Degradado funciones– una cantidad vectorial, cuya determinación está asociada a la determinación de las derivadas parciales de la función. La dirección del gradiente indica la ruta de crecimiento más rápido de la función de un punto del campo escalar a otro.
Instrucciones
1. Para resolver el problema del gradiente de una función se utilizan métodos de cálculo diferencial, es decir, encontrar derivadas parciales de primer orden con respecto a tres variables. Se supone que la función misma y todas sus derivadas parciales tienen la propiedad de continuidad en el dominio de definición de la función.
2. El gradiente es un vector, cuya dirección indica la dirección del aumento más rápido de la función F. Para hacer esto, se seleccionan dos puntos M0 y M1 en el gráfico, que son los extremos del vector. La magnitud del gradiente es igual a la tasa de aumento de la función desde el punto M0 al punto M1.
3. La función es diferenciable en todos los puntos de este vector, por lo tanto, las proyecciones del vector sobre los ejes de coordenadas son todas sus derivadas parciales. Entonces la fórmula del gradiente se ve así: grad = (?F/?x) i + (?F/?y) j + (?F/?z) k, donde i, j, k son las coordenadas del vector unitario . En otras palabras, el gradiente de una función es un vector cuyas coordenadas son sus derivadas parciales grad F = (?F/?х, ?F/?y, ?F/?z).
4. Ejemplo 1. Sea dada la función F = sin(x z?)/y. Se requiere detectar su gradiente en el punto (?/6, 1/4, 1).
5. Solución. Determine las derivadas parciales con respecto a cada variable: F'_y = 1/y сos(х z?) z?; F'_y = sin(х z?) (-1) 1/(y?); '_z = 1/y cos(x z?) 2 x z.
6. Sustituye los famosos valores de coordenadas del punto: F’_x = 4 сos(?/6) = 2 ?3; F’_y = pecado(?/6) (-1) 16 = -8; F'_z = 4 cos(?/6) 2 ?/6 = 2 ?/?3.
7. Aplique la fórmula de gradiente de función:grad F = 2 ?3 i – 8 j + 2 ?/?3 k.
8. Ejemplo 2. Encuentre las coordenadas del gradiente de la función F = y arcсtg (z/x) en el punto (1, 2, 1).
9. Solución.F'_x = 0 arctg (z/x) + y (arctg(z/x))'_x = y 1/(1 + (z/x)?) (-z/x?) = -y z/ (x? (1 + (z/x)?)) = -1;F'_y = 1 arco(z/х) = arco 1 = ?/4;F'_z = 0 arco(z/х) + y (arсtg(z/х))'_z = y 1/(1 + (z/х)?) 1/х = y/(х (1 + (z/х)?)) = 1.grad = (- 1, ?/4, 1).
El gradiente de campo escalar es una cantidad vectorial. Así, para encontrarlo, es necesario determinar todas las componentes del vector correspondiente, basándose en el conocimiento de la división del campo escalar.
Instrucciones
1. Lea en un libro de texto de matemáticas superiores cuál es el gradiente de un campo escalar. Como sabes, esta cantidad vectorial tiene una dirección caracterizada por la tasa máxima de caída de la función escalar. Esta interpretación de esta cantidad vectorial se justifica por la expresión para determinar sus componentes.
2. Recuerda que cualquier vector está determinado por las magnitudes de sus componentes. Los componentes de un vector son en realidad proyecciones de este vector sobre uno u otro eje de coordenadas. Por tanto, si se considera el espacio tridimensional, entonces el vector debe tener tres componentes.
3. Escribe cómo se determinan las componentes de un vector que es el gradiente de un determinado campo. Todas las coordenadas de dicho vector son iguales a la derivada del potencial escalar con respecto a la variable cuya coordenada se está calculando. Es decir, si necesita calcular el componente "x" del vector de gradiente de campo, entonces necesita diferenciar la función escalar con respecto a la variable "x". Tenga en cuenta que la derivada debe ser parcial. Esto significa que durante la diferenciación, las variables restantes que no participan en ella deben considerarse constantes.
4. Escribe una expresión para el campo escalar. Como es bien sabido, este término implica sólo una función escalar de varias variables, que también son cantidades escalares. El número de variables de una función escalar está limitado por la dimensión del espacio.
5. Diferenciar la función escalar por separado con respecto a cada variable. Como resultado, obtendrás tres nuevas funciones. Escribe cualquier función en la expresión del vector gradiente de campo escalar. Cada una de las funciones obtenidas es en realidad un indicador de un vector unitario de una coordenada determinada. Por tanto, el vector gradiente final debería verse como un polinomio con exponentes en forma de derivadas de la función.
Al considerar cuestiones relacionadas con la representación de gradientes, es común pensar en funciones como campos escalares. Por tanto, es necesario introducir la notación adecuada.
Necesitará
- – auge;
- - bolígrafo.
Instrucciones
1. Sea la función especificada por tres argumentos u=f(x, y, z). La derivada parcial de una función, por ejemplo, con respecto a x, se define como la derivada con respecto a este argumento, que se obtiene fijando los argumentos restantes. Lo mismo ocurre con otros argumentos. La notación para la derivada parcial se escribe en la forma: df/dx = u’x...
2. El diferencial total será igual a du=(дf/дх)dx+ (дf/дy)dy+(дf/дz)dz. Las derivadas parciales pueden entenderse como derivadas a lo largo de las direcciones de los ejes de coordenadas. En consecuencia, surge la cuestión de encontrar la derivada con respecto a la dirección de un vector dado s en el punto M(x, y, z) (no olvidemos que la dirección s está determinada por el vector unitario s^o). En este caso, el diferencial vectorial de los argumentos (dx, dy, dz) = (äscos(alfa), dscos(beta), dscos(gamma)).
3. Considerando la forma del diferencial total du, podemos concluir que la derivada en la dirección s en el punto M es igual a: (дu/дs)|M=((дf/дх)|M)сos(alpha)+ (( дf/дy) |M) cos(beta) +((df/dz)|M) cos(gamma).Si s= s(sx,sy,sz), entonces cosenos directores (cos(alfa), cos(beta ), cos(gamma)) se calculan (ver Fig. 1a).
4. La definición de la derivada direccional, considerando el punto M como variable, se puede reescribir en forma de producto escalar: (дu/дs)=((дf/дх, дf/дy,дf/дz), (cos(alpha) , cos(beta), cos (gamma)))=(grad u, s^o). Esta expresión será objetiva para un campo escalar. Si se considera fácilmente una función, entonces gradf es un vector que tiene coordenadas coincidentes con las derivadas parciales f(x, y, z).gradf(x,y,z)=((df/dh, df/dy, df/ dz )=)=(df/dx)i+(df/dy)j +(df/dz)k. Aquí (i, j, k) son los vectores unitarios de los ejes de coordenadas en un sistema de coordenadas cartesiano rectangular.
5. Si utilizamos el operador vectorial diferencial hamiltoniano, entonces gradf se puede escribir como la multiplicación de este operador vectorial por el escalar f (ver Fig. 1b). Desde el punto de vista de la conexión entre gradf y la derivada direccional, la igualdad (gradf, s^o)=0 es aceptable si estos vectores son ortogonales. En consecuencia, gradf se define a menudo como la dirección de la metamorfosis más rápida del campo escalar. Y desde el punto de vista de las operaciones diferenciales (gradf es una de ellas), las propiedades de gradf repiten exactamente las propiedades de las funciones diferenciadoras. En particular, si f=uv, entonces gradf=(vgradu+u gradv).
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Degradado Esta es una herramienta que, en los editores gráficos, rellena una silueta con una transición suave de un color a otro. Degradado Puede darle a una silueta el resultado de volumen, imitar la iluminación, el resplandor de la luz sobre la superficie de un objeto, o el resultado de una puesta de sol en el fondo de una fotografía. Esta herramienta es muy utilizada, por lo que para procesar fotografías o crear ilustraciones es muy importante aprender a utilizarla.
Necesitará
- Computadora, editor gráfico Adobe Photoshop, Corel Draw, Paint.Net u otro.
Instrucciones
1. Abra una imagen en el programa o tome una nueva. Haz una silueta o selecciona el área deseada en la imagen.
2. Active la herramienta de degradado en la barra de herramientas del editor de gráficos. Coloque el cursor del mouse en el punto dentro del área o silueta seleccionada donde comenzará el primer color del degradado. Haga clic y mantenga presionado el botón izquierdo del mouse. Mueva el cursor al punto donde desea que el degradado cambie al color final. Suelte el botón izquierdo del ratón. La silueta seleccionada se rellenará con un relleno degradado.
3. Degradado Puede establecer la transparencia, los colores y sus proporciones en un punto determinado del relleno. Para hacer esto, abra la ventana de edición de degradado. Para abrir la ventana de edición en Photoshop, haga clic en el ejemplo de degradado en el panel de Opciones.
4. La ventana que se abre muestra las opciones de relleno de degradado disponibles en forma de ejemplos. Para editar una de las opciones, selecciónela con un clic del mouse.
5. En la parte inferior de la ventana se muestra un ejemplo de degradado en forma de escala ancha en la que se encuentran los controles deslizantes. Los controles deslizantes indican los puntos en los que el degradado debería tener intercalaciones especificadas y, en el intervalo entre los controles deslizantes, el color pasa uniformemente del color especificado en el primer punto al color del segundo punto.
6. Los controles deslizantes ubicados en la parte superior de la escala configuran la transparencia del degradado. Para cambiar la transparencia, haga clic en el control deslizante requerido. Aparecerá un campo debajo de la escala en el que ingresa el grado de transparencia requerido como porcentaje.
7. Los controles deslizantes en la parte inferior de la escala establecen los colores del degradado. Al hacer clic en uno de ellos, podrás seleccionar el color deseado.
8. Degradado Puede tener varios colores de transición. Para establecer otro color, haga clic en el espacio libre en la parte inferior de la escala. Aparecerá otro control deslizante. Dale el color requerido. La escala mostrará un ejemplo del degradado con un punto más. Puede mover los controles deslizantes manteniéndolos presionados con el botón izquierdo del mouse para lograr la combinación deseada.
9. Degradado Los hay de varios tipos que pueden dar forma a siluetas planas. Por ejemplo, para darle a un círculo la forma de una bola, se usa un degradado radial y para darle forma de cono, se usa un degradado en forma de cono. Para darle a la superficie la ilusión de convexidad, puede usar un degradado de espejo y un degradado en forma de diamante para crear reflejos.
Vídeo sobre el tema.
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Si en cada punto del espacio o parte del espacio se determina el valor de una determinada cantidad, entonces se dice que se especifica el campo de esta cantidad. Un campo se llama escalar si la cantidad considerada es escalar, es decir plenamente caracterizado por su valor numérico. Por ejemplo, el campo de temperatura. El campo escalar viene dado por la función de punto escalar u = /(M). Si se introduce un sistema de coordenadas cartesiano en el espacio, entonces existe una función de tres variables x, yt z - las coordenadas del punto M: Definición. La superficie nivelada de un campo escalar es el conjunto de puntos en los que la función f(M) toma el mismo valor. Ecuación de una superficie nivelada Ejemplo 1. Encontrar superficies niveladas de un campo escalar ANÁLISIS VECTORIAL Campo escalar Superficies y líneas de nivel Derivada direccional Derivada Gradiente de campo escalar Propiedades básicas de un gradiente Definición invariante de un gradiente Reglas para calcular un gradiente -4 Según la definición , la ecuación de una superficie nivelada será. Ésta es la ecuación de una esfera (con Ф 0) con centro en el origen. Un campo escalar se llama plano si el campo es el mismo en todos los planos paralelos a un determinado plano. Si se toma el plano indicado como el plano xOy, entonces la función de campo no dependerá de la coordenada z, es decir, será función únicamente de los argumentos x e y. Un campo plano se puede caracterizar utilizando líneas de nivel - a. conjunto de puntos en el plano en los que la función /(x, y) tiene uno y también el significado. Ecuación de una línea de nivel - Ejemplo 2. Encuentre líneas de nivel de un campo escalar. Las líneas de nivel están dadas por ecuaciones. Cuando c = 0 obtenemos un par de líneas rectas, obtenemos una familia de hipérbolas (Fig. 1). 1.1. Derivada direccional Sea un campo escalar definido por la función escalar u = /(Af). Tomemos el punto Afo y elijamos la dirección determinada por el vector I. Tomemos otro punto M para que el vector M0M sea paralelo al vector 1 (Fig. 2). Denotemos la longitud del vector MoM por A/, y el incremento de la función /(Af) - /(Afo), correspondiente al desplazamiento de D1, por Di. La relación determina la tasa de cambio promedio del campo escalar por unidad de longitud en la dirección dada. Ahora tiendamos a cero para que el vector M0M permanezca paralelo al vector I todo el tiempo. Si en D/O hay un límite finito de la relación (5), entonces se llama derivada de la función en un punto dado Afo en la dirección dada I y se denota con el símbolo 3!^. Entonces, por definición, esta definición no está relacionada con la elección del sistema de coordenadas, es decir, es de naturaleza **variante. Encontremos una expresión para la derivada direccional en el sistema de coordenadas cartesiano. Sea la función / diferenciable en un punto. Consideremos el valor de /(Af) en un punto. Entonces el incremento total de la función se puede escribir de la siguiente forma: donde y los símbolos significan que las derivadas parciales se calculan en el punto Afo. Por tanto, aquí las cantidades jfi, ^ son los cosenos directores del vector. Como los vectores MoM e I son codireccionales, sus cosenos directores son los mismos: Como M Afo, al estar siempre en línea recta paralela al vector 1, los ángulos son constantes por lo tanto Finalmente, de las igualdades (7) y (8) obtenemos Eamuan es 1. Las derivadas particulares son derivadas de la función y a lo largo de las direcciones de los ejes de coordenadas, entonces-Ejemplo 3. Encuentre la derivada de la función en la dirección al punto El vector tiene una longitud. Sus cosenos directores: Según la fórmula (9), tendremos El hecho de que, significa que el campo escalar en un punto en una dirección dada de edad - Para un campo plano, la derivada con respecto a la dirección I en un punto es calculado por la fórmula donde a es el ángulo formado por el vector I con el eje Oh. Зммчмм 2. La fórmula (9) para calcular la derivada en la dirección I en un punto dado Afo permanece vigente cuando el punto M tiende al punto Mo a lo largo de una curva para la cual el vector I es tangente al punto PrIShr 4. Calcule la derivada del escalar campo en el punto Afo(l, 1). perteneciente a una parábola en la dirección de esta curva (en la dirección de la abscisa creciente). La dirección ] de una parábola en un punto se considera la dirección de la tangente a la parábola en ese punto (Fig. 3). Sea la tangente a la parábola en el punto Afo forma un ángulo o con el eje Ox. Entonces, ¿de dónde vienen los cosenos directores de la tangente? Calculemos los valores de y en el punto. Tenemos Ahora usando la fórmula (10) obtenemos. Encuentra la derivada del campo escalar en un punto a lo largo de la dirección del círculo. La ecuación vectorial de un círculo tiene la forma. Encontramos el vector unitario m de la tangente a la circunferencia. El punto corresponde al valor del parámetro. El valor de r en el punto Afo será igual. De aquí obtenemos los cosenos directores de la tangente a la circunferencia. punto. Calculemos los valores de las derivadas parciales del campo escalar dado en el punto. Esto significa la derivada deseada. Gradiente de campo escalar Dejemos que el campo escalar se defina mediante una función escalar que se supone diferenciable. Definición. El gradiente del campo escalar "en un punto dado M es un vector denotado por el símbolo grad y definido por la igualdad. Está claro que este vector depende tanto de la función / como del punto M en el que se calcula su derivada. Sea 1 un vector unitario en la dirección. Entonces la fórmula para la derivada direccional se puede escribir de la siguiente forma: . Así, la derivada de la función u en la dirección 1 es igual al producto escalar del gradiente de la función u(M) y el vector unitario 1° de la dirección I. 2.1. Propiedades básicas del gradiente Teorema 1. El gradiente del campo escalar es perpendicular a la superficie nivelada (o a la línea de nivel si el campo es plano). (2) Dibujemos una superficie nivelada u = const a través de un punto arbitrario M y seleccionemos en esta superficie una curva suave L que pase por el punto M (Fig. 4). Sea I una vecgor tangente a la curva L en el punto M. Dado que en la superficie nivelada u(M) = u(M|) para cualquier punto Mj e L, entonces, por otro lado, = (gradu, 1°). Es por eso. Esto significa que los vectores grad y y 1° son ortogonales. Por lo tanto, el vector grad y es ortogonal a cualquier tangente a la superficie del nivel en el punto M. Por lo tanto, es ortogonal a la superficie del nivel misma en el punto M. Teorema 2. El gradiente está dirigido a aumentar la función de campo. Anteriormente, demostramos que el gradiente del campo escalar se dirige a lo largo de la normal a la superficie nivelada, que puede orientarse en la dirección de la función creciente u(M) o en la dirección de su disminución. Denotemos por n la normal de la superficie nivelada, orientada en la dirección de la función creciente ti(M), y encontremos la derivada de la función u en la dirección de esta normal (Fig. 5). Tenemos Desde de acuerdo con la condición de la Fig. 5 y por lo tanto ANÁLISIS VECTORIAL Campo escalar Superficies y líneas de nivel Derivada en dirección Derivada Gradiente del campo escalar Propiedades básicas del gradiente Definición invariante del gradiente Reglas para calcular el gradiente Se deduce que grad es dirigido en la misma dirección que elegimos normal n, es decir, en la dirección de la función creciente u(M). Teorema 3. La longitud del gradiente es igual a la derivada más grande con respecto a la dirección en un punto dado del campo (aquí la verificación se realiza a lo largo de todas las direcciones posibles en un punto M dado). Tenemos dónde está el ángulo entre los vectores 1 y grad n. Dado que el valor mayor es el Ejemplo 1. Encuentre la dirección del mayor cambio del campo escalar en un punto y también la magnitud de este mayor cambio en el punto especificado. La dirección del mayor cambio en el campo escalar está indicada por un vector. Tenemos que este vector determina la dirección del mayor aumento del campo en un punto. La magnitud del cambio de campo más grande en este punto es 2,2. Definición invariante del gradiente Las cantidades que caracterizan las propiedades del objeto en estudio y no dependen de la elección del sistema de coordenadas se denominan invariantes del objeto dado. Por ejemplo, la longitud de una curva es una invariante de esta curva, pero el ángulo tangente a la curva con el eje Ox no es una invariante. Con base en las tres propiedades del gradiente de campo escalar demostradas anteriormente, podemos dar la siguiente definición invariante del gradiente. Definición. El gradiente de campo escalar es un vector dirigido normal a la superficie del nivel en la dirección de aumentar la función de campo y que tiene una longitud igual a la derivada más grande en dirección (en un punto dado). Sea un vector normal unitario dirigido en la dirección del campo creciente. Luego, Ejemplo 2. Encuentre el gradiente de la distancia, algún punto fijo, y M(x,y,z), el actual. 4 Tenemos donde está el vector dirección unitario. Reglas para calcular el gradiente donde c es un número constante. Las fórmulas dadas se obtienen directamente de la definición del gradiente y las propiedades de las derivadas. Según la regla de diferenciación de productos, la prueba es similar a la prueba de la propiedad. Sea F(u) una función escalar diferenciable. Entonces 4 Por definición del fadiente tenemos Aplicar la regla de derivación de una función compleja a todos los términos del lado derecho. Obtenemos En particular, la fórmula (6) se deriva de la fórmula del Ejemplo 3. Encuentre la derivada con respecto a la dirección del vector de radio r de la función Usando la fórmula (3) y usando la fórmula Como resultado, obtenemos que el Ejemplo 4 Sea un campo escalar plano: distancias desde algún plano puntual a dos puntos fijos de este plano. Consideremos una elipse arbitraria con focos Fj y F] y demostremos que todo rayo de luz que sale de un foco de la elipse, después de reflejarse en la elipse, termina en su otro foco. Las líneas de nivel de la función (7) son ANÁLISIS VECTORIAL Campo escalar Superficies y líneas de nivel Derivada direccional Derivada Gradiente de campo escalar Propiedades básicas del gradiente Definición invariante del gradiente Reglas para calcular el gradiente Las ecuaciones (8) describen una familia de elipses con focos en puntos F) y Fj. Según el resultado del Ejemplo 2, tenemos Así, el gradiente de un campo dado es igual al vector PQ de la diagonal del rombo construido sobre los vectores unitarios r? y vectores de radio. dibujado al punto P(x, y) desde los focos F| y Fj, y por lo tanto se encuentra en la bisectriz del ángulo entre estos vectores de radio (Fig. 6). Según Tooromo 1, el gradiente PQ es perpendicular a la elipse (8) en el punto. Por lo tanto, figura 6. la normal a la elipse (8) en cualquier punto biseca el ángulo entre los vectores de radio dibujados hasta este punto. De esto y del hecho de que el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión, obtenemos: un rayo de luz que emerge de un foco de la elipse, reflejado en él, seguramente caerá en otro foco de esta elipse.
1 0 El gradiente se dirige normal a la superficie nivelada (o a la línea de nivel si el campo es plano).
2 0 El gradiente está dirigido a aumentar la función de campo.
3 0 El módulo de gradiente es igual a la mayor derivada en dirección en un punto dado del campo:
Estas propiedades proporcionan una característica invariante del gradiente. Dicen que el vector gradU indica la dirección y magnitud del mayor cambio en el campo escalar en un punto dado.
Observación 2.1. Si la función U(x,y) es función de dos variables, entonces el vector
(2.3)
se encuentra en el plano oxi.
Sean U=U(x,y,z) y V=V(x,y,z) diferenciables en el punto M 0 (x,y,z) funciones. Entonces se cumplen las siguientes igualdades:
a) graduado()= ; b) grad(UV)=VgradU+UgradV;
c) grad(UV)=gradU gradV; d) d) graduado = 
, V ;
e) gradU( = gradU, donde , U=U() tiene una derivada con respecto a .
Ejemplo 2.1. Se da la función U=x 2 +y 2 +z 2. Determine el gradiente de la función en el punto M(-2;3;4).
Solución. Según la fórmula (2.2) tenemos
.
Las superficies niveladas de este campo escalar son la familia de esferas x 2 +y 2 +z 2 , el vector gradU=(-4;6;8) es el vector normal de planos.
Ejemplo 2.2. Encuentra el gradiente del campo escalar U=x-2y+3z.
Solución. Según la fórmula (2.2) tenemos
Las superficies niveladas de un campo escalar dado son planos.
x-2y+3z=C; el vector gradU=(1;-2;3) es el vector normal de planos de esta familia.
Ejemplo 2.3. Encuentre la mayor pendiente de la elevación de la superficie U=x y en el punto M(2;2;4).
Solución. Tenemos: 
Ejemplo 2.4. Encuentre el vector unitario normal a la superficie nivelada del campo escalar U=x 2 +y 2 +z 2 .
Solución. Las superficies de nivel de una esfera de campo escalar dada x 2 +y 2 +z 2 =C (C>0).
El gradiente se dirige normal a la superficie nivelada, por lo que
Define el vector normal a la superficie nivelada en el punto M(x,y,z). Para un vector normal unitario obtenemos la expresión
, Dónde 
.
Ejemplo 2.5. Encuentra el gradiente de campo U= 
, donde y son vectores constantes, r es el vector de radio del punto.
Solución. Dejar
Entonces: 
. Por la regla de diferenciación del determinante obtenemos
Por eso,
Ejemplo 2.6. Encuentre el gradiente de distancia, donde P(x,y,z) es el punto de campo que se está estudiando, P 0 (x 0,y 0,z 0) es algún punto fijo.
Solución. Tenemos - vector de dirección unitario.
Ejemplo 2.7. Encuentre el ángulo entre los gradientes de las funciones en el punto M 0 (1,1).
Solución. Encontramos los gradientes de estas funciones en el punto M 0 (1,1), tenemos
; El ángulo entre gradU y gradV en el punto M 0 se determina a partir de la igualdad
Por tanto =0.
Ejemplo 2.8. Encuentre la derivada direccional, el vector de radio es igual a
(2.4)
Solución. Encuentra el gradiente de esta función:
Sustituyendo (2.5) en (2.4), obtenemos
Ejemplo 2.9. Encuentre en el punto M 0 (1;1;1) la dirección del mayor cambio en el campo escalar U=xy+yz+xz y la magnitud de este mayor cambio en este punto.
Solución. La dirección del mayor cambio en el campo está indicada por el vector grad U(M). Lo encontramos:
Y eso significa... Este vector determina la dirección del mayor aumento en este campo en el punto M 0 (1;1;1). La magnitud del mayor cambio de campo en este punto es igual a
.
Ejemplo 3.1. Encuentra líneas vectoriales de un campo vectorial. 
donde es un vector constante.
Solución. tenemos para que
(3.3)
Multiplica el numerador y denominador de la primera fracción por x, la segunda por y, la tercera por z y suma término por término. Usando la propiedad de las proporciones obtenemos
Por lo tanto xdx+ydy+zdz=0, lo que significa
x 2 +y 2 +z 2 =A 1, A 1 -const>0. Ahora multiplicando el numerador y denominador de la primera fracción (3.3) por c 1, la segunda por c 2, la tercera por c 3 y sumando término por término, obtenemos
Donde de 1 dx+c 2 dy+c 3 dz=0
Y, por tanto, con 1 x+c 2 y+c 3 z=A 2 . A 2 -constante.
Las ecuaciones requeridas de líneas vectoriales.
Estas ecuaciones muestran que las rectas vectoriales se obtienen por la intersección de esferas que tienen un centro común en el origen con planos perpendiculares al vector. 
. De ello se deduce que las líneas vectoriales son círculos cuyos centros están en una línea recta que pasa por el origen en la dirección del vector c. Los planos de los círculos son perpendiculares a la línea especificada.
Ejemplo 3.2. Encontrar línea de campo vectorial 
pasando por el punto (1,0,0).
Solución. Ecuaciones diferenciales de rectas vectoriales.
por lo tanto tenemos 
. Resolviendo la primera ecuación. O si introducimos el parámetro t, entonces tendremos En este caso, la ecuación 
toma la forma 
o dz=bdt, de donde z=bt+c 2.
Dejar z= F(METRO) – una función definida en alguna vecindad de un punto M(y;x);l={ Porque; Porque} – vector unitario (en la Fig. 33 1= , 2= ); l– una línea recta dirigida que pasa por un punto METRO; M1(x1; y1), donde x1=x+x y y1=y+y– punto en una recta l; l– longitud del segmento MM1; z= F(x+х, y+у)-F(X, Y) – incremento de función F(METRO) en el punto M(x;y).
Definición. El límite de la relación, si existe, se llama Derivada de una función z = F ( METRO ) en el punto METRO ( X ; Y ) en la dirección del vector l .
Designación.
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|
Si la función F(METRO) diferenciable en el punto M(x;y), entonces en el punto M(x;y) hay una derivada en cualquier dirección l Emanando de METRO; se calcula mediante la siguiente fórmula:
(8)
Dónde Porque Y Porque- cosenos directores del vector l.
Ejemplo 46. Calcular la derivada de una función. z= X2 + Y2 X en el punto METRO(1; 2) en la dirección del vector MM1, Dónde M1– punto con coordenadas (3; 0).
. Encontremos el vector unitario l, teniendo esta dirección:
Dónde Porque= ; Porque=- .
Calculemos las derivadas parciales de la función en el punto METRO(1; 2):
Usando la fórmula (8) obtenemos 
Ejemplo 47. Encuentra la derivada de una función. Ud. = xy2 z3 en el punto METRO(3; 2; 1) En la dirección del vector Minnesota, Dónde norte(5; 4; 2) .
. Encontremos el vector y sus cosenos directores:
Calculemos los valores de las derivadas parciales en el punto METRO:
Por eso, 
Definición. Degradado Funcionesz= F(METRO) en el punto M(x; y) es un vector cuyas coordenadas son iguales a las derivadas parciales correspondientes y tomadas en el punto M(x; y).
Designación. 
Ejemplo 48. Encuentra el gradiente de una función. z= X2 +2 Y2 -5 en el punto METRO(2; -1).
Solución. Encontrar derivadas parciales: 
y sus valores en el punto METRO(2; -1):
Ejemplo 49.
Encuentre la magnitud y dirección del gradiente de la función en un punto. 
Solución. Encontremos las derivadas parciales y calculemos sus valores en el punto M:
Por eso,
La derivada direccional para una función de tres variables se determina de manera similar Ud.= F(X, Y, z) , se muestran fórmulas
Se introduce el concepto de gradiente. 
Hagamos hincapié en que Propiedades básicas de la función de gradiente. Más importante para el análisis de optimización económica: en la dirección del gradiente la función aumenta. Las siguientes propiedades de gradiente se utilizan en problemas económicos:
1) Sea dada la función. z= F(X, Y) , teniendo derivadas parciales en el dominio de la definición. Consideremos algún punto. M0(x0, y0) del dominio de la definición. Sea el valor de la función en este punto igual a F(X0 , Y0 ) . Miremos la gráfica de la función. a través del punto (X0 , Y0 , F(X0 , Y0 )) espacio tridimensional dibujamos un plano tangente a la superficie de la gráfica de la función. Entonces el gradiente de la función calculado en el punto (x0, y0), considerado geométricamente como un vector aplicado en un punto (X0 , Y0 , F(X0 , Y0 )) , será perpendicular al plano tangente. En la figura se muestra una ilustración geométrica. 34.
2) función de gradiente F(X, Y) en el punto M0(x0, y0) indica la dirección del aumento más rápido de la función en el punto M0. Además, cualquier dirección que forme un ángulo agudo con el gradiente es la dirección de crecimiento de la función en el punto M0. En otras palabras, un pequeño movimiento desde un punto (x0, y0) en la dirección del gradiente de la función en este punto conduce a un aumento de la función, y en la mayor medida.
Considere el vector opuesto al gradiente. Se llama Anti-gradiente . Las coordenadas de este vector son:
Función antigradiente F(X, Y) en el punto M0(x0, y0) indica la dirección de la disminución más rápida de la función en el punto M0. Cualquier dirección que forme un ángulo agudo con el antigradiente es la dirección en la que la función disminuye en ese punto.
3) Al estudiar una función, a menudo es necesario encontrar esos pares (x,y) del dominio de definición de la función, en el que la función toma los mismos valores. Considere un conjunto de puntos (X, Y) del dominio de la función F(X, Y) , tal que F(X, Y)= constante¿Dónde está la entrada? “ constante” significa que el valor de la función es fijo e igual a algún número del rango de la función.
Definición. Línea de nivel de función Ud. = F ( X , Y ) línea llamadaF(X, Y)=C en el aviónXoy, en puntos en los que la función mantiene un valor constanteUd.= C.
Las líneas de nivel se representan geométricamente en el plano de cambio de variables independientes en forma de líneas curvas. La obtención de líneas de nivel se puede imaginar de la siguiente manera. Considere el conjunto CON, que consta de puntos del espacio tridimensional con coordenadas (X, Y, F(X, Y)= constante), que, por un lado, pertenecen a la gráfica de la función z= F(X, Y), por otro lado, se encuentran en un plano paralelo al plano de coordenadas hou, y espaciados de él por una cantidad igual a una constante dada. Luego, para construir una línea de nivel, basta con cruzar la superficie del gráfico de función con un plano. z= constante y proyectar la línea de intersección en el plano hou. El razonamiento anterior justifica la posibilidad de construir directamente líneas de nivel en un plano. hou.
Definición. Muchas líneas de nivel se llaman Mapa de líneas de nivel.
Ejemplos bien conocidos de líneas de nivel son niveles de alturas iguales en un mapa topográfico y líneas de presión barométrica igual en un mapa meteorológico.
Definición.
La dirección en la que la tasa de aumento de una función es máxima se llama dirección "preferida", o Dirección de crecimiento más rápido.
La dirección "preferida" viene dada por el vector gradiente de la función. En la Fig. 35 muestra el máximo, el mínimo y el punto de silla en el problema de optimizar una función de dos variables en ausencia de restricciones. La parte inferior de la figura muestra las líneas del nivel y dirección del crecimiento más rápido.
Ejemplo 50. Buscar líneas de nivel de función Ud.= X2 + Y2 .
Solución. La ecuación para una familia de líneas de nivel tiene la forma X2 + Y2 = C (C>0) . Donación CON diferentes valores reales, obtenemos círculos concéntricos con el centro en el origen.
Construcción de líneas de nivel. Su análisis se utiliza ampliamente en problemas económicos de nivel micro y macro, la teoría del equilibrio y soluciones efectivas. Isocostos, isocuantas, curvas de indiferencia: todas ellas son líneas de nivel construidas para diferentes funciones económicas.
Ejemplo 51. Considere la siguiente situación económica. Describa la producción de productos. Función Cobb-Douglas F(X, Y)=10x1/3y2/3, Dónde X- cantidad de mano de obra, Ud.– cantidad de capital. Se destinaron 30 USD para la compra de recursos. Unidades, el precio de la mano de obra es de 5 USD. unidades, capital – 10 USD. unidades Preguntémonos: ¿cuál es el mayor rendimiento que se puede obtener en estas condiciones? Aquí, “condiciones dadas” significa tecnologías dadas, precios de los recursos y el tipo de función de producción. Como ya se ha señalado, la función Cobb-Douglas aumenta monótonamente para cada variable, es decir, un aumento en cada tipo de recurso conduce a un aumento en la producción. En estas condiciones, está claro que es posible incrementar la adquisición de recursos siempre que haya suficiente dinero. Conjuntos de recursos, cuyo costo es de 30 USD. unidades, satisface la condición:
5x + 10y = 30,
Es decir, determinan la línea de nivel de función:
GRAMO(X, Y) = 5x + 10y.
Por otro lado, utilizando líneas de nivel Funciones de Cobb-Douglas (Fig.36) se puede mostrar el aumento de la función: en cualquier punto de la línea de nivel, la dirección del gradiente es la dirección del mayor aumento, y para construir un gradiente en un punto basta con dibujar una tangente hasta la línea de nivel en este punto, construya una perpendicular a la tangente e indique la dirección del gradiente. De la Fig. 36 se puede ver que la línea de nivel de la función Cobb-Douglas debe moverse a lo largo del gradiente hasta que sea tangente a la línea de nivel 5x + 10y = 30. Por lo tanto, utilizando los conceptos de línea de nivel, gradiente y propiedades de gradiente, es posible desarrollar enfoques para el mejor uso de los recursos en términos de aumentar el volumen de producción.
Definición. Función de nivel de superficie Ud. = F ( X , Y , z ) llamada superficieF(X, Y, z)=С, en cuyos puntos la función mantiene un valor constanteUd.= C.
Ejemplo 52. Encontrar superficies a nivel de función Ud.= X2 + z2 - Y2 .
Solución. La ecuación para una familia de superficies niveladas tiene la forma X2 + z2 - Y2 =C. Si C=0, entonces obtenemos X2 + z2 - Y2 =0 – cono; Si C<0 , Eso X2 + z2 - Y2 =C- Familia de hiperboloides de dos hojas.
