Encuentra el parámetro que la ecuación tiene una solución única. Ecuaciones exponenciales con parámetro.

Introducción

§1. Desarrollo de clases optativas sobre el tema.

Conclusión.

INTRODUCCIÓN

El objetivo principal de las clases optativas de matemáticas es ampliar y profundizar el conocimiento, desarrollar el interés de los estudiantes en la materia y desarrollar sus habilidades matemáticas. El proceso de aprendizaje se estructura como una actividad investigadora conjunta de los estudiantes.

El estudio del tema "Ecuaciones con parámetros" juega un papel importante en el desarrollo del pensamiento matemático de los estudiantes en las clases optativas. Sin embargo, no se presta suficiente atención al estudio de este tema en el plan de estudios escolar. El interés por el tema se explica por el hecho de que las ecuaciones con parámetros se ofrecen tanto en los exámenes finales de la escuela como en las pruebas de acceso a la universidad.

El objetivo del trabajo del curso es familiarizar a los estudiantes con los fundamentos teóricos de la resolución de ecuaciones con parámetros, sus principales tipos y recomendaciones de solución.

§1. Fundamentos teóricos para la resolución de ecuaciones con parámetros.

Considere la ecuación

F (x, y, ..., z; α,β, ..., γ) = 0 (F)

con gente desconocida x, y, ..., z y con parametros α,β, ..., γ ;para cualquier sistema admisible de valores de parámetros α 0 ,β 0 , ..., γ 0 la ecuación (F) se convierte en ecuación

F(x, y, ..., z; α 0 ,β 0 , ..., γ 0) = 0(F 0)

con gente desconocida x,y,..., z, que no contiene parámetros. La ecuacion ( fo) tiene un conjunto bien definido (quizás vacío) de soluciones.

De manera similar se consideran los sistemas de ecuaciones que contienen parámetros. Los sistemas aceptables de valores de parámetros se consideran sistemas que son admisibles para cada ecuación por separado.

Definición. Resolver una ecuación (o sistema) que contiene parámetros significa, para cada sistema admisible de valores de parámetros, encontrar el conjunto de todas las soluciones de una ecuación (sistema) dada.

El concepto de equivalencia en relación con una ecuación que contiene parámetros se establece de la siguiente manera.

Definición. Dos ecuaciones (sistemas)

F(x, y, ..., z; α,β, ..., γ) = 0 (F),

Ф (x, y, ..., z; α, β, ..., γ) = 0 (F)

con x, y,..., z desconocidos y con parámetros α, β, ..., γ se llaman equivalentes si para ambas ecuaciones (sistemas) el conjunto de sistemas admisibles de valores de parámetros es el mismo y para cada admisible sistema de valores, parámetros ambas ecuaciones (sistemas de ecuaciones) son equivalentes.

Entonces, Las ecuaciones equivalentes para cualquier sistema admisible de valores de parámetros tienen el mismo conjunto de soluciones.

Una transformación de una ecuación que cambia el conjunto de sistemas admisibles de valores de parámetros conduce a una ecuación que no es equivalente a la ecuación dada.

Supongamos que cada una de las incógnitas contenidas en la ecuación.

F(x, y,z; α,β, ..., γ) =0 (F)

especificado en función de los parámetros: x = x(α,β, ..., γ);

y = y(α,β, ..., γ);….

z= z (α,β, ..., γ). (X)

Dicen que el sistema de funciones ( X), dados conjuntamente, satisface la ecuación ( F), si al sustituir estas funciones en lugar de incógnitas x,y,..., z en la ecuación (F), su lado izquierdo desaparece de forma idéntica para todos los valores de parámetros permitidos:

F ( X (α,β, ..., γ), y ( α,β, ..., γ),…, z(α,β, ..., γ ) ≡0.

Para cualquier sistema admisible de valores numéricos de parámetros. α = α 0 ,β=β 0 , ..., γ= γ 0 valores de función correspondientes ( X) forman una solución a la ecuación

F(x, y, ..., z; α 0 ,β 0 , ..., γ 0) = 0

§2. Tipos básicos de ecuaciones con parámetros.

Ecuaciones lineales y cuadráticas.

Una ecuación lineal escrita en forma general puede considerarse como una ecuación con parámetros: Oh = b, Dónde X- desconocido, A, b- opciones. Para esta ecuación, el valor especial o de control del parámetro es aquel en el que el coeficiente de la incógnita se vuelve cero.

Al resolver una ecuación lineal con un parámetro, se consideran casos en los que el parámetro es igual a su valor especial y diferente de él.

Un valor especial del parámetro a es el valor A = 0.

1. Si A≠ 0, entonces para cualquier par de parámetros a y b tiene una solución única X =

2. Si A= 0, entonces la ecuación toma la forma: 0 X = b. En este caso el valor b= 0 es un valor de parámetro especial b .

2.1. En b≠ 0 la ecuación no tiene soluciones.

2.2. En b= 0 la ecuación tomará la forma: 0 X= 0. La solución de esta ecuación es cualquier número real.

EJEMPLO Resolvamos la ecuación.

2a(a - 2) x=a - 2. (2)

Solución Aquí, los valores de control serán aquellos valores de parámetros en los que el coeficiente en. X se convierte 0. Estos valores son a=0 Y a=2. En estos valores A Es imposible dividir ambos lados de la ecuación por el coeficiente en X. Al mismo tiempo, con valores de parámetros. a≠0, a≠2 esta división es posible. Por tanto, es aconsejable dividir el conjunto de todos los valores de parámetros reales en subconjuntos.

A 1 = (0), A 2 = (2) y Az = ( A ≠0, A ≠2}

y resolver la ecuación (2) en cada uno de estos subconjuntos, es decir, resolver la ecuación (2) como una familia de ecuaciones resultantes de ella para los siguientes valores de parámetros:

1) un = 0 ; 2) un = 2 ; 3) a≠0, a≠2

Consideremos estos casos.

1) cuando un = 0la ecuación (2) toma la forma 0 X= - 2. Esta ecuación no tiene raíces.

2) cuando un = 2La ecuación (2) toma la forma 0 X=0. La raíz de esta ecuación es cualquier número real.

3) Para a≠0, a≠2 de la ecuación (2) obtenemos x=

donde x=

0 t v e t: 1) si un = 0, entonces no hay raíces; 2) si un = 2, Eso X- cualquier número real; 3) si A ≠0, A≠2, entonces X =

Ejemplo Resolvamos la ecuación.

(A - 1) X 2 +2 (2A +1) X +(4A +3) =0; (3)

Solución: En este caso, el valor de control es a=1. El punto es que cuando a=1 la ecuación (3) es lineal, y cuando un ≠ 1 es cuadrado (este es el cambio cualitativo en la ecuación). Esto significa que es recomendable considerar la ecuación (3) como una familia de ecuaciones obtenidas de ella para los siguientes valores de parámetros: 1) A=l; 2) A ≠1.

Consideremos estos casos.

1) cuando a=1 la ecuación (3) tomará la forma b X+7=0. De esto

ecuaciones encontramos x= -

2) De un conjunto de valores de parámetros un ≠ 1, destacamos aquellos valores en los que el discriminante de la ecuación (3) pasa a 0.

El punto es que si el discriminante D=0 en a=a o, luego al pasar el valor D a través del punto y sobre el discriminante puede cambiar de signo (por ejemplo, cuando A<а о D< 0, а при a>a o D>0). Al mismo tiempo, al pasar por el punto ao, el número de raíces reales de la ecuación cuadrática también cambia (en nuestro ejemplo, cuando A<а о no hay raíces, ya que D< 0, а при a>a o D>0 la ecuación tiene dos raíces). Esto significa que podemos hablar de un cambio cualitativo en la ecuación. Por lo tanto, los valores de los parámetros en los que el discriminante de la ecuación cuadrática se vuelve 0 también se denominan valores de control.

Creemos un discriminante para la ecuación (3):

=(2a+ l) 2 - (a - 1) (4a+3). Después de simplificaciones obtenemos = 5a+4.

De la ecuación.

=0 encontramos un = - segundo valor de control del parámetro A. Es más, si A < , entonces D<0; если a ≥ , entonces D≥0.

MKOU "Escuela secundaria número 68 de Lodeynopolskaya"

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Discurso en una reunión de la región de Moscú.

Métodos de resolución de problemas

con parametros

Prokusheva Natalya Gennadievna

Polo Lodéinoye

2013-2014

Problemas con los parámetros.

Los problemas con los parámetros se encuentran entre los más difíciles de los que se ofrecen tanto en el Examen Estatal Unificado como en exámenes competitivos adicionales en las universidades.

Desempeñan un papel importante en la formación del pensamiento lógico y la cultura matemática. Las dificultades que surgen a la hora de resolverlos se deben a que cada problema con parámetros representa toda una clase de problemas ordinarios, para cada uno de los cuales se debe obtener una solución.

Si en una ecuación (desigualdad) algunos coeficientes no están dados por valores numéricos específicos, sino que se designan con letras, entonces se denominan parámetros y la ecuación (desigualdad) es paramétrica.

Como regla general, las incógnitas se indican con las últimas letras del alfabeto latino: x, y, z, ..., y los parámetros con la primera: a, b, c, ...

Resolver una ecuación (desigualdad) con parámetros significa indicar para qué valores de los parámetros existen soluciones y cuáles son. Dos ecuaciones (desigualdades) que contienen los mismos parámetros se llaman equivalentes si:

a) tienen sentido para los mismos valores de parámetros;

b) toda solución de la primera ecuación (desigualdad) es una solución de la segunda y viceversa.

Naturalmente, una clase tan pequeña de problemas no permite que muchos comprendan lo principal: el parámetro, al ser un número fijo pero desconocido, tiene una naturaleza dual. En primer lugar, la supuesta fama permite "comunicarse" con el parámetro como un número y, en segundo lugar, el grado de libertad de comunicación está limitado por su oscuridad. Por lo tanto, dividir por una expresión que contiene un parámetro y extraer la raíz de un grado par de dichas expresiones requiere una investigación preliminar. Normalmente, los resultados de estos estudios influyen tanto en la decisión como en la respuesta.

¿Cómo empezar a resolver este tipo de problemas? No temas los problemas con los parámetros. En primer lugar, debe hacer lo que se hace al resolver cualquier ecuación o desigualdad: reducir la ecuación dada (desigualdad) a una forma más simple, si es posible: factorizar una expresión racional, factorizar un polinomio trigonométrico, deshacerse de módulos, logaritmos, y etc. entonces debes leer atentamente la tarea una y otra vez.

Al resolver problemas que contienen un parámetro, existen problemas que se pueden dividir en dos grandes clases. La primera clase incluye problemas en los que es necesario resolver una desigualdad o ecuación para todos los valores posibles de un parámetro. La segunda clase incluye tareas en las que es necesario encontrar no todas las soluciones posibles, sino solo aquellas que cumplan algunas condiciones adicionales.

La forma más comprensible para que los escolares resuelvan estos problemas es encontrar primero todas las soluciones y luego seleccionar aquellas que satisfagan condiciones adicionales. Pero esto no siempre es posible. Hay un gran número de problemas en los que es imposible encontrar todas las soluciones, y no se nos pide que lo hagamos. Por lo tanto, tenemos que buscar una manera de resolver el problema sin tener a nuestra disposición todo el conjunto de soluciones de una ecuación o desigualdad determinada, por ejemplo, buscar las propiedades de las funciones incluidas en la ecuación que nos permitirán juzgar. la existencia de un determinado conjunto de soluciones.

Principales tipos de tareas con parámetros.

Tipo 1. Ecuaciones, desigualdades, sus sistemas y conjuntos que deben resolverse ya sea para cualquier valor del parámetro (parámetros) o para valores de parámetros pertenecientes a un conjunto predeterminado.

Este tipo de problema es básico a la hora de dominar el tema “Problemas con parámetros”, ya que el trabajo invertido predetermina el éxito en la resolución de problemas de todos los demás tipos básicos.

Tipo 2. Ecuaciones, desigualdades, sus sistemas y conjuntos, para las cuales es necesario determinar el número de soluciones en función del valor del parámetro (parámetros).

Llamamos su atención sobre el hecho de que a la hora de resolver problemas de este tipo no es necesario ni resolver determinadas ecuaciones, desigualdades, sus sistemas y combinaciones, etc., ni proporcionar estas soluciones; En la mayoría de los casos, ese trabajo innecesario es un error táctico que conduce a una pérdida de tiempo innecesaria. Sin embargo, esto no debe ser absoluto, ya que a veces una solución directa de acuerdo con el tipo 1 es la única forma razonable de obtener una respuesta al resolver un problema del tipo 2.

Tipo 3. Ecuaciones, desigualdades, sus sistemas y colecciones, para las cuales se requiere encontrar todos aquellos valores de parámetros para los cuales las ecuaciones, desigualdades, sus sistemas y colecciones especificadas tienen un número determinado de soluciones (en particular, no tienen o tienen un número infinito de soluciones).

Es fácil ver que los problemas de tipo 3 son, en cierto sentido, lo inverso de los problemas de tipo 2.

Tipo 4. Ecuaciones, desigualdades, sus sistemas y conjuntos, para los cuales, para los valores requeridos del parámetro, el conjunto de soluciones satisface las condiciones especificadas en el dominio de definición.

Por ejemplo, busque valores de parámetros en los que:

1) la ecuación se satisface para cualquier valor de la variable de un intervalo dado;
2) el conjunto de soluciones de la primera ecuación es un subconjunto del conjunto de soluciones de la segunda ecuación, etc.

Un comentario. La variedad de problemas con un parámetro cubre todo el curso de matemáticas escolares (tanto álgebra como geometría), pero la inmensa mayoría de ellos en los exámenes finales y de ingreso pertenecen a uno de los cuatro tipos enumerados, que por este motivo se denominan básicos.

La clase más extendida de problemas con un parámetro son los problemas con una incógnita y un parámetro. El siguiente párrafo indica las principales formas de resolver problemas de esta clase en particular.

Métodos básicos para resolver problemas con un parámetro.

Método I(analítico). Este es un método de la llamada solución directa, que repite procedimientos estándar para encontrar la respuesta en problemas sin parámetro. A veces dicen que se trata de un método de solución contundente, en el buen sentido, “arrogante”.

Método II(gráfico). Dependiendo de la tarea (con variable X y parámetro a) se consideran gráficas o en el plano de coordenadas ( X; y), o en el plano de coordenadas ( X; a).

Un comentario. La claridad y belleza excepcionales del método gráfico para resolver problemas con parámetros cautiva tanto a los estudiantes del tema "Problemas con parámetros" que comienzan a ignorar otros métodos de solución, olvidando un hecho bien conocido: para cualquier clase de problemas. , sus autores pueden formular uno que se resuelve brillantemente de esta manera y con dificultades colosales en otras. Por tanto, en la etapa inicial de estudio, es peligroso comenzar con técnicas gráficas para resolver problemas con un parámetro.

Método III(decisión sobre el parámetro). Al resolver de esta manera, las variables X Y a se aceptan como iguales y se selecciona la variable respecto de la cual la solución analítica se considera más simple. Después de simplificaciones naturales, volvemos al significado original de las variables. X Y a y terminar la solución.

Pasemos ahora a demostrar estos métodos para resolver problemas con un parámetro.

1. Ecuaciones lineales y desigualdades con parámetros.

Función lineal: – ecuación de una recta con coeficiente de pendiente . El coeficiente angular es igual a la tangente del ángulo de inclinación de la línea recta a la dirección positiva del eje. .

Ecuaciones lineales con parámetros de la forma.

Si , la ecuación tiene la única cosa solución.

Si , esa ecuación no tiene soluciones, Cuando , y la ecuación tiene infinitas soluciones, Cuando .

Ejemplo 1. Resuelve la ecuación | X | = a .

Solución:

a > 0, => X 1,2 = ± a

a = 0, => X = 0

a < 0, =>no hay soluciones.

Respuesta: X 1,2 = ± a en a > 0; X= 0 en a= 0; no hay soluciones para a < 0.

Ejemplo 2. Resolver ecuación |3 – X | = a .

Solución:

a > 0, => 3 – X = ± a , => X= 3± a

a = 0, => 3 – X = 0. => X = 3

a < 0, =>no hay soluciones.

Respuesta: X 1,2 = 3± a en a > 0; X= 3 en a= 0; no hay soluciones para a < 0.

Ejemplo 3. Resuelve la ecuación metro ² X – metro = X + 1.

Solución:

metro ² X – metro = X + 1

metro ² X – X = metro + 1

(m² – 1)x = m + 1

Respuesta:
en metro ≠ ± 1; X Є R en metro= –1; no hay soluciones para metro = 1.

Ejemplo 4. A resuelve la ecuación: ( a 2 – 4) X = a + 2 .

Solución: Factoricemos el coeficiente. .

Si , la ecuación tiene la única cosa solución: .

Si , la ecuacion no tiene soluciones.

Si , entonces la ecuación tiene infinitas soluciones .

Ejemplo 6. Para todos los valores de los parámetros a resuelve la ecuación:
.

Solución: ODZ: . Bajo esta condición, la ecuación es equivalente a la siguiente: . Comprobemos si perteneces a la ODZ: , Si . Si , entonces la ecuación no tiene soluciones.

Ejemplo 7. Para todos los valores de los parámetros A resuelve la ecuación: | X + 3| – a | X – 1| = 4.

Solución: Dividamos la recta numérica en 3 partes por puntos en los que las expresiones bajo el signo del módulo desaparecen y resolvamos 3 sistemas:

1) , Si . Encontrada será la solución si .

2) , Si . El encontrado satisface la desigualdad requerida, por lo tanto, es una solución para . Si , entonces la solución es cualquiera .

3) , Si . Encontró No satisface la desigualdad requerida, por lo tanto, No es una solución cuando . Si , entonces la solución es cualquier x > 1.

Respuesta: en ; en ;

PAG Rhode Island ; también es una solución para todos .

Ejemplo 8. Encuentra todos A, para cada uno de los cuales al menos una de las soluciones de la ecuación 15 X – 7a = 2 – 3hacha + 6a menos 2 .

Solución: Encontremos soluciones a la ecuación para cada . , Si . Resolvamos la desigualdad: .

Cuando la ecuación no tiene soluciones.

Respuesta : AÎ (–5 , 4) .

Desigualdades lineales con parámetros.

Por ejemplo: Resolver desigualdad: kx < b .

Si k> 0, entonces
. Si k < 0, то
. Si k= 0, entonces cuando b> 0 solución es cualquiera X Є R, y cuando
no hay soluciones.

Resuelve las desigualdades restantes en el cuadro de la misma manera.

Ejemplo 1. Para todos los valores del parámetro a, resuelve la desigualdad.
.

Solución:

. Si el paréntesis está antes X es positivo, es decir en
, Eso
. Si el paréntesis está antes X negativo, es decir en
, Eso
. Si a= 0 o a = , entonces no hay soluciones.

Respuesta:
en
;
en
;

no hay soluciones para a= 0 o a = .

Ejemplo 2. Para todos los valores de los parámetros A resolver la desigualdad | X– un| – | X + a| < 2a .

Solución:

En a=0 tenemos una desigualdad incorrecta 0< 0, т.е. решений нет. Пусть a >0, entonces en x< –a ambos módulos se expanden con un menos y obtenemos la desigualdad incorrecta 2 a < 2a, es decir. no hay soluciones. Si X Є [– a ; a] , entonces el primer módulo se abre con un menos y el segundo con un más, y obtenemos la desigualdad –2 X < 2a, es decir. X > –a, es decir, la solución es cualquier X Є (– a ; a]. Si X > a ambos módulos se abren con un más y obtenemos la desigualdad correcta –2 a < 2a, es decir. , la solución es cualquier X Є ( a; +∞). Combinando ambas respuestas, obtenemos que cuando a > 0 X Є (– a ; +∞).

Dejar a < 0, тогда первое слагаемое больше, чем второе, поэтому разность в левой части неравенства положительна и, следовательно, не может быть меньше отрицательного числа 2a. Así, cuando a < 0 решений нет.

Respuesta: X Є (– a; +∞) en a> 0, no hay soluciones para
.

Comentario. La solución a este problema es más rápida y sencilla si se utiliza la interpretación geométrica del módulo de diferencia de dos números como distancia entre puntos. Entonces la expresión del lado izquierdo se puede interpretar como la diferencia de distancias desde el punto X a puntos A Y - A .

Ejemplo 3. Encuentra todos A, para cada uno de los cuales todas las soluciones de la desigualdad
satisfacer la desigualdad 2 X – a² + 5< 0.

Solución:

La solución a la desigualdad |x | ≤ 2 es un conjunto A=[–2; 2], y la solución a la desigualdad 2 X – a² + 5< 0 является множество B = (–∞;
). Para satisfacer las condiciones del problema, es necesario que el conjunto A esté incluido en el conjunto B (). Esta condición se cumplirá si y sólo si.

Respuesta: a Є (–∞; –3)U (3; +∞).

Ejemplo 4. Encuentre todos los valores de a para los cuales la desigualdad
corre para todos X del segmento.

Solución:

Una fracción es menor que cero entre las raíces, por lo que debes determinar cuál raíz es más grande.

–3a + 2 < 2a + 4
y –3 a + 2 > 2a + 4
. Así, cuando
XЄ (–3 a + 2; 2a+ 4) y para que la desigualdad se cumpla para todo x del segmento , es necesario que

En
XЄ (2 a + 4; –3a+ 2) y para que la desigualdad sea válida para todos X del segmento, es necesario que

Cuando a = – (cuando las raíces coinciden) no hay soluciones, porque en este caso la desigualdad toma la forma: .

Respuesta:
.

Ejemplo 5. A la desigualdad es válida para todos los valores negativos X?

Solución:

La función aumenta monótonamente si el coeficiente en X no negativo, y disminuye monótonamente si el coeficiente en X negativo.

Averigüemos el signo del coeficiente en

a ≤ –3,

a ≥ 1; (a² + 2 a – 3) < 0 <=> –3 < a < 1.

a ≤ –3,

Dejar a≥ 1. Entonces la función F (X ) no disminuye monótonamente y la condición del problema se cumplirá si F (X ) ≤ 0 <=> 3a ² – a – 14 ≤ 0 <=>
.

a ≤ –3,

Junto con las condiciones a≥ 1; obtenemos:

Sea -3< a < 1. Тогда функция F (X ) disminuye monótonamente y la condición del problema nunca puede satisfacerse.

Respuesta:
.

2. Ecuaciones cuadráticas y desigualdades con parámetros.

Función cuadrática:
.

En el conjunto de los números reales, esta ecuación se estudia mediante el siguiente esquema.

Ejemplo 1. ¿A qué valores a la ecuacionX ² – hacha + 1 = 0 ¿No tiene raíces reales?

Solución:

X ² – hacha + 1 = 0

D = a ² – 4 1 =a ² – 4

a ² – 4< 0 + – +

( a – 2)( a + 2) < 0 –2 2

Respuesta: ena Є (–2; 2)

Ejemplo 2.¿Para qué valores de a la ecuación A (X ² – X + 1) = 3 X + 5 ¿Tiene dos raíces reales diferentes?

Solución:

A (X ² – X + 1) = 3 X + 5, A ≠ 0

Oh ² – ah+ un – 3 X – 5 = 0

Oh ² – ( A + 3) X + A – 5 = 0

D = ( a +3)² – 4a ( a – 5) = a +6a + 9 – 4 a ² + 20a = –3 a ² + 26a + 9

–3 a ² + 26 a + 9 > 0

3 a ² – 26a – 9 < 0

D = 26² – 4 3 (–9) = 784

a 1 =
; a 2 =
+ – +

0 9

Respuesta:enaЄ (–1/3; 0)Ud. (0; 9)

Ejemplo 3: resolver la ecuación
.

Solución:

ODZ: X ≠1, X ≠ a

X – 1 + X – a = 2, 2 X = 3 + a ,

1)
; 3 + a ≠ 2; a ≠ –1

2)
; 3 + a ≠ 2 a ; a ≠ 3

Respuesta:
ena Є (–∞; –1)Ud. (–1; 3) Ud. (3; +∞);

no hay soluciones paraa = –1; 3.

Ejemplo4 . Resuelve la ecuación | X ²–2 X –3 | = a .

Solución:

Veamos las funciones. y = | X ²–2 X –3 | Yy = a .

En a < 0 sin soluciones;
en a = 0 y a> 4 dos soluciones;
en 0< a < 4 – четыре решения;
en a= 4 – tres soluciones.

Respuesta:

en a < 0 нет решений;
en a= 0 y a> 4 dos soluciones;
en 0< a < 4 – четыре решения;
en a= 4 – tres soluciones.

Ejemplo 5.Encuentra todos los valores a , para cada uno de los cuales la ecuación | X ²–( a +2) X +2 a | = | 3 X –6 |
tiene exactamente dos raíces. Si tales valores a más de uno, indique su producto en su respuesta.

Solución:

Expandamos el trinomio cuadrático X ²–( a +2) X +2 a por multiplicadores.
;
;
;

Obtenemos | ( X –2)( X – a ) | = 3 | X –2 |.
Esta ecuación es equivalente al conjunto

Por lo tanto, esta ecuación tiene exactamente dos raíces si a+ 3 = 2 y a – 3 = 2.
A partir de aquí encontramos que los valores deseados a son a 1 = –1; a 2 = 5; a 1 · a 2 = –5.

Respuesta: –5.

Ejemplo 6.Encuentra todos los valores a , para lo cual las raíces de la ecuación hacha ² – 2( a + 1) X – a + 5 = 0 son positivos.

Solución:

Punto de control a= 0, porque cambia la esencia de la ecuación.

1. a = 0 –2X + = 0;

Respuesta: a Є U .

Ejemplo 7.En¿Qué valores de parámetros? a la ecuacion | X ² – 4 X + 3 | = hacha tiene 3 raíces.

Solución:

Construyamos gráficos de funciones. y = | X ² – 4 X + 3 | Y y = hacha .

La función se grafica en el segmento.
.
Esta ecuación tendrá tres raíces si la gráfica de la función y = hacha será tangente a la gráfica y = X ²+ 4 X – 3 en
segmento

La ecuación tangente tiene la forma y = F (X 0 ) + F ’(X 0 )(X – X 0 ),

Porque ecuación tangente y = a, obtenemos un sistema de ecuaciones

Porque X 0 Є ,

Respuesta: en a = 4 – 2
.

Desigualdades cuadráticas con parámetros.

Ejemplo.Encuentra todos los valores de los parámetros a , para cada una de las cuales entre las soluciones a las desigualdades
no hay ningún punto en el segmento de recta.

Solución:

Primero, resolvamos la desigualdad para todos los valores del parámetro y luego encontremos aquellos para los cuales no hay un solo punto del segmento entre las soluciones. .
Dejar
, hacha = t ²

t ≥ 0

Con tal reemplazo de variables, la ODZ de la desigualdad se realiza automáticamente. X se puede expresar a través de t, Si a≠ 0. Por lo tanto, el caso cuando a = 0, lo consideraremos por separado.
1.Dejar a = 0, entonces X> 0, y el segmento dado es una solución.
2.Dejar a≠ 0, entonces
y desigualdad
tomará la forma
,

La solución a la desigualdad depende de los valores. a, por lo que tenemos que considerar dos casos.
1) si a>0, entonces
en
, o en variables antiguas,

La solución no contiene un solo punto del segmento dado si y solo si se cumplen las condiciones a ≤ 7,

16a≥ 96. Por lo tanto, a Є .
2). Si A< 0, то
;
; tЄ (4 a ; a). Porque t≥ 0, entonces no hay soluciones.

Respuesta: .

Ecuaciones irracionales con parámetros.

Al resolver ecuaciones y desigualdades irracionales con un parámetro, en primer lugar, se debe tener en cuenta el rango de valores aceptables. En segundo lugar, si ambos lados de la desigualdad son expresiones no negativas, entonces dicha desigualdad se puede elevar al cuadrado manteniendo el signo de la desigualdad.
En muchos casos, las ecuaciones y desigualdades irracionales se reducen a cuadráticas después de cambiar las variables.

Ejemplo 1. Resuelve la ecuación
.

Solución:

ODZ: X + 1 ≥ 0, X ≥ –1, a ≥ 0.

X + 1 = a ².

Si X = a² – 1, entonces se cumple la condición.

Respuesta: X = a² – 1 en A≥ 0; no hay soluciones para a < 0.

Ejemplo 2: resolver la ecuación
.

Solución:

ODZ: X + 3 ≥ 0, X ≥ –3,

hacha ≥ 0; X ≤ a;

X + 3 = hacha,

2X = a – 3,

<=>
<=>
<=> a ≥ –3.

Respuesta:
en a≥ –3; no hay soluciones para a < –3.

Ejemplo 3.¿Cuántas raíces tiene la ecuación?
dependiendo de los valores de los parámetros A?

Solución:

Rango de valores aceptables de la ecuación: x Є [–2; 2]

Construyamos gráficas de funciones. La gráfica de la primera función es la mitad superior del círculo. X² + y² = 4. La gráfica de la segunda función es la bisectriz del primer y segundo ángulo coordenado. De la gráfica de la primera función, resta la gráfica de la segunda y obtén la gráfica de la función.
. si reemplazas en en A, entonces la última gráfica de la función es el conjunto de puntos (x; a) que satisfacen la ecuación original.

Según el gráfico vemos la respuesta.

Respuesta: en AЄ (–∞; –2) U (1; +∞), sin raíces;

en AЄ [–2; 2), dos raíces;

en A= 1, una raíz.

Ejemplo 4.¿En qué valores de parámetros A la ecuacion
tiene una única solución?

Solución:

Método 1 (analítico):

Respuesta:

Método 2 (gráfico):

Respuesta: para a ≥ –2 la ecuación tiene una solución única

Ejemplo 5.¿Para qué valores del parámetro a la ecuación = 2 + x tiene solución única?

Solución:

Consideremos una versión gráfica de la solución de esta ecuación, es decir, construiremos dos funciones:
en 1 = 2 + X Y en 2 =

La primera función es lineal y pasa por los puntos (0; 2) y (–2; 0).
La gráfica de la segunda función contiene un parámetro. Consideremos primero la gráfica de esta función en A= 0 (Figura 1). Al cambiar el valor del parámetro, el gráfico se moverá a lo largo del eje. OH por el valor correspondiente a la izquierda (para positivo A) o hacia la derecha (para negativos A) (Figura 2)

De la figura queda claro que cuando A < –2 графики не пересекают друг друга, а следовательно не имеют общих решений. Если же значение параметра а больше либо равно –2, то графики имеют одну точку пересечения, а следовательно одно решение.

Respuesta: en a≥ –2 la ecuación tiene solución única.

Ecuaciones trigonométricas con parámetros.

Ejemplo 1.Resuelve la ecuación pecado (– X + 2 X – 1) = b + 1.

Solución:

Dada la rareza de la función
, reducimos esta ecuación al equivalente
.

1. b = –1

3. b =–2

4. | b + 1| > 1

No hay soluciones.

5. bЄ(–1; 0)

6. bЄ(–2; –1)

Ejemplo 2.Encuentre todos los valores del parámetro p para los cuales la ecuación
no tiene soluciones.

Solución:

Expresemos cos 2 X a través de pecado.

Dejar
luego la tarea se redujo a encontrar todos los valores pag, para lo cual la ecuación no tiene soluciones en [–1; 1]. La ecuación no se puede resolver algorítmicamente, por lo que resolveremos el problema usando una gráfica. Escribamos la ecuación en la forma y ahora un boceto de la gráfica del lado izquierdo.
fácil de construir.
La ecuación no tiene soluciones si la recta y = pag+ 9 no cruza la gráfica en el intervalo [–1; 1], es decir

Respuesta:pag Є (–∞; –9) U (17; +∞).

Sistemas de ecuaciones con parámetros.

Sistemas de dos ecuaciones lineales con parámetros.

Sistema de ecuaciones

Las soluciones de un sistema de dos ecuaciones lineales son los puntos de intersección de dos rectas: y .

Hay 3 casos posibles:

1. Las rectas no son paralelas . Entonces sus vectores normales no son paralelos, es decir . En este caso, el sistema tiene única decisión.

2. Las rectas son paralelas y no coinciden. Entonces sus vectores normales son paralelos, pero los desplazamientos son diferentes, es decir .

En este caso el sistema no tiene soluciones .

3. Las rectas coinciden. Entonces sus vectores normales son paralelos y los desplazamientos coinciden, es decir . En este caso, el sistema tiene infinitas soluciones - todos los puntos de una recta .

1. Sistemas de ecuaciones lineales con parámetro.

Los sistemas de ecuaciones lineales con un parámetro se resuelven mediante los mismos métodos básicos que los sistemas de ecuaciones ordinarios: el método de sustitución, el método de suma de ecuaciones y el método gráfico. El conocimiento de la interpretación gráfica de sistemas lineales facilita responder a la pregunta sobre el número de raíces y su existencia.

Ejemplo 1.

Encuentre todos los valores del parámetro a para los cuales el sistema de ecuaciones no tiene soluciones.

(x + (a 2 – 3)y = a,
(x + y = 2.

Solución.

Veamos varias formas de resolver esta tarea.

1 vía. Usamos la propiedad: el sistema no tiene soluciones si la razón de los coeficientes delante de x es igual a la razón de los coeficientes delante de y, pero no igual a la razón de los términos libres (a/a 1 = b /b 1 ≠ c/c 1). Entonces nosotros tenemos:

1/1 = (a 2 – 3)/1 ≠ a/2 o sistema

(y 2 – 3 = 1,
(un ≠ 2.

De la primera ecuación a 2 = 4, por tanto, teniendo en cuenta la condición de que a ≠ 2, obtenemos la respuesta.

Respuesta: a = -2.

Método 2. Resolvemos por el método de sustitución.

(2 – y + (a 2 – 3)y = a,
(x = 2 – y,

((a 2 – 3)y – y = a – 2,
(x = 2 – y.

Después de quitar el factor común y entre paréntesis en la primera ecuación, obtenemos:

((a 2 – 4)y = a – 2,
(x = 2 – y.

El sistema no tiene soluciones si la primera ecuación no tiene soluciones, es decir

(y 2 – 4 = 0,
(un – 2 ≠ 0.

Obviamente, a = ±2, pero teniendo en cuenta la segunda condición, la respuesta sólo viene con un resultado negativo.

Respuesta: a = -2.

Ejemplo 2.

Encuentre todos los valores del parámetro a para los cuales el sistema de ecuaciones tiene un número infinito de soluciones.

(8x + ay = 2,
(ax + 2y = 1.

Solución.

Según la propiedad, si la razón de los coeficientes de x e y es la misma y es igual a la razón de los miembros libres del sistema, entonces tiene un número infinito de soluciones (es decir, a/a 1 = b/ segundo 1 = c/c 1). Por lo tanto 8/a = a/2 = 2/1. Al resolver cada una de las ecuaciones resultantes, encontramos que a = 4 es la respuesta en este ejemplo.

Respuesta: un = 4.

2. Sistemas de ecuaciones racionales con parámetro.

Ejemplo 3.

(3|x| + y = 2,
(|x| + 2y = a.

Solución.

Multipliquemos la primera ecuación del sistema por 2:

(6|x| + 2y = 4,
(|x| + 2y = a.

Restando la segunda ecuación de la primera, obtenemos 5|x| = 4 – una. Esta ecuación tendrá una solución única para a = 4. En otros casos, esta ecuación tendrá dos soluciones (para a< 4) или ни одного (при а > 4).

Respuesta: a = 4.

Ejemplo 4.

Encuentre todos los valores del parámetro a para los cuales el sistema de ecuaciones tiene una solución única.

(x + y = a,
(y – x 2 = 1.

Solución.

Resolveremos este sistema utilizando el método gráfico. Por tanto, la gráfica de la segunda ecuación del sistema es una parábola elevada a lo largo del eje Oy hacia arriba en un segmento unitario. La primera ecuación especifica un conjunto de rectas paralelas a la recta y = -x (Foto 1). En la figura se ve claramente que el sistema tiene solución si la recta y = -x + a es tangente a la parábola en un punto de coordenadas (-0,5, 1,25). Sustituyendo estas coordenadas en la ecuación de la línea recta en lugar de x e y, encontramos el valor del parámetro a:

1,25 = 0,5 + a;

Respuesta: a = 0,75.

Ejemplo 5.

Usando el método de sustitución, averigüe en qué valor del parámetro a, el sistema tiene una solución única.

(ax – y = a + 1,
(ax + (a + 2)y = 2.

Solución.

De la primera ecuación expresamos y y la sustituimos en la segunda:

(y = hacha – a – 1,
(ax + (a + 2)(ax – a – 1) = 2.

Reduzcamos la segunda ecuación a la forma kx = b, que tendrá una solución única para k ≠ 0. Tenemos:

hacha + a 2 x – a 2 – a + 2ax – 2a – 2 = 2;

a 2 x + 3ax = 2 + a 2 + 3a + 2.

Representamos el trinomio cuadrado a 2 + 3a + 2 como producto de paréntesis

(a + 2)(a + 1), y a la izquierda quitamos x de paréntesis:

(a 2 + 3a)x = 2 + (a + 2)(a + 1).

Obviamente, a 2 + 3a no debe ser igual a cero, por lo tanto,

a 2 + 3a ≠ 0, a(a + 3) ≠ 0, lo que significa a ≠ 0 y ≠ -3.

Respuesta: un ≠ 0; ≠ -3.

Ejemplo 6.

Usando el método de solución gráfica, determine en qué valor del parámetro a el sistema tiene una solución única.

(x 2 + y 2 = 9,
(y – |x| = a.

Solución.

Con base en la condición construimos un círculo con centro en el origen y un radio de 3 segmentos unitarios, esto es lo que especifica la primera ecuación del sistema;

x 2 + y 2 = 9. La segunda ecuación del sistema (y = |x| + a) es una línea discontinua. Mediante el uso Figura 2 Consideramos todos los casos posibles de su ubicación con respecto al círculo. Es fácil ver que a = 3.

Respuesta: a = 3.

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Problemas con los parámetros. Los problemas más simples sobre el trinomio cuadrático.

Hoy veremos problemas que involucran un trinomio cuadrático, sobre los cuales, dependiendo del parámetro, necesitaremos descubrir algo. Este “algo” puede ser tan variado como sea suficiente la imaginación de los creadores de la tarea. Este es el tipo más simple de problema con parámetros. Y si te encuentras con uno de estos durante el Examen Estatal Unificado, ¡considérate afortunado!

Pero antes de empezar a analizar las tareas en sí, respóndete estas sencillas preguntas:

- ¿Qué es una ecuación cuadrática, cómo se ve y cómo se resuelve?

- ¿Qué es un discriminante y dónde colocarlo?

- ¿Qué es el teorema de Vieta y dónde se puede aplicar?

Si responde correctamente a estas sencillas preguntas, tendrá garantizado un 50% de éxito en la resolución de problemas paramétricos que involucran un trinomio cuadrático. Y el 50% restante es álgebra y aritmética ordinaria: abrir paréntesis, traer similares, resolver ecuaciones, desigualdades y sistemas, etc.

¡Entonces empecemos!

Primero, veamos un problema completamente inofensivo. Para calentar. :)

Ejemplo 1

Comencemos con la solución. En primer lugar, para no estropear los coeficientes en el futuro, siempre es útil escribirlos por separado. Directo a la columna. Como esto:

a = 1

segundo = -(a-1)

C = a-2

¡Sí Sí! Algunos de los coeficientes de la ecuación (es decir, b y c) dependen del parámetro. Éste es precisamente el objetivo de tales tareas. Y ahora volvamos a leer atentamente la condición. La pista clave en la redacción de la tarea son las palabras "raíz única". ¿Y cuándo tiene una ecuación cuadrática? raíz única? Utilicemos nuestros conocimientos teóricos sobre ecuaciones cuadráticas. Sólo en un solo caso -cuando discriminante es cero.

Entonces escribimos:

D=0

Todo lo que queda es crear una expresión para el discriminante y equipararlo a cero. ¡Ir!

Ahora necesitamos equiparar nuestro discriminante a cero:

Por supuesto, puedes resolver esto mediante un discriminante o puedes hacer un poco de trampa. ¿Cómo se ve el lado izquierdo si miras de cerca? Parece el cuadrado de la diferencia. (a-3) 2 !

¡Respeto a los atentos! ¡Bien! Si reemplazamos nuestra expresión de la izquierda con (a-3) 2 ¡Entonces la ecuación se resolverá en tu cabeza!

(a - 3) 2 = 0

a - 3 = 0

a = 3

Eso es todo. Esto significa que nuestra ecuación cuadrática con un parámetro tendrá una raíz única solo en un caso: cuando el valor del parámetro "a" es igual a tres.)

Respuesta: 3

Este fue un ejemplo de calentamiento. Para captar la idea general.) Ahora habrá un problema más grave.

Ejemplo 2

Aquí hay un problema. Empezamos a desentrañarnos. Primero, escribamos nuestra ecuación cuadrática:

0,5x 2 - 2x + 3a + 1,5 = 0

El paso más lógico sería multiplicar ambos lados por 2. Entonces los coeficientes fraccionarios desaparecerán y la ecuación misma se volverá más bonita. Multiplicar:

Anotamos nuestros coeficientes a, b, c en una columna:

a = 1

b = -4

C = 6 a+3

Se puede observar que los coeficientes a Y b tenemos permanentes, pero aquí hay un miembro gratuito Con depende del parámetro "a"! Que puede ser cualquier cosa: positiva, negativa, entera, fraccionaria, irracional, ¡cualquier cosa!

“Para que la suma de los cubos de las raíces sea menor que 28, estas mismas raíces, en primer lugar, debe existir. En su propia. Básicamente. Y las raíces de una ecuación cuadrática existen si y sólo si su discriminante no es negativo. Además, la tarea habla de dos varios raíces Esta frase significa que nuestro discriminante debe ser no sólo no negativo, sino estrictamente positivo!»

Si razonas de esta manera, ¡te estás moviendo en la dirección correcta! Correcto.) Creamos una condición de positividad para el discriminante:

D= (-4) 2 - 4·1·(6a+3) = 16-24 a-12 = 4-24 a

4-24 a > 0

-24 a > -4

a < 1/6

La condición resultante nos dice que nuestra ecuación tendrá dos raíces diferentes no para ningún valor del parámetro “a”, sino solo para aquellos que ¡menos de una sexta parte! Este es un requisito global que debe seguirse estrictamente. No importa si nuestra suma de raíces cúbicas es menor que 28 o más. Valores del parámetro “a” mayores o iguales a 1/6, us obviamente no servirá. Hood.) Se colocaron pajitas. Vamonos.

Pasemos ahora a la misteriosa suma de raíces cúbicas. Según la condición, debería ser menor que 28. Entonces escribimos:

Esto significa que para responder a la pregunta del problema, debemos considerar conjuntamente dos condiciones:

El método más laborioso consiste en encontrar directamente las raíces de la ecuación a través de un parámetro. Directamente según la fórmula general de raíces. Como esto:

Ahora componemos la suma de los cubos de las raíces encontradas que necesitamos y exigimos que sea menor que 28:

Y luego, álgebra ordinaria: revelamos la suma de cubos usando la fórmula de multiplicación abreviada, damos otros similares, reducimos, etc. Si las raíces de nuestra ecuación resultaran más bellas, sin radicales, entonces ese método "frontal" no estaría mal. Pero el problema es que nuestras raíces dan un poco de miedo. Y de alguna manera soy reacio a sustituirlos en la suma de cubos, sí. Por tanto, para evitar este engorroso trámite, propongo un segundo método, para aquellos que estén atentos.

Para ello, revelamos la suma de los cubos de las raíces utilizando la fórmula de multiplicación abreviada correspondiente. En términos generales:

Total:

Al parecer, ¿qué pasa con esto? ¡Ahora será interesante! Echemos otro vistazo a nuestra ecuación. Con el mayor cuidado posible:

¿Cuál es el coeficiente aquí? X 2 ? Así es, ¡uno! ¿Cómo se llama esta ecuación? ¡Así es, dado! Y dado que esto se da, entonces es cierto para él. Teorema de Vieta:

¡Aquí hay otro teorema que nos resultó útil! Ahora, directamente por el teorema de Vieta, sustituimos la suma y el producto de las raíces en nuestro requisito para la suma de cubos:

Ya sólo queda abrir los corchetes y resolver una desigualdad lineal simple:

4·(16-18a-9) < 28

64–72a+36< 28

-72a< 28-64+36

-72a< 0

a > 0

Recordamos que también tenemos un requerimiento global a < 1/6 . Esto significa que nuestro conjunto resultante a > 0 es necesario cruz con la condicióna < 1/6 . Hacemos un dibujo, lo cruzamos y anotamos la respuesta final.

Respuesta:

Sí. Aquí hay un intervalo tan pequeño. De cero a un sexto... ¡Ya ves cómo el conocimiento del teorema de Vieta a veces te hace la vida más fácil!

Aquí tienes algunos consejos prácticos: Si la tarea habla de construcciones como suma, producto, suma de cuadrados, suma de raíces cúbicas, entonces intentamos aplicar el teorema de Vieta. En el 99% de los casos la solución se simplifica enormemente.

Estos fueron ejemplos bastante simples. Para captar la esencia. Ahora habrá ejemplos más impresionantes.

Por ejemplo, este problema de la versión real del Examen Estatal Unificado:

Ejemplo 3

¿Qué inspira? No tenemos miedo de nada y actuamos según nuestro principio favorito: « Si no sabes lo que necesitas, ¡haz lo que puedas!»

Nuevamente, escribe cuidadosamente todos los coeficientes de nuestra ecuación cuadrática:

un = 1

b = -6

C = a 2 -4 a

Ahora leamos el enunciado del problema y encontremos las palabras. "módulo de la diferencia entre las raíces de la ecuación". El módulo de diferencia no nos concierne todavía, pero las palabras "raíces de la ecuación" Tomémoslo en cuenta. Dado que estamos hablando de raíces (no importa si son dos idénticas o dos diferentes), ¡nuestro discriminante debe ser no negativo! Entonces escribimos:

D ≥ 0

Bueno, describamos cuidadosamente nuestro discriminante a través del parámetro A:

D= (-6) 2 – 4 1 (12 +a 2 -4 a) = 36 - 48 - 4a 2 + 16a = -4a 2 +16a-12.

Ahora resolvamos la desigualdad cuadrática. Según el esquema estándar, mediante la correspondiente ecuación cuadrática y un dibujo esquemático de una parábola:

Esto significa que para que nuestra ecuación básicamente había al menos algunas raíces, un parámetro A debe estar en el intervalo [-1; 3]. Éste es un requisito férreo. Bien. Recordemos.)

Y ahora vayamos a este mismo módulo de la diferencia entre las raíces de la ecuación. Quieren que hagamos algo como esto

Tomaría el mayor valor. Para ello no se puede hacer nada, pero ahora aún nos queda encontrar las raíces mismas y compensar su diferencia: x 1 – x 2. El teorema de Vieta esta vez es impotente.

Bueno, calculamos las raíces usando la fórmula general:

Ahora recordemos que la raíz cuadrada es un valor que se sabe que es no negativo. Por lo tanto, el módulo se puede bajar de forma segura sin dañar la salud. En total, nuestro módulo de diferencia raíz se ve así:

Y esta función fa) debe aceptar valor más alto. Y para encontrar el mayor valor contamos con una herramienta tan poderosa como derivado! ¡Adelante y canta!)

Diferenciamos nuestra función e igualamos la derivada a cero:

Tenemos el único punto crítico. a = 2 . ¡Pero esta aún no es la respuesta, ya que todavía tenemos que comprobar que el punto encontrado es efectivamente el punto máximo! Para ello, examinamos los signos de nuestra derivada a la izquierda y a la derecha de dos. Esto se hace fácilmente mediante una simple sustitución (por ejemplo, a = 1,5 y a = 2,5).

A la izquierda de los dos la derivada es positiva y a la derecha de los dos la derivada es negativa. Esto significa que nuestro punto a = 2 Es de hecho el punto máximo. El área sombreada en la imagen significa que estamos considerando nuestra función. solo en el segmento. Fuera de este segmento de nuestra función F(a) simplemente no existe. Porque en el área sombreada nuestro discriminante es negativo, y hablar de raíces (y también de funciones) no tiene sentido. Creo que esto es comprensible.

Todo. Ahora nuestro problema está completamente resuelto.

Respuesta: 2.

Hubo una aplicación de la derivada aquí. Y también hay problemas en los que hay que resolver ecuaciones o desigualdades con módulos que tanto odian muchos estudiantes y comparar feos números irracionales con raíces. ¡Lo principal es no tener miedo! Veamos un problema similar (por cierto, también del Examen Estatal Unificado).

Ejemplo 4

Entonces empecemos. En primer lugar, observamos que el parámetro A bajo ninguna circunstancia puede ser igual a cero. ¿Por qué? Y en su lugar sustituyes en la ecuación original. A cero ¿Lo que sucederá?

Consiguió lineal ecuación que tiene el único raíz x=2. Y este no es nuestro caso en absoluto. Quieren que tengamos una ecuación dos diferentes raíz, y para ello necesitamos que sea al menos cuadrada.)

Entonces, un ≠ 0.

Para todos los demás valores del parámetro, nuestra ecuación será bastante cuadrática. Y, por tanto, para que tenga dos raíces distintas, es necesario (y suficiente) que su discriminante sea positivo. Es decir, nuestro primer requisito será D > 0 .

D = 4(a-1) 2 – 4a(a-4) = 4a 2 -8a+4-4a 2 +16a = 4+8a

Como esto. Esto significa que nuestra ecuación tiene dos raíces diferentes si y sólo si el parámetro a > -1/2. Con otras “a”, la ecuación tendrá una raíz o ninguna. Tomemos nota de esta condición y sigamos adelante.

¿Por qué se necesita el módulo aquí? Y luego, que cualquier distancia (en la naturaleza, en matemáticas) - valor no negativo. Además, aquí no tiene ninguna importancia qué raíz aparecerá primero en esta diferencia y cuál en segundo lugar: el módulo es una función par y quema un signo negativo. Exactamente lo mismo que un cuadrado.

Esto significa que la respuesta a la pregunta del problema es la solución del siguiente sistema:

Ahora que el pimiento está claro, necesitamos encontrar las raíces. También aquí todo es obvio y transparente. Sustituimos cuidadosamente todos los coeficientes en nuestra fórmula general de raíces y calculamos:

Excelente. Se han obtenido las raíces. Ahora comenzamos a formar nuestra distancia:

Nuestra distancia entre las raíces debe ser mayor que tres, por lo que ahora necesitamos resolver esta desigualdad:

La desigualdad no es un regalo: un módulo, una raíz... ¡Pero todavía estamos resolviendo el grave problema número 18 del Examen Estatal Unificado! Hacemos todo lo posible para simplificar la apariencia de desigualdad tanto como sea posible. Lo que no me gusta más aquí es la fracción. Entonces, lo primero que haré es eliminar el denominador multiplicando ambos lados de la desigualdad por |a|. Este Poder hacer, ya que, en primer lugar, al comienzo de resolver el ejemplo, acordamos que un ≠ 0, y en segundo lugar, el módulo en sí es una cantidad no negativa.

Entonces, siéntete libre de multiplicar ambos lados de la desigualdad por positivo número | a|. signo de desigualdad salvado:

Como esto. Ya tenemos a nuestra disposición desigualdad irracional con módulo. Está claro que para solucionarlo necesitamos deshacernos del módulo. Por lo tanto, deberá dividir la solución en dos casos: cuando el parámetro A, que se encuentra debajo del módulo, es positivo y negativo cuando. Lamentablemente, no tenemos otra forma de deshacernos del módulo.

¡Entonces!

Caso 1 (a>0, |a|=a)

En este caso, nuestro módulo se expande con un más y la desigualdad (¡sin el módulo!) toma la siguiente forma:

La desigualdad tiene la estructura: “raíz más funciones". Estas desigualdades irracionales se resuelven según el siguiente esquema estándar:

Consideramos por separado el caso a), cuando ambos lados de la desigualdad están al cuadrado y el lado derecho no es negativo, y por separado, el caso b), cuando el lado derecho sigue siendo negativo, pero se extrae la raíz misma. ) Y soluciones a estos dos sistemas. unir.

Entonces, de acuerdo con este esquema, nuestra desigualdad se escribirá así:

Y ahora podrá simplificar significativamente su trabajo posterior. Para ello recordemos que en caso 1 estamos considerando soloa>0 . Teniendo en cuenta este requisito, el segundo sistema puede excluirse por completo de la consideración, ya que la segunda desigualdad en él (3a<0) эквивалентно неравенству a<0, а условия a>0 y un<0 – это два взаимно исключающих требования.

Simplificamos nuestro conjunto teniendo en cuenta la condición principal a>0:

Como esto. Ahora resolvamos la desigualdad cuadrática más común:

Estamos interesados en espacio entre raíces. Eso es,

Excelente. Ahora cortamos este intervalo con la segunda condición del sistema a>0:

Comer. Por tanto, la primera parte de la respuesta a nuestra desigualdad (¡y todavía no a todo el problema!) será este intervalo:

Todo. El caso 1 está desglosado. Pasemos al caso 2.

Caso 2 ( a< 0, | a |=- a )

En este caso, nuestro módulo se expande con un menos y la desigualdad toma la siguiente forma:

Nuevamente tenemos la estructura: “raíz más funciones". Usamos nuestro esquema estándar con dos sistemas (ver arriba):

Teniendo en cuenta el requisito general. a<0 , volvemos, como en el caso anterior, a realizar simplificaciones máximas: tachamos el segundo sistema debido a la inconsistencia de los dos requisitos -3a< 0 и нашего общего условия a<0 para todo casos 2 .

Y nuevamente cortamos nuestro trabajo. porque lo tenemos ya está decidido en el proceso de análisis caso 1 ! La solución a esta desigualdad era la siguiente:

Todo lo que queda es cruzar este intervalo con nuestra nueva condición un<0.

Cruzamos:

Aquí está la segunda parte de la respuesta:

Por cierto, ¿cómo supe que el cero se encuentra exactamente? entre¿Nuestras raíces irracionales? ¡Fácilmente! Evidentemente, la raíz derecha es obviamente positiva. En cuanto a la raíz izquierda, simplemente en mi mente comparó un número irracional

Con cero. Como esto:

Y ahora unir ambos intervalos encontrados. porque decidimos totalidad (no sistema):

El trabajo está hecho. Estos dos intervalos son todavía sólo solución de desigualdad

Quién lo olvidó, esta desigualdad es responsable de la distancia entre las raíces de nuestra ecuación. Que debería ser más de 3. ¡Pero! ¡Ésta aún no es la respuesta!

También tenemos una condición discriminante positivo! Desigualdad a>-1/2, ¿recuerdas? Esto significa que todavía necesitamos cruzar este conjunto con la condición a>-1/2. En otras palabras, ahora nosotros debe cruzar dos conjuntos:

Pero hay un problema. Nosotros no lo sabemos, exactamente cómo se ubica el número -1/2 en la línea relativa a la raíz izquierda (negativa). Para ello tendremos que comparar dos números entre sí:

Ahora tomamos un borrador y comenzamos a comparar nuestros números. Como eso:

Esto significa que la fracción -1/2 en la recta numérica es A la izquierda nuestra raíz izquierda. Y la imagen de la respuesta final al problema será algo como esto: