Un conjunto difuso es un conjunto de pares.
Entonces, por ejemplo, puedes configurar un conjunto para el número 7:
<0/1>,<0.4/3>,<1/7>Este conjunto dice que 7 es 0% uno, 40% tres y 100% siete.
La variable difusa se define como
A - nombre de la variable,
X=(x) - dominio de definición de una variable, conjunto de posibles valores de x,
ca=(
Ejemplo:<"Семь",{1,3,7},{<0/1>,<0.4/3>,<1/7>)>. Con esta entrada determinamos la correspondencia entre la palabra y algunos números. Además, tanto en el nombre de la variable como en los valores de x se podrían utilizar cualquier registro que contenga alguna información.
La variable lingüística se define como
B - nombre de la variable.T es el conjunto de sus valores (conjunto de términos básicos), consta de los nombres de variables difusas, cuyo dominio de definición de cada una de las cuales es el conjunto X.
G es un procedimiento sintáctico (gramática) que permite operar con elementos del conjunto de términos T, en particular, para generar nuevos términos significativos. T`=T U G(T) especifica un conjunto de términos extendidos (U es un signo de unión).
M es un procedimiento semántico que nos permite asignar semántica difusa a cada nuevo valor de una variable lingüística formando un nuevo conjunto difuso.
Un conjunto difuso (o un número difuso) describe algunos conceptos en forma funcional, es decir, conceptos como “aproximadamente igual a 5”, “velocidad ligeramente superior a 300 km/h”, etc., como puede ver, estos conceptos no pueden estar representados por uno en número, aunque en realidad la gente los usa muy a menudo.
Una variable difusa es lo mismo que un número difuso, sólo que con la adición de un nombre que formaliza el concepto descrito por este número.
Una variable lingüística es un conjunto de variables difusas, se utiliza para dar descripción verbal algún número difuso obtenido como resultado de algunas operaciones. Es decir, mediante algunas operaciones se selecciona el valor más cercano a la variable lingüística.
Quiero darte algunos consejos para tu programa. Es mejor almacenar números difusos como un conjunto ordenado de pares (ordenados por medios), gracias a esto puede acelerar la ejecución de todas las operaciones lógicas y matemáticas. Al implementar operaciones aritméticas, debe tener en cuenta el error de cálculo, es decir, 2/4<>1/2 para una computadora, cuando me encontré con esto, tuve que hacerlo un poco más difícil para comparar pares y tengo que hacer muchas comparaciones. Las portadoras en números difusos deben ser múltiplos de algún número; de lo contrario, los resultados son arif. las operaciones serán "feas", es decir, el resultado será inexacto, esto es especialmente evidente durante la multiplicación.
Al almacenar números difusos en forma ordenada, me aseguré de que las operaciones aritméticas se realizaran de acuerdo con una dependencia casi lineal (en el tiempo), es decir, a medida que aumentaba la cantidad de vapor, la velocidad de los cálculos disminuía linealmente. Se me ocurrió e implementé el arif exacto. operaciones en las que el número y la multiplicidad de los portadores no importan, el resultado siempre será preciso y "hermoso", es decir, si los números originales eran similares a una parábola invertida, entonces el resultado será similar, pero con operaciones ordinarias resulta ser paso a paso. También presenté el concepto de “números difusos inversos” (aunque no los implementé por completo), ¿para qué sirven? Como sabes, al restar o dividir, el número del que se resta el otro debe ser más ancho, y esto es un gran problema a la hora de resolver ecuaciones complejas, pero los "números difusos inversos" te permiten hacerlo.
Operaciones básicas sobre conjuntos difusos.
UNIÓN: se crea un nuevo conjunto a partir de elementos de los conjuntos originales, y para elementos idénticos la membresía se considera máxima.
A U B = (
NORMALIZACIÓN: un conjunto difuso es normal si el supremo del conjunto es igual a uno. Para normalizar, se releen las afiliaciones de los elementos:
M"a(x) = Ma(x)/(Sup Ma(x)) CORTE ALFA: conjunto de nivel alfa - aquellos elementos del conjunto original cuya membresía es mayor o igual a un umbral dado. El umbral es igual a 1/ 2 se llama punto de transición Aq = (x|x?X /\ Ma(x)>q) INCLUSIÓN DIFUSA: grado de inclusión de un conjunto difuso V(A1,A2) = (Ma1(x0)->Ma2( x0))&(Ma1(x1) ->Ma2(x1))&.. Según Lukasiewicz: Ma1(x)->Ma2(x) = 1&(1-Ma1(x)+Ma2(x)) Según Zade: Ma1(x)->Ma2(x ) = (1-Ma1(x)) \/ Ma2(x) IGUALDAD DIFUSA: grado de igualdad difusa R(A1,A2) = V(A1,A2) & V( A2,A1)
Diccionario
ADAPTACIÓN: Cualquier cambio en la estructura o función de un organismo que le permite sobrevivir en su entorno externo.
ALELOS - Valores posibles genes.
GA - Algoritmo genético. Exploración inteligente de búsqueda aleatoria. . Se introduce Holanda 1975.
MODELO ISLA GA (IMGA): una población GA se divide en varias subpoblaciones, cada una de las cuales se inicializa aleatoriamente y realiza una GA secuencial independiente en su propia subpoblación. A veces, las ramas de decisión viables migran entre subpoblaciones. [Por ejemplo. Levin 1994].
GENES: Variables de un cromosoma.
DERIVA GENÉTICA: Los miembros de una población convergen en algún punto del espacio de solución fuera del óptimo debido a la acumulación de errores estocásticos.
GENOTIPO - Estructura real. Cromosoma codificado.
médico de cabecera - Programación genética. Programas de aplicación que utilizan los principios de adaptación evolutiva al diseño de código procesal.
DIPLOIDE: cada región del cromosoma contiene un par de genes. Esto permite mantener la memoria a largo plazo.
KGA - GA compacto (CGA). En CGA, dos o más conjuntos de genes interactúan constantemente y evolucionan mutuamente.
CROSSINGOVER - Intercambio de segmentos de cromosomas de los padres. En el rango del 75 al 95% aparecen los mejores individuos.
LOCUS: La posición de un gen en un cromosoma.
MUTACIÓN - Modificación arbitraria de un cromosoma.
SINAPSIS: Entrada de una neurona.
ESQUEMA (shemma): un subconjunto de cromosomas similares que contienen un patrón de valores genéticos.
CONVERGENCIA - Progresión hacia una creciente homogeneidad. Se considera que un gen converge cuando el 95% de la población tiene el mismo valor.
UNN - Red neuronal unificada.
FUNCIÓN DE APTITUD: un valor que es el valor funcional objetivo de una solución. También se le llama función de evaluación o función objetivo en problemas de optimización.
FENOTIPO - Expresión física estructuras. Conjunto de genes decodificados.
CROMOSOMA: Un vector, cadena o solución constituyente.
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CONCEPTOS BÁSICOS DE LA TEORÍA DE CONJUNTOS BORROSOS Y VARIABLES LINGÜÍSTICAS
1. Concepto y conceptos básicos características de borroso conjuntos
Definición 1.1. Sea X un conjunto universal. Conjunto difuso A en el conjunto X (subconjunto difuso A del conjunto X) es una colección de pares
Una = (<μ A (x ),x >}, (1.1)
donde x X ,μ A (x ) .X se llama dominio de definición conjunto difusoA, yμ A – Función de la membresía de esta multitud. El valor de la función de pertenencia μ A (x) para un elemento específico x X se llama grado de afiliación de este elemento al conjunto difuso A.
La interpretación de la función de pertenencia es una medida subjetiva de qué tan bien corresponde el elemento x X al concepto, cuyo significado está formalizado por el conjunto difuso A. En este caso, un valor igual a 1 significa cumplimiento completo (absoluto), un valor igual a 0 significa discrepancia completa (absoluta).
Definición 1.2. Los conjuntos difusos con un dominio de definición discreto se denominan discreto conjuntos difusos , No-
conjuntos claros con área continua definiciones – continuo
ny conjuntos difusos.
Los conjuntos ordinarios (nítidos) también pueden considerarse en un contexto difuso. La función de pertenencia de un conjunto regular sólo puede tomar dos valores: 0 si el elemento no pertenece al conjunto y 1 si el elemento pertenece a él.
En la literatura se puede encontrar varias formas registros de conjuntos difusos. Para área discreta definiciones X = (x 1 ,x 2 , …,x n ) (el caso n = ∞ también es posible) existen las siguientes formas:
Una = ( | |
A = (μ A (x 1 )/x 1 ,μ A (x 2 )/x 2 , …,μ A (x n )/x n ); | |
A =μ A (x 1 )/x 1 +μ A (x 2 )/x 2 +…+μ A (x n )/x n =∑ μ A (x j )/x j . |
j = 1
donde el signo integral tiene sentido unión puntual enX. Además, tanto para casos discretos como continuos, se utiliza una forma generalizada de notación:
B = (x x ≈ 2) – conjunto de números reales, aproximadamente igual 2, y C = (x x >> 1) – el conjunto de números reales, en-
muchos más grandes 1. Posibles formas Las funciones de pertenencia de estos conjuntos se presentan esquemáticamente en las figuras 1.1 y 1.2, respectivamente.
Arroz. 1.1. Función de la membresía | Arroz. 1.2. Función de la membresía |
||||||||||
conjunto difuso de números, | conjunto difuso de números, | ||||||||||
aproximadamente igual a 2 | mucho más grande que 1 | ||||||||||
Como ejemplo de un conjunto difuso discreto, podemos considerar D = (n n ≈ 1) – un conjunto de números enteros cercanos a 1,
una posible forma de especificarlo es la siguiente:
N = (0,2/-3; 0,4/-2; 0,6/-1; 0,8/0; 1/1; 0,8/2; 0,6/3; 0,4/4; 0,2/5) (los puntos restantes tienen grado cero de afiliación) .
La forma específica de la función de membresía depende del significado que se le dé al concepto formalizado en las condiciones. tarea específica y a menudo tiene un carácter subjetivo. La mayoría de los métodos para construir funciones de membresía se basan, en un grado u otro, en el procesamiento de información obtenida por medios expertos.
Nota 1. Aquí sup (supremum) es el límite superior exacto de la función de membresía. Si el conjunto X (dominio de definición) es cerrado, entonces el supremo de la función coincide con su máximo.
Definición 1.5. Si h A = 1, entonces el conjunto difuso A se llama
parece normal, por lo demás (hA< 1) – субнормальным.
Definición 1.6. El portador de un conjunto difuso A es el conjunto
elementos del dominio de la definición que al menos en cierta medida corresponden al concepto que se formaliza.
Nota 2: No deben confundirse las designaciones sup y Supp. El primero es la abreviatura de supremo, el segundo de apoyo.
Definición 1.7. Conjunto de niveles α (α -slice) de difuso
El núcleo de un conjunto difuso contiene, por tanto, todos los elementos del dominio de definición que corresponden plenamente al concepto que se está formalizando.
de donde se sigue que el elemento multiplicito El nivel α también pertenece a todos los conjuntos de niveles más pequeños β ≤α.
Definición 1.9. Sean A y B conjuntos difusos en el conjunto X con funciones de pertenencia μ A y μ B, respectivamente. Govo-
Se dice que A es un subconjunto difuso de B (B incluye
A ), si se cumple la siguiente condición:
Entre los conjuntos difusos con un dominio numérico de definición, también existe una clase de números difusos y intervalos difusos. Para definir esta clase se introduce el concepto de convexidad de conjuntos difusos.
Definición 1.11. Un subconjunto difuso A del eje real se denomina convexo si se cumple la siguiente condición:
En la Fig. La Figura 1.3 muestra ejemplos de conjuntos difusos convexos (izquierda) y no convexos (derecha).
Arroz. 1.3. Hacia la definición de convexidad de un conjunto difuso
Conceptos básicos de la teoría de conjuntos difusos |
Definición 1.12. intervalo difuso se llama conjunto difuso normal convexo en dominio numérico definiciones que tienen función continua pertenencias y un núcleo no vacío. numero difuso es un intervalo difuso cuyo núcleo contiene exactamente un elemento.
Para intervalos y números difusos, existe un teorema de representación según el cual un subconjunto difuso A del eje real es un intervalo difuso si y sólo si su función de pertenencia es representable como:
LA (x), a0 ≤ x< a1 , | |||||||
1, a1≤x≤b1 | |||||||
(x)= | (x), segundo< u≤ b | ||||||
Las funciones L A y R A se denominan ramas izquierda y derecha de la función de pertenencia de un número difuso, respectivamente. Estas funciones son continuas, mientras que L A en el segmento aumenta de L A (a 0 ) = 0 a
L A (a 1 ) = 1, y R A en el segmento disminuye de R A (b 1 ) = 1 a R A (b 0 ) = 0 (figura 1.4).
Arroz. 1.4. Hacia la definición de un intervalo difuso
Definición 1.13. Sea A = (A 1,A 2,…,A n) – una familia de conjuntos difusos definidos en el dominio de definición X .Ã se llama partición difusa X con parámetro α (0<α ≤ 1), если все множестваA j являются выпуклыми и нормальными, и выполняется условие:
x X j (1,… ,n )μ A j (x )≥ α |
(es decir, cualquier elemento del dominio de definición pertenece al menos a uno de los conjuntos de la familia à con grado no menor que α - Fig. 1.5).
Difuso(o borroso, indistinto) un montón de- un concepto introducido por L. Zadeh, quien amplió el concepto clásico (Cantor) de conjunto, admitiendo que la función característica (la función de la pertenencia de un elemento a un conjunto) puede tomar cualquier valor en el intervalo, y no solo los valores 0 o 1.
Definición: conjunto difuso(un conjunto borroso)
Dejar C hay algún conjunto universal (universo). Entonces el conjunto difuso A V C se define como un conjunto ordenado de pares
donde se llama función de membresía (MF) del elemento X al conjunto difuso A.
FP asigna a cada elemento de C valor del intervalo, que se llama grado de membresía x A A o una medida difusa.
Una medida difusa puede considerarse como el grado de verdad que tiene un elemento. X pertenece A.
Definición: base de conjunto difuso(un soporte de un conjunto difuso)
La base de un conjunto difuso A es el conjunto de todos los puntos tales que .
Así, la definición de conjunto difuso es una extensión de la definición de conjunto clásico, en el que la función característica puede tomar valores continuos entre 0 y 1. Universo C puede ser un conjunto discreto o continuo.
Generalmente se utilizan varios tipos de funciones paramétricas para representar FP.
Representaciones típicas de FP
Triangular PT (Fig. 2.2, a) se describen mediante tres parámetros ( a B C), que determinan X Las coordenadas de las tres esquinas del triángulo son las siguientes:
trapezoidal PT (Fig. 2.2, c) se describen mediante cuatro parámetros ( a B C D), que determinan X Las coordenadas de las cuatro esquinas del trapezoide son las siguientes:
Arroz. 2.2. FA triangular y trapezoidal
gaussiano FP (Fig. 2.3) se especifican mediante dos parámetros y representan la siguiente función: .
Arroz. 2.3. PT gaussiano
Variables lingüísticas
Uno de los conceptos fundamentales, también introducido por L. Zadeh, es el concepto de variable lingüística.
Definición: variable lingüística(LP) representa los cinco siguientes, donde es el nombre de la variable, es un conjunto de términos que especifica el conjunto de valores de LP, que son expresiones lingüísticas (sintagmas), X- universo, GRAMO– una regla sintáctica, mediante la cual podemos formar sintagmas, METRO– una regla semántica, mediante la cual a cada sintagma se le asigna su significado, que es un conjunto difuso en el universo X.
Un ejemplo de LP sería, por ejemplo, variable = “edad”. Su conjunto de términos puede ser, por ejemplo, el siguiente:
(edad) = ( Muy joven, joven, mas o menos joven, de edad mediana, viejo, muy viejo}.
El universo para un PL determinado puede ser un determinado conjunto de números reales, por ejemplo, el intervalo. regla semántica METRO atributos a términos de t(edad) valores que son diversas modificaciones de conjuntos difusos.
Volvamos a nuestro ejemplo de controlar el movimiento de un automóvil y describamos los significados lingüísticos de las reglas anteriores utilizando conjuntos difusos. Considere las siguientes variables lingüísticas:
X – distancia entre coches;
y– velocidad el coche de delante;
z– aceleración del vehículo conducido.
Los PF deben definirse según la situación de gestión que se considere. Así, por ejemplo, una velocidad de 70 km/h es “alta” cuando se conduce por una carretera urbana y puede considerarse “pequeña” cuando se conduce por una autopista.
Para nuestro ejemplo, definimos los siguientes universos:
[m], [km/h],
[km/h2].
En la Fig. La Figura 2.4 muestra los FP para describir los significados lingüísticos “pequeño” (lento) y “grande” (rápido) para velocidad y “cerca” (corto) y “grande” (largo) para distancia.
Arroz. 2.4. Conjuntos difusos para el problema de controlar el movimiento más simple de un automóvil.
Diferencias entre representación de conjuntos clásica y difusa
Analicemos estas diferencias usando el siguiente ejemplo. Considere las representaciones de conjuntos clásicos y difusos para describir el significado lingüístico de “corto” (para distancia).
En la Fig. 2.5 muestra las diferencias entre la representación clásica y difusa del conjunto A para este ejemplo.
Arroz. 2.5. Representaciones clásicas y difusas del conjunto A.
Definamos la representación clásica de un conjunto. A como se muestra en la Fig. 2,5 a la izquierda. En este caso la función característica será:
Representación de conjunto difuso A mostrado en la Fig. 2,5 a la derecha. En este caso, la función de membresía de FP se ve así:
Hagamos ahora la siguiente pregunta: si el punto m o el punto m pertenecen al conjunto A?
Desde una perspectiva clásica, la respuesta es "no". Desde el punto de vista de la percepción humana, la respuesta es más probable "sí" que "no". Desde una perspectiva confusa, la respuesta es sí.
Por tanto, este sencillo ejemplo muestra claramente que el enfoque difuso está más cerca del enfoque natural y humano y tiene mayor flexibilidad que el enfoque clásico.
Con la ayuda de conjuntos difusos podemos describir límites difusos.
Operaciones básicas en la teoría de conjuntos difusos.
Definamos las principales operaciones difusas de la siguiente manera.
Definición: subconjunto difuso(Contención Difusa o Subconjunto Difuso). conjunto difuso A contenida en el conjunto difuso B(o equivalente A es un subconjunto B) si y sólo si para todos . En forma simbólica:
Definición:equivalencia de conjuntos difusos(Igualdad de Conjuntos Difusos). Equivalencia (igualdad) de conjuntos difusos A Y B se define de la siguiente manera:
Para cada .
Definición:unión difusa o disyunción difusa(Unión Difusa). Unión de dos conjuntos difusos. A Y B(en forma simbólica escrita como o A O B o A B) es un conjunto difuso cuyo PT se define de la siguiente manera:
Definición:intersección difusa(Intersección difusa). La intersección de dos conjuntos difusos. A Y B(en forma simbólica escrita como , o C=A Y B, o C= A B) es un conjunto difuso cuyo PT se define de la siguiente manera:
Definición:adición difusa. Suma A(en forma simbólica escrita como o) es difuso, cuyo PT se determina de la siguiente manera:
La figura 2.6 muestra ejemplos de operaciones difusas en conjuntos difusos.
Arroz. 2.6. Ejemplos de operaciones difusas en conjuntos difusos
Características de los conjuntos difusos.
Observemos las características importantes de la teoría de conjuntos difusos.
1) Ley del medio excluido Y ley de contradicción, donde está el conjunto vacío son ciertos en la teoría de conjuntos clásica, pero en la teoría de conjuntos difusos en caso general Ellos no se cumplen.
La ley del tercero excluido y la ley de contradicción en la teoría difusa son las siguientes: y .
2) En la teoría de conjuntos clásica punto del conjunto A puede tener una de dos posibilidades: o . En teoría difusa, un punto puede pertenecer a un conjunto A y al mismo tiempo no pertenecer A(es decir, pertenecen al conjunto) con diferentes valores de las funciones de membresía y, como se muestra en la Fig. 2.7.
Tema 4. Modelado y toma de decisiones en SIG.
1. Conjuntos difusos
2. Métodos de optimización
Conjuntos difusos
La propiedad más sorprendente de la inteligencia humana es la capacidad de tomar decisiones correctas ante información incompleta y poco clara. La construcción de modelos de razonamiento humano aproximado y su uso en sistemas informáticos representa hoy en día una de las tareas importantes en el desarrollo de los SIG, especialmente en su aplicación en diversas áreas de la gestión.
Hace 30 años, el profeta de la Universidad de California (Berkeley) Lotfi A. Zadeh logró avances significativos en esta dirección. Su trabajo "Fuzzy Sets", que apareció en 1965 en la revista Information and Control, nº 8, sentó las bases para modelar la actividad intelectual humana y fue el impulso inicial para el desarrollo de una nueva teoría matemática.
¿Qué propuso Zadeh? En primer lugar, amplió el concepto clásico de Cantor de conjunto, admitiendo que la función característica (la función de la pertenencia de un elemento a un conjunto) puede tomar cualquier valor en el intervalo (0,1)), y no, como en el En la teoría clásica, solo los valores 0 o 1. Estos conjuntos se denominaron difusos (difusos).
También definió operaciones en conjuntos difusos y propuso generalizaciones de métodos conocidos de inferencia lógica.
Consideremos algunos principios básicos de la teoría de conjuntos difusos.
Sea E un conjunto universal, X - elemento MI, A A- alguna propiedad. Subconjunto regular (crujiente) A conjunto universal MI, cuyos elementos satisfacen la propiedad R, se define como el conjunto de pares ordenados, donde - función característica, tomando el valor 1 , Si X satisface la propiedad R, Y 0 - de lo contrario.
Un subconjunto difuso se diferencia de un subconjunto regular en que los elementos X de mi no hay una respuesta clara "No precisamente" con respecto a la propiedad R. En este sentido, el subconjunto difuso A conjunto universal mi se define como el conjunto de pares ordenados, donde - función de membresía característica(o simplemente una función de membresía) que toma valores en algún conjunto bien ordenado METRO(por ejemplo, M = ). La función de membresía indica el grado (o nivel) de membresía de un elemento X subconjunto A. Un montón de METRO llamado muchos accesorios. Si METRO = (0,1), entonces el subconjunto difuso A Puede considerarse como un conjunto ordinario o nítido.
Dejar m = Y A- conjunto difuso con elementos del conjunto universal mi y muchos accesorios METRO.
La cantidad se llama altura conjunto difuso A. conjunto difuso Está bien, si su altura es 1 , es decir, el límite superior de su función de membresía es igual a 1 ( =1 ). En< 1 нечеткое множество называется субнормальным.
conjunto difuso vacío, si un conjunto subnormal no vacío puede normalizarse mediante la fórmula
Los ejemplos anteriores utilizados derecho métodos cuando el experto simplemente establece el valor para cada uno o define una función de compatibilidad. Normalmente, los métodos directos para especificar la función de pertenencia se utilizan para conceptos medibles como velocidad, tiempo, distancia, presión, temperatura, etc., o cuando se extraen valores polares.
Indirecto Los métodos para determinar los valores de la función de pertenencia se utilizan en los casos en que no existen propiedades elementales mensurables a través de las cuales se determina el conjunto difuso que nos interesa. Normalmente, se trata de métodos de comparación por pares. Si, por ejemplo, conociéramos los valores de las funciones de pertenencia, entonces las comparaciones por pares se pueden representar mediante una matriz de relaciones. , Dónde(operación de división).
En la práctica, el propio experto forma la matriz. A, se supone que los elementos diagonales son iguales a 1, y para elementos simétricos con respecto a la diagonal, = 1/ , es decir, si un elemento tiene una potencia superior a la de otro, entonces este último debería ser 1/ veces más fuerte. En el caso general, el problema se reduce a encontrar un vector que satisfaga una ecuación de la forma , donde es el valor propio más grande de la matriz A.
La introducción del concepto de variable lingüística y la suposición de que los conjuntos difusos actúan como sus valores (términos) en realidad permiten crear un aparato para describir los procesos de la actividad intelectual, incluida la confusión y la incertidumbre de las expresiones.
Desde la matriz A Definida positiva por construcción, la solución a este problema existe para el valor aceptado () y es positiva. C(T), donde C(T) es el conjunto de términos generados, se denomina conjunto de términos extendidos de una variable lingüística;
M es un procedimiento semántico que permite transformar cada nuevo valor de una variable lingüística generada por el procedimiento C en una variable difusa, es decir, formar un conjunto difuso correspondiente.
Al introducir el concepto de variable lingüística y asumir que sus valores (términos) son conjuntos borrosos, en realidad hace posible crear un aparato para describir los procesos de la actividad intelectual, incluida la confusión y la incertidumbre de las expresiones.
conjunto difuso- un concepto clave de la lógica difusa. Dejar mi- conjunto universal, X- elemento MI, una R es alguna propiedad. Subconjunto regular (crujiente) A conjunto universal MI, cuyos elementos satisfacen la propiedad R se define como el conjunto de pares ordenados
A = ( µA(X) / X},
Dónde µA (x) —función característica, tomando el valor 1 si X satisface la propiedad R, y 0 en caso contrario.
Un subconjunto difuso se diferencia de un subconjunto regular en que los elementos X de mi no hay una respuesta clara de sí o no con respecto a la propiedad R. En este sentido, el subconjunto difuso A conjunto universal mi se define como el conjunto de pares ordenados
A = ( µA(X) / X},
Dónde µA (x) — función de membresía característica(o simplemente Función de la membresía), tomando valores en algún conjunto completamente ordenado METRO(Por ejemplo, METRO = ).
La función de membresía indica el grado (o nivel) de membresía de un elemento X subconjunto A. Un montón de METRO llamado conjunto de accesorios. Si METRO= (0, 1), entonces el subconjunto difuso A Puede considerarse como un conjunto ordinario o nítido.
Ejemplos de escritura de un conjunto difuso
Dejar mi = {X 1 , X 2 , xz,X 4 , x5), m = ; A es un conjunto difuso para el cual μ A ( X 1 )= 0,3; µA ( x2)= 0; µA ( X 3) = 1; µA (x 4) = 0,5; µA ( x5)= 0,9.
Entonces A se puede representar en la forma
Una ={0,3/X 1 ; 0/X 2 ; 1/X 3 ; 0,5/X 4 ; 0,9/X 5 } ,
o
A={0,3/X 1 +0/X 2 +1/X 3 +0,5/X 4 +0,9/X 5 },
o
Comentario. Aquí el signo “+” no denota la operación de suma, sino que tiene el significado de unión.
Características básicas de los conjuntos difusos.
Dejar METRO= y A— conjunto difuso con elementos del conjunto universal mi y muchos accesorios METRO.
La cantidad se llama altura conjunto difuso A. conjunto difuso Está bien si su altura es 1, es decir el límite superior de su función de membresía es 1 (= 1). En< 1нечеткое множество называется subnormal.
conjunto difuso vacío si ∀ Xϵ mi μ A ( X) = 0. Un conjunto subnormal no vacío se puede normalizar usando la fórmula
conjunto difuso unimodal, Si μ A ( X) = 1 en solo uno X de MI.
. Transportador conjunto difuso A es un subconjunto ordinario con la propiedad μ A ( X)>0, es decir transportista A = {X/x ϵ mi, μ A ( X)>0}.
Elementos Xϵ mi, para cual μ A ( X) = 0,5 , son llamados puntos de transición conjuntos A.
Ejemplos de conjuntos difusos
1. dejar mi = {0, 1, 2, . . ., 10}, m =. conjunto difuso"Varios" se pueden definir de la siguiente manera:
“Varios” = 0,5/3 + 0,8/4 + 1/5 + 1/6 + 0,8/7 + 0,5/8; sus características:altura = 1, transportador = {3, 4, 5, 6, 7, 8}, puntos de transición — {3, 8}.
2. dejar mi = {0, 1, 2, 3,…, norte,… ). El conjunto difuso “Pequeño” se puede definir:
3. deja mi= (1, 2, 3,..., 100) y corresponde al concepto “Edad”, entonces el conjunto difuso “Joven” se puede definir usando
Conjunto difuso “Joven” en el conjunto universal MI"= (IVANOV, PETROV, SIDOROV,...) se especifica mediante la función de membresía μ Joven ( X) en mi =(1, 2, 3, ..., 100) (edad), llamado en relación con MI" función de compatibilidad, mientras que:
Dónde X— La edad de SIDOROV.
4. deja mi= (ZAPOROZHETS, ZHIGULI, MERCEDES,...) - un conjunto de marcas de automóviles, y MI"= es el conjunto universal “Costo”, luego en MI" podemos definir conjuntos difusos del tipo:
Arroz. 1.1. Ejemplos de funciones de membresía
“Para los pobres”, “Para la clase media”, “Prestigioso”, con funciones de afiliación como la Fig. 1.1.
Tener estas funciones y conocer el costo de los autos de mi V este momento tiempo, de esta manera determinaremos MI" conjuntos difusos con el mismo nombre.
Así, por ejemplo, el conjunto difuso “Para los pobres”, definido en el conjunto universal mi =(ZAPOROZHETS, ZHIGULI, MERCEDES,...), tiene el aspecto que se muestra en la Fig. 1.2.
Arroz. 1.2. Un ejemplo de especificación de un conjunto difuso
De manera similar, puede definir el conjunto difuso "Alta velocidad", "Media", "Lenta velocidad", etc.
5. deja mi- conjunto de números enteros:
mi= {-8, -5, -3, 0, 1, 2, 4, 6, 9}.
Entonces el subconjunto difuso de números, según valor absoluto cercano a cero se puede definir, por ejemplo, así:
Una ={0/-8 + 0,5/-5 + 0,6/-3 +1/0 + 0,9/1 + 0,8/2 + 0,6/4 + 0,3/6 + 0/9}.
Sobre métodos para construir funciones de membresía de conjuntos difusos
Los ejemplos anteriores utilizados derecho métodos cuando un experto simplemente establece para cada X ϵ mi significado µA (x), o define una función de compatibilidad. Como regla general, los métodos directos para especificar la función de pertenencia se utilizan para conceptos mensurables como velocidad, tiempo, distancia, presión, temperatura, etc., o cuando se distinguen valores polares.
En muchos problemas, al caracterizar un objeto, es posible seleccionar un conjunto de características y para cada una de ellas determinar valores polares correspondientes a los valores de la función de pertenencia, 0 o 1.
Por ejemplo, en la tarea de reconocimiento facial, podemos distinguir las escalas que figuran en la tabla. 1.1.
Tabla 1.1. Escalas en la tarea de reconocimiento facial.
|
X 1 |
altura de la frente |
||
|
X 2 |
perfil de la nariz |
desaire |
curcuncho |
|
longitud de la nariz |
corto |
||
|
X 4 |
forma del ojo |
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color de los ojos |
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forma de barbilla |
puntiagudo |
cuadrado |
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X 7 |
espesor de labios |
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tez |
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contorno facial |
oval |
cuadrado |
Para una persona específicaAel experto, basándose en la escala dada, estableceμ A(x)ϵ, formando la función de membresía vectorial (μ A(x1) , μ A(x2),…, μ A(x9)}.
Con los métodos directos, también se utilizan métodos directos grupales, cuando, por ejemplo, a un grupo de expertos se les presenta una persona específica y todos deben dar una de dos respuestas: “esta persona es calva” o “esta persona no es calva”, luego el número de respuestas afirmativas dividido en numero total expertos, da significado μ calvo ( de esta persona). (En este ejemplo, puedes actuar a través de la función de compatibilidad, pero luego tendrás que contar el número de pelos de la cabeza de cada persona presentada al experto).
Indirecto Los métodos para determinar los valores de la función de pertenencia se utilizan en los casos en que no existen propiedades elementales mensurables a través de las cuales se determina el conjunto difuso que nos interesa. Por regla general, se trata de métodos de comparación por pares. Si conociéramos los valores de las funciones de membresía, por ejemplo, μ A(X-i) = ωi , i= 1, 2, ..., norte, entonces las comparaciones por pares se pueden representar mediante una matriz de relaciones A= (a ij), donde un ij= ωi/ ω j(operación de división).
En la práctica, el propio experto forma la matriz. A, en este caso se supone que los elementos de la diagonal son iguales a 1, y para elementos que son simétricos con respecto a la diagonal a ij = 1/a ij , es decir si un elemento se evalúa como α veces más fuerte que el otro, entonces este último debe ser 1/α veces más fuerte que el primero. En el caso general, el problema se reduce a encontrar un vector ω que satisfaga una ecuación de la forma ay= λ máx w, donde λ max es el valor propio más grande de la matriz A. Desde la matriz A es positivo por construcción, existe una solución a este problema y es positiva.
Se pueden señalar dos enfoques más:
- uso de formularios estándar curvas para especificar funciones de pertenencia (en forma de tipo (L-R) - ver más abajo) con aclaración de sus parámetros de acuerdo con datos experimentales;
- uso de frecuencias relativassegún el experimento como valores de membresía.
