La recta que pasa por el punto K(x 0 ; y 0) y es paralela a la recta y = kx + a se encuentra mediante la fórmula:

y - y 0 = k(x - x 0) (1)

Donde k es la pendiente de la recta.

Fórmula alternativa:
Una recta que pasa por el punto M 1 (x 1 ; y 1) y es paralela a la recta Ax+By+C=0 está representada por la ecuación

A(x-x 1)+B(y-y 1)=0 . (2)

Ejemplo No. 2. Escribe la ecuación de una recta paralela a la recta 2x + 5y = 0 y formando, junto con los ejes coordenados, un triángulo cuya área es 5.
Solución . Como las rectas son paralelas, la ecuación de la recta deseada es 2x + 5y + C = 0. El área de un triángulo rectángulo, donde a y b son sus catetos. Encontremos los puntos de intersección de la línea deseada con los ejes de coordenadas:
;
.
Entonces, A(-C/2,0), B(0,-C/5). Sustituyémoslo en la fórmula del área: . Obtenemos dos soluciones: 2x + 5y + 10 = 0 y 2x + 5y – 10 = 0.

Ejemplo No. 3. Escribe una ecuación para una recta que pasa por el punto (-2; 5) y es paralela a la recta 5x-7y-4=0.
Solución. Esta línea recta se puede representar mediante la ecuación y = 5 / 7 x – 4 / 7 (aquí a = 5 / 7). La ecuación de la recta deseada es y – 5 = 5 / 7 (x – (-2)), es decir 7(y-5)=5(x+2) o 5x-7y+45=0 .

Ejemplo No. 4. Habiendo resuelto el ejemplo 3 (A=5, B=-7) usando la fórmula (2), encontramos 5(x+2)-7(y-5)=0.

Ejemplo No. 5. Escribe una ecuación para una recta que pasa por el punto (-2;5) y es paralela a la recta 7x+10=0.
Solución. Aquí A=7, B=0. La fórmula (2) da 7(x+2)=0, es decir x+2=0. La fórmula (1) no es aplicable, ya que esta ecuación no se puede resolver con respecto a y (esta recta es paralela al eje de ordenadas).

Deje que la línea pase por los puntos M 1 (x 1; y 1) y M 2 (x 2; y 2). La ecuación de una línea recta que pasa por el punto M 1 tiene la forma y-y 1 = k (x-x1), (10.6)

Dónde k - coeficiente aún desconocido.

Dado que la línea recta pasa por el punto M 2 (x 2 y 2), las coordenadas de este punto deben satisfacer la ecuación (10.6): y 2 -y 1 = k (x2-x1).

Desde aquí encontramos Sustituyendo el valor encontrado. k en la ecuación (10.6), obtenemos la ecuación de una recta que pasa por los puntos M 1 y M 2:

Se supone que en esta ecuación x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2

Si x 1 = x 2, entonces la recta que pasa por los puntos M 1 (x 1,y I) y M 2 (x 2,y 2) es paralela al eje de ordenadas. Su ecuación es x = x 1 .

Si y 2 = y I, entonces la ecuación de la recta se puede escribir como y = y 1, la recta M 1 M 2 es paralela al eje de abscisas.

Ecuación de una recta en segmentos

Deje que la línea recta cruce el eje Ox en el punto M 1 (a;0) y el eje Oy en el punto M 2 (0;b). La ecuación tomará la forma:
aquellos.
. Esta ecuación se llama ecuación de una recta en segmentos, porque Los números a y b indican qué segmentos corta la línea en los ejes de coordenadas..

Ecuación de una recta que pasa por un punto dado perpendicular a un vector dado

Encontremos la ecuación de una línea recta que pasa por un punto dado Mo (x O; y o) perpendicular a un vector dado distinto de cero n = (A; B).

Tomemos un punto arbitrario M(x; y) en la recta y consideremos el vector M 0 M (x - x 0; y - y o) (ver Fig. 1). Como los vectores n y M o M son perpendiculares, su producto escalar es igual a cero: es decir

A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)

La ecuación (10.8) se llama ecuación de una recta que pasa por un punto dado perpendicular a un vector dado .

Vector n= (A; B), perpendicular a la recta, se llama normal vector normal de esta línea .

La ecuación (10.8) se puede reescribir como Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

donde A y B son las coordenadas del vector normal, C = -Ax o - Vu o es el término libre. Ecuación (10.9) es la ecuación general de la recta(ver figura 2).

Fig.1 Fig.2

Ecuaciones canónicas de la recta.

,

Dónde
- coordenadas del punto por el que pasa la línea, y
- vector de dirección.

Curvas de segundo orden Círculo

Una circunferencia es el conjunto de todos los puntos del plano que equidistan de un punto dado, al que se le llama centro.

Ecuación canónica de un círculo de radio. R centrado en un punto
:

En particular, si el centro de la estaca coincide con el origen de coordenadas, entonces la ecuación quedará así:

Elipse

Una elipse es un conjunto de puntos en un plano, cuya suma de las distancias de cada uno de ellos a dos puntos dados Y , que se llaman focos, es una cantidad constante
, mayor que la distancia entre focos
.

La ecuación canónica de una elipse cuyos focos se encuentran en el eje Ox y el origen de coordenadas en el medio entre los focos tiene la forma
GRAMO Delaware a longitud del semieje mayor; b – longitud del semieje menor (Fig. 2).

La ecuación de una recta que pasa por un punto dado en una dirección determinada. Ecuación de una recta que pasa por dos puntos dados. El ángulo entre dos líneas rectas. La condición de paralelismo y perpendicularidad de dos rectas. Determinar el punto de intersección de dos líneas.

1. Ecuación de una recta que pasa por un punto dado A(X 1 , y 1) en una dirección determinada, determinada por la pendiente k,

y - y 1 = k(X - X 1). (1)

Esta ecuación define un lápiz de líneas que pasan por un punto. A(X 1 , y 1), que se llama centro del haz.

2. Ecuación de una recta que pasa por dos puntos: A(X 1 , y 1) y B(X 2 , y 2), escrito así:

El coeficiente angular de una línea recta que pasa por dos puntos dados está determinado por la fórmula

3. Ángulo entre rectas A Y B es el ángulo que debe girar la primera línea recta A alrededor del punto de intersección de estas líneas en sentido antihorario hasta que coincida con la segunda línea B. Si dos rectas están dadas por ecuaciones con pendiente

y = k 1 X + B 1 ,

En este artículo consideraremos la ecuación general de una línea recta en un plano. Demos ejemplos de cómo construir una ecuación general de una recta si se conocen dos puntos de esta recta o si se conocen un punto y el vector normal de esta recta. Presentemos métodos para transformar una ecuación en forma general en formas canónicas y paramétricas.

Sea un sistema de coordenadas rectangular cartesiano arbitrario. oxi. Considere una ecuación lineal o de primer grado:

Dónde A B C− algunas constantes y al menos uno de los elementos. A Y B diferente de cero.

Demostraremos que una ecuación lineal en un plano define una línea recta. Demostremos el siguiente teorema.

Teorema 1. En un sistema de coordenadas rectangular cartesiano arbitrario en un plano, cada línea recta puede especificarse mediante una ecuación lineal. Por el contrario, cada ecuación lineal (1) en un sistema de coordenadas rectangular cartesiano arbitrario en un plano define una línea recta.

Prueba. Basta demostrar que la recta l está determinado por una ecuación lineal para cualquier sistema de coordenadas rectangular cartesiano, ya que entonces estará determinado por una ecuación lineal para cualquier sistema de coordenadas rectangular cartesiano elegido.

Sea una línea recta en el avión. l. Elijamos un sistema de coordenadas para que el eje Buey coincidió con una línea recta l, y el eje Oye era perpendicular a él. Entonces la ecuación de la recta l tomará la siguiente forma:

Todos los puntos en una recta l satisfará la ecuación lineal (2), y todos los puntos fuera de esta línea no satisfarán la ecuación (2). La primera parte del teorema ha sido demostrada.

Sea un sistema de coordenadas rectangular cartesiano y una ecuación lineal (1), donde al menos uno de los elementos A Y B diferente de cero. Encontremos el lugar geométrico de los puntos cuyas coordenadas satisfacen la ecuación (1). Dado que al menos uno de los coeficientes A Y B es diferente de cero, entonces la ecuación (1) tiene al menos una solución METRO(X 0 ,y 0). (Por ejemplo, cuando A≠0, punto METRO 0 (−CALIFORNIA, 0) pertenece al lugar geométrico dado de los puntos). Sustituyendo estas coordenadas en (1) obtenemos la identidad

Restemos la identidad (3) de (1):

Obviamente, la ecuación (4) es equivalente a la ecuación (1). Por tanto, basta demostrar que (4) define una determinada recta.

Dado que estamos considerando un sistema de coordenadas rectangular cartesiano, de la igualdad (4) se deduce que el vector con componentes ( x-x 0 , y-y 0 ) ortogonal al vector norte con coordenadas ( A,B}.

Consideremos una línea recta. l, pasando por el punto METRO 0 (X 0 , y 0) y perpendicular al vector norte(Figura 1). deja el punto METRO(X,y) pertenece a la línea l. Entonces el vector con coordenadas x-x 0 , y-y 0 perpendicular norte y se satisface la ecuación (4) (producto escalar de vectores norte e igual a cero). Por el contrario, si el punto METRO(X,y) no está sobre una recta l, entonces el vector con coordenadas x-x 0 , y-y 0 no es ortogonal al vector norte y la ecuación (4) no se satisface. El teorema ha sido demostrado.

Prueba. Dado que las líneas (5) y (6) definen la misma línea, entonces los vectores normales norte 1 ={A 1 ,B 1) y norte 2 ={A 2 ,B 2) colineal. Desde vectores norte 1 ≠0, norte 2 ≠0, entonces existe tal número λ , Qué norte 2 =norte 1 λ . De aquí tenemos: A 2 =A 1 λ , B 2 =B 1 λ . Probemos que C 2 =C 1 λ . Obviamente, las líneas coincidentes tienen un punto común. METRO 0 (X 0 , y 0). Multiplicar la ecuación (5) por λ y restándole la ecuación (6) obtenemos:

Dado que las dos primeras igualdades de las expresiones (7) se satisfacen, entonces C 1 λ −C 2 = 0. Aquellos. C 2 =C 1 λ . La observación ha sido probada.

Tenga en cuenta que la ecuación (4) define la ecuación de la línea recta que pasa por el punto METRO 0 (X 0 , y 0) y tener un vector normal norte={A,B). Por tanto, si se conocen el vector normal de una recta y el punto que pertenece a esta recta, entonces la ecuación general de la recta se puede construir mediante la ecuación (4).

Ejemplo 1. Una línea recta pasa por un punto. METRO=(4,−1) y tiene un vector normal norte=(3, 5). Construye la ecuación general de una recta.

Solución. Tenemos: X 0 =4, y 0 =−1, A=3, B=5. Para construir la ecuación general de una recta, sustituimos estos valores en la ecuación (4):

Respuesta:

El vector es paralelo a la recta. l y, por tanto, perpendicular al vector normal de la recta l. Construyamos un vector lineal normal. l, teniendo en cuenta que el producto escalar de vectores norte e igual a cero. Podemos escribir, por ejemplo, norte={1,−3}.

Para construir la ecuación general de una línea recta utilizamos la fórmula (4). Sustituyamos las coordenadas del punto en (4) METRO 1 (también podemos tomar las coordenadas del punto METRO 2) y vector normal norte:

Sustituyendo las coordenadas de los puntos. METRO 1 y METRO 2 en (9) podemos asegurarnos de que la recta dada por la ecuación (9) pasa por estos puntos.

Respuesta:

Resta (10) de (1):

Hemos obtenido la ecuación canónica de la recta. Vector q={−B, A) es el vector director de la recta (12).

Ver conversión inversa.

Ejemplo 3. Una recta sobre un plano está representada por la siguiente ecuación general:

Movamos el segundo término hacia la derecha y dividimos ambos lados de la ecuación por 2·5.

Este artículo revela la derivación de la ecuación de una línea recta que pasa por dos puntos dados en un sistema de coordenadas rectangular ubicado en un plano. Derivemos la ecuación de una línea recta que pasa por dos puntos dados en un sistema de coordenadas rectangular. Mostraremos y resolveremos claramente varios ejemplos relacionados con el material tratado.

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Antes de obtener la ecuación de una recta que pasa por dos puntos dados, es necesario prestar atención a algunos hechos. Existe un axioma que dice que por dos puntos divergentes de un plano es posible trazar una línea recta y sólo uno. En otras palabras, dos puntos dados en un plano están definidos por una línea recta que pasa por esos puntos.

Si el plano está definido por el sistema de coordenadas rectangular Oxy, entonces cualquier línea recta representada en él corresponderá a la ecuación de una línea recta en el plano. También existe una conexión con el vector director de la línea recta. Estos datos son suficientes para compilar la ecuación de una línea recta que pasa por dos puntos dados.

Veamos un ejemplo de cómo resolver un problema similar. Es necesario crear una ecuación para una línea recta a que pasa por dos puntos divergentes M 1 (x 1, y 1) y M 2 (x 2, y 2), ubicados en el sistema de coordenadas cartesiano.

En la ecuación canónica de una recta en un plano, que tiene la forma x - x 1 a x = y - y 1 a y, un sistema de coordenadas rectangular O x y se especifica con una recta que se cruza con él en un punto con coordenadas M 1 (x 1, y 1) con un vector guía a → = (a x , a y) .

Es necesario crear una ecuación canónica de una recta a, que pasará por dos puntos con coordenadas M 1 (x 1, y 1) y M 2 (x 2, y 2).

La recta a tiene un vector director M 1 M 2 → con coordenadas (x 2 - x 1, y 2 - y 1), ya que cruza los puntos M 1 y M 2. Hemos obtenido los datos necesarios para transformar la ecuación canónica con las coordenadas del vector director M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) y las coordenadas de los puntos M 1 que se encuentran sobre ellos. (x 1, y 1) y M 2 (x 2, y 2). Obtenemos una ecuación de la forma x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 o x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1.

Considere la siguiente figura.

Siguiendo los cálculos, escribimos las ecuaciones paramétricas de una recta en un plano que pasa por dos puntos con coordenadas M 1 (x 1, y 1) y M 2 (x 2, y 2). Obtenemos una ecuación de la forma x = x 1 + (x 2 - x 1) · λ y = y 1 + (y 2 - y 1) · λ o x = x 2 + (x 2 - x 1) · λ y = y 2 + (y 2 - y 1) · λ .

Echemos un vistazo más de cerca a la resolución de varios ejemplos.

Ejemplo 1

Escribe la ecuación de una línea recta que pasa por 2 puntos dados con coordenadas M 1 - 5, 2 3, M 2 1, - 1 6.

Solución

La ecuación canónica para una línea que se cruza en dos puntos con coordenadas x 1, y 1 y x 2, y 2 toma la forma x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1. Según las condiciones del problema, tenemos que x 1 = - 5, y 1 = 2 3, x 2 = 1, y 2 = - 1 6. Es necesario sustituir los valores numéricos en la ecuación x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1. De aquí obtenemos que la ecuación canónica toma la forma x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6.

Respuesta: x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6.

Si necesitas resolver un problema con otro tipo de ecuación, primero puedes pasar a la canónica, ya que es más fácil pasar de ella a cualquier otra.

Ejemplo 2

Redacte la ecuación general de una línea recta que pasa por puntos con coordenadas M 1 (1, 1) y M 2 (4, 2) en el sistema de coordenadas O x y.

Solución

Primero, debes escribir la ecuación canónica de una recta dada que pasa por dos puntos dados. Obtenemos una ecuación de la forma x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 .

Llevemos la ecuación canónica a la forma deseada, luego obtenemos:

x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 x - 1 = 3 y - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0

Respuesta: x - 3 y + 2 = 0 .

En los libros de texto escolares se discutieron ejemplos de tales tareas durante las lecciones de álgebra. Los problemas escolares se diferenciaban en que se conocía la ecuación de una línea recta con un coeficiente angular, que tenía la forma y = k x + b. Si necesita encontrar el valor de la pendiente k y el número b para el cual la ecuación y = k x + b define una recta en el sistema O x y que pasa por los puntos M 1 (x 1, y 1) y M 2 ( x 2, y 2), donde x 1 ≠ x 2. Cuando x1 = x2 , entonces el coeficiente angular toma el valor de infinito, y la línea recta M 1 M 2 está definida por una ecuación general incompleta de la forma x - x 1 = 0 .

porque los puntos m 1 Y m2 están en línea recta, entonces sus coordenadas satisfacen la ecuación y 1 = k x 1 + b y y 2 = k x 2 + b. Es necesario resolver el sistema de ecuaciones y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b para k y b.

Para hacer esto, encontramos k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 o k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2 .

Con estos valores de k y b, la ecuación de una recta que pasa por los dos puntos dados queda y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 o y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.

Es imposible recordar una cantidad tan grande de fórmulas a la vez. Para ello, es necesario aumentar el número de repeticiones en la resolución de problemas.

Ejemplo 3

Escriba la ecuación de una línea recta con un coeficiente angular que pasa por puntos con coordenadas M 2 (2, 1) e y = k x + b.

Solución

Para resolver el problema, usamos una fórmula con un coeficiente angular de la forma y = k x + b. Los coeficientes k y b deben tomar un valor tal que esta ecuación corresponda a una línea recta que pasa por dos puntos con coordenadas M 1 (- 7, - 5) y M 2 (2, 1).

Puntos m 1 Y m2 están ubicados en una línea recta, entonces sus coordenadas deben hacer que la ecuación y = k x + b sea una verdadera igualdad. De esto obtenemos que - 5 = k · (- 7) + b y 1 = k · 2 + b. Combinemos la ecuación en el sistema - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b y resolvamos.

Al sustituirlo obtenemos que

5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = - 5 + 7 k k = 2 3 ⇔ b = - 5 + 7 2 3 k = 2 3 ⇔ b = - 1 3 k = 2 3

Ahora los valores k = 2 3 y b = - 1 3 se sustituyen en la ecuación y = k x + b. Encontramos que la ecuación requerida que pasa por los puntos dados será una ecuación de la forma y = 2 3 x - 1 3 .

Este método de solución predetermina la pérdida de mucho tiempo. Hay una manera de resolver el problema literalmente en dos pasos.

Escribamos la ecuación canónica de la recta que pasa por M 2 (2, 1) y M 1 (- 7, - 5), que tiene la forma x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5 ) 1 - (- 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6 .

Ahora pasemos a la ecuación de la pendiente. Obtenemos que: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 · (x + 7) = 9 · (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3.

Respuesta: y = 2 3 x - 1 3 .

Si en el espacio tridimensional hay un sistema de coordenadas rectangular O x y z con dos puntos dados no coincidentes con coordenadas M 1 (x 1, y 1, z 1) y M 2 (x 2, y 2, z 2), el recta M que pasa por ellos 1 M 2 , es necesario obtener la ecuación de esta recta.

Tenemos que ecuaciones canónicas de la forma x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z y ecuaciones paramétricas de la forma x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ son capaces de definir una recta en el sistema de coordenadas O x y z, que pasa por puntos que tienen coordenadas (x 1, y 1, z 1) con un vector director a → = (a x, a y, a z).

Recto M 1 M 2 tiene un vector de dirección de la forma M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1), donde la línea recta pasa por el punto M 1 (x 1, y 1, z 1) y M 2 (x 2 , y 2 , z 2), por lo tanto, la ecuación canónica puede tener la forma x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 o x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 = z - z 2 z 2 - z 1, a su vez paramétrico x = x 1 + (x 2 - x 1 ) λ y = y 1 + (y 2 - y 1) λ z = z 1 + (z 2 - z 1) λ o x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y 2 + (y 2 - y 1) · λ z = z 2 + (z 2 - z 1) · λ .

Considere un dibujo que muestra 2 puntos dados en el espacio y la ecuación de una línea recta.

Ejemplo 4

Escribe la ecuación de una recta definida en un sistema de coordenadas rectangular O x y z del espacio tridimensional, que pasa por dos puntos dados con coordenadas M 1 (2, - 3, 0) y M 2 (1, - 3, - 5).

Solución

Es necesario encontrar la ecuación canónica. Dado que estamos hablando de espacio tridimensional, significa que cuando una línea pasa por puntos dados, la ecuación canónica deseada tomará la forma x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 .

Por condición tenemos que x 1 = 2, y 1 = - 3, z 1 = 0, x 2 = 1, y 2 = - 3, z 2 = - 5. De ello se deduce que las ecuaciones necesarias se escribirán de la siguiente manera:

x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5

Respuesta: x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5.

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