulas:

Si D > 0, entonces el trinomio cuadrático tiene dos raíces.

x = -b±√D / 2*a

Si D< 0, entonces el trinomio cuadrado tiene una raíz.

Si el discriminante es negativo, entonces el trinomio cuadrático no tiene raíces.

• Método 2.

Encontrar las raíces de un trinomio cuadrático aislando el cuadrado perfecto. Veamos el ejemplo del trinomio cuadrático dado. Una ecuación cuadrática reducida cuyo coeficiente principal es igual a uno.

Encontremos las raíces del trinomio cuadrático x 2 +2*x-3. Para ello, resolvemos la siguiente ecuación cuadrática: x 2 +2*x-3=0;

Transformemos esta ecuación:

En el lado izquierdo de la ecuación hay un polinomio x 2 +2*x, para poder representarlo como un cuadrado de la suma necesitamos que haya otro coeficiente igual a 1. Sumando y restando 1 a esta expresión, obtenemos :

(x 2 +2*x+1) -1=3

Lo que se puede representar entre paréntesis como el cuadrado de un binomio

Esta ecuación se divide en dos casos: x+1=2 o x+1=-2.

En el primer caso obtenemos la respuesta x=1, y en el segundo, x=-3.

Respuesta: x=1, x=-3.

Como resultado de las transformaciones, necesitamos obtener el cuadrado del binomio en el lado izquierdo y un cierto número en el lado derecho. El lado derecho no debe contener una variable.

Tema de la lección: "Trinomio cuadrado y sus raíces".

Propósito de la lección: presentar a los estudiantes el concepto de trinomio cuadrado y sus raíces, mejorar sus habilidades en la resolución de problemas para aislar el cuadrado de un binomio de un trinomio cuadrado.

La lección incluye cuatro etapas principales:

control del conocimiento

Explicación del nuevo material.

Consolidación reproductiva.

Refuerzo del entrenamiento.

Reflexión.

Etapa 1. Control del conocimiento.

El docente realiza un dictado matemático “al carbón” a partir del material del ciclo anterior. Para el dictado se utilizan tarjetas de dos colores: azul para 1 opción, rojo para 2 opciones.

De los modelos analíticos de funciones dados, seleccione solo los cuadráticos.

Opción 1. y=ax+4, y=45-4x, y=x²+4x-5, y=x³+x²-1.

Opción 2. y=8x-b, y=13+2x, y= -x²+4x, y=-x³+4x²-1.

Dibujar funciones cuadráticas. ¿Es posible determinar de forma única la posición de una función cuadrática en el plano coordenado? Intenta justificar tu respuesta.

Resolver ecuaciones cuadráticas.

Opción 1. a) x² +11x-12=0

B) x² +11x =0

Opción 2. a) x² -9x+20=0

B)x²-9x=0

4. Sin resolver la ecuación, descubre si tiene raíces.

Opción 1. A) x² + x +12=0

Opción 2. A) x² + x - 12=0

El profesor comprueba las respuestas recibidas de los dos primeros pares. Las respuestas incorrectas recibidas se discuten con toda la clase.

Etapa 2. Creemos un clúster. ¿Qué asociaciones tienes al considerar el trinomio cuadrático?

Creando un clúster.

Posibles respuestas:

el trinomio cuadrático se utiliza para considerar cuadrados. funciones;

puedes encontrar los ceros del cuadrado. funciones

Usando el valor discriminante, estime el número de raíces.

Describir procesos reales, etc.

Explicación de material nuevo.

Párrafo 2. cláusula 3 págs. 19-22.

Se consideran expresiones y se da la definición de un trinomio cuadrático y la raíz de un polinomio (durante la discusión de las expresiones discutidas anteriormente)

Se formula la definición de la raíz de un polinomio.

Se formula la definición de trinomio cuadrático.

Se analizan ejemplos de resolución de un trinomio:

Encuentra las raíces de un trinomio cuadrático.

Aislamos el binomio cuadrado del trinomio cuadrado.

3x²-36x+140=0.

Se elabora un diagrama de la base aproximada de la acción.

Algoritmo para separar un binomio de un trinomio cuadrado.

1. Determine el valor numérico del coeficiente del cuadrado principal. trinomio.

2. Realizar idéntico y 2. Transformar la expresión,

transformaciones equivalentes usando fórmulas

(poner entre paréntesis el factor común; el cuadrado de la suma y la diferencia.

convertir la expresión entre paréntesis

construyéndolo hasta la fórmula para el cuadrado de la suma

o diferencia)

a²+2ab+b²= (a+c)² a²-2ab+b²= (a-c)²

Etapa 3. Resolución de tareas típicas del libro de texto (nº 60 a, c; 61 a, 64 a, c) Se realizan en la pizarra y se comentan.

Etapa 4. Trabajo independiente en 2 opciones (No. 60a, b; 65 a, b). Los estudiantes verifican las soluciones de muestra en la pizarra.

Tarea: P.3 (aprende la teoría, No. 56, 61g, 64g)

Reflexión. El profesor asigna la tarea: evalúa tu progreso en cada etapa de la lección utilizando un dibujo y entrégaselo al profesor. (la tarea se completa en hojas separadas, se proporciona una muestra).

Muestra:

Usando el orden de los elementos en la imagen, determine en qué etapa de la lección prevaleció su ignorancia. Resalte esta etapa en rojo.

La práctica de los exámenes de matemáticas muestra que los problemas con parámetros son los más difíciles, tanto lógica como técnicamente, y por tanto la capacidad de resolverlos determina en gran medida la aprobación exitosa de un examen en cualquier nivel.

En los problemas de parámetros, junto con las cantidades desconocidas, aparecen cantidades cuyos valores numéricos, aunque no se indican específicamente, se consideran conocidos y especificados en un conjunto numérico determinado. En este caso, los parámetros incluidos en la condición influyen significativamente en el curso lógico y técnico de la solución y en la forma de la respuesta. Estos problemas se pueden encontrar en el libro "514 Problemas con parámetros". En la literatura sobre matemáticas elementales hay muchos libros de texto, libros de problemas y manuales metodológicos que contienen problemas con parámetros. Pero la mayoría de ellos cubren una gama limitada de temas, poniendo el énfasis principal en la receta, más que en la lógica de la solución de los problemas. Además, los libros de mayor éxito se han convertido desde hace mucho tiempo en una rareza bibliográfica. Al final del trabajo hay una lista de libros, cuyos artículos ayudaron a compilar una clasificación de declaraciones sobre el tema del trabajo. El más significativo es el manual de A. Kh. Shahmeister Ecuaciones y desigualdades con parámetros.

El objetivo principal de este trabajo es llenar algunos vacíos importantes en el curso de álgebra básica y establecer los hechos del uso de las propiedades de una función cuadrática, lo que puede simplificar significativamente la solución de problemas relacionados con la ubicación de las raíces de una ecuación cuadrática con respecto a algunos puntos característicos.

Objetivos del puesto:

Establecer posibles casos de ubicación de las raíces de un trinomio cuadrado en la recta numérica;

Identificar algoritmos que permitan resolver ecuaciones cuadráticas con un parámetro basado en la ubicación de las raíces de un trinomio cuadrático en la recta numérica;

Aprender a resolver problemas de mayor complejidad que el nivel requerido; dominar una serie de habilidades matemáticas técnicas e intelectuales al nivel de su libre uso; mejorar la cultura matemática como parte del curso de matemáticas escolar.

Objeto de estudio: ubicación de las raíces de un trinomio cuadrado sobre una recta coordenada.

Tema de investigación: ecuaciones cuadráticas con parámetro.

Métodos de investigación. Los principales métodos de estudio de problemas con un parámetro: analítico, gráfico y combinado (funcional - gráfico). El análisis es un método de solución directa, que repite procedimientos estándar para encontrar la respuesta en problemas sin parámetro. Gráfico es un método que utiliza gráficos en el plano de coordenadas (x; y). La claridad del método gráfico ayuda a encontrar una forma rápida de resolver un problema. De estos dos métodos, el último no sólo es elegante, sino también el más importante, ya que muestra la relación entre todo tipo de modelos matemáticos: una descripción verbal del problema, un modelo geométrico - una gráfica de un trinomio cuadrático, un análisis modelo: una descripción de un modelo geométrico mediante un sistema de desigualdades compilado sobre la base de enunciados matemáticos identificados a partir de la gráfica de una función cuadrática.

En muchos casos, resolver ecuaciones cuadráticas con un parámetro conduce a transformaciones engorrosas. Hipótesis: utilizar las propiedades de una función cuadrática simplificará significativamente la solución, reduciéndola a resolver desigualdades racionales.

Parte principal. La ubicación de las raíces de un trinomio cuadrático en la línea de coordenadas.

Consideremos algunas afirmaciones relacionadas con la ubicación de las raíces del trinomio cuadrado f(x)=ax2+bx+c en la recta numérica relativa a los puntos m y n tales que m

x1 y x2 son las raíces del trinomio cuadrático,

D=b2-4ac- discriminante de un trinomio cuadrado, D≥0.

m, n, m1, m2, n1, n2 - números dados.

Todos los argumentos se consideran para a>0, el caso para a

Declaración uno

Para que el número m quede ubicado entre las raíces del trinomio cuadrado (x1

Prueba.

proporcionado x1

Interpretación geométrica

Sean x1 y x2 las raíces de la ecuación. Para a > 0 f(x)

Problema 1. ¿Para qué valores de k la ecuación x2-(2k+1)x + 3k-4=0 tiene dos raíces, una de las cuales es menor que 2 y la otra es mayor que 2?

Solución. f(x)=x2-(2k+1)x + 3k-4; x1

Para k>-2, la ecuación x2-(2k+1)x + 3k-4=0 tiene dos raíces, una de las cuales es menor que 2 y la otra es mayor que 2.

Respuesta: k>-2.

Problema 2. ¿Para qué valores de k la ecuación kx2+(3k-2)x + k-3=0 tiene raíces de diferentes signos?

Este problema se puede formular de la siguiente manera: ¿para qué valores de k se encuentra el número 0 entre las raíces de esta ecuación?

Solución (1 vía) f(x)= kx2+(3k-2)x + k-3; x1

Método 2 (usando el teorema de Vieta). Si una ecuación cuadrática tiene raíces (D>0) y c/a

Problema 3. ¿Para qué valores de k la ecuación (k2-2)x2+(k2+k-1)x – k3+k2=0 tiene dos raíces, una de las cuales es menor que k y la otra es mayor que k?

f(x)=(k2-2)x2+(k2+k-1)x – k3+k2; x1 Sustituyendo los valores de k del conjunto encontrado, nos aseguramos de que para estos valores de k D>0.

Declaración dos (a)

Para que las raíces de un trinomio cuadrado sean menores que el número m (x1

Prueba: x1-m>0, x2-m 0; m2-mx1-mx2+x1x2>0; m2-(x1+x2)m+x1x2

Problema 4. ¿En qué valores del parámetro son las raíces de la ecuación x2-(3k+1)x+2k2+4k-6=0 menores que -1?

D≥0; (3k+1)2-4(2k2+4k-6) ≥0; (k-5)2≥0; k- cualquiera; x0-3/2; k0. 1+(3k+1)+(2k2+4k-6)>0. 2(k+4)(k-1/2)>0. k1/2

Declaración dos (b)

Para que las raíces de un trinomio cuadrado sean mayores que el número m (m

D ≥0; x0>m; af(m)>0.

Si la condición m m. Como m no pertenece al intervalo (x1; x2), entonces f(m) > O para a > 0 y f(m)

Por el contrario, dejemos que se satisfaga el sistema de desigualdades. La condición D > 0 implica la existencia de raíces x1 y x2 (x1 m.

Queda por demostrar que x1 > m. Si D = 0, entonces x1 = x2 > m. Si D > 0, entonces f(x0) = -D/4a y af(x0) 0, por lo tanto, en los puntos x0 y m la función toma valores de signos opuestos y x1 pertenece al intervalo (m; x0).

Problema 5. ¿Para qué valores del parámetro m son las raíces de la ecuación x2-(3m+1)x+2m2+4m-6=0 a) mayores que 1? b) menos de -1?

Solución a) D≥0; D≥0; (3m+1)2-4(2m2+4m-6) ≥0; x0>m; x0>1; ½(3m+1)>1; f(m)>0. f(1)>0. 1-(3m+1)+(2m2+4m-6)>0.

(m-5)2≥0; metro - cualquier metro>1/3; m>1/3;

(2km-3)(m+2)>0. m3/2. Respuesta: m>3/2.

b) D≥0; (3m+1)2-4(2m2+4m-6)≥0; (m-5)2 ≥0; m - cualquier x0-3/2; m0. 1+(3m+1)+(2m2+4m-6)>0. 2(m+4)(m-1/2)>0. m1/2.

Problema 6. ¿En qué valores del parámetro las raíces de la ecuación kx2-(2k +1)x+3 k -1=0 son mayores que 1?

Solución. Evidentemente, el problema equivale al siguiente: ¿para qué valores del parámetro m las raíces de un trinomio cuadrático son mayores que 1?

D≥0; D≥0 (2k+1)2-4k (3k-1) ≥0; 8k2-8k-1≤0; x0>m; x0>1 (2k+1)/ (2k) >1; 2k+1 > 2k; af(m)>0. af(1)>0. k(k-(2k+1)+(3k-1)) >0. 2k2-2k>0.

Resolviendo este sistema encontramos que

Declaración tres

Para que las raíces de un trinomio cuadrado sean mayores que el número m y menores que n (m

D ≥0; metro 0 af(n)>0.

Observemos los rasgos característicos del gráfico.

1) La ecuación tiene raíces, lo que significa D > 0.

2) El eje de simetría se encuentra entre las rectas x = m y x = n, lo que significa m

3) En los puntos x = m y x = n, la gráfica se ubica por encima del eje OX, por lo tanto f(m) > 0 y f(n) > 0 (en m

Las condiciones enumeradas anteriormente (1; 2; 3) son necesarias y suficientes para los valores de parámetros deseados.

Problema 7. ¿Para qué m x2-2mx+m2-2m+5=0 los números no superan 4 en valor absoluto?

Solución. La condición del problema se puede formular de la siguiente manera: ¿para qué sirve m la relación -4?

Encontramos los valores de m del sistema.

D > 0; m2 - (m2 – 2m + 5) ≥ 0;

4 ≤ x0 ≤ 4; -4≤metro≤4; f(-4)≥ 0; 16 + 8m+ m2 – 2m + 5 ≥ 0; f(4)≥0; 16-8m + m2-2m + 5 ≥0; cuya solución es el segmento. Respuesta: m.

Problema 8. ¿Para qué valores de m son las raíces del trinomio cuadrático?

(2m - 2)x2 + (m+1)x + 1 es mayor que -1, pero menor que 0?

Solución. Los valores de m se pueden encontrar en el sistema.

D≥0; (m+1)2-4(2m-2) ≥ 0;

(2m - 2)/(-1) > 0 (2m -2)(2m -2 -m -1 +1) > 0;

(2m-2)f(0)>0; (2m-2)>0;

Respuesta: m > 2.

Declaración cuatro

Para que la raíz menor del trinomio cuadrado pertenezca al intervalo (m;n), y la mayor no pertenezca al (m

D ≥0; af(m)>0 af(n)

La gráfica de un trinomio cuadrático corta el eje OX exactamente una vez en el intervalo (m; n). Esto significa que en los puntos x=m y x=n el trinomio cuadrado toma valores de diferentes signos.

Problema 10. ¿Para qué valores del parámetro a solo la raíz más pequeña de la ecuación cuadrática x2+2ax+a=0 pertenece al intervalo X(0;3)?

Solución. Considere el trinomio cuadrático y(x) = x2-2ax+a. La gráfica es una parábola. Las ramas de la parábola se dirigen hacia arriba. Sea x1 la raíz menor del trinomio cuadrado. Según las condiciones del problema, x1 pertenece al intervalo (0;3). Representaremos un modelo geométrico del problema que cumpla con las condiciones del problema.

Pasemos al sistema de desigualdades.

1) Observamos que y(0)>0 y y(3) 0. Por lo tanto, no es necesario escribir esta condición en el sistema de desigualdades.

Entonces, obtenemos el siguiente sistema de desigualdades:

Respuesta: a>1,8.

Declaración cuatro (b)

Para que la raíz mayor del trinomio cuadrado pertenezca al intervalo (m; n), y la menor no pertenezca al (x1

D ≥0; af(m) 0.

Declaración cuatro (combinada)

Comentario. Formule el problema de la siguiente manera: ¿para qué valores del parámetro una raíz de la ecuación pertenece al intervalo (b;m) y la otra no? Para resolver este problema, no es necesario distinguir entre dos subcasos, encontramos la respuesta a partir de la desigualdad f(m) f(n);

D ≥0; f(m) f(n)

Problema 11. Para qué m solo una raíz de la ecuación x2-mх+6=0 satisface la condición 2

Solución. Con base en el enunciado 4(b), encontramos el valor de m a partir de la condición f(2)f(5) (10 – 2m)(31 – 5m) m2 - 24 = 0, es decir, para m = ±2√6, Para m = -2√6 x = - √6, que no pertenece al intervalo (2; 5), con m = 2√6 x =√6, perteneciente al intervalo (2; 5).

Respuesta: m (2√6) U (5; 31/5).

Declaración cinco

Para que las raíces de un trinomio cuadrático satisfagan la relación (x1

D ≥0; af(m)Problema 12. Encuentre todos los valores de m para los cuales la desigualdad x2+2(m-3)x + m2-6m

Solución. Por condición, el intervalo (0; 2) debe estar contenido en el conjunto de soluciones a la desigualdad x2 + 2(m - 3)x + m2 – 6m Con base en el enunciado 5, encontramos los valores de m del sistema de desigualdades f(0) ≤ 0;m2-6m ≤ 0; m f(2) ≤ 0. 4 + 4(m-3) + m2-6m ≤ 0. m [-2;4], de donde m.

Respuesta: m.

Declaración seis

Para que la raíz menor del trinomio cuadrado pertenezca al intervalo (m1; m2) y la raíz mayor pertenezca al intervalo (n1; n2) (m2

D ≥0; af(m1)>0; af(m2)Esta declaración es una combinación de las declaraciones 4a y 4b. Las dos primeras desigualdades garantizan que x1(m1, n1), y las dos últimas desigualdades garantizan que x2(m2, n2),

Problema 13. ¿En qué m se encuentra una de las raíces de la ecuación x2 - (2m + l)x + m2 + m- 2 = 0 ubicada entre los números 1 y 3, y la segunda, entre los números 4 y 6?

Solución. 1 vía. Considerando que a = 1, los valores de m se pueden encontrar a partir del sistema f(1) > 0; 1 -2m- 1+m2 + m-2 >0; m2-m-2>0 m (-∞;-1) U (2;+∞) f(3)

4(4) 0; 36-12m-6 + m2 + m-2 0 m (-∞;4)U (7;+∞), de donde m(2; 4).

Respuesta: m(2; 4).

Así, hemos establecido afirmaciones relacionadas con la ubicación de las raíces del trinomio cuadrado f(x)=ax2+bx+ en la recta numérica con respecto a ciertos puntos.

Conclusión

En el transcurso de mi trabajo, dominé una serie de habilidades técnicas y matemáticas a nivel de uso libre y mejoré mi cultura matemática como parte del curso de matemáticas de la escuela.

Como resultado del trabajo se logró el objetivo: se establecieron las propiedades de la función cuadrática, que permiten simplificar significativamente la solución de problemas relacionados con la ubicación de las raíces de una ecuación cuadrática con respecto a ciertos puntos característicos. Se establecen posibles casos de ubicación de las raíces de un trinomio cuadrado en la recta numérica. Se han identificado algoritmos que permiten resolver ecuaciones cuadráticas con un parámetro basado en la ubicación de las raíces de un trinomio cuadrático en la recta numérica; Se resolvieron tareas de mayor complejidad que el nivel requerido. La obra presenta solución a sólo 12 problemas debido al número limitado de páginas de la obra. Por supuesto, los problemas discutidos en el trabajo se pueden resolver de otras maneras: usando fórmulas para las raíces de una ecuación cuadrática, usando la propiedad de las raíces (teorema de Vieta).

De hecho, se resolvieron una cantidad importante de problemas. Por lo tanto, se decidió crear una colección de problemas sobre el tema del trabajo de diseño e investigación “Solucionador de problemas sobre la aplicación de las propiedades de un trinomio cuadrado relacionadas con la ubicación de sus raíces en la recta de coordenadas”. Además, el resultado del trabajo (producto del trabajo de diseño e investigación) es una presentación por computadora que se puede utilizar en las clases de la asignatura optativa “Resolución de problemas con parámetros”.

Encontrar las raíces de un trinomio cuadrático

Objetivos: introducir el concepto de trinomio cuadrático y sus raíces; Desarrollar la capacidad de encontrar las raíces de un trinomio cuadrático.

Progreso de la lección

I. Momento organizativo.

II. Trabajo oral.

¿Cuál de los números: –2; –1; 1; 2-son las raíces de las ecuaciones?

a) 8 incógnita+ 16 = 0; V) incógnita 2 + 3incógnita – 4 = 0;

segundo) 5 incógnita 2 – 5 = 0; GRAMO) incógnita 3 – 3incógnita – 2 = 0.

III. Explicación de material nuevo.

La explicación del material nuevo debe realizarse de acuerdo con el siguiente esquema:

1) Introducir el concepto de raíz de un polinomio.

2) Introducir el concepto de trinomio cuadrático y sus raíces.

3) Analizar la cuestión del número posible de raíces de un trinomio cuadrado.

La cuestión de aislar el cuadrado de un binomio de un trinomio cuadrado se analiza mejor en la siguiente lección.

En cada etapa de explicación de material nuevo, es necesario ofrecer a los estudiantes una tarea oral para evaluar su comprensión de los puntos principales de la teoría.

Tarea 1. ¿Cuál de los números: –1; 1; ; 0 – son las raíces del polinomio incógnita 4 + 2incógnita 2 – 3?

Tarea 2. ¿Cuáles de los siguientes polinomios son trinomios cuadráticos?

1) 2incógnita 2 + 5incógnita – 1; 6) incógnita 2 – incógnita – ;

2) 2incógnita – ; 7) 3 – 4incógnita + incógnita 2 ;

3) 4incógnita 2 + 2incógnita + incógnita 3 ; 8) incógnita + 4incógnita 2 ;

4) 3incógnita 2 – ; 9) + 3incógnita – 6;

5) 5incógnita 2 – 3incógnita; 10) 7incógnita 2 .

¿Qué trinomios cuadráticos tienen raíz de 0?

Tarea 3. ¿Puede un trinomio cuadrado tener tres raíces? ¿Por qué? ¿Cuántas raíces tiene un trinomio cuadrado? incógnita 2 + incógnita – 5?

IV. Formación de habilidades y destrezas.

Ceremonias:

1. № 55, № 56, № 58.

2. N° 59 (a, c, d), N° 60 (a, c).

En esta tarea no necesitas buscar las raíces de trinomios cuadráticos. Basta encontrar su discriminante y responder a la pregunta planteada.

a) 5 incógnita 2 – 8incógnita + 3 = 0;

D 1 = 16 – 15 = 1;

D 1 0, lo que significa que este trinomio cuadrático tiene dos raíces.

segundo) 9 incógnita 2 + 6incógnita + 1 = 0;

D 1 = 9 – 9 = 0;

D 1 = 0, lo que significa que el trinomio cuadrado tiene una raíz.

c) –7 incógnita 2 + 6incógnita – 2 = 0;

7incógnita 2 – 6incógnita + 2 = 0;

D 1 = 9 – 14 = –5;

Si queda tiempo, puedes hacer el número 63.

Solución

Dejar hacha 2 + bx + do es un trinomio cuadrático dado. Porque a+ b +
+c= 0, entonces una de las raíces de este trinomio es igual a 1. Según el teorema de Vieta, la segunda raíz es igual a . Según la condición, Con = 4A, entonces la segunda raíz de este trinomio cuadrático es igual a
.

RESPUESTA: 1 y 4.

V. Resumen de la lección.

Preguntas frecuentes:

– ¿Cuál es la raíz de un polinomio?

– ¿Qué polinomio se llama trinomio cuadrático?

– ¿Cómo encontrar las raíces de un trinomio cuadrático?

– ¿Cuál es el discriminante de un trinomio cuadrático?

– ¿Cuántas raíces puede tener un trinomio cuadrado? ¿De qué depende esto?

Tarea: N° 57, N° 59 (b, d, f), N° 60 (b, d), N° 62.

Puedes encontrar la raíz de un trinomio cuadrado usando el discriminante. Además, para el polinomio reducido de segundo grado se aplica el teorema de Vieta, basado en la relación de los coeficientes.

Instrucciones

• Las ecuaciones cuadráticas son un tema bastante extenso en el álgebra escolar. El lado izquierdo de dicha ecuación es un polinomio de segundo grado de la forma A x² + B x + C, es decir una expresión de tres monomios de distintos grados de x desconocida. Para encontrar la raíz de un trinomio cuadrado, debes calcular el valor de x en el que esta expresión es igual a cero.
• Para resolver una ecuación cuadrática, necesitas encontrar el discriminante. Su fórmula es consecuencia de aislar el cuadrado completo del polinomio y representa una determinada proporción de sus coeficientes: D = B² – 4 A C.
• El discriminante puede adoptar varios valores, incluido el de ser negativo. Y si los escolares más jóvenes pueden decir con alivio que tal ecuación no tiene raíces, entonces los estudiantes de secundaria ya pueden determinarlas basándose en la teoría de los números complejos. Así, puede haber tres opciones: Discriminante – un número positivo. Entonces las raíces de la ecuación son iguales: x1 = (-B + √D)/2 A; x2 = (-B - √D)/2A;
  El discriminante fue a cero. Teóricamente, en este caso la ecuación también tiene dos raíces, pero prácticamente son iguales: x1 = x2 = -B/2 A;
  El discriminante es menor que cero. Se introduce en el cálculo un determinado valor i² = -1, lo que nos permite escribir una solución compleja: x1 = (-B + i √|D|)/2 A; x2 = (-B - i √|D|)/2 A.
• El método discriminante es válido para cualquier ecuación cuadrática, pero hay situaciones en las que es recomendable utilizar un método más rápido, especialmente para coeficientes enteros pequeños. Este método se llama teorema de Vieta y consta de un par de relaciones entre los coeficientes del trinomio reducido: x² + P x + Q
  x1 + x2 = -P;
  x1 x2 = Q. Sólo queda encontrar las raíces.
• Cabe señalar que la ecuación se puede reducir a una forma similar. Para hacer esto, debes dividir todos los términos del trinomio por el coeficiente de la potencia más alta A: A x² + B x + C |A
  x² + B/A x + C/A
  x1 + x2 = -B/A;
  x1 x2 = C/A.