Función característica variable aleatoria X se llama transformada de Fourier de la distribución de una variable aleatoria:

Propiedades

Prueba.

Prueba.

Naturalmente, esta propiedad se extiende a un mayor número de términos:

.

φ (t) es uniformemente continuo.

Prueba.

La expresión final resultante depende sólo de h. Para una variable aleatoria continua podemos escribir

.

Prueba. si existe késimo momento de magnitud X, entonces, usando la derivación bajo el signo integral (lo cual es posible, ya que pag(X) existe), obtenemos

Con cada diferenciación posterior, se “deja llevar” i MI[ X], así que después k diferenciaciones que obtenemos i k MI[ X k]. Este resultado se puede representar en la forma

.

La función característica determina de forma única la distribución de una variable aleatoria.

Prueba de casos especiales

Dejar X - variable aleatoria entera discreta ( k z), entonces (transformada de Fourier inversa)

(Serie de Fourier cuyos coeficientes son pag k), Entonces

Todos los términos para los cuales k≠metro, da 0 (por ortogonalidad) y permanece

.

Dejar φ (t) es absolutamente integrable en la recta real, y existe una densidad de distribución pag(X) 11 .

Intentemos expresar pag(X) a través de la función característica. Escribamos la transformada inversa de Fourier de la función. φ :

.

Teniendo esto en cuenta

Porque el

Al cambiar las variables obtenemos

y por lo tanto

.

Si en (*) en la segunda integral ambos límites de integración tienen el mismo signo, obtenemos 0; si es diferente, un número finito. Es decir, existe un límite distinto de cero en a<y<b. En este caso aparecerá la integral de −∞ a ∞, igual a π . De aquí

Consiguió:

,

por eso, pag está completamente determinada por la función característica.

.

Prueba..

Criterio de función característica

Función φ X (t) - característica de una variable aleatoria X si y solo si:

φ X (0) = 1,

φ X (t) positivo definitivo.

Función φ (t) se llama positivo definitivo(positivo definido), si

y la igualdad a cero se logra sólo cuando z i = 0i. Si debilitamos la condición para lograr la igualdad a cero, obtenemos definida no negativa función.

Vamos a revisar que la función característica es positiva definida:

Razón fundamental. Por propiedad 5),

En k= 1, obtenemos,

En k= 2 -.

Si mi X= 0.D X=E[ X 2 ] = 1,
.

20.2 Ejemplos

Solución. Reduzcamos la expresión a la forma.

No es difícil ver eso
. Después de la transformación puedes escribir.
.

Veamos los valores pag i :

Conclusión: porque 2 t es la función característica de una variable aleatoria discreta que toma el valor 0 con probabilidad 1/2, y los valores 2 y −2 con probabilidad 1/4.

Calcular la función característica degenerar variable aleatoria: PAG(X= 0) = 1.

Solución..

Si PAG(X=C) = 1, obtenemos.

Solución. Reduzcamos la expresión a la forma.

.

Veamos los valores pag i :

Consiguió: Esta es la función característica de una variable aleatoria discreta.

Solución. Dejar Y=X–X′ , Entonces

Conclusión: el cuadrado del módulo de cualquier función característica es nuevamente una función característica.

Dejar X,Y - variables aleatorias con funciones características φ X (t) Y φ Y (t);a,b> 0 - constantes tales que a+b= 1. Considere la función

¿Es característica y, de ser así, de qué variable aleatoria?

Respuesta: Sí, lo es. Dejemos que las funciones de distribución correspondientes. X Y Y - F X (X) Y F Y (y). Consideremos la función. Obviamente esta es una función de distribución, ya que

Entonces la densidad de probabilidad

Si φ (t) - función característica X, Eso φ (−t) - función característica (– X). (del ejemplo 4)).

Dejar φ (tX, entonces es

F (t) =Re[ φ (t)]

Solución. Obviamente,

Dejar φ (t) corresponde a la función de distribución F X (X), luego para Re[ φ (t)]:

Dejar φ (t) - función característica de la cantidad X, entonces es

F (t) =Soy[ φ (t)]

¿Función característica de alguna variable aleatoria?

Solución. No, no lo es, porque F (0) = 0.

Encuentre la función característica de distribución normal.

1. X ~ norte(0, 1):

Contemos φ (t), diferenciando bajo el signo integral:

Resolvamos la ecuación diferencial.
con condición inicial φ (0) = 1:

X~norte(a,σ 2): compare este valor con X 0 ~norte(0, 1). Es fácil ver eso X=a+σ X 0. Entonces, por propiedad 2)

Por cierto, ¿acaba de defender que el estudiante no debe saber nada sobre la continuidad uniforme y ahora le ofrece funciones delta? Bueno, no diré nada.

Me alegra volver a verte sobre el tema con disposición a discutir independientemente de las características que a mí personalmente me conciernen. Estoy interesado en ti. El alumno debe saber todo lo que se le puede preguntar, pero antes que nada debe dominar el sistema de conceptos, su caracterización y las relaciones entre ellos y no debe limitarse al círculo estrecho de la sección de la disciplina que le corresponde. Actualmente se está estudiando y tampoco debería ser un libro de referencia andante, que recuerda constantemente una gran cantidad de funciones que no cumplen con una u otra condición.
En el problema original, era necesario establecer si la función HF dada era una variable aleatoria. El estudiante recibe dicha tarea cuando se introduce el concepto de HF. Y el objetivo de resolver tales problemas es consolidar la comprensión de la relación entre CP y PR, así como consolidar el conocimiento sobre las propiedades de CP.
Hay dos formas de demostrar que una función dada es un HF: o se debe encontrar la función correspondiente según Fourier y verificar que satisface la condición de normalización y es positiva, o se debe demostrar la precisión no negativa de la función dada. funcionan y se refieren al teorema de Bochner-Khinchin. Al mismo tiempo, el uso de teoremas para representar un SV en forma de combinación lineal de otros SV de Rademacher no contribuye de ninguna manera a la comprensión de las propiedades básicas de HF; además, como indiqué anteriormente, su solución contiene; una serie velada de Fourier, es decir, que en realidad corresponde al primer método.
Cuando se requiere demostrar que una determinada función no puede ser un HF de ningún SV, entonces basta con establecer el fallo de una de las propiedades del HF: un valor unitario en cero, módulo acotado por uno, obteniendo valores correctos. ​para los momentos del PDF, continuidad uniforme. Verificar la exactitud de los valores de los momentos calculados a través de una función dada es una verificación matemáticamente equivalente de continuidad uniforme en el sentido de que el incumplimiento de cualquiera de estas propiedades puede servir como la misma base para reconocer la inadecuación de una función dada. Sin embargo, la comprobación de la exactitud de los valores de momento está formalizada: diferenciar y comprobar. En general, debe demostrarse la continuidad uniforme, lo que hace que el éxito en la resolución de un problema dependa del potencial creativo del estudiante, de su capacidad de "adivinar".
Como parte de la discusión sobre la “construcción” de un SV, propongo considerar un problema simple: construyamos un SV con un HF de la forma: Dónde

Dado en toda la recta numérica por la fórmula

X.f. La variable aleatoria X, por definición, es X. f. su distribución de probabilidad

El método asociado con el uso de X. f fue utilizado por primera vez por A. M. Lyapunov y luego se convirtió en uno de los principales analíticos. métodos de la teoría de la probabilidad. Se utiliza con especial eficacia para demostrar teoremas de límites en la teoría de la probabilidad, por ejemplo. el teorema del límite central para variables aleatorias independientes distribuidas idénticamente con 2 momentos se reduce a la relación elemental

Propiedades básicas de X. f. 1) y definido positivo, es decir

Para cualquier colección finita de números complejos y argumentos

2) uniformemente continuo a lo largo de todo el eje

4)en particular, toma solo valores reales (y es una función par) si y solo si la probabilidad correspondiente es simétrica, es decir, donde

5) X.f. define inequívocamente la medida; hay una apelación:

Para cualquier intervalo (a, 6) cuyos extremos tengan medida m cero. Si es integrable (absolutamente, si se entiende en el sentido riemanniano), entonces la función de distribución correspondiente tiene

6) X.f. la convolución de dos medidas de probabilidad (la suma de dos variables aleatorias independientes) es su X. f.

Las siguientes tres propiedades expresan la conexión entre la existencia de momentos de una variable aleatoria y el grado de suavidad de su función X.

7) si por algo natural PAG, entonces para todos los naturales existen derivadas de orden r de X. f. variable aleatoria X y la igualdad se cumple

8) Si existe entonces

9) Si para todos

entonces vale para todos

Usando el método X.f. se basa principalmente en las propiedades anteriores de las funciones X., así como en los dos teoremas siguientes.
Teorema de Bochner (descripción de la clase de funciones X.). Sea la función f dada sobre y f(0)=1. Para que f sea X. f. Para una determinada medida de probabilidad, es necesario y suficiente que sea continua y positiva definida.
Teorema de Levy (correspondencia). Sea una secuencia de medidas de probabilidad y sea una secuencia de sus X.f. Entonces converge débilmente a una determinada medida de probabilidad (es decir, para una función acotada continua arbitraria si y sólo si en cada punto converge a una determinada función continua f; en el caso de convergencia, la función Se deduce que la relativa (en el sentido de convergencia débil) de una familia de medidas de probabilidad es equivalente a la equicontinuidad en cero de la familia de funciones X. correspondientes.
El teorema de Bochner nos permite ver la transformada de Fourier-Stieltjes entre un semigrupo (con respecto a la operación de convolución) de medidas de probabilidad en y un semigrupo (con respecto a la multiplicación puntual) de funciones continuas definidas positivas iguales a uno en cero. El teorema establece que este es algebraico. El isomorfismo también es topológico. homeomorfismo, si en el semigrupo de medidas de probabilidad nos referimos a la topología de convergencia débil, y en el semigrupo de funciones definidas positivas, la topología de convergencia uniforme en conjuntos acotados.
Se conocen expresiones de X. f. enfermedades probabilísticas básicas (ver,), por ejemplo, X. f. La medida gaussiana con varianza promedio es
Para variables aleatorias enteras no negativas X, Junto con X. f., se utiliza su análogo:

Asociado con X. f. relación
X.f. Las medidas de probabilidad en un espacio de dimensión finita se definen de manera similar:

Dónde x> medio . Los hechos formulados anteriormente también son válidos para X. f. medidas de probabilidad en

Iluminado.: Lukach E., Funciones características, trad. Del inglés, M., 1979; Feller V., Introducción a la teoría de la probabilidad y sus aplicaciones, vol 2. trans. Del inglés, M., 1967; Prokhorov V., Rozanov Yu., Teoría de la probabilidad. Conceptos básicos. Teoremas de límites. Procesos aleatorios, 2ª ed., M., 1973; 3olotarev V. M., Distribuciones estables unidimensionales, Moscú, 1983.
NUEVA HAMPSHIRE. Vakhania.

Enciclopedia matemática. - M.: Enciclopedia soviética. I. M. Vinogradov. 1977-1985.

Vea qué es "FUNCIÓN CARACTERÍSTICA" en otros diccionarios:

Función característica: La función característica en termodinámica es una función mediante la cual se determinan las propiedades termodinámicas de un sistema. La función característica de un conjunto es una función que establece la pertenencia de un elemento a un conjunto... ... Wikipedia;

En termodinámica, función del estado de parámetros independientes que determinan el estado de la termodinámica. sistemas. A X.f. incluyen potenciales termodinámicos y de entropía. A través de X... Enciclopedia física

función característica- Una función del estado de un sistema termodinámico de sus correspondientes parámetros termodinámicos independientes, caracterizada porque a través de esta función y sus derivadas con respecto a estos parámetros, toda la termodinámica... ... Guía del traductor técnico

Función característica- en la teoría de los juegos cooperativos, una proporción que determina el importe de las ganancias mínimas para cualquier coalición en el juego. Cuando dos coaliciones se unen, el valor de H.f. no será menor que la suma de dichas funciones para no combinados... ... Diccionario económico-matemático

función característica- būdingoji funkcija statusas T sritis chemija apibrėžtis Būsenos funkcija, kurios diferencialinėmis išraiškomis galima nusakyti visas termodinaminės sistemos savybes. atitikmenys: inglés. función característica rus. función característica... Chemijos terminų aiškinamasis žodynas

función característica- būdingoji funkcija statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. función característica vok. Charakteristische Funktion, f rus. función característica, f pranc. función característica, f… Fizikos terminų žodynas - los conjuntos de Espace X son una función igual a 1 en e igual a 0 en (donde CE es el complemento de Ev X). Cualquier función con valores en (0, 1) es una función X. de un determinado conjunto, es decir, un conjunto, Propiedades de X. funciones: disjuntas por pares, entonces 6) si entonces... Enciclopedia Matemática

las variables aleatorias están relacionadas de manera única Transformada de Fourier. Por ejemplo, la densidad de distribución f (x) de una variable aleatoria X se expresa de forma única a través de su función característica usando transformada inversa de Fourier:

donde υ X (k) (0) es el valor de la k-ésima derivada de la función característica en t = 0.

variables aleatorias es igual al producto de las funciones características de los términos:

TEMA 8 Variables aleatorias bidimensionales. Ley de distribución bidimensional

Una variable aleatoria bidimensional (X,Y) es un conjunto de dos variables aleatorias unidimensionales que toman valores como resultado de un mismo experimento.

Las variables aleatorias bidimensionales se caracterizan por conjuntos de valores Ω X , Ω Y de sus componentes y una ley de distribución conjunta (bidimensional). Dependiendo del tipo de componentes X,Y, se distinguen variables aleatorias bidimensionales discretas, continuas y mixtas.

Una variable aleatoria bidimensional (X, Y) se puede representar geométricamente como un punto aleatorio (X, Y) en el plano x0y o como un vector aleatorio dirigido desde el origen hasta el punto (X, Y).

Función de distribución bidimensional variable aleatoria bidimensional

(X ,Y ) es igual a la probabilidad de ejecución conjunta de dos eventos (X<х } и {Y < у }:

F(x, y) = p(( X< x} { Y< y} ) .

Función de distribución geométricamente bidimensional F(x, y)

Propiedades de la función de distribución bidimensional:

1. 0 ≤ F (x, y) ≤ 1.

es la probabilidad

. (x,y)

Prueba. La propiedad se deriva de la definición de la función de distribución como probabilidad: la probabilidad es un número no negativo que no excede 1.

2. F (–∞, y) = F (x, –∞) = F (–∞, –∞) = 0,F (+∞, +∞) = 1.

3. F (x 1 ,y )≤ F (x 2 ,y ), si x 2 >x 1 ;F (x ,y 1 )≤ F (x ,y 2 ), si y 2 >y 1 .

Prueba. Demostremos que F (x ,y ) es una función no decreciente con respecto a

variablex. Considere la probabilidad

pag(X< x2 , Y< y) = p(X< x1 , Y< y) + p(x1 ≤ X< x2 , Y< y) .

Desde p(X< x 2 ,Y < y )= F (x 2 ,y ), аp (X < x 1 , Y < y ) = F (x 1 , y ) , то

F (x 2 ,y )− F (x 1 ,y )= p (x 1 ≤ X< x 2 ,Y < y )F (x 2 ,y )− F (x 1 ,y )≥ 0F (x 2 ,y )≥ F (x 1 ,y ).

Lo mismo para y.

4. Transición a características unidimensionales:

Matriz de distribución

Una variable aleatoria bidimensional (X,Y) es discreta si los conjuntos de valores de sus componentes Ω X y Ω Y son conjuntos contables. Para describir las características probabilísticas de tales cantidades, se utilizan una función de distribución bidimensional y una matriz de distribución.

Matriz de distribución es una tabla rectangular que contiene los valores de la componente X − Ω X =( x 1 ,x 2 ,... ,x n ), los valores de la componente Y − Ω Y =( y 1 ,y 2 , …,y m ) y las probabilidades de todos los posibles pares de valores p ij =p (X =x i,Y =y j),i = 1, …,n,j = 1, …,m.

yo = 1

Densidad de distribución bidimensional

Una variable aleatoria bidimensional (X,Y) es continua si

la función de distribución F (x,y) es una función continua y diferenciable para cada uno de los argumentos y hay una segunda

derivada mixta ∂ 2 F (x, y).

∂x ∂y

Densidad de distribución bidimensional f(x, y ) caracteriza la densidad de probabilidad en las proximidades de un punto con coordenadas ( x,y ) y es igual a la segunda derivada mixta de la función de distribución:

∫∫ f(x, y) dxdy.

Propiedades de la densidad bidimensional:

1. f (x, y) ≥ 0.

2. Condición de normalización:

∞ ∞

∫ ∫ f(x, y) d x d y= 1 .