Los dos primeros teoremas los conoces bien, los otros dos los demostraremos.
Teorema 1
Tres bisectrices de un triángulo se cruzan en un punto, que es centro del círculo inscrito.
Prueba
basado en el hecho de que la bisectriz de un ángulo es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los lados del ángulo.
Teorema 2
Las tres bisectrices perpendiculares a los lados del triángulo se cortan en un punto, que es el centro del círculo circunstante.
Prueba
basado en el hecho de que la mediatriz de un segmento es el lugar geométrico de los puntos equidistantes de los extremos de este segmento.
Teorema 3
Tres alturas o tres rectas, en el que se encuentran las altitudes del triángulo, se cruzan en un punto. Este punto se llama ortocentro triángulo.
Prueba
Por los vértices del triángulo "ABC" trazamos líneas rectas paralelas a los lados opuestos.
En la intersección se forma un triángulo `A_1 B_1 C_1`.
Por construcción, "ABA_1C" es un paralelogramo, por lo que "BA_1 = AC". De igual forma se establece que `C_1B = AC`, por lo tanto `C_1B = AC`, el punto `B` es la mitad del segmento `C_1A_1`.
Exactamente de la misma manera se muestra que "C" es el medio de "B_1A_1" y "A" es el medio de "B_1 C_1".
Sea `BN` la altura del triángulo `ABC`, luego para el segmento `A_1 C_1` la recta `BN` es la bisectriz perpendicular. De donde se sigue que las tres rectas en las que se encuentran las alturas del triángulo "ABC" son las bisectrices perpendiculares de los tres lados del triángulo "A_1B_1C_1"; y tales perpendiculares se cruzan en un punto (Teorema 2).
Si el triángulo es agudo, entonces cada una de las alturas es un segmento que conecta el vértice y algún punto del lado opuesto. En este caso, los puntos `B` y `N` se encuentran en diferentes semiplanos formados por la línea `AM`, lo que significa que el segmento `BN` intersecta a la línea `AM`, el punto de intersección se encuentra a la altura `BN` , es decir, se encuentra dentro del triángulo.
En un triángulo rectángulo, el punto de intersección de las altitudes es el vértice del ángulo recto.
Teorema 4
Tres medianas de un triángulo. se cruzan en un punto y se dividen por el punto de intersección en la proporción `2:1`, contando desde el vértice. Este punto se llama centro de gravedad (o centro de masa) del triángulo.
Hay varias demostraciones de este teorema. Presentemos uno que se basa en el teorema de Tales.
Prueba
Sean `E`, `D` y `F` los puntos medios de los lados `AB`, `BC` y `AC` del triángulo `ABC`.
Dibujemos la mediana "AD" a través de los puntos "E" y "F". paralelo tiene líneas rectas `EK` y `FL`. Según el teorema de Tales `BK = KD` `(/_ABC`, E K ‖ A D) EK\|AD) y `DL = LC` `(/_ACB`, A D ‖ F L) AD\| FLORIDA). Pero `BD = DC = a//2`, entonces `BK = KD = DL = LC = a//4`. Por el mismo teorema `BN = NM = MF` `(/_ FBC`, N K ‖ M D ‖ F L) NK\| Médico\| FL), entonces `BM = 2MF`.
Esto significa que la mediana `BF` en el punto `M` de intersección con la mediana `AD` se dividió en la proporción `2:1` contando desde el vértice.
Demostremos que la mediana "AD" en el punto "M" se divide en la misma proporción. El razonamiento es similar.
Si consideramos las medianas `BF` y `CE`, también podemos demostrar que se cruzan en el punto en el que la mediana `BF` se divide en la proporción `2:1`, es decir, en el mismo punto `M`. Y en este punto la mediana `CE` también se dividirá en la proporción `2:1`, contando desde el vértice.
Elena Baranova
Este trabajo examina los puntos notables del triángulo, sus propiedades y patrones, como el círculo de nueve puntos y la línea recta de Euler. Se dan los antecedentes históricos del descubrimiento de la línea recta de Euler y el círculo de nueve puntos. Se propone la dirección práctica de aplicación de mi proyecto.
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Subtítulos de diapositivas:
"PUNTOS MARAVILLOSOS DE UN TRIÁNGULO". (Cuestiones aplicadas y fundamentales de matemáticas) Elena Baranova 8º grado, MKOU “Escuela Secundaria No. 20” Pos. Novoizobilny, Dukhanina Tatyana Vasilievna, profesora de matemáticas, institución educativa municipal "Escuela secundaria n.º 20" Pueblo de Novoizobilny 2013. Institución educativa del gobierno municipal "Escuela secundaria n.º 20"
Objetivo: estudiar el triángulo por sus puntos destacables, estudiar sus clasificaciones y propiedades. Objetivos: 1. Estudiar la literatura necesaria 2. Estudiar la clasificación de los puntos destacables de un triángulo 3. Familiarizarse con las propiedades de los puntos destacables de un triángulo 4. Ser capaz de construir los puntos destacables de un triángulo. 5. Explore el alcance de los puntos destacables. Objeto de estudio - sección de matemáticas - geometría Tema de estudio - triángulo Relevancia: amplía tus conocimientos sobre el triángulo, las propiedades de sus puntos destacables. Hipótesis: conexión entre triángulo y naturaleza.
El punto de intersección de las mediatrices es equidistante de los vértices del triángulo y es el centro del círculo circunscrito. Círculos circunscritos a triángulos, cuyos vértices son los puntos medios de los lados del triángulo y los vértices del triángulo se cortan en un punto que coincide con el punto de intersección de las bisectrices perpendiculares.
Punto de intersección de las bisectrices El punto de intersección de las bisectrices de un triángulo equidista de los lados del triángulo. OM=OA=OB
Punto de intersección de las altitudes El punto de intersección de las bisectrices de un triángulo, cuyos vértices son las bases de las alturas, coincide con el punto de intersección de las altitudes del triángulo.
Punto de intersección de medianas Las medianas de un triángulo se cruzan en un punto, el cual divide cada mediana en una proporción de 2:1, contando desde el vértice. Si el punto de intersección de las medianas está conectado con los vértices, entonces el triángulo se dividirá en tres triángulos de igual área. Una propiedad importante del punto de intersección de las medianas es el hecho de que la suma de los vectores, cuyo comienzo es el punto de intersección de las medianas y los extremos son los vértices de los triángulos, es igual a cero M1 N C B A m2 m3 M1 N C B A m2 m3 M1 N C B A m2 m3 M1 N C B A m2 m3
Punto de Torricelli Nota: Existe un punto de Torricelli si todos los ángulos del triángulo son menores que 120.
Círculo de nueve puntos B1, A1, C1 – bases de alturas; A2, B2, C2 – los puntos medios de los lados correspondientes; A3, B3, C3, son los puntos medios de los segmentos AN, VN y CH.
Línea recta de Euler El punto de intersección de las medianas, el punto de intersección de las alturas y el centro de un círculo de nueve puntos se encuentran en una línea recta, que se llama línea recta de Euler en honor al matemático que determinó este patrón.
Un poco de la historia del descubrimiento de los puntos notables En 1765, Euler descubrió que los puntos medios de los lados de un triángulo y las bases de sus alturas se encuentran en el mismo círculo. La propiedad más sorprendente de los puntos notables de un triángulo es que algunos de ellos están conectados entre sí por una determinada proporción. El punto de intersección de las medianas M, el punto de intersección de las alturas H y el centro de la circunferencia circunstante O se encuentran en la misma recta, y el punto M divide el segmento OH de modo que la relación OM: OH = 1: 2 es válido Este teorema fue demostrado por Leonhard Euler en 1765.
La conexión entre geometría y naturaleza. En esta posición, la energía potencial tiene el valor más pequeño y la suma de los segmentos MA+MB+MC será la más pequeña, y la suma de los vectores que se encuentran en estos segmentos con el comienzo en el punto de Torricelli será igual a cero.
Conclusiones Aprendí que además de los maravillosos puntos de intersección de altitudes, medianas, bisectrices y mediatrices que conozco, también existen maravillosos puntos y rectas de un triángulo. Podré utilizar los conocimientos adquiridos sobre este tema en mis actividades educativas, aplicar teoremas de forma independiente a determinados problemas y aplicar los teoremas aprendidos en una situación real. Creo que utilizar los maravillosos puntos y líneas de un triángulo para aprender matemáticas es eficaz. Conocerlos acelera significativamente la solución de muchas tareas. El material propuesto se puede utilizar tanto en lecciones de matemáticas como en actividades extracurriculares para estudiantes de 5º a 9º grado.
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Primero demostremos el teorema sobre la bisectriz de un ángulo.
Teorema
Prueba
1) Tome un punto arbitrario M en la bisectriz del ángulo BAC, dibuje las perpendiculares MK y ML a las rectas AB y AC y demuestre que MK = ML (Fig. 224). Considere los triángulos rectángulos AM K y AML. Son iguales en hipotenusa y ángulo agudo (AM es la hipotenusa común, ∠1 = ∠2 por convención). Por lo tanto MK = ML.
2) Sea el punto M dentro del ángulo BAC y equidistante de sus lados AB y AC. Demostremos que el rayo AM es la bisectriz del ángulo BAC (ver Fig. 224). Dibujemos las perpendiculares MK y ML a las rectas AB y AC. Los triángulos rectángulos AMK y AML son iguales en hipotenusa y cateto (AM es la hipotenusa común, MK = ML por convención). Por lo tanto, ∠1 = ∠2. Pero esto significa que el rayo AM es la bisectriz del ángulo BAC. El teorema ha sido demostrado.
Arroz. 224
Corolario 1
Corolario 2
De hecho, denotamos con la letra O el punto de intersección de las bisectrices AA 1 y BB 1 del triángulo ABC y trazamos desde este punto las perpendiculares OK, OL y OM, respectivamente, a las rectas AB, BC y CA. (Figura 225). Según el teorema demostrado, OK = OM y OK = OL. Por tanto OM = OL, es decir, el punto O equidista de los lados del ángulo ACB y, por tanto, se encuentra en la bisectriz CC 1 de este ángulo. En consecuencia, las tres bisectrices del triángulo ABC se cortan en el punto O, que es lo que había que demostrar.
Arroz. 225
Propiedades de la mediatriz de un segmento
Una bisectriz perpendicular a un segmento es una recta que pasa por el centro de un segmento dado y es perpendicular a él.
Arroz. 226
Demostremos el teorema sobre la mediatriz de un segmento.
Teorema
Prueba
Sea la recta m la bisectriz perpendicular al segmento AB, el punto O sea el punto medio de este segmento (Fig. 227, a).
Arroz. 227
1) Considere un punto arbitrario M en una recta m y demuestre que AM = BM. Si el punto M coincide con el punto O, entonces esta igualdad es verdadera, ya que O es el punto medio del segmento AB. Sean M y O puntos diferentes. Los triángulos rectángulos OAM y OBM son iguales en dos catetos (OA = OB, OM es el cateto común), por lo tanto AM = VM.
2) Considere un punto arbitrario N, equidistante de los extremos del segmento AB, y demuestre que el punto N se encuentra en la recta m. Si N es un punto de la recta AB, entonces coincide con el punto medio O del segmento AB y, por tanto, se encuentra en la recta m. Si el punto N no se encuentra en la recta AB, entonces el triángulo ANB es isósceles, ya que AN = BN (Fig. 227, b). El segmento NO es la mediana de este triángulo, y por tanto la altura. Por tanto, NO ⊥ AB, por lo tanto las rectas ON y m coinciden, es decir, N es un punto de la recta m. El teorema ha sido demostrado.
Corolario 1
Corolario 2
Para probar esta afirmación, considere las perpendiculares bisectorales m y n a los lados AB y BC del triángulo ABC (figura 228). Estas líneas se cruzan en algún punto O. De hecho, si asumimos lo contrario, es decir, que m || n, entonces la recta BA, al ser perpendicular a la recta m, también sería perpendicular a la recta n paralela a ella, y entonces dos rectas BA y BC pasarían por el punto B, perpendiculares a la recta n, lo cual es imposible.
Arroz. 228
Según el teorema demostrado, OB = OA y OB = OS. Por tanto OA = OC, es decir, el punto O equidista de los extremos del segmento AC y, por tanto, se encuentra en la bisectriz perpendicular p a este segmento. En consecuencia, las tres bisectrices m, n y p de los lados del triángulo ABC se cortan en el punto O.
Teorema de intersección de altitud del triángulo
Hemos demostrado que las bisectrices de un triángulo se cortan en un punto y las bisectrices perpendiculares a los lados de un triángulo se cortan en un punto. Anteriormente se demostró que las medianas de un triángulo se cortan en un punto (sección 64). Resulta que las alturas de un triángulo tienen una propiedad similar.
Teorema
Prueba
Consideremos un triángulo arbitrario ABC y demostremos que las rectas AA 1 BB 1 y CC 1 que contienen sus altitudes se cruzan en un punto (Fig. 229).
Arroz. 229
Dibujemos una línea recta que pase por cada vértice del triángulo ABC, paralela al lado opuesto. Obtenemos el triángulo A 2 B 2 C 2. Los puntos A, B y C son los puntos medios de los lados de este triángulo. De hecho, AB = A 2 C y AB = CB 2 como lados opuestos de los paralelogramos ABA 2 C y ABCB 2, por lo tanto A 2 C = CB 2. De manera similar, C 2 A = AB 2 y C 2 B = BA 2. Además, como se desprende de la construcción, CC 1 ⊥ A 2 B 2, AA 1 ⊥ B 2 C 2 y BB 1 ⊥ A 2 C 2. Por tanto, las rectas AA 1, BB 1 y CC 1 son las bisectrices perpendiculares a los lados del triángulo A 2 B 2 C 2. En consecuencia, se cruzan en un punto. El teorema ha sido demostrado.
Entonces, cuatro puntos están asociados con cada triángulo: el punto de intersección de las medianas, el punto de intersección de las bisectrices, el punto de intersección de las bisectrices perpendiculares a los lados y el punto de intersección de las altitudes (o sus extensiones). Estos cuatro puntos se llaman puntos notables del triangulo.
Tareas
674. Desde el punto M de la bisectriz de un ángulo O no desarrollado, se trazan las perpendiculares MA y MB a los lados de este ángulo. Demuestre que AB ⊥ OM.
675. Los lados del ángulo O tocan cada uno de dos círculos que tienen una tangente común en el punto A. Demuestre que los centros de estos círculos se encuentran en la línea recta O A.
676. Los lados del ángulo A tocan un círculo con centro O de radio r. Encuentre: a) OA, si r = 5 cm, ∠A = 60°; b) d, si OA = 14 dm, ∠A = 90°.
677. Las bisectrices de los ángulos externos en los vértices B y C del triángulo ABC se cortan en el punto O. Demuestre que el punto O es el centro de un círculo tangente a las rectas AB, BC, AC.
678. Las bisectrices AA 1 y BB 1 del triángulo ABC se cortan en el punto M. Encuentre los ángulos ACM y ВСМ si: a) ∠AMB = 136°; b) ∠AMB = 111°.
679. La bisectriz perpendicular al lado BC del triángulo ABC corta al lado AC en el punto D. Encuentre: a) AD y CD, si BD = 5 cm, Ac = 8,5 cm; b) AC, si BD = 11,4 cm, AD = 3,2 cm.
680. Las bisectrices perpendiculares a los lados AB y AC del triángulo ABC se cortan en el punto D del lado BC. Demuestre que: a) el punto D es el punto medio del lado BC; b) ∠A - ∠B + ∠C.
681. La bisectriz perpendicular al lado AB del triángulo isósceles ABC intersecta al lado BC en el punto E. Encuentra la base AC si el perímetro del triángulo AEC es 27 cm y AB = 18 cm.
682. Los triángulos isósceles ABC y ABD tienen una base común AB. Demuestre que la recta CD pasa por el medio del segmento AB.
683. Demuestre que si en el triángulo ABC los lados AB y AC no son iguales, entonces la mediana AM del triángulo no es una altitud.
684. Las bisectrices de los ángulos en la base AB del triángulo isósceles ABC se cortan en el punto M. Demuestre que la recta CM es perpendicular a la recta AB.
685. Las alturas AA 1 y BB 1 del triángulo isósceles ABC, dibujadas en los lados laterales, se cruzan en el punto M. Demuestre que la recta MC es la bisectriz perpendicular al segmento AB.
686. Construya la mediatriz de este segmento.
Solución
Sea AB el segmento dado. Construyamos dos círculos con centros en los puntos A y B de radio AB (Fig. 230). Estos círculos se cruzan en dos puntos M 1 y M 2. Los segmentos AM 1, AM 2, VM 1, VM 2 son iguales entre sí como los radios de estos círculos.
Arroz. 230
Dibujemos una línea recta M 1 M 2. Es la bisectriz perpendicular deseada al segmento AB. De hecho, los puntos M 1 y M 2 son equidistantes de los extremos del segmento AB, por lo que se encuentran en la bisectriz perpendicular a este segmento. Esto significa que la recta M 1 M 2 es la bisectriz perpendicular al segmento AB.
687. Dada una recta a y dos puntos A y B situados a un lado de esta recta. En la recta a, construya el punto M, equidistante de los puntos A a B.
688. Se dan un ángulo y un segmento. Construya un punto que se encuentre dentro de un ángulo dado, equidistante de sus lados y equidistante de los extremos de un segmento dado.
Respuestas a los problemas
674. Instrucción. Primero demuestre que el triángulo AOB es isósceles.
676.a) 10 cm; b) 7√2dm.
678. a) 46° y 46°; b) 21° y 21°.
679. a) AB = 3,5 cm, CD = 5 cm; b) CA = 14,6 cm.
683. Instrucción. Utilice el método de prueba por contradicción.
687. Instrucción. Utilice el teorema 75.
688. Instrucción. Tenga en cuenta que el punto deseado se encuentra en la bisectriz del ángulo dado.
1 Es decir, equidista de las rectas que contienen los lados del ángulo.
© Kugusheva Natalya Lvovna, 2009 Geometría, octavo grado TRIÁNGULO CUATRO PUNTOS DESTACABLES
El punto de intersección de las medianas de un triángulo El punto de intersección de las bisectrices de un triángulo El punto de intersección de las alturas de un triángulo El punto de intersección de las bisectrices perpendiculares de un triángulo
La mediana (BD) de un triángulo es el segmento que conecta el vértice del triángulo con el punto medio del lado opuesto. A B C D Mediana
Las medianas de un triángulo se cortan en un punto (el centro de gravedad del triángulo) y se dividen por este punto en una proporción de 2:1, contando desde el vértice. AM: MA 1 = VM: MV 1 = SM:MS 1 = 2:1. A A 1 B B 1 M C C 1
La bisectriz (A D) de un triángulo es el segmento de bisectriz del ángulo interior del triángulo.
Cada punto de la bisectriz de un ángulo no desarrollado equidista de sus lados. A la inversa: todo punto que se encuentra dentro de un ángulo y equidistante de los lados del ángulo se encuentra sobre su bisectriz. AMBC
Todas las bisectrices de un triángulo se cruzan en un punto: el centro del círculo inscrito en el triángulo. C B 1 M A V A 1 C 1 O El radio de un círculo (OM) es una perpendicular que cae desde el centro (TO) al lado del triángulo.
ALTURA La altura (C D) de un triángulo es el segmento perpendicular trazado desde el vértice del triángulo hasta la recta que contiene el lado opuesto. A B C D
Las altitudes de un triángulo (o sus extensiones) se cruzan en un punto. A A 1 B B 1 C C 1
MEDIOPERPENDICULAR La mediatriz (DF) es la recta perpendicular al lado del triángulo y que lo divide por la mitad. A D F B C
A M B m O Cada punto de la mediatriz (m) de un segmento equidista de los extremos de este segmento. Por el contrario: todo punto equidistante de los extremos de un segmento se encuentra en su bisectriz perpendicular.
Todas las bisectrices perpendiculares de los lados del triángulo se cruzan en un punto: el centro del círculo circunscrito al triángulo. A B C O El radio del círculo circunscrito es la distancia desde el centro del círculo hasta cualquier vértice del triángulo (OA). mnp
Tareas para los estudiantes Construir un círculo inscrito en un triángulo obtuso usando un compás y una regla. Para hacer esto: Construya bisectrices en un triángulo obtuso usando un compás y una regla. El punto de intersección de las bisectrices es el centro del círculo. Construye el radio del círculo: una perpendicular desde el centro del círculo hasta el lado del triángulo. Construye un círculo inscrito en el triángulo.
2. Usando un compás y una regla, construye un círculo que circunscriba un triángulo obtuso. Para hacer esto: Construya bisectrices perpendiculares a los lados del triángulo obtuso. El punto de intersección de estas perpendiculares es el centro del círculo circunscrito. El radio de un círculo es la distancia desde el centro a cualquier vértice del triángulo. Construye un círculo alrededor del triángulo.
En esta lección veremos cuatro maravillosos puntos del triángulo. Detengámonos en dos de ellos en detalle, recordemos las demostraciones de teoremas importantes y resolvamos el problema. Recordemos y caractericemos los dos restantes.
Sujeto:Revisión del curso de geometría de 8º grado.
Lección: Cuatro maravillosos puntos de un triángulo
Un triángulo es, ante todo, tres segmentos y tres ángulos, por tanto las propiedades de los segmentos y los ángulos son fundamentales.
Se da el segmento AB. Cualquier segmento tiene un punto medio y a través de él se puede trazar una perpendicular; denotémoslo como p. Por tanto, p es la bisectriz perpendicular.
Teorema (propiedad principal de la mediatriz)
Cualquier punto que se encuentre sobre la mediatriz equidista de los extremos del segmento.
Pruebalo
Prueba:
Considere los triángulos y (ver Fig. 1). Son rectangulares e iguales, porque. tienen un cateto común OM, y los catetos AO y OB son iguales por condición, por lo tanto, tenemos dos triángulos rectángulos, iguales en dos catetos. De ello se deduce que las hipotenusas de los triángulos también son iguales, es decir, lo que se requería demostrar.
Arroz. 1
El teorema inverso es cierto.
Teorema
Cada punto equidistante de los extremos de un segmento se encuentra en la bisectriz perpendicular a este segmento.
Dado un segmento AB, una bisectriz perpendicular a él p, un punto M equidistante de los extremos del segmento (ver Fig. 2).
Demuestre que el punto M se encuentra en la mediatriz del segmento.
Arroz. 2
Prueba:
Considere un triángulo. Es isósceles, según la condición. Considere la mediana de un triángulo: el punto O es el centro de la base AB, OM es la mediana. Según la propiedad de un triángulo isósceles, la mediana trazada hasta su base es a la vez altitud y bisectriz. Resulta que . Pero la recta p también es perpendicular a AB. Sabemos que en el punto O es posible trazar una única perpendicular al segmento AB, lo que significa que las rectas OM y p coinciden, se deduce que el punto M pertenece a la recta p, que es lo que necesitábamos demostrar.
Si es necesario describir un círculo alrededor de un segmento, esto se puede hacer, y hay infinitos círculos de este tipo, pero el centro de cada uno de ellos estará en la bisectriz perpendicular al segmento.
Dicen que la mediatriz es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los extremos de un segmento.
Un triángulo consta de tres segmentos. Dibujemos perpendiculares bisectorales a dos de ellos y obtengamos el punto O de su intersección (ver Fig. 3).
El punto O pertenece a la bisectriz perpendicular al lado BC del triángulo, lo que significa que es equidistante de sus vértices B y C, denotaremos esta distancia como R: .
Además, el punto O se encuentra en la mediatriz del segmento AB, es decir , al mismo tiempo, desde aquí.
Por tanto, el punto O de la intersección de dos puntos medios
Arroz. 3
perpendiculares del triángulo es equidistante de sus vértices, lo que significa que también se encuentra en la tercera mediatriz perpendicular.
Hemos repetido la demostración de un teorema importante.
Las tres bisectrices perpendiculares de un triángulo se cortan en un punto: el centro del círculo circunstante.
Entonces, miramos el primer punto notable del triángulo: el punto de intersección de sus perpendiculares bisectoriales.
Pasemos a la propiedad de un ángulo arbitrario (ver Fig. 4).
El ángulo está dado, su bisectriz es AL, el punto M se encuentra en la bisectriz.
Arroz. 4
Si el punto M se encuentra en la bisectriz de un ángulo, entonces es equidistante de los lados del ángulo, es decir, las distancias desde el punto M a AC y BC de los lados del ángulo son iguales.
Prueba:
Considere triángulos y . Estos son triángulos rectángulos y son iguales porque... tienen una hipotenusa común AM, y los ángulos son iguales, ya que AL es la bisectriz del ángulo. Así, los triángulos rectángulos son iguales en hipotenusa y ángulo agudo, se deduce que , que es lo que había que demostrar. Por tanto, un punto de la bisectriz de un ángulo equidista de los lados de ese ángulo.
El teorema inverso es cierto.
Teorema
Si un punto es equidistante de los lados de un ángulo no desarrollado, entonces se encuentra en su bisectriz (ver Fig. 5).
Se da un ángulo no desarrollado, el punto M, tal que la distancia desde él a los lados del ángulo es la misma.
Demuestre que el punto M se encuentra en la bisectriz del ángulo.
Arroz. 5
Prueba:
La distancia de un punto a una recta es la longitud de la perpendicular. Desde el punto M trazamos las perpendiculares MK al lado AB y MR al lado AC.
Considere triángulos y . Estos son triángulos rectángulos y son iguales porque... tienen una hipotenusa común AM, los catetos MK y MR son iguales por condición. Por tanto, los triángulos rectángulos son iguales en hipotenusa y cateto. De la igualdad de los triángulos se sigue la igualdad de los elementos correspondientes, ángulos iguales se encuentran frente a lados iguales, por lo tanto, 
Por tanto, el punto M se encuentra en la bisectriz del ángulo dado.
Si es necesario inscribir un círculo en un ángulo, esto se puede hacer, y hay infinitos círculos de este tipo, pero sus centros se encuentran en la bisectriz de un ángulo dado.
Dicen que una bisectriz es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los lados de un ángulo.
Un triángulo consta de tres ángulos. Construyamos las bisectrices de dos de ellos y obtengamos el punto O de su intersección (ver Fig. 6).
El punto O se encuentra en la bisectriz del ángulo, lo que significa que es equidistante de sus lados AB y BC, denotemos la distancia como r: . Además, el punto O se encuentra en la bisectriz del ángulo, lo que significa que equidista de sus lados AC y BC: , , desde aquí.
Es fácil notar que el punto de intersección de las bisectrices equidista de los lados del tercer ángulo, lo que significa que se encuentra en
Arroz. 6
bisectriz. Por tanto, las tres bisectrices del triángulo se cruzan en un punto.
Entonces, recordamos la demostración de otro teorema importante.
Las bisectrices de los ángulos de un triángulo se cruzan en un punto: el centro del círculo inscrito.
Entonces, miramos el segundo punto notable del triángulo: el punto de intersección de las bisectrices.
Examinamos la bisectriz de un ángulo y notamos sus propiedades importantes: los puntos de la bisectriz son equidistantes de los lados del ángulo, además, los segmentos tangentes trazados al círculo desde un punto son iguales.
Introduzcamos algo de notación (ver Fig. 7).
Denotamos segmentos tangentes iguales por x, y y z. El lado BC opuesto al vértice A se designa como a, de manera similar AC como b, AB como c.
Arroz. 7
Problema 1: en un triángulo se conocen el semiperímetro y la longitud del lado a. Encuentre la longitud de la tangente trazada desde el vértice A - AK, denotada por x.
Evidentemente, el triángulo no está completamente definido y hay muchos de esos triángulos, pero resulta que tienen algunos elementos en común.
Para problemas que involucran un círculo inscrito, se puede proponer el siguiente método de solución:
1. Dibuja bisectrices y obtén el centro del círculo inscrito.
2. Desde el centro O, traza perpendiculares a los lados y obtén puntos de tangencia.
3. Marca tangentes iguales.
4. Escribe la relación entre los lados del triángulo y las tangentes.
