Este artículo revela el significado de la perpendicularidad de dos vectores en un plano en un espacio tridimensional y cómo encontrar las coordenadas de un vector perpendicular a uno o un par completo de vectores. El tema es aplicable a problemas que involucran ecuaciones de rectas y planos.
Consideraremos la condición necesaria y suficiente para la perpendicularidad de dos vectores, resolveremos el método para encontrar un vector perpendicular a uno dado y abordaremos situaciones para encontrar un vector perpendicular a dos vectores.
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Condición necesaria y suficiente para la perpendicularidad de dos vectores.
Apliquemos la regla sobre vectores perpendiculares en el plano y en el espacio tridimensional.
Definición 1
Siempre que el ángulo entre dos vectores distintos de cero sea igual a 90 ° (π 2 radianes), se llama perpendicular.
¿Qué significa esto y en qué situaciones es necesario conocer su perpendicularidad?
Es posible establecer la perpendicularidad a través del dibujo. Al trazar un vector en un plano a partir de puntos dados, puedes medir geométricamente el ángulo entre ellos. Incluso si se establece la perpendicularidad de los vectores, no será del todo exacta. La mayoría de las veces, estas tareas no le permiten hacer esto usando un transportador, por lo que este método es aplicable solo cuando no se sabe nada más sobre los vectores.
La mayoría de los casos para demostrar la perpendicularidad de dos vectores distintos de cero en un plano o en el espacio se realizan usando Condición necesaria y suficiente para la perpendicularidad de dos vectores..
Teorema 1
El producto escalar de dos vectores distintos de cero a → y b → igual a cero para satisfacer la igualdad a → , b → = 0 es suficiente para su perpendicularidad.
Evidencia 1
Sean perpendiculares los vectores dados a → y b →, entonces demostraremos la igualdad a ⇀ , b → = 0 .
De la definición de producto escalar de vectores sabemos que es igual el producto de las longitudes de vectores dados y el coseno del ángulo entre ellos. Por condición, a → y b → son perpendiculares, lo que significa, según la definición, que el ángulo entre ellos es de 90 °. Entonces tenemos a → , b → = a → · b → · cos (a → , b → ^) = a → · b → · cos 90 ° = 0 .
Segunda parte de la prueba.
Siempre que a ⇀, b → = 0, demuestre la perpendicularidad de a → y b →.
De hecho, la prueba es la contraria a la anterior. Se sabe que a → y b → son distintos de cero, lo que significa que a partir de la igualdad a ⇀ , b → = a → · b → · cos (a → , b →) ^ encontramos el coseno. Entonces obtenemos cos (a → , b →) ^ = (a → , b →) a → · b → = 0 a → · b → = 0 . Como el coseno es cero, podemos concluir que el ángulo a →, b → ^ de los vectores a → y b → es igual a 90 °. Por definición, esta es una propiedad necesaria y suficiente.
Condición de perpendicularidad en el plano coordenado.
Capítulo producto escalar en coordenadas demuestra la desigualdad (a → , b →) = a x · b x + a y · b y , válida para vectores con coordenadas a → = (a x , a y) y b → = (b x , b y), en el plano y (a → , b → ) = a x · b x + a y · b y para vectores a → = (a x , a y , a z) y b → = (b x , b y , b z) en el espacio. La condición necesaria y suficiente para la perpendicularidad de dos vectores en el plano coordenado es a x · b x + a y · b y = 0, para el espacio tridimensional a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0.
Pongámoslo en práctica y veamos ejemplos.
Ejemplo 1
Compruebe la propiedad de perpendicularidad de dos vectores a → = (2, - 3), b → = (- 6, - 4).
Solución
Para resolver este problema, necesitas encontrar el producto escalar. Si según la condición es igual a cero, entonces son perpendiculares.
(a → , b →) = a x · b x + a y · b y = 2 · (- 6) + (- 3) · (- 4) = 0 . Se cumple la condición, lo que significa que los vectores dados son perpendiculares al plano.
Respuesta: sí, los vectores dados a → y b → son perpendiculares.
Ejemplo 2
Se dan los vectores de coordenadas i → , j → , k → . Comprueba si los vectores i → - j → e i → + 2 · j → + 2 · k → pueden ser perpendiculares.
Solución
Para recordar cómo se determinan las coordenadas vectoriales, debe leer el artículo sobre Coordenadas vectoriales en un sistema de coordenadas rectangular. Por lo tanto, encontramos que los vectores dados i → - j → e i → + 2 · j → + 2 · k → tienen las coordenadas correspondientes (1, - 1, 0) y (1, 2, 2). Sustituimos los valores numéricos y obtenemos: i → + 2 · j → + 2 · k → , i → - j → = 1 · 1 + (- 1) · 2 + 0 · 2 = - 1 .
La expresión no es igual a cero, (i → + 2 j → + 2 k →, i → - j →) ≠ 0, lo que significa que los vectores i → - j → e i → + 2 j → + 2 k → no son perpendiculares, ya que no se cumple la condición.
Respuesta: no, los vectores i → - j → e i → + 2 · j → + 2 · k → no son perpendiculares.
Ejemplo 3
Dados los vectores a → = (1, 0, - 2) y b → = (λ, 5, 1). Encuentre el valor de λ al cual estos vectores son perpendiculares.
Solución
Usamos la condición de perpendicularidad de dos vectores en el espacio en forma cuadrada, luego obtenemos
a x b x + a y b y + a z b z = 0 ⇔ 1 λ + 0 5 + (- 2) 1 = 0 ⇔ λ = 2
Respuesta: los vectores son perpendiculares en el valor λ = 2.
Hay casos en los que la cuestión de la perpendicularidad es imposible incluso bajo condiciones necesarias y suficientes. Dados los datos conocidos de los tres lados de un triángulo en dos vectores, es posible encontrar ángulo entre vectores y compruébalo.
Ejemplo 4
Dado un triángulo A B C con lados A B = 8, A C = 6, B C = 10 cm Comprueba la perpendicularidad de los vectores A B → y A C →.
Solución
Si los vectores A B → y A C → son perpendiculares, el triángulo A B C se considera rectangular. Luego aplicamos el teorema de Pitágoras, donde B C es la hipotenusa del triángulo. La igualdad B C 2 = A B 2 + A C 2 debe ser cierta. Se deduce que 10 2 = 8 2 + 6 2 ⇔ 100 = 100. Esto significa que A B y A C son catetos del triángulo A B C, por lo tanto, A B → y A C → son perpendiculares.
Es importante aprender a encontrar las coordenadas de un vector perpendicular a uno determinado. Esto es posible tanto en el plano como en el espacio, siempre que los vectores sean perpendiculares.
Encontrar un vector perpendicular a uno dado en un plano.
Un vector distinto de cero a → puede tener un número infinito de vectores perpendiculares en el plano. Representemos esto en la línea de coordenadas.
Dado un vector distinto de cero a → que se encuentra en la línea recta a. Entonces un b → dado, ubicado en cualquier recta perpendicular a la recta a, se vuelve perpendicular a a →. Si el vector i → es perpendicular al vector j → o cualquiera de los vectores λ · j → con λ igual a cualquier número real distinto de cero, entonces encontrar las coordenadas del vector b → perpendicular a a → = (a x , a y ) se reduce a un conjunto infinito de soluciones. Pero es necesario encontrar las coordenadas del vector perpendicular a a → = (a x , a y) . Para ello, es necesario anotar la condición de perpendicularidad de los vectores de la siguiente forma: a x · b x + a y · b y = 0. Tenemos b x y b y, que son las coordenadas deseadas del vector perpendicular. Cuando a x ≠ 0, el valor de b y es distinto de cero, y b x se puede calcular a partir de la desigualdad a x · b x + a y · b y = 0 ⇔ b x = - a y · b y a x. Para a x = 0 y a y ≠ 0, asignamos a b x cualquier valor distinto de cero y encontramos b y a partir de la expresión b y = - a x · b x a y.
Ejemplo 5
Dado un vector con coordenadas a → = (- 2 , 2) . Encuentre un vector perpendicular a este.
Solución
Denotemos el vector deseado como b → (b x , by) . Sus coordenadas se pueden encontrar a partir de la condición de que los vectores a → y b → sean perpendiculares. Entonces obtenemos: (a → , b →) = a x · b x + a y · b y = - 2 · b x + 2 · b y = 0 . Asignemos b y = 1 y sustituyamos: - 2 · b x + 2 · b y = 0 ⇔ - 2 · b x + 2 = 0 . Por tanto, de la fórmula obtenemos b x = - 2 - 2 = 1 2. Esto significa que el vector b → = (1 2 , 1) es un vector perpendicular a a → .
Respuesta: segundo → = (1 2 , 1) .
Si se plantea la cuestión del espacio tridimensional, el problema se resuelve según el mismo principio. Para un vector dado a → = (a x , a y , a z ) existe un número infinito de vectores perpendiculares. Arreglará esto en un plano de coordenadas tridimensional. Dado a → situado en la recta a. El plano perpendicular a la recta a se denota por α. En este caso, cualquier vector distinto de cero b → del plano α es perpendicular a a →.
Es necesario encontrar las coordenadas de b → perpendicular al vector distinto de cero a → = (a x , a y , a z).
Sea b → dado con coordenadas b x , by y b z . Para encontrarlos es necesario aplicar la definición de la condición de perpendicularidad de dos vectores. Se debe cumplir la igualdad a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0. De la condición a → es distinto de cero, lo que significa que una de las coordenadas tiene un valor distinto de cero. Supongamos que a x ≠ 0, (ay ≠ 0 o a z ≠ 0). Por lo tanto, tenemos derecho a dividir toda la desigualdad a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 por esta coordenada, obtenemos la expresión b x + a y · b y + a z · b z a x = 0 ⇔ b x = - a y · b y + a z · b z a x . Asignamos cualquier valor a las coordenadas by y b x, calculamos el valor de b x según la fórmula, b x = - a y · b y + a z · b z a x. El vector perpendicular deseado tendrá el valor a → = (a x, a y, a z).
Veamos la prueba usando un ejemplo.
Ejemplo 6
Dado un vector con coordenadas a → = (1, 2, 3) . Encuentra un vector perpendicular al dado.
Solución
Denotemos el vector deseado por b → = (b x , by , b z) . Partiendo de la condición de que los vectores sean perpendiculares, el producto escalar debe ser igual a cero.
a ⇀ , b ⇀ = 0 ⇔ a x b x + a y b y + a z b z = 0 ⇔ 1 b x + 2 b y + 3 b z = 0 ⇔ b x = - (2 by + 3 b z)
Si el valor de b y = 1, b z = 1, entonces b x = - 2 b y - 3 b z = - (2 1 + 3 1) = - 5. De ello se deduce que las coordenadas del vector b → (- 5 , 1 , 1) . El vector b → es uno de los vectores perpendicular al dado.
Respuesta: segundo → = (- 5 , 1 , 1 ) .
Encontrar las coordenadas de un vector perpendicular a dos vectores dados
Necesitamos encontrar las coordenadas del vector en el espacio tridimensional. Es perpendicular a los vectores no colineales a → (a x, a y, a z) y b → = (b x, b y, b z). Siempre que los vectores a → y b → sean colineales, será suficiente encontrar un vector perpendicular a a → o b → en el problema.
Al resolver, se utiliza el concepto de producto vectorial de vectores.
Producto vectorial de vectores a → y b → es un vector que es simultáneamente perpendicular a a → y b →. Para resolver este problema se utiliza el producto vectorial a → × b →. Para el espacio tridimensional tiene la forma a → × b → = a → j → k → a x a y a z b x b y b z
Veamos el producto vectorial con más detalle usando un problema de ejemplo.
Ejemplo 7
Se dan los vectores b → = (0, 2, 3) y a → = (2, 1, 0). Encuentra las coordenadas de cualquier vector perpendicular a los datos simultáneamente.
Solución
Para resolverlo, necesitas encontrar el producto vectorial de vectores. (Por favor consulte el párrafo calcular el determinante de una matriz para encontrar el vector). Obtenemos:
a → × b → = i → j → k → 2 1 0 0 2 3 = i → 1 3 + j → 0 0 + k → 2 2 - k → 1 0 - j → 2 3 - i → 0 2 = 3 yo → + (- 6) j → + 4 k →
Respuesta: (3 , - 6 , 4) - coordenadas de un vector que es simultáneamente perpendicular a los dados a → y b → .
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Instrucciones
Si el vector original está representado en el dibujo en un sistema de coordenadas bidimensional rectangular y es necesario construir uno perpendicular allí, proceda de la definición de perpendicularidad de los vectores en un plano. Establece que el ángulo entre dicho par de segmentos dirigidos debe ser igual a 90°. Se puede construir un número infinito de tales vectores. Por lo tanto, dibuje una perpendicular al vector original en cualquier lugar conveniente del plano, coloque sobre ella un segmento igual a la longitud de un par ordenado de puntos dado y asigne uno de sus extremos como el comienzo del vector perpendicular. Haga esto usando un transportador y una regla.
Si el vector original está dado por coordenadas bidimensionales ā = (X₁;Y₁), supongamos que el producto escalar de un par de vectores perpendiculares debe ser igual a cero. Esto significa que debe seleccionar para el vector deseado ō = (X₂,Y₂) tales coordenadas que se cumpla la igualdad (ā,ō) = X₁*X₂ + Y₁*Y₂ = 0. Esto se puede hacer así: elija cualquiera. valor distinto de cero para la coordenada X₂ y calcule la coordenada Y₂ usando la fórmula Y₂ = -(X₁*X₂)/Y₁. Por ejemplo, para el vector ā = (15;5) habrá un vector ō, con la abscisa igual a uno y la ordenada igual a -(15*1)/5 = -3, es decir ō = (1;-3).
Para un sistema de coordenadas tridimensional y cualquier otro sistema de coordenadas ortogonales, se cumple la misma condición necesaria y suficiente para la perpendicularidad de los vectores: su producto escalar debe ser igual a cero. Por lo tanto, si el segmento dirigido inicial está dado por las coordenadas ā = (X₁,Y₁,Z₁), seleccione para el par ordenado de puntos ō = (X₂,Y₂,Z₂) perpendiculares a él aquellas coordenadas que satisfagan la condición (ā,ō ) = X₁*X₂ + Y₁*Y₂ + Z₁*Z₂ = 0. La forma más sencilla es asignar valores únicos a X₂ e Y₂, y calcular Z₂ a partir de la igualdad simplificada Z₂ = -1*(X₁*1 + Y₁* 1)/Z₁ = -(X₁+Y₁)/ Z₁. Por ejemplo, para el vector ā = (3,5,4) esto tomará la siguiente forma: (ā,ō) = 3*X₂ + 5*Y₂ + 4*Z₂ = 0. Luego toma la abscisa y la ordenada del vector perpendicular como uno, y en este caso será igual a -(3+5)/4 = -2.
Fuentes:
- encontrar el vector si es perpendicular
se llaman perpendiculares vector, cuyo ángulo es de 90º. Los vectores perpendiculares se construyen utilizando herramientas de dibujo. Si se conocen sus coordenadas, la perpendicularidad de los vectores se puede comprobar o encontrar mediante métodos analíticos.
Necesitará
- - transportador;
- - Brújula;
- - gobernante.
Instrucciones
Construya un vector perpendicular al dado. Para hacer esto, en el punto que es el comienzo del vector, restablezca una perpendicular al mismo. Esto se puede hacer usando un transportador, estableciendo un ángulo de 90º. Si no tienes transportador, utiliza un compás para hacerlo.
Establezcalo en el punto inicial del vector. Dibuja un círculo con un radio arbitrario. Luego construye dos con centros en los puntos donde el primer círculo intersecta la línea en la que se encuentra el vector. Los radios de estos círculos deben ser iguales entre sí y mayores que el primer círculo construido. En los puntos de intersección de los círculos, construye una recta que será perpendicular al vector original en su origen, y traza sobre ella un vector perpendicular a éste.
ohm Para hacer esto, primero introducimos el concepto de segmento.
Definición 1
Llamaremos segmento a la parte de una recta que está limitada por puntos en ambos lados.
Definición 2
Los extremos de un segmento son los puntos que lo limitan.
Para introducir la definición de vector, llamemos comienzo a uno de los extremos de un segmento.
Definición 3
Llamaremos vector (segmento dirigido) a un segmento en el que se indica qué punto límite es su inicio y cuál es su final.
Notación: \overline(AB) es un vector AB que comienza en el punto A y termina en el punto B.
En caso contrario, en una letra minúscula: \overline(a) (Fig. 1).
Definición 4
Llamaremos vector cero a cualquier punto que pertenezca al plano.
Símbolo: \overline(0) .
Introduzcamos ahora directamente la definición de vectores colineales.
También introduciremos la definición de producto escalar, que necesitaremos más adelante.
Definición 6
El producto escalar de dos vectores dados es un escalar (o número) que es igual al producto de las longitudes de estos dos vectores por el coseno del ángulo entre estos vectores.
Matemáticamente podría verse así:
\overline(α)\overline(β)=|\overline(α)||\overline(β)|cos∠(\overline(α),\overline(β))
El producto escalar también se puede encontrar usando coordenadas vectoriales de la siguiente manera
\overline(α)\overline(β)=α_1 β_1+α_2 β_2+α_3 β_3
Signo de perpendicularidad mediante proporcionalidad.
Teorema 1
Para que los vectores distintos de cero sean perpendiculares entre sí, es necesario y suficiente que su producto escalar de estos vectores sea igual a cero.
Prueba.
Necesidad: Tengamos vectores \overline(α) y \overline(β) que tienen coordenadas (α_1,α_2,α_3) y (β_1,β_2,β_3), respectivamente, y son perpendiculares entre sí. Entonces necesitamos probar la siguiente igualdad.
Dado que los vectores \overline(α) y \overline(β) son perpendiculares, el ángulo entre ellos es 90^0. Encontremos el producto escalar de estos vectores usando la fórmula de la Definición 6.
\overline(α)\cdot \overline(β)=|\overline(α)||\overline(β)|cos90^\circ =|\overline(α)||\overline(β)|\cdot 0=0
Suficiencia: Sea verdadera la igualdad. \overline(α)\cdot \overline(β)=0. Demostremos que los vectores \overline(α) y \overline(β) serán perpendiculares entre sí.
Por definición 6, la igualdad será verdadera.
|\overline(α)||\overline(β)|cos∠(\overline(α),\overline(β))=0
Cos∠(\overline(α),\overline(β))=0
∠(\overline(α),\overline(β))=90^\circ
Por lo tanto, los vectores \overline(α) y \overline(β) serán perpendiculares entre sí.
El teorema está demostrado.
Ejemplo 1
Demuestre que los vectores con coordenadas (1,-5,2) y (2,1,3/2) son perpendiculares.
Prueba.
Encontremos el producto escalar de estos vectores usando la fórmula dada arriba
\overline(α)\cdot \overline(β)=1\cdot 2+(-5)\cdot 1+2\cdot \frac(3)(2)=2\cdot 5+3=0
Esto significa, según el Teorema 1, que estos vectores son perpendiculares.
Encontrar un vector perpendicular a dos vectores dados usando el producto vectorial
Primero introduzcamos el concepto de producto vectorial.
Definición 7
El producto vectorial de dos vectores será un vector que será perpendicular a ambos vectores dados, y su longitud será igual al producto de las longitudes de estos vectores por el seno del ángulo entre estos vectores, y también este vector con dos Los iniciales tienen la misma orientación que el sistema de coordenadas cartesiano.
Designación: \overline(α)х\overline(β) x.
Para encontrar el producto vectorial, usaremos la fórmula
\overline(α)х\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\α_1&α_2&α_3\\β_1&β_2&β_3\end(vmatrix) x
Dado que el vector del producto vectorial de dos vectores es perpendicular a ambos vectores, será el vector. Es decir, para encontrar un vector perpendicular a dos vectores, solo necesitas encontrar su producto vectorial.
Ejemplo 2
Encuentre un vector perpendicular a vectores con coordenadas \overline(α)=(1,2,3) y \overline(β)=(-1,0,3)
Encontremos el producto vectorial de estos vectores.
\overline(α)х\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\1&2&3\\-1&0&3\end(vmatrix)=(6- 0)\overline(i)-(3+3)\overline(j)+(0+2)\overline(k)=6\overline(i)-6\overline(j)+2\overline(k) =(6,6,2)x
En la sección de la pregunta, encuentre un vector perpendicular a dos vectores dados dados por el autor Anna Afanasyeva la mejor respuesta es: Un vector perpendicular a dos vectores no paralelos se encuentra como su producto vectorial xb, para encontrarlo es necesario componer un determinante, cuya primera línea estará formada por los vectores unitarios I, j, k, el el segundo a partir de las coordenadas del vector a, el tercero a partir de las coordenadas del vector b. El determinante se considera una expansión a lo largo de la primera línea, en su caso obtiene akhv=20i-10k, o ahv=(20,0,-10).
Respuesta de 22 respuestas[gurú]
¡Hola! Aquí hay una selección de temas con respuestas a su pregunta: encontrar un vector perpendicular a dos vectores dados
Respuesta de extender[novato]
Un vector perpendicular a dos vectores no paralelos se encuentra como su producto vectorial xb, para encontrarlo es necesario componer un determinante, cuya primera línea consistirá en los vectores unitarios I, j, k, la segunda, a partir de las coordenadas. del vector a, el tercero - de las coordenadas del vector b. El determinante se considera una expansión a lo largo de la primera línea, en su caso obtiene akhv=20i-10k, o ahv=(20,0,-10).
Respuesta de HAYKA[gurú]
Resuélvalo aproximadamente así; ¡Pero primero, léelo todo tú mismo! !
Calcular el producto escalar de los vectores d y r si d=-c+a+2b; r=-b+2a.
El módulo del vector a es 4, el módulo del vector b es 6. El ángulo entre los vectores a y b es de 60 grados, el vector c es perpendicular a los vectores a y b.
Los puntos E y F se encuentran respectivamente en los lados AD y BC del paralelogramo ABCD, siendo AE = ED, BF: FC = 4: 3. a) Expresar el vector EF en términos de los vectores m = vector AB y el vector n = vector AD. b) ¿Puede el vector de igualdad EF = x multiplicado por el vector CD ser válido para cualquier valor de x? .
El vector unitario es: , donde 
– módulo vectorial.
Respuesta: 
.
Nota. Las coordenadas del vector unitario no deben ser más de uno.
6.3. Encuentra los cosenos de longitud y dirección de un vector. 
. Compárese con la respuesta del párrafo anterior. Sacar conclusiones.
La longitud de un vector es su módulo:
Y podemos encontrar los cosenos directores usando la fórmula de una de las formas de especificar vectores:
De esto vemos que los cosenos directores son las coordenadas del vector unitario.
Respuesta: 
,
,
,
.
6.4. Encontrar 
.
Es necesario realizar las acciones de multiplicar un vector por un número, sumar y módulo.
Multiplicamos las coordenadas de los vectores por un número término a término.
Sumamos las coordenadas de los vectores término a término.
Encontrar el módulo del vector.
Respuesta: 
6.5. Determinar coordenadas vectoriales 
, colineal al vector 
, sabiendo que 
y está dirigido en dirección opuesta al vector 
.
Vector 
colineal al vector 
, lo que significa que su vector unitario es igual al vector unitario 
solo con un signo menos, porque dirigido en la dirección opuesta.
El vector unitario tiene una longitud igual a 1, lo que significa que si lo multiplicas por 5, su longitud será igual a cinco.
Encontramos 
Respuesta: 
6.6. Calcular productos escalares 
Y 
. ¿Son los vectores perpendiculares? 
Y 
,
Y 
¿entre ellos mismos?
Hagamos el producto escalar de vectores.
Si los vectores son perpendiculares, su producto escalar es cero.
Vemos que en nuestro caso los vectores 
Y 
perpendicular.
Respuesta: 
,
, los vectores no son perpendiculares.
Nota. El significado geométrico del producto escalar tiene poca utilidad en la práctica, pero aún existe. El resultado de tal acción se puede representar y calcular geométricamente.
6.7. Encuentre el trabajo realizado por un punto material al que se aplica una fuerza. 
, al moverlo del punto B al punto C.
El significado físico del producto escalar es trabajo. El vector de fuerza está aquí. 
, el vector de desplazamiento es 
. Y el producto de estos vectores será el trabajo requerido.
Buscando trabajo
6.8. Encuentra el ángulo interior en un vértice. A y ángulo del vértice externo C triángulo A B C .
De la definición del producto escalar de vectores obtenemos la fórmula para encontrar el ángulo: .
EN 
El ángulo interior lo buscaremos como el ángulo entre vectores que emanan de un punto.
Para encontrar el ángulo externo, debes combinar los vectores para que salgan de un punto. La imagen lo explica.
Cabe resaltar que 
, solo tiene diferentes coordenadas iniciales.
Encontrar los vectores y ángulos necesarios.
Respuesta: ángulo interno en el vértice A = 
, ángulo externo en el vértice B = 
.
6.9. Encuentra las proyecciones de los vectores: y
Recordemos los vectores vectoriales: 
,
,
.
La proyección también se encuentra a partir del producto escalar.
-proyección b en a.
Vectores obtenidos previamente
,
,
Encontrar la proyección
Encontrar la segunda proyección
Respuesta: 
,
Nota. El signo menos al encontrar una proyección significa que la proyección no desciende sobre el vector en sí, sino en la dirección opuesta, sobre la línea recta en la que se encuentra este vector.
6.10. Calcular 
.
Hagamos el producto vectorial de vectores.
Busquemos el módulo
Encontramos el seno del ángulo entre vectores a partir de la definición del producto vectorial de vectores.
Respuesta: 
,
,
.
6.11. Encuentra el área de un triángulo. A B C y la longitud de la altura descendió desde el punto C.
El significado geométrico del módulo de un producto vectorial es que es el área del paralelogramo formado por estos vectores. Y el área de un triángulo es igual a la mitad del área de un paralelogramo.
El área de un triángulo también se puede encontrar como el producto de la altura y la base dividido por dos, de donde se puede derivar la fórmula para encontrar la altura.
Así encontramos la altura
Respuesta: 
,
.
6.12. Encuentra el vector unitario perpendicular a los vectores. 
Y 
.
El resultado del producto escalar es un vector perpendicular a los dos originales. Y un vector unitario es un vector dividido por su longitud.
Anteriormente encontramos:
,
Respuesta: 
.
6.13. Determinar la magnitud y los cosenos directores del momento de fuerza. 
, aplicado a A con respecto al punto C.
El significado físico de un producto vectorial es el momento de fuerza. Demos una ilustración para esta tarea.
Encontrar el momento de fuerza
Respuesta: 
.
6.14. ¿Mienten los vectores? 
,
Y 
en el mismo avión? ¿Pueden estos vectores formar la base del espacio? ¿Por qué? Si pueden, expandan el vector a esta base. 
.
Para comprobar si los vectores se encuentran en el mismo plano, es necesario realizar un producto mixto de estos vectores.
El producto mixto no es igual a cero, por lo tanto, los vectores no se encuentran en el mismo plano (no son coplanares) y pueden formar una base. vamos a descomponernos 
sobre esta base.
Expandamos por base resolviendo la ecuación
Respuesta: Vectores 
,
Y 
no se encuentren en el mismo plano. 
.
6.15. Encontrar 
. ¿Cuál es el volumen de la pirámide con los vértices A, B, C, D y su altura bajada desde el punto A hasta la base BCD?
GRAMO 
El significado geométrico del producto mixto es que es el volumen del paralelepípedo formado por estos vectores.
El volumen de la pirámide es seis veces menor que el volumen del paralelepípedo.
El volumen de la pirámide también se puede encontrar así:
Obtenemos la fórmula para encontrar la altura.
Encontrar la altura
Respuesta: volumen = 2,5, altura = 
.
6.16. Calcular 
Y 
.
– Te invitamos a que pienses tú mismo en esta tarea.
- Hagamos el trabajo.
Recibido previamente
Respuesta: 
.
6.17. Calcular
Hagamos los pasos por partes.
3)
Resumamos los valores obtenidos.
Respuesta: 
.
6.18. encontrar vectores 
, sabiendo que es perpendicular a los vectores 
Y 
, y su proyección sobre el vector 
es igual a 5.
Dividamos esta tarea en dos subtareas.
1) Encuentra un vector perpendicular a los vectores. 
Y 
longitud arbitraria.
Obtenemos el vector perpendicular como resultado del producto vectorial.
Anteriormente encontramos:
El vector requerido difiere solo en longitud del recibido
2) Busquemos 
a través de la ecuación
6.19. encontrar vectores 
, cumpliendo las condiciones 
,
,
.
Consideremos estas condiciones con más detalle.
Este es un sistema de ecuaciones lineales. Compongamos y resolvamos este sistema.
Respuesta: 
6.20. Determinar las coordenadas de un vector. 
, coplanar con los vectores 
Y 
, y perpendicular al vector 
.
En esta tarea hay dos condiciones: coplanaridad de vectores y perpendicularidad; primero cumplamos la primera condición y luego la segunda.
1) Si los vectores son coplanares, entonces su producto mixto es igual a cero.
De aquí obtenemos cierta dependencia de las coordenadas del vector.
Encontremos el vector 
.
2) Si los vectores son perpendiculares, entonces su producto escalar es cero
Hemos obtenido la segunda dependencia de las coordenadas del vector deseado.
Por cualquier valor 
el vector satisfará las condiciones. sustituyamos 
.
Respuesta: 
.
Geometría analítica
